（基础数学专业论文）代数体函数的唯一性及复微分方程亚纯解的存在性.pdf

代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 i i i 参考文献6 6 科研成果6 9 致谢7 0 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 摘要 本文首先利用新定义的代数体函数的加法，研究了代数体函数的唯一性问题 然后运用待定系数的方法讨论了一类复微分方程亚纯解的存在性全文分三部分 第一部分利用孙道椿定义的两个代数体函数的循环加法，主要研究了两个代数 体函数有一定数量的公共值后会具有的相同性质首先运用单位圆内代数体函数的 第一基本定理和第二基本定理，讨论了单位圆内两个代数体函数i m 分担公共值且 至少有一个函数为有穷极时的唯一性，所得的结果推广了文献【1 】中的结果其次， 通过扇形到单位圆的保形变换，证明了两个代数体函数在扇形域内分担一定数量的 公共值，且其中之一函数在圆周上存在聚值点或b o r e l 点的条件下，这两个函数是相 等的接着，运用角域到单位圆的保形变换，研究了两个代数体函数在角域内分担公 共值，且有一个函数在角域内存在一条聚值线时，这两个函数是否相等的问题，所得 的结果推广了文献【2 】中的结果最后，将处理亚纯函数重值问题的杨乐方法运用到 代数体函数，所得的结果推广了杨乐和仪洪勋 3 1 ， 4 1 ， 5 1 ， 6 1 ，【7 】关于亚纯函数的唯性定 理 第二部分，定义了两个同值代数体函数的对应加法，运用对应加法研究了与第 一部分有关的代数体函数的唯性问题，得到了很好的结果 第三部分，运用待定系数的方法，讨论了一类复微分方程 产( 彳) 一掣北) ：0 其中t , k 为正整数，h ( z ) = 危n 扩( h o o ) ，是否存在亚纯解的问题得到此类方 程亚纯解的存在性由t 以及首系数方程h o = z ( z 一1 ) ( z k + 1 ) 是否存在负整 数解来决定 关键词：代数体函数；公共值；重值；唯性；亚纯系数；首系数 代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 v a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s t u d i e da r et h eu n i q u e n e s so fa l g e b r o i d a lf u n c t i o n sb yu s i n gt h e n e w l yd e f i n e da d d i t i o no fa l g e b r o i d a lf u n c t i o n s b e s i d e s ，t h ee x i s t e n c eo fm e r o - m o r p h i cs o l u t i o n so fs o m ek i n do fc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 缸ed i s c u s s e db y a p p l y i n gt h em e t h o do fu n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t s t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i s p a p e r i np a r to n e ，b yu s i n gt h ec y c l i ca d d i t i o no fa l g e b r o i d a lf u n c t i o n sd e f i n e db ys u n d a o c h u n ，m a i n l ys t u d i e da r et h ec o m m o np r o p e r t i e so ft w oa l g e b r o i d a lf u n c t i o n s w i t hc e r t a i nn u m b e ro fs h a r e dv a l u e s f i r s t l y , b ya p p l y i n gt h ef i r s tf u n d a m e n t a lt h e o r e ma n dt h es e c o n df u n d a m e n t a l t h e o r e mo fa l g e b r o i d a lf u n c t i o n si nt h eu n i td i s c ，w er e s e a r c ht h eu n i q u e n e s so ft w o a l g e b r o i d a lf u n c t i o n si nt h eu n i td i s cw i t hi ms h a r e dv a l u e sa n da tl e a s to n eo ft h e t w of u n c t i o n sw i t hf i n i t eo r d e r t h er e s u l t so b t a i n e dg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 1 1 s e c o n d l y , b yu s i n gac o n f o r m a lc h a n g ew h i c hi sf r o mas e c t o rt oau n i td i s c ，w e p r o v et h a tt h et w oa l g e b r o i d a lf u n c t i o n sa r ee q u a lu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h et w o a l g e b r o i d a lf u n c t i o n sw i t hs h a r e dv a l u e si nas e c t o ra n do n eo ft h et w of u n c t i o n s w i t hac l u s t e rp o i n to rab o r e lp o i n to nt h ec i r c u m f e r e n c e n e x t ，b ya p p l y i n gac o n f o r m a lc h a n g ew h i c hi sf r o ma na n g u l a rd o m a i nt oa u n i td i s c ，w ed i s c u s st h a tw h e t h e rt h et w oa l g e b r o i d a lf u n c t i o n sa r ee q u a li ft h et w o a l g e b r o i d a lf u n c t i o n sh a v es h a r e dv a l u e si na na n g u l a rd o m a i na n do n eo ft h et w o f u n c t i o n sh a sac l u s t e rr a yi nt h ea n g u l a rd o m a i n t h er e s u l t so b t a i n e dg e n e r a l i z e t h er e s u l t si n 2 1 f i n a l l y , w ea p p l yt h el oy a n g sm e t h o di nd e a l i n gw i t ht h em u l t i p l ev a l u e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n st oa l g e b r o i d a lf u n c t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e dg e n e r a l i z et h e u n i q u e n e s st h e o r e m so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i n 【3 】， 4 1 【5 j ，f 6 】，1 7 】 i np a r tt w o ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fc o r r e s p o n da d d i t i o no ft w oa l g e b r o i d a l v i 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 f u n c t i o n s t h eu n i q u e n e s sp r o b l e m ss i m i l a rw i t hp a r to n ea r es t u d i e db yu s i n gt h e c o r r e s p o n da d d i t i o n ，s o m eg o o dr e s u l t sa r eo b t a i n e d i np a r tt h r e e ，b ya p p l y i n gt h em e t h o do fu n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n td i s c u s s e da r e t h ee x i s t e n c eo fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so fs u c hak i n dc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 产k ) 一掣m ) - 0 w h e r eh ( z ) = n 扩( o ) ，ka n dta r ep o s i t i v ei n t e g e r s w eo b t a i nt h a tt h e n = o e x i s t e n c eo fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n si sd e t e r m i n e db yta n dw h e t h e rt h ee q u a t i o n h o = z ( z 一1 ) ( z k + 1 ) h a v en e g a t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s k e y w o r d s ：a l g e b r o i d a lf u n c t i o n ；s h a r i n gv a l u e s ；m u l t i p l ev a l u e s ；u n i q u e - n e s s ；m e r o m o r p h i cc o e f f i c i e n t ；t h ef i r s tc o e f f i c i e n t 代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 序言 代数体函数最初由h p o i n c a r 日 入【8 】它是亚纯函数的推广其理论的一个重 要应用是求解常微分方程大范围有限多值解的问题随着亚纯函数值分布论的深入 发展，代数体函数的相应研究也取得了一系列成果最早是g r 6 m o u n d o s 【川将亚纯 函数的p i c a r d 定理推广到代数体函数，证明了 值代数体函数至多有2 u 个p i c a r d 例外值在亚纯函数n e v a n l i n n a 理论f 3 】诞生后不久，g v a l i r o n 1 0 j ，e u l r i c h 1 1 】 和h s e l b e r g 【1 2 】i 【13 】分别用不同方法对代数体函数建立了相应的基本理论 值分布论的一个重要应用就是研究亚纯函数和代数体函数的唯性代数体函 数的唯性理论的研究始与g v a l i r o n 1 4 】，他曾宣布如下结果而未有详证：两个u 值代数体函数w ( z ) 和w ( z ) 若对4 + 1 个哟c ( j = 1 ，2 ，4 u + 1 ) 具有相同 的n f 值点并且具有相同的重级，则必有w ( z ) = ( z ) 后来何育赞1 9 6 5 年发表了 代数体函数唯一性定理的一个证明，并且得到了一个较g v a l i r o n 更为理想的结果 【1 5 j 设w ( z ) 和w ( z ) 分别是u 值和s 值的代数体函数，且u s 若对4 u + 1 个 a j c0 = 1 ，2 ，4 v + 1 ) 具有相同的值点，但不计重数，则必有w ( z ) = w ( z ) 在近几十年，亚纯函数的唯一性理论不断的深入发展，特别是在亚纯函数的重 值与唯性问题上，杨乐所创造的处理重值问题的“杨乐方法”【3 】【4 l 【5 】，【6 】以及仪洪 勋在此问题上做的推广都取得了大量优秀成果【刀，但是关于代数体函数的相应理论， 却由于其多值性及分支点的复杂性而没有显著的进展 直到2 0 0 5 年，孙道椿创造性的建立了两个任意值的代数体函数之间的循环加 法，才使得代数体函数的唯一性理论取得突破性的进展孙道椿将处理亚纯函数重 值问题的杨乐方法推广到了多值的代数体函数，并得到了相应的关于重值的代数体 函数的唯性定理【1 6 】i 【l 7 】 本文利用孙道椿定义的加法，巧妙的运用角域内代数体函数的聚值线定义，单 位圆周上代数体函数的聚值点定义，探讨了代数体函数的唯一性问题，得到了一些 更广泛的结果： 2 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 定理a 设w ( z ) ，l v t ( z ) 分别为单位圆h 1 内的 值和s 值代数体函数， a j ( j = 1 ，2 + 2 s + 1 ) 为2 + 2 s + 1 个判别的复数若w ( z ) 或m ( z ) 的级为 o ( o 盯 o o ) ，且在单位圆内有- 百( a j ，( z ) ) = - 百( a j ，m ( z ) ) ，则w ( z ) 兰l v t ( z ) 定理b 设( 名) ，m ( z ) 分别是单位圆 1 内的 值和s 值代数体函 数，( 歹= 1 ，2 u + 2 s + 1 ) 为2 t ，+ 2 s + 1 个判别的复数如果在圆周上存 在点e 阳是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数6 的p ( 1 p o 。) 级聚值点，且在扇形 q ( p 一6 ，0 + 占) 】n i z i 1 ) 内有e ( ，( z ) ) = e ( ，m ( z ) ) ，则w ( z ) 兰m ( z ) 定理c 设( z ) ，m ( z ) 分别是复平面上的u 值和s 值代数体函数，0 = 1 ，2 v + 2 s + 1 ) 为2 v + 2 s + 1 个判别的复数如果在角域q ( a ，p ) 内有万( 叼，w ( z ) ) = 西( ，m ( z ) ) 且存在射线( 口) ( q 0 忐) 级聚线，则w ( z ) 三m ( z ) 定理d 设( z ) ，m ( z ) 分别为单位圆例 1 内的u 值和s 值代数体函数， 0 = l ，g ) 为g = 2 v + 2 s 十1 + 百2 v 】个判别的复数，其中 ，s ，七是正整数且， s 若w ( z ) 或m ( z ) 的级为盯( o 盯 。) ，且在单位圆内有- - 玩) ( ，( 名) ) = - e k l ( 即，m ( z ) ) ，则w ( z ) 三m ( z ) 定理e 设( z ) ，m ( z ) 分别为单位圆 1 内的 值和8 值代数体函数， a j ( j = 1 ，g ) 为g = 2 v + 2 s + 1 + 百2 v 个判别的复数，其中 i ，s ，忌是正整数且 t ，s 如果在圆周上存在点e 徊是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数6 的p ( 1 p 。o ) 级。； 聚值点，且在扇形 a ( o 一6 ，0 + 6 ) ) n h 1 ) 内有瓦) ( ，( z ) ) = 瓦) ( ，m ( z ) ) ， 则w ( z ) 三m ( z ) 定理f 设( z ) ，m ( z ) 分别是复平面上的u 值和s 值代数体函数，叼0 = 1 ，g ) 为g = 2 v + 2 s + 1 + 【警】个判别的复数，其中 ，s ，七是正整数且 s 如 果在角域q ( q ，p ) 内有瓦) ( 哟，( z ) ) = 瓦) ( 叼，m ( z ) ) 且存在射线( p ) ( a 0 万磊 i t ) 级聚线，则w ( z ) 三m ( 名) 运用本文新定义的加法，又得到了一些唯性定理 定理g 设缈( z ) ，m ( z ) 是单位圆h 1 内的两个七值代数体函数，h 是w ( z ) 到m ( z ) 的一个对应0 = 1 ，2 七+ 3 ) 为2 七+ 3 个判别的复数若w ( z ) 或 代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 3 m ( z ) 的级为盯( o 盯 o o ) 且o = 1 ，2 七+ 3 ) 是w ( z ) 和m ( z ) 在单位圆内 关于h 的，m 公共值，则w ( z ) 兰m ( z ) 定理h 设( z ) ，m ( z ) 是单位圆 1 内的两个k 值代数体函数，h 是 w ( z ) 到m ( z ) 的一个对应a j ( j = 1 ，2 七+ 3 ) 为2 七+ 3 个判别的复数如果在 圆周上存在点e 硼是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数b 的p ( 1 p o 。) 级聚值点，且 a j ( j = 1 ，2 七+ 3 ) 是w ( z ) 和m ( z ) 在扇形 q ( p 一6 ，0 + 6 ) ) n i z i 1 ) 内关于 h 的，m 公共值，则w ( z ) 三m ( z ) 定理i 设w ( z ) ，m ( z ) 是复平面上的两个k 值代数体函数，h 是w ( z ) 到m ( z ) 的个对应a j ( j = 1 ，2 k + 3 ) 为2 k + 3 个判别的复数如果a j ( j = 1 ，2 k + 3 ) 是w ( z ) 和m ( z ) 在角域q ( a ，p ) 内关于h 的，m 公共值，且存在射线( 日) ( q 0 百) 级聚线，则彬( z ) 三m ( z ) 定理j 设w ( 名) ，m ( z ) 是单位圆 1 内的两个u 值代数体函数，h 是w ( z ) 到m ( z ) 的一个对应0 = 1 ，q = 2 v + 3 + 【警】) 为q 个判别的复数，其中u ，k 是正整数若w ( z ) 或m ( z ) 的级为o ( o 盯 o o ) ，且是w ( z ) 和m ( z ) 关于h 的k 公共值，则w ( z ) 三m ( z ) 定理k 设w ( z ) ，m ( z ) 是单位圆h 1 内的两个v 值代数体函数，h 是( z ) 到m ( 名) 的个对应a a j = 1 ，q = 2 v + 3 + 警】) 为q 个判别的复数，其中t ，k 是正整数如果在圆周上存在点e 诏是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数b 的p ( 1 p 。o ) 级聚值点，且是w ( z ) 和m ( 名) 在扇形 q ( 口一6 ，0 + 6 ) ) n 引z i 1 ) 内关于危的 后公共值，则w ( z ) 三m ( z ) 定理l 设w ( 名) ，m ( z ) 是复平面上的两个v 值代数体函数，h 是w ( z ) 到 m ( z ) 的一个对应0 = 1 ，q = 2 v + 3 + 警】) 为q 个判别的复数，其中 ，k 是正整数如果叼是w ( z ) 和m ( 名) 在角域q ( 口，p ) 内关于h 的k 公共值，且存 在射线( 口) ( q 0 万) 级聚线，则 ( z ) 三m ( z ) h o = z ( z 一1 1 ( o 1 ) 则对方程 ( o 2 ) 有正整数解时才可能有全纯解；仅当首系数方程( 0 2 ) 有负整数解时才可能有亚 纯解 3 ) 当t 3h 寸方程( o 1 ) 无亚纯或全纯解 定理n 设h ( z ) = h n z n 在原点附近解析，且h ( 0 ) = h o 0 ，则方程 八z ) - 掣北) - 0 ( 0 _ 3 ) 有两个线性无关的解 f l ( z ) = n n 名n ，f 2 ( z ) = b - l f l ( z ) l nz + g ( z ) 其中 在原点附近解析且a l o ；厶是对数型无穷叶函数且b - 1 o ；g ( z ) 在原点 附近解析 0 0 定理0 设h ( z ) = h n z n 在原点附近解析，且h ( o ) = h o 0 ，如果方程 n = o ( o 2 ) 有整数解，那么对于方程 删一掣m ， ( 0 4 ) 代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 5 1 ) 若方程( 0 2 ) 有个正整数解p ，则方程( o 4 ) 有y l ( z ) = ea n z n ( a p 0 ) 形的 n = p 全纯解 1 - 2 q o o 2 ) 若方程( 0 2 ) 有个负整数解q ，则仅当h t b l - q - t 三0 ，才有f 2 ( z ) = e6 n 扩( b q t = l n = q 0 ) 形的亚纯解 我们还讨论了一类更广泛的复微分方程 严k ) 一掣m ) - 0 ( 0 5 ) 其中h ( z ) = h z n ( h o o ) ，t ，k 是正整数，得到下面几个定理： n = 0 0 0 定理p 设z ( z ) = h z n 在原点附近解析，且h ( o ) = h o 0 ，那么对于方 n = 0 程( o 5 ) ，有 1 ) 当t = 1 ，2 ，七一1 ，仅可能有七一t 个线性无关的形如h ( z ) = ea n z n ，a j 0 ， n = j j = t ，k 一1 的全纯解 2 ) 当t = k 时，仅当方程 h o = z ( z 一1 ) ( z k + 1 )( 0 6 ) 有正整数解时，才可能有全纯解； 仅当方程( 0 6 ) 有负整数解时才可能有亚纯解 3 ) 当t k + 1 ，无亚纯或全纯解 定理q 设日( z ) = h n z n 在原点附近解析，且日( o ) = h o 0 ，则方程 产k ) 一掣化) - o ， ( o 7 ) 有且仅有k i 个线性无关的形如h ( z ) = i ，i + 1 ，k 一1 ，i 【1 ，2 ，k 一1 ) o o ea j z j ，a j 0 的全纯解，其中歹= n = j 6 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 o o 定理r 设z ( z ) = h z n 在原点附近解析，且h ( o ) = h o 0 ，若方程( 0 6 ) n = o 有u 个不同的正整数解p 1 ，p 2 ，p 。，则方程 产( z ) 一h z ( z ) f ( z ) = 。， ( 0 8 ) 有 个线性无关的形如f ( z ) = a n z n ，a p j 0 的全纯解，其中聊后，j = n = p ， 1 ，2 ，u 定理s 设h ( z ) = h 扩在原点附近解析，且z ( o ) = h o 0 ，假定方程 n = o ( 0 6 ) 有负整数解一f ，那么对于方程( o 8 ) ，有 1 ) 当尼是奇数时，方程( 0 8 ) 有形如f ( z ) = a n z n ，口一l 0 ，一l 0 的亚纯解 n = 一z 2 ) 当k 是偶数时，当且仅当h t a t + 七一一t 兰0 方程( 0 8 ) 才有形如f ( z ) = = 1 a n z “，口一1 0 ，一f 0 的亚纯解 第一章代数体函数的循环运算 设a ( z ) ，a 。一l ( z ) ，a o ( z ) 是区域dcc 内一组没有公共零点的解析函数， 且厶z ) 0 ，则二元复方程 皿( z ，w ) = a u ( 名) ”+ a 口一1 ( z ) w ”一1 + + a o ( z ) = 0( 1 1 ) 定义了一个区域d 内的口值代数体函数( z ) 特别地，若d = i z i 1 ) ，则w ( z ) 是l z i ；：1 w ( z ) 的任意两个正则函数元素( i l i a ，t ( z ) ，a ) ，( w b ，j ( 名) ，b ) 恒存在路径，yc 死使它们互相解 析开拓 下面介绍代数体函数的n e v a n l i n n a 理论【1 8 】， 1 9 1 对于 值代数体函数w ( z ) ，n e v a n l i n n a 给出了平均中值函数和a 值点密指量 以及特征函数与级的定义： 钉q ( r ，v 矿) = 丢喜j z 2 霄。g + l 巧( r e t 8 ) i d p ， ( r ，n ) = ：1 o 竺! 掣出+ 丢n ( 。，口) 1 。g - r ， 7 8 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 t ( r ，w ) = m ( r ，w ) + n ( r ，) ， 盯( ) _ ，1 。 - 五。- l o gl t 。g ( r 7 , w ) r o o 儿) 巳7 若w ( z ) 是单位圆内的u 值代数体函数，则 州，= 甄l i m 警笋 设m ( z ) 是由方程 圣( z ，m ) = b 。( z ) m 8 + b 。一l ( z ) m 。一1 + + b o ( z ) = 0 所定义的s 值代数体函数，其中玩( z ) ，b 8 一l ( z ) ，风( 名) 是区域d 内没有公共零 点的解析函数在文献【1 6 】，【17 】中，孙道椿定义了两个代数体函数的加法，并对其性 质做了详细的讨论 定义1 0 1u 值代数体函数w ( z ) = 【叫i ( 彳) ，n ) 磐1 加上s 值代数体函数m ( z ) = m a z ) ，n ”：，定义为 ( + m ) ( z ) = ( 叫+ 仇) t ( z ) ，n - 罂1 = ( ( 叫i ( z ) + m j ( z ) ，o ) ，i = 1 ，v ；j = 1 ，s ) 定理1 0 1u 值代数体函数w ( z ) 与s 值代数体函数m ( z ) 相加是 s 值代数体 函数( + m ) ( 彳) 定理1 0 2 假设w ( z ) 是t ，值代数体函数，m ( z ) 是5 值代数体函数，且集合 w ( o ) 和m ( o ) 中均不含极点，则 t ( r ，w 士m ) t ( r ，w ) + t ( r ，m ) + l 0 9 2 第二章代数体函数的公共值与唯一性 2 1 单位圆内代数体函数的唯一性 代数体函数是亚纯函数的推广，关于单位圆内亚纯函数的唯一性，n e v a n l i n n a 在文献【1 】中已经得到了下述结果： 定理2 1 1 设f ( z ) 和g ( z ) 是单位圆内两个允许亚纯函数，a 1 ，a 5 是5 个不 同的复数若西( 口t ，) = 西( o t ，9 ) ，i = 1 ，5 ，则( z ) 三夕( z ) 自然地，我们会问这样一个问题，单位圆内的代数体函数是否也有类似的唯一 性定理呢? 本节将给出与上述问题相关的结论 1 2 1 1 主要符号、定义及引理 我们用q ( a ，p ) 表示集合：【z i q a r g z j 3 ；n ( r ，w ( z ) = 6 ；q ( a ，p ) ) 表示区 域 h r 】n q ( a ，) 内w ( z ) 一b 的零点的个数( 计算重数) ；面( o ，( 名) ) 表示 w ( z ) = a 的值点集，且每个值点仅计一次 定义2 1 1 设w ( z ) 是单0 - 厦i 例 0 ，恒有 而堕型型掣掣生业型：p r - - , 1 l o g 三 则称e 硼为w ( z ) 关于b 的p 级聚值点 定义2 1 2 【钢设w ( z ) 是单位圆内由p 纠式所定义的盯( o 盯 0 及任何复数a ，有 而! ! 墨竺( ! ! 鲨( 兰2 三竺! 璺( 堡二! ! ! ! 1 2 ：盯+ 1 r - - + l l o g 击 至多有2 v 个例外，则称e 棚为w ( z ) 在单位圆周上的b o r e l 点 1 0 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 引理2 1 1 【踟w ( 0 ，7 r ) ，存在b = 6 ( 6 ) ( 0 ，1 ) ，使得对v r ( b ，1 ) 恒有 u ( 6 i z i r ) n ia r gz l 害 - ) c 删 卜去( 1 一r ) ) c ( 删 等) n a r g z l j i ) 其中 ，、z 詈+ 2 z 秀一1 u 2 万了丽 2 2 1 2 主要结果及证明 定理2 1 2 设( z ) ，m ( z ) 分别为单位圆 1 内的u 值和8 值代数体函数， a j ( j = 1 ，2 u + 2 s + 1 ) 为2 + 2 s + 1 个判别的复数若w ( z ) 或m ( z ) 的级为 o ( o 盯 。o ) ，且在单位圆内有- 西( a j ，( z ) ) = - e ( a j ，m ( z ) ) ，则w ( z ) 三m ( z ) 证不妨假设a j ( j = 1 ，2 u + 2 s + 1 ) 皆为有穷复数，否则，只需做一个变换 即可 由单位圆内代数体函数的第二基本定理 2 2 1 ，我们有 丙( r ，w = ) ( 2 s + 1 ) 丁( r ，w ) 一s ( r ) ( 2 1 ) j = l 其中s ( 7 ，w ) = o l o g t ( r ，w ) ) + o l o g 击 ，可能须除去一满足f e 告 o o 的集 合e ； 丙( r ，m = a j ) ( 2 口+ 1 ) t ( 7 ，m ) 一s ( r ，m ) ( 2 2 ) 1 = 1 其中s ( r ，m ) = o l o g t ( r ，m ) ) + o l o g 击) ，可能须除去一满足丘，啬 的集 合e i 假设( 名) m ( 彳) 由已知西( 叼，( z ) ) = 面( 叼，m ( 名) ) ，所以有 善- ( n 职刁刊2 善- ( r ，似刊鲕( r 赢) ，= l，= l 、7 、 从而 善职r ，肚郴s - f p ，志) 垡塑签鱼塑煎堕二丝垦复塑坌友堡垩纯堡笪查垄丝 2 t r + 2 s + 1 善- ( r ，肚a j ) 蜘( n 高) 再根据单位圆内代数体函数的第一基本定理和定理1 0 2 ，可得 2 v + 2 s + l 暑丙( nw ( z ) = a j ) s 丙( r ，嘲1 ) s 丁( r ，丽1 ) ( 2 3 ) s t ( r ，w ( z ) 一m ( z ) ) + 0 ( 1 ) s t ( r ，w ( z ) ) + t ( r ，m ( 名) ) ) + o ( 1 ) 暑丙( r ，m ( z ) 2 ) u 丙( r 研万1 珂两) 丁( r ，嘲) ( 2 4 1 v t ( r ，w ( z ) 一m ( z ) ) + o ( 1 ) v t ( r ，( z ) ) + t ( r ，m ( 名) ) ) + o ( 1 ) 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 得 2 v + 2 s + 1 2 v + 2 s + 1 t ，( r ，彬( z ) = 吩) + s 丙( r ，m ( 名) = a j ) 2 u 4 t ( r ，( z ) ) + 丁( r ，m ( z ) ) ) + d ( 1 ) j 2 l j = i ( 2 5 ) 再由( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 5 ) 得 ( 一。( 1 ) ) 丁( n 形( 名) ) + ( 8 - - o ( 1 ) ) t ( r ，m ( z ) ) o l o g 击 ( 2 6 ) 由已知w ( z ) 或m ( z ) 的级为4 0 盯 。o ) ，所以( 2 6 ) 式是一个矛盾从而假设 不成立，即w ( z ) 三m ( z ) 榉 定理2 1 3 设w ( z ) ，m ( z ) 分别是单位圆h 1 内的u 值和s 值代数体函 数，a j ( j = 1 ，2 v + 2 s + 1 ) 为2 v 年2 s + 1 个判别的复数如果在圆周上存 在点e 诏是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数b 的p ( 1 j d o o ) 级聚值点，且在扇形 q ( 口一6 ，0 + 6 ) ) n 【h 1 ) 内有面( ，( z ) ) = 面( 吩，m ( z ) ) ，则w ( 名) 三m ( 名) 1 2 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 证不妨假定e 胡是w ( z ) 关于复数b 的p ( 1 p 。o ) 级聚值点，且0 = 0 令 心) = 黼 则u ( 名) 将扇形 q ( 一文6 ) ) n i z i 嘶n m z ) = 蛐( 一喜，害) ) ( 击) p e 令= r 。+ ；( 1 一) ，可：= 1 一盎( 1 一吒) ，则 玩= 1 一盎 1 一【r n + ( 1 一r n ) 】) = 1 一盎；( 1 一r 。) = 1 一盎( 1 一r n ) + 盎( 1 一r n ) = + ；( 1 一) 故 三广业堕盟幽妇一b 昙礼( 孙，( z ( u ) ) = 6 ) l o g u - 一b a n ( y ，w ( z ( u ) ) = 6 ) ( 1 一) a ( 高) p ( 1 一驯 = a ( 志) p 卜 = a ( 南) 户卜 代数体函数的唯性及复微分方程亚纯解的存在性 1 3 其中a ，b 为正常数，在不同地方出现代表不同常数于是有 一l i m l o g t ( y ：, w ( z ( u ) ) ) 一l i m l o g a ( 南) p - i - o 以_ + 1 l o g e 蒙 如1 1 l o g f 蒙 即在单位圆i u l 1 内，( z ( u ) ) 的级大于0 由于在扇形 q ( 一6 ，6 ) ) n ( i z l 1 ) 内，e ( a j ，彬( z ) ) = - e ( a j ，m ( z ) ) ，所以在 l u i 1 内，e ( a j ，p 矿( 名( 仳) ) ) = - 可( a j ，a ，( z ( u ) ) ) ，( j = 1 ，2 + 2 s + 1 ) 因此由定理2 1 2 得，在单位圆i i 1 内，( z ( u ) ) 兰m ( 名( u ) ) ，从而在扇形 q ( 一6 ，6 ) ) n i z i 1 ) 内w ( z ) 三m ( z ) 又根据解析函数的唯性定理得在单位圆 l 内，有w ( z ) 兰m ( z ) 证毕并 由定理2 1 3 可得到如下推论 推论2 1 1 设w ( z ) ，m ( z ) 分别是单位圆 1 内的秒值和s 值代数体函 数，a j ( j = 1 ，2 v + 2 s + 1 ) 为2 u + 2 s + 1 个判别的复数如果在圆周上存在点e 胡 是w ( z ) 或i ( z ) 的p ( 1 p o o ) 级b o r e l 点，且在扇形 q ( 9 6 ，o + 6 ) n i z i 1 ) 内有e ( ，( z ) ) = e ( 町，m ( z ) ) ，则w ( z ) 兰m ( z ) 推论2 1 2 设( z ) ，m ( z ) 是单位圆h 1 内的t ，值代数体函数，= 1 ，4 u + 1 ) 为4 u + 1 个判别的复数如果在圆周上存在点e 阳是w ( z ) 或m ( z ) 关于某复数b 的p ( 1 p 0 0 ) 级聚值点，且在扇形 q ( p 一正0 + 占) ) n i z i 1 ) 内 有西( ，w ( z ) ) = e ( a l ，m ( z ) ) ，则w ( z ) 兰m ( 名) 推论2 1 3 设形( z ) ，m ( z ) 是单位圆 l 内的u 值代数体函数，g = 1 ，4 + 1 ) 为4 u + 14 - 拳1 m l 的复数如果在圆周上存在点是w ( z ) 或 m ( z ) 的p ( 1 p o o ) 级b o r e l 点，且在扇形 q ( p 一正0 + 6 ) n i z i 1 ) 内 有e ( a l ，w ( z ) ) = e ( a l ，m ( z ) ) ，则w ( z ) 三m ( 名) 1 4 华南师范大学2 0 1 0 届博土研究垒堂焦论文 2 2 代数体函数在角域内分担公共值的唯一性 代数体函数在整个复平面上分担公共值的唯一性，以经出现了一些很好的结果 但是对于两个代数体函数在角域内分担公共值的唯一性问题，研究甚少本节主要 讨论这方面的问题 1 2 2 1 符号和定义 我们用a ( 0 ) 表示一条从原点引出的射线：a r gz = 口；q ( a ，p ) 表示集合：【z i a a r g z 9 1 ；n ( r ，w ( z ) = 6 ；q ( a ，p ) ) 表示区域( h 0 ，恒有 面! 堕坐鲨堕誓业二! ! ! 盟：p rlogr 则称a ( 0 ) 为( z ) 关于b 的p 级聚线 22 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1 设( z ) ，m ( z ) 分别是复平面上的 值和s 值代数体函数，0 = 1 ，2 v + 2 s + 1 ) 为2 v + 2 s + 1 个判别的复数如果在角域q ( q ，p ) 内有面( ，( z ) ) = 西( ，m ( z ) ) 且存在射线( 口) ( q 0 忐) 级聚线，则( z ) 兰m ( z ) 证不失一般性，不妨设0 = 0 ，p = 一口 心) = 筹， 出) = 崔) 等 则u ( z ) 把角域q ( 一卢，p ) 变到单位圆l t i 1 ，z ( u ) 把单位圆l 钍i 1 变到角域 垡墼签鱼鏊丝堕= 丝壁复丝坌友堡垩丝堡盟查垄丝一1 5 q ( 一p ，p ) 记名= p i 妒，有 m 训：l 舞糍 = 1 一印一希( 1 + 。( 1 ) ) c o s 荔 = 1 2 p 一军( 1 + o ( 1 ) )素 令0 6 p ，0 r p 令y n ：1 一叩7 ：毋，= ( i = 苌) 等，则 n ( ，( z ( u ) ) = b ) n ( t n ，w ( z ) = b ，a ( o ，6 ) ) r f 令吒：2 ，如：1 一叩r ：秀，则 y ：l - - - - 1 一万1 - - y n = 鲰+ ( 1 一蜘) ( 1 - 2 - 希) 故 t ( 以，( 名( u ) ) ) ( 蟊，( z ( u ) ) = b ) 一b 丢c 幽掣幽咖一b 丢叱n m 小) ) = 6 ) l o g 受一b a n ( y n ，w ( z ( u ) ) = 6 ) ( 1 一鲰) a r 乒( 1 一y n ) a ( 击) 争l - c a ( 南) 争l - c 1 6 华南师范大学2 0 1 0 届博士研究生学位论文 其中a ，b 为正常数，在不同地方出现代表不同常数于是有 一l i m 1 0 9t ( y ：, w ( z ( u ) ) ) 而! ! 唑壶；竺二1 二 0 珐一1 l o g 壶 娠1 l l o g f 蠹 即在单位圆l u i 1 内，w ( 名( u ) ) 的级大于0 由于在角域q ( 一p ，p ) 内，- e ( a j ，w