（基础数学专业论文）关于hcmu度量的几个问题.pdf

摘要 本文要论述的是近十几年来几何中的一个熏要对象e x t r e m 如度量它 是由e g 0 2 n 觇1 在1 9 8 2 年引入的，实际上是紧致无边的复流形上固定的 a 州e r 等价类下的某个能量泛函e 的临界点这和几何学历史上其它对象 的引入有相似之处，比如极小曲面，h o d g e 的调和形式等等它有很多有 意思的几何性质，如： l 如果一个紧致无边的复流形存在e x t r e m a l 度薰，则其上任何一个全纯向 量场都可以分解成一个全纯的平行向量场和一个”恰当”的全纯向量 场的直和 2 能量泛函e 的h e s s i a n 形式在e x t r e m a l 度量处是半正定的，并且余维 数有限 3 如果紧致无边复流形上存在e x t r e m a l 度量，它的全纯等距群中含有恒同 映射的分支一定是它的全纯自同构群的极大的，紧的，连通子群， 4 在同一个k i m e r 等价类中不可能同时出现数量曲率为常数的度量及 e x t r e m a l 但是数量蓝率不为常数的度量 简单地说，具有e x t r e m a l 度量的紧k i 州e r 流形比一般的k i f e r 流形具有 更好的对称性而且在光滑的紧黎曼面上，e x t r e m 越度量与常数量曲率度 量等价，并且e c o k 叫1 l 有例子表明在高维的确有e x t r e m a l 度量不具有常 数量曲率因此，我们有理由把e x 眦m a l 度量作为比常数量随率度量更广 泛的研究对象加以讨论，但是，遗憾的是它的完备性并不是对的【2 ，也就是 说不能保证在每个k 讪f e r 等价类中都存在e x t r e m a l 度量但这并不影响人 们对它的：* 趣 近十几年来，数学和物理上对有奇点的度量都比较关注人们自然会问 带有奇点的e x t r e m a l 度量会有什么样的性质，它与没有奇点的e x t r e m a l 度 量有那些异同在这方面还有很多空白本文的目的是想从紧黎曼面做起， 研究紧黎曼面上有奇点的e x tr e i n a l 度量的性质本文所要讨论的h c m u 度 量，就是有奇点的e x t r e m a l 度量中除了常数量曲率度量外最简单的一种 通常对于一个数学对象的研究有两种办法：一种是从内部研究，即研 究它的组成元素的性质，元素之间的关系，内部结构等等；一种是从外部研 究，即把它放到一个更大的空间中去，研究它与这个空间中其它元素之间的 l l 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第i i i 页 摘要 关系比如对于群的研究，人们研究它的子群，正规子群，元素的阶，以及关于 它的分解等等；人们又研究群和群之间的同态，同构关系等等对于h c m u 度量的研究，也是遵循上述途径从内部，我们研究了h c m u 度量的基本结 构，组成单元，这些单元的性质及相互关系等等这些研究可以归结为一个 大问题，如何决定一个h c m u 度量这个问题现在还没有完全解决，但已经 被化为一个组合拓扑问题从外部研究，我们主要考虑h c m u 度量的变分 性质，即把h c m u 度量放到一个满足特定条件的变分空间中，研究它的一 阶变分，二阶变分的性质，看它的二阶变分是否还是非负这个问题还没有 被解决，但我们已经把它做了相当程度的化简除了上述两方面内容外，也 有一些应用，我们将利用对h c m u 度量的研究导出它的面积和能量公式 本文的结构如下：第一章介绍没有奇点的e x t r e m a l 度量的定义第二章 介绍h c m u 度量的定义，存在的必要条件及一些重要性质第三章是本文 的主要部分，介绍h c m u 度量的内部结构，组成单元和存在性以及它的面积 和能量公式第四章介绍无奇点e x t r e t n a l 度量的二阶变分的性质和h c m u 度量二阶变分的性质 a b s t r a c t t h es l l b j e c to ft h i sa r t i c l ei se x t r e m a lm e t r i cw h i c hi sa n i m p o r t a n tr o l e i ng e o m e t r yi nt h el a s td e c a d e s i tw a si m r o d u c e db ye c a l a b i 【l 】i n1 9 8 2 i ti sac r i t i c a lp o i n to fs o m ee n e r g ym n c t i o n a lei na 矗x e d 。k 五九f e rc l a s s o nac o m p a c tc o m p l e xm a n i f o l dw i t h o u tb o u n d a r 矿i th a sm a n yi n t e r e s t i n g g e o m e t r i cp r o p e r t i e s ，f o ri n s t a n c e ， 】、】ft h e r ee x i s t s 卸e x t r e m 矾m e t r i co nac o m p a c t c o m p l e xm a i l j f 0 1 dw i t h o u t b o u n d a r y ，a n yh 0 1 0 m o r p h i cv e e t o r 矗e l dc a nb ep r e s s e di nt h ed i r e c ts u m o fah o l o m o r p h i cp a r 以l jv e c t o ra n da ”e x a c t ”h o l o m o r p h i cv e c t o r 矗e l d 2 i ft h e r ee x i s t sa ne x t r e m a lm e t r i co na c o m p a c tc o m p l e xm a n i f o l dw i t h o u t b o u n d a r y t h e nt h es e c o n dv a r i t i o no fe i ss e m i d e f i n i t ea tt h ee ) t r e m a l i n e t r i ca n dt h eh e s s i a nf o r mo fei so ff i n i t ec o r a n k 3 f o ra r l ye x t r e m a 】m e t r i ci nac o m p a c l ：c o m p l e xm a n i f 0 1 d ，t h el d e n t i t y c o m p o n e n to ft h eh o l o m o r p h i ci s o m e t r yg r o u pc o i n c i d e sw i t ham a x i m a l c o m p 觚t c o m l e c ts u b g r o u po ft h eg r o l l ph o l o m o r p h i ct r a n s f o r m a t i o n so f t h em a n i f o l d 4i na6 x e d a f e rc l a s s ，t h ee x i s t e n c eo fak a f e rm e t r i cw i t hc o n s t a i l t s c a l a rc u r v a t u r ea n da 舯e x t r e m a lm e “i ca r em u t u 郇l ve x c i u 或v e i nb r i e f ，ac o m p a c t ，c o m p l e xm 砌f o l ( 1w i t he x t r e m a lm e t r i ci sm o r e s y m m e c ， r i ct h a na g e n e r i ck 五 f e rm a n i f b l d 1 1 1c o m p a e tr i e m a n n i a ns u r f a c ec a s e ，a n ( 、x t r e m a 】m e t r i cm u s th a ec o n s t a m ts c a l e rc u r v a t u r e m o r e o v e r ，e g 啦a b i f l l h a dc o n s t r u c t e ds o m ee x a m d l e st os h o wt h e r ee x i s t ss o m ee x t r e m a lm e t r i c w h o s es c a l a rc u r v a t u r ei sn o tc o n s t a n t t h e r e f b r e 他c a nr e 卫a r de x t r e m a l m e t n ca sam o r eg e n e r a 】o b j e c tt h a nt h em e t r i cw i t hc o n s t a n ts c 出a rc u r v a _ t u r et od i s c u s s h o w e v e r 、t h ee o m d i e t e n e s so ft h ee x t r e m 甜m e t r i cc a nn o tb e g u a r a n c e e d 2 ：t h a tj s ，i t i sn 。tt r u et h a 志i ne v e r y 耳a 危f e rc l a s st h e r ee x i s t s a ne x t r e m a lr n e tr i ch o w e v e r ，i td o e sn o ta f f b c to u ri n t e r e s tt oi t i nt h e1 a s td e c a d e s m e t r i c sw i t hs i n g u l a r l t i e sh a v eb e e ni m p o r t a n tr o l e s i nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s an a t u r a lq u e s t i o nj sw h i c hp r o p e r “e sa i le x t r e m a lm e t r i ew i t hs i n g u l a r i t i e sh a s w h a ta r et h ed i 符莳e n c e sb e t w e e na n t ：) ( t r e m a lm e t r i cw i t h o u ts i n g u l a r i t i e sa n da ne x t r e m a lm e t r i c 晰t hs i n g u l a r i 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文 第v 页 a b s t r a c t t i e s t b e r ea r es t mm a 口yo p e np r o b l e m s f k o p l ew a n tt os t u d ya ne x t r e m a l m e cw i t hs i n g u l a r i t l e so nac o m p a c tr i e m a n n j a j ls u r f a c ef i r s t ah c m i j m e t r i ci s a c c u 出l ya ne x t r e m a lm e t r i cw h l c hi st h es i m p l e s to n ee x c e p tt h e m e t r i cw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e g e n e r 址i yp e o p i ec a ns t u d yam a t h e m a t i c a lo b j e c ti nt w ow a y s o n ei s t os t u d yt h ee l e m e n t so ft h eo b e c t ，t h er e l a t i o n sb e t w e e ne l e m e n t sa n dt h e s t r u c l u r eo ft h eo b j e c te t ct h eo t h e ri st os t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h i s o b j e c ta n do t h e ro b j e c t sl ns o m el a r g e rs p a c e f o ri n s t a n c e ，f b rt h es n i d y 。f g r o u p ，p e o p l es t u d ys u b g r o u p n o r m a l 吼l b g r o u p ，t h eo r d e ro fe l e m e n t sa n d t h ed e c o m p o s i t i o no fi te t cm e a n w h i j ep e o p i es t u d yh o m o m o r p h i s ma n d i s o m o r p h i s mb e t w e e ng r o u p s f o rah c m u m e t r i c ，w es t u d yi ti nt h es a m e 、v a 哕s w es t u d yt h eb a s i cs t r u c t u r eo fah c m u m e t r i c ，t h ee l e m e n t ，t h e p r o d e r t i e sd ft h ee l e m e n ta n dr e l a t i o n sb e t w e e nt h ee l e m e n t s t h e s es t u d i e s c a nb ei n v 0 1 v e di n t f ) ab l gp r o b i e m 1 ti sh o wt od e t e r m i n eah c m u m e t r i c ，i h i s p r o b k m j sn o ta b s o l u t e l ys o i v e d ，b u tj t i sr e d u c e dt oac o m b i n a t o r i a i t o p 0 1 0 9 l c a lp r o b l e m i nt h eo t h e rw a ，w ec o n s i d e rt h ev a r i a t i o n a lp r o p e r t i e s o fah c m um e t r i c i n ( i e t a i l ，w ed u tah c m um e t r i ci m oav 跗i a t i o n a l s p a c ea n dc o n 萄d e rt l l ef i r s tv a r i a t i o n a jf o r m u l aa n dt h es e c o n dv a r i a t i o n a i f o r m u l a a b o u tt h eq u e s t l o nw h e t h e ro r 】1 0 tt h es e c o n d 、，a ，r i a t i o i 】o fah c m u m e t r i ci sn o n n e g a t i v e ；a j t h o u g hw eh a v en o ts o i v e di t ，w er e d u c et h ep r o b l e 瑚 v e r ym 眦c h b e s i d e sa b o v et w oa s p e c t sa b o u th c m um e t r i c ，t h e r ea r es o i n e a p p l i c a t i o n s f o ri n s t a n c ew ew l l lg e tt h ef o r m u l a so ft h ea r e aa n dt h ee n e r g y ) fah c m um e t r i cb vs t u d vo ft h es t r u c t u r eo fah c m um e t n c t h ef o l l o w i n gj s 心es t r u c t u r eo fl h i sa r t 训e i nt h e6 r s tc h a p t e r ，t 1 1 e d e 6 州t i o no fa ne x t r e m a lm e cw i t h o u ts m g u i a r i t i e sw i l lb eg i v e n i i lt i l e s e c o n dc h a 肪t e r t h ed e 丘n i t j o no fh c m um e t n cw i l lb ei n t r o d u c e d t h e nw e w i l ld i s c u s st h eo b s t r u c t i o no ft h ee x i 5 t e n c eo fi ti nak s u r f a c ea n ds o m e i 【t l p o r l a n tp r o p e r t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r t h em a i np a r to ft h ea r t i c l e ， w e 强r 1 1 1s t u d vt h es t r u e t u r eo fnh c m ui n e r i ( 、t h ee l e m e n to fi ca n dt h c e x ) s t e n e eo fj j nak s u r f a c e b e s i d e sl h o s e w ew i l g i v et b ef o n n u l ao f t h ea r e aa n dt h ee n e r g yo fah c m um e t r l c i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ew 1 1 l 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第v i 页 a b s t r a c t ( 1 i s c u s st h ep r o p e n i e so f 出es e c o n d 、阻r i a t i o no fa ne x t r e m a lm e t r i cw i t h o u t s i n g u l a r i t i e sa n dt h ep r o p e r t l e so ft h es e c o n dv a r i a t i o no fah c m um e t r i c 致谢 我以本文表达对所有关心和帮助过我的人真诚的感谢 这篇文章是在陈卿和陈秀雄两位教授的指导下完成的，内容是我最近两 三年内对e x t r e m a l 度量的和h c m u 度量的学习总结和研究成果在这里首 先要感谢两位教授，感谢他们在学术上对我的悉心指导和生活上的关怀同 时，我也要感谢彭家贵教授，他虽然在北京，但也时时刻刻关心我的成长， 经常给我有益的指导和建议我还要感谢我的师兄左达峰和贺劲松，他们时 常给我鼓励和支持，与他们一起讨论数学问题，对我帮助非常大我还要感 谢我的师弟，师妹，何晨旭，何维勇和程永君以及我的同学程永宽，樊旭川， 刘琼林，龙寿伦，申立勇和魏达盛还有数学系的黄稚新老师，张伟老师，张 韵华老师他们在我成长历程中，也给了我很大的帮助和支持 最后，我要感谢我的父母，在我情绪低落的时候，能给我充分的理解， 支持和鼓励向你们说声：谢谢! 第一章引言 近十几年来，数学和物理中都很关心有奇点的e x t r e m a l 度量我们在 文中所讨论的h c m u 度量实际上就属于这一范畴e x t r e m 砒度量是1 9 8 2 年eg o f n 觇 1 引入的，令m 是一个n 维的紧致无边的复流形，在它上面 有一个k 画h f e r 度量在局部的全纯坐标系下z = ( z 1 ，z “) ，假设度量 d s 2 = g 们d z 。9 d 2 口， 其相应的i m e r 形式 u ：掣d z 。 出口 在上述假设下，我们固定u 所在的d e r n m 上同调类q ，并考虑其中正定的 1 ) 形式，也就是k 矗是搪r 形式。下面是一些复几何中常用的张量记号，并 假设以下讨论的都是紧k i e r 流形 ( 9 卢。) = ( 9 。8 ) 一1 ， ( j h n s t o e t 祷号 r b 叫1 警，r b = 巧， ，“c ” n n n 曲率张量的分量 ，= 器，删趔知， r 2 z 曲率张量的分量 玩。划旷笔糍掣， 数量曲率 r = 9 “尺8 6 于是在f 2 中，我们考虑能量泛函 地) = 厶购y ( 珐 它的一阶变分的临界点称为e x t r e m a l 度量下面将具体说明它所满足的条 件及定义的合理性 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第2 页 第一章引言 命题1 1 ：设妒是紧a m e r 流形上的一个实的，恰当的( 1 ，1 ) 形式，则一 定存在一个流形上的实函数u ，使得 妒= 、一l a a 珏 证明：由妒是恰当的，则存在1 一形式日，使得垆= 础将p 分解成( 1 ，0 ) 部 分与( o ，1 ) 部分，则p = 口1 一o + 目o ，一， d 目= ( 0 + 舀) ( p 1 ，o + 扩1 1 ) = 6 咿1 o + 5 口1 ，o + a 口o ，1 + 石9 0 t 由妒a 1 ，1 m ，则鼬o ，1 = a 矿，o = 0 利用月。a l g e d 。f 6 e t n 分解， 伊1 = h ( 自o ，1 ) + 5 ，口1 ，o = 日( 日1 ，o ) + 的 其中日( 8 0 t 1 ) 与h ( 伊，o ) 是调和形式，9 是流形上的函数则= 硼= 扫p 1 ，o + a 目o ，1 = 5 a 9 + a 石，= a 5 ( ，一9 ) 我f 令，一9 = 十、，二t 钍( 仳， 是实 函数) ，则妒= 扣十了“) = a 鼬+ 户i a 乳，但由于妒是实的，即妒= 9 ， 贝0 有a 5 u = o ，于是妒= 、，q a 5 u 口 由命题1 1 则如果另外有一个i 州e r 形式u 7 q ；则存在流形上的实 函数u 。使得u 一u = 孚胡“，在局部全纯坐标系下，有 ，a 2 “ 9 n 口一9 。日2 石而 u 称为势函数 一般地，在一个k 蕴 拒r 流形上，它的体积元是 州9 ) ：筚抛( 州 如n 他i a 吨n ：抄】 其中， 一 u j i 0 1 = 1 ，u = w u 陋一川 并且在它上有下面一些有意义的不变量： a ) 体积 v ( 口) = d y ( 9 ) ， j f 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文 第3 页 叁三童! ! ! 一 b ) 曲率积分 pr 再( 9 ) = r d y b ) ，e ( 9 ) = r 2 d y ) ， j m j 肭 q ( 9 ) = 79 口。9 肼r 。口r d y ( 9 ) ， j m k ( g ) = 9 。7 。9 4 4 7 9 1 r 。砌伊d y ( 9 ) j m 但是在q 中，这些不变量不是独立的，有下面的 命题1 2 【1 1 ：下列泛函在n 中是常数， v ( 9 ) 瓦( 9 ) ，q ( 9 ) 一e ( 9 ) ，k ( 9 ) 一q 白) 证明： l _ v ( 9 ) 由 y ( 9 ) = u h j m 州，= 厶u “q = 厶+ d 洲叫= 厶】+ 厶 但由于u 是闭的，则是恰当的，尉厶= o 2 葡( 9 ) 我们考虑r z 形式，。= 户r r 。口d z 。 d 妒是闭的对于在 n 中另外的k a m e r 度量，设它的崩c 吼形式是j 则 弘耻厅掣掣护眦。， j 一1 = 、j 赢若挚哎护 d 舻， 注意到；竺婴实际上是两个体积元的比，因此是整体定义的函数所 d 已1 9 j 。 以，邑一，= 二i 硒1 0 9 塞渊敬毯与l 在同一个上同调类中+ l u h 一1 】= 4 、二了( a 1 ) u i 川 其中a 算子是从a p 扎叶1 m 到a m 的映射，在局部坐标下，若 咿= 妒。1 。，岛扁岛d z 。 - d z 。八d 2 岛 - d 三岛， 2 0 0 5 年 中国科学技术大学博士学位论文笫4 页 第一章引言 其中妒的分量的下角标反称，则 惦孚( - 1 ) 叫产。哪岛驴m 吨彩 _ 吨岛 而a 1 = 罢由i 与1 在同一个上同调类中，而u 【“一1 】与u 咖一1 1 也 在同一个上同调类中，因此，吕 u 加一1 】与l u 【n 一”在同一个上同 调类中，则积分相等所以瓦( 9 ) 在q 中是常数 3 q ( 9 ) 一e ( 9 ) 为了证明它在q 中是常数，我们考虑e p u 卜“，则它与 掣 u h 2 1 在同一个上同调类中而 c 2 1 u h 一2 】= 2 ( r 2 9 加9 觚r 。口r 扣) u h 因此，q ( g ) 一e ( 9 ) 在f 2 中是常数， 4 q ( 9 ) 一k ( g ) 为了证明它在q 中是常数，由3 我们只需证明2 q ( 9 ) k ( 目) e ( 9 ) 在q 中是常数为此考虑 e 2 = ( f 艺口。r ：巩一兄始。兄：n ) d z 。 d z 4 d 2 6 d z l 实际上，手。所在的上同调类是丛t 1 1 。m 的第二陈类。由于陈类 与联络无关，因此，：与。在同一个上同调类中，则2 u h - 2 】与 ；八【“一2 j 在同一个上同调类中因此，在q 中厶2 u 【n _ 2 】是常数 另一方面 2 u 【7 2 2 】= ( 2 r a 争r 。卢一吃。 5 r 。口口1 一r 2 ) u 【“ 其中兄。口= 、9 。“9 沁，r 。口。1 = 矿。9 趔9 厨9 弧墨盯5 于是2 q 国) 一k ( g ) e ( 9 ) 在q 中是常数口 因此，由命题1 2 ，关于k ( g ) ，q ( g ) e ( 9 ) 在q 中的变分问题是彼此等 价的那么，为了方便起见我们考虑e ( g ) 在s 2 中的变分问题 下面是一些技术性的准备工作，具体请参阅酋先，我们声明把协变 导数的指标写在函数的右下方，前面有个逗号；反协变导数的指标写在函数 的右上方，前面有个逗号；求导的顺序按从左到右例如： d 妒= 妒，d z 。十妒丘d 2 腰 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第5 页 第一章引言 这里妒、。= 豢，妒，8 = 券再比如，v 妒= 妒4 嘉+ 妒力参，这里妒4 9 肛。妒。西，妒，卢= 口口。妒，口 下面是一些直接与e x t r e m a l 度量有关的记号 1 印2 0 c e 一算子 却= 9 触巍一，叫“。d z ”口 1 2 l i c n r o t u i c z 一算子， 如= a ，如= 弛鼬筹杀) = v 如胁筹杀) 蹦 = 未( 9 胁患) 杀 舻叫“踯杀。 因此，l 是由丛a o t o m 的截面到丛t 1 ，o m a o ，1 m 的截面的映射 3 上的伴随算子l + l + ：r 1 ，o a f a o 、1 m ，a o t o m 本质上是由t 1 ，o m o a o t l m 上的h e r m i t e 内积诱导的我们假设 e 1 ，e 2 ， 为丁m 上的局部日e r m z “n 单位正交基， 叫l ；训2 ，叫。) 为其对 偶基于是任意一个丁1 ：o m a o ，1 m 上的截面，局部上可以写成x = 砖e zo w 则可在t 1 ，o m ” 1 m 上定义打e r m 泓内积 ( x ，y ) = 厶不巧丐d 矿 贝0l 4 定义为( l 垆，讪) = ( 妒，l 8 妒) a o - 1 m 上的截面我们若假设砂 杀( 护易( 蜘蚓】_ 其中( p 是a 。，o 上的截面，妒是丁1 、o m = 砂杀 舻删枷= g 所蛉，= 4 复合算子d = l 这是一个复值的，自 半算子它有多种表达方式 如果用张量形式来表达，则 d 妒= 妒。乞。= 妒1 皂口口+ ( 妒。r ：) 目= ；妒十妒。卢r 。声十妒卢r ，口 e 。) 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文 第6 页 墨三兰! ! ! 在这里磁= 9 叩r 妒或者d 完全用度量的分量来表达，则 。妒= 产杀 易队。刍( 等) ) ， 5 ，d 的共轭算子石它的定义是d 妒= z i 丽 由上述定义，我们有对于妒，妒a o ，o m ，( l 妒，l 妒) = ( d 妒，妒) = ( 妒，d 妒) 因 此，d 是一个定义在m 的函数空间上的半正定的，自伴算子并且d 妒= 0 当且仅当工妒= 0 ，或者15 妒是一个全纯的向量场 d 与面的关系是 ( 面一d ) 妒= r 。妒，。一r ，。妒4 因此，我们有f 面的引理 引理l 1 【2 1 = 若对任何的妒a 0 ，o ( m ) ，d 妒= d 妒当且仅当r = c o n s z 而 且d r = d r 对任何i m e r 度量都成立口 下面我们来计算e = 厶r 2 d v 的变分设妒为m 上的实函数，我们 考虑( g 。5 ) 沿着妒方向的变分是 蜀2 ， 9 0 一蛐2 。石豢，( e e ) ( 11 ) 则 因此 驴= 厶z 甄r a v + 厶胸 屯d y = a 妒d 矿 巧口月= 一；妒一妒：。卢r 。日= 一d 咿十妒。r ，。 ( 12 ) ( 13 ) ( 1 4 ) 如e = 1 2 r ( 一d 妒+ 妒。j r ，。) + r 2 5 妒j = 一z ，。删v 十厶( 2 黜。矿十砰荆吖 = 一2 厶。洌y 十小姒殿矿州y = - 2 厶巩剐y = 一2 ( d r ) ( 15 ) 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第7 页 第一章引言 因此，泛函e 的e 州e r l n 筘n n 驴方程为 d r = o f 1 6 1 或者等价地， l r = 0 f 1 7 1 这样的度量拔称为e x t r e m 越度量显然若度量满足r = c 。他s f ，则必为 e x t r e l n a l 的在f 1 1 中，c n 2 曲i 证明了如下的 定理1 1 ”在紧黎曼面情形下，e x t r e m a l 度量与r = g o n 时的度量等 价 口 并且他1 1 举出了在高维e x t r e i n a l 度量但不具有常数量曲率的例子 关于e x t m m a i 度量，我们还可以把它与单值化定理及其推广y n m 。6 e 问题进行一下比较后者是问在每个保角等价类中是否存在着常数量曲率的 度量而p x t r e m a l 度量的问题是在同一个k 画 z e r 等价类中( 实际上是上同 调类中) 找出一个比较好的度量问题是不同的，在紧黎曼面的情形下，对 于给定的复结构来说，任何的两个与复结构相容的度量彼此之间都是保角等 价的但是却未必都在同一个i f e r 等价类中这需要下面的 命题1 3 ：在紧黎曼面上两个光滑的度量如果在同一个k i 把r 等价类中， 当且仅当它们有相同的总面积 证明：( 号) 由命题1 2 ( 仁) 设两个度量为g ，9 ，相应的面积元为u ，u 7 为此，我们先证明： 若紧黎曼面上的2 一形式妒，满足厶曲= o ，则存在m 上的函数，使得 驴= a 6 ，由h o 咖e 一_ d o 胁e n n 分解，我们可设 曲= ( h ) 十6 a = ( 妒) + 石a 1 o = ( 日毋) + d a l o 其中( 日驴) 是甘一d 分解中的调和形式，设( 日) = 胁，则由儿是调和的，可 得0 ，l = o 及硼= o 即 为常值函数，但是由厶一l d a l l o = o ，可知h 为o ，即p = 5 4 1 一由0 a ，o = 0 ，则4 1 ，o = ( a 1 ，o ) + a ，但由参量( a 1 ，o ) = o 、 则= 一帕，现在设u = a u 则由总面积相等得厶( a 1 ) u = o 弛 ( a 1 1 “= ，因此，u 与“所在的上同调类相同 口 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第8 页 第一章引言 凑巧的是，由定理ll ：在紧黎曼面情形下。这两个问题的答案是同一个， 都是常数量曲率度量曲面而且我们可以利用单值化定理来说明e x t r e m a l 度 量的存在性但在高维e x t r e m a l 度量的存在性是不能保证的 2 】 第二章带奇点的e x t r e m a l 度量，h c m u 度量 设m 是紧致无边的，可定向的光滑黎曼面m 。 ( 越 o ，。= 1 ，2 ，n ) 表示相应于m 的k 曲面一个黎曼度量9 在曲面上光滑， 是指它满足如下两个条件： 1 g 在除奇点 舶，芦2 ，p 。) 以外的地方光滑； 2 对于任意的z ( i = 1 ，2 ，一，n ) ：度量9 在n 处有奇角度o ， 条件2 的意思是在m 的小邻域内，存在局部复坐标系( u ，z ) ( z ( a ) = 0 ) 使 得 l。 9 i ，= ( z ，j ) 志2 ( 2 1 ) 1 2 l 其中h ：u r 是正的连续函数并且在，f 吣处光滑根据在引言中的 关于单值化定理和e x t r e m a l 度量关系的说明，我们可以看到在紧黎曼面情 形下，e x t r e m a l 度量实际上是有某种限制的单值化问题单纯地把单值化 定理向k 曲面地推广，已经有很多数学家做了工作，比如： 9 ，1 8 1 独立地发 现了k 曲面上存在常数量曲率度量的充分条件 渺x g e n 和g “【2 2 发 现了一个在 r 曲面上存在常数量曲率度最的必要条件工札。和丁i n 竹f 2 6 1 证明了在某些k 曲面上常数量益率度量的唯一性但是，在一般情况下， 在k 曲面上是不存在常数量曲率度量的 陈秀雄【3 ) f 5 】在他的一系列文章中，尝试将e x t r e m a l 度量的研究推广到 曲面上令m 旧，。 是k 曲面并且9 0 是它上面的光滑度量我们 考虑如下变分空间： s ( 9 0 ) = g = c 2 9 9 0 妒瑶2 ( m ) i e 2 9 d 蚰= d 9 0 j n 如i ，p 2 ，阳)j m p 1 ，p 2 ，# n ) ( 22 ) 在这个空间里，我们仍然考虑泛函： e ( 9 ) = 砰d g ：( 23 ) j m p 1 ，p 2 ，加j 注意由命题1 3 ：可知用变分空间5 ( 9 0 ) 来研究能量泛函e ( 9 ) 的变分是合理 的e ( 9 ) 的f u 2 e r 一工n 9 r o 礼9 e 方程是 。兄十尺2 = c | ，( 2 4 ) 2 0 0 5 年 第：章 中国科学技术大学博士学位论文第l o 页 带奇点的e 】( 七r e m m 度量，h c m u 度量 我们仍称满足( 2 4 ) 的度量为e x t r e m a l 度量显然这是一个关于数量盐率 ( 以下简称曲率) r 的二阶微分方程，而d 兄= 0 则是四阶的在下一章中， 我将具体计算出这个居让f e r l 0 9 r n 礼9 e 方程，并比较这个方程与d r = 0 的异同 命题2 1 5 】：9 r + r 2 = g 与差r ，。= o 等价 证明：在p 簪 p ，p 2 ，如) 时，我们可以取p 附近的局部坐标系使得 d 5 2 = e 2 9 l d z l 2 ，则r = 一妒e 一“，这里妒= 2 晚晚妒则方程( 2 4 ) 在 局部坐标下可写成 2 以魂冗e 一2 9 + r 2 = e 两边对z 求偏导数，有 2 晓鹕弦轧a 鹏肛2 ”警瑚蓑= o 把r = 一2 盈魂妒e 一2 p 带入到( 26 ) 第三项中，有 2 魂馥包肛知一4 也侥兄警e 嘶一4 晚晓妒筹e - 2 * = 。 而 也。= 等一z 警蓑 因此，( 2 7 ) 可写成2 晓( r ，：。) e _ 2 * = o ，即侥( r 。) 一o 反过来，若魄( 五。) = o ，有 晓( ，r + r 2 ) = o ， 但是，。r + 冗2 是实数因此， 岛( 9 r 十兄2 ) 一o 则9 r + r 2 = g 口 因此， 一 静一o f 2 5 1 ( 2 6 1 ( 2 7 ) f 2 8 1 f 2 9 1 2 0 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第1 1 页 第二章带奇点的e ( t r e m a l 度量，h c m u 度量 是e x t r e m 出度量的另一种等价的表述形式( 2 9 ) 式有两种特殊情况 r 。：= 0 ，( 2 1 0 ) 和 r 三g 。仡时 ( 2 1 1 ) 我们把满足( 2 1 0 ) 式的度量称为h c m u ( t h eh e s s i a no ft h ec u r v 砒u r eo f t h em e t r i ci su m b m c a l ) 度量原因是 日b s s i o 礼( r ) = v d 兄= r 御d z d z + r ，j ；d 三o d z + r ，= = d z d 乏+ r d 乏圆d 乏 由于r 是实数，r 。= o = r 。= o 因此，如果( 2 1 0 ) 成立，则 日e s 5 。o 扎( 只) = r ，i = d 导 d z + r ，。j d 2 d 牙 并且，r 却= 笔墨= r 是实数注意由于黎曼度量可以写成9 = 譬( 出圆 出十如 出) 则h e s 崩n n ( r ) 与9 成比例所以这种度量称为h c m u 度 量显然，常数量曲率度量一定是h c m u 度量但我们这篇文章中，假设 r 。：= o j r c o 忆s t ( 2 1 2 ) 并且假设h c m u 度量有有限的面积和能量 对于h c m u 度量，我们考虑向量场 、j ( v r ) 1 一= 二t r 。2 晚= 、二_ e _ 2 9 r l 晚( 2 1 3 ) 容易验证，f r ( v r ) 1 i o 为全纯向量场与r 。= o 等价于是有下面的 命题2 。2 【5 ：了( v r ) 1 l o 的实部 铲= ：( 厂j e 一2 一总晚一j e - 2 一亿侥) ( 2 1 4 ) 是k z m n 9 向量场并且，它的积分曲线是曲率兄的等值线 证明：对一般的兄i e m n 礼扎流形而言，假设 e - ，e 2 ，e 。) 为局部单位正 交基， ”1 ，”2 ，蜘“) 为其对偶基则度量9 = 扩设向量场 x = x t e 。，v x = 斛 e 。则x 为k z f f z n 9 向量场的充要条件是， l x q = o ， 2 ( ) 0 5 年中国科学技术大学博士学位论文第1 2 页 第二章带奇点的e ( t r e m 柚度量，h c m u 度量 即l x ( 叫o 驴) = o ：也就是 k l x ( 郇2 ) 训+ 训。 l x ( 叫) = ( 对+ 。x ；) 叫 伽= o 女k 所以，x 为i n 9 向量场的充要条件是 x ：+ x ：= o( 2 1 5 ) 当他= 2 时，在保角坐标系下，9 = e 2 9 i 出1 2 ，令z = z + = 功，取 u j l = e p 如，叫2 = 却；e 1 = e 一9 盈，e 2 = e 一9 吼则 矿= ；( 一e 一”局e ，+ e 一* 飓e 。) y2 i ( 一e 1 局e ，+ 8 1 飓8 z