（基础数学专业论文）关于平面区域单叶性内径的讨论.pdf

摘要 本文研究平面区域的单叶性内径及与之相关的s c h w a r z 导数及对数导数 的问题 单叶性内径与几何函数论中的许多问题有关，是刻画双曲型r i e m a n n 曲 面的重要几何不变量，对某些特殊区域的单叶性内径进行估计是许多学者 感兴趣的一个问题，但要求得某一区域单叶性内径的精确数值也是一件困 难的事情，我们将对s c h w a r z 导数和对数导数定义的单叶性内径做一些讨论 本文共分三章： 第一章，绪论在这一章中，我们简单介绍单叶性内径的基本理论，回顾 单叶性内径及s c h w a r z 导数及对数导数理论的发展历史与研究现状，并简要 地介绍作者的主要工作 第二章，梯形的单叶性内径我们利用d a v i dc a l v i s 的方法讨论了等腰梯 形和直角梯形的单叶性内径，得到了两个结果：若p 是边序列为a a a b 最小 角为栅( 其中b = a + 2 a c o sk r ，0 k 1 3 ) 的等腰梯形，则a ( p ) = 2 k 2 ；若p 是 边序列为a a b c 最小角为 丌( 其中b = 2 a ，c = 佤) 的直角梯形，则a ( p ) = 百1 第三章，用对数导数定义的单叶性内径一个局部单叶的解析函数在怎 样的条件下一定是整体单叶的与对数导数有关这一章讨论了对数导数定 义的单叶性内径并得到了一些结果 关键词：单叶函数；解析函数；s c h w a r z 导数；对数导数；单叶性内径；等腰 梯形：直角梯形 a b s t r a c t i h ep r e s e n td i s s e r t a t i o nl sc o n c e r n e dw i t ht h ed i s c u s s i o no ft h ei n n e rr a d i u so f u n i v a l e n c eo nt h ep l a n ea n dt h er e l a t e dt o p i c s ：s c h w a r z i a nd e r i v a t i v ea n dt h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e t h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c ei sr e l a t e dt om a n yq u e s t i o n si nt h eg e o m e t r yt h e - o r yo ff u n c t i o n sa n dd e s c r i p et h ei m p o r t a n tg e o m e t r yi n v a r i a n to fh y p e r b o l i cr i e m a n n s u r f a c e e s t i m a t i n gt h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c eo fs o m es p e c i a lr e g i o n si si n t e r e s t i n g p r o b l e mf o rm a n ys c h o l a r s ，b u ti ti sv e r yd i f f i c u l tt og e tt h ep r e c i s ev a l u eo fi n n e rr a d i u s o fu n i v a l e n c ef o rap l a n ed o m a i n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i l le s t i m a t et h ei n n e rr a d i u s o fu n i v a l e n c ed e f i n e db yt h es c h w a r z i a nd e r i v a t i v eo rt h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e c h a p t e ri ：p r e f a c e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x p o s i t i o no ft h eb a s i ct h e o r y o ft h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c eo nt h ep l a n e ，5 8w e l lt h ed e v e l o p m e n ta n dt h er e s e a r c h s i t u a t i o no ft h et h e o r yo ft h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c e t h em a i nr e s u l t so f t h i s d i s s e r t a t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r c h a p t e ri i ：o nt h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c ea b o u tt h et r a p e z o i d w ew i l lt a k e a d v a n t a g eo fm e t h o do ft h ed a v i dc a l v i sm a i n l yt od i s c u s st h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c e o ft h ei s o s c e l e st r a p e z o i da n dt h er i g h ta n g l et r a p e z o i d ，a n dg e tt h ec o n c l u s i o n sa s f o f l o w s ： s u p p o s epi sa no p e ni s o s c e l e st r a p e z o i dw i t hs i d es e q u e n c ea a a ba n dt h es m a l l e s t a n g l ek t r ( w h e r eb = a + 2 ac o s 七7 r ，0sk 1 3 ) ，t h e nt h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c ei s o ( p 1 = 2 k 2 s u p p o s epi sa no p e nr i g h ta n g l et r a p e z o i dw i t hs i d es e q u e n c ea a b ca n dt h es m a l l - e s ta n g l e ；z r ( w h e r eb = 2 a ，c = 钜o ) ，t h e nt h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c ei s 仃( p ) = c h a p t e ri i i ：o nt h ei n n e rr a d i u s o fu n i v a l e n c ed e f i n e db yt h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a - t i v e w h a tt h ec o n d i t i o no fal o c a l l yi n j e c t i v ea n a l y t i cf u n c t i o ni si n j e c t i v e ? t h ea n s w e r i sr e l a t e dt ot h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l ld i s c u s sm a i n l y t h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c ed e f i n e db yt h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a t i v ea n dg e ts o m e c o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：u n i v a l e n tf u n c t i o n ；s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ；t h ei n n e rr a d i u so fu n i v a - l e n c e ；t h ep r e - s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ；t h ei s o s c e l e st r a p e z o i d ；t h er i g h ta n g l et r a p e z o i d i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：益咝韵关 签字日期一砂崂年6 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：曼铭族 签字日期：游6 月3 - 日 锄张蒯乙 签字日期：带月厂日 1预备知识 拟共形映照理论的研究起始于二十世纪三十年代到现在已经有七、八 十年的历史了在拟共形映照理论中两个重要概念是s c h w a r z 导数 驰，= ( 铬) 一互1 ( 锱) 2 = 铬一兰( 锱) 2 和对数导数 巧( z ) = 苦( z ) s c h w a r z 导数和对数导数经常用来讨论解析函数的单叶性a h l f o r ，n e h e r i 等人得到当一个局部单叶解析的函数的s c h w a r z 导数或对数导数的范数小 到某个程度时这个函数是整体单叶的这是拟共形映射在经典函数论中的 一个重要应用 国内外关于单叶性内径的研究已经有很长一段时间了近年来，不少关 于单叶性内径研究的学术论文开始陆续出现在国内的学术杂志上 1 1 双曲度量 用c 表示复平面， 表示扩充复平面定= cu 。) ，a 表示单位圆在上 我们引入度量 拈尚艇 单位圆a 内任意一条可求长曲线7 在这个度量下的长度是 z td s = z 替， 我们称该度量为双曲度量与双曲度量对应的双曲密度定义为 p ( z ) 。南 双曲度量的一个基本性质是在保持单位圆不变的分式线性下不变事实上， 任意一个保持单位圆的分式线性变换都可以写成 直接计算表明 l d w li d z l 聊2 聊 由此可见，任意一条曲线，yc 的双曲度量长度在保持单位圆的分式线性变 换下保持不变换句话说，保持单位圆的分式线性变换是双曲变换下的刚体 运动 江西师范大学硕十学位论文 双曲度量可以由单位圆推广到单连通区域上设d 是一个单连通区域 且边界多于一点，又设，是d 到的共形映射，我们定义 虻鲁糕 为d 内的双曲度量我们还可以得到d 内的双曲密度为 蒯= 尚糯 双曲密度的一个基本性质就是具有单调性，设d 1 和d 2 是边界多于一点的 双曲区域且d 1 d 2 ，则p d ，( z ) p d 。( z ) 1 2s c h w a r z 导数 s c h w a r z 导数曾经是复变函数论中研究解析函数的单叶性的充分必要条 件的最重要的概念设，是是定义在区域d 内的解析函数，在点z 处导数 ，7 ( z ) 0 ，定义，在点z 处的s c h w a r z 导数为 s s ( 加( 锱) t 一互1 ( 锱) 2 = 铬一兰( 锱) 2 很容易直接验证，( z ) 的s c h w a r z 导数为零当且仅当，( z ) 为分式线性变换 对于局部单叶的全纯函数，s c h w a r z 导数是有定义的对于亚纯函数，其 s c h w a r z 导数在极点处的定义是 s s ( z ) = s ( z ) 这样定义是合理的，因为这个公式对全纯函数，在其非，7 ( z ) 零点成立这 样，在某个区域内局部处处单叶的亚纯函数的s c h w a r z 导数在区域内处处有 定义，并且是一个全纯函数 设，与g 是两个局部单叶的亚纯函数，并且复合函数，o g 有定义，则成 立公式： 毋。9 = s l ( 9 ) 严+ 岛 s c h w a r z 导数与二阶线性微分方程有着密切联系如果s f ( z ) = 2 q ( z ) ，则， 可表示成 ，：塑， 其中叫1 和t l j 2 是二阶线性微分方程w + q ( z ) 伽= 0 的线性无关的解反之，设 9 ( z ) 是一解析函数，如果u 是二阶线性微分方程 u | f 牟q ( z ) u = 0 的解，记，( z ) = f o u - - 2 ( s ) d s ，则有曲( z ) = 2 q ( z ) 关于平面区域单叶性内径的讨论 关于s c h w a r z 导数与共形映照相联系的开创性工作是由n e h a r i 作出的， 他证明了一个定理，揭示了解析函数的s c h w a r z 导数与函数的单叶性之间的 联系 对于定义在单位圆盘上的解析函数，一个单叶性的必要条件是s ， 满足 i 研( z ) i 南， 这是k r a u s 8 于1 9 3 2 年证明的n e h a x i 于1 9 4 9 年【1 1 运用面积定理，即通过 对单位圆盘上给定解析函数的级数展开式的系数估计，证明了这一结果同 时，n e h a r i 给出了一个主要的单叶性的充分条件 母( 圳矿饰 随后b e r g m a n 与s c h i f f e r 9 1 运用共形映照与核函数理论证明了同样的结果 关于单位圆盘上解析函数单叶的充分条件，学者们依赖于二阶线性微分 方程理论，得出了不少单叶性判据1 9 7 9 年，n e h a r i 1 0 1 证明了一般化的结果： 定理i 设，是定义在内的非常数的解析函数，并设f ( t ) 是定义在 【0 ，1 ) 上满足下列性质的实值函数：f 有二阶连续导数；跏( t ) 连续；f 7 o ； s f ( ) ( 1 一t 2 ) 2 非递增若 曲( z ) f s f ( 1 z i ) ，2 d ， 则，在单位圆盘上单叶 定理i i 设f ( z ) 是定义在内的解析函数，l s f ( z ) l s f ( z 1 ) ，在z 【0 ，1 ) 上s f ( z ) 0 并且，设f ( i z i ) _ 。，( i z i _ 1 ) ，且设f ( i z l ) 满足定理i 中的所有的 假设条件若c ( z ) 在内的解析，在( 一1 ，1 ) 上取正值，是任意小的正数，则 条件 i 曲( z ) i 跏( i z l ) + a ( 1 z i ) 不足于保证，在单位圆盘上单叶 作为特例，n e h a r i 给出了满足定理i 和定理i i 要求的三个单叶性判据( n e h a r i 单叶性判据) ： ( 1 ) 若，在a 内解析，并且其s c h w a r z 导数满足 # 2 i 毋l 寻， 则，在单位圆盘上单叶( 【1 】) ( 2 ) 若，在a 内解析，并且其s c h w a r z 导数满足 研c z ，i 言竺 蠢铬+ 吾 崭，。p ， 3 江西师范人学硕士学位论文 则f 在单位圆盘上单叶当弘= 0 时，上述条件即是n e h a r i 单叶性准则 i s s ( z ) i 南 ( 3 ) 若，在内解析，并且其s c h w a r z 导数曲满足 ( 1 1 ) i ( z ) i 呈竺尘乏铲，1 q 2 ， 则，在单位圆盘上单叶注意到当a = 1 时，上述条件即是n e h a r i 单叶性准则 ( 1 2 ) i 曲( z ) i 南， 当q = 2 时，条件即是p o k o r n y i 2 4 1 单叶性准则i s f ( z ) l 4 ( 1 一 z 1 2 ) 对于a = 1 的 情形，以i 毋( z ) ls2 ( 1 一i z l 2 ) 2 为出发点，c h u a q u i ，g e h r i n g ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 等学者对s c h w a r z 导数与单叶函数的相关问题进行了广泛而深入的研究，得到 许多非常有意义的结果，( 见【1 l 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 】 1 6 】【1 7 】【1 8 】【1 9 】【2 0 2 1 2 2 1 ) a h l f o r s 和w e i l l 2 3 】证明了若，的s c h w a r z 导数满足更强的条件 ( 1 3 ) 吲圳高，。七 1 ， 则，不仅在单位圆盘内单叶，还可以砥l + k 一拟共形延拓到整个复平面，并给出 了拟共形延拓的具体表达式此时，按微分几何的观点，对应的a 上的光滑 共形度量为p o i n c a r 6 度量( 曲率为一4 ，直径为。，完全度量) 1 3s c h w a r z 导数和对数导数的范数与单叶性内径 设d 是扩充复平面e = cu o o ) 内的开集且边界多于一点，( z ) 是d 内 局部单叶的解析函数，我们定义i ( z ) 的s c h w a r z 导数研的范数为 i i 曲怕= s u pi s s ( z ) l p 5 2 ( z ) z e d 范数l l 曲怕有很多重要的性质，若9 ( z ) 是d 上的共形映射，则 ( 1 ) i i 曲物= 0 当且仅当，( z ) 是分式线性变换即厂( z ) = 拥a z + b ( 2 ) | f 曲。9 l i d = i i 曲一岛一- d ) ( 3 ) 当a ，肛为分式线性变换时，1 1 毋l l d = l l s a 。，。p 虬一- ( d ) ( 1 ) 和( 3 ) 3 是显然的，这里只就( 2 ) 说明一下由s c h w a r z 导数复合函数的 公式知： s ，( 仞) = s o g o g - * ( 伽) = s s 。9 ( 9 1 ( t u ) ) ( 9 1 ( 枷) ) 2 + s g l ( t u ) 所以 s ? 叼( 9 1 ( 伽) ) 0 1 ( 伽) ) “= 曲( 叫) 一s ；一，( 训) 4 关于平面区域单叶性内径的讨论 在等式两边同时乘以j d 孑( 加) 得： i s i 叼( 9 1 ( 铆) ) ( 9 1 ) 乞i 巧尹( 仞) = i 曲( 钮) 一5 ；一，( t t ，) i 巧1 2 ( 镏) 由共形映射下双曲度量的不变性得： i l 曲。9 l i d = i i 毋一岛一- i i g ( d ) 利用s c h w a r z 导数定义区域d 的单叶性内径盯) 为： o ( d ) = s u p a ：a 0 ，l i 曲怕o 能推出，在d 单叶) 这里 ， | | 岛l i d = s u p 一 i s f ( z ) l p 5 2 ( z ) z e d 显然单叶性内径仃( d ) 在分式线性变换下保持不变 对于单叶性内径盯( d ) ，当前主要有两个研究方法，一个是l e i l am i l l e r v a n w i e r e n 【2 7 1 方法，要用到下面引理： 引理1 2 1 1 3 6 若是z 平面的单位圆盘，p 是w 平面的多角形区域，则 把映为p 的共形变换是： w c 厂。f 1 ( z - - z k ) 譬。蚺c 。o ok = l 其中陬是p 的各顶点角的弧度，是上与p 的各顶点相对应的点，z o ，c 及c 7 是复常数 引理1 2 2 2 7 若d 是复平面上的单连通区域，h 是单位圆到d 上的 共形映射，则o ( d ) 2 一f | 瓯| l 引理1 2 3 1 2 7 1 若p 是凸礼边形区域，七7 为p 的个内角，则o ( p ) 2 k 2 定义1 1 1 在引理1 2 2 中如果o ( d ) = 2 一i i s h l l a ，则称d 为n e h a r i 圆 利用引理1 2 3 可以估计个凸多边形区域p 的单叶性内径上界，再利 用引理1 2 2 可以估计其下界如果上界和下界相等的话则可以得到凸多边 区域的单叶性内径盯( p ) l e i l am i l l e r 和v a nw i e r e n 2 7 1 利用这种方法得到了下面结果： 定理1 2 1 1 2 7 1 若r 是一个正n 边形区域，则口( p n ) = 2 ( 譬) 2 且r 是一 个n e h a x i 圆 定理1 2 2 1 2 7 1 设r 是一个矩形且满足1 r ( r ) 1 5 2 3 4 6 ，则盯( r ) = 2 1 且r 是一个n e h a r i 圆其中r ( r ) 表示矩形的长边和短边之比 定理1 2 3 1 2 7 1 设日是一个边序列为b a a b a a 的等角六边形且满足1 r ( h ) 1 6 7 1 1 7 ，则o ( h ) = 3 且h 是一个n e h a r i 圆其中r ( h ) 表示矩形的长 边和短边之比 5 江西师范大学硕士学位论文 运用类似的方法，朱华成1 3 1 】对菱形的单叶性内径作了研究，得出菱形 的单叶性内径为2 k 2 ( 其中k 丌为菱形的最小内角) ；沈亚良1 3 2 】证明了当日是 一个边序列为b a a b a a 的等角六边形且o 6 1 5 7 。b 1 则日是一个n e h a r i 圆且a ( h ) = g ；宋颖和张永华【3 3 】研究了一类六边形的单叶性内径，给出了 角序列为q p p q 卯边长序列为b a a b a a ( o r = k t r ，a ，b 依赖于k ) 的六边形的单叶 性内径a ( h ) = 2 k 2 ，从而证明了此类六边形日为n e h a r i 圆 另一个研究方法是d a v i dc a l v i s 7 方法，要用到下面引理： 引理1 2 4 f 7 】若g 是一个边界多于两点的双曲型区域且b 0 ，如果 对任意不同的两点z 1 ，z 2 g ，存在一个边界多于两点的双曲型区域g 7 使 z l ，z 2eg 7 ，g cg 且盯( g ) b ，则a ( a ) b 引理1 2 5 【了】设g 1 ，g 2 为两个不同的边界多于两点的双曲型区域，如果 对任意的不同的两点z l ，z 2 g 2 ，存在m 6 b i u s 变换z 使z 1 ，沈丽且 t ( g 1 ) cg 2 ，则a ( a 2 ) a ( a 1 ) 直线或直线段在m 6 b i u s 变换下的像称为圆弧，由三段首尾相接的圆弧 包围的有界j o r d a n 区域称为圆弧三角形对于圆弧三角形，d a v i dc a l v i s 7 得 到以下结果： 定理1 2 4 【7 1 设d 是圆弧三角形且最小内角为栅，则a ( d ) = 2 奄2 对于一个凸n 边形p ( k r 为p 的一个内角) ，显然o ( p 1s2 k 2 而要证明 a ( p ) 2 k 2 ，我们希望找到一个双曲型区域d ，使得对任意z 1 ，z 2 p ，dcp 且 z 1 ，z 2 一d ，由弓i 理1 2 5 失口：o ( p ) a ( d ) = 2 k 2 d a v i dc a l v i s 7 运用一h 述方法研究了正多边形的单叶性内径，得到 邶) - 2 ( 等) 2 其中p 为正绍边形 在第二章我们将运用d a v i dc a l v i s 方法讨论了等腰梯形和直角梯形的单 叶性内径 我们还可以利用对数导数来定义单叶性内径，设d 是扩充复平面雹： c u ) 内的开集且边界多于一点，s ( z ) 是d 内局部单叶的解析函数存f ( z l 的解析点z d ，定义，( z ) 的对数导数巧为 t s = p y | ； 若z o d 是，( z ) 的极点，则定义s ( z ) 在z 0 的对数导数 乃( z 0 ) = t 1 ( z o ) 若令l = l o g f ( z ) 则乃= l 7 ，故巧称为对数导数 6 关于平面区域单叶性内径的讨论 若，( z ) 是区域d 上的局部单叶的亚纯函数，则其对数导数巧是区域d 上的一个全纯函数；反之，若妒是区域d 上的一个全纯函数，是否存在一个 局部单叶的亚纯函数，( z ) 使得妒( z ) = 等( z ) ，若存在是否唯一? 若妒是区域d 上的一个全纯函数，令 m ) = z 。e j ： 妒( t ) d t d 厶 则 ，k ) = e 后l p ( 。) d t ， 所以 ， l o g ，( 扣知岫， 即得 i f o 多( z ) = ( 1 0 9f k ) ) = ( 上妒( 。) 班) 72 妒( z ) 设 ，f 2 满足= 即 和= 铷 则f i 彤= 彤爿，所以 笪曼二丝曼：o ， ，2 一。 即( 岛) = 0 ，所以是= 。，得 = n 丘+ 6 其中。，b 是复常数于是我们得到在 忽略一个仿射变换时，( z ) 存在且唯一 用对数导数定义区域d 的单叶性内径o r 】( d ) 为： o z ( d ) = s u p a ：a 0 ，0 巧i i o o 能推出，在d 单叶 这里 i l 巧怕= s u p i t f ( z ) i p d l ( z ) 】- z 上， 对于对数导数定义的单叶性内经o r l ( d ) 当前没有多少结果，b e c k e r 和 p o m m e r e n k e 2 8 证明了上半平面和单位圆的单叶性内径都等于1 d e n n i ss t m 【2 9 】 证明了当d 为凸区域时o l ( d ) 1 ；当d 为非凸区域时口l ( d ) 0 若v z l ，z 2 d ，z l z 2 ，存在d 7 使得z l ，z 2 d 7 ，d 7 d 且a l ( d 7 ) b ，则a l ( d ) b 8 2 梯形的单叶性内径 2 1引言 设d 是扩充复平面e = cu 。 内的开集且边界多于一点，( z ) 是d 内 局部单叶的解析函数，在，( z ) 的解析点z d ，定义，( z ) 的s c h w a r z 导数毋为 曲= ( ，f ，) ，一( 1 2 ) ( f f ，) 2 ； 若z 0 d 是，( z ) 的极点，则定义，( z ) 在z 0 的s c h w a r z 导数曲为s 1 ，( 翔) 研 是m s b i u s 变换下的不变量，即对于m 6 b i h s 变换t ，有s t 。，= s i 对于扩充复平面 内的双曲型单连通区域d ，定义其双曲度量p dz ) 为 p d ( z ) = 9 ，( z ) i ( 1 一l g ( z ) 1 2 ) ，其中g ( z ) 是d 到单位圆= z ：吲 1 ) 的任意共 形变换 利用s c h w a r z 导数定义区域d 的单叶性内径盯( d ) 为： a ( d ) = s u p a ：a 0 ，i i s f l i d n 能推出厂在d 单叶】， 这里 l | 曲i i o = s u p l s f ( z ) p d 2 ( z ) z e d 单叶性内径与几何函数论中的许多问题有关，是刻画双曲型r i e m a n n 曲 面的重要几何不变量，对某些特殊区域的单叶性内径进行估计是许多学者 感兴趣的一个问题，但要求得某一区域单叶性内径的精确数值也是一件困 难的事情n e h a r i 1 和h i l l e 2 证明了单位圆= ( 2 ： 0 特殊的区域的单叶性内径也得到了 一些结果：l e h t o 6 和l e h t i n e n 3 计算了角形区域的单叶性内径，他们得到了 角形区域a 七= z ：z c ，0 a r g z k z r ，0 k 2 的单叶性内径，当0 k 1 时盯( a k ) = 2 k 2 ，当1 k 2 时o ( a 七) = 4 k 一2 k 2 ；c a l v i s 7 得到了正多边形r 的 单叶性内径盯( r ) = 2 ( n 一2 ) 2 佗2 ；w i e r e n 2 7 得到了边长序列为b a a b a a 的等角 六边形p 曲当1 b a 1 6 7 1 1 7 时，盯( ) = 8 9 = 仃( 只) ；朱华成【3 l 】对菱形的单 叶性内径作了研究，得出菱形的单叶性内径为2 k 2 ( 其中h 为菱形的最小内 角) 对于梯形的单叶性内径的研究目前还没有相应的结果，本章利用d a v i d c a l v i s 的方法对边序列为a a a b 最小角为栅( 其中b = a + 2 a c o sk z r ，05k 1 3 ) 的等腰梯形和边序列为a a b c 最小角为j 丌( 其中b = 2 a ，c = 佤) 的直角梯形 的单叶性内径进行了研究 9 江西师范人学硕士学位论文 2 2 等腰梯形的单叶性内径 定理2 2 1 若p 是边序列为a a a b 最小角为h ( 其中b = a + 2 a c 0 8 七_ 7 r ，0 k 1 3 ) 的等腰梯形，则口( p ) = 2 k 2 我们先介绍几个引理和命题。 引理2 2 1 1 6 若a k = _ 【z ：z c ，0 w 4 w 3 w ，所以圆弧蕊与痢之间的夹角大于或等于 南7 r 1 1 江西师范大学硕士学位论文 引理2 2 6 若 0 3 1 ，伽2 ， t 0 3 ， 3 4 是最小内角为栅( 其中0 忌1 3 ) 的等腰梯形 的四个顶点且f 协1 鲫2j = f w 2 t 0 4 f = 彬1 媚i ( 其中叫1 o j 2 是上底) ，若z 伽1 蚴 彬1 ，蚴】， 则存在分别与叫1 忱，t 0 3 w 4 相切的圆弧莉，痂且圆弧蕊与藏之间的夹角 大于或等于腩 证由前面的讨论知存在引理中的圆弧疬，莉，分别连接z 蚍，z 1 1 3 4 ，过z 点作圆弧痂的切线2 ；w 与w 3 t 0 4 相交于 o j ，显然，z w w 4 z = z w z w 4 ，分别延长 t b 1 u 2 3 ，w 2 t j 4 交于点a ，过z 点作圆弧蕊的切线z c 分别与 j l 3 2 ，a 耽相交于c ，d 两点因为z w w 4 z = w z w 4 ，所以只需证明z d z w 4 z d w 4 z ，即i d w 4 i 1 1 9 2 1 因为i 伽1 叫2 i = 1 w 2 w 4 1 ，i c z l = i c w 2 1 ，所以只需证明i c 叫1 i + i d w 2 i l c d l _ 过点 d 作加1 伽3 的平行线交叫1 1 3 2 于e ，显然a z w l c 一k c d e ，所以i c z i i c d i = l c w l l 1 c e i 考虑k c d w 2 ，z d w 2 c = k t r 而z w 2 d c = z w l a w 2 + a z d 因为 w l a w 2 = 7 r 一2 k t r k t r ，所以f 貌f = i c w 2 l e d i ，所以i c w l j c e i 又因为 l d e i = j d w 2 1 ，i c e i + i d e i i c z ) l ，所以l c w l i + l d w 2 i i c d i ，所以圆弧蕊与 痂之间的夹角大于或等于栅 命题2 2 3 对任意的钆z 2 p ，存在一个与p 相似的等腰梯形p 使得 p cp 且z 1 ，z 2 a p 7 证对任意的z 1 ，忽p ，设d 1 ( z ) ，如( z ) 分别表示z 1 ，z 2 到p 的边界的欧氏 距离不妨假设d l ( z ) d 2 ( z ) ，把p 的各边界向其中心平移d l ( z ) 的距离得到 与p 相似的等腰梯形p 1 ，显然z 1 o p l ，z 2 p 1 ；又设d 3 ( z ) ，d 4 ( z ) 分别表示z 1 到p 1 的顶点，z 2 到p l 的边界的欧氏距离若d 3 ( z ) a 4 ( z ) ，把p 1 的各边( z 1 所在的边除外) 向其中心平移d 4 ( z ) 的距离得到与p 1 相似的等腰梯形p 7 ；若 d 3 ( z ) s 血( z ) ，把最的各边( z 1 所在的边除外) 向其中心平移如( z ) 的距离得到 与p l 相似的等腰梯形p 2 ，显然2 l ( p 2 ) ，z 2 p 1 ；设d 5 ( z ) 表示z 2 到岛的边界 的欧氏距离，把尼的各边( z 1 所在的边除外) 向其中心平移d 5 ( z ) 的距离得到 与p 2 相似的等腰梯形p 7 ，显然2 1 ( p ) ，z 2 a p 不管怎样我们都有：对任 意的z 1 ，z 2 p 存在一个与p 相似的等腰梯形p 7 ，使得p 7cp 且z 1 ，z 2 o p 7 下面完成定理的证明： 对任意的z l ，z 2 p ，由命题2 2 3 知，存在一个与p 相似的等腰梯形p 7 使 得p 7 p 且z 1 ，z 2 a p 7 再由命题2 2 3 知，存在m 6 b i u s 变换t ，使z 1 ，2 ：2 t ( a k ) 且t ( m ) cp 由引理2 2 1 和引理2 2 3 即得到定理的证明 2 3 直角梯形的单叶性内径 定理2 3 1 设p 是边序列为a a b c 最小角为；丌( 其中b = 2 a ，c = 西) 的 直角梯形，则盯( p ) = 吾1 显然，要证明盯( p ) = ，只需要证明仃( p ) 且盯( p ) 我们以梯形的 1 2 关于平面区域单叶性内径的讨论 底边为z 轴，以底边上的最小角所在的顶点为原点，则p a ! 且对于任意不 同的两点z 1 ，z 2 a ! ，令t = a z ，当a 足够大时有z l ，z 2 t ( p ) 并且t ( p ) ca ! ， 由弓i 理2 2 1 和弓i 理2 2 3 矢口，a ( p ) 盯( a ! ) = 。1 - 和前面一样我们分别用o p 和v ( p ) 表示的p 的边界和顶点 我们先介绍几个命题 命题2 3 1 设z 1 ，z 2 u ( p ) ，则存在m 6 b i u s 变换t 使z 1 ，z 2 丽且 t ( a ) s p 证：设p 为m ( 其中l 溉i = a ，i m 矾l = a ，1 w 3 w 4 i = b ，i l = c ) 分两种情况：( 1 ) z 1 ，z 2 是相邻的顶点；( 2 ) z 1 ，z 2 是不相邻的顶点 ( 1 ) 若z l ，z 2 是相邻的顶点：( a ) 当z 1 = ，z 2 = w 2 或z 1 = 矾，7 , 2 = w 4 时，则三角形m 即为最小内角为 ，r 的圆弧三角形g l 使得g 1cp 且 z 1 ，z 2 一g 1 因为区域g 1m s b i u s 等价于角形区域a 三，所以存在m 6 b i u s 变换t ， 使得z 1 ，z 2 丽且t ( a ! ) p ；( b ) 当z 1 = w 2 ，7 , 2 = w 3 或z 1 = w 3 ，z 2 = w 4 时，由 m l = 阢肌l 知：存在连接耽，矾的圆弧a w ：l 且分别与m 和研巩相切圆弧三角形m 眠设为g 2 的最小内角为 7 r 因为区域g 2 m 6 b i u s 等价于角形区域a 三，所以存在m 6 b i u s 变换r ，使得z 1 ，z 2 厕且 t ( a ) p ( 2 ) 若z l ，z 2 是不相邻的顶点：( a ) 当z 1 = w 2 ，z 2 = w 4 时，由i 啊i = i 肌巩i 知：存在连接玑，的圆弧蹴且分别与m 睨和研瞰相切圆弧三角形 m 眦设为g 3 的最小内角为j 7 r 因为区域c , 3m s b i u s 等价于角形区域a ! ， 所以存在m 6 b i u s 变换t ，使得钆z 2 丽且t ( a ! ) p ( b ) 当z 1 = 肌，z 2 = w 3 时，由i i = 2 啊w 4 l 知：可以在上取一点使得i m i = l w 3 w s i ， 则存在连接肌，的圆弧编且分别与m 溉和矾w _ 3 相切圆弧三角形 矾设为g 4 的最小内角为 丌因为区域g 4m s b i u s 等价于角形区域a 三， 所以存在m s b i u s 变换t ，使得钆2 ：2 丽且t ( a ! ) p 总之存在m s b i u s 变换t 使得z l ，z 2 丽且t ( a ! ) p 命题2 3 2设z 1 ，z 2 a p ，则存在m s b i u s 变换t ，使z 1 ，z 2 丽且 t ( a ) c p 证设p 为啊w 3 w 4 ( 其中l 啊l = a ，m w 4 = a ，w 3 w 4 = b ，w 2 w 3 = c ) 分三种情况： ( 1 ) z l ，z 2 在p 的同一条边上( a ) 若z l ，z 2 肌 m ，w 2 或z l ，z 2 w l w 4 m ，w 4 ，则三角形m w 2 w 4 既为圆弧三角形设为g 1 ，其最小内角为 j 7 r 因为区域g 1m 6 b i u s 等价于角形区域a ! ，所以存在m 6 b i u s 变换z 使 得钆z 2 丽且t ( a ) 冬p ( b ) 若钆z 2ew 2 w 3 w 2 ，w 3 或z 2 w 3 w , w 3 ，w d ，由i 川i = i w l w 4 1 知：存在连接w 2 ，w 4 的圆弧碥且分别 1 3 江西师范大学硕士学位论文 与m 讹和帆胍相切圆弧三角形胍设为g 2 的最小内角为 7 r 因为区 域g 2m 6 b i u s 等价于角形区域a l ，所以存在m 6 b i u s 变换t ，使得z 1 ，z 2 丽 且t ( a ! ) p ( 2 ) z l ，z 2 在p 的相邻的边上( a ) 不妨设z l m m ，】且 z 2 w 2 w 3 w 2 ，w 3 由i f = 2 1 w l w 4 i 知：可以在矾上取一点溉使得 l 肌眠i = 1 w 3 w s i ，则存在连接帆，溉的圆弧厩厩且分别与眦肌和w s w 3 相切圆弧三角形m 胍设为g 3 的最小内角为；7 r 因为区域g 3m 6 b i u s 等 价于角形区域a ! ，所以存在m 6 b i u s 变换t ，使得z 1 ，z 2 碉且t ( a ! ) p ( b ) 不妨设z l w 2 w 3 1 w 2 ，】_ 且z 2 w 3 胍 w 3 ，眠卜由i 肌w 2 l = i 眦w 4 l 知：存在连接，矾的圆弧w 一2 w 4 且分别与肌和肌m 相切圆弧三 角形眠眠设为g 4 的最小内角为 丌。因为区域g 4m 6 b i u s 等价于角形 区域a ! ，所以存在m 6 b i u s 变换r ，使得z 1 ，z 2 丽且t ( a ! ) p ( c ) 不 妨设z 1 m w 4 1 w l ，矾 且z 2 w 3 w 4 w 3 ，慨) 由j 胍i = 、2 i w l w 2j 知： 可以在w j 上取一点使得i m i = i w 3 w s i ，则存在连接m ，w 3 的圆 弧厩诱且分别与阢溉和氓相切圆弧三角形m 设为g 5 的 最小内角为 7 r ，因为区域g 5m 6