（基础数学专业论文）关于分数次积分、marcinkiewicz积分交换子和多线性算子的几个问题.pdf

致谢 首先，我衷心感谢的导师王斯雷教授，王老师的辛勤指导和谆谆 教诲使我顺利完成学业并在学业上不断取得进步。 我衷心感谢我的导师陈杰诚教授，陈老师的悉心指导和热情帮助 使我在学业上受益匪浅。 我还要感谢浙江大学西溪校区数学系的有关老师对我的帮助；感 谢王伟副教授和盛为民副教授：感谢我的师兄贾厚玉博士、应益明博 士、章志飞博士，师姐王梦博士：感谢姜丽亚、陈琼蕾等同学对我的 关心和帮助。 我还要感谢张璞博士后，衷心谢谢他对我的帮助。 第一章序言、文献综述与论文详细摘要 算子在各种空间中的有界性和函数空间的刻划一直是调和分析的中心 问题之一，本文研究的是算子的有界性问题，将致力于分数次积分算子， m a r c i n k i e w i c z 积分交换子以及和奇异积分算子、分数次积分算子相连系的一 类多线性算子的有界性的研究。本章由两部分构成：第一部分，简要回顾我 们要研究的算子的某些发展线索，并把它们与c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分 算子及相关算子进行比较，从中提出我们要研究的问题；第二部分是论文详 细摘要 1 1 序言，文献综述 数学以其严密的逻辑性著称，数学又是美的，理论的和谐、对称和表现形式 上的简洁是数学美的重要特征归纳、类比、分析与综合等是发现和提出数学 问题的重要方法本文的写作过程中，我们把数学理论具有和谐和对称性这 一观点作为基本出发点，归纳、类比、分析与综合等思想方法作为提出问题的 基本方法，把我们研究的对象与经典的c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子及相 关算子进行比较，从中发现问题因此，简要的圆顾经典的c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子及相关算子的发展是必要的 ( 一) c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子及其交换子 有关奇异积分算子的研究及其在偏微分方程中的应用，是近代调和分 析最为辉煌的成就之一由于a p c a l d e r o n 在这一方面的突出贡献，于1 9 8 9 年获得w o l f 奖c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子，自2 0 世纪5 0 年代由 c a l d e r o n 和a z y g m u n g 1 提出以来，便成了近代调和分析中最为活跃的课题 之一，由此发展起来的许多方法和技巧，已被广泛的应用于算子有界性的课 题中2 0 世纪5 0 年代以来，奇异积分算子已经历了三代，第一代是主值卷 积型，第二代是经典的伪微分算子，第三代是8 0 年代以来，受l i p 曲线上的 c a u c h y 积分算子的影响而产生的奇异积分理论在调和分析、复分析、偏微 2 分方程、位势论、算予理论，非线性分析于概率论中都有许多应用作为论 文的开始，我们首先简要的回忆第一代c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子和 与之相关算子的发展历史 2 0 世纪5 0 一6 0 年代是奇异积分产生并深入发展的重要阶段，其成果 广泛的应用于偏微分方程理论中c a d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子在近代 调和分析理论中的重要地位，还表现在它的研究方法和思想对另外一些算子 的影响 h i l b e r t 变换是调和分析的基本算子之一，有着深刻的数学背景和重要的 理论意义早期使用的主要是复变函数论的方法，2 0 世纪开始了实变方法 的研究1 9 5 2 年，a p c a l d e r o n 和a z y g m u n d 在 1 中把h i l b e r t 推广到高维 情形由于单复变函数方法不再适用多复变函数，人们不能再使用单复变方 法研究h i l b e r t 变换的高维推广，因此调和分析的实变方法的产生和发展成 了调和分析发展过程中的必然产物 1 9 5 6 年，a p c a l d e r o n 和a z y g m u n d 在 2 提出了“旋转”方法，使用这种方法证明了经典的奇异积分算子的有 界性此后，”旋转”方法在算子的有界性的研究中起到了重要作用如： b b a j s a n s k i 和r c o i f m a n 在 8 中使用了这种思想证明了一类多线性奇异积 分算子的有界性；s z l u 和d c y a n g 在 4 2 】使用”旋转”方法证明了一类 粗糙多线性奇异积分算子的有界性 交换子是一类与奇异积分算子相关联的重要算子，由于它与偏微分方 程，c a u c h y 型积分等问题有着密切的联系，而且又是调和分析第一个非卷 积型的c - z 算子所以对这一类算子的研究是调和分析的热点问题之一，关 于这一问题的课题早期的著名文献有【5 】， 4 0 ，【3 6 ，【4 2 等 设扩是r “的单位球面，n 为舻上的0 次齐次函数且k 。n ( z ) 如= 0 ，以t 表示具有齐性核的c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子，即 t ，( z ) = p - ”r 。掣i xy l ，( ) d j n 一 ” 我们可以把t 以适当的函数b 生成的交换子分为两种情形： 3 第一类可以定义如下： 聊一厶掣 背m ) d y 它的直接背景来自与对沿l i p s c h i t z 曲线的c a u c t 够积分的研究对于这一类 交换子的研究主要成果有 2 3 】， 3 】，【4 1 ，【5 】， 4 l 】等文献由于a p c a l d e r o n 在这一方面的作出的突出贡献( 参见【3 】i 【4 】，【5 ，【6 等) ，我们把它称为c a l d e r o n 型交换子 第二类可以定义c o i f m a n - r o c h b e r g - w e i s s 型交换子( 见文献【3 5 ，【32 ) ， 它是如下定义 啦r nm ) 邓”厶。甓掣) 6 ( 州“m ) d y 1 9 7 6 年，借助于这种交换子r r c o i f m a n ，r r o c h b e r g 和g w e i s s 把单 位圆盘上的h a r d y 空间的分解定理推广到高维h a r d y 空间，他们同时给出了 h a r d y 空间的对偶空间( b m o ) 一种新刻划另外，这种类型的交换子还在偏 微分方程中也有重要的应用与c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子有界性的 结果相比较，人们不再满足予研究光滑核的情形，进一步减少对核函数的限 制，改进已有的结论，这一目标成了近年来研究交换子的主要动力之一自 2 0 世纪7 0 年代以来，对c o i f m a n r o c h b e r g - w e i s s 型交换子的研究十分活跃 并已取得了非常丰富的成果由于某些次线型算子与c a l d e r o n z y g m u n d 奇 异积分算子有着密切的关系，如h a r d y l i t t l e w o o o d 极大函数，分数次极大算 子，m a r c i n k i e w i c z 积分等，对次线形算子的交换子的研究也是近年来的重要 课题之一，这些方面的成果主要有【2 2 ，1 2 4 ， 4 9 1 ，【4 8 】，【2 8 ， 1 8 1 ，【3 1 】，f 9 】，【7 等 文献 众所周知，l i t t l e w o o d p a l e y 的g 函数、鲅函数和l u s i n 面积函数s 是 现代调和分析中的重要工具，在与之相关的课题上，m a r c i n k i e w i c z 2 9 考虑 了下面的函数我们称之为m a r c i n k i e w i c z 积分算子定义如下 肛( ，) ( 。) = ( 0 2 ”i ! ! 兰= _ 生_ = ! ：；二二螋疵) 5 ，。【0 ，2 ” 其中f ( x ) = 譬f ( t ) d t 引入m a r c i n k i e w i c z 积分p ( ，) ( 。) 是为了得到l i t t l e w o o d - p a l e y 的靠函 4 数的类比，而且在定义不涉及到单位圆的内部( 觅f 3 a ，【1 6 】) 1 9 5 8 年s t e i n 1 6 把m a r c i n k i e w i e z 积分推广到n 维情形，其定义见文 1 6 】自从1 9 5 8 年s t e i n 引入高维m a r c i n k i e w i c z 积分以来，对它的研究就成调和分析学家十分感兴 趣的问题之一，特别对具有粗糙核的m a r c i m k i e w i e z 积分的研究非常活跃 m a r e i n k i e w i e z 积分在现代调和分析理论中一显得十分重要匿绕着m a r c i n k i e - w i c z 积分这一课题出现了大量的研究成果，参见【3 9 】、【2 7 ， 2 5 1 、1 2 6 】、 【4 9 】1 、【4 7 l 、【1 4 t 、1 3 5 、 4 5 1 等文献 通过对m a r c i n k i e w i c z 积分的研究发展的考察，我们可以看出m a r c i n k i e - w i c z 积分表现出来的性质与c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子有许多相同之 处，在研究方法上也是类似的而对c a l d e r o n - z y g m u n d 的研究已取得丰富的 成果，把这两类算子进行比较，自然激发了我们对m a r c i n k i e w i c z 积分做进一 步的研究 我们已熟知【见文 3 3 1 或【1 6 1 】 陋( ，) i i p o i l f l l p ，当1 p 0 1 9 9 0 年，t o r c h i m k y - w a n g 7 研究m a r c i n k i e w i c z 积分及其交换子g ( ，) 的加 权有界性其中交换子定义如下 c d i ) ( 扣嘉s 。盟掣尥地i d r ) ，6 曰m o ( 砚 并且得到下面的结论 定理a 设1 p ，u 岛，则存在f 与和b 无关的常数c = g 如) ， 使得 川l 珑sg i l f i l e ，f i c b ( f ) l l l ：so i i b lp 。i f i i l e 其中i i b l l 表示b 的b m o ( r n ) 范数，i l fr l 圯= ( kf p d y ) 1 ，山为m u c k e r - h o u p t 权函数类 另外m p a l u s z y n s k i 1 6 研究了c o f i m a n - r o c h e r b e r g - w e i s s 型交换子对b e s o v 空 间的刻画，受此文的启发一个自然的问题是6 ( $ ) 属于l i p s c h i t z 类时，交换 子c b ( f ) 在t r i e b e l - l i z o r k i n 空间中的有界性如何? 这就是本文的第三章的所 5 要回答的问题 ( 二) 分数次积分算子，多线性算子 设0 a n , s 一1 为r n 上的单位球面，n 是定义于r “上的0 次齐次 函数且q l 7 ( s n - 1 ) p 1 ) 具有齐型核的分数次积分算子，。定义为 ，。，( 。) = 厶。詈兰弄芝f ( v ) 由 当n = 1 时，珀。就是r i e s z 位势( 相差常数倍) ，把它记为l ，由于 r i e s z 位势具有深刻的偏微分方程背景，也是调和分析的重要算子，所以这 一课题一直势人们感兴趣的问题围绕这一课题的研究取得丰富的成果，其 中著名的经典的结果是h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式见 17 2 0 世纪7 0 年 代，h a r d y 空间实变方法理论的发展，促进了h a r d y 空间的有界性研究。 t a i b l e s o n - w e i s s 在【3 0 】中建立了r i e s z 位势在h a r d y 空间的有界性结果1 9 9 6 年，l i u y a n g 证明了r i e s z 位势在h e r z 型空间中的h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e v 不等式 4 3 】；丁勇在文【5 0 中给出了具有齐性核的分数次积分算子在h a r d y 空间中的有界性结果 1 9 8 7 年，f e f f e r m a n - s o r i a 在【37 】给出了弱h a r d y 空间h v ，。( r “) 当p = l 时的分解定理，1 9 9 1 年l i u 2 0 1 将他们推广到0 ps1 的情形，并且证明了 奇异积分算子在弱h a r d y 空间中的有界性张璞在文【5 3 】中得到了分数次积 分算子在弱h a r d y 空间的有界性。其结果如下： 定理( i ) 设o a n ，op a ) fse ( ! 挈) 9 定理( i i ) 设0 a 1 ，0 p qs1 且i 1 = i 1 一罢，则l 是 ( 日p ，。( j p ) ，日口，”( 兄n ) ) 有界的，即 j i i a f ( z ) f i h ，m ( 口) sc i i f l i h 。* ( r n ) 当算子变为具有齐性核的分数次积分算子时，它们在弱h a r d y 空间的有界性 如何? 即文【5 1 1 中的定理在弱h a r d y 空间的是否相应结果，这是本文的第二 6 章的内容，详见第二章 多线性算子最初是a pc a l d e r o n 研究奇异积分算子代数时引入的，并且 建议b b a j s a n s k i 和r c o i f m a n 研究更一般的情形见【8 此后，关于与奇异积 分子相联系的多线性算子的研究受到了重视，出现了很多成果8 0 年代后 期，陆善镇教授首先倡导把振荡积分和多数性算子就和在一起研究，即所谓 的多线性振荡奇异积分此后，以他为首的研究集体在这方面作了一系列有 意义的工作，如【4 1 以( a ，。，y ) 表示定义在r “上的函数a 在点x 关于y 的m 阶t a y l o r 展 式的余项，类似于多线性奇异积分子见【1 0 ，m ，p a l u s z y n s k i 3 2 】研究了奇异 积分交换子对b e s o v 型空间的刻划最近，w g c h e n 在【4 5 】中给出了多线 型奇异积分算子的b e s o v 估计本文的第四章将【4 5 的结果推广到一般情形 【谌稳固相应的结果已发表在数学物理通报上1 2 0 0 0 年，胡国恩在【2 l 】中得到了关于多线性奇异积分算子的变s h a r p 估 计，其主要内容如下：胡研究的算子定义 觋：。坐) 二掣学迦型k ( 。一) m ) d u ， ( 。) j 舻 l z y l ” 、7 丁_，一：，=p”五。k(z一”)!l；!j掣，(y)dyy ，(6) j r ni 茹一r 其中k ( x ，g ) 为标准的c a l d e r o n - z y g m u n d 核，并且v a ( y ) b m o ( r n ) ，或 d 岛a b m o ( r “) ，岛冲1 ( ，。，y ) 如【4 3 】中的定义一样所要得到的结果为 定理b 设戥是( a ) 中定义的多线性分数次积分算子，则定义任意0 划s g 厶。掣( 1 + l o g + ( 掣) ) 旬 定理m 设乳。 是( b ) 中定义的多线性分数次积分算子，则定义任意 0 划g 厶。号掣( 1 + l o g + ( 马华) ) 2 妇 我们自然的会问当算子为多线性分数次积分算子时即( z ，p ) = 南，是 否有相应的变s h a r p 估计本文的第五章对此做出回答 8 协0 m dm日 山 q d 蔷 。爿 g 一 z “件屯功 1 2 论文的详细摘要 由于分数次积分算子，m a r c i n k i e w i c z 算子的交换子，多线性算子是 调和分析的重要算子，他们不仅在调和分析中有着重要的地位，而且在偏微 分方程具有着及其重要的作用。本文致力于这些算子的研究把本文分为5 童 本文的第二章讨论的是分数次积分算子在弱h a r d y 空间中的有界性，主 要定理如下： 定理2 4 设0 a o 其中c 与 和f 无关 本文的第三章讨论的是m a x c i a k i e w i c z 算子的交换子在t r i e b e l - l i z o r k i n 空 间中的有界性，主要内容为 对卢 0 ，l i p s c h i t z 空间如定义如下 a b = ，扩( 观盯恢，= 啪器却钱妒 o o ) 其中l 表示第次差分算予，也即 ( i ) a l = h = ，( z h ) 一，( $ ) ； ( i i ) ：+ 1 ，( z ) = a l f ( x + ) 一，( 。) ，k l ； ( i i i ) 船，。表示齐次t r i e b e l l i z o r k i n 空间 定理3 2 设l p ，0 p m i a ( ；，。) ，且6 ( $ ) 则对于任意 f l p ( r “) 有 i i c b ( f ) ( z ) l l 诺一c i i b ( x ) l b , 。r l f l l l ， 9 本文的第四章讨论的多线性奇异积分算子在t r i e b e l l i z o r k i n 空间中的 l i p s c h i t z 估计主要内容如下 a 2 ，一厶掣n ( ) ，( 帕， 其中n ( z ) 满足一定的齐性，光滑性，和对称性条件，m = m l + 7 t 2 ，g o s s e l i n 和c o h e n 在文 1 1 中证明了算子玖，山在l p ( n ) “中的有界性，其中 1 p o 。，如果d ( m - 1 ) a 1 b m o ( r n 】，d ( m - - 2 ) a a b m o ( r ) 。p m l ( a 1 ，z ，) 和p m 。似l ，z ，y ) 分别定义如下： ( 山，训) = a j ( x ，) 一壶剪( f ) ( 一g ) 。 ( 4 3 ) s 唧 本章给出算子的b e s o v 估计 本文主要结果为 定理4 1 设，l p ( n n ) ，1 p 。o ，d ( l 一1 ) a 1 如及d ( “2 1 ) a 2 如 ，o 卢 1 则算子t a 。，a 。有下面估计式 0 i _ 。， ：，扛心，一= sc l f d 。a 1 j i “ l j d 。a 2 1 1 h 口1 1 州p i a l = m l 一1l o l = m 2 一l 第5 章我们考虑下面的多线性分数次积分算子的变s h a r p 估计 本文考虑算子为 = 厶盟丛管掣昔耘m ( 5 ，)“，0 - 厶下j r f 可忑叫 p 。j t a h a 2 , a ，= p ”n k ( z 一) ! ! ! = ! 掣，( ) d ，( 5 3 ) 其中m = m 1 + “2 和函数k ( 。，口) 定义k ( $ ，g ) = 南以及，p 竹b + 1 ( 山而目) 定义为a j 在点z 关于9 展开的第啊+ 1 阶展式 p m j + 1 ( a j ，) = 山( 。) 一击d 岛山( ) o 一) 岛 ( 5 4 ) i 口j l _ r a jp 3 ： 本文主要结果为 定理5 1 设死，。是( 5 1 ) 中定义的多线性分数次积分算子，则定义任意 0 ；e 厶。堕掣( 1 + 1 0 9 + ( 竖掣) ) 由 1 + n a - l o g + ( b 掣1 + l o g + ( 掣) ) 咖) ) 其中q = 鑫 定理5 1 3 设乳，a p 是( 5 3 ) 中定义的多线性分数次积分算子，则定义 任意0 吲i l c 厶骂掣( 1 + l o g + ( 骂掣) ) 2 由 1 + 嚣l o g + ( 岛掣( 1 + l o g + ( 掣) 2 ) 曲) ) 2 其中q = 忐 s o m ep r o b l e m so nf r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r 、 m a r c i n k i e w i c zc o m m u t a t o ra n dm u l t i l i n e a ro p e r a t o r s s u m m a r y i ti sw e k kk n o w nt h a tt h ef r a c t i o n a li n t e g r a l s ，t h ec o m m t a t o r s f o rt h em a c i n k i e w i c z i n t e g r a l sa n dt h em u l t i l i n e a ro p e r a t o r sp l a yap r o f o u n da n d e x t e n s i v er o l ei nh a t - m o n i ca n a l y s i sa n dt h ep a r t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w e l ld i s c u s st h em a p p i n g p r o p e r t i e so ft h e s e k i n d so fo p e r a t o r s o k l rt h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r i i st h ei n t r o d u c t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w ew i l ld i c u s st h et h eb o u n d e d n e s so ft h ef r a c t i o n a li n t e g r a l o nc e n t a l nw e a kh a r d ys p a c e s 0 u rm a i nr e s u l t sa r el i s t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m2 4 l e t0 0s u c h t h a t 即：陬。m ) 入i l - 。 i nc h a p t e rt h r e e ，w ew i l ld i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m m u t a t o r sf o rt h e m a x c i k i e w i e zi n t e g r a l si nt h et r i e h e l - l i z o r k i ns p a e e s t h em a i nr e s u l t sa r el i s t d e d a sf o l l o w s ： t h e o r e m3 2l e t1 p o o ，0 卢 m 打l ( ，a ) a n d6 ( $ ) a 卢，t h e n f o ra n y ，口( 舻) w eh a v e 恸( ，) ( z ) 峙* c i b ( x ) l l a 。护 i nc h a r p t e r4 , w ec o n s i d e rt h em u l t i l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o rd e - f i n e db y ： 1 2 小) = p n 五。鬻吣刊尥胁 w h e r en s a t i s f i e sc e r t i nh o m o g e n i t y , s m o o t h n e s sa n d s y m m e t r y ，m2 ”1 + m 2 p , n j ( a j ，啪) = a j ( x ，) 一者骘( ) ( z g ) 。 ( 4 3 ) l o l ! m j i fa jh a sd e r i v a t i v e so f o r d e r ( 一1 ) b e l o n g st ob m o ( r “) t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a r p t e ra r et h ef o l l o w i n g r e s u i t s ， t h e o r e m4 1 s u p p o s et h a tfb e l o n g st op ( 兄”) ，w h e r e1 p o 。，1 e t d ( m l - 1 ) a i a 俨d d ( m 2 - - 1 ) a 2 a 卢，w h e r e0 p 1 ，t h e nf o rt h eo 口e r a t o r 乳1 a 2 ，w eh a v et h ef o l l o w i n ge s t i m a t e ， l l 死：，( 。) 峰* = a l i d 。a i i i a 。l i d 。a 2 l l f l l p j 8j = r f l 1 1j o i = m 2 一l i nc h a r p t e r5 , w ec o n s i d e rt h em u l t i l i n e a rf r a c t i o n li n t e g r a lo p e r a t o rd e f t n e d 2 厶盟巡昔产幽昔耘妣 a n d ：啊，一。一，= p ”厶。巧( 。一”) ! ! = i 盏! ! ! ：；j ；型，( ”) a ” w h e r e t o = m l + ”2 ( 5 1 ) ( 5 3 ) “8f u “。1 。nk ( $ ，y ) d e f i n e db y k ( x ，g ) = a n d ，+ l ( 如而”) d e f i n e db y ： p m ，+ i ( a j 一= a j ( x ) 一去d 岛山( ”) ( 。一9 ) 岛 ( 5 4 ) l 如i q 仰 t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a r p t e ra r et h ef o l l o w i n g o n e s ： t h e o r e m 5 1l e tt a 肆b et h em u l t i l i n e a rf r c t i o n l o p e r a t o rd e f t n e db y ( 5 1 ) ，t h e nf o r0 r 1 ，t h e r ee x i 8 t sa p o s i t i v ec o n s t a n tc ：g ( n ，r ) s u c h t h a t f o ra n y c 譬 ( 乳，。叫( z ) 硎va l l b m o m i 1 。g l ，。，( z ) t h e o r e m 5 2s u p p o s et h a t 死 b et h em u l t i l i n e a rf r a c t i o n a lo p e r a t o rd e f i n e db y ( 5 1 ) 。t h e nf o r0 吲；g 厶。骂掣( 1 + l o g + ( 骂掣) ) 咖 1 + 嚣1 0 9 + ( 厶。掣1 + l o g + ( 掣) ) 由) ) w h e r e 口= 惫 t h e o r e m5 1 3l e t t a l ， 2 ，口b et h e m u l t i l i n e a xf r a c t i o n a lo p e r a t o rd e f i n e d b y ( 5 3 ) ，t h e n f o r0 r 1 ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n tc = e ( n ，r ) s u c h t h a t f o ra n y ，c 铲， 2 。a ，。纠( 。) ci i l i d 。j a j i b m o m l ( 1 。g l ) l a ，( z ) j = l 胁l = m j t h e o r e m 5 1 4l e tt a l ，a 2 口b et h em u l t i l i n e a rf r a c t i o n a lo p e r a t o rd e f i n e db y ( 5 3 ) ，t h e nf o r0 划i - c l 掣( 1 + l o g + ( 掣) 2 ) 却 w h e r e q = 鑫 l + 詈l 。g + ( 厶。掣( 1 + 1 0 9 + ( 掣) ) 2 由) ) 2 第二章分数次积分算子在弱h a r d y 型空间中的有界性 2 1 引言 设0 n n , s 一1 为r n 上的单位球面，q 是定义于形上的0 次齐次 函数且n l ”( 伊。) 一1 ) 具有齐型核的分数次积分算子珏，。定义为 t r l 。f ( 加厶。啬器f ( v ) 曲 当q = 1 时，孙。就是r i e s z 位势( 相差常数倍) ，把它记为l ，由于 r i e s z 位势具有深刻的偏微分方程背景，也是调和分析的重要算子，所以这 一课题一直势人们感兴趣的问题，围绕这一课题的研究取得丰富的成果。其 中著名的经典的结果势h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式 1 7 1 ，2 0 世纪7 0 年 代，h a r d y 空间实变方法理论的发展，促进了h a r d y 空间的有界性研究。 t a i b l e s o n - w e i s s 在 3 0 中建立了r i e s z 位势在h a r d y 空间的有界性结果1 9 9 6 年，l i u - y a a g 证明了r i e s z 位势在h e r z 型空间中的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式【4 3 】 1 9 8 7 年，f e f f e r m a n - s o r i a 在 37 给出了弱h a r d y 空间h p , o o ( 舻) 当p = 1 时 的分解定理，1 9 9 1 年l i u 2 0 】将他们推广到0 p 1 的情形，并且证明了奇 异积分算子在弱h a r d y 空间中的有界性张璞在他的博士论文( 5 3 】证明了分 数次积分算子在弱h a d y 空间中的有界性，丁勇在文【5 0 研究了具有齐型核 的分数次算子在h a r d y 空间中的有界性受文 5 3 】和文【5 0 】的启发，我们自 然会问当标准的r i e s z 位势变为具有齐型核的分数次算子时，它在弱h a r d y 空间中的有界性如何? 这是本文所要回答的问题。 本文研究的算子 孙m ) = 厶兴碧f ( y ) 由 其中0 a o ) ，定义f 的径向极大函数 舛( ，) = s u p i ( ，+ 恍) ( z ) i 1 5 弱h a r d y 空间日p ，。r 8 可以定义为 h p 。( 舻) = ，s ( r “) ：妒牟( ，) l p ”( 舻) ) 0 p 1 对于p ( o ，) ，弱l e b e s g u e 空间口，。可以定义为 p ，”( 月“) = f 是可测函数且b 一( 郧) a ) 1 。 原子分解定理f 4 4 对于，日，o 。( 月n ) 和0 p 1 ，存在一系列有界函数 ) 趁一。使得，= 芒一。a 在分布的意义下，并且a 进一步可以分解为 = 。 其中砖满足下列条件： ( i ) s u p p h ；钟， 其中b = b ( 。 ，世) ，i 磷ls2 - k p i i 删日，* ( 舻) 和 x 辟( z ) s g ； ( i i ) l l ( 。) 怯sc 2 。 ( i i ) 厶。 # ( z ) 护如= 0 ，例s ，非负整数s h ( ：一1 ) 常数c 与f 和i 无 关 概念a ：假设是n 是月”上的0 次齐次函数并且 五。吣) d z = o ， 其中酽- 1 表示单位球面具有l e b e s g u e 测度d a ：= d x 我们称q 满足l 。d i n i 条件如果q l s ( _ 1 ) ，并且 z 1 州) 警 。， 其中u 。( d ) 表示n 的s 阶积分连续模 ( 6 ) 2 i s p u p j 6f j s i f 2 ( p x ) - f t ( 珊d x ) 5 及p 是础上的一个旋转且= 怕一则 2 2 主要引理和定理 1 6 引理2 1 川设1 p ，q o o ，0 o n ，i 1 = ；1 一嚣- 若q l r ( 兄“) p 百) ，则存在常数c ，使得 归h ，o ，忙) i l qc r n ) sc i t y i i l ，( r n ) 引理2 2 5 q 假设0 0 ，使得l y i a o r ，则 ( k 瑚l 啬格一鬻i d x ) a 扩旷n 笔+ k 蝌华西) 弓l 理2 3 f 5 0 】设0 q 0 使得珏，。是三p ( 舻) 到彤( 舻) 有界的即 舻：珏 口，( 。) 栅j g ( 峄) 4 坝 o 其中c 与a 和f 无关 定理2 4 设0 口 0 使得，。是五p ，。( 兄“) 到l q ，o 。( 舻) 有界的。即 舻：陬。弛) 椰i e ( 迎产) 9 v o 其中c 与a 和f 无关。 2 3 定理2 4 的证明 对于，俨，。( 研) ，若肼* 】_ 0 ，则 s u p a i 。a - ( z ) ：妒+ ，( z ) a ) i = 0 于是妒+ + f ( x ) = 0 a z r “( 。) ，从而l l m + f ( x ) i i l ，= 0 即i i f l l ，( n ( 。” 注意到。的( h p ， ) 的有界性 5 0 】有 z r ”i t n ，。，( z ) i 划a 一。i i 码，n ，( z ) 峨( r n ( 。) i i ( x ) i l 备一( r n ( 。) ) = o = c ( 鹄半) 4 此时要证明结论成立，以下假设i 肌* ( r n 0 ，由原子分解定理可知 f = a 且f k = ( z ) ，其中a 与h ( z ) 与原子分解定理中的相同 k = - c d i 对于任意的a o ，记q = a 4 i i f l l l h 。, , 。( 舻( 。) ) ，取z ，满足2 。q 2 + 1 ，把f 分成两部分 取p 1 与q 1 满足1 p l a g f 毕f 为此令砰= b ( 。 ，2 呼) ，四= 0 u 西由原子分解定理( i ) 有 i s l g 嘲s o h f h 备，。妻2 卸 2 k o + l 2 k 毒一+ 1 o u i i 备一矿e ( 华) 。 j 伽r ”曰。 注意到如果。g e 则 陬n 日。) 狮g ( 华) 9 陬湖厶f 掣一啬貉陋刮匆 当q l 1 时，由 ( 。) 的消失性知 ( r e i ：r a , f 2 ( x 妒1 出) 音= ( k ( 。未，莩m 如) 者 g 量。r ( l k = ke ( j 小渤) 吨) 寺o+ 1 、甘 ， s g莩(k业。-y甚l-k=ko+l j l 、h ”e 、j 占： “ 一i 堡- 二磐i 辟白) f 匆) 。- 出) 去 f 2 , i - n f f 。q f ，f “f “z ，“ s g k = k o + l iz 。 瑚( kj 普y 器、j 月8 e p r 一“ 一等瓣伊哟者l z z ? i ”d i 7 ， o 。 s c 2 噼f 安b “2 x ( j = l 卜 i ：l x - 。 1 2 , + r ? c f 器器若瓣 1 9 我们考虑 跺降z ) 卉 z z i l “一o ，一“ ( 霎k 蛳_ 桫t c l 拦幕辫 j 量= l ( k 球k 州， c i 芳孝器 sc e ”( 2 j + 1 本) n ( 古一) j ：1 警蔫旷出) 音 i z z i “一a i ， 器旷如) 者 n a i ，7 ” 竺巨二燮二趔 z 一( 。 一管) l n o一器陋) ( 2 a ) ( k 球k 州f 罟孝器一器恤) 矧嘴严卜0 。 等+ 妇邓l 。爨学a a ) 所以( 2 4 ) 式可得( 2 ，5 ) ( j 萎= l 饥球k 胛砖 ( 拦幕蔷错一等蒋m ) 者 嘻：均h 由蠊邓j 。蒜学叫j 一1瑚十o r !。凹十1r g 薹i b i 者一1 ( n ( 者一1 ) 一1 ) + 沙暗。1 卜哪蚀邓l 。嬲筹甜) ( 2 s )。五干f 年川i 干i # ” 应用定理2 4 中的条件，我们得到n ( 击一1 ) 一1 ) 毒，则n ( 击一1 ) 一o ) 0 ，则根据( 2 5 ) 和( 2 1 ) 我们可得 薹k 如k 舻，； ( j 拦茅裸一邕幕m ) 者 s c i 磷l 者一1 t ，“者一1 一1 十砂暗。卜哪蚀邓j 。蒜豁奶 茎g l 磁i 者。( 1 + z 1 尝0 j 0 c i 霹i 者- 。( 2 6 ) 将( 2 , 6 ) 式代入( 2 4 ) 有 ( 五邮1 ，n 恐( 。) 卜。) 寺墨g ，塞，莩j 磷| | 讲i 吉- 1 g 妻e ；b f i 者 根据上面的估计，我们有 曼2kc2 k 1 _ p ( 者吲】i i 川罂彗： 砌l g 去五i ，。马( 圳4 1 如 g 1 , 1 i i s i i 嚣1 p 舻 2