（基础数学专业论文）方程△uμux2u21σfx多重正解的存在性.pdf

肇 硕士学位: 仑 又 l k s i e r 【 )i i h s i s 本文中，我们通过极值原理、隐函数定理、 上下解方法( 见 1 , 1 6 ) 及 不带( p s ) 条件的山 路引 理( 见 1 2 ) ， 得到了 方 程( 1 .1 )。 多 重正解的 存在性 结果. 本文主要结果如下: 定理1 . 1当“ ( ti 时， 存在一个正数了 o 时， 定理1 . 2 当/ 。 ，使得当， ( 0 , o - 时，方程( 1 . 1 ) 。 存在极小正解;而当。 了时， 方 程( 1 . 1 ) 。 没有解. 第三部分我们首先建立了一个新的方程，验证了其对应的变分泛函满足 不带( p s ) 条件的山 路引 理的 两 个条件， 然后依照4 和5 中 的 方法， 给出 了 泛函临界点存在的一个充分条件， 最后对具体的变分泛函进行估计， 得到 了新方程非平凡解的 存在性结果， 从而得到了 原方程第二个正解的存在性结 果. 第 四 部 分 是 附 录 ， 给 出 了 文 中 第 三 部 分 中 估 计 式 的 具 体 证 明 夕 关键词:多解，临界指标，椭圆型方程，非齐次扰动，极小正解 q士学位论丈 v a s t e r s t h e s i s ab s t r a c t i n t h i s s e mi b n e a r w e c o n s i d e r t h e e x i s t e n c e o f m u l t i p l e p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r t h e p r o b l e m 牡 一 “ 一 a x la =u 2 一 1 + o, f ( x ) i n f 2 牡0 “= 0 i n f 2 o n a n ( 1 . 1 ) w h e r e s b c r n ( n2 ) i s a b o u n d e d s m o o t h d o m a i n s u c h t h a t 0 。 ， 2 =2 n / ( n 一 2 ) i s t h e s o - c a ll e d c r i t i c al e x p o n e n t f o r s o b o l e v e m b e d d i n g , a0 i s a r e a l p a r a m e t e r , 1 1 0 u= 0 i no i no o n 口 0 w a s s t u d i e d b y b r e z i s a n d n i r e n b e r g , a n d t h e y p o i n t e d o u t t h a t t h e e x i s t e n c e o f t h e s o l u t i o n d e p e n d s o n t h e d i m e n s i o n o f t h e s p a c e ( s e e 4 ) ; t h e e x i s t e n c e a n d n o n e x i s t e n c e o f t h e m u l t i p l e p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r t h e p r o b l e m 一 。 二 。 2 - 1 + a u + a f ( x ) u 0 牡= 0 i nn i n 9 o n 口 n 、 vas 0 , s t u 山 e d b y f ( 二 ) 0。 ， p r o f e s s o r d e n g y i n b i n i n 1 9 9 3 ( s e e 5 ) , w h e r e a r , p ? 0 , f ( 二 ) 更 f ( 二 ) c , ( n ) fl c l - ( n ) ;i n 1 9 9 9 , t h e e q u a t i o n u 2 * - 1 +a u i no u一划 - au一a “ 0 u= 0 i no o n 口几 i i i 石 五 士学位论又 , 1 si i: ft , . . : 5 j w a s s t u d i e d b y e . j a n n e l li , w h o al s o p o i n t e d o u t t h a t t h e e x i s t e n c e o f t h e s o l u t i o n d e p e n d s o n t h e d i m e n s i o n o f t h e s p a c e ( s e e 8 ) . i n o u r p a p e r , s o m e e x i s t e n c e r e s u l t s o f m u l t i p l e s o l u t i o n s h a v e b e e n o b t a i n e d b y m a x i m u m p r i n c i p l e , i m p li c i t f u n c t i o n t h e o r e m, s t a n d a r d b a r r i e r m e t h o d ( s e e 1 , l 6 ) a n d m o u n t a in p a s s l e m m a w i t h o u t ( p s ) c o n d i t i o n ( s e e 1 2 ) . t h e r e s u l t s c a n b e i n c l u d e d i n t h e f o ll o w i n g : t h e o r e m 1 . 1 f o r 1 a , t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e c o n s t a n t o ， . i n p a r t t h r e e , w e s e t u p a n e w e q u a t i o n , a n d v e r i f y t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g v a r i - a t i o n a l f u n c t i o n a l s a t i s fi e s t h e c o n d i t i o n s i n mo u n t a i n p a s s l e mma . t h e n w e g i v e a s u ff i c i e n t c o n d i t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f c r i t i c al p o i n t . l a t e r , w e e s t i ma t e o u r v a r i a - t i o n a l f u n c t i o n al t o g e t a n o n t r i v i a l s o l u t i o n o f t h e n e w e q u a t i o n a n d s o t h e s e c o n d s o l u t i o n f o r ( 1 . 1 ) o i s o b t a i n e d . p a r t f o u r i s a n a p p e n d i x w h i c h s h o w s t h e p r o o f o f t h e e s t i m a t i o n s i n p a r t t h r e e . k e y w o r d s a n d p h r a s e s : mu l t i p l e s o l u t i o n s , c r i t i c al e x p o n e n t s , e ll i p t i c e q u a t i o n s , i n h o mo g e n e o u s p e r t u r b a t i o n s , mi n i ma l p o s i t i v e s o l u t i o n i v : 彝 硕士学位论文 m d sc e r s t h e s i s 1 引言 本文中，我们考虑半线性椭圆边值问题 牡一“u 一 w- i xl “ 0 u= 0 = 。 ? 一 + a f ( x ) 在。 中 ， 在 。中， 在 a n上 多解的存在性，这是方程 牡 一“ u 一 w二 丁 万 - u 0 二 u 2 一 + a u + o f ( x ) 在几 中 ， 在 q中， 在 a n上 ( 1 .1 ) 0 ( 1 . 2 ) u= 0 的 一个特例.这里，。c r 气n) 2 ) 是一个有界光滑区域，0 。 。，2 = 2 n / ( n一 2 ) 是所谓的s o b o l e v 嵌入的临 界指标，v 0 是一个实参数，p 0 u= 0 ufx 一 u - 1 + a u在 几 电 在 。中， 在 口 n上 ( 1 . 3 ) 当久 二 。 时没有解，因为当。为任何有界区域时，极小化问 题 r ， ， .2p 2 、 ， i uvul一 下 ; u f a x . - 1 . 1 z i - j=1 川 。 一 “ :王，j , lu l2* “ )“ a j 士学位 论又 i a s i e r : ! i h s ! ti 不可达. 事实上，p o h o z a e v 型恒等式 类似 1 0 , 1 1 ) 告诉我们， 如果 1 2 关 于原点 呈星型区 域， 那么问 题( 1 .3 ) 对于 所 有a 0 ， 可以证明( 见阁) ，当ju _ p 一 1 时， 对所 有0 a 从 ( 川，( 1 .3 ) 至少有一 个解、 任 h o ( 卿.这里a l ( h ) 是特征问题 一 。 一 杀。 二 、 ! - u 二 0 在il 中， 在 a 几上 ( 1 . 4 ) 的 第一特征值.当f u : ( i , 一 1 , 川时，存在性结果与a 5 a 一 1 i ) 当。 a . ( a ) a2 ) 中的有界光滑区域。 p o h o z a e v 型恒等式表明，如果 。关于原点呈严格星型区域， a 。 表明a a 1 ， 这 里a l 是一 在sz 中0 - d i r i c h l e t 边值问 题的 第一 特征值.因此，限定。 入 4 ，那么当0 a a ， 时，( 1 .5 ) 至少有一解。 。 h o ( q ) . 2 . 如果n= 3 ，那 么当a . a 0 在 几中， 在 几中， 在 a n上， ( 1 . 7 ) u = 0 当入:0 , 入 ， ) ， “。( 0 , a ) 时至少有两个解，这里 矿 川时没有解.当w = 矿时，如果a 钊0 , a l ) ，那么( 1 .7 ) 有唯 一解。值得一提的是， 若a 。 ， 多解的存在性也是依赖于空间维数n的， 但依赖性不同于( 1 .5 ) 的情形。 受 【5 和 8 1 的启发，本文的主要目的是讨论问题 ( 1 . 1 ) 。 多重正解的存在 性问题.本文主要结果如下: 定理1 . 1当p a 时， 存在一个正数o 矿时 ，( 1 . 1 ) 。 没有解. 定理1 .2当p 0 ， 使得当， e ( 0 , 0- 时， 方程存在极小正解， 而当， ) a 时，方程没有解. 引理2 . 1 设。c r n是一个包含原点的有界区域，f : f ? x r-r是一个 c a r a t h e o d o r y 函数，且满足 if ( 二 ， u ) i c ( 1 + iu ip - 1 ) a .e . 于s 2 其 中“ ， a ( b = ( 可 ) . 证明: 证明可从! 圳 的a p p e n d i x b中直接得到. 事实上， 如果 if ( x , u ) i 5 c ( 1 + iu ip - 1 ) a .e 有;f (二 ， 。 ) * ; 杀1 : 。 ( : 十 。 ， 一 ) + im i粤 于。 面 可， 则由y o u n g 不等式， _ o a ，于。内 ，且 。 。 0 , a ( s ) 0 成立，但 在 。上不恒为零，那么 ( j ) ) s0， - 1 1 n d ,二 使得p ( 3 ) = 0 二 ， 其 中 ，(s) = 丈 0 (t) dt 贝 “若 。上处处大于零. 引理 2 .3 设 入 ， 是算子 数.那么有a l 0( 见【s ) ， 一 一 ; if. -p, 的 第 一 特 征 值 ， o w 是第一特征函 d ( 二 ) 0 a .e . 于 0. 证明: 球 b , ( 0 ) 我们只需要证明叫 二 ) 。 a .e . 于。.由于。 。 几 使得b ,. ( 0 ) c c s 2 .由引理2 . 1 得0 e c ( e ) ，e= 我们可以选取小 q v b * (可.由 ia o i-一 (a ,+ a m , : c ( o z-、 0 1 ) : c ( e + ， 2 ) : c p 知a 0 e l 态( e ) .不妨设0 ! 0 a .e . 于e ( 否则以回代替0) .令 t 一 拜 t y , 0 , 料0 群全0 ( t 全0 ) 了.，. 一一 、.了 去 了口.、 口 矛 硕士学位论文 m a s 丁 e r s t h e s i s 则p满足: ( 1 ) p连续，非减，且p ( 0 ) =0 ; ( 2 ) o 0 且 j 1(j p (t) dt)一“ 3 “一 尤 (cs,j 10)一 “ 2 “ 一 c j s- 0“一 如果拼 0 ，那么对所有3 全。 有)3 ( s ) = 0 . 进一步，可选取r p 。 使得当 理2 .2 知在 e上有0 0 .由 在s 2 0 上，都有0 。). ， 三， 。 时，在 e= ， 三， 。 的任意性得 q b . ( o ) 00 a . e 上有0 0 .由引 于 。 ( 事实上， 注 如果。 e c ( f 2 0 ) , u 0a 一 于 q ， 一 。 一 ; 俞 “ a / 于 几 任意满 足b ,. ( 0 ) c c s b 的r 0 ， 上。 so ，则在t z o 上。 。 引理2 .4 当。 充分小时， 证明:定义映射 有 u e l i _ ( q b * (可 ) . 那 么， 如果在 且对 s 2 0 ( 1 .1 ) 。 有一个极小正解。 f : r + x h 合 (o 卿 * ( 。 ， u )、 一.u勺 . , x 竺 j - r i o. u i=一 l au 一 “，二一 一 u l -一o ri x i。 i xl h - 1 ( q ) f ( o , 司 容易验证f是f r e c h e t 可微的，当然f也连续，并且 f( 0 , 0 ) 0=一 0 功 二 2 . 另外， d ( o , 司。 u ， 易证f( o , 司存在且连续( 这里u 是( 0 , 0 ) 的一个开邻 又由 逆算子定理知凡( 0 , 0 犷 e g ( h - i ( q ) , h o ( q ) ) ， 注意到f ( 0 , 0 ) = 0 ， 因此由隐函数定理( 见 【 1 7 ) 知存在充分小的s，使得当 ，e( 。 ， 司时， 。 = u ( a ) ，f ( o , u ( o ) ) = 。 。由 上面的注得u ( o ) 0 a . e . 于。.设。 ( 0 , a ) ， u ( o ) 是( 1 . 1 ) 。 的解，显然u ( o ) 是( 1 .1 ) ， 的上解，。 是其下解.由上下解方法 ( 参考 1 , 1 6 ) 知，( 1 .1 ) 。 有一个极小正解。 ( 。 ) ， 满足。 c时，( 1 . 1 ) ， 无解. 石 万 士学位论文 g 1 s f r i h f s s 证明:因为2 )2 ，所以可选取c , 。 ，使得当。 。 时， 有u 2 一 全 a , 。 一 c 1 .若。 是( 1 . 1 ) 。 的解，则有 u， 申 _ ，亡 了 、 -t u u -尸-= u 一十 i k ) , i xl - 从而 f l(一 )， 一 ， u ox j21“一 五 (u 2一 “ + “ ， 一 这 里 (x ) 是 一 一 _p 7ix,的 第 一 特 征 函 数 。 由 分 部 积 分 得 f u (一 ， 一 ， 命“ 一 f (u 2一 “ 十 、 、 二 因 此 ， a , 关 u rn d x : a 1 五 u o “ 一 c l 五 “ + 五 f o d x 于是。 c， 引理 2 6 其 中 c 一 c , f o dx / fn n 存在常 数。 ， ， 矿时，( 1 . 1 ) 。 无解。 证明:令 v 二 s u p a e r 十 仕1 ) 。 有极小正解 。 由引理2 .4 和引理2 .5 即知0 a 十 二， 又任给。 任 ( 0 , a ) ， 依的定义知 存在0 创。 ， a ) ， 使得( 1 .1 ) ， 有一个极小正解、 ， . 易证u 箭 )* i u 。 h o (fl ),1 . (“ 一 ) :一“ 二 ; (2 .4 ) 、 易 硕士学位论文 m s t f r s t h f l : ( 卜 f (i v u l - ju u ) d x 一 ， c h l(q0 ， 是 (2 .4 ， 的 极 ，/j化 序 列 ， 即 五 (，一 ).o一 ， “一 且 (一 ) 一 1 队es尹1而 因 此 可 假 定 i j o w ，一 。 zivxiz ) dx五 i w j12f n “ 三 事实上， 如果f l 三 。 ，自 然有 不等式 ( 见 【2 ) c ， 从而 iv v j i d xc; 如果。 a p ，由h a r d y r vjn ix lz * 0 ，得 fj id vjl2n 、 又h n1 ( 卿是自 反b a n a c h 空间， 我们可选取子序列， 不妨仍记作 二 ， ， 网洲网 u i一 . v i弓 v 在h o ( s 2 ) 中 在l - ( q ) 中， a 2 ， 。 ， *?a . e . 于 几 利用h o l d e r 不等式和s o b o l e v 嵌入不等式得 儿 (2e ， 一 )uo一 、 “ 一 。 ” .“ 一 。 关 于 9 一 致 成 立 从而由 将证 v ital 收 敛 定 理 得 关 (2二 一 )u o,*一d x = . 于是6 l 0 , k e =i u e h( q ) i i ( u ) 0 ， 我们有i ( v ) 。 有一组解( 6 1 , 0 1 ) .下证6 1 1 . 分别是( 1 .1 ) 。 和( 1 . 1 ) ; 的极小正解， 则。 。 (2 一 )u o一 (u d x 81(2- - ) 五 u o “ ( 2 . 1 4 ) ( 2 . 1 5 ) 因为6 1 ( 2 一 1 ) 1 ，所以( 2 . 1 5 ) 可化为 f u r 己 : : 丁 兀0/ 了 ( j f 3 v l k z -一 i ) 一 1 j n 结合( 2 . 1 4 ) 得 : ) 。 。 d x 。 ， 即 得 j r ; d 二 : c 1. ( 2 - 1 7 ) 下面我们说明 i t 0 ，由( 2 . 1 1 ) ， j ,7 u o 1 dxr: c ， c 是 与 。无关的常数.事实上，如果 ( 2 . 1 6 ) 和( 2 . 1 7 ) 可得 五 .二 “ , 12 d x 五 ua d 十 口 五 f (x )u d x 61( 2, 二 不f j f, 了 ( )二 “ 一 f “ ，二 “ 三 一 ( 而161(2- - 不 万 十 ) ( 五 . q “ + c (e ) i r ( ，“ ) c , 如果。 户 u ，由h a r d y 不等式得 j f2 ， 二 “ “ -jr 三 “ 十 ; jr 1 1= “jr ， ( )。 dx 五 u dj r 十 淤v u, 12 dx 十 a 加x )u , d x 再由( 2 . 1 6 ) 和( 2 . 1 7 ) ，注意到。 p 1 c a. 由 引 理2 .8 ， 可 选 取 子 序 列 ， 仍记 作 u v j j 1 ， 使 得 在玛( 川中% i 一u , ti 是砚( d ) 中一个非负函 数.易证u 是( 1 .1 ) 0 的一个解.由 于。 是( 1 .1 ) 0 的 下解，因此可以找到( 1 .1 ) q . 的极小正解. :髯 硕士学位论文 s l a s i e r s i h e s i s 3 第二个解的存在性 本节中，为了证明( 1 . 1 ) 。的 第二个解的存在性，我们考虑了一个新方程 ( 3 . 1 ) , 验证了 其对应的 变分泛函满 足不带( p s ) 条件的山 路引理的 两个条 件， 给出了 泛函临界点存在的一个充分条件， 最后对具体的变分泛函 进行估计， 得到了 新方程非平凡解的存在性结果， 从而得到了原方程第二个正解的存在 性结果. 本节中总以二 。 表示( 1 . 1 ) 。 的 极小正解，o e ( 0 , 0 ) .为了 寻找( 1 . 1 ) 。 的 第二个解，我们考虑如下问题: 一 4v一a 刘2 一( v + u o ) 一 一 。 三 一 v 0 ( 3 . 1 ) ”= 0 在 几中， 在 几中， 在 a 5 2 上. 显然， 若( 3 .1 ) 有一个正解v ， 我 们 就可以 得到( 1 .1 ) 。 的 另一 个正 解v v = u v v .为方便起见，我们用 “ 一 日 ” ， “ 一。 ” 分别表示 h o ( q ) , l 9 ( f 2 ) 中的范 数，u + 二 m a x ( u , 0 ) , 。 一 m i n ( u , 0 ) . 本节中， 我们将用变分方法证明 对任意 。 : ( 0 , o ) ，( 3 . 1 ) 有一个正解.为此，我们定义( 3 .1 ) 对应的 变分泛函为 j (v ) 2 j r (.二 一。 箭 )“ 一1 r2 jn (二 + 一 )2 - uo 一 2u ;一“ ( 3 . 2 ) 令 a 一 in fl f (1o v r _ ; 品 ) “ u 。 h o (q ),iv l2 = ， f . (.二 一。 u 21x 12 ) “一 1 r2 j n (二 )2 “ 一f n 了 ( ) “ 一 ( 3 . 3 ) i l ( u ) 2 。 h ln ( 几 ) 下面我们先验证( 3 为 中的j 回 不难证明j c 1 ( h o ( 卿, r ) . 引理3 .1存在常数a 0 , p 0 满足不带( p s ) 条件的山路引理的条件. 使得 j ( v ) io h o a 0 ( 3 . 4 ) 这里b o = 。 e h o ( q ) 日 、 11 m 0 f ( x , y ) = ( 二 + y ) 2 一 ， ， 一 2 y 2 一 二 - 2 ( 2 一 1 ): - 2 2 一不 y x f ., ( x , y ) f . . ( x , y ) j ( 0 , y ) =0 , 尺( 0 , y ) =0 = 2 ( ( : + ， ) ， 一 一 ， 2 一 一 ( 2 一 1 )y - 一 ? : ) = 2 ( 2 一 1 ) ( ( : + y ) 2 一 2 一 ， 2 一 ) .由t a y l o r 公式得 了 ( ， 卜 2 (2 - 1 )2( (。 + y )2+- 2 - y 2- 2) 一 从而有 。 三 五 : “ ，二 ， “一 。 ，由积分的绝对连续性知， 当m充分大( 此时。 1 充分小) 时 ， 有 五 , ，一 ， d x ) 宁 ， 所以有 ” g rja ,“ ，二 ， “ c ja ， “ + “ re(j a , “ d x ) cv i lz + : 。 2 硕士学位论文 us c e r s t h e s i s 通一 令 几 : 二 任 “ “ 二 m ， 下 面 估 计 1 n “ ，二 ，“ 注意到f ( 二 ， ， ) =2 (2 - 1 )2(。 + y )2一 一 ， ” 一 ) 导 ，当。 + *0 时， 由函 数t 2 - 2 在 0 , m+ 0 ( + ) 2 、0 对于 。 。 e 0 , m 一致地成立 另一方面，由函数了的定义知，当v + - + + 0 0 时， 0 f ( v + , u o ) ( v + ) 2 * 引1+ 生)z ( 1 + v a ) 2 v甲 m 、 ， . 1 1+ ) - v下 c 对于 。 ， 引0 , m 一致地成立 由此可得 /川产/川 0 工 f (v + ,uo ) dx : 三 大 一 d 十 c (s) ， ( ( + ) + c (e )(v + )v,/ “ 一。 ” d x 1， 6 1 一1 4 6 1 可选取 充分小，使得 iiv ii, 一 c l iv 产 . 1 1 ) 若。 a 1 和。 0 , a 。 ， 使得( 3 .4 ) 成立. 引理3 .2 任给。 0 时，有 j ( r v ) r ( 3 . 5 ) 证明:由不等式 ( 见5 1 ) ( : + 。 。 ) ， 一 。 三 一 。 2 2 二 二 三 一 ， v v 。 ， x 任 几 可知，对。 g 二 任 h o ( f 2 ) , v 0。 ， r任 r + ，有 j ( r v ) 二 (。 .二 一; rx l2 )dx 关 (r v + 二 ， - u o 一 ， 二 v一 r v “ 产了儿1-zx ，土-，- 一 r z2 , (iw l2 一zix lz)dx 一 2 j n (r v + u o )2 - 、 一 2 u v 一 r v 一 r 2 * v 2 . + r 2 * v d x 因此当 r r 2 f 5万左 + 00 时， ( iw i2 - “ 俞) 一 令 w 22 r 2 . j ( r v ) *一 00，故( 3 .5 ) 成立. 硕士学位论文 m a st e r s t h e s i s 肇 一_一一 引 理3 .3设。 e ( 0 , 0 ) ， 如果 存 在0 0j (tv o ) 0 ，使得 。 = r i v o b ，且 j ( e ) 0 定 义 。 = in f r e d m a x e r j ( v ) ， 这 里，表示川( q ) 中 连 接。 和e 的 连续 道路 集.我们有 a 1-n 0 a 。 0 ，有 玛 一 ” v i弓 v u j弓 v ll v j l l *d 于 h o ( 0 ) 于 l 0 ( n ) a .e . 于几 2 工 一 n 以 下我们将证明f 1 二节中的注知，存在 。 。 ( ， ) a 0 .设 a ， 这 与( 3 .7 ) 矛 盾 . 故 引 理3 .3 三。 时，条件( 3 .6 ) 是自 然成立的. 0 74: 。 e s 2 , a 0 , 770 ，使得 h x 成立. 根据引理2 .1 和第 e b _ ( 二 。 ) c s t ，有 _， _ 、 _1_ ,m n ut j一咨 c l 、 / _ i i 乍。二丧 、 _ 瓜 k t i 一 x o i v . 十 一 0 1 1 其中 则 w e 这里 7 =v / a + j p 一 拼 ，丫二 而 一 j a 一 il 。令 w e ( 二 ) =。 : ( 二 +: 。 ) = 1 ( : 二 芳 + 二 * ) f x r n 满足 ( 见8 ) 一 w e 一 # t . - i, = _ c e w e 一 、 、返 。1 4 6 ,n ( l 1 一p ) 、2 l ， 二 二1 1。 n 一 2/ 取。 充分小， 使得b e n ( 二 。 ) 。 ， b 2 n ( o ) 仁 几 且b z n ( x o ) fl b 2 ( o ) =0 ，设o ( x ) e 矛脾) 是一个截断函数，满足 .了、.吸 -一 ( x ) b +r ( x o ) 任 r n b 2 n ( 二 。 ) 0 0 ( 二 ) 1 d x r n 睿 硕士学位 论文 1 i a srn e s t u e ii s id o ( x ) i c d - e r rn 这里c是一个常数.再设叭( 二 ) =以 : ) 。 。 ( : ) ，则当 *0 时，我们可以 得到 如下估计: w 2 = iu 112 - : 一 华 + o ( e ) h g e l = iu 1= 。 一 , -_ ,a + o ( 1 ) f . 讨 : 一二 。 i 2 d x =: 一 罕 ix ii “ ， + 口 ( ) l 一， vg e i= d x = : 一 军一v u 12 d x + 0 ( 1 ) ( 3 . 1 7 ) ( 3 . 1 8 ) ( 3 . 1 9 ) ( 3 . 2 0 ) 、 产声为了r介 么 p l c - = 17 a - 4 i n e l +0 ( 1 ) “w 一1 p=a一1 p一1ua ( 3 . 2 1 ) 月险1工1工 口o(o( 了./、.叹 -一 之 d 叭 户力 这里 u ( x ) = ， iu i12 一 /u 2 (x ) d x ( ix l - + 一: j 1,7 ) j n . 证明类似【 1 0 ， 见附录. 令 一 俞 油 的 定 级(3 .1 7 ，一 3 .2 1 ) 容易证明 x #全 f, (i: 二 2 一 ; v#x 2 )“ j 1o v,in2dx 一 五vefn ix - x0 2 d x = a + o ( e 丫( 3 . 2 2 ) w e 12= 0 ( e : ) 0 ( e 午) i 1- e 1 0 ( e 0 n 0 ) ( 3 .2 3 ) 引理3 .4 当“ 三 。 时，存在常数t , p一1 (l u 。 处可达. 由引理3 . 1 知t , 0 .令y = s - p t o j ( t v e ) = j ( t e v e ) ，则 亡 -t .， u j d一dt 也即 :、 一 ;一j. ， (一，二 “ 一 。 . 注意到 9 ( t , ” 一 ” ) = ( t , v , + “ 。 ) ， 一 一 。 二 一 一 ( : 二 。 ) ， 一 : 0 ， 我们有x , t 一 2 或 t # m ，利用t a y l o r 展式得 。 三 to j r ,， “ 一，二 “ c te一 + c (j 。， u o* dx )-r .v， 由积分的绝对连续性知，任给。 0 ，可选取m) 。 ，使得 一e fn 。 (一，二 “ 一 三 “ ，一 “ + c a ( 3 . 2 7 ) 另一方面，对。 全 。 ， x 。 q m= 二 。 0 1 u o l n !v 。， 一 c w e 12 一 c t e 一 ， 一 c a 一 2 a a一 c w e 1z 一 c t e - 一 c a 因 此由( 3 .1 7 ) , ( 3 .2 0 ) 和( 3 .2 3 ) 知，当: 充分 小时 ， 有 t ,c ( 3 . 2 8 ) 注意到函数t 、2 x t2t - 在区间呻 沐厂 上是递增的， 结合( 3 . 2 2 ) 可得 x ,2 (x i)j g “ 一 “ 瓜 月此一2 - 砚 一 扣 x 。 ) a .1 , (x e ) 22 一 j g “ 一“ n h 一“ 一 c 一 c 1 .,一 “r - 9 三万 a t + o ( 一) -j g n “ 一 dx 故降2 4 ) 成立，从而引理3 .4 得证. 引理3 .5若j 2 m时，有g ( u ) m , + 00 ) 上的 特征函数.因 此存在常数0 。 ，当。 全 一 g (一) : 关 u h (s) dsu : a 。 从 而 对 所 有 满 足 的s ，成立 ( ce- ) ,.(s + s 从 (黯) v-.ce-y-7) 全 a(s + s 1 - ( 3 . 3 2 ) 如果p =0 ，则7 = 2 而， 丫= 0 .此 时 可 选 取 : : . , i. ( ( ; c m l- 石 ) 一 “ ( 1 。 m - 2( 2 c m i - ，那么当s 进而，有 、 ( 1 c m 1_ n 2 “ 专 垒 爪号时，( 3 .3 2 ) 成立， 且 、.、j 21一 、飞，r了 c. : 一 士 5 时， 上式右端项当 *0 +时趋于+ 00. 再由( 3 .3 1 ) 即知临3 0 ) 成 当n=3 , 4 时，由不等式 ( 见围 ) ( v + u , ) p 一 ; n 一 。 o n ? p u o v l - 1 , 。 全 。 ， x e b , ( x o ) , p 2 立知 叻叻 ，、 !f 一 /c e ,) 3 1+ $2) 3 (l3 、 、 一 (ce a111+ 92) ) 一 =+ co( n二 =+ 0 0 ( n= 卜氰 硕士学位 论文