（基础数学专业论文）三角代数上若干映射的研究.pdf

三角代数上若干映射的研究 余维燕 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展，现 在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支它与量子力学，非交换几何，线 性系统，控制理论，数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互 相渗透为了进一步探讨算子代数的结构，近年来，国内外诸多学者对算子代数 上的映射进行了深入的研究，并不断提出新思路，如模线性映射，可交换映射， 函数恒等式等概念的引入，目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具 其中三角代数是一类重要的非自伴非素的算子代数，上三角矩阵代数和套代数均 属于这一类代数本文在已有结论基础上主要研究了三角代数上的非线性可交换 映射一模线性可交换映射，j o r d a n 导子，广义j o r d a n 导子，套代数上的伊双导 子和西可交换映射，广义内盯一双导子和广义伊可交换映射及l i e 三重同构具 体内容如下： 第一章主要介绍了本文要用到的一些符号、定义以及本文要用到的一些已知 结论和定理第二节我们主要介绍三角代数，套代数，模线性映射，真可交换映 射，j o r d a n 导子，盯一双导子，l i e 三重同构等概念第三节主要介绍了一些熟 知的命题和定理 第二章主要讨论了三角代数上的非线性可交换映射一模线性可交换映射，通 过刻画此类映射的具体形式，给出了三角代数上模线性可交换映射是真可交换映 射的一个充分条件作为应用，证明了套代数上的每一个模线性可交换映射都是 真可交换映射 第三章首先研究了三角代数上的j o r d a n 导子，得到了三角代数上的j o r d a n 导子是导子的结论接着讨论了三角代数上的广义j o r d a n 导子，证明了三角代 数上的每一个广义j o r d a n 导子是导子与广义内导子之和 第四章首先对套代数上的伊双导子和盯一可交换映射进行了讨论，证明了 当d i m o + 1 或d i m h _ j 。1 时，套代数7 | c 厂) 上的每一个沪双导子都是内 o r 一双导子作为应用，给出了满足条件y ( x ) x = a ( x ) f ( x ) 的线性映射，的形 式其次讨论了套代数上的广义内盯一双导子和广义伊可交换映射，证明了当 d i m o + 1 且d i m ? - 1 1 时，套代数下( ) 上的每一个广义内盯一双导子都具有形 式砂( x ，y ) = a ( x ) a y + a ( y ) c x 作为应用，给出了满足条件( x ) x = o ( x ) g ( x ) 的线性映射，g 的形式 第五章研究了套代数上的l i e 三重同构，证明了套代数上的每一个l i e 三重 同构l ：丁( ) 一r ( m ) 都具有形式l ( x ) = a ( x ) + 危( z ) ，其中0 是同构或负的反同 构，h 是r 厂) 一c ，的映射，使得对任意的a ，b ，c 下有 ( 【阻，b 】，q ) = 0 同时，给出了一个是l i e 三重同构但不是l i e 同构的例子 关键词：三角代数；套代数；模线性映射；真可交换映射；j o r d a n 导子； 伊双导子；伊可交换映射；l i e 三重同构 i i t h es t u d i e so fs o m em a p p i n g so nt r i a n g u l a r a l g e b r a s y uw e i y a n a b s t r a c tt h e s t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n3 0 t i m e so ft h e2 0 t hc e n - t u r y w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y , n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c hp l a y - i n gt h er o l eo fa ni n i t i a t o ri nm o r d e nm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n sa n d i n t e r i n f i l t r a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m t r y ，l i n e a rs y s t e m a n dc o n t r o lt h e o r y , i n d e e dn u m b e rt h e o r ya sw e l la l ss o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e s o fm a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i nr e c e n t y e a r s ，m a n ys c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a dh a v ef o c u s e do nm a p p i n g so no p e r a t o r a l g e b r a s t h e yh a v ei n t r o d u c e ds o m en e wc o n c e p t sa n dn e wm e t h o d s f o re x a m - p l e ，m o d u l ol i n e a rm a p ，c o m m u t i n gm a pa n df u n c t i o n a li d e n t i t i e se t c a tp r e s e n t t i m et h e s em a p p i n g sh a v eb e c o m ei m p o r t a n tt o o l si ns t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a s t r i a n g u l a ra l g e b r ai sac l a s so fm o s ti m p o r t a n tn o n p r i m ea n dn o n s e l f a d j o i n to p - e r a t o ra l g e b r a s u c ha su p p e rt r i a n g u l a rm a t r i xa l g e b r aa n dn e s ta l g e b r aa r et h i s m g e b r a o nt h eb a s i so fe x i s t i n gp a p e r s ，i nt h i sp a p e rw em a i n l ya n dd e t a i l e d l yd i s - c u s sac l a s so fn o n l i n e a rc o m m u t i n gm a p s ( n a m e l y , m o d u l ol i n e a rc o m m u t i n gm a p s ) ， j o r d a nd e r i v a t i o n sa n dg e n e r a l i z e dj o r d a nd e r i v a t i o n so nt r i a n g u l a ra l g e b r a s 口一 b i d e r i v a t i o n sa n da - c o m m u t i n gm a p s g e n e r a l i z e di n n e r 盯一b i d e r i v a t i o n sa n dg e n - e r a l i z e d 盯一c o m m u t i n gm a p s ，l i et r i p l ei s o m o r p h i s mo nn e s ta l g e b r a s t h ed e t a i a l s a sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ，s o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n d8 0 m ew e l l - k n o w n t h e o r e m sa l eg i v e n i ns e c t i o ni i ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so ft r i a n g u l a ra l g e b r a s ， n e s ta l g e b r a s ，p r o p e rc o m m u t i n gm a p ，j o r d a nd e r i v a t i o n s ，a - b i d e r i v a t i o n ，l i et r i p l e i s o m o r p h i s ma n d8 0o n i ns e c t i o ni i l ，w eg i v es o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，w ed i s s c u s sn o n l i n e a rc o m m u t i n gm a p s ( n a m e l y , m o d u l ol i n e a r c o m m u t i n gm a p s ) o i lt r i a n g u l a ra l g e b r a s b yd e s c r i b i n gt h ef o r mo fs u c hm a p s ， w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o ns u c ht h a te v e r ym o d u l ol i n e a rc o m m u t i n gm a p so n t r i a n g u l a ra l g e b r a sa r ep r o p e r a sa na p p l i c a t i o n ，i ti sp r o v e dt h a te v e r ym o d u l o l i n e a rc o m m u t i n gm a po nn e s ta l g e b r a si sp r o p e r i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td i s c u s sj o r d a nd e r i v a t i o n so ft r i a n g u l a ra l g e b r a sa n d o b t a i nt h a te v e r yj o r d a nd e r i v a t i o ni sd e r i v a t i o no ft r i a n g u l a ra l g e b r a s u b s e q u e n t l y , i i i w ep r o v et h a te v e r yg e n e r a l i z e dj o r d a nd e r i v a t i o no ft r i a n g u l a ra l g e b r a si sa s u l no f ad e r i v a t i o na n dag e n e r a l i z e di n n e rd e r i v a t i o n i nc h a p t e r4 w ef i r s td i s c u s s 盯一b i d e r i v a t i o n sa n d 盯一c o m m u t i n gm a p so nn e s t a l g e b r a sa n dw ep r o v et h a te v e r y 盯一b i d e r i v a t i o no f1 - c r ) i s 衄i n n e ra - b i d e r i v a t i o n i fd i m0 + 1o rd i m 冗1 a sa na p p l i c a t i o n ，w ed e s c r i b et h ef o r mo fm a p ，：下( ，) _ + 7 - ( s a t i s f y i n gf ( x ) x = 盯( x ) ，( x ) f o ra l lx r ( r ) s u b s e q u e n t l y , w ed i s c u s sg e n e r a l i z e di n n e ra - b i d e r i v a t i o n sa n dg e n e r a l i z e da - c o m m u t i n gm a p s o nn e s ta l g e b r a sa n dw ep r o v et h a te v e r yg e n e r a l i z e di n n e ra - b i d e r i v a t i o no fr ) i so ft h ef o r m 妒( x ，y ) = a ( x ) a y 十a ( y ) c xi fd i m0 + 1a n dd i m “1 a sa na p p l i c a t i o n ，w ed e s c r i b et h ef o r mo fm a p sf ，g ：r ( a o _ 7 - ) s a t i s f y i n g f ( x ) x = o ( x ) g ( x ) f o r a l lx 7 - i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s sl i et r i p l ei s o m o r p h i s m so fn e s ta l g e b r a sa n dw ep r o v e t h a te v e r yl i et r i p l ei s o m o r p h i s ml ：下( _ r ( m ) i so ft h ef o r ml ( x ) = e ( x ) + ( z ) ，w h e r e0i sai s o m o r p h i s mo rt h en e g a t i v eo fa na n t i i s o m o r p h i s ma n dh i sam a p f r o m 下一c is u c ht h a t ( 陋，司，q ) = 0f o ra l la ，b ，c 丁( ) a tt h es a m e t i m e ，w eg i v ea ne x a m p l et h a ti sn o ta l i ei s o m o r p h i s mb u tal i et r i p l ei s o m o r p h i s m k e y w o r d s ：t r i a n g u l a ra l g e b r a ；n e s ta l g e b r a ；m o d u l ol i n e a rm a p ；p r o p e r c o m m u t i n gm a p ；j o r d a nd e r i v a t i o n ；盯一b i d e r i v a t i o n ；a - c o m m u t i n gm a p ；l i et r i p l e i s o m o r p h i s m i v c ： r ： 7 ： b ( 咒) ： ： r ( n ) ： 呱( c ) ： t r i ( a ，m ，舀) 乙( 4 ) ： 主要符号表 复数域 实数域 h i l b e r t 空间 h 上的有界线性算子 咒中的套 相应于套的套代数 c 上的n 他阶矩阵 三角代数 代数4 的o - 中心 5 1 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：垒缝蔓 日期 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：日期：兰= ：! ：f _ 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代f j m u r r a y 和j y o nn e u m a n n 创立了算子代数理论以来，已得到了迅速发展它的 研究不仅具有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应用前景现在这一理论已 成为现代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制 理论，甚至数论都有着相互的联系和渗透。 对于算子代数，其主要的研究课题是探讨代数的结构，利用同态映射研究代 数的分类但是，由于算子代数的结构复杂，即使是结构最好的v o nn e u m a n n 代 数和c + 一代数，分类问题也远未解决另一方面，由于算子代数上的映射与算子 代数的某些固有性质有着密切的联系，因此，为了进一步加深对算子代数的认识 和理解，人们越来越关注算子代数上一些映射的刻画问题 线性可交换映射的研究始于p o s n e r 的工作，他在 1 】中证明了素环上存在非 零可交换导子的充要条件是该素环可交换此后，许多学者对一般的线性可交换 映射进行了深入的研究并得到了丰富而有趣的结果f 2 - 6 1 从这些研究中可以看到 线性可交换映射与双导子【7 】，l i e 导子 8 】 l i e 同构【8 】，线性保持映射陆1 l 】以及 自动连续问题【1 2 1 6 】都有着密切联系m b r e a r 【2 】证明了素环上可加的可交 换映射是真可交换映射，并由此对素环上的双导子进行了研究最近，c h e u n g 【1 7 】研究了三角代数上的线性可交换映射，并给出了三角代数上的线性可交换映 射是真映射的一个充分条件在此基础之上，第二章我们研究了三角代数上的非 线性可交换映射一模线性可交换映射，通过刻画此类映射的具体形式，给出了三 角代数上模线性可交换映射是真可交换映射的一个充分条件作为应用，证明了 套代数上的每一个模线性可交换映射都是真可交换映射 大家知道，导子一定是j o r d a n 导子，但反之一般不成立自然地，哪些代数 或环上的j o r d a n 导子一定是导子呢? 多年来，许多学者研究了这一问题，但大多 数集中于素环和半素环上例如，e h e r s t e i n 2 6 证明了2 无挠素环上的j o r d a n 导子是导子 m b r e g a r 【2 3 】将此结论推广到半素环上第三章我们首先讨论了 三角代数上的j o r d a n 导子，得到了三角代数上的j o r d a n 导子是导子，接着讨论 了三角代数上的广义j o r d a n 导子，证明了三角代数上的每一个广义j o r d a n 导子 是导子与广义内导子之和 导子是算子代数上的一类重要的变换近几十年来，关于寻找一个使映射成 为导子的条件的研究引起了许多数学家的注意，大量非常深刻的结论不断涌现， 新的研究课题不断提出，双导子就是一例第四章我们首先讨论了套代数上的乒 双导子，证明了当d i m 0 + 1 或d i m ? - - l - 1 时，套代数t ( ) 上的每一个口一双 导子都是内一一双导子作为应用，给出了满足条件，( x ) x = o ( x ) y ( x ) 的线性 映射，的形式其次讨论了套代数上的广义伊双导子，证明了当d i m 0 + 1 且 d i m t _ z 1 时，套代数下 厂) 上的每一个广义内伊双导子都具有形式咖( x ，y ) = a ( x ) a y + a ( y ) c x 作为应用，给出了满足条件i ( x ) x = a ( x ) g ( x ) 的线性映射 i ，g 的形式 关于l i e 同构和l i e 三重同构的问题一直是许多学者关注的焦点h u a 3 5 1 证明了当几3 时，除环上的所有nx n 矩阵环佗上的每一个l i e 自同构具有形 式z p ( z ) + ( z ) ，其中口是一个自同构或负的反自同构，h 是一个冗一z ( 环冗 的中心) 的可加映射，使得对任意的a ，b 冗有 ( ，矧) = 0 稍后，m a r t i n d a l e 在一系列的文章【3 6 - 3 8 】里把h u a 的结果推广到了更一般的环里特别是在文【3 8 1 中他给出了一个很好的结果，即如果冗是一个素环且满足以下条件：有单位元1 ， 特征不是2 和3 ，包含两个和为1 的非零幂等元，那么从素环冗到素环彤的l i e 同构具有形式z 一0 ( x ) + ) ，这里口是一个从环冗到环影的中心闭包的同态 或负的反同态，h 是一个冗一c 7 ( 环彤的扩展中心) 的可加映射，使得对任意的 a ，b 冗有 ( 【a ，b 】) = 0 m i e r s 3 9 】在因子y o nn e u m a n n 代数上得到了类似的 结果 1 9 6 1 年，e h e r s t e i n 4 0 1 对环上的各种l i e 型映射提出了几个猜想，特别 的，他猜测代数一4 到代数上的l i e 同构能用同构和反同构来表示当然这个结 果在有限维代数上已经被得到( 见【4 1 第十章) ，但e h e r s t e i n 认为这个结果可以 扩展到无限维的情形此后，许多学者对e h e r s t e i n 的猜想进行了深入的研究， 直到9 0 年代所有的结果才在假设环有非平凡的幂等元的条件下被得到1 4 2 类 似的问题也在算子代数上被考虑( 见文【4 3 - 4 8 】) ，幂等元扮演着非常重要的角色 但是有些环有幂等元，有些环没有幂等元( 例如整环，特别是除环) 因此，在e h e r s t e i n 的结果中幂等元这个条件能否被去掉成为公开很长时间的问题直到最 近这个问题才被m b r e g a r 【8 】解决，他主要利用了可交换映射和更一般的函数恒 等式理论接下来类似的结果分别在上三角矩阵代数和套代数【1 8 ，4 9 5 2 】上被得 到 b e n k o v i c 和e r e m i t a 1 8 利用【1 7 j 中的结果研究了三角代数上的双线性可 交换迹映射，并由此给出了三角代数上l i e 同构以及线性保可交换映射的具体结 构显然，l i e 同构是l i e 三重同构，反之则不然第五章我们讨论了套代数上 的l i e 三重同构，证明了套代数之间的每一个l i e 三熏同构l ：丁c 厂) 一7 - ( m ) 都 具有形式l ( x ) = 口( z ) + ( z ) ，其中口是同构或负的反同构，h 是丁( 厂) 一c i 的 映射，使得对任意的a ，b ，c 下( ) ，有h ( i a ，b 】，q ) = 0 同时；给出了一个是 l i e 三重同构但不是l i e 同构的例子 2 第一章预备知识 1 1引言 本章主要介绍了本文中用到的一些符号，定义以及证明过程中要用到的一些 已知结论第二节主要介绍了套代数，三角代数等一些常用的概念；第三节给出 了几个重要的已知结论 下面介绍文章中用到的主要符号： 设“是复可分h i l b e r t 空间；b ( h ) 表示咒上的全体有界线性算子一个套 是h 的一个全序闭子空间，它包含 0 ，7 - 且在强算子拓扑下是闭的对套中 的每一个闭子空间n a f ，令 = m a f ：m ) ，- = v me a f ：mc ) 相应于套 厂的套代数记为下 厂) ，并定义为 7 - ( ) = t b ( 爿) ：t ，ne ) 1 2基本概念 定义1 2 1 【17 1 设a 和召是可交换环冗上的具有单位元1 的代数如果m 既是4 的左模又是召的右模，则称m 是( 4 ，聊一双边模如果n a ，b 舀且 对任意m m 有a m = m b = 0 蕴含a = b = 0 ，则称朋是( 4 ，b ) 一忠实双边模 设m 是( 4 ，日) 一忠实双边模，则称 t r i ( a ，m ，日) t ( ：) a a ，m f ，b b ) 为三角代数( 遵循矩阵乘法的运算规则) 定义1 2 2 1 3 4 1 设4 是可交换环冗上的一个代数，z ( a ) 为其中心设，：a 一 一4 是一个映射若对任意的n ，p 冗及z ，y a ，有f ( a x + f l y ) 一q ，( ) 一f l f ( y ) e z ( 一4 ) ，则称，为4 上的模中心线性映射( 简称模线性映射) 定义1 2 3 【1 7 】设4 是可交换环冗上的一个代数，z ( a ) 为其中心设，： 4 4 是一个映射若对任意x a ，有【，( z ) ，x 】= 0 ，则称，为4 上的可交换映 3 射，这里陋，引= x y y x 为z 与y 的l i e 积若存在a z ( a ) 和映射“：一4 一z ( a ) 使得对任意z a ，有，( z ) = a x + p ( z ) ，则称，为一4 上的真可交换映射 定义1 2 4 【2 6 】设一4 是可交换环冗上的具有单位元1 的代数f ：a 一4 是 一个线性映射若对任意a a ，有f ( a 2 ) = y ( a ) a + a s ( a ) ，则称，是4 的j o r d a n 导子 定义1 2 5 1 3 4 1 设4 是一个代数，仃是4 的自同构若6 ：a 一一4 是一个线 性映射且对任意的x ，y 一4 ，有j ( x y ) = 6 ( x ) y + 仃( x ) 6 ( y ) ，则称6 是4 的一 个盯一导子若双线性映射：a x a 一一4 对每一个变量都是盯一导子，则称是 4 的一个乒双导子 定义1 2 6 n 设冗，影是环且妒：冗一彩是一个线性双射若对任意的 a ，b 冗，有妒( 陋，6 】) = 眇( 。) ，妒( 6 ) 】，则称妒是一个l i e 同构若对任意的a ，b ，c 冗， 有妒( 【n ，6 】，c 】) = 【 妒( ) ，妒( 6 ) 】，妒( c ) 】，则称妒是一个l i e 三重同构 1 3预备定理 定理1 2 1 3 4 1 设冗是一个素环，c 是冗的扩展中心，且a ，鼠冗均为非 零元若对任意的x 冗，有墨1a i x b i = 0 ，则a 1 ，a 2 ，a 。在c 上线性无 关，同时，b 1 ，岛，上 m 在c 上也线性无关 命题1 3 2 1 1 9 】套代数的换位是平凡的，即套代数的的换位由恒等算子的常数 倍组成 4 第二章三角代数上的非线性可交换映射 2 1引言 线性可交换映射的研究始于p o s n e r 的工作，他在【1 】中证明了素环上存在非 零可交换导子的充要条件是该素环可交换此后，许多学者对一般的线性可交换 映射进行了深入的研究并得到了丰富而有趣的结果f 2 - 6 1 从这些研究中可以看到 线性可交换映射与双导子 7 1 ，l i e 导子【s l ，l i e 同构 8 】，线性保持映射 9 1 1 】以及 自动连续问题 1 2 1 6 都有着密切联系b r e g a r 2 】证明了素环上可加的可交换映 射足真可交换映射，并由此对素环上的双导子进行了研究最近，c h e u n g1 1 7 】研 究了三角代数上的线性可交换映射，并给出了三角代数上的线性可交换映射是真 映射的一个充分条件b e n k o v i c 和e r e m i t a 【1 8 】利用f 1 7 j 中的结果研究了三角 代数上的双线性可交换迹映射，并由此给出了三角代数上l i e 同构以及线性保可 交换映射的具体结构受此启发，本章我们研究三角代数上的非线性可交换映射 一模线性可交换映射通过刻画三角代数上模线性可交换映射的具体形式，给出 了三角代数上模线性可交换映射是真可交换映射的一个充分条件作为应用，证 明了套代数上的模线性可交换映射都是真可交换映射 。n 、 我们把三角代数t r i ( a ，州，日) 中形如i ”：l 的元表示成no b 记p 1 = f 0 b 14 0 0 且岛= 0 0 1 8 2 2三角代数上的非线性可交换映射 引理2 2 1 1 1 7 】三角代数l i = t r i ( a ，m ，1 3 ) 的中心是 z ( u ) = a ob ：a m = m b 对任意的m 朋， 并且只z 似) 只z ( 一4 ) ，p 2 z ) p 2 z ( 召) 从而存在唯一的从只z 似) b 到 p 2 z 似) 易的代数同构丁，使得对任意的m m ，有a m = 丌( n ) 命题2 2 1三角代数“= t r i ( a ，m ，8 ) 上的模线性可交换映射l 具有形式 l a m 6 ) = ( + 五m 言 p + r a r9 。( 。) + f 虫l ( 1 ( m ) m ) + - 9 3 m g ( 6 1 ) ( 1 + ) 易a 恳) 其中a a ，b b ，m 朋，a 是依赖于a ，m ，b 的z ( u ) 里的元素，1 ：一4 一 a ，9 3 ：1 3 8 是模线性可交换映射，g l ：4 一z ( t s ) ，2 ：m z ( 一4 ) ，9 2 ：川一 z ( 8 ) ，3 ：1 3 一z ( 4 ) 是映射，且满足以下条件t 5 ( i ) 对任意a a 和m m ，有 ，1 ( n ) m m g l ( a ) = a ( k ( 1 ) m m 9 1 ( 1 ) ) ( i i ) 对任意b 召和m m ，有 a ( b ) m m g a ( b ) = ( f l ( 1 ) m m g l ( 1 ) ) b ； ( i i i ) 对任意m m ，有，2 ( m ) m = m 眈( m ) 为了证明这个命题，我们先给出几条性质，这些性质的证明是显然的 性质设i ( a + m + b ) = l ( a ) + l ( m ) + l ( b ) + a ( a z ( 纠) ) ，则 ( n ) = 只l ( 口) t 1 ，2 ( m ) = p 1 l ( m ) 只，3 ( 6 ) = 片l ( 6 ) p l ， g l ( a ) = 易l ( n ) 易，9 2 ( m ) = 易l ( m ) 恳，9 3 ( b ) = p 2 l ( 6 ) t 2 ， h l ( a ) = 尸l l ( n ) 岛，h 2 ( m ) = p 1 l ( m ) p 2 ，h 3 ( 6 ) = 只l ( 6 ) p 2 ，从而 ( i ) l ( 0 ) z 似) ； ( i i ) p 1 l ( 0 ) p 2 = 0 ，p 1 a p 2 = 0 ； ( i i i ) 五( o ) z ( a ) ，g d o ) z ( t 3 ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ； ( i v ) a ( o ) o 吼( o ) z ( “) 命题2 2 1 的证明我们先来证明 三z f _ ) ，9 3 l z ( 6 ) ( 这里l z ( a ) ，l z ( b ) 分别表示代数4 与8 上的模中心z ( 4 ) 与z w ) 的模线性映射) 设对任意的z ，y a ，0 l z ( u ) 与0 l ，卢c ，并注意到l 是模线性的，则 f l ( a x + 励) = 只l ( a x + 卢掣) p 1 = 只( a l ( x ) + j 3 l ( y ) + 口1 ) p 1 = 只o ( z ) 马+ 只i l l ( y ) p 1 + 只0 1 t 1 = o ( z ) + 卢 ( ! ，) + 1 1 0 1 p 1 ， 因为p 1 0 1 p l z ( 一4 ) ，从而 l z ( a ) 类似的，我们能证明g a l z ( b ) 设 l a ? ) = ( + 丘m 言 + p 1 a r ：( 。a n ) ，+ + h 驰2 。( m m ，) + + 蜘h 3 。( 。b ，) + + b p l a a 恳p 2 ) 则 l ( ：) = ( 。+ 丘乞 + 只a b ：( 。1 。，) + + 啦h 2 。( 。o ，) + + 卯h 3 。( 。o ，) + + 岛p 1 a a 恳p 2 ) 由的可交换性和性质( i i ) 知 。= 陋c 。，。叫= ( ：一乞o ) ， 故h i ( 1 ) = 0 ，从而 l ( ：) = ( ( 1 ) + ，2 ( 0 乞，3 ( o + p l a p l9 。，+ 仍。，? 夕。，+ 恳a 尼) 用z + y 替换陋( z ) ，x 】= 0 中的z 得陋( z ) ，y 】= 陋，l ( 可) 】，从而 l ( a o6 ) ，1 0 0 】= 故 1 ( ) + 3 ( 6 ) = 0 另一方面， 【l ( a o ( 山) ) ，1 0 0 l = 故h l ( a ) 一h 3 ( b ) = 0 ，从而h i = 0 ， 类似的，由 ( r 如”) f a o ( 一6 ) ，l ( 1o o ) 】 b ，1 ( 1 ) + ，2 ( o ) + ，3 ( 0 ) + p l a p l 】 o b l ( 1 ) + 9 2 ( o ) + 9 3 ( 0 ) + 马入p 2 ，6 】 h a = 0 【l ( a o o ) ，0 06 】= 0 0 b 1 ( o ) + 9 2 ( o ) + 如( o ) + b a b ，6 】 = 【a 0 0 ，l ( o o6 ) 】 = 【a ， ( o ) + ，2 ( o ) + ，3 ( 6 ) + p 1 a 1 1 】0 0 比较元素知g i ( a ) + 仍( o ) + 9 3 ( 0 ) + p 2 a 易z ( b ) ， ( o ) + ，2 ( o ) + ，3 ( 6 ) + 且a 只 z ( 一4 ) ，从而由性质( i i i ) 得 g l ( a ) z ( b ) ，五( 6 ) z ( 一4 ) 又由性质( i i i ) 及上面的结论知 【l ( a o6 ) ，a o6 】= ( o ) + f 2 ( o ) + ，3 ( b ) + 片a 只，a 】 o b l ( a ) + 仍( o ) + 蜘( 6 ) + 恳a p 2 ，6 】 = 【f i ( o ) ，a 】ob ( 6 ) ，6 】= 0 ， 7 r l 斗 、， d 胛 h o 叫 叭以 n + 一 一”6 “ o o o ，陋b 【l ( r h ) ，剜 ( a ( o ) + ，2 ( m ) + h ( o ) + p 1 a p l ) m o + 眈( m ) + 9 3 ( o ) + 恳a p 2 ) o 因而( a ( o ) + a ( m ) + h ( o ) + p 1 a p l ) 仇= m ( g l ( o ) + 夕2 ( m ) + 9 3 ( o ) + 岛a b ) 又由 性质( i v ) 知五( 吐) o 玑( 叽) z ( u ) ( i = 1 ，3 ) ，显然尸1 a 只。岛a 岛z ( u ) ，从而 ，2 ( m ) m = m 9 2 ( m ) 从而证明了命题的条件( i i i ) 由性质( i v ) 知 似，。魄例= ( ： 【l ( a o o ) ，例 1 00 ，l ( 仇) 】= h 2 ( m ) = f l ( 1 ) m m g , ( 1 ) 。0 。胁一0 砌1 n 0 0 ，l ( f n ) 】 f o ，1 ( o ) + h ( m ) + ，3 ( o ) + p l a p l 】 0 比较元素得 a ， ( o ) + ，2 ( m ) + ，3 ( o ) + p 1 a 只】= 0 ，故，1 ( o ) + ，2 ( m ) + ，3 ( o ) + p l a p l z ( 一4 ) 又由性质( i i i ) 知1 1 ( o ) + ，3 ( o ) + p l a b z ( 一4 ) ，从而丘( m ) z ( a ) 且 ) m m g l ( a ) = n ( ，1 ( 1 ) m 一 w 1 ( 1 ) ) 8 o 1 | 耐、)p匦 0 = 、j 得素元较 比 甜 鼽m o 映0 o 换厂- 交 i l 1 l ， 晓 靛纵 幽 n 没 而 队 、 o o o o ，、， 、如o ) l以 o 0 n，、 一 o m 、j t ，i 故 而 、 、j m “o o ，o， 从而证明了命题的条件( i ) 类似的，由 f0 【l ( o o6 ) ，嗣= l f 0 = 【0 0 l0 = 【o 五m 一0m 卯1， b ，l ( 侥) 】 【，()+h2)(m+)bbg l09 2 ( m9 3 ( o ) + p 2 a p 2 1 )【，( ) +) +) + 尸2 a1 ， 从而9 2 ( m ) z ( 8 ) 且 ，3 ( 6 ) m m 9 3 ( b ) = ( 1 1 ( 1 ) m m 9 1 ( 1 ) ) 6 证毕 引理2 2 2 设l 是三角代数“= n i ( 4 ，m ，8 ) 上的模线性可交换映射，记 三am b ) = ( 。+ 厶m 言 + p l a 只夕，。，+ f 啦l ( 1 。m ) m ，+ - 卯m g 。砷1 ( 1 + ) b a 恳) 则酊1 ( p 2 z ( u ) p 2 ) 与膏1 ( 只z ) r ) 分别是一4 ，日的理想，且 一4 ，卅万1 ( 马z ) 易) 【8 ，翻詹1 ( 只z ) b ) 证明我们只证明与a 有关的部分，与嚣有关的部分类似 设j = a 一4 ：g l ( a ) p 2 z 似) p 2 ) = 9 f 1 ( b z 似) b ) 对任意的a ，一4 ，m m ，由命题2 2 1 0 ) 知 ( 1 ) 一( 2 ) 得 另一方面， ( 4 ) 一( 5 ) 得 o ，n ( ( 1 ) m m g l ( 1 ) ) = f i ( a a ) m m g l ( a a ) 一n ( ，1 ( 1 ) m m 9 1 ( 1 ) ) = a r ( f l ( a ) m m 9 1 ( o ) ) ( n ，n ) m m g l ( a a ) 一a t ( a ) m + d r a 9 1 ( a ) = 0 a a ( f l o ) m m g l ( 1 ) ) = f l ( a a ) m m 9 1 ( ) ； a ( f l ( 1 ) a 7 m a 7 m g l ( 1 ) ) = ，l ( a ) a m a m g t ( a ) a a 7 ，f l ( 1 ) m = f l ( a a ) m r a 9 1 ( a a 7 ) 一f l ( a ) a m + a t m 9 1 ( n ) 9 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 从而存在以，0 2 z ( u ) 且由( 6 ) 一( 3 ) 得 【，f l ( 1 ) m = ( n ，) f n r a 9 1 ( a a ) 一 ( o ) m - f l ( a a ) m + m 9 1a a ) + a f l ( a ) m = - i x f ，a i m + p i $ i p l m + m g l 【0 ，叫 +