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一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 摘要 设k 为复平面c 上的三分s i e r p i n s k i 垫，顶点分别为1 ，e 2 丌t 3 ，e 4 而3 ， k 的h a u s d o r f f 维数a = 1 十糯令肛为k 上正规化的一维h a u s d o r f r 测度，i e 弘( k ) = 1 本文第一部分考虑了测度肛的c a u c h y 变换 f ( z ) = & ( z 一叫) 以舡( 叫) 以及与其相关的几个辅助函数我们首先研 究了这几个辅助函数的性质利用这些性质我们得到了f ( z ) 的一些 分析性质、分形性质以及一个函数空间性质 在本文第二部分，设k 为复平面c 上具有顶点1 ，e 。州3 ，e 4 丌t 。的 s i e r p i n s k i 垫，k 的h a u s d o m 维数= 黯令p 为k 上正规化的口一 维h a u s d o r f r 测度我们考虑了与测度肛的c a u c h y 变换相关的一个辅 助函数，得到了它在负实轴上具有保号性此性质对研究该变换的 一些有趣的分形性质起作用 关键词：三分s i e r p i n s k i 垫；s i e r p i n s k i 垫；h a u s d o r f r 测度；c a u c h y 变换 l e t b et h e3 1 e v e l h a sh a u s d o r 行d i m e n s i o nq a b s t r a c t s i e r p i n s k ig a s k e tw i t hv e r t i c e s1 ，e 2 州3 ，e 4 7 r 3 ；i t = l + 播鑫l e t 肛b et h en o r m “i z e d 一h a u s d 。r f r m e a s u r eo nk ，i e 肛( ) = 1 i nt h e 丘r 8 tp a r to ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e r m a i n l yt h ec a u c h yt r a 血s f o r mo ft h em e a s u r e 肛，f ( z ) = 厶( z 一叫) 一1 d 肛( 训) ， a n ds o m ea u x i l i a r yf u n c t i o n sr e l a 七e dt os u c ht r a n s f o r m f i r s t l y ，r es t u d yt h e p r o p e r t i e so ft h e s ea u x i l i a r yf u n c t i o n s t h e nn l a k i n gu s eo ft h e s ep r o p e r t i e s ， w eg e ts o m ea n a l y t i ca n df t a c t a lp r o p e r t i e sa n da p r o p e r t yo ff ( z ) o nf u n c t i o n s d a c e s i nt h es e c o n dp a r to f 七h i st h e s i s ，l e tkb e 七h es i e r p i n s k i g a s k e tw i t h v e r t i c e sl ，e 2 哆e 蜘届i th a s h a u s d 。r 踟i m e n s i 。n = 鬻l e t 帅e 七h en o r _ m a l i z e d 乜一h a u s d o r f fm e a s u r eo nk w 6c o n s i d e ra na u x i l i a r yf u n c t i o nr e l a t e d t ot h ec a u c h yt r a n s f o r mo ft h em e a s u r ep ，a n dg e tt h a ti tp r e s e r v e s s i g no n n e g a t i v er e a ia x i s t h ep r o p e r t yp l a yar o l ei nt h es 七u d yo ft h et r a n s f o r m i ( e y w o r d s ：3 一l e v e ls i e r p i n s k ig a s k e t ；s i e r p i n s k ig a s k e t ；h a u s d o r 行m e a ， s u r e ；c a u c ：l yt r a n s f o r m 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 第一章前一言 本文研究了一类分形集上h a u s d o r f f 测度的c a u c h y 变换的分析 性质与分形性质该课题的研究涉及了分形几何与复变函数几何理 论，是一个较新的方向目前关于这方面的成果还不是很多，有许 多问题可以研究本章我们介绍一些背景知识和我们的主要结论 分形几何是数学领域的一个崭新的分支，非线性科学三大理论 前沿之一卜它是由b b m a n d e l b r o t 在1 9 7 5 年提出的随即，便引 起了学者们的广泛关注与研究至今，分形几何已渗透到了自然科 学与社会科学的各个领域，并得到了广泛的应用在文【2 】中b b m a n d e l b r o t 提到分形具有“粗糙和自相似性”的直观特点，这种自相 似可能是近似的或统计的自相似因而在分形几何的研究中，对自 相似集与自相似测度的研究成为了一个热门的课题自相似集简单 来讲是指这样的一个集合：它可以被分成若干个部分，其中每一部 分是它自身的压缩复制而自相似测度是指支撑在自相似集上并且 满足一自相似恒等式的概率测度 设( x ，d ) 为完备度量空间，对于映射s ：x _ x ，若存在常数 o c 罂，满足开集条件，则不变集kc 可，且它 的h a u s d o r f f 维数s 满足等式 竹z r ：= 1 n = l ( 1 4 ) 如果我们取( 1 3 ) 式的概率权p ，。= r 盖，那么由( 1 3 ) 式定义的自相似测 度p 适合肛= c h 5 l k ，称肛为k 上正规化的s 维h a u s d o r 仃测度，其 中c = 死8 ( k ) 一，h 8 ( k ) 为k 的s 一维h a u s d o r g 测度此时测度p 满足 上( ，( k ) ) = 7 1 i p ( k ) = ；肛( & ( k ) n 岛( ) ) = o ， i 歹( 1 5 ) 分形集上的调和分析早在十多年前就开始兴起，并业已取得丰 硕成果p “，而分形集上的复分析在1 9 9 8 年才由美国康乃尔大学的 著名数学家r s s t r i c h a r t z 等人开始探讨卜一他们主要是通过计算机 模拟发现了s i e r p i n s k i 垫上的c a u c h y 变换的一些怪现象，提出了几个 猜想( 见文 1 2 ) 最近几年，x h d o n g 与k s l a u 对分形集上的复 分析进行了系统的研究并取得了一些有趣的结果( 见文 1 3 ，1 4 ) 受以 上研究的影响，我们对一类分形集上的h a u s d o r f f 测度的c a u c h y 变换 及其相关问题进行了研究 本文第二章研究了三分s i e r p i n s k i 垫k ( 如图1 ) 上测度肛的c a u c h y 变换 砟) = 六掣， ( 1 6 ) 其中弘是k 上正规化的h a u s d o m 测度我们首先考虑了联系到f 的 几个关键性辅助函数，利用l a p l a c e 变换和文 1 3 中的结果，得到了 它们的一些重要性质利用这些性质我们得到f 在k 附近的一些分 析性质和分形性质我们研究的主要思想来自于文 1 3 1 5 】 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 辩多 矽多跣 粉 0 ：妙 多 黼 骖 蕊淞 蜕 岁 虢 图1 s i e r p i n s k i 垫与三分s i e r p i n s k i 垫 令k 是复平面c 上的三分s i e r p i n s k i 垫，三个顶点分别为l ，e 2 州3 ， e 4 删3 易知是迭代函数系 瓯) 2 ：o 的吸引子，其中 鼠z 铂心飞) 3 ：( 差+ 掣) 扩沪，尾_ 0 ) ”一) 5 ( 1 _ 7 ) 由( 1 4 ) 式可知k 的h a u s d o r f r 维数为a = 1 + 躐1 6 3 0 9 假设肛是 上正规化的q 一维h a u s d o r f r 测度，i _ e 肛( k ) = 1 由文 1 5 的命题 2 1 知k 上肛的c a u c h y 变换f 在c k 的每一连通分支上解析：设 丁= 1 一k ，乃= 1 一玛，其中玛= 岛( k ) ，歹= o ，1 ，5 ，则丁的顶点为 o ，锯e 戒6 ，锈e 刊6 令 5 a 。= u ( 3 佗u 互) ( 1 8 ) n = 一o 。t = 1 它是由t 生成的三分s i e r p i n s k i 角( 如图2 ) 从而我们易有 t = z ：z a o 且r e z 3 2 ) 我们把测度肛扩展到a o 上，则易知肛是a o 上口。维h a u s d o r f f 测度 的一常数倍，并且有肛( 丁) = 1 由文 1 6 中h a u s d o r f r 测度的基本性质 我们知“具有旋转不变性和比例性质肛( 3 礼e ) = 3 q n 肛( e ) ，n z 为了 研究f 的渐近性质，我们需要辅助函数 毗) = 上。辫砝咄上。端，唧 5 ，( 1 - 9 ) 4 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 图2 三分s i e r p i n s k i 角a o a t = e h 3 a o 第二章我们首先研究了礤( z ) 和鳃( z ) 的一些性 定理1 1( i ) 珊( z ) 在7 r 6 a r gz 1 1 7 r 6 上解析，并且有 ( i i ) 若记d = z ： 并且有雄( 3 彳) = 皤( z ) = 毗( 训) ( 3 川z 一训) 2 吾+ 譬 a r gz 字+ 譬) ，则有砑( z ) = e - 2 h 3 珊( e 砘们3 z ) ， 3 1 2 磁( z ) ，z d 七，o 惫5 定理1 2 ( i ) 鳐( 名) 在7 r 6 a r gz 1 1 7 r 6 上解析，在o a r g 名 2 7 r 上连续有界，并且有 夕弛一2 叫驴叫几屈 孔训( 3 一孔z 一训) ( i i ) 夕导( z ) = e 一2 奄丌3 9 孑( e 一。丌i 3 z ) 且夕g ( 3 z ) = 9 譬( z ) ，z d ，o 冬忌5 为研究f 在k 附近的分析性质和几何性质，我们需要辅助函数 日f 5 ( z ) =日f ( z )牛h ；o 如：f e ”t 3 a o u e 一7 r 3 a o 在负实轴上的保号性，其中积分区域如图3 乒嗓 ( 1 1 0 ) ( z 一伽) 2 r 7 定理1 3 当z o 时，娥5 ( z ) 连续且幽s ( z ) o 。 ， 厂气 令对= 训：叫玛且i m 训o ) ，我们得到了函数职( z ) 的一个有 趣的性质 其质 7 厂圯渊 一 3 眦 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 图3 啦5 的积分区域e 州3 4 0ue 一州3 a o 定理1 4 若取z 1 一。为主值分支，即当z 瓞+ 时，z ，口取正实 数则对仇，我们有 孙产口霹( 刑z = g e 学抛砘， 其中积分路径是落在仇中的连接劲与3 如的光滑曲线， c = 哿并厶哪砧哗掣州小2 。o s 舢5 ， 关于c 的估计，我们在证明f 在 l 内的单叶性时要用到， 但这将被列在本文之外在这里需要声明的是，本文中不同地方出 现的g 与忌代表不同的意义 利用以上辅助函数的性质，我们得到如下结果： 定理1 5当h 锈，ja r gz l _ ( 一1 ) 七z 七+ 1 ， 七= o 其中夕芋( z ) 在| a r gz l 5 丌6 内非常数解析，z 沪1 为主值分支，系数6 凫 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 接着我们研究了f 在以o ，。，t 为顶点的三角形的三条边上的三 分点附近的性质由( 1 3 ) 式我们知，对任意b o r e l 集b ，p ( b ) = 弘( e 。b ) ， 而= z k ，于是易推得c a u c h y 变换f 满足f ( z ) = e 。f ( 2 z ) 因此我 们只考虑该三角形垂直于实轴的边上的三分点，m ( 不包含端点) 即 可即对1s ，n 3 惫一1 ，庇1 ， 氇m = ；针( 1 一) 缸 ( 1 n ) 定理1 6 取严一1 为主值支，当o a r gz 2 丌时，对任意的魂，m f ( ，m + z ) = f ( 魂，m ) 十夕 5 ( z ) z q 。+ z 厶，m ( 名) 其中9 5 ( z ) = 9 芋( z ) + 9 乎( z ) 在左半平面非常数解析， ，m ( z ) 是一在复 平面c 上连续有界，在 锈3 上解析的函数 定理1 7 对o p o ，使得 ( j ) 当7 r 2 la r gz l 3 7 r 2 ，o l z lsp 、信3 惫+ 1 时， l f 7 ( ，m + z ) + 蠼5 ( 石) sc 3 ( 2 一d ) 惫； ( i i ) 当la r gz o ，七n + ，有 坻( 2 ) 2d i s 器胬。州( z ) lsc 随后，我们得到了f 的一个函数空间性质： 定理1 9 令夕( z ) = f ( 三) ，z d = 化 1 ) ，那么当o p o 时，日( z ) 连续且日( z ) o 本章研究了该函数的另外一种情况，得到了如下定理： 定理1 1 1当z o 时，日( z ) 连续且日( z ) o 是肛在a o 上的l 印l a c e 变换，其中 a o 由( 1 8 ) 式定义由卢( 3 e ) = 6 肛( e ) 及a o 的表达式易知 州= 札击 丑e 一3 一m 0 ( 2 1 1 ) 设西o ( t ) 由文 1 3 中的( 3 5 ) 式定义我们取文 1 3 中( 3 5 ) 式的j = o ， k 是三分s i e r p i n s k i 垫，通过一变量替换我们得到西o ( t ) = 皿( ) 由 文【1 3 中的推论3 5 和命题3 4 我们可以得到 吣) ：矗们矗掣， ( 2 1 2 ) 苴由 、 ) = 1 + 2 e 叫2c o s ( 譬) + 2 e 飞o s ( 孚) 。 ( 2 1 3 ) 再由文 1 3 】中的引理3 3 可知，西o ( ) 在r + 上连续且西o ( 3 t ) = 圣o ( t ) ， 从而易知圣o ( t ) 在r + 上有界我们记 m 2 ，髅，西。( 。) 2 器圣m 舻，悲。中。( 。) _ 。酷( 。) - ( 2 工4 ) 引理2 1 1 设c = 2 ( 2 丌锈) 2 ，娥5 ( z ) 由( 1 1 0 ) 式定义，则当 z o 时有 ( 计佩= 一c 厂吲一差矽飞卅朋s i n ( 吾刊础：一洲破 1 0 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 知 证明固定z o ，由肛的旋转不变性和a o 关于实轴的对称性可 口sc z ，= 2 r e 上。蔫= 2 r e ( e 一2 戒加上。 利用分部积分法，我们有 上。( z + 。f t e t c 叫一z e 一 叫3 ，l d t ) d p ( 叫) 上。( z + o 。t e t ( z ，2 r e ，班) d 肛c 叫， ) ( 2 工5 )一z e 一7 r t 3 1 2 。7 ( 赤z + 。t d e t 扛，2 一r e ，) d 肛c 叫， ( r e 叫一z 2 ) 2 因此由f u b i n i 定理可得 z + 。0 c 亡，t e t z e 一 v 3 d 亡= 上。( z + 0 。t e t c z e 一7 r 3 一叫) d t ) d p ( 叫， 从而由( 2 1 5 ) 式我们可知 h 。( z ) la 批( 训) 一z e 一丌3 1 2 2 r e 厂+ ”f t ) 亡e 们3 + 蛔e 一”们d 一2 r e ( t ) 亡e 们3 + 蛔8 一叫3d o o 一2 厂啉产2 c o s ( 三一字膨 卅二圹2 厂州一老矽飞州眠i n ( 吾刊) 蹴 其中c = 2 ( 2 丌锈) 2 _ 引理得证 引理2 1 2o 。4 8 5 8 m m o 4 8 9 0 ，其中仇与m 由( 2 1 4 ) 定义 证明设g ( 亡) 由( 2 1 3 ) 式定义，令 ，( t )甜矗q ( 3 矗掣 尼= 1七= 0 ( 2 1 6 ) 0 0 厂凡厂凡! 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 ，( t ) 是一初等函数，它在区间 1 3 ，1 】上的函数图像如图4 利用m a t l a b 的“f m i n b n d ”命令可以得到函数厂( t ) 在区间 1 3 ，1 上的取值范围为 o 4 8 8 0 4 e z ( 1 3 c e l 2 4 3 ) = o 又因为6 一q ( o ) = o ，所以我们有 从而有 g ( 。) 6 e 一2 ，o z 1 2 4 3 g ( 3 一“t ) 6 e 一2 c 3 + 1 ， 忌5 ， 1 3 t l ： 由文 1 3 】中的( 5 1 0 ) 式，我们有 于是 从而 g ( 3 一惫t ) 6 e 一2 3 6 e 一2 3 + 1sq ( 3 一向) s6 e 一2 c 3 + 1 ，七5 ，1 3 1 e 叫s 5 矗掣g 们5 ( 2 1 9 ) e = 酏一 3 芒 如 e 一 n ：、 0 0 g m 一 弛一 括 血一 q ) | |暖 一 e 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 1 3 结合( 2 1 2 ) 和( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) 式，通过m a t h e m a t i c s 计算我们可得 证毕 令 o 4 8 5 8 o 4 8 8 0 e d j 一1 3 5 圣o ( t ) o 当z m p m 7 + ( m m e 一7 r 怕) e 一7 r ( 6 向e 一( 2 七一1 ) 7 r 7 怕a 2 南_ 1 ( 2 1 1 0 ) = 1 由引理2 1 2 可知m m e 一7 r 瓶 o 又因为正项级数墨1e 一( 2 。一1 ) 丌娟入2 七一l 收敛，所以由( 2 1 1 0 ) 式我们有妒( z ) m p m 7 这正是我们要证明 的 2 2辅助函数的性质 设日善( z ) 与鳃( z ) 由( 1 9 ) 式定义，本节我们得到了如下定理： 定理2 2 1( i ) 田( z ) 在7 r 6 a r gz 1 1 7 r 6 上解析，并且有 ( i j ) 若记仇= z ： 并且有研( 3 z ) = 田( z )= 3 旧2 m 厚i 竹z 。t u l 咖) 死( 3 哪z 一) 2 吾+ 譬 a r gz 警+ 譬) ，贝i j 有日管( z ) = e 一2 知邢3 月占( e 一后疵3 z ) 3 q 一2 磁( z ) ，z d 七，o 忌5 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 证明由变量替换及芦的性质我们有 吼，= 上。器 _ 薹二。鱼噩辫 = 薹3 2 m 兀正高n z d u 上t 。 。 7 令e 是复平面c 上的任一紧集，并且ec 玩= 丌6 扣 = 等 令d = d i s t ( e ，a o ) o ，则对v z e ，我f 门有 皤c 圳薹3 陋。m 危丑热 2 毛冗辫营陋2 ) 1 色置离 + ，。妻。3 陋_ 2 m 屯丑离+ 耋3 咄n 毛孔蕊 去c ，+ 喜3 咄n ，+ 薹3 ( ”2 ，几厶正离+ ，巳妻。3 ( 沪2 m 壶( 1 + 3 咄计3 陋屯冲 限器+ 1 0 3 川m c ( e ) + ， 其中c ( e ) 是依赖于e 的常数，这是因为上式倒数第二行的竺。( ) 是有限项连续函数的和，因此它有上界m ( e ) 上面的不等式说明 珊( z ) 在风的任一紧集上绝对一致收敛又因为珊( z ) 的级数表 示中的每一项都在d o 上解析，所以珊( z ) 在d o 上解析 ( i i ) 利用变量替换与肛的性质以及a 惫= e 栅3 a o 易证得定理结 论至此，我们完成了整个定理的证明 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 定理2 2 2( i ) 鲐( z ) 在7 r 6 a r gz 1 1 7 r 6 上解析，在o a r gz 2 丌 上连续有界，并且有 识垆尹a 薹3 卜2 m 兀噩鹅 礼z。u 1 t r 。 7 ( i i ) 鳝( z ) = e 打3 珊( e “矾3 z ) 且鳝( 3 z ) = 鳄( z ) ，2 仇，o 尼5 此定理的证明方法与定理2 2 1 类似，这里不再赘述 定理2 2 3 设仇如定理2 2 1 中定义，则a 仇是田( z ) 与鳐( 彳) 的自然边界 此定理的证明方法可以参考文f 1 5 的命题3 1 0 ，这里从略 定理2 2 4 设娥5 ( z ) 由( 1 1 0 ) 式定义，则当z o 时，娥5 ( z ) 连 续且娥5 ( z ) o 0 8 7 0 ，进而由引理2 1 1 可知， 当z o 时，啦5 ( z ) o 证毕 定理2 2 5 若取z t a 为主值分支，即当z 瓞+ 时，z 卜a 取正实 数则对v 动仇，我们有 广z ，一o r 霹( z ) 出：防学韧i ，z 卜0 霹( z ) 出= c e 一乎托们， j 加 其中积分路径是落在仇中的连接询与3 动的光滑曲线， c = 哿厶哪码掣州叫川地瞄5 2 哪5 一 证明对v 询d 忌，由柯西定理我们不妨设积分路径是连接劲与 3 幻的直线段令缅= n e 坩，z = t e 加，则 r 加少霹( 州z = e 叫2 叫z 乩产a 霹( 彩亡 ( 2 _ 2 - 1 ) 1 6 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 由定理2 2 1 ，我们有 产川黜皿= e =e 3 0 1 一a 田( e 等) 如 h 薹3 卜2 吮死 亿z。u 1 塑( 竺!、 f 3 一缸e ( 口一字) i 一训1 2 = e 一擎薹如正( f ：+ l n 面禹) 妞c 叫， 2 七订t =e3 丑( 厂篇) 州叫， ：e 吖 u 乃 = 1 婿 由文 1 7 ，1 5 9 页 的留数定理，我们有 r 夕1 一。d ( 可一 2 7 r i 训e ( 字一口) 1 2 1 一e 一2 口仉 代入( 2 2 2 ) 式得 e 1 一口霹( 彬8 ) 出 蔫) 姒训)( ! 一训e ( 譬一9 ) i ) 2 “u “ r e s z ：叫。( 簪一p ) _ 7 r i f l 一1 e 一型产+ a 吼 伽口s i n f 丌) e ( 一q ) ”t 丌f 1 一乜) e 一旦笋+ q 乱+ q 戒 = = = 二一 叫s i n ( 7 ) 7 r ( 1 一乜) e 一型乎+ 陋一2 ) 日t + 。州 s i n ( 乜丌) z 1 一a 出 ( 2 2 2 ) ( z 一伽e ( 譬一目) ) 2 枷川咖( ) ( 2 2 3 ) 伽刊以叫：2 厶唧码叫飞以叫卅厶哪孔挈 对u 置u 码对u 乃u 孔 l 叫l “ 结合( 2 2 1 ) 、( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 式我们得 广j o 1 q 磁( t e i 8 ) 砒= g e 一擎+ 硎， i ，d d p ( 伽) ( 2 2 4 ) 厂以f 铲 等 2 2 一 厂化斟 疋 厂嘲 以所称对轴 实于关身自瓦 。u 汹 为因 叉 丑 厂忆汹 二鲞坌堑叁圭塑二型些竖笠鳖基垦望鲨塑型里垦土 这里 c ：涮厶倒死产酬砧 江2 5 ) 晌、愚鼎兰篓；兽端嚣烈筹等然娑 贻贷要紫j 篇i 三三曼湍鬈鲸茹i 耋1 i 磊葱 黧葛燃釜亲i 鬻蓄鹬鬲酱巢鼍蒸p “ 易知死是迭代函数系 乃) ；：的吸引子，且2 j 2 u ；= ( i 砂 l 言二亍篡怠靠撩菇夜奚禁茹淼。 乃。，川= 七表示了的长度， 尼n + 由简早的达代天尔拭勿7 同 死= u 哆( 死) = u j ( 死) 翟鼍_ ；筹含龋萎君篙j 翼臻竺手霁蛊雪萼警蒙盖搿 口 图5 ) 通过简单计算我们得到乃2 盯j ( 2 2 5 ) ，开且鲎叫匕l “川 z j 图5 正三角形区域盯j ( 码) 删蒹：1 篓譬蔫：臻警甚繁，篇： 麓翟( ：篇篇苏左嚣三冀五2 j 键荔嚣糯芝茹定菇 怕6 ，6 3 = 锯3 ，b 4 = 、3 4 ，6 6 。、3 1 2 - 汪恧到j 叫1 7 出u 叫肥八。 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 得 仃 = 仃j ( 盯2 弼) = 盯，( 三z 2 + 去z 5 ) = 2 壹( 扣+ ( 扣詈计知 = 2 妻( 抄。+ 吾c 争+ ( 2 妻( 扣。十等c 抄) t 设积分如咄c o s ( 口a r g 训) 毗( 叫) 的后阶逼近为 ( 2 2 6 ) 毋k 喜z 。码哗产粕玎i 聂哗掣川驯 误差为 牡= l 厶等 舡( 训) jl l 籀盯j 码 c o s ( a r g 如( 叫) 一f 毛z j 训咖卜l 篆凤z ，乃q 飞咖， 鲫1 轰，p 。必) 1 8 “。a m s r l ( 2 2 8 ) 类似于( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) 两式，我们设积分厶一qc o s ( 口a r g 叫) 批( 叫) 和如一。c 。s ( q a r g 叫) 舡( 叫) 的l ：阶逼近与误差分别为c 驴，e 箩与 毋，令 c ( 惫，= 兰三等剞( c p + c 笋+ c 箩2 ) ， 惫= f 2 2 证毕。 护k 鬻 s l n ( 0 f 7 r ( 6 2 ) + 6 + 酲惫2 ) 7 ，通过m a t h e m a t i c s 计算得c ( 7 ) = 1 2 9 1 2 9 8 ，6 ( 7 ) = o 0 0 0 4 3 1 0 7 ( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) 式我们易知c ( 7 ) 一6 ( 7 c e ( 7 + 6 ( ，因此 1 2 9 0 8 5 c 1 2 9 1 7 5 j 取由有 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 1 9 2 3 f ( z ) 及f 也) 的性质 上一节我们讨论了几个辅助函数的一些性质，本节从这些性质 出发得出了f ( z ) 及f ) 的几条分析性质和分形性质结果如下： 定理2 3 1当h 锈，ja r 9 2j 丌时，我们有 f ( 1 + z ) = f ( 1 ) + 鳢( z ) z q 一1 + ( 一1 ) _ i 。z 州， 忌= 0 其中好( z ) 在f a r g z f 5 丌6 内非常数解析，严一，为主值分支，系数巩 满足 k = 1 2 ( 3 + 2 6 ) 一1 r e 。 叫一( 2 + 2 ) d 肛( 叫) 对u 乃u 砧 定理2 3 2取名q 一1 为主值支，当o a r gz 2 7 r 时，对任意的犰 f ( ，m + z ) = f ( ，m ) + 9 5 ( z ) z a 一1 + z ，m ( z ) ， 其中鲣。( z ) 在左半平面非常数解析， ，m ( z ) 在复平面c 上连续有界 ( m f c 3 ( 扣) 七) ，且在 锈3 上解析 以上两定理的证明方法可以参考文 1 5 的定理3 1 1 与定理3 1 2 由f ( z ) 及霹( z ) 的定义我们可求得 瞅栌上譬拶埘严叫= 上。学( 2 s 1 ) 定理2 3 3 对o p o ，使得 ( i ) 当7 r 2 la r gz l 3 7 r 3 ，o l z isp 、佰3 2 + 1 时， l f 7 ( 魂，m + z ) + 日5 ( z ) l c 3 ( 2 一d ) 庇； ( i i ) 当ja r gz f o ， 坻( ，f ( 恕) )= m a xf d i s t ( z ，k ) t f ( 2 ( z ) l c t n 一昆一1 证明对固定的z c ，令d = d i s t ( z ，k ) 和 = 伽k ：2 n ds l 一zl 2 n 十1 ) ， n o 由( 2 3 1 ) 式与文 1 2 中的( 2 3 ) 式，我们可得 f ( 忌( z ) 1 。o n = o 厶。孝貉 c 7 2 蚴d a 2 扎( 惫+ 1 ) d 岛+ 1 c 7 d a f 。一1 ： c d q 一七一1 脚 h 一一口 2 脚 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 定理得证 2 4f ( z ) 的函数空间性质 本节我们研究了函数f ( k ) ( ) 在单位圆盘d = 化i 1 ) 上的函数 空间性质众所周知，如果d 上的解析函数，满足 i p 。蓼呈，( 去z i ，( r 扩) p 棚) v p + ， 则说，舻我们得到了如下定理： 定理2 4 1 令夕( z ) = f ( 言) ，彳i c 9 ，则当o p 再b 时，夕( “) ( 2 ) 俨； 当p 毒b 时，夕( 七) ( z ) 譬俨 证明 注意到9 ( 忌) ( z ) 在d 内解析，夕( 忌( e 徊) 在( o ，2 丌) ( 2 丌3 ，4 丌4 ) 上连续由文 1 8 ，p 2 1 】中的定理2 6 ，我们只需证当o p o 是以e o ，2 ，4 为顶点的三角形边上的点由于 一吾口 o ，故通过简单的几何分析我们得 d i s t ( e “8 k ) = s i n ( 丢一目) 8 z 1 一“卜南 = “n 罢( 以c o s 扣n 羟 s i n 争 ( 2 4 2 ) 由( 2 4 1 ) 与( 2 4 2 ) 两式我们可知，当一芸臼 o 使得 扩v 9 ) i c 俐扣扣1 ( 2 4 3 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 由肛和k 关于实轴的对称性，我们有9 ( 匙) ( 乏) = 而和 。i 夕( ( e i 8 ) p d 口= 2 i9 ( 尼( e 阳) p d 毋 ( 2 4 4 ) 因此当o p 再b 时，由( 2 4 3 ) 与( 2 4 4 ) 两式我们有 l 夕( 惫( e 口) l p d 臼 = 3 1 l 夕( 南( e 徊) l p 矗p p 氤p 讯| 6 = 6 f 夕( 恐( e 徊) i p 硼 g f p p ( 一“一1 ) d 护 + 。o 这说明当o p 再b 时，9 ( 惫( e 坩) 伊从而夕( 凫( z ) 俨 下面用归纳法证明当p 耳b 时，夕( 2 ) ( e 阳) 隹l 硝b 要注意的是 下面不同地方的g ，代表不同的意义当忽= 1 ，2 时，定理结论成立 我们只证明庇= 2 的情况，因为七= 2 的情况较复杂，忍= l 的情况 可以用同样的方法推导对o l ，令l + t e 徊= e 妇，易推得 妒= 妒( t ) = a r c t a n 鬻，口= 护( 亡) = 三+ a r c s i n 差 ( 2 4 5 ) 当o t 锈2 ，j 口i o ，使得 l 西( 亡) l c t ， o t 6 ， ( 2 4 1 0 ) 结合( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 式，我们有 e “如夕( e 叫妒) 一2 e 一妒f ，( e 印) l芝 2 3 ( 3 一q ) ( 1 ( 田) 7 ( 比) | 一c t ) 一c 2 3 ( 3 一口) l ( 霹) ，( 6 i ) | _ g 因此对o o ，p o 时，( o + b ) p 2 p ( o p + 6 p ) ，所以由上式我们易 得 r 妒( 3 一0 )1 桫( e 一妒) j 丽却= + 。 o 这说明当p 击时，9 ( 名) 隹日壶 我们假设9 ( 缸一1 ( z ) 岳口击，那么夕( 2 ) ( z ) 譬日硝b 否则，如果 夕( 惫) ( z ) 日志，则由h a r d y l i t t l e w 。o d 定理( 文 j 8 ，p 8 8 ) ，夕 一1 ) ( z ) 日9 ， 其中g 2 惫2 矿这与假设矛盾- 定理得证 ) p ? 严k 似 ，、1州佃拦 一类分形集上的c a u c h y 变换及其相关问题 第三章关于一个函数的一点注记 本章主要研究了文 1 4 中一个函数的保号性问题，得出了一个 定理，该定理在以后的s i e r 西n s k i 垫上的c a u c h y 变换研究中有重要作 用在此要说明的是，本章的记号与前面的代表不同的意义 3 1引言 设k 是复平面c 上的s i e r p i n s k i 垫，三个顶点为1 ，e 2 丌3 ，e 4 丌3 众所 周知，是迭代函数系 o 时，日( z ) 连续且h ( z ) o 定理3 1 1 在证明f ( z ) 的分析性质与几何性质时起关键作用( 参 见文 1 3 ，1 4 ，1 5 ) 在证明f ( z ) 的几何性质时，也需要日( z ) 在负实轴 上的保号性本文借助于数学软件m a t h e m a t i e a 和c 语言编程，发现 日( z ) 在负实轴上同样具有保号性 定理3 1 2当z o 时，仃( z ) 连续且日( z ) o 兰旦二塑堕鲨塑幽! 垒旦堡主堂堡垒壅 图6 3 2 定理3 1 2 的证明 兰，整连续性易由文 1 5 的引理3 3 导出；因此我们只需证它的保 号性即可由弘的比例性质( 2 丁) ：2 q ( 丁) 易知 日( 2 z ) = 2 口一2 日( z ) = 芸日( z ) 从而只需证明函数日( z ) 在区间f 一1 ，一1 2 ) 上具有保号性即可 。竺拿是以o ，3 2 佤们膨，3 2 锯e 刊6 为顶点的s i e r p i n s k i 垫，由肛的 性质可知 一 酬功2 厶舢一们4 。器 e ”i 3 a o u e 一 i 3 4 0 ( z + 趾，) 2 = 佗( 厶仪一，+ l 们) 器 + 薹( l 仪撕，+ l 们。，) 器 =2 z 弛蕊+ 薹( 上。啪。n u 乃， 十l 彬。蛳，) 器 下面我们分别估计p ( z ) 与q ( z ) 设迭代函数系 o j z = z j + 0 z 一 勺) 2 ，歹= 1 ，2 ，3 ，其中z 1 = 3 2 锈e 刊6 ，z 2 = 3 2 锈e 丌i 6 ，z 3 = o ，则易知g 代函数系 乃) ；：，的吸引子，且g = 屿：，o ( g ) 令人= j = ( 歹