（基础数学专业论文）幂平均bezier曲线族.pdf

摘要 本文利用幂加权平均和b e z i e r 曲线构造了一个数学模型得到了幂 平均b e z i e r 曲线族首先，研究了幂平均b e r n s t e i n 函数族，给出幂平均 b e r n s t e i n 函数族的定义，阐述了幂平均b e r n s t e i n 函数族的单调性及同阶 幂平均b e r n s t e i n 函数之间的关系，给出了幂平均b e r n s t e i n 函数逼近性 质主要地，定义了幂平均b e z i e r 曲线族，研究了幂平均b e z i e r 曲线族的 一些性质，讨论了幂平均b e z i e r 曲线升阶，降阶，d ec a s t l j a u 算法，分割 定理。 关键词；幂平均，b e z i e r 曲线 l l a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a k eam a t h e m a t i c a lm o d e b yu s i n gp o w e rm e a na n d b e z i e rc u r v e ，p r o v i d ef a m i l yo fp o w e rm e a nb e a i e rc u r v ea tf i r s ts t u d i e s f a m i l yo fp o w e rm e a nb e r n s t e i nf u n c t i o n d e f i n i t ef a m i l yo fp o w e rm e a n b e r n s t e i nf u n c t i o n ，i l l u s t r a t et h em o n o t o n ep r o p e r t i e so ff a m i l yo fp o w e r m e a nb e r n s t e i nc u r v ea n dt h er e l a t i o na m o n go ft h es a m ed e g r e e g a i n t h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e s m a i n l y ，d e f i n i t e f a m i l yo fp o w e rm e a nb e z i e r c u r v es t u d i e ss o m ep r o p e r t i e so ff a m i l yo fp o w e rm e a r lb e z i e rc u r v e s h o w t h ed e g r e ee l e v a t i o n ，d e g r e er e d u c t i o n ，d ec a s t o a u a l g o r i t h m ，d e c o m p o s i t i o n t h e o r yo fp o w e rm e a nb e z i e rc u r v e k e yw o r d s ：p o w e rm e a l l 】b e z i e rc u r v e u l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：寻盛垦型日期：兰! 生i ! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：醚璺! 堡 指导教师签名：受生圣 同 期：奄! 生61 日 期：2 生竺笪：! 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章绪论 本章介绍了g e z i e r 曲线在c a g d 中的作用，交代了自由蓝线造型的 一些现有成果，回顾了幂平均理论，b e z i e r 曲线及b e r n s t e i n 函数的性质 1 引言 自由曲线曲面的设计和应用是计算计辅助设计的主要任务，b e z i e r 样 条曲线和n u r b s 在c a g d 和计算机图形学等涉及到自由曲线曲面的应 用中，占有主导地位，尤其是在复杂的曲线曲面的设计中获得越来越广泛 的应用，b e z i e r 曲线是强有力的设计工具，b e z i e r 曲线的优越性使其在自 出曲线曲面的设计和应用占主导地位。对于自由曲线曲面的设计与制造， 从几个方面得以应用：曲线曲面的生成曲线曲面的拼接和组合，曲线曲面 的最佳逼近围绕着这样的应用，首先b e z i e r 曲线展示了数学形式的统 一表示，结束了机床上利用样条来完全光滑曲线的造形，从而用数据的研 究来处理光滑蓝线的生成但它还存在着一定的局限性，b e z i e r 曲线缺乏 局部性质从这一方面可以把分段b e z i e r 曲线作为b 样条曲线的一种特殊 类型，在曲线设计时，分段be z i e r 曲线类型实际上是不直接采用的，分段 b e z i e r 曲线类型的主要用途之一就是可以一把几何连续的分段多项式曲线 统一采用样条表示便于数据传递和交换，b 样条曲线类型可转换成分段 b e z i e r 曲线类型，只需通过插入节点，使曲线定义域内所有节点具有重复 度k ，就可得到人们发展了有理b e z i e r 曲线，b 样条，n u r b s ，逐渐 完善了自由曲线曲面的设计理论，由于非均匀有理b 样条，既可以表示自 由曲线曲面，又可以表示一些解析几何模形，n u r b s 在工业产品几何定 义s t e p 的国际标准中被作为定义产品唯一的数学方法，有理曲线曲面表示 形状时，除控制顶点外还有权匮子，二者的改变都可以修改曲线，可见文 】 f 7 1 ，体现了权因子的作用，但这种调整只是局部的谪整 n u r b s 不能精确表示超越曲线，如摆线螺旋线等，而这些曲线在 c a d ，c a m 中非常有用，很多学者提出了曲线曲面的新模型，在这些 模型中，大多数把b 样条的某些多项式用非多项式来代替而得到，如c b 样条，这些曲线属于c 样条曲线，采用这样的曲线主要是对基函数的选择， 在文f l 】中，张纪文提出了 s i n t ，c o t t ，t ，1 ，的线性组合得到了c b 样条 曲线，它利用s i n t ，c o s t ：t 和1 作为基函数，取代了b 样条多项式基函数。在 研究中s i n t 和c o s t 的计算是很复杂的，但它拥有很多有用的性质，通过参 数在不同分点的改变两段分片的曲线瞄面可以很光滑地拼接起来c b 样 条曲线还可以精确表示椭圆和圆弧段，这一性质使得其可能成为c a m 系 统中几何造型的一个重要工具，文f 8 提供了一类广义样条的显式构造法， 是c b 样条的推广，主要是增加了c - b 样条的基函数，从而得到了新的模 型 1 9 9 5 年，盛中平对平均数理论做了公理化处理，建立了平均族理论 m 定义了参差域、参差组、平均函数、平均族等概念，获得了一系列结 果并将经典的平均数理论归结为幂平均族，具体构造了指数平均族，建 立了一般平均族参差域转换定理并就此指导了本科生l s 】与研究生i s 毕 业论文 c a g d 是汽车飞机外形设计、图形字形处理等许多方面的数学基础， 该理论具有非常高酌实用价值在2 0 0 3 年，盛中平在其建立的平均族理论 的基础上，提出了可以将目前c a g d 中的主要方法归结为平均族理论的一 个应用，进而可以利用更一般的平均族理论来研究c a g d ，这为c a g d 的研究开辟了一个广泛的领域，并给出了将平均族应用到c a g d 中的具 体方法本文将具体讨论由幂平均族而产生的曲线族一幂平均b e z i e r 曲线 族。 幂平均b e z i e r 曲线族曲线有许多性质与b e z i e r 曲线相似，它是幂平 均族理论和b e z i e r 曲线的完美结合本文首先对幂平均b e r n s t e i n 曲线族 进行研究，得出了幂平均b e r n s t e i n 曲线族的逼近性质及曲线的凸性。接 2 着给出了幂平均b e z i e r 曲线族的性质，讨论了这样曲线所具有的升阶，降 阶分割，d ec a s t l j a u 算法，使曲线族理论系统化，把曲线的理论推广到 幂平均b e z i e r 曲线族，拓广了b e z i e r 曲线，同时，体现了幂平均b e z i e r 曲 线族全局的调整性和应用的广泛性 2 。幂平均族 首先在平均值理论中，着重对幂平均族理论加以研究，从而为其利用 奠定基础本文记r + = 扣rla 0 )面= 【一。，+ o 。 _ 定义1 2 1 设s _ 记w = l ，”一w 。) ，p = j ，p 2 ，挑) 其 n 中a r + 、1 2 2 i r + ，0 = 1 ，札) ，且e ，= 1 称 2 = l ，( p ， ) 罂黑鼽 恶2 n 兀p t = o ( e w 。硝) ； 8 = 。 s = 一o 。 s = 0 s r o ) 为 a ) 譬1 的以 w 。 n 一为权的s 阶幂平均，称 。( p ，伽) ) 。黄为闭 幂乎均族称 。( 热训) 。e 且为开幂平均族 对于幂平均的性质的探讨是利用幂平均的前提，下面对幂平均的性质 加以证明 定理1 2 2 s 。( p ，训) 和。( p ，叫) 均包含于 。( p ，训) ) 。，且s l 0 ， 所以f ( t ) 是凸函数 所以五dl g ，( 肌) 0 即a 。，( p ；叫) 。，训) 定理1 2 3 记( n ) 和丕扫，) 分别表示m ( z = l n ) 中最小及最大 的数即( n ) = m i n p 。p n ) ，一a ( p d = m a x p ，则 。卫s ( 肌) = a ( p ；) ，骢s ( a ) = ( a ) 证明：设孤一五慨) ，a 。( m ) = m 扣可可可石焉矿瓜矿可下i 可驴孤鲰 所以j i m s ( a ) 。p k 同理可证。l i r a 一。a s ( m ) 2 垒慨) 3 b e z i e r 曲线和b e r n s t e i n 函数的性质 b e r n s t e i n 函数是b e z i e r 曲线的基函数，在b e z i e r 曲线的研究中， b e r n s t e i n 基函数是基本的和主要的内容，有了b e r n s t e i n 函数的很好的性 质，才孕育产生了b e z i e r 曲线 定义1 3 1 p ( t ) ；耋k b ”( t ) ( o9 1 ) ，k 为备顶点的位置向量， 鼠。( t ) 为b e r n s t e i n 基函数 甄n = 磊与以，叫 称p ( t ) 为b e z i e r 曲线 b e r n s t e i n 基函数的性质对于研究b e z i e r 曲线及幂平均b e z i e r 曲线 都是非常必要的，现以几个主要性质加以说明。 命题1 3 2b e r n s t e i n 基函数的性质有以下性质t 4 lb o ，。( o ) = b 。，。( 1 ) = l b 。( 1 ) = b 。( o ) = 0 10 b ( ) ，b ”( t ) 1t 【0 ，1 】 蹦f 三：t = o 0 时，的几次幂平均b e r n s t e i n 函数b ：( ，；茁) 是单调递 增( 递减) 函数 ( 2 ) 当8 0 时，的n 次幂平均b e r n s t e i n 函数联( ，；) 是单调递 减( 递增) 函数 ( 3 ) 当s 一0 ，一o 。，+ o 。时，的n 次幂平均b e r n s t e i n 函数b i ( ，；z ) 是常值函数 证明：( 1 ) 设，在【0 ，1 】上是正的单调递增的 特别地有t ，( o ) 曼，( i ) ，( i ) ，( 1 ) 由 墨b i ( ，；x ) = 穗m “矿1 ( n 薹- i f ，( 等卜畦用一z )o = o 6 t = 0 ，t6 因为f 在【0 ，l 】上为正，且，( i 芋) ，( ；) 所以，( 等) 8 ，( ：) 8 鑫联( 加) o 即联( ，；z ) 也是单调递增函数 同理可得，单调递减也成立。 ( 2 ) 由( 1 ) 的证明过程同理可得 ( 3 ) 由，的n 次s 阶幂平均b e m s t e i n 函数定义可得证 毕。 定理2 4 设，：【0 ，1 1 一r + 的函数，则 ( 1 ) 当，( ：)( i = 0 ，1 ，n ) 为非常值时，对任意的s t ，s 。瓦，当 s 1 s 2 时，有b 妻1 ( ，；g ) b 挈( ，；z ) ( 2 ) 当，( i )( i = 0 ，1 ，n ) 为常值时，则对任意的s l ，s 2 再， 有b 拳( ，；o ) = b 导( ，；z ) 。 证明：( 1 ) 由b e r n s t e i n 基函数的定义知 & 。( z ) = 1 i = o 因为幂平均b e r n s t e i n 函数域( ，；z ) 在每一点。处的值可以看作为 ，( o ) ，( i ) ，( ：) t ，( 1 ) 的s 阶幂平均， 由定理1 23 知，幂平均b e r n s t e i n 曲线b t ( f ；嚣) 关于s 的递增的 从而有，当s 1 s 2 时， b 等( ，；。) 时 ：( ( 卜t ) 蟛“_ t 啦! 8 ) j 。刨茜篡善蒜次姒对嘲【0 ，1 p ( p k t 、) 舯，v ( “) 表示递推点，k 是递推次数则，对仕憩t 1 j 一。o 证明：( 1 ) 当s = 0 时， p ( 1 ；矗k 最” ：最k ( 1 卅民卅值。“ ；矗k ( 1 _ 。) 民n 一，( o 矗k 坩p 。n “。 这里，& 一l b l p l 0 p ( 幻；育矿慨一( 。胃昭。“ 、7 一n 2 l ；f 【( 订一瞻。严一 ；卉k ( 1 ) b ”1 一= 1 瞎 ) ：k ( “) 1 。k 竿i 1 ” ( 2 ) 当s = 矾 o 时 p ( t ) = ( 叠歇脚盼) j 一( 鲥一慨舢) 瑚i - l , n - 1 ( t ) 】w ) ： ( 1 一站叠b 。一x ( ) w + t 釜鼠一t m t ( t ) 州： 宅鼠，。( t ) w + t 囊b i i = 0 ：【( 1 叫喜最，( t ) 阱t 笺耻t ( 帆8 卜 ：莹b 。，。一，( 亡) 【( 1 一t ) w + 扎? l ：葚b i , n - 1 ( t ) k “扣 ：i ( 1 一t ) 盼一) l 。+ t w ” 次数 所以，p ( t ) ：( e b i , n - i ( t ) 5 ) 6 幂平均b e z i e r 曲线的分割 在执行算法的过程中，得到了两个点组 k ，语”，略”，略”和 证毕 由这两点族确定的幂平均b e z i e r 曲线，把整条幂平均b e z i e r 曲线分成的两 段，这个几何意义正是分割定理的内容 把由控制顶点y o ，- k 所确定的幂平均b e z i e r 曲线记为p ( v o ，k ；t ) 则有 定理3 6 1设，“”，w ”，诏”和 培，w ”“，曙”，k 的两个点组是对应参数由算法得出的，对任意t 【0 ，1 】固定的有 p ( v o ”，w “。k ；m ) = v ( v o ，u k ；1 一( 1 一m ) ( 1 一t ) )( 6 ) 这里 m 【0 ，1 】 证明t ( 1 ) 当s = 0 时 由于e 鼠，( 计) = e ( ? ) ( 1 一m ) 。m ( 1 一t ) t = ut 2 u p ( v o ，k ；m t ) 一f lv b , - ( 。) 2 7 推递为标匕一第中 虻 卜“k 一 k 一 时m = 一 k k中其 ：f j ( k 1 一。) ) 一m ) 一 = 疔( w 。) 鼠咖 这样得到了第一个结论，利用第一个结论可以直接得到第二个结论 首先下面的式子是成立的 p ( v o ，k ；m ) = p ( k ，k l ；l t ) 利用幂平均b e z i e r 曲线定义即得到( 2 ) 式成立 p ( k ，k 一- v o ；( 1 一) ( 1 一m ) ) = p ( k ，曙曼培“；1 m ) = p ( 盼) ，u o 一”k ，m ) ( 2 ) 当s = 叭 o ) 时 上式的右边利用算子的表示可以写成 ( 【( 1 一m t ) t + m t e ”w ) ； 重新组合方括号内的表达式，可将上式写为 【( 1 一m ) + m ( ( 1 一t ) ij - t e ) 】”k 将最后式作二项式展开，得到 n 一1 ( ? ) m _ t ( 1 一矾) “一【( 1 一) + t e j 2 w ) ； i = o n = b 。( r e ) i ( 1 一t ) i + t e l 4 w ) t = 0 n = b 。( m ) 略咖) j t = 0 这样得到了第一个结论，第二个结论证明过程与( 1 ) 相同。证毕 第四章 多指标幂平均b e z i e r 曲线族 本章给出多指标幂平均b e z i e r 曲线的定义，得出了多指标幂平均b e z i e r 曲线的性质。 多指标幂平均b e z i e r 曲线具有与幂平均b e z i e r 曲线相同的性质，具 有与幂平均b e z i e r 曲线相同的升阶，降阶，d ec a s t l j a u 算法，分割定理， 其结果的推导过程与幂平均b e z i e r 曲线一样。在此不与列出 首先定义多指标幂平均b e z i e r 曲线。 定义4 1 设k r ”，s 矿 ( 1 ) 当s 再 0 ) ，记 p ( t ) = ( 鼠，。( ) 圩) i = 0 p ( t ) 的第j 个分量为( t ) 础，2 r 掣 ( 2 ) 当s = 0 ，记 p ( t ) = ( n k 且n 。) p ( t ) 的第j 个分量为 巧( t ) = n z ，b i 埘j = 1 ，2 m ；= o s j 0 s j = 0 k = ( 乩m2 9 2 。z r n , i 尸s = ( s 1 ，s 2 s 。) 对任意8 再称p ( t ) 为佗次( s 1 s 2 s 。) 阶多指标幂平均b e z i e r 曲 线，n 1 为指标数，称 r ( ) 。瓦为n 次多指标闭幂平均b e z i e r 曲线族， 称( r ( ) ) 。e r 为n 次多指标开幂平均b e z i e r 曲线族。 约定若无特殊声明，多指标幂平均b e z i e r 曲线族指多指标开幂平均 b e z i e r 曲线族 2 9 定理4 2k 矽，s r ”；p ( t ) 为n 次多指标幂平均b e z i e r 曲线， k = ( ：r ，z 2 、；9 9 i n , i ) 7s = ( 5 l ，8 2 s 。) 0p ( t ) 的第个，分量 为，( t ) 若x j ( t ) 是关于岛- r 的函数，简记巧( ，s ) ，劂 ( 1 ) 当s l s 2 ；x ”，x j ，ki 时，有z j ( t ，8 1 ) 巧( t ，s 2 ) ( 2 ) 当m = 奶，ki 时，对任意s 1 ，s 2 有码s 1 ) = z j ( t ，s 2 ) 证明t ( 1 ) 由码( t ，s ) = ( e b ”( t ) ( 髫j 一) 。) ：知 码( t ，8 ) 是 x j ，。i = 1 ，2 礼) 幂平均， 由定理1 22 得，当s l ，y n - 1 则当s o 。时，过端点的切线趋近于y 轴 证明：设p 为 r 。；i 中的曲线，记 p ：j 幻5 酽一。净l iy ( t ) = ( e b 。( t m ) t t：u 掣= ；( 薹n 鼠一咖；) 字耋谢b 一，t ( 句- - b i , n - 1 ) 蚴：n轧(鼠。dt z - - a 口o 。、“ 垡盟：! i ：塑二丝： d x ( t )s ( x l 一o ) 由于y l y o ，兰 1 ，所以 若x 0 y oqs 佃1 一) “ 溉端k 。一舰静- 1 】一o 。 同理有： 蝇豁k 卜l i m - 叩。一y - n - - 圳 ，一( 等h 一一。 所以当s o 。时，过端点的切线平行于y 轴 定义4 5 ：p ；0 = l ，n ) 为点向量，鼢，y 。分别为p 。的横坐标和纵坐 标，其中，y 。为正数 设 z ( x 。) = m a x x l ，z 。 垒( 筑= r a i n x 1 ，z n ) ) 五( 玑) = r n a x y ”，鼽 垒( 玑= r a i n y 1 ，鼽) ) 称由x ：一a ( x d ，z = 垒( 墨) ，y = 西( 玑) ，y = 垒( 玑) 组成的矩形域为由 p l ，p 。的方包 定理4 6 设 焉) 。页由( 4 3 ) 定义的曲线族， 碟k 面，p 。为p 的位置向量，轧i 一1 ，2 n 是递增列，若y l o ，鲰一1 y 。 则当8 一0 0 时，曲线逐渐靠近p h ，p 。方包的边界 证明：此处符号均同上记法 由定理1 23 知：l i m s ( 肌) = 五( n ) 3 1 由定理122 知：；( 鼽) 是8 的增函数，所以曲线位于y = ( 肌) 这 条直线下方又由定理43 知：当s 0 0 时，端点的切线平行于y 轴，所 以曲线在p l ，p 。的方包内 固定控制多边形的情况下，幂平均b e z i e r 曲线族中，可以选取适当 的曲线模型来满足需要，对于b e z i e r 曲线只要控制多边形固定丁，曲线的 形状就固定了，不可能在控制多边形不变的情况下来选择曲线，使之远离 或靠近控制多边形，曲线族能够做到这一点，同时，虽然b 样条可以通过权 因子的改变来调整曲线，但造成其他点的曲率向相反方向改变，而幂平均 族的情况并不是这样，使得在应用上也很有价值同时在b 样条、n u r b s 基础上也可以构造相应的曲线族， 第五章实例 首先作出了3 次s ( s = l ，2 ，3 ) 阶幂平均b e z i e r 曲线，从下到上依次 为s = 1 ，s = 2 ，s = 3 的情况，如图，其表达式为 _ p ( t ) = ( 鼠，3 ( t ) w ) ； 接下分别作出3 次s ( 3 = 1 ，2 ，3 ) 阶和3 次s ( s l ，；) 阶多指标幂 平均b e z i e r 曲线，从下到上依次为s = 1 ，s = 2 ，s = 3 ( s = 1 ，s = ；，s = ；) 的情况，如图，其表达式为 f 。墨3 怨 b 。 b l b 2 岛 = l 一3 + 3 t 2 + t a 一3 t 6 t 2 + 3 t 3 ：3 t 2 3 t a 一+ 3 3 2 取 作图如下 取 作图如下 v o ( o5 ，1 ) ，( 1 ，4 ) ，( 2 ，5 ) ，v 3 ( 25 ，3 ) 3 5 4篪 图1 ：3 次s ( s = 1 ，2 ，3 ) 阶幂平均b e z i e r 曲线 4 终 磋 圈2 ：3 次s ( s = 1 ，2 ，3 ) 阶多指标幂平均b e z i e r 曲线 y o ( o 5 ，1 ) ，! 1 ( 3 ，8 ) ，v 2 ( 4 ，5 ) ，( 6 ，o5 ) 3 5 4纷 3 图3 3 次s ( s = 1 ，s = 1 ，s = ；) 阶多指标幂平均b e z i e r 曲线 图4 ：3 次s ( s 取正负) 阶多指标幂平均b e z i e r 曲线 图5 ：3 次s ( s = ；，；，l ，2 ，3 ) 阶多指标幂平均b e z i e r 曲线 3 4 参考文献 1 j i w e nz h a n gc c u r v e ：a ne x t e n s i o no f c u b i cc u r v e s ，c a g d1 3 ( 1 9 9 6 ) 1 9 9 2 1 7 2m a l 。i e l a u r e n c em a z u r ec h e b y s h e v b m n s t e i nb a s e s ，c a g d1 6 ( 1 9 9 9 ) 6 4 9 6 6 9 3j i w e nz h a n gt w od i f f e r e n tf o r m so fd b s p l i n e s 、c a c d 1 4 ( 1 9 9 7 ) 3 1 4 1 4 余采玉王石安函数的幂加权平均值，华南农业大学学报，2 0 ( 2 ) 1 9 9 9 ：1 0 9 一l1 3 5 单开佳汪国昭低阶c b e z i e r 曲线的升阶，a p p l ，m a t h ，j ，c h i n e s e ，u n i v ，s e ra 2 0 0 21 7 ( 4 ) ：4 4 1 4 4 5 6 刘铭，( 导师t 盛中平) 竹元平均族理论东北师范大学本科毕业论 文，长春，1 9 9 5 7 盛中平，崔凯。他元平均族理论第八届全国高等院校计算数学学术 会议文集1 9 9 7 ，8 烟台 8 王丽君。( 导师：盛中平) 可数平均足与连续平均族东北师范大学 数学系硕士论文，长春2 0 0 3 。 9i m r ej u h a s z w e i g h b a s e ds h a p em o d i f i c a t i o no fn u r b sc u r v e ， c a c d ，1 6 ( 1 9 9 9 ) 3 7 7 3 8 3 1 0 吕永刚汪国昭均匀三角多项式b 样条蓝线，中国科学( e ) 2 0 0 2 ， 4 ( 3 2 ) 2 1 1 车翔玖两邻接n u r b s 曲面问的g 2 连续条件吉林大学学报 2 0 0 2 。0 l 1 2 车翔玖三次均匀有理b 样条曲线g 2 光滑拼接条件辽宁师范大学 学报2 0 0 2 0 9 1 3 刘丽霞 b e r n s t e i n 算子导数与光滑膜的等价关系河北师范大学学 报。2 0 0 1 0 6 1 4 高正兴凸函数与平均值不等式的推广武汉教育学院学报1 9 9 9 0 6 1 5 温朝晖加权平均值不等式推广到无穷多个数的形式，蚌埠教育学院 1 9 9 5 0 6 1 6 林元重迭代加权平均值问题初探。萍乡高等专科学校1 9 9 9 。n 0 4 1 7 张永锋数列加权平均值的极限及应用。商洛师范专科学校学报1 9 9 9 0 6 1 8 李淑林广义平均及其应用，数学理论与应用。2 0 0 3 0 3 。 1