（基础数学专业论文）关于保持距离映射的aleksandrov问题.pdf

摘要 l l 等距算子是空间理论中一个极其重要的研究对象。在研究等距算子的 诸多领域中关于其保持所有距离不变的性质是否可以简化为保持某些特定 的距离不变是一个十分重要的课题。a l e k s a n d r o v 问题研究的正是这样的一 个问题：若t 是作用于e 上到f 的保1 映射( d o p p ) ，那么t 是不是一个等距映 射? 本文主要关注两个a l e k s a n d r o v 问题的具体情况：一) 在h i l b e r t 空间中 的a l e k s a n d r o v 问题；二) 在二维严格凸空间中的a l e k s a n d r o v 问题。本文介 绍了这两个问题的提出及众多数学工作者对这两个问题所做研究所取得的 重要成果，并在本文中给出了a l e k s a n d r o v 问题在这两个具体情况下的肯定 解答，同时文中还穿插并列举了与这两个情况有关但尚未被解决的问题。 关键词：a l e k s a n d r o v l ； 题；d o p p ( 保1 性质) ；m a z u r u l a m 定理；线性等 距延拓 ab s t r a c t a b s tr a c t t h ei s o m e t r yi sa ni m p o r t a n ts u b j e c t i v ei ns p a c et h e o r y o n eo ft h e i m p o r t a n ti s s u e sa b o u ti s o m e t r i e si sw h e t h e rw ec a ni m p l yam a p p i n gp r e - s e r v i n ge v e r yd i s t a n c eb yi t sp r e s e r v i n gs o m es p e c i a ld i s t a n c e a l e k s a n d r o v j u s tp o s e ds u c haq u e s t i o n ：w h e t h e rt i sa ni s o m e t r y , i fti sa m a p p i n gf r o m s p a c ee t ofs a t i s f y i n g ( d o p p ) i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e ra l e k s a n d r o vp r o b l e mi nt w os p e c i a l c a s e s ：1 ) a l e k s a n d r o vp r o b l e mi nh i l b e r ts p a c e s ；2 ) a l e k s a n d r o vp r o b l e mi n 2 - d i m e n s i o n a ls t r i c t l yc o n v e xs p a c e i nt h i sp a p e r a u t h o ri n t r o d u c e st h e o r i g i no ft h et w os p e c i a lp r o b l e m sa n ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t si nt h ei s s u e s a u t h o ra l s og i v e st h ep o s i t i v ea n s w e r st ot h es p e c i a lp r o b l e m s m e a n w h i l e s o m eo p e np r o b l e m sa b o u tt h ei s s u e sw i l lb em e n t i o n e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ： a l e k s a n d r o vp r o b l e m ； p r o p e r t y ) ；m a z u r u l a mt h e o r e m ；l i n e a r l y d o p p ( d i s t a n c eo n ep r e s e r v i n g i s o m e t r i ce x t e n s i o n 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 日月 挚 十6 正年 刀刁口， 0 ： 弘 名签者作文沦位学 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：男影蒋 泖7 年6 月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： c h a p t e r1 i n t r o d u c ti o n t h ei s o m e t r y , t r a n s f o r m a t i o n sw h i c hp r e s e r v ed i s t a n c eb e t w e e np o i n t si sa l l i m p o r t a n ts u b j e c t i v ei ns p a c et h e o r ya n do p e r a t o rt h e o r y i nt h em o s tg e n e r a ls e n s e ，s u c ht r a n s f o r m a t i o n sa r eb a s i ci nt h er e s e a r c ha b o u tg e o m e t r y w h i c hi sc o n c e r n e dw i t hr i g i dm o t i o n sa n dm a n yp r e s e r v e dp r o p e r t i e s t h e t h e o r yo fi s o m e t r yh a sav e r ym u l t i p l eb a c k g r o u n d i t sa f f e c te m b o d i e si n m a n yf i e l d so fm a t h e m a t i c s ，s u c ha sd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , f u n c t i o n a la n a l y - s i sa n ds oo n i nf i e l do ff u n c t i o n a la n a l y s i s ，o n ei m p o r t a n tr e s u l ti sd u et o s m a z u ra n ds u l a m 1 】i n1 9 3 2 i nt h ei m p o r t a n tp a p e r 1 t h e yp r o v e d t h a te v e r yi s o m e t r yo fan o r m e dr e a lv e c t o rs p a c eo n t oa n o t h e rn o r m e dr e a l v e c t o rs p a c ei sal i n e a rm a p p i n gu pt ot r a n s l a t i o n ，i e ，t h ef a m o u sm a z u r - u l a mt h e o r e m i ti sn a t u r a lt oa s ki ft h er e s u l th o l d sw i t h o u tt h eo n t o a s s u m p t i o n j b a k e ri nh i sp a p e r 【2 ，i n1 9 7 2 ，g a v ead e f i n i t ea n s w e rt ot h i s q u e s t i o n h ep r o v e dt h a t ：a ni s o m e t r yf r o mo n er e a ln o r m e dv e c t o rs p a c e i n t oas t r i c t l yc o n v e xr e a ln o r m e dv e c t o rs p a c ei sa f f i n e f u r t h e r m o r e ，h e a l s og a v eo n ei m p o r t a n te x a m p l et h a t ：g i v e nar e a ln o r m e dv e c t o rs p a c ef w h i c hi sn o ts t r i c t l yc o n v e x ，t h e r ee x i s t sa ni s o m e t r yf r o mt h er e a l si n t of w h i c hi sn o ta f f i n e t h e r ea r eal o to fs u b j e c t sa b o u ti s o m e t r i e s ，s u c ha s t h ee x t e n s i o np r o b l e mo fi s o m e t r i e s ，t h es t a b i l i t yp r o b l e mo fi s o m e t r i e s ，t h e i n t r o d u c t i o n 2 a u s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e sp r o b l e mo fc o ，1 1 a n d ：o oe t c ，t h ea l e k s a n - d r o vp r o b l e m ，a n ds oo n i nt h i st h e s i s ，w ep u te m p h a s i so i lt h es t u d y o ft h e a l e k s a n d r o vp r o b l e m g i v et w om e t r i cs p a c e se a n dfa n dam a p p i n g ，：e 叫f f o rs o m e 叙e dn u m b e rr 0 ，s u p p o s et h a tfp r e s e r v e st h ed i s t a n c e7 ，i - e f o r a l l z ，彭i ne w i t hd e ( x ，y ) = r ，w eh a v ed f ( f ( x ) ，厂( ) ) = r ，w h e r ed e ( 。，) a n d d p ( ，) d e n o t et h em e t r i ci nt h es p a c ee a n df ，r e s p e c t i v e l y , t h e nr i sc a l l e d ac o n s e r v a t i v eo rp r e s e r v e d ) d i s t a n c ef o rt h em a p p i n g 厂 w h e nea n df a r en o r m e dv e c t o rs p a c e s ，w em a ya s s u m ew i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t yt h a t t h e n u i n b e rr ：1 ( 8 e e 3 】) i n1 9 7 0 ，a d a l e k s a n d r o vi n 【4 】p o s e st h ef o l l o w i n g q u e s t i o n ： q u e s t i o na w h e t h e rt h ee x i s t e n c eo f s o m efi m p h e st h a tfi sa ni s o m e t r yf r o m i 8s o - c a l l e dt h ea l e k s a n d r o vp r o b l e m as i n g l ec o n s e r v a t i v ed i s t a n c ef o r am e t r i cs p a c ee i n t oi t s e l f ? t h i s ( e s p e c i a l l y ，m a t h e m a t i c i a n su s u a l l yp r e f e r 。n es p e c i a l c 。n d i t i 。na n dg i v et h e a b b r e v i l a t i o no fi t ： ( d o p p ) g i v e nx , y cew i t hd e ( x ，秒) = 1 t h e nd f ( f ( x ) ，( ) ) = 1 i ft h er e l a t i o ni nt h ee o n d i t i o ni se q u i v a l e n c e ，i ti sc a l l e da ss t r o n gd i s t a n c e o n ep r e s e r v i n gp r o p e r t y ： ( s d o p p ) g i v e nx , y ee ，d e ( x ，) = l 兮d f ( f ( x ) ，( 可) ) = 1h o l d s ) t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e mh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n y m a t h e - m a t i c a lw o r k e r sa n dal o to fr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d i n1 9 5 3 ，f s b e c k m a n a n dd a q u a r l e sh a v ep r o v e d ，：舻叫形( 2 礼 o 。) i s a ni s o m e t r yi f ， s a t i s f i e s ( d o p p ) i nt h e i rp a p e r 【5 】p u b l i s h e di np r o c e e d i n g s o ft h ea m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t y t h i sr e s u l t i sc a l l e da sb e c k m a n - q u a r l e st h e o r e m 3 i n d e p e n d e n t l yf r o mb e c k m a na n dq u a r l e s ，r l b i s h o p 2 6 ，p z v e n g r o w s k i 【6 】，d g r e e n w e l la n dp d j o h n s o n 【2 5 】a l lh a v eo b t a i n e dd i f f e r e n tp r o o f so f t h es a m er e s u l t f o rn o n e u c l i d e a ns p a c e st h ea n a l o g o u sr e s u l th a sb e e n o b t a i n e db ya g u c 7 】a n da v k u z m i n y h 8 】 i ti sr e m a r k a b l et om e n t i o nt h a ts o m ee x a m p l e so fad i s t a n c eo n ep r e - s e r v i n gm a p p i n gt h a ti sn o ta ni s o m e t r yf o r 佗= 1i sa l s og i v e ni n 5 】： l e t ，：r 1 卜r 1b ed e f i n e db y ，c z ，= 三，+ 1 i 斫f 危三叫三二。扎i 佗亡e 夕e r p 。i 佗岛 a n o t h e rc o u n t e r e x a m p l ew a sg i v e nb yr a s s i a s 9 】d e f i n e 厂：r 1 卜r 1b y ( x ) = z + 言s z 礼( 2 7 r z ) t h ef u n c t i o n 厂i sa na n a l y t i cd i f f e o m o r p h i s ms a t i s f y i n gt h e ( d o p p ) ，b u t i sn o ta ni s o m e t r y t h i sc o u n t e r e x a m p l es h o w se v e ni fo n em a pw i t hs o m e a d d i t i o n a la s s u m p t i o n s ( c o n t i n u i t yo rd i f f e r e n t i a b i l i t y ) ，i tm a yn o tb ea l l i s o m e t r y p a r t i c u l a r l y , r ，w a n gi ne 1 0 a l s og i v e ss o m es i m p l ea n di n t e r e s t i n g c o u n t e r e x a m p l e sf o r 扎= 1 t h e ys h o wt h a tam a p p i n g ，：r 1 叫r 1w h i c h s a t i s f i e s ( d o p p ) n e e dn o tb ec o n t i n u o u sa n d a m a p p i n g ，：r 1 一r 1w h i c h s a t i s f i e s ( s d o p p ) a n dc o n t i n u i t yn e e dn o tb ea ni s o m e t r y a l s o ，t h i sp r o p e r t yd o e sn o th o l df o r 钆= o 。f o rr o o ( ah i l b e r ts p a c e ) ， c o u n t e r e x a m p l e sa r eg i v e nb yb e c k m a na n dq u a r l e si n 5 ，a n dr a s s i a si n 【9 i n 9 】t h ec o u n t e r e x a m p l ei sm a d ei nt h ef o l l o w i n gw a y ： l e t 玑 b eac o u n t a b l ee v e r y w h e r ed e n s e s e to fp o i n t s d e f i n eg ：r 一 玑 s u c ht h a td ( z ，g ( z ) ) 互1 d e f i n eh ： 犰) _ n i ) s u c ht h a th ( y i ) = a iw h e r e 锄i st h ep o i n ti nr 。w h i t hc o o r d i n a t e s ( a l l ，a i 2 ，- ) s u c ht h a ta j = 茏w h e r e 民fi st h ek r o n e c k e rd e l t a t h e n ，= g h ：r o 。_ r 0 0 4 s a t i s f i e s ( d o p p ) ，i nh e r e ，i fd ( x ，秒) = 1 ，t h e n 夕( z ) 9 ( ) a n dh e n c e ，( z ) 厂( ) ，b u tfi sn o ta ni s o m e t r y h o w e v e r ，i n 【11 】r a s s i a sg a v ea n o t h e rr e s u l t i ff ：r 1 叫r 1i sa l i p s c h i t zm a p p i n gw i t hl i p s c h i t zc o n s t a n t1a n df s a t i s f i e s ( d o p p ) ，t h e n 厂 l sal i n e a ri s o m e t r yu pt ot r a n s l a t i o n s u c he x a m p l e ss u g g e s tu s ：m a y b ew e c a ns t i l lg e tt h ep o s i t i v ea n s w e rt oa l e k s a n d r o v p r o b l e m ，f o rt h ec o n d i t i o n w i t ha p p r o p r i a t ea d d i t i o n a la s s u m p t i o n ( f o r e x a m p l e ，t h em a pi sl i p s c h i t z l m o s to fk n o w ne x a m p l e so fau n i td i s t a n c ep r e s e r v i n gm a p p i n gt h a ta r e n o ti s o m e t r yi n v o l v ed i s c o n t i n u o u sm a p p i n g s m e a n w h i l e ，i ti sn o tk n a w n w h a td o e si th a p p e ni nr 0 0e v e nw i t ht h ea d d i t i o n a lc o n d i t i o no fc o n t i n u i t v o ft h em a p p i n g h e n c e ，ap r o b l e m ，t h e r e f o r e ，h a sr a i s e db yr a s s i a s i n 1 2 1 ： w h e t h e rm u s tac o n t i n u o u sm a p p i n gf ：冗o 。叫冗o 。s a t i s f y i n g ( d o p p ) b e a ni s o m e t r y ? i nt a c t ，as i m i l a rp r o p e r t yi nc a s eo fa s p h e r ei nar e a lo rc o m p l e xh i l b e r t s p a c eh a sb e e nf o n u db ym i e l n i kf 1 3 w ec a ns e et h a tt h es a m ep r o p e r t yi s a l s ov a l i d m i e l n i ka n dr a s s i a s i n 1 4 p r o v e dt h ef o l l o w i n g ： e v e r yh o m e o m o r p h i s mf ：形叫舻( 2 0i sa ni s o m e t r y f o rs ( r 佗) b e i n gas p h e r ei nf 驴( 2 n 。) an a t u r a lm e t r i c8 t r u c t u r ei s d e f i n e do ns ( 舻) b yt h ea n g u l a rd i s t a n c e t h em a p p i n g st h a tp r e 8 e et h e a n g u l a rd i s t a n c e7 r 2 ( i e ，o r t h o g o n a l i t yp r e s e r v i n g ) h a v eb e e no fp a r t i c u l a r i n t e r e s tf o rt h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n so fq u a n t u mm e c h a n i c s m a ti s t h e i rs t r u c t u r e ? t h o u g ht h ea n s w e rh a sb e e nb a s i c a l l yk n o w nf o ra 1 0 n g t i m e ，t h el a s tb r i c kt ot h ep r o o fh a sb e e no n l ya d d e dd u et of 1 5 b m i e l n i k a n dt h m r a s s i a si n 1 4 a l s oo b t a i n e dt h a ti ffi sa h o r n e o m o r p h i s mo ft h e u n i ts p h e r es ( h ) i nah i l b e r ts p a c eh ( 3 d i m h 。) t h a tc o n s e r v e st h e a n g u l a rd i s t a n c e 丽 2 ，t h e nfi sa ni s o m e t r y t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e ms t i l lr e m a i n s o p e ne v e nf o rt h ec a s ew h e r ee ： i n t r o d u c t i o n5 形a n df = 舻w i t h2 n m f u r t h e r m o r e ，r a s s i a si n 1 2 】h a sp r o v e d t h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m1 1f o ra n yi n t e g e rn 1 ，t h e r ee x i s t sa ni n t e g e r 礼ms u c ht h a t n n mi m p l i e st h a tt h e r ee x i s t sam a p p i n g ，：毋叫r w h i c hp r e s e r v e s d i s t a n c ejb u ti sn o ta ni s o m e t r y t h ef o l l o w i n ge x a m p l ei n 【2 7 i l l u s t r a t e st h ec a s eo fam a p p i n g ，：r 2 _ r 8 f o rt h i sc o n s i d e rp a r t i t i o n i n gt h ep l a n ei n t os q u a r e so fu n i td i a g o n a la s f o l l o w s ： e a c hs q u a r ec o n t a i n st h eb o t t o me d g e ，t h el e f t , e d g ea n dt h eb o t t o ml e f t c o r n e rb u tn o n eo ft h eo t h e rc o r n e r s n o wl a b e lt h en i n ev e r t i c e so ft h eu n i t 8 - s i m p l e xi nr 8a n dm a pe a c hs q u a r el a b e l e di t ot h ez t hv e r t e x t h i s m a p p i n gs a t i s f i e s ( d o p p ) ，h o w e v e ri sn o ta ni s o m e r t y i t i sp a r t i c u l a r l yi n t e r e s t i n gt od e c i d ew h e t h e ro rn o tt h e r ei sau n i t d i s t a n , 。 f ：r 2 _ r 3w h i c hi sn o tsometrdistance p r e s e r v i n gm a p p i n g w h i c hi sn o ta ni s o m e t r y 。： _ 。 b e s i d e st h e s er e s u l t si nh i l b e r ts p a c e s ，t h ea l e k s a n d r o vp r o b l e mi ng e n e r a ln o r m e ds p a c e ss h o u l db es t u d i e dm o r ed e e p l y r a s s i a s 2 7 g a v ee x - a m p l e so fau n i td i s t a n c ep r e s e r v i n gm a p p i n gt h a ti sn o ta ni s o m e t r yi n t w o - d i m e n s i o n a lf 1 2 ) a n dt w o - d i m e n s i o n a l2 罱，r e s p e c t i v e l y t h ef o l l o w i n gi s t h ec o u n t e r e x a m p l ei ns p a c e2 ，i n 2 7 】： l e t 厂：缪_ 缪b ed e f i n e db y ( x ，y ) = ( i x ， 可 ) ( i nc a r t e s i a nc o o r d i n a t e s ， z 】d e n o t e st h ei n t e g e rp a r to fz ) t h i sm a p p i n g ， w h i c hm a p se v e r yp o i n tt ot h el e f t b o t t o mc o r n e ro fas u i t a b l es q u a r ew i t h s i d e so fl e n g t he q u a lt oo n e ，w i t hr a n g ee q u a lt oz 2 ( zd e n o t e st h es e to f i n t e g e r s ) i sn o ta ni s o m e t r yb u ti tp r e s e r v e sd i s t a n c eo n e a n o t h e ri n t e r e s t i n gr e s u l ti so b t a i n e db yw a n gi n 1 0 】： f o ra n yn o r m e ds p a c ee ，t h e r ee x i s t sam a p p i n g ，：( eo r ) o o _ ( e o r ) o 。 6 w h i c hi sb i j e c t i v e ，c o n t i n u o u sa n ds a t i s f i e s ( s d o p p ) b u ti sn o t3 2 1i s o m e t r y a c t u a l l y , t h i si sam o r eg e n e r a ls p a c e ( am o r eg e n e r a f i z e dl o o t y p es p a c e ) c o n s i d e ro fs u c hc o u n t e r e x a m p l e se x i s t i n gi nt h es p e c i a lt y p e so fn o r m e d s p a c e s ，w eh a v ee n o u g hr e a s o nt og u e s s ：f o rt h es p a c e sw h i c ha r e n o ts t r i c t l y c o n v e x ，i ts e e m st h a tt h e r ea l w a y se x i s t sam a pfw h i c hs a t i s f i e s ( d o p p ) b e i n gn o ta ni s o m e t r y r a s s i a sp r o v i d e dt w og o o dr e s u l t si n 2 7 t os u p p o r tt h eo p i n i o n ： l e tg ：2 罱_ f 2 ) b ed e f i n e db y 1 9 = ( 、2 r 署) of 。( 南兄；1 ) w h e r efi sa si nt h ea b o v ec o u n t e r e x a m p l ea n dr 署i st h er o t a t i o n ：( z ，y ) h ( 老，学- x + ) t h er o t a t i o nm a p su n i tb a l l si nf 罱t o b a l l so fr a d i u s 、2i n 协 t h i sm a p p i n ggs a t i s f i e s ( d o p p ) ，b u ti sn o ta ni s o m e t r y a n o t h e rr e s u l ti n 2 7 i sat h e o r e m ：t h e r ei sn om a p p i n gf ：f 函一r 2 ( r 2i sae u c l i d e a ns p a c e ) s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n ( d o p p ) b e s i d e ss u c hc o u n t e r e x a m p l e sa b o u ta l e k s a n d r o vp r o b l e mf o rg e n e r a l n o r m e ds p a c e s ，r a s s i a sa n ds e m r lh a v ed o n eag o o dj o bi n1 9 9 3 ，i n 1 6 i nf a c t ，f r o m 【1 6 ，m a t h e m a t i c i a n sb e g a nu s i n gt h ec o n d i t i o n ( s d o p p ) i n t h i sp a p e r ，t h ea u t h o r sf i r s t l yp r o v et h a ti fea n dfb er e a ln o r m e dv e c t o r s p a c e ss u c ht h a to n eo ft h e mh a sd i m e n s i o ng r e a t e rt h a no n e a n df ：e f c t i v e s a t i s f y i n g ( s d o p p ) ，t h e nf 一ectiveis a s u r j e c t i v em a p p i n gs a t i s i y i n g s d ( g l - k t h e n 1 sa nm j e c t l v em a p p i n g 【 ， s a t i s f y i n gi l l f ( x ) 一f ( y ) l i i i z y l l i 1ne ra n dn n ) n o r m a ll i n e a rs p a c e sw i t ht h ef o l l o w i n gc h a r a c t e r i s t i c s ： ( 木)矿a n ya xw i t hi l a l i 1 ，t h e nt h e r ee x i t s l l o 一6 l l = 1 = i l a + b l i l e tx ，ya r er e a l s o m eb xw i t h ( 木木) b ya ，b yw i t hi l a l i = 1 = 恻la n dl l a + b l i = 2 ，w eh a v ea = b s u p p o s et h a tf ：x ym a k e st h a tl i x 一矽| | = ，y 兮l i f ( x ) 一f ( y ) l i 7 a n di i x y l i = n 7 令f i f ( x ) 一f ( y ) l i n 7h o l d , f 0 7 a l lz ，y x ，t h e nfi s a ni s o m e t r y 加mxi ny ，a n df u r t h e r m o r ef ( x ) 一f ( o ) i sl i n e a r b e c a u s ea s t r i c t l yc o n v e xn o r m e dv e c t o rs p a c ea l s om e e t st h ec o n d i