（基础数学专业论文）格蕴涵代数和lfuzzy双拓扑空间的构造之研究.pdf

中文摘要 本文的主要工作分两部分内容：格蕴涵代数的构造理论；l - f u z z y 双拓扑基于一个l - f u z z y 拓扑的表述和构造理论 一、格蕴涵代数方面 非经典逻辑是人工智能领域中十分活跃的研究方向，是不确定性推 理的理论基础，在非经典逻辑的研究及格值逻辑的研究中具有重要而广 泛的意义格蕴涵代数是徐扬教授为研究格值逻辑把格与蕴涵代数相结 合提出的一个代数系统本文将在格蕴涵代数己有性质的基础上，进一步 讨论格蕴涵代数的性质及结构。具体作了以下三方面的工作： 1 探讨了格蕴涵代数的公理系统的简化问题格蕴涵代数的定义 非常烦琐，有十多个条件所以有很多文献讨论了格蕴涵代数定义的简化 问题 7 ，1 9 最好的结果是文 7 和 1 9 ；证明了满足七个条件的( 2 ，2 ，2 ， 1 。0 ，0 ) 型代数就是格蕴涵代数我们对格蕴涵代数的公理系统做进一 步简化，得到了格蕴涵代数实质就是一个满足四个条件 ( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) ，( a 4 ) 的( 2 ，0 ) 型代数这样大大简化了以往结果 2 链可成为格蕴涵代数的条件和其唯一性的研究主要解决了下 面三个问题：1 ) 不可成为格蕴涵代数的链的例子；2 ) 链可成为格蕴涵 代数的充分必要条件；3 ) 链上“格蕴涵”算子是唯一的充分必要条件 3 格( ，匐上的格蕴涵代数之集的代数结构问题的研究主要解决 了下面三个问题：1 ) 在格( 厶9 上的格蕴涵代数之集上引入了“序关系”， 并且研究了格蕴涵代数之集的序结构特征：2 ) 证明了有限链三上的格蕴 涵代数( i m p ( l ) ， j ) 为二元链；3 ) 讨论了格工上的“格蕴涵”算子是唯一 ( 即：( i m p ( l ) ，气) 是单点集) 的条件 二、l f u z z y 双拓扑空间方面 1 在l - f u z z 双拓扑空间( ，磊，暖) 中给出双拓扑4 , 4 的s u p 一拓扑瓦 和i n f 一拓扑疋的概念，证明了l - f u z z y 双拓扑空间的内部和闭包的一些 运算特性并讨论了它们的复合性质及其复合结果的数量特征，得到了一 系列有趣的结果 2 讨论了s u p 一拓扑8 v 对原双拓扑4 ，最的双良紧性的刻划问题，证明 了在一定条件下l - f u z z y 拓扑空间( ，民) 的良紧性与( l x ，4 ，磊) 的双良紧 性是等价的 关键词：格蕴涵代数，格蕴涵代数的公理系统，l f u z z y 双拓扑空间，双 拓扑的s u p 一拓扑，双拓扑的i n f 一拓扑 a b s t r a c t t h i sa c a d e m i cd e g r e et h e s i si sc o n s t i t u t e db yt w op a r t s ：1 ) c o n s t r u c t t h e o r i e so fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ；2 ) r e p r e s e n ta n ds t r u c t u r et h e o r i e so f l f u z z yb i t o p o l o g i c a ls p a c e s 1 n o n - c l a s s i c a ll o g i ci sa l la c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o ni nt h ef i e l do fa r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c ea n dal o g i cf o u n d a t i o nf o ru n c e r t a i n t yr e a s o n i n g i nt h es t u d yo f n o n - c l a s s i c a ll o g i c ，l a t t i c e - v a l u e dl o g i cs y s t e mi so fe x t e n s i v es i g n i f i c a n c e l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sa na l g e b r a i cs y s t e mc o m b i n a t i n gl a t t i c ew i t h i m p l i c a t i o na l g e b r a i ti sf i r s td e f i n e db yp r o f e s s o rx uy a n g i no r d e rt os t u d y l a t t i c e v a l u e dl o g i c t h e r ea r em a n yr e s e a r c hp a p e r sa b o u tl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r aa n dr e l a t e dl o g i c i nt h i sp a p e r , t h ep r o p e ra n ds t n l c t u r eo fl a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r ai sf u r t h e rs t u d i e d t h ef o l l o w i n gw o r k sh a v eb e e nd o n e ： 1 ) r e s e a r c ho nl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r aa x i o m ss i m p l i f i c a t i o np r o b l e m t h ed e f i n i t i o no fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sv e r yt r i v i a l ；t h e r ea r em o r et h a n t e nc o n d i t i o n s ，s ot h e r ea r eal o to fl i t e r a t u r ew h i c hh a sd i s c u s s e dt h ei s s u eo f s i m p l i f l y i n gt h ed e f i n i t i o no fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a t h er e s u l to np a p e r s 【7 ，1 9 】i st h eb e s t i tu s e dt od e s c r i b et h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ab ys e v e n c o n d i t i o n s o u rj u s t i c et o l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r as y s t e md o e saf u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n t h es u b s t a n c et h a tg o tl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sa t os a t i s f y f o u rc o n d i t i o n s ( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) ，( a 4 ) o f ( 2 ，0 ) t y p ea l g e b r a s oi ti sm o r e s i m p l i f i e dt h a nt h ef o r m e rr e s u l tc o n s u m e d l y 2 ) s t u d yt h ep r o b l e mo fc o n d i t i o n sf o rc h a i nt o b el a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r a m a i n l yt h ef o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m sh a sb e e ns o l v e d ： ( 1 ) e x a m p l eo f t h ec h a i nt h a tc a n n o tb e c o m et h es t a n d a r dt oc o n t a i nt h e a l g e b r a ( 2 ) t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ec h a i nt h a tm a y b e c o m et h es t a n d a r dt oc o n t a i nt h ea l g e b r a ( 3 ) t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f c h a i n ”l a t t i c ei m p l i c a t i o n ” i st h es o l eo p e r a t o r 3 ) s t u d yo nt h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo f t h es e to fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s m a i n l yf o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m sh a sb e e ns o l v e d ： ( 1 ) t h eo r d e rr e l a t i o n so nt h es e to fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a si n l a t t i c e ( l ，句w e r ei n t r o d u c e d ( 2 ) p r o v e dt h a tl a t t i c eo fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a si nf i n i t e dc h a i ni s c 2 ( 3 ) t h eu n i q u e n e s sc o n d i t i o no ft h el a t t i c ei m p l i c a t i o no p e r a t o r si s s t u d i e d 2 i nt h el f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e 1 ) p r o v e dt h a tt h el - t o p o l o g i c a ls p a c ea n dt h ec l o s u r eo fs o m eo p e r a t i o n s t ot h ei n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c s t h e ya l s od i s c u s s e dt h ec o m p l e xn a t u r ea n dt h e c o m p o s i t er e s u l t so ft h eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i s t i c s ，as e r i e so fi n t e r e s t i n g r e s u l t sh a sb e e ni n s t r u c t e d 2 ) p r o v e dt h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ec o m p a c t n e s si nl f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e ( ，瓦) i se q u i v a l e n tt ot h eb i - e o m p a e t n e s si nl f u z z y b i - t o p o l o g i c a ls p a c e s ( f f ，点，嘎) ， k e yw o r d s ：l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a a x i o m s ，l - f u z z yb i t o p o l o g i c a ls p a c e ，s u p - t o p o l o g i c a lg ， i n f - t o p o l o g i c a l 疋 内蒙古师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 经典的二值逻辑是基于确定性的逻辑系统虽然它是确定性信息处理的一种十分有 效的工具，但它却无法直接有效地刻画人类基于不确定性信息的思维活动于是，人工智 能、控制理论等相关应用领域的研究人员纷纷提出各种各样的逻辑系统，如多值逻辑、模 糊逻辑、模态逻辑和直觉主义逻辑等，试图为智能控制中的不确定性推理建立合适的逻辑 基础 1 9 2 0 年，l u k a s i e w i c z 提出了一个三值逻辑系统，稍后不久，p o s t 又提出了一个完备的多 值逻辑系统，经典的二值逻辑系统是p o s t 的多值逻辑的一个特例l u k a s i e w i c z 和p o s t 的工作 具有划时代的意义，他们的工作极大地推动了多值逻辑的发展1 9 6 5 年，美国著名的控制论 专家l a z a d e h 教授提出了模糊集合的概念，标志着模糊数学的诞生1 9 6 7 年，g o g u e n 将模 糊集的概念扩充到l 型模糊集上，并提出了基于完备格序半群的第一个格值逻辑形式系 统1 9 6 9 年，他提出了模糊逻辑的第一个形式系统，其真值域可以不是 0 ，1 】区间，而是一个 带有附加运算”“的格，以加强对相应语义系统的表达能力1 9 7 6 年，m o r g a n 等应用格值真 值代数研究逻辑系统，并给出了二值p o s t 逻辑和算法逻辑的证明系统1 9 7 9 年。p a v e l k a 提出 了一个真值集为丰富剩余格的模糊命题逻辑系统，并证明了许多关于可公理化的重要结 论值得指出的是，p a v e l k a 的模糊逻辑理论已经成为近代模糊逻辑研究的重要工作之 一。1 9 8 2 年之后, n o v a k 将p a v e l k a 的工作扩充为一阶模糊逻辑h d j e k 根据积三角范数和 g o g u e n 蕴涵，提出了积逻辑系统1 9 9 8 年他又根据连续三角范数及其诱导的剩余型蕴涵的 性质，提出了一种通用的形式系统b l ，称为基本逻辑( b a s i cl o g i c ) 以后。2 0 0 1 年，e s t e v a 和 g o d o 基于h d j e k 关于连续三角范数基的逻辑工作，提出几个有趣的新系统m t l ( m o n i d a l t - n o r m b a s e dl o g i c ) ，i y n m ( w e a kn i l p o t e n tm i n i m m ) ，1 m t l ( i n v o l u t i v em o n o i d a lt n o r m - b a s e dl o g i c ) 和n m ( h i l p o n e n tm i n i m u m ) b l 系统和m t l 系统已经建立了相应的 一阶逻辑系统且进行了深刻、细致的研究工作1 9 9 8 年，h h n l e 利用b i r k h o f f 关于有限分 配格的表示定理得到了分配量词的表格形式的公理化系统1 9 9 7 年之后王国俊等研究了 格蕴涵代数和l - f a 互y 双妊扑的构造之研究 一类代数上的逻辑学，得到了一系列重要的结果关于非经典逻辑系统的研究，现在己取 得了大量成果，它为人工智能与智能信息处理提供了理论基础 上面提到的非经典逻辑的研究中，虽然有人提出了格值逻辑的概念，但大多关于格值 逻辑的结论是在【o ，l 】区间或有限链的前提下取得的它不能解决具有不可比较性的问题， 因此在理论及应用上有很大的局限性为了解决这一问题，徐扬教授在研究多值逻辑和不 确定性推理的过程中将格与蕴涵代数相结合提出了格蕴涵代数的概念随后徐扬教授等 人对以格蕴涵代数为真值域的格值命题逻辑系统进行了深入的研究 本文的第二章、第三章和第四章是在上述背景下开展研究的作者通过进一步研究 格蕴涵代数的性质，解决了格蕴涵代数的公理系统简化问题、链可成为格蕴涵代数的充分 必要条件和其唯一性问题以及格上格蕴涵代数之集的结构问题 l - f u z z y 拓扑学是拓扑学的重要研究方向之一，其研究从1 9 6 8 年c l c h a n g 提f u z z y 拓扑空间概念的第一篇论文起，至今已有3 0 多年了在这3 0 多年中，它的研究已从初始的 模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同一般拓扑学的特有 风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它新的生命力 1 9 8 9 年，m a s h h o u r 等引进不分明双拓扑空间的概念，并且定义了不分明双拓扑空间中 的“口紧”m ，e a b d ，e l - m o n s e t 瞎在文献 1 3 1 中，在f 拓扑空间中详尽地研究了双紧性。 本文的第孟章、第六章是在上述背景下开展研究的引入了l - f u z z y 双拓扑空间 ( r ，磊。磊) 的s u p - 拓扑瓦和i n f 拓扑五的概念，证明了l f i | z z y 双拓扑空间的内部和闭包的 一些运算特性解决t s u p - 拓扑瓦和h i f - 拓扑氓对原来双拓扑4 五的刻划问题 1 2 预备知识 本节简要介绍格及格蕴涵代数和l - f u z z y 双拓扑空间的一些概念和相关知识 1 2 1 格蕴涵代数 定义1 2 1 1 1 1 在一个偏序集( 厶匐中，如果任意两个元z ，都有上确界x v y r - f 确 界x y ，则称偏序集( 工，蔓) ( 或简称三) 为一个格 如果格满足： d i ) z o v z ) = o 力v o a ：) ： 2 内簧古师范大学磺士学位论文 d 2 ) x v0 t z ) ；( x v y ) o v z ) 则称格上为分配格 j 9 3 ( 1 2 2 嗍称格( 厶v ， ? ) 是一有余格，如果 c ) 是工的一个逆序对合映射 t i p 1 ) 口s b 铮6 s 4 ，2 ) ( 口) = a 定义1 2 3 1 2 1 称有界格( 厶v ， ，) 是一b 0 0 l 啪格，0 ，1 分别是三的上下界，如果 a ) 工是分配格： b ) 是z 一三的一个补映射 。 即：对任意的口l1 ) a v = i ，2 ) a a a = 0 定义1 2 4 ”i l ( l ，v ， ? ) 是一有界的有余格，一：工x 厶三是一映射，称( 厶v ， ，” 为一格蕴涵代数，如果对任意工，弘z l ， 0 1 ) x 一一z ) = y 斗o 一= ) ； ( 1 2 ) 工_ x = l ； ( 1 3 ) 工寸y = ，寸善； ( 1 4 ) z - + y = y - - + 善= l j 工= y ； ( 1 5 ) “_ 力_ y = 一专z ； ( l 1 ) o v 力一z = o - - k g ) a 【y - - - h z ) ； ( l 2 ) 0 力寸：= o 斗z ) vo ，寸：) ； 例1 2 1 设e = 0 = q ，码，= 1 是一疗元链， 0 = 口i 吼 6 ) 显然v x e c ，工_ 工= 1 ，即：( t 2 ) 成立，由( s 1 ) 条件得： 如果对任意x , y , g e c ，( 1 1 ) 工寸【y 寸z ) = y 寸扛斗= ) 成立 又由( s 2 ) ，( s 3 ) 条件，对任意x , y e c ，工寸y = y 一, t i - 和o _ y ) 寸y = o 斗工) _ z 成立： a l l 0 3 ) 0 5 ) 成立 对于z ，y c ，由于工与y 可比，不妨设工s y ，所以由工呻y = y _ 工= l ，得：y s 工， 故z = y 即0 4 ) 成立再由纯的保序性知( l 1 ) 和( l 2 ) 成立 内蕾古师范大学硕士学位论文 事实上定理3 2 2 的逆命题也是真的 定理3 2 3 设c 是一条链，是其上的一个反同构映射，并且( c 。v ， ? 一) 是格蕴涵代 数，则对于任意的口ec 都存在同构映射 亿：【0 ，口卜【以l l c o ( x ) = 口啼了 使得 ( s 1 ) 对于任意的a , b c 有：仍。体= 死。死 ( s 2 ) 对于任意的a , b c 有：死( 6 ) = 死，0 ) ( s 3 ) 对于任意的口c ，则有：( j ) = 口( x e z ) 证明：易由定义1 2 4 推出，略证 注3 2 1 例3 1 2 中，当a e ( 0 4 ，0 7 ) 时，口，- - a e ( 0 4 ，0 7 ) ，由于【0 , o 】有原子，无对 偶原子；而f ，l 】有对偶原子，无原子，故可以得到：【0 ，口】与【口，l 】是不同构的，据定理3 2 3 知( c ，v ，a , 1 ) 不可成为格蕴涵代数 3 3 链上“格蕴涵”算子是唯一的条件 本节讨论什么样的链上的“格蕴涵”算子是唯一的，首先证明一个有限链的“格蕴涵” 算子是唯一的条件 设( 厶匀是有界的有余格，用i m p ( l ) 表示l 上的蕴涵算子之全体 定理3 3 1 设e 是一条有限链，其元素是：o = 口i a 2 q = l ，则e 一定可以 成为格蕴涵代数，并且其上的“格蕴涵”算子是唯一的充分必要条件是一= l 2 ，3 证明：由例1 2 1 给出了( i m 呱c ) ，) 的“格蕴涵”算子得：e 一定可以成为格蕴涵代 数，又根据后面的定理4 2 3 得( 却( g ) s ，) = _ s ，_ d ) 由o ，嘞的定义知：屯= 一d 的 充分必要条件是一= i ，2 ，3 故定理得证 定理3 3 2 若无限链c 可成为格蕴涵代数，则其上的“格蕴涵”算子是不唯一的 证明： 设c 是一条无限链( 即：i c l 是无限集合) ，又它可以成为格蕴涵代数， 所以_ 。是它的一个“格蕴涵”算子下面构造c 的另一个“格蕴涵”算子 1 9 格蕴涵代数和i - t u z z y 取拓扑的构造之研究 由寸的定义，首先有：( 力= 石一y ，对于每个给定的x 都是递增函数，所以( l 1 ) 和( l 2 ) 成 立同时显然有： 0 2 ) j 呻工= l ； ( 1 3 ) 工_ y = y 一j 7 ； ( 1 4 ) 工 y = y - - 9 x = l j 工= y ； 0 5 ) 0 一y ) - y = 【y 一工) 一工； 成立并且有：工呻y 一v y 下面证明( 1 1 ) 也成立对于任意工，弘z e 三 ( 1 1 ) x o 叶力= y 一0 一：) 成立 事实上，由定义得： 工j ，2 口 蒜x=a,y二ay 一暖舞 工= 口，口 口 1 。“，7 。 y ：叩 j h 垆阳1 d 卸 工= 1 ，j ，= 口 。 7 1 所以，当 口，口) n x ，y ，z ) = o 时，( 1 1 ) 显然成立当 口，a ) n 工，y ，：) a 时，j ) 若 x , y ，2 口，口，) ，则( 1 1 ) 显然成立；2 ) x , y ，z 中有两个取于 口，口) 则( 1 1 ) 显然成立；下面证明 x , y ，：中只有一个取于 口，a ) 的情形因为： = 匕 x v ac 鬻屯器 所以：x _ ( y 一口) = y 斗0 专a ) 和x _ o a ) = y 寸o a ) 成立 同样可得：x , y 中有一个取于 口，口) 时( 1 1 ) 也成立 内毒古师范大学硕士学位论文 第四章格l 上的格蕴涵代数之集的代数结构 4 1 基本概念 设( 厶) 是有界的有余格，下面首先在( 厶) 上引入序关系， 定义4 1 1 设一l ，一2 i m p ( l ) ，则寸- ，寸2 定义为：对于任意a , b l 均有： a ib s a 呻2b 显然，满足自反性和反对称性，即：1 ) 对于任意_ i m p ( l ) ，有_ ，啼成立；2 ) 对于任意_ i ，j 2 i m p ( l ) ，呻i 专2 ，一2 5 ，呻l 可得到：一i = 寸2 又若一l s ，一2 ，_ 2 ，一，则由定义，有对于任意a , b 三 。a ib s a 呻26 ，a 寸2b s a l b 进一步得： 口寸lb s a b 即： 一。s ，- 4 ，所以与满足传递性因此，s ，是l m p ( l ) 上的一个偏序关系即： 定理4 1 1 ( i m p ( l ) ，s ，) 是一个偏序集 4 2j m p ( l ) 的结构和性质 对于( i m p ( l ) ，s ，) 有以下重要的性质 定理4 2 1 如果对于任意一i ，呻2 i m p ( l ) ，如下定义一，i m p ( l ) ， - - 9 7 ：口- - ) b = ( 口j6 ) v ( a 26 ) 寸。：口- - 9 b = ( a 哼ib ) ( a _ + 2b ) 那么( i m p ( l ) ， 3 ，则格( i m p ( l ) ，) 为二元链 证明： 设l = ( 0 = 口i ，a 2 ，a n = l 是一条疗元链a i a 2 a n ，容易得到： ：a i = q ，+ 是三的唯一的“余”例1 2 1 给出了( i m p ( l ) ，) 的最大元；显然，例1 2 2 中的 一。是其最小元并且可验证( i m p ( l ) ，s ，) 仅包含此二元因此，格( i m p ( l ) ，s ，) 是二元 链 4 3 ( i m p ( l ) ，) 是单点集的条件 在3 3 节中。讨论了链上“格蕴涵”算子的唯一性条件，本节将讨论格上的“格蕴涵”算 子是唯一( 即：( i m p ( l ) ，s ，) 是单点集) 的条件首先证明一个引理 引理4 3 1 设三是一个分配格，对于任意口，b ，工l ，若口s 6 则 ( x v a ) b = ( 工 6 ) v a 证明：因为设三是一个分配格，所以对于任意a ，b ，善e 工，若a s 6 则有 ( x v 口) 6 = ( 工 6 ) v ( 口 b ) = ( z b ) v a 定理4 3 1 设( l ，v ， ? ) 是一个分配的有余格，a , b e l ，a s 6 若凸子格【口b 】是工 的一个自对偶成分，且在格蕴涵算子寸下构成一个格蕴涵代数，则在如下定义的运算一 下，工是一个蕴涵代数 内蒙古师范大学硕士学位论文 工一y 。 io s 力 x - j ， ( x 蓝y j x ，y ( 口，6 ) ) j ，( 工薹y , b s x , y 乍( 口，6 ) ) ， ( z 董_ ，y s 口，z e ( 口，6 ) ) x v y( 其他) 证明：由寸的定义，首先有：，o ) = x 呻y ，对于每个给定的x 都是递增函数，所以 ( l 1 ) 和( l 2 ) 成立同时显然有：； 0 2 ) x 一工= l ： ( 1 3 ) 善_ y = y 一，； 0 4 ) 工 y = y 一工= l = ，工= ) ，； ( 1 5 ) “一力寸y = o _ 石) 一工； 成立并且有：x _ y 一v y 类似定理3 2 2 可以证明( 1 1 ) 也成立所以上是一个蕴涵代 数 推论4 3 1 设k 是格蕴涵代数三的一个自对偶成分，若( i m p ( k ) ，) 不是单点集，则 ( 1 m p c l ) ，s ，) 也不是单点集 。 性质4 3 1 ( 1 m p ( c 2xc 2 ) ，茎，) 是单点集 事实上。有更一般的结论 定理4 3 2 对于任意正整数疗，( i m p ( 2 ”) ，s ，) 是单点集 证明： 因为二元链c 2 可以成为格蕴涵代数，并且它上的蕴涵算子是唯一的所以，有 c 2 的直积格( g ) 。= 2 。也可以成为格蕴涵代数( i m p ( 2 4 ) ，与) 是非空集 此时又由于( c 2 ) 。= 2 。作为有补格的补是唯一的，所以( i m p ( 2 1 ) 。s ，) 是单点集 格蕴涵代教和l - f u z z y 权拓扑的构造2 研究 第五章l - f u z z y 双拓扑空间 5 1 基本概念和性质 m a s h b o u r 等在文献【2 0 】中引进不分明双拓扑空间的概念，并且定义了不分明双拓扑 空间中的一些相关概念k u r a t o w s k i 十四集定理是点集拓扑学中的一个著名结论，并且在 l f u z z y 拓扑空间里也是成立的自然会提出它在l - f u z z y 双拓扑空间中是否也成立的问题， 本文从此问题出发在l - f u z z y 双拓扑空间( ，4 ，磊) 中给出双拓扑4 ，五的s u p 拓扑和 i n f - 拓扑疋的概念，证明了l - f u z z y 双拓扑空间的内部和闭包的一些运算特性并讨论了 它们的复合性质及其复合结果的数量特征，得到了一系列有趣的结果 本章将沿用 1 l 】中的概念与记号 定义5 1 _ 1 1 设巧，瓦，都是非空集x 上的拓扑，则称( x ，石，正) 为双拓扑空间，简称 b t s 定义5 1 2 1 设z 为非空集，l f u z z y g r ，4 ，五为x 上的l f u z z y 拓丰b ，称( ，4 ，暖) 为l f u z z y 双拓扑空间，简称l - f b t s 一般双拓扑空间可视为= o ，1 ) 时的l - f u z z y 双拓扑空间，所以对于l - f u z z y 双拓扑空 间所得到的结论，在一般双拓扑空间中都成立，并且都是一般双拓扑空间中相应结果的推 广 定义5 1 3 设是( ，4 ，磊) l - f h z z y 双拓扑空间，是工的逆合对应，a e 爿一表示a 在点的内部，( ，= l ，2 ) 爿一m 表示a 在点的闭包，( f - 1 ，2 ) a 表示x 一厶x 卜爿( 工) 由于l f u z z y 双拓扑空间中的”内部”，”闭包”算子是依每个拓扑定义的，所以首先从 l f u z z y 拓扑空间的”内部”，”闭包”算子入手，有以下基本性质 引理5 1 - 1i n 设( r ，o 3 是l - f u z z y 拓扑空间，a ，则a 一= a ”，a = a ， a 一：a 内蒙古师范大学硕士学位论文 5 2 双拓扑4 ，嘎的s u p 一拓扑瓦和i n f 一拓扑六 设( r ，4 ，乏) 是l f u z z y 双拓扑空间，在讨论它的紧性和分离性等时，一般是在磊u 暖 上进行的考虑是否可以把双拓扑的性质用一个拓扑加以刻划，这样l f u z z y x 叹拓扑的相关 研究就转化为一般的l - f u z z y 拓扑上面来了，出于这种想法，本节首先在双拓扑磊，磊上引 入了它t f j 的s u p 拓扑氏和i n f 拓扑一的概念并且讨论s u p 一拓扑和i n f 一拓扑的性质以及 它们与原来双拓扑的相互关系 定义5 2 1 设l - 如z 巧双拓扑空间( r ，4 ，五) ，令： 六= a i a e 4 并且a 岛 戊= ( v 。( 4 且) e r l 4 4 并且且暖，是任意指标集) 定理5 ，2 1 设( ，4 ，五) 是l f i ，z 巧双拓扑空间，则 1 ) ( r ，疋) 是l m z 巧拓扑空间( 称兵为双拓扑磊，磊的i n f - 拓扑) ； 2 ) ( r ，民) 是l f u z z y 拓扑空间( 称瓦为双拓扑点，最的s u p - 拓扑) 证明： 1 ) 显然( r ，一) 是l f u z z y 拓扑空间 2 ) 0 ，l 4 ，最及4 嘎瓦所以0 ，l 屯； 对于任意v 。，( 4 、4 ) ，v i e = ( q a 巧) e 氏，( 4 ，qe 4 ，4 ，q 暖，i i , j e j ) ， 由于，( ，v ， ) 是完全分配格，所以有： ( v ，。，( 4 丑) ) ( v “( c j q ) ) - - - - v n ，扣j ( 4a s , c j q ) - - - - v 刖冉j ( ( 4 c j ) ( 丑a q ) ) 瓦 即瓦具有有限交性质； 由民中元素的构造定义，易得氏也具有无限并性质所以，( r ，氏) 是l - f u z z y 拓扑空 间 定理5 2 2 设l 一如z z y 双拓扑空间( l x ，磊，磊) ，在集合包含的偏序关系下，疋，瓦分别 是4 和嘎的下确界，上确界 堡苎塑堡塾塑匕垒! 型坚堑堑竺竺望查堕塞 证明：因为( ，4 ，暖) 是l 亿z 巧双拓扑空间，最= 磊n 盈，所以在集合包含的偏序关系 下显然有：疋是磊和磊的下确界 因为民= v ，( 4 且) e 1 4e 磊并且尾e 五，是任意指标集 ，所以显然有：瓦是 磊和磊的上界设( ，回是l 缸冽拓扑空间，并且万是磊和磊的一个上界， 即： 4 ，岛j 对于任意v 。( 4 盈) e 瓦，这里4 磊，e 嘎，( i ，) ，所以4 ，且e 万。从而 4 毋占( t ，) ，得v i i ，( 4 且) 占即：瓦j ，故在集合包含的偏序关系下民是磊 和磊的上确界 注5 2 1 l f h z 纠双拓扑空间( ，磊，也) 雕j s u p - 拓扑空间( ，瓦) 与l 广f i i z z y 拓扑空 间( 4 ) 和l - 向z z y 拓扑空间( r ，磊) 的乘积拓扑空间( 3 ，4 磊) 是完全不同的，因为它 们的论域是不一样的 5 3 双拓扑磊，嘎的内部和闭包算子 l f u z z y 双拓扑空间( ，磊，盈) 的内部和闭包算子是对拓扑磊。嘎分别考虑的在本节 将讨论它们的复合性质及其复合结果的数量 定理5 3 1 设( r ，磊，8 2 ) 是l f h z z y 双拓扑空间，a r ，则下列条件等价： ( 1 ) a 。4 4 = a 。 ( 2 ) a - 、= a 1 - 证明：因为( ，磊，最) 是l - 如z 巧双拓扑空间，瓦= 4 n 易 ( 1 ) = ，( 2 ) ：彳， = 一。 = 4 q 。= 4 = 一，、- ； ( 2 ) = ( 1 ) ：彳 飞= a7 - 。= a 1 - = 一飞 定理5 3 2 设( ，磊，岛) 是l - m 盈亨双拓扑空间，a f 若彳 飞= 彳飞“，则它们就 是a 、 证明：因为疋= 4 n 磊4 ，杰，所以a 、一“，a 飞。由内部算子。关于拓扑具有保序 性，故得： 彳= a 。 飞 = a 。 屯 2 6 内絮古师范大学硕士学位论文 又因为，彳、= a 、，所以a 、飞既是( r ，4 ) 的开集，又是( ，岛) 的开集。 即： a = a e 疋 并且4 、= 、。e a 由a “是包含于4 的( ，疋) 的开集之并所以得：a 2 a 飞 = 一 飞，故 一_ = 彳、 = h 定理5 3 3 设( ，4 ，正) 是l l i i = 冽双拓扑空间，4 ，若4 。6 = 小，则a 在。 ， o 。的不同运算组合下最多只有四种不同结果 证明：因为a 飞= 一k ，所以、飞既是( ，磊) 的开集，又是( ，磊) 的开集 故有彳4 = a t m 。s 彳。 。 进而彳= a 4 t m = a 飞s 爿 飞一 = a 故爿= 一 飞= 4 = 彳、 由于。 。 = 。 ，。 。 = 。屯，所以a 在。6 ，。 的不同运算组合下最多只有：4 “，彳“， 一和a t m t m 四种 同理可以证明 。定理5 3 4 设( ，磊，磊) 是l f i i z 纠双拓扑空间，彳，若a 、飞= 。则a 在o ， o 厶的不同运算组合下最多只有四种不同结果 由上面的两个定理就容易得到下面的推论 推论5 3 1 设( ，4 ，暖) 是l 向荭y 双拓扑空间，a e 若彳 飞- - 4 、 ，则a 在。 ， 0 6 的不同运算组合下最多只有三种不同结果彳 ，a “彳 对偶地，可以证明以下关于闭包算子的结果 定理5 3 5 设( ，4 ，盈) 是l f h z z y 双拓扑空间，一，若彳 、= 彳、，则a 在1 ， 、的不同运算组合下最多只有四种不同结果 ， 证明：因为彳1 1 = 一- 1 1 = = 彳1 ；彳一电、= 彳、1 飞= = 一、 又因彳一= a 、，所以彳 、既是( r 。磊) 的闭包，又是( ，五) 的闭包故，有： 格蕴涵代效和l m z 珂双拓扑的构造之研究 a 一= 一一 、= a 一 一 一 = 爿- 1 、，彳、- = 爿1 1 一。一- - 、= 4 1 、= 4 飞- 所以一在一 ，一屯的不同运算组合下最多只有四种不同结果4 一，爿、，彳。4 、，a 、- 定理5 3 6 设( ，4 ，磊) 是l - f u z z y 双拓扑空间，一，若彳1 1 = a 、，则彳在一 ， 如的不同运算组合下最多只有四种不同结果 推论5 3 2 设( ，4 ，岛) 是l f l l z z ) r 双拓扑空间，a ，若a t m - = a - - i t ，则a 在 一4 ，一再的不同运算组合下最多只有三种不同结果彳- ，彳、，彳、 内蒙古师范大学硕士学位论文 第六章l - f u z z y 双拓扑空间中拓扑的刻划 6 1 l - f u z z y 双拓t l 、空间的远域紧性的概念和性质 m a s h h o u 等在文献【2 0 】中引进不分明双拓扑空间的概念，并且定义了不分明双拓扑 空间中的口紧的概念m e a n ，e l m o n s e f 和a e r 帅a d 锄在文献 1 3 】中在f 拓扑空间中 详尽地研究了双( 半m 一紧性) ，本文将在l - f u z z y 双拓扑空间( ，磊，如) 中给出双拓扑 4 ，盈的s u p - 拓扑民和i n f - 拓扑疋的概念，良紧性的概念，并研究了它们之间的性质和关 系进而得到一系列有趣的结果 定义6 1 1 1 设( f f ，回是l f h z z y 拓扑空间，a ，中，口m ( l ) 如果对a 中每个高为口的分子矗( 即吒a ) ，有p 中使得p 叩( ) ( 即毛蔓，) 。则称。为a 的一 个口- 远域族，简记为： o a ( a ) 如果存在，位) ( 即，是口的标准极小集中的元) 使 得 m a ( r ) ，则称中为a 的口一远域族，简记为： 巾口a ( r ) 定义6 1 2 1 设( f f ，回是l f i l 互y 拓扑空间，a p ，如果对a 的任意一个口远域 族o 。中有有限子族甲使得甲构成a 的口- 远域族，则称a 为良紧集当最大的l f u z z y 集 合l 是良紧集时，称( ，回是良紧空间 定义6 1 3 m 1 设l f u z z y 双拓扑空间( 矿，4 ，最) ，a 中4 u 并且 m n ( 4 ， o ) ) 与n ( 嘎7 j 0 ) ) 均不空口m ( 上)