（基础数学专业论文）常plaplacian系统周期解的存在性与多解性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 常p - l a p l a c i a n 系统周期解的存在性与多解性宰 学科专业：基础数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向：非线性分析 硕士研究生：廖坤( 8 2 0 0 7 3 1 4 0 ) 摘要 本文主要考虑如下两个p - l a p l a c i a n 系统( p ) 与( p ) ( p ) j 岳( 1 u c t ) l p - 2 也( t ) ) = v f ( 驰( t ) ) ，a e t 】， iu ( o ) 一u ( t ) = 也( o ) 一i t ( t ) = 0 ， 其中t 0 ，p 1 ，f ：【0 ，t 】冗_ r 满足如下假设 ( a ) 对所有的z r ，f ( t ，z ) 关于t 可测；对几乎处处的t 0 ，卅，f ( t ，z ) 关 于z 连续可微；存在a e ( r + ，r + ) ，b l 1 ( 0 ，r ，or + ) 使得对所有的z r 与几 乎处处的t 【0 ，t 】满足 i f ( t ，。) i a ( i x l ) b ( t ) ，i v f ( t ，z ) l a ( i x l ) b ( t ) ， 其中r + 是所有非负实数的集合 ( p 7 ) 五d ( ) p 州) = v f ( t ，u ( t ) ) ，a e t r ， 其中p 2 ，f ：r r _ r ，f ( t ，z ) = g ( x ) + h ( t ，z ) 关于t 足t 周期的并且满足 上面的假设( a ) 本文用临界点理论首先讨论系统( p ) 周期解的存在性与多解性问题，然后讨 论系统( p 7 ) 次调和解的存在性问题主要结果如下 定理1 假设f 满足( a ) 和以下条件 ( f 1 ) 当序列 u n ) c 略，p 满足i i u n l l 一和殍一1 时，就一定满足不等 式 骢警z t ( v 即础) ) 南) 扒。， + 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 0 7 7 1 1 7 3 ) i 西南大学硕士学位论文 中文摘要 c f 2 ) 对几乎处处的t 【0 ，卅，1 驰磐嚣鲁 一石1 巧1 一致地成立 则系统( p ) 在空间吩p 中至少存在一个解其中 q = s u p i b l l 2 ，iu 群”，i , i i i l = 1 ) ， 噼p = u ：【o ，卅一r it 绝对连续，u ( o ) = u ( t ) 且吐l p ( o ，t ；r ) ) 是一个自反的一致凸b a n a c h 空间，其上的泛数为 n = ( 小l p 出+ o tm 圳p 班) ；， 并且霞= 亭岳u ( t ) d t 定理2 假设f 满足( a ) 和以下条件 ( f 3 ) 对几乎处处的t 【o ，卅，u 平i n f 气铲0 一致地成立， l o i + o 。 ( 只) 当序列 u n ) c 吩p 满足i i u n o 一和野一1 时，就一定满足不等 式 f t l i m f ( t ，“，l ( ) ) 出= + o o ， 。“j o 则系统( p ) 在略p 中至少存在一个解 定理3 在定理2 的条件下，假设f 还满足如下条件 ( 如) 存在一个常数6 0 使得一；赤h p f ( t ，z ) 0 对所有的6 和几 乎处处的t 0 ，t 】都成立 则系统( p ) 在略p 中至少存在三个解 定理4 假设f ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) 满足( a ) 和如下条件 ( 民) 存在函数g l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 v h ( t ，z ) iso ( t ) 对所有的z r 和几乎处处的t 【0 ，卅都成立， ( f 7 ) 存在r 0 使得 ( v g ( z ) 一v g ( 暑) ，z y ) 一r l x y 1 2 对所有的z ，矽r 和几乎处处的t 【0 ，t 】都成立， ( 风) 存在函数1 l 1 ( o ，t ) 使得 f ( t ，z ) ，y ( t ) i i 西南大学硕士学位论文 中文捅要 对所有的z r 和几乎处处的t 0 ，卅都成立， ( 玛) 存在 0 ，卅中的子集e 并且m e 船( e ) 0 ，使得当一o o 时对几乎处处 的t e 有f ( t ，。) _ 一0 0 则对每个正整数惫，系统( p 7 ) 存在k t 周期解t 知w ，七k t , p ，使得当砖_ 。o 时有 i l u 知i i 一o o ，其中i l 札七2o 0 ，使得当蚓一。o 时对几乎处 处的t e 有例一q q f ( t ，z ) 一一o 。 。 则对每个正整数尼，系统( p 7 ) 存在k t - 周期解缸屉w ，七k t , p ，使得当k _ o 。时有 i i u 七l l o o o o 关键词：p - l a p l a c i a n 系统；周期解；次调和解；( p s ) 条件；三临界点定理； 鞍点定理 i i i 西南大学硕士学位论文 英文摘要 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s f o rt h eo r d i n a r yp l a p l a c i a ns y s t e m s1 ( p 7 ) m a j o rl f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t yi n o l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o ri p r o f t a n gc h u n l e i a u t h o r ：l i a oh u n ( s 2 0 0 7 3 1 4 0 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gt w op - l a p l a c i a ns y s t e m s ( p ) a n d ( p ) j 袅( i 也( t ) f p - 2 也( ) ) = v f ( t ，u ( t ) ) ，a e t o ，列， 【u ( o ) 一u ( t ) = 吐( o ) 一也( t ) = 0 ， w h e r et 0 ，p 1a n df ： 0 ，t 】r _ rs a t i s f i e st h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n ( a ) f ( t ，z ) i sm e a s u r a b l ei ntf o re v e r y 。r a n dc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei n zf o ra e t 【0 ，卅，a n dt h e r ee x i s ta c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) s u c ht h a t f ( t ，z ) i o ( 1 。i ) 6 ) ，l v f ( t ，z ) l n ( 1 z i ) b ( t ) f o ra l l 。r a n da e t o ，卅，w h e r e 冗+ i st h es e to fa l ln o n n e g a t i v er e a ln u m b e r s 未( t ) i p - 2 吣) ) = v f ( t ，u ( t ) ) ，a e t r w h e r ep 2a n df ：r r _ r ，f ( t ，。) = c ( x ) + h ( t ，z ) i st - p e r i o d i ca n ds a t i s f i e s t h ea b o l v ea s s u m p t i o n ( a ) i nt h i sp a p e r ，w ef i r s tc o n s i d e r e dt h e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o _ l u t i o n sf o rs y s t e m s ( p ) b yc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , t h e nw ec o n s i d e r e dt h e e x i s t e n c eo f s u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o rs y s t e m s ( p ，) t h em a i nr e s u l t sa x et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m1 s u p p o s et h a tfs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) a n dt h ef o u o w i n gc o n d i - t i o n s ： 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 西南大学硕士学位论文英文摘要 ( f 1 ) 上 w h e n e v e r u n ) c 略护i ss u c ht h a tl i t n o 一a n dj 好一l ， ( f 2 ) 1 i m i n f l i 。 t i m i n r 0 t ( v 邢州啪，南) 出 一；1 巧1 u n i f o r m l yf o ra e t 【0 ，卅 t h e ns y s t e m s ( p ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o ni n 噼”，w h e r e q = s u p l l u l l 2 ，iu 霹”，0 = 1 ) ， w 0 p = u ：【o ，卅_ r fui sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u s ，u ( o ) = u ( t ) a n d 吐l v ( o ，t ；r ) ) i sar e f l e x i v ea n du n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c ew i t ht h ec o r r e s p o n d i n gn o r m a n d 面= 手岳u ( t ) d t 刮：( o 丁m 圳知圳p 班) ；， t h e o r e m2s u p p o s et h a tfs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) a n dt h ef b l l o w i n gc o n d i - t i o n s ： ( f 3 ) 1 i m i n f l z l + o o 0u n i f o r m l yf o ra e t 0 ，t 】， ( 髓) w h e n e v e r 让t i ) c 衅pi ss u c ht h a ti i “n i | 一o 。a n d ，丁 概zf ( t ，u n ( t ) ) d t = + o o t h e ns y s t e m s ( p ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o ni n 睇” _ 1 ， t h e o r e m3u n d e rt h ea s s u m p t i o n so ft h e o r e m2 ，a s s u m et h a tfs a t i s f i e st h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n ： ( f 5 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n t6 0 s u c ht h a t 一；1 。1 p 。x 。l p f ( t ，z ) 0f o ra l li z i 6 a n da e t 【0 ，卅 t h e ns y s t e m s ( p ) h a sa tl e a s tt h r e ed i s t i n c ts o l u t i o n si n 略” t h e o r e m4s u p p o s et h a tf ( t ，z ) = g ( z ) + 日( t ，z ) s a t i s f i e s ( a ) a n dt h ef b l l o w i n g c o n d i t i 0 1 2 8 ( f 6 ) t h e r ee x i s t sg l 1 ( o ，t ；r + ) s u c ht h a t f o ra l l $ r i va n da e t 【0 ，卅， v h ( t ，z ) isg ( t ) v 毋矿训而 西南大学硕士学位论文英文摘要 ( f 7 ) t h e r ee x i s t sr 0s u c ht h a t ( v g ( x ) 一v a ( y ) ，z y ) 一f i x 一耖1 2 f ( 盯a l lz ，y r a n da e t 【o ，卅， ( f s ) t h e r ee x i s t s ，y l 1 ( o ，t ) s u c ht h a t f o ra l l 。r a n da e t 【0 ，卅， f ( t ，z ) 7 ( t ) ( f 9 ) t h e r ee x i s t sas u b s e teo f 【0 ，卸w i t hm e a s ( e ) 0s u c ht h a t f o ra e t e f ( t ，z ) _ 一o oa s _ o o t h e ns y s t e m s ( p 7 ) h a sk t - p e r i o d i cs o l u t i o n 乱七 叫罗f o re v e r yp o s i t i v ei n t e g e rks u c h t h a ti i u 七l i o 。一o 。a s 七一。o ，w h e t ei l u 七l l o o 。o 0 ，p 1 ，f ：【0 ，t 】r _ r 满足如下假设 西南大学硕士学位论文 前言与文献综述 ( a ) 对所有的。r ，f ( t ，z ) 关于t 可测；对几乎处处的t 【0 ，t 】，f ( t ，z ) 关 于z 连续可微；存在a c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，瓦r + ) 使得对所有的z r 与几 乎处处的t 【0 ，t 】满足 i f ( t ，z ) i a ( i x l ) b ( t ) ，i v f ( t ，z ) i a c i x l ) b ( 0 ， 其中冗+ 是所有非负实数的集合 ( p 7 )姜( i d ( t ) i p - 2 d ( t ) ) = v f ( t ，u ( t ) ) ， a e t r ， u b 其中p 2 ，f ：r r 一r ，f ( t ，z ) = a ( x ) + h ( t ，z ) 关于t 足t 周期的并且满足 上面的假设( a ) 当p = 2 时，以上两个系统就足众所周知的二阶h a m i l t o n i a n 系统在过去的 一些年里，很多学者用变分方法研究了二阶h a m i l t o n i a n 系统周期解( t 一周期解) 以及次调和解( k t - 周期解) 的存在性( 参见 4 卜 1 4 1 ) 近些年来，越来越多的人开 始关注p - l a p l a c i a n 系统周期解的存在性问题，并取得了一些成果( 参见【1 5 一【2 3 】) 。 而仅有很少的文章研究了系统( p ) 的多解性用三临界点理论( 参见【2 4 1 ) ，一些 文章研究了二阶h a m i l t o n i a n 系统的多解性问题( 参见 8 】【2 5 ) ，受【8 】的启发，在 这篇文章中，我们不但用鞍点定理与极小化作用原理获得了( p ) 的解的存在性结 论，而且用三临界点定理研究了系统( p ) 的多解性问题更值得一提的是，目前 只有比较少的文章研究( p ) 的次调和解问题( 参见1 1 8 】，【2 1 ，【2 6 】) 最近文章【1 4 】 研究了二阶h a m i l t o n i a n 系统周期解的存在性，其中f 要求满足以下条件 f ( t ，z ) = a ( x ) + h ( t ，z ) ， 其中v h 足次线性的，即存在函数，g l 1 ( o ，t ；r + ) 以及常数n 【0 ，1 ) 使得 i v h ( t ，z ) i f ( t ) l x l o - i - 9 ( ) 对所有的z r n 和几乎处处的t 【o ，卅都成立；且存在常数r 簪使得 ( v a ( x ) 一v a ( y ) ，z 一耖) 一，i z u 1 2 对所有的茁，可r n 和几乎处处的t 【0 ，t 】都成立受【1 4 】的启发，在这篇文章 里，我们把【1 4 1 的结论作了两个推广：一方面，从二阶h a m i l t o n i a n 系统推广到 p - l a p l a c i a n 系统；另一方面，从周期解推广到了次调和解 本文中，定理1 和定理2 研究( p ) 的周期解的存在性问题，定理3 研究( p ) 的周期解的多解性问题，定理4 6 研究( p 7 ) 次调和解的存在性问题 2 西南大学硕士学位论文 预备知识 第三章预备知识 极小作用原理( 见文献【4 】) x 是自反的b a n a c h 空间，妒是定义在x 上的弱 下半连续泛函，如果妒存在有界的极小化序列，则妒在x 上可以达到极小值 鞍点定理( 见文献【2 7 】)设e 为一个实b a n a c h 空间，且有直和分解e = y0 z ，其中v 0 且d i m v 叩，使得妒i z r 则妒在e 上有一个临界点 三临界点定理( 见文献【2 4 ) ) 设x 是一个b a n a c h 空间，且有直和分解x = x lo 拖，其中d i m x 2 0 ，使得 当u x 1 ，i i u | | 7 时有妒( u ) o ； 当u x 2 ，i r 时有妒( u ) 0 如果p 还满足下方有界，而且i n f x 妒 0 ，则妒至少有两个非零的临界点 当u 呀p 时，定义w 争p 上的泛函垆如下 出) ：= 刍z t i p d h j o t f 他u ) 跳 由( a ) 可知泛函妒在噼p 上是连续可微的，且其f r e c h e t 导数为 ( ( u ) ，u ) = ( f 吐( ) | p - 2 也( t ) ，西( t ) ) + ( v f ( t ，让( t ) ) ，”( ) ) d t 此时，系统( p ) 的t 周期解对应于妒的临界点设 - _ 参上u ( 舭， 砩p = u 噼p ：豆= o ， 由q 的定义我们可得，对任意的u 弼p 有 瞄铞i l u l l z ， 3 西南大学硕士学位论文预备知识 且存在正常数c ，使得对任意的u 噼p 有 一黼i u ( 。) i c i i t t ( 参见文献 4 】) 当“w 絮时，定义w 努上的泛函讯如下 ( “) = 三z 盯j 吐( 圳p 班+ z 灯f ( t ，u ( 纠出 由( a ) 可知泛函在w 懈上是连续可微的，且其n e c h e t 导数为 ，七丁，七t ( “( u ) ，u ) = i 吐( t ) r 2 ( 吐( ) ，o ( ) ) d t + ( v f ( t ，u ( ) ) ，u ( t ) ) d t - ，0j 0 此时，系统( p 7 ) 的七d 周期解对应于的临界点设 西= 去小氓 t 正= u 一扎 磅= u 嘴：豇= o ) ， 由文献【4 】知，存在常数使得 且 s 仇上f k t c k tf k t 上l 石( t ) j p 班c 七以 i 也( t ) l p 出 4 西南大学硕士学位论文 主要结果 第四章主要结果 4 1 系统( p ) 的周期解的存在性 定理1 假议f 满足( a ) 和以f 条件 c r y ) 当序列 u n c 噼p 满足i l u n i i _ o 。和嫌殍_ 1 时，就一定满足不等 式 驶蜜r z 2 ( v 即础) ) j 南) 疵 一石1 巧1 一致地成立 1 z l _ + o 。o 7 则系统( p ) 在空间噼，p 中至少存在一个解其中 q = s u p l l u l l 2 ，iu 霹”，知= 1 ) ， 嵋p = 仳：【0 ，卅_ r iu 绝对连续，u ( o ) = u ( t ) 且i t l p ( 0 ，t ；r 。) ) 是一个自反的一致凸b a n a c h 空间，其上的泛数为 陋忙( f o t i 邮胪出+ o t 驯p 出) ；， 并且面= 手口u ( t ) d t 注1 定理1 是文献 8 中定理2 的一个推广为此我们考虑函数f ( t ，z ) = 一a i z i p ，( o 0 ，使得当一。时对几乎处处 的t e 有f ( t ，z ) _ 一。o 则对每个正整数k ，系统( p 7 ) 存在k t - 周期解u k w ，七k 丁, p ，使得当k 一。o 时有 0 让詹i l o 。_ 。，其中i l u k i l o o2 。s m 。s a x 川l u k ( t ) l ， 彤留= u ：【0 ，k t _ r iu 绝对连续，乱( o ) = u ( k t ) ，且i t l p ( 0 ，七t ；r ) ) 是一个s o b o l e v 空间，并且赋有范数 。乱o = ( z tl u ( t ) l p d t + o 七ti 也( t ) i p d t ) 刍 注3当p = 2 时，定理4 的条件和文献【1 4 】中定理1 的条件类似但在 1 4 】中，作者主要研究二阶h a m i l t o n i a n 系统n 周期解的存在性问题，而在这篇 文章中，主要考虑p - l a p l a c i a n 系统( p 7 ) 次调和解( k t 一周期解) 的存在性问题 事实上，定理4 是【1 4 】中定理1 的推广结论设函数f ( t ，z ) = g ( x ) + h ( t ，。) ，其 中g ( x ) = 一r c o s x l ，x l 是z 的第一分量，并且对任意的。r 与t 【o ，t 】有 h ( t ，z ) = - is i n w t il n ( 1 + p ) ， 西南大学硕士学位论文主要结果 则j f l 满足定理4 的条件，而不满足f 1 8 】和 2 1 】中定理的条件 定理5 假设f ( t ，z ) = c ( x ) + h ( t ，z ) 满足( a ) ，( f t ) 和如下条件 ( 只o ) 存在函数，g l 1 ( o ，t ；r + ) 和常数a 【o ，p 1 ) 使得 v h ( t ，z ) l f ( t ) i x l o 十g ( t ) 对所有的o 冗和几乎处处的t 0 ，t 】都成立， ( f 1 1 ) 当_ 0 0 时，对几乎处处的t 【0 ，t 】，吲一口口e ( t ，z ) 一一o o 一致地成 立，其中q 的定义与( f l o ) 中一样，且q = 占 则对每个正整数k ，系统( p 7 ) 存在卫周期解u k w ，k 耵, p ，使得当k _ 。o 时有 0 札七i i 一_ 。o 注4 当p = 2 时，定理5 的条件和文献 1 4 】中定理2 的条件类似但在 【1 4 】中，作者主要研究二阶h a m i l t o n i a n 系统弘周期解的存在性问题，而在这篇 文章中，主要考虑p - l a p l a c i a n 系统( p 7 ) 次调和解( k t - 周期解) 的存在性问题 事实上，定理5 是【1 4 】中定理2 的推广结论设函数f ( t ，x ) = o ( x ) + h ( t ，z ) ，其 中a ( x ) = 一引z 1 1 2 , x l 是z 的第一分量，并且h ( t ，。) = 一例1 + o ，0 0 ，存在e 的一个 子集励，其中m e a s ( e e 6 ) 0 ，我们由( f 1 0 ) 和y o u n g 不等式不难得到 ( 5 ) i k tf k tf k t 上( v 日( t ，u ( t ) ) ，商( t ) ) 疵j of ( t ) l 瓦+ 石( t ) h 菘( ) l 出+ j o 9 ( t ) i 菘( t ) i 出 f k t f k t 2 。，( ) ( | 西r + j 苞( t ) i “) l 在( t ) | 出+ g ( t ) l u ( t ) l d t f k tf k t 2 0 ( i 面r + j i 豆l i 惫) | i 豆| | f ( t ) d t + i l 缸| i o c g ( t ) d t 鲥圳训下郦1 p ( 厅出) 9 + 2 。i i 露i i 彗1 f ( t ) d t + 1 1 豇1 1 g ( t ) d t 取= 1 ( 2 n 2 p c k ) ，由( 3 ) 可得，存在正常数c l ，c 2 和c 3 ，使得当u w ，知k l t , p 时有 厅v h ( t , u 埔，出i 刍斤邮胪班删卵口+ c 2 ( f o o k tl i t ( t ) l p d t ) 学 + 伤( 所妒出) 5 ， 8 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 由( f 7 ) 和( 3 ) 知，当“以笋时有 z 盯( v g ( u ( ，豆( 纠班= z 灯( v g ( u ( 啪一v g ( 面) ，缸( 出 叫上t 陋 ) | 2 出 ，七 一7 庇t l i 矗i i 蝥 m t ( 仇门邵胪班) 5 ， 从而，当n 取无穷大时可以验证 l i ( 妒( u n ) ，) l = 忻洲岍o 耵( v 脚以) ) ，引娜班| = l z 灯i “( 圳p 出+ o 耵( v g ( ( ，锄( 州班+ o 聍( v 日( ，u 。( ，锄( 枷出 等所洲p d t - c t 一仍( 所州圳p 出) 学 二( b ( z ri 也。c t ，l p 出) i 1 一r 庇t ( c 南o 七丁l 也nc t ，l p d t ) ； 由上面的不等式和( 5 ) ，我们可得，存在常数c 0 ，c 4 0 ，当n 取无穷大时有 g i 豇。i 警( o 七tf 吐。c t ，l p 出) 冒1 一c - ， 又由( 3 ) ，这就说明存在正常数g ，当n 取无穷大时有 i i | 。c 5 ( 1 面n l 警+ 1 ) ， 因此对任意大的n 和每个t 【0 ，k t 成立 l “。( t ) i i 面n i i 面。( t ) l i k i 一| | 面n i i o o i 面n i c 七( i 西。i 节+ 1 ) ， ，口a、 这就说明 i u 竹( t ) i 丢阮 对任意大的n 和每个t 【0 ，k t 】成立 9 ( 6 ) 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 如果 i i ) 是无界的，则存在子列( 不妨设为 i 面。i ) ) 使得 i 一。o ，n 一( 8 ) 令6 = m e a s e 2 ，结合( f 1 2 ) 和引理l 可知，存在e 的子集e 6 ，m e a s ( e e 6 ) 6 0 ， 并且对任意的p 0 ，存在m 1 ，使得对h m 和t e 6 有 z l - q c t f ( t ，z ) 一p 由( 7 ) 和( 8 ) ，对任意大的竹和每个t 【0 ，k t 有 u 。( ) l m 结合( f 8 ) ，( 6 ) ，( 7 ) ，以及( 9 ) ( 1 1 ) ，我们不难获得，对任意大的n 有 从而有 妒七( 乱n ) f c i 面n i 等+ 0 1 p + 、， ( c m 警+ a ) p + 7 疵一舢删归出 【0 ，a t e se 6 们) 出_ 2 - q 。l 酬驴巩 【o ，a t e s l i m s u pi 面。i 一9 0 妒七( t 。) c v 一2 - - q 。t 6 p n + 。 由卢 0 的任意性可知 l i m s u pi i - - q a 妒知( u n ) = 一。， n - - - * o o ( 1 0 ) ( 1 1 ) 与慨( u n ) 的有界性矛盾，故 f 豇。| ) 是有界的从而由( 5 ) 和( 6 ) 可知 u n ) 足有界 的用类似于 2 3 】中引理2 的方法不难验证饥满足( p s ) 条件 定理1 的证明此处证明需要用到鞍点定理众所周知，略p = r o 露” 事实上，我们只需要证明妒满足( p s ) 条件和以下两个条件 1 0 口 亘塑盔兰堡主堂垡迨塞 主要结果的证明 ( i ) 对任意z r ，当川_ 时，有妒( z ) 一一o o ； ( i i ) 对任意u 霹p ，当i o o 时，有妒( u ) _ + o o 首先，我们验证当( 只) 成立时有( i ) 成立当z r n 时我们有 拈i 1tx d t = x , 我们可以断定存在常数肛 0 和p 0 ，使得当z r n 且蚓p 时有 ( v f ( t ，z ) ，x ) d t - p l x l ( 1 2 ) j 0 若不然，定存在 z n ) cr 且i z nj _ o o ，使得当仃1 时有 z 丁( v 脚d 南) d t - 三， 这就和( f 1 ) 矛盾因此， 妒( 。) = t f ( t ，z ) 出= 当z r 且例 j d 时，我们可验证 令= m a x i 茁j 曼p a ( i z l ) ，由( a ) 可得 j z t z 尚e v f c t ，8 z ，。，d s 班 又由( 1 2 ) 可得 1 1 t ，o ) d t 砒+ 9 ( o t f ( t ，。) 出 + ：( v f ( t , s x ) , x ) d s 班+ z 丁f c t ，。，出 一pj z l + p p ， s x ) i 6 ( 亡) i 1 x d sld t j 吖1lj b 以j h 亦 凇 0 h 嚣 协 ： 如 f 厶 吖 砟 泞 矿m 产，o厂。 即k r t r z石石 d 出 恤 出 扭 叫 厶 d 卜 即 圳 婀 阳 郇 咖 贼 白 白 白 心厂厶厂厶厂厶彬防呦 了 t 丁 r f f f f 一 一 一 f f 如如 动 川幽 v 圳 上胁 o z j t 陋 h m 1 r 1 一s l 一8 圳厂墙厂增刊 = 一 | i f | 岔 1，j 、如zz8 p fv 广墙 丁 z 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 因此当z r 且吲一o o 时，有妒( z ) 一一o 。，即( i ) 成立 下面我们证明当( 局) 成立时有( i i ) 成立若( 局) 成立，则存在常数0 m 时，对几乎处处t 【0 ，列有 邢 一刍击旷1 恂旷1 从( a ) 我们可以推得，当x r 且m 时，对几乎处处t 【0 ，t 】有 f ( t ，z ) - - a m b ( t ) ， 凼此对z r “与儿乎处处t 【0 ，引有 脚) 一均z p - 1 + 6 0 i z p - 1 一a m b 结合h o l d e r 不等式，( 1 ) 与( 1 3 ) ，我们可以推出，当uc 砑p 时有 妒( 乱) = 刍z tf 吐( t ) l p 班+ z r f 。，u ( t ) ) 班 扣1 2 ，一石1 瓦1 咱) t 汕i 筘1 一z o t a m b ( t ) d t 扣训笔，一( 三去一t 声1 锦p - p - 1 忪l i 筘1 一j ( o t a m b ( 幻 则妒在霹p 中强制，即( i i ) 成立 现在我们证明妒在( e 1 ) 与( f 2 ) 满足的条件下满足( p s ) 条件 个序列 缸。) c 噼p 和一个常数c ，使得 妒7 ( u n ) 一0 ， n o 。 且 i p ( 札。) l c ，n = 1 ，2 ， d t ( 1 3 ) 如果存在一 ( 1 4 ) 那么 ) 在孵p 上一定足有界的若不然， u n ) 存在一个子列( 不妨设为 ) ) ， 使得 孔n i i _ ，佗一。o 1 2 ( 1 5 ) 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 取：p 向，其中p ：( 奇专) 。，则 ) 在嵋，p 上足有界的，从而存在 ) 的子列( 不妨设为 ，) 和u o w 尹，使得 且 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) ，我们有 在噼p 中， 一v o 在l p o ，t 】中， _ v o( 1 6 ) c 妒【u n ) i l u , , l l p 2 l i u 。i i p = 刍f o ri 如( t ) f p o t 笮铲出 三专小阳t 一面o t