（基础数学专业论文）一类拟线性波动方程的cauchy问题.pdf

摘要 本文分三章：第一章为引言；第二章研究一类具有非线性阻尼项和源项的非线性发展方 程的c a u c h y 问题整体弱解的存在性和惟一性；第三章研究第二章所述问题解的爆破，并举出 一个例子， 在第二章中我们研究如下一类非线性发展方程的c a u c h y 问题 t l “+ 七2 十2 “+ ，( t 妊) = 口( u ) ，( z ，t ) r ( o ，。) “( z ，o ) = “o ( z ) ，t “( z ，o ) = 札l ( z ) ， z r 1 ， 矗 o 为此，我们先研究方程( o 1 ) 的周期边界问题 ( 0 1 ) ( 0 2 ) “1 a n = o ，札( z ，t ) = u ( z + 2 l e f ) ，z r 。，f 0 ( o 3 ) 这罩z + 2 l e ；= ( z 1 ，甄一1 ，戤+ 2 l ，z 。+ 1 ，z ) ，l 0 是一实数 在证明问题( o 1 ) 一( o 3 ) 整体弱解的存在性之后，利用周期边界问题取极限的方法证明问 题( o1 ) 一( o ，2 ) 整体弱解的存在性，并证明一维情况下整体广义解的存在惟一性 主要结果如下： 定理1 假定 ( i ) ，g ( r ) ，( s ) s o ， 口l s l 。+ 1 l ，( s ) l q ( i s l 。+ 1 + | s i m ) ，s r ， 这里q 1 = 掣； ( i i ) g a ( r ) ，o 9 ( s ) s 硒片9 ( r ) c f r ， g s i p + 1 l g ( s ) i c j ( i s i p + 1 + i s i ”t ) ， s r ， 这脚1 = 絮挚，并且n p ，n + 2 器，g 0 = 1 ，7 ) ，甄，鲍均为正常数； ( i i i ) 妒月0 ，妒l 2 ， 则对任意r o ，问题( o 1 ) 一( 0 3 ) 存在弱解 “l o 。( o ，t ；日2 ) n 日1 ( 【o ，丁】；日2 ) 定理2 假定定理1 的( i ) ，( i i ) 条件成立，并且 u o 日2 ( r ) nl ，+ z ( r ) ， u 1 l 2 ( r ) 则对任意t o ，c a u c h y 问题( o 1 ) 一( o 2 ) 存在弱解 “l 。( 【o ，刀；日2 ( r ) ) nl o 。( 【o ，丁】；岛+ z ( 兄) ) n 抒1 ( 【o ，卵；h 2 ( 兄) ) 特别地，如果= 1 ，有下面的定理 定理3 假定 ( i ) ，g 2 ( 兄) ，( s ) o ， q i s “+ 1 f ，( s ) l ( 1 s i 。+ 1 + 1 s l 。，) ，l ，( s ) f c ( f s i 。+ l s p - ) ，s r ， 这里a 1 = ! ! ：羞，n m n 。 p ，4 ； ( i i ) 9 g 2 ( 兄) ，o 夕( s ) s k 1 片9 ( 7 - ) 打，s r ， a h p + 1 陋( s ) j g ( s 旷1 + h z ) ，s _ r ， 这里p z = 鼍磬； ( i i i ) u o ，u 1 日4 ( r ) 则对任意7 o ，问题( o 1 ) 一( 0 2 ) ( n = 1 ) 存在惟一广义解 u 日2 ( o ，明；日4 ( r ) ) n 1 o 。( o ，明；日2 ( r ) ) nl o 。( o ，刀；日4 ( r ) ) 第三章利用凸性方法证明问题( 0 1 ) 一( 0 2 ) 的解在有限时刻爆破 主要结果如下： 定理4 假定 ( i ) ，g ( r ) ，0 ，( s ) s c k i s i 。+ 2 ，s r ，0 o o ，s r ， 这里 岳+ g ( o + 1 ) + 2 ； ( i i i ) “o 日2 ( r ) ，u 1 2 ( r ) ，并且 即) 刮训i 。( 刊阻川2 。( 一2 上。z “郎) d s d z ( 0 4 ) 则c a u c h y 问题( o1 ) 一( 0 2 ) 的任何弱解“( z ，) 在下列条件之一成立时在有限时刻发生爆破 ( 1 ) e ( o ) o ； ( 2 ) e ( o ) o ，( “o ，“1 ) o ，且存在盯 o ，使得 4 a 2 ( 札o ，u ，) 2 4 。2 e ( o ) i | “o i l 2 l f u o i | 4 2 | | u o 2j | “o | | 2 一j | “。4 4 2 e ( o ) j 乱。f j 。 关键词：拟线性波动方程；c a u c h y 问题；整体解；解的爆破 a b s t r a c t t h i sp 印e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s t h ea r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n d c h a p t e r ，w ew i l l8 t u d yt h ee x i 8 t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nt o t h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e 耻e v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rd 呲p i n g a n ds o u r c et e r m 8 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l lp r o v et h eb l o w u po fs o l u t i o nt ot h ep r o b l e m m e n t i o n e di nc h a p t e rt w 0a n dg i v ea ne x a m p k i nt h e8 e c o n dc h a p t e r ，、e8 t u d yt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne a u a t i o n s 钍“+ 南2 “+ 2 u t + ，( t 乜) = 夕( t z ) ，( z ，t ) r 1 ( 0 ，o o ) 让( z ，o ) = u o ( z ) ，札t ( z ，o ) = “1 ( z ) ， z r ， 后 o ( 0 1 ) f o 2 ) f b rt h i sp u r p o s e ，w ef i r s tc o n s i d e rt h ep e r i 。d i ( 1b o u n ( 1 a r yv a h l ei ) r o b l e i i l ( ) ft h ee ( 1 u a t i ( ) n f 0 1 ) “l a n = o ，u ( z ，t ) = t 正( z + 2 l e 。) ，z r ， 0 ( 0 3 ) w h e r ez + 2 l e t = ( z l ， ，一1 ，+ 2 l ，z 。+ 1 ，z ) ，l o i sar e a ln u m b e r a f t e rt h ee 撕s t e n c eo ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( 03 )a r ep r o v e d ， u s i n gt h es e q u e n c eo ft h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw ep r o v et h a tt h ee ) 【i s t e n c e o ft h e9 1 0 b a lw e a ks 0 1 u t i o nt ot h ec a u d l yp r o b l e m ( o 1 ) 一( o 2 ) m o r e o v e r ，w ec a ng e tt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e9 1 0 b a lg e n e r a l i z e ds 0 1 u t i o nt ot h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 2 ) u n d e r t h ec o n d i t i o no ft h es p a c ed i m e n s i o nj v = 1 t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o w l l o w i n g ： t h e o r e m1s u p p o s et h a t ( i ) ，e ( 兄) ，( s ) s 0 ， q i s i o + 1 j ，( s ) l q ( 1 s l 。+ 1 + i s i “) ，s r ， w h e r e “= 鼍兰挚； ( i i ) g g ( r ) ，o 9 ( s ) s 尬厝9 ( f ) d r ， 岛i s l p + 1 i 夕( s ) 1 c i ( 1 s i p + 1 + 1 s 1 9 - ) ，s r ， l l l w h e r e p 1 = ! 警挚，a n d p ，口+ 2 舞，g u = 1 ，7 ) ，风，a r ep o s i t i v e c o n s t a n t 8 ： ( i i i ) 妒月0 ，砂l 2 t h e nf o ra n yt o ，t h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 3 ) a d m i t 8aw e a ks o l u t i o n 钍 札l o o ( o ，卅；日2 ) n 日1 ( 0 ，丁】；日2 ) t h e o r e m2 s u p p o s et h a tt h ec o n d i t i o n 8 ( 叭i i ) o ft h e o r e m1h o l d ，a n d ，加日2 ( r ) n + 2 ( r ) ，嘶l 2 ( r ) t h e nf o ra n yt o ，t h ec a u c h yp r o b l e m ( o ，1 ) 一( o 2 ) a d r n i t saw e a ks o l u t i o nu 札k ( o ，明；日2 ( ，) ) nl o 。( f o ，刀；k + 。( r 。) ) n 日1 ( o ，邪；舻( r ) ) e s p e c i 盐y 1i f = l ，w ec a no b t a i nt h ef 0 u o w i n gt h e o r 锄3 t h e o r e m3 s u p p o s et h a t ( i ) ，g 2 ( r ) ，( s ) o ， g 1 i s i 。十1 1 ，( s ) l q ( 1 s l “+ 1 + i s f 。- ) ，j ，( s ) c | ( s i 。+ l s i “，) ，s 只， w h e r ea 1 - ! ：掣，o m n 。 p 4 ； ( i i ) g c r 2 ( r ) ，o 9 ( s ) s k 1 厝g ( t ) d t ，s r ， c x i s l 9 + 1 f g ( s ) f c 毛( i s l 9 + 1 + i s ip 1 ) ，s r ， w h e r ep 1 = 帮； ( i i i ) o ，“1 日。4 ( r ) t h e nf o ra 肌y 丁 o ，t h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 2 ) ( n = 1 ) a d m i t sau n i q u eg e n e r a l i z e d8 0 l u t i o n 札 “日2 ( o 卅；( r ) ) n 阿1 i 。o ( o ，卅；日2 ( r ) ) n 。( o ，卅；日4 ( r ) ) i nc h a p t e rt h r e e ，t h eb l o w u po f8 0 l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( o1 ) 一( o 2 ) i sp r o v e db ym e a n s o ft h ec o n c a v i t ym e t h o d a n dw eg i v ea ne x a m p l e t h em a i nr e s l l l t sa r et h ef b w l l o w i n g ： t h e o r e m4s 1 1 p p o s et h a t ( i ) ，a ( r ) ，o ，( s ) 8 g i s l 。+ 2 s 兄，o o o ，s r ， w h e r e 譬+ g ( o + 1 ) + 2 ； ( i i i ) “o h 2 ( r ) ，u 1 l 2 ( r n ) ，a n d e ( 0 ) 刮毗刊阻训k r ) 一2 上。z “如) 幽兆 ( 0 4 ) t h e na n yw e a ks o l u t i o n 乱( z ，f ) 。ft h ec a u c h yp r o b l 嘞( o 1 ) 一( o 2 ) b 1 0 w su pi n 丘n i t e i m e i fo n eo ft h ef b w u o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 2 ) e ( o ) o ，( 钍o ，札1 ) o ，a d t h e r e i sd o ，s u c h t h 砒 4 。2 ( “o ，u 。) 。一4 2 e ( o ) i l u 0 1 1 2 一1 1 0 4 2 1 1 札o f l 2 l l u o l l 2 一j l u o j l 4 4 。2 e ( o ) 1 l u 。5 1 2 k e yw b r d s ：q u a s i l i n e a rw a ee q u a t i o n ；c a u e h yp r o b l e m ；d o b 越s 0 1 u t i o n s ；b l o w u do fs o h l t i o n s v 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者：旅璁乏璁乏 二零零六年四月 第一章引言 本文研究下列一类拟线性波动方程的c a u c h y 问题 u “+ 2 u + 2 t + ，( 地) = 9 心) ，扛，) i r ( o ，o 。) ， ( 1 1 ) u ( z ，o ) = o ( z ) ，u ( z ，o ) = u 1 ( z ) ， z r ， 后 o ( 1 2 ) 整体弱解的存在性和不存在性，其中1 具有非线性阻尼项和源项的波动方程的研究一直是近年来非线性发展方程研究领域 的热点问题，众多学者对其进行了研究本文研究的是一类具有代表性的方程的c a u c h y 问 题 方程( 1 1 ) 是一类重要的非线性发展方程，描述的是非线性薄膜的振动，许多作者对此类 方程作了深入的研究，并得到许多深刻的结果例如，1 9 9 5 年h t b 舭1 k s ，d s g i l l i a m 和v i s h u b o v 在 文献1 5 1 中证明了下述问题 “+ t k 嬲。十如札。科+ 9 ( t k 。) 。= ， ( z ，t ) q ( o ，t ) ， u ( z ：) = o ，舞= o ， ( z ，t ) a n ( o ，丁) ， ( 1 3 ) 札( z ，o ) = u o ( z ) ， 札( z ，o ) = “1 ( z ) ， z 2 存在惟一弱解，其中qcr 。为具有光滑边界a q 的有界区域，y 是a n 的外法线方向 2 0 0 2 年a s a c k l e h ，h t b a n k s 和g a p i n t e r 在文献( 1 6 】中讨论了下述问题 “+ 七1 u 。+ 七2 “。t = 妇( “。) k 。+ ， ( z ，) q ( o ，丁) ， “( z ，) = o ，象= o ， ( 茁，t ) a q ( o ，r ) ， ( 1 4 ) 札( z ，o ) = 札o ( z ) ，u ( z ，o ) = t 上1 ( z ) ， z q 解的整体存在性和惟一性 1 9 9 7 年同样的作者又在文献 1 1 】中研究了下面一类抽象发展方程 “，“+ a 1 u + a 2 “ + + g ( u ) = ，( t ) u ( 0 ) 一妒o ，u ( o ) = 1 ( 1 5 ) 这里a ，a 。，和，满足某种假设( 见 1 1 】) 在文献 1 1 】中，作者得到问题( 1 5 ) 整体广义解的存 在性，惟一性，正则性以及对初值的连续依赖性 1 此外，2 0 0 4 年陈国旺教授在文献| 6 】中研究了下述问题 u 蚌+ 南1 v 4 + 后2 v 4 u t + v 2 9 ( v 2 u ) = o ，( z ，t ) q ( o ，t ) ， u ( z ，t ) = o ，舞= o ，( z ，) a n ( o ，丁) ， ( 1 6 ) u ( z ，o ) = t 幻( z ) ，乱( 。，o ) = “1 ( z ) ， z q 问题( 1 6 ) 其实是问题( 1 5 ) 的一个特例作者得到问题( 1 6 ) 局部广义解的存在性和解的爆破问 题( 1 6 ) 解的衰减在文献【1 6 】中获得 2 0 0 2 年s 出i ma m e s 8 a o u d i 在文献 1 8 】中讨论了下述问题 乱“+ 2 t 正+ o l u l m 一2 乱t = b l t 工1 9 2 u ， z n ，t o “( z ，t ) = 乱u ( 茁，t ) = o ， z a n ，o ， n ( z ，o ) = 札o ( z ) ，u ( z ，o ) = “1 ( z ) ， z q ( 1 7 ) 这里q 是兄( 1 ) 中具有光滑边界的一个有界集，是a q 的单位外法向量，n ，6 o ，p ，m 2 作者得到局部弱解的存在性，并用扰动能量法得到当p m 时，解在有限时刻爆破；当p m 时解是整体存在的结果 最近，杨志坚教授在文献( 1 7 中研究了下列一类带有非线性阻尼项和源项的拟线性波动 方程 9 ( 札)( 1 8 ) 的c a u c h y 问题，得到上述c a u c h y 问题整体弱解的存在性与不存在性 我们下面要讨论c a u c h y 问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 首先运用g 以e r 七眈方法讨论问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 对 应的周期边界问题，运用一些标准技巧解决问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 整体弱解的存在性，并证明一维 情况下整体广义解的存在惟一性，最后利用凸性引理得到在三种不同初始能量下解的爆破 2 八 + z 盯 a 1 c 誉 第二章c a u c h y 问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 整体弱解的存在性 1周期边界问题整体弱解的存在性 本章讨论如下c a u c h y 问题 u “+ 七2 u + 2 钍t + ，( u ) = 9 ( 让) ，( z ，t ) r x ( o ，。o ) 扎( z ，o ) = 札o ( z ) ，h ( z ，o ) = 札1 ( z ) ，。r 1 ， 南 o ( 2 1 ) ( 2 2 ) 弱解的存在性 记 q = ( 一l ，l ) ，q r = n ( o ，t ) ，0 = o ( q ) ，c 铲= c 铲( q ) ，i | 1 | ，= ”f l l ，i l 。，= i | 一，l i = | | 坛坳( 1 ，o o ) ，p ，= 寺，俐表示q 的测度，( ，) 表示l z 中的内积 记厂表示下面的函数空间： = l 。( o ，丁 ；日2 ( r ) ) nl 。( o ，t 】；，卅2 ( j r ”) ) n 日1 ( o ，丁】；日2 ( 兄) ) 先对c a u c h y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 做问题变换，令口( z ，t ) = e 。札( z ，) ，这里a o 是一常数则 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 等价于 1 + 2 a 仇+ a 2 u + ( a + 七) 2 钉+ 2 1 屯+ ，( ，他) = 厅( f ，削) ，( t ，t ) r ( o ，。) ，( 2 3 ) ( z ，o ) = t 帕( z ) ， 仇( z ，o ) = u 1 ( 茁) ， z r ， ( 2 4 ) 这里t j o ( z ) = u 。( z ) ，u 1 ( z ) = u 1 ( z ) 一a u 。( z ) ，( t ，u ) = e 一1 。，( ( e 她 ) t ) ，( t ， ) = e m 9 ( e u ) 现在考虑方程( 2 1 ) 的周期边界问题： 钉l a n = o ，u ( z ，t ) = ( z + 2 l e 。，t ) ，z r ，t o ，( 2 5 ) ( z ，o ) = 妒( z ) ，削e ( z ，0 ) = 砂( z ) ， z r ， ( 2 6 ) 这里。+ 2 l e 。= ( z 1 ，乩一1 ，孔+ 2 l ，z 件1 ，z ) ，上 o 是一实数，妒i 勰= 砂1 8 n = o ，妒( 茁) = 妒( z + 2 l 岛) ，t f ，( z ) = 妒( z + 2 l e 。) ，z r ，z = 1 ， 我们先引入几个定义和引理 定义2 1 1 函数仳矿，且u t k + 2 ( 国) ，“l 1 ( 【o ，r ；日一2 ( r ) ) ，这里g = r 3 ( o ，t ) ，叫做c a u c h y 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的弱解，如果v x 日2 ( r ) ，s 唧x 是r 中的一个有界集， 并且对a e t 0 ，t 】， ( u t t x ) + ( u ，x ) + ( 毗，x ) 十( ，( 地) ，x ) = ( 夕 ) ，) ( ) u ( ，o ) = t 正。日2 ( r 。) ， “t ( ，o ) = 钍1l 2 ( r ) 定义2 1 2 函数u l 。( 【o ，明；瑶) ，且仇l 。+ 2 ( q t ) ，u “三1 ( o ，刀；日_ 2 ) ，叫做问 题( 2 3 ) ，( 2 ，5 ) 一( 2 6 ) 的弱解如果v ) ( 瑶，对- e o ，明， ( t ，x ) + 2 a ( 仇，x ) + a 2 ( ，x ) + ( a + 七) ( ，) ( ) + ( 巩，x ) + ( ，( t ，仇) ，x ) = ( 西( t ，? 机x ) ， ( ，o ) = 妒 日2 ， 仇( ，o ) = 砂 l 2 引理2 1 1 【1 9 】设q 是r 中的有界区域) 玑 罂1 是l 2 ( q ) 中的完备正交系，则对任意e o ，存在常数腿 0 使得 匹( u ，玑) 2 护+ ，。2 p o 。 引理2 1 2 【2 1 】( g a 出i a r d o _ n i r e n b e r g ) 假定1 r o 为常数，o 口1 ( 如果q = + o o ，0 o ，z o ) 的性质 类似地，对( 2 9 ) 式右边第二，三项进行估计，得 e z 1 。i e 。 n 1 8 + 1 i ( e 1 。t ，“) 。l d z e 一2 。l l ( e 1 。 “) t o 。+ z 1 1 e “1 1 2 ! j n e 一2 址i | ( e 1 。u ”) 。i l 芸薯+ g ( ) e 。m l | 甜”i 瞎薯 ( 2 1 2 ) 利用假定( i i ) ，h ；1 d e r 不等式及y o u n g 不等式，得 2i ( ( t ，矿) ，”? ) i 2 e 。2 m | g ( e “矿) e m ”? 恤 2 巴e - 2 m 嘛咖叩“仆“矿| p 1 ) | 知m 矿悼外上“矿凡| 时1 j n os + p 。矿l ，t ) p 口? i d z 】 2 q e 埘删脚懈! + 舻群+ 上( 脚“m e m 矿) t + p 。矿p ( e “矿) t ) 嘲 2 g e “。( a 咿矿噼；十a 咿”慨：i + 桫。删茹“t ，) t 。 + 咿。矿慨埘矿) t | 1 ) 2 a e 一。c ( s l i ( e “”“) 。旧：+ ( c ( e ) + a ) l | e “”“i l ；：；+ e i i ( e m ”) t | 1 2 + e ( ) 忖。矿慨+ a 桫矿暇；) 2 g s e 一2 m l i ( e “”“) 。i i ：丰i + g ( e ”m l | ”“1 | ；薯+ i | ”1 1 2 + i i ”? 1 1 2 ) ， ( 2 1 3 ) 这里用到a 弘2 印1 p + 2 ，2 p 1 + 1 p + 2 以及凹函数g ( o ) = 警( o o ，z o ) 的 性质 p 回佰计( 2 9 ) 瓦左边鼓后网坝 利用假定( i ) ，得 e 1 m ( ，( ( e m 矿) t ) ，( e m 矿) t ) g e _ 2 m ，| ( e m 扩) t i 叶1 i ( e m 矿) t l 如 j n = g e q | l ( e m 矿) t i f ：薯， ( 2 1 4 ) 利用假定( i i ) ，得 e 埘。从“”小冲如等胁m 忱 鲁归懈刍 ( 2 1 5 ) 将( 2 1 1 ) 一( 2 1 5 ) 代入( 2 9 ) 中，得 爰鼠( ) + j i ”? | | 2 + 2 a i i ”? | 1 2 + e 一2 。( q g e 一( + 2 ) e 一2 q e ) i ( e ”) t 1 1 ：篙+ 兰嚣e 州l | 矿i l ；篙 g 【e p m 忪刈群；+ e a m 怕刊：辐+ 刈。+ 忪叫i 。+ 怕川z 】+ 。a e 一2 m 上z 一铲g ( s ) d s 妇， 适当选取，使得o o ，j 1 。，_ ) v 玉 o ，使得对矿，叼，当n 一。时， v 1 ， i l u n ( t ) 一”( ) i 1 i ( 口” ，玑) 2 + e 1 1 u “( t ) 一”( ) f l h z ，= i m ( t ) e ，【o ，刁， z t l ”? c r ，”tc r ，1 1 2 d r 。c 篓z tc ”? 由s 的任意性，得 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) f 2 2 9 ) 吨，玑) 2 d r + ez ti i ”? 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