（数量经济学专业论文）矩匹配方法在VaR计算中的应用.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 目前，v a r ( v a u l ea tr i s k 的缩写：风险中的价值) 风险度捌垦技术已经成为全 球大多数主要金融机构进行市场风险管理的核心技术，随着全球金融市场一体化趋 势的进一步加强。我国金融机构的投资、融资环境也发生了巨大变化，可供投资的 金融产品也显著的增加，这一方面为金融机构提供了大量可以进行套期保值和投资 的金融工具，另一方面由于衍生证券的复杂性对金融机构进行风险管理提出了更高 的要求。在现代金融市场风险中，频繁的市场因子价格波动是导致金融资产组合价 值损益变化的主要原因，如果说没有一个系统的测量资产组合所面临的市场风险方 法，那么就不会得到量化的市场风险度，也无法使管理者对资产组合的营运作密切 的监控，因而就不会减少出现较大资产组合损失的可能性。，7 矩匹配方法是解决包含有非线性金融头寸资产组合的带有普遍性的v a r 风险度 测量方法。它的基本思想是：利用资产组合回报的样本矩来匹配已知分布的总体矩， 使已知分布尽可能地反映资产组合回报的客观实际：或者是利用资产组合回报的样 本矩来匹配在已知分布下的分位数，从而得到一定置信度下的v a r 风险度。在本文 当中把包含有非线性头寸的资产组合在未来一定时期内的回报看成是相对市场因 子回报的二阶泰勒展开式，即所谓的d g 模型或d g n 模型，基于这个模型来计算包 含有非线性金融头寸的资产组合的风险度。本文不但在理论上探讨了矩匹配方法的 计算方法和步骤，而且在对上海一深圳股票市场数据进行了实证分析的基础上，对 各种方法进行了比较分析，特别是对j o h n s o n 分布族和c f 展开式作了比较全面的 分析：而对c h i s q u a r e d 分布法由于存在解非线性方程组计算技术上的困难，没有 进行深入的实证研究，而只作了一个理论上的探讨。不仅如此，本文还对这些方法 的实证结果与基于市场因子回报服从多元条件联合正态分布的局部m o n t e c a r l o 模 拟结果进行了比较，并指出了如果用j o h n s o n 分布族来计算风险度时，应该采用矩 方法来估计四个参数；而采用c f 公式来计算风险度时，要注意置信度系数和c f 公 式阶数的选择，因为有时c f 公式具有错误的尾部概率。 关键词：矩匹配样本矩 c h i s q u a r e d 分布 j o h n s o n 分布族c f 公式 i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o w a d a y s ，v a l u e - a t - r i s k ( v a r ) h a sb e c o m eo r eo ft h em o s ti m p o r t a n tm a r k e tr i s k m e a s u r e m e n tt e c h n o l o g yi nm o s to ff i n a n c i a li n s t i t u t i o n so v e rt h ew o r l d i to r i g i n a l l y p r o m o t e db yj p m o r g a n sr i s k m e t r i c st e c h n i c a lg r o u p s w i t ht h e a d v e n to fm o r d e n f i n a n c e ，t h ef i n a n c i a li n s t i t u t i o n s e n v i r o n m e n to fi n v e s t m e n ta n dg a t h e r i n gc a p i t a lh a s g r e a t l yc h a n g e d i nc h i n ar e c e n t l y t h e ya r ep r o v i d e dw i mm o r ea n dm o r ef i n a n c i a l s e c u r i t i e st oi n v e s ta n dt oh e d g e t h ev a l u ec h a n g e so fap o r t f o l i oo w e sg r e a t l yt ot h e f r e q u e n t m a r k e tf a c t o rf l u c t u a t i o n i ft h e r ed o e s n te x i s tas y s t e m a t i c a lm e t h o dt h a t m e a s u r e sv a r f a c i n gt ot h ep o r t f o l i o f i n a n c i a li n s t i t u t i o n sw o u l d n o tg a i nt h eq u a n t i f i e d m a r k e tr i s km e a s u r e m e n ta n dm o n i t o rt h e i r p o r t f o l i o sc a r e f u l l y a n dd e c r e a s et h e p r o b a b i l i t yl e v e lo f t h el a r g e ra c t u a ll o s s n l em o m e n t m a t c h i n gm e t h o di st os o l v et h ev a r - c a l c u l a t i o no ft h e p o r t f o l i o i n c l u d i n gn o n l i n e a rp o s i t i o n s ，a n di t h a sb e c o m ep o p u l a ri nt h ef i n a n c i a lm a r k e t t h e m a i ni d e ao ft h em e t h o di se i t h e ra s s u m et h es a m p l ev a l u ec h a n g e so fa p o r t f o l i of o l l o w a k n o w nd i s t r i b u t i o n f a m i l y ( f o re x a m p l e ：j o h n s o n s d i s t r i b u t i o n s f a m i l y ) ，a n d t h e n e s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r s w i t ht h es a m p l em o m e n t sa n d g e t t i n gt h ev a rm e a s u r e m e n t ；o r a d o p t i n gt h es a m p l em o m e n ta sa na d j u s t m e n t t oak n o w nd i s t r i b u t i o n ( f o r e x a m p l e ： s t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o n ) ，s oa st og e tm o r ea c c u r a t er i s km e a s u r e m e n t i nt h i sp a p e r ， if o c u so na p p r o a c h e st h a ta r eb a s e do nas e c o n do r d e rt a y l o r s e r i e sa p p r o x i m a t i o no ft h e n o n l i n e a r o p t i o np r i c i n gr e l a t i o n s h i p t h a ti s ，m y m e t h o di sb a s e do nt h ed g m o d e l ( d e l t a g a m m am o d e l ) o rd g nm o d e l ( d e l t a - g a m m a - n o r m a lm o d e l ：i ti sb a s e do n r a n d o m l yg e n e r a t e dm a r k e tf a c t o rr e t u r n sw h i c ha r em u l t i v a r i a t ec o n d i t i o n a l l yn o r m a l ) 1 1 1 ef i r s ts t e pt ot h i sm e t h o di st oc a l c u l a t et h es a m p l em o m e n t sb a s e do n h i s t o r yd a t a ；t h e s e c o n ds t e pi se i t h e rt ou s et h ec h i s q u a r e dd i s t r i b u t i o no rt h ej o h n s o nf a m i l yt of i tt h e e m p r i t i c a ld a t a ；o rt ou s et h ec o r n i s h f i s h e re x p a n s i o n st oa d j u s tt h ep e r c e n t i l eb a s e do n h 华中科技大学硕士学位论文 t h es t a n d a r dn o r m a ld i s t r i b u t i o n ，a n dt h u sg e t t i n gt h ev a r i nt h i s p a p e r ，t h e s em e t h o d sw i l l b ef u l l y p r e s e n t e d ，a n da ne m p r i t i c a ls t u d yh a s c a r r i e do nw i t ht h es t o c km a r k e to f s h a n g h a i - s h e n g z h e n ，a n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t h t h ep a r i t a lm o n t e c a r l os i m u l a t i o nb a s e do nn o r m a ld i s t r i b u t i o n e s p e c i a l l y ，1w i l l f u l l y a n a l y s e j o h n s o n sd i s t r i b u t i o n sa n dc fe x p a n s i o n s b e c a u s eo ft h ed r a w b a c k so f c a l c u l a t i o nt e c h n o l o g y ，i ti sh a r dt os o l v eas y s t e mo f n o n l i n e a rs i m u l t a n e o u se q u a t i o n sa s t o c h i s q u a r e dm e t h o d ，t h u sa ne m p r i t i c a la n a l y s ew i l l n o tb et a k e dt o c h i s q u a r e d d i s t r i b u t i o n b u tt h ec h i s q u a r e dm e t h o dw i l lb e c o m ea g o o dv a r m e a s u r e m e n t a p p r o a c h i f t h e r ei st h ei m p r o v e dc a l c u l a t i o nt e c h n o l o g y k e yw o r d s ：m o m e n t - m a t c h i n gs a m p l em o m e n t c h i - s q u a r e d d i s t r i b u t i o n j o h n s o n sd i s t r i b u t i o n sf a m i l yc o r n i s h - f i s h e re x p a n s i o n s i i i 华中科技大学硕士学位论文 lv a r 的基本概念、计算原理以及发展动因 1 1v a r 的基本概念 v a r 是v a u l ta tr i s k ( 风险中的价值【1 】) 的编写，它是j p m o r g a n 公司率先提出 来的，是目前全世界金融机构普遍采用的一种金融风险管理方法，特别是在测量市 场风险度和信用风险度方面获得了比较完善的发展f 1 2 j 。那么什么叫y a r 呢? 首先， v a r 是数理统计、随机过程和随机分析、时间序列分析应用于金融风险估计的方法， 包括对金融回报的建模、标的价格运动的描述、波动率的建模等都离不开标准的数 理统计与随机技术、时间序列分析，而它们又是构成市场风险度测量的关键步骤【4 ”。 其次，v a r 是指正常市场环境下，在给定的时间区间和置信度系数的前提下，投资 组合回报在未来给定时间内的最大损失，也就是说，v a r 计算指的是求投资组合回 报分布在一定置信度下的分位数，所以说v a r 本身是一个统计量【l l 【2 朝。影响v a r 的 计算有两个关键的因素：第一，持有期的选择。由于波动率和时间跨度之间存在时 间平方根关系，即：仃r = 盯l4 t ，所以时问越长，v a r 值就越大( 假设回报服从正 态分布) ，所以在选择持有期时，要考虑到公司本身拥有的资产结构，如果流动性好 的资产组合可以选择较短的持有期，而对于流动性较差的投资资产组合，应选择较 长的持有期，交易成本也是构成影响持有期长短的一个重要因素，交易成本较低的 话可以选择较短的持有期，反之应选择较长的持有期；另外，因为计算v a r 需要大 量的历史数据，假如持有期为一天，而计算v a r 所需要的样本空间为1 0 0 0 ，那么只 需要4 年的历史数据就可以进行计算了：但是如果持有期为一个月时，那么所需要 8 0 多年的历史数据，这对于一个金融市场发展较晚的新兴国家来说，是不可能具有 这么多数据的。第二，置信度的选择：为了实现资产管理的有效性，置信度不要选 得过高，因为过高的置信水平，对投资组合的监控已失去意义，同时出于金融监管 当局对金融机构的监管保持金融系统的稳定性，需要金融机构建立损失储备金帐户 以及最低的资本金要求，这两项指标都与v a r 值息息相关，如果过高的置信度的话， 虽然监管机构可以高枕无忧地行使职能，但是由于金融机构浪费了大量的闲置资金， 华中科技大学硕士学位论文 导致经营效率的下降。最后，v a r 是包含所有金融资产的投资组合风险度的种综 合性风险测量方法，它充分考虑了不同资产价格之间相关性，体现出了投资组合分 散化对降低风险的贡献。但是v a r 方法测量的是当市场处于正常波动情况下，投资 组合回报所面临的一定置信度下的最大损失，而对市场处于异常波动情况下，它无 法准确测量投资组合回报的风险度，因而必须借助其它的方法来测量在非正常情况 下的风险度。 1 2v a r 的计算原理 2 1 金融回报统计 金融到报的测量：在金融删报的统计中，一般以对毅回报来鹭代简单的百分比 回报，即：j p = 三，l e 一一只一i ，其中只表示t 时期标的价格或市场因子价格：| p 表示从t - k 到t 期相对应的标的价格或市场因子的对数回报或称为连续复利回报。它 是基于如下几个理由而成立的： ( 一) 对数回报与简单百分数回报在考察高频数据或百分数回报较小时，它们是 致的，也就是说在计算持有期较短时的v a r 时，对数回报与简单百分数是一致的。 假设从t k 期到t 期的市场因子的百分比回报为r ，即：只一七( 1 + ，| ) = e ，则对数 回报： t n g t n e , 一女= 三n 只一t ( 1 + r ) - i m e t 一 = l n ( 1 + ，) ，在r ：o 处 作泰勒级数展开，当r 较小时忽略高价项得到： l n ( 1 + ，) = ，= ( h 一一。 ( 二) 对数回报克服了简单回报的缺点，由于：乒恐也甩去) = + ，同时也有下 列等式立：挈磊西培) = 一，因此克服了简单百分数回报不能对有限负债建模 的困难。 华中科技大学硕士学位论文 ( 三) 时间平方根法则的需要：如果单期回报是对数回报的话，那么多期对数 回报就是单期对数回报之和，如果进一步假定单期对数回报服从同下态分布的话， 那么多期对数回报的波动率与单期对数回报存在如下关系：0 7 = 口l 丁，即时间平 方根法则。 ( 四) 交叉汇率建模的需要：假设r i ，r ，r 2 ，分别表示在时间t 的美元德马克和 美元法法郎的对数回报，即：_ ，= l n t 么，) 和也，= l 门p 么，) ，其中， 1 ， 2 ，分别表示t 时期美元对德马克的汇率和美元对法法郎的汇率，那么交叉汇 旷门( 诒卜飞棚一僦为： 0 - ”2 = 0 - v 2 + 0 2 r 2 2 盯五，( 1 1 ) 这大大简化了求交叉汇率波动率的计算。 金融回报( 以下如未特别声明就指的是对数回报) 的统计分布： ( 一) 条件正态分布：在r i s l 心4 e t r i c s 的v a r 计算中，一个基本假定是金融价 格或市场园子回报遵循条件正态分布，这一假定聪含着在每一个时间点上的回报分 布为正态分都，但在整个样本周期上的回报不一定为正态分布( 因为不同时点上，标 的价格或市场因子回报具有不同的方差，由此就出现所谓的a r c h 类方差模型7 1 1 ， 特性的研究，发现回报本身有很小的自相关性，而平方回报经常有显著的自相关性， 且平方回报也存在类聚现象，即平方回报存在a r c h 效应p 引，所以说在每一时点上 回报正念分布的方差是不一样的，针对平方回报的如此特性，出现了许多非线性的 方差建模方法，如：a r c h 、g a r c h 、随机波动率、混沌动力学等方法1 4 0 1 。另一方 面，虽然不同时点上回报的方差时不一样的，但是在计算日回报v a r 风险度时，通 华中科技大学硕士学位论文 常假定每一时点上回报分布的均值为0 。因为在求回报序列的方差时， 仃；= e “2 ) 一【e ( r f ) 】2 ，当考察的时间区段较短时，e ) 的估计值相当小，那么 ，、 它的平方陋“评就更小了。j o r i n 于1 9 9 5 年指出：在日数据回报的情况下，e n 。j 项 比 e ( _ ) 】2 项的平均重要性可以认为是7 0 0 比l ，所以在方差的预测中，忽略回报期 一 、 望值不会造成可以感觉到的偏差。另外，当以历史样本数据去估计l 匕( r t ，时，估计 一， 、 值本身是一个随机变量，存在有估计误差，所以以0 代替l y ( r tj 估计值会得到更加 精确的方差估计 1 2 1 。 ( 二) 厚尾分布：c a m p b e l l 于1 9 9 7 年通过对c a s p ( 美国证券价格研究中心) 的 1 9 6 2 年到1 9 9 4 年金融回报时问序列的实证统计分析，得出金融回报呈现出“尖峰厚 尾”的特性( 相对于正态分布而言) 【“1 ，虽然随着方差的增大，正态分布具有比标准正 态分布更厚的尾部，允许存在更大更多的异常回报。但是对于高频数据，正态分布 仍然不能描述数据的“尖峰厚尾”性，因为p e t e r s 于1 9 9 4 年研究表明：对于高频数 据的理论分稚建模应当具有无穷大的二阶矩和更高阶矩1 2 j 。但同时c a m p b e l l 他们在 作实证分析时也发现：长期回报的正态性比短期回报的正态性要明显得多，可能的 原因是中心极限定理在发挥作用的缘故。而为了对回报分布的厚尾性建模，人们发 现分形分布具有与实际市场行为相一致的性质，且能对具有无限方差的时间序列建 模，但是一方面，分形分布使得金融回报的建模十分的困难，又具有无限的二阶矩 和高阶矩，所以对于以波动率来计算v a r 的方法( 如r i s k m e t r i c s 采取的风险测量方 法) 来说无言是不够理想的；另一方面，由于分形分布具有稳定可加性，那么长期回 报与短期回报应具有同一的特征指数，应服从同一分稚的性态，但是正如前面提到 的，实际上，长期回报的正态性比短期回报的正态性要显著得多，这实际上已经违 背了金融市场的客观实际。鉴于这些原因，在实际应用中，运用其它的分布来描 述这种“尖峰厚尾”特性就成为必要，如采用：t 分布、广义误差分布、混合正态分 布等【4 7 1 ，在实际中会更实用一些，这符合中心极限定理的成立条件，而中心极限定 理成立的一个根本条件是：方差有限。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 1v a r 的计算原理 ( 一) 一般分稚下的v a r 计算：假设金融回报的密度函数为“x ) 胃信度系数为 c ，那么根据v a r 的定义得： 广d x f ( x ) d x ：1 一c ，则：，叱“一三嵋：尸+ 因此： l= 一c ，则：，叱+ 女一三，2 只= 尸。 因此： j - 0 0 只+ t ：只p 尸： v a r ：1只f l 如果假设金融资产价值变化的密度函数为g ( x ) ，那么v a r 的计算如下 崩g 胁小c ( 二) 正态分布下的v a r 计算：假设金融回报的密度函数为t ( x ) ，均值为a ，方 差为盯2 ，那么v a r 的计算公式为：假设标准正态分布的密度函数n ( x ) ，所以 广g 皿= l - c ，则：p + = 口+ z o ，风险度v a r 可以写成： 眦= 曰( 1 + ) = 一口+ 历) ) i ( 1 z ) 如果金融资产在特定时间内的价值变化正态密度函数为t ( x ) ，且均值为a ，方差为盯2 ， 置信度为c ，则v a r 可以按如下公式计算： 耽吠= a + z o ( 三) 金融资产回报与金融资产价值变化的区分：假设有一非线性金融资产( 资 产组合回报与标的价格回报或市场因子回报存在非线性函数关系) ，如期权类金融衍 生工具等。根据泰勒级数展开公式导出期权回报的近似表达式： 形+ 。彬+ 万( 只+ 。一e ) + 吉r ( 只+ 。一只) 2 + 口( _ + 。一0 ) ( 1 3 ) 华中科技大学硕士学位论文 w t + - 彬只移睁) + 妒只2 睁) 2 + 伊t t + n - - 2 t ) ( 1 。) t w + n - w = 鲁陋m 百p t 2 睁m “。1 ) ( 1 s ) 由1 4 式导出的+ 。一彤密度函数称为投资组合价值变化的密度函数：而由1 5 式所 导出的关于旦i 乒笠的密度函数我们称之为金融回报的密度函数；虽然在泰勒级数展 歼公式中是用百分数来表示金融回报，但是在实际的计算当中一般都用对数回报来 代替百分数回报，所以正如前面提到的一样，两者看成是一致的。 ( 四) m o n t e c a r l o 模拟法计算v a r 风险度【1 ： 1 相关正态随机向量的m o n t e - c a r l o 模拟：假设正态随机向量各变量之间的方 差一协方差矩阵是厶，那么先对方差一协方差矩阵进行谱分解：即： = 脚7 1 = q r q ，其中p 为n n 特征向量构成的正交矩阵，即：尸! p r = i ， 为n n 的对角矩阵，其中对角线上的元素是方差一协方差矩阵乙的n 个特征 ， 一 值，而其它的元素都为o ；矩阵q = a 7 2 p 1 。 m o n t e - c a r l o 模拟过程如下：o 首先在计算机上模拟一个包含n 个相互独立的 标准正态随机变量的随机向量占，那么s 显然具有单位矩阵的方差一协方差矩阵 i n ，并且具有0 均值向量，即：占一n ( o ，i ) 。 b 根据表达式y = q 。占计算向量y ，因为： 玫矿( 即= v a ，( q r 占) = q 7 耽矿g ) q = 9 7 坦= q 7 q = ( 1 6 ) c 再根据金融资产的完全定价公式或局部定价公式，利用已模拟得到的随机向 量来重新对投资组合资产估价或者对投资组合回报进行估计，这样会得到许多次的 回报，再根据置信系数来确定该资产的风险度v a r 值。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 标的价格途径的m o n t e - c a r l o 模拟：r i s k i v l e t r i c s 技术小组认为标的价格的 对数回报服从正态分布，那么可以根据这个特性来进行标的价格的m o n t e - c a r l o 模 拟，即： l n p i + 。一l n p t p ，盯：) ，则转化为标准正态分布为： 生生警( o ，1 ) ，现在在计算机上模拟标准正态分布随机 变量z ，则：l n f 亭) = r + c r 。z ，因此标的价格的模拟途径可以通过如下的公 式来实现： e + 。= e e x p ( r + 盯。z ) ； ( 1 7 ) 如果当模拟l q 回报的v a r 时，那么认为r = o ( 假设它等于0 的理由前面已经说明) ，则 标的价格模拟途径可以通过下式来模拟： e + l = e e x p ( c r z ) ，z 为标准正态随机变量。 下面以期权为例，进一步说明m c 模拟法：在完全模拟法下，v a r 定义为在未来一 定时期内、一定置信水平下的该期权的最大可能损失。所以先要求出在时间t + n 段 的价值与t 期的期权的价值差：即：= 点峪( e + 。，t + n ) - b s ( p t ，t ) ，b s ( ) 表示b l a c k s c h o l e s 公式；而在局部模拟法下对a w 可用泰勒级数展开得： a w = 万( 只+ 。一e ) + 专r ( e + 。一只) 2 + 0 聆 ( 1 8 ) 那么v a r 就是第( 1 一c ) k 个a w 的顺序统计量，( k 表示模拟的次数) 。 总之，是采用完全模拟法还是d e l t a g a m m a 方法下的局部模拟法，取决于计算 速度和精确度之问的权衡，完全模拟法更加精确但速度较慢：而d e l t a g a m m a 局部 方法速度快，但没有完全模拟法精确。m o n t e c a r l o 模拟法是一种全值估计法，相对 于其它v a r 测量方法更加精确，但是它又存在一些缺点：所模拟产生的随机序列是 伪随机序列，且存在群聚效应，影响了模拟效率；同时它的计算所需要的时间长、 计算量大、速度慢；另外，m o n t e - c a r l o 模拟法依赖于所模拟的市场因子的模型，如 果这个模型本身存在缺陷，那么模拟的结果是不准确的，存在较大的模型风险【2 】f 3 4 1 。 1 3v a r 风险测量技术的发展动因 1 3 1 金融市场风险测量的必要性2 】 自1 9 7 1 年“布雷顿森林体系”崩溃以来，全世界的汇率、利率、股票价格出现 剧烈波动性，世界主要汇率的自由浮动以及经济、金融一体化所导致的全球金融价 格的互动效应，使得局部范围内的价格波动会迅速波及到全世界范围内其它市场( 由 于套利行为的存在，金融市场具备迅速的价格反应机制f j j ) 。同时金融衍生工具的迅 猛发展，一方面是为了规避金融风险或由于税法、监管等原因而被创造出来；但另 一方面由于它的高杠杆性、复杂性又使其成为金融市场风险的主要来源；同时衍生 证券的交易往往涉及多个金融机构，一个金融机构的金融风险往往会影响其它金融 机构。因此为了加强对金融市场风险的监控，增加金融机构管理风险的透明度，那 么运用v a r 风险管理技术来量化金融机构面临的风险，就成了许多金融机构管理的 目标。 1 3 2 金融风波的教堋是v a r 技术发展的又一巨大动力 1 些公司的财务损失：虽然金融衍生工具是有效的套期和投机工具，但如果 运用不当的话，衍生产品交易会导致巨大的损失1 1 2 】： 表i 1 不当衍生产品交易导致公司财务损失( 1 9 9 3 1 9 9 5 ) 公司工具 损失( 亿美元) 1 3 本昭和壳牌石油远期外汇 1 5 8 日本鹿岛石油远期外汇 1 45 德国金属股份公司石油期货1 3 4 智利国营铜公司铜期货 2 o 这些损失方面是由于不当的衍生工具交易；另一方面这些损失又是近年来龠 融市场上标的价格或市场因子价格剧烈波动所导致的直接结果。 2 巴林银行事件：1 9 9 5 年2 月! ! 旦：翌塑苎里整塑塑塑重堕銮墨星里盎三_ 鸯一 一 3 华中科技大学硕士学位论文 闷经2 2 5 股指期货交易中损失了1 3 亿美元，耗尽了巴林银行所有的股权资本，直接 导致了具有2 3 3 年历史的巴林银行破产。这次悲剧事件揭示了巴林银行内部管理的 严重缺陷，一个重要的表现是里森既控制了前台交易，又控制了监管交易和确保交 易行为符合规章制度的“后台”部门，使里森的权力过于集中，如果存在一个专门 负责v a r 风险管理的“后台”机构，那么一方面里森的权力不会这样集中，不会有 动用这么大资金的权力；另一方面，不会直到损失1 3 亿彳+ 被管理部门所注意，而资 产组合的v a r 会起到一个时时刻刻的监控作用。 3 大和银行事件：1 9 9 5 年9 月2 6 日，大和银行宣布对交易员井口进行累计造 成l l 亿美元损失进行指控，这笔损失可以和巴林银行1 3 亿美元相媲美。但所幸的 是大和银行还是设法承住了打击，耗掉了大和银行l ，7 的资本。和巴林银行事件一样， 大和银行交易员在一定程度上控制了前台和后台部门，如果有较完善的金融风险管 理体系，就不会有类似的事件发生。大和银行事件充分暴露了日本银行风险管理的 薄弱，因为投资者对资金存放在日本的金融机构不放心，日本的银行不得不支付高 达o 2 5 的风险溢价。 基于这些事件，它们都有一个共同的原因，那就是：缺乏一个系统的有效的风 险管理制度。一个专门的风险管理系统所带来的互相制约以及对“1 j i 台”和“后台” 统一协调管理，可以避免一些违规交易，可以控制“前台”交易员的交易权限，监 督其交易行为，从而可以时刻监控投资组合回报的金融风险，而v a r 测量技术又是 市场风险管理“后台”部门进行统一风险度量和监控的主要工具1 5 1 ；一些私人部门也 对金融衍生市场的迅速扩大表示了高度重视，早在1 9 9 3 年3 0 人小组( g - 3 0 ) 建议引入 “风险价值系统”f v a rs y s t e m ) 来给交易头寸估价和评估金融风险；一些资深的评 估公司如穆迪公司和标准普尔公司也提出了相应的建议：同时，1 9 9 4 年l o 月， j p m o r g a n 公布了其“险阵”体系，致力于推广v a r 风险测量技术，在互联网上提 供免费下载技术文件，也免费提供用于投资者投资组合v a r 计算的数据库，这无吉 对v a r 风险管理技术在短短几年中的发展起到了巨大的推动作用。 9 华中科技大学硕士学位论文 1 3 3 监管部门加强监管是促进v a r 技术发展又一原因 1 9 9 5 年4 月，巴赛尔委员会推出了一个有关市场风险模型的扩展建议，它是第 一次允许银行使用它们自己的模型进行风险度量来决定其所要求资本量，这个内部 管理模型是基于v a r 度量技术来保证资本金的充足性。因为v a r 模型参数的选择 是根据机构自身的实际情况，并采用先进的统计技术进行测量和调整，模型具有实 用性，风险测量的结果也更加准确，从而弥补了由于监管部门和会融机构之间的信 息不对称而造成的不合理监管要求，如果金融机构所要求的风险资本会过高的话， 大大影响了其自身的经营效率；同时，金融机构自身的风险管理水平的提高，进一 步满足了监管的要求。 1 0 华中科技大学硕士学位论文 一：= = = = = # = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = # 2 矩匹配方法介绍及其应用 2 1d e l t a g a m m a 正态模型 考虑一个投资组合包括n 种金融资产，数量分别为a i ，0 2 ，0 3 ，a ”，现在的 目j 市”价值为嵋，考虑在未来2 4 小时内( 一个交易日内) ，假设导致 每一种资产的价值发生变化的市场因子或标的价格回报服从正态分布。如果说，该 组合中的每一种资产的价值变化都与影响其价值变化的市场因子回报成线性关系， 那么每一种资产的价值变化暇，都服从正态分布，即： 彬彬n ( o ，彳) 形 。，口r ( 喜口， 口， v a r = z 。- 砌，1 口f i 【2 l o 但是在实际的金融投资组合中，有些金融资产的价值变化与市场因子回报之间 并非是线性关系，而是具有复杂的非线性关系，在假设市场因子回报为正态分布的 情况下，它的价值变化就不可能还是正态分布，那么整个投资组合的风险度测量就 要寻找新的方法1 4 。在这种情况下，目前全世界大多数金融机构对包含有期权等非 线性头寸的投资组合进行风险度测量时，都是基于以下的思想：把投资组合回报看 成是根据泰勒级数进行展开的展开式，表示成市场因子回报的多项式( 通常情况下， 保留二二阶项而忽略高阶项) ，即( 以期权为例) ： 彬+ 。z 形+ 万( 只+ 。一只) + 吉r ( 只+ 。一只) 2 + 秽( r ，+ 。一f ，) 2 1 1 】 口 。埘 = 矽 华中科技大学硕士学位论文 0 ：表示期权等资产的价值变化对时州变化的灵敏度系数；j ：表示金融资产的价格 变化相当于标的价格变化的灵敏度系数；r ：表示期权资产的d e l t a 相对于标的价格 变化的灵敏度。由2 1 l 式可以得到： 彬+ 。一彬= 口“+ 。一乃) + 函r e ( 旦产) + r 0 露2 降) 2 【2 1 2 设f + 。一q = r ，民r 毋= 万7 ，r 0 只2 = f ，+ 。一形= ，童萨= z ， 则2 1 2 可以转化为矩阵表达式： a w = 秽什万7 x + 吉x r f 2 1 1 3 】 这就是所谓的d e l t a g a m m a 模型，如果进一步假定x 向量服从多元条件联合正态分 布，即：x ( o ，) ，那么上述模型就成了d e l t a g a m m a 正态模型( 简称为d g n 模型，以下雷同) ，由于本文篇幅有限，将不考虑d g n 模型的缺陷及条件正念假设 的合理性条件。 2 2 基于d g n 模型的样本矩、累积矩的计算 2 2 1 投资组合价值变化的期望、方差以及标准化后的原点矩1 4 5 1 对于一个包含有期权类等非线性头寸的投资组合来说，如果要考虑它的风险度， 那么首先是把投资组合价差根据泰勒级数展开成市场因子回报多项式，即2 1 3 式。 然后要对市场因子回报正交化，即定义一个新的因子向量r ：r = 嘎x ， 尺n ( o ，j r ) v a r ( r ) = v a r ( 爿尺) = e - v a r ( x ) 嘿= ，。 【2 1 4 】 r 腑：吉e 咒月) r r ( z 尺) ：号r r e g f z r 【2 1 5 】 其中假设：a ：r ，利用矩阵的谱分解，则a 可以分解为：彳：c a c r ，c 1 2 为由a 的特征向量构成的正交矩阵，即：c c 7 = ，。：a ：对角矩阵，除对角线之 外其它元素都为0 ，且对角线上元素对应于矩阵a 的特征值。 又v a r p 7 月) = c v a ，( 尺) c 7 c i 。c 7 = ，。 【2 16 j x r 肼：圭r r c a c r r = 吉( c 7 r 厂人( c 7 尺) = 葺丑尺? 【2 1 7 】 丑表示a 的第i 个特征值：r i 表示r 向量中第i 个分量。 7 e ( 啦e p r + 6 r x + f x ) = 册书陲 刁眨蚓 又因为尺? 是一个z 2 一分布的随机变量，则e 瞬) = 1 ，d k ? ) = 2 ，所以期望 为： e ( 形) = o r + a ， 【2 t 9 l 由于一个矩阵平方的特征值是原始矩阵特征值的平方，且一个矩阵特征值的和要等 于一个矩阵的迹，即对角线上元素之和。同时迹运算可以交换次序，所以2 1 9 式可 以化为矩阵形式( 6 】： e ( ) = 秒f + 吉护，4 = 衍+ 专护【r 】 【2 2 0 】 下面计算它的方差： 陀，( 肜) ；j 7 断( x 扮+ 砌r f 兰丑月? + c b v p 7 x 上x 7 r x ) 【2 2 1 1 l 扭i s t e i n ，sl e m m a 一个正态分布的随机变量与由j 下态随机变量所构成的函数之问的 协方差可以表示为： c d l ，( z 。，f ( z 2 ) ) ：e 口( z 2 ) ) c o v ( z i ，z 2 ) 1 2 2 2 1 其中z 表示服从萨态分布变量【4 5 】。 华中科技大学硕士学位论文 = = 一= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = _ 根据s t e i n ，sl e m m a 得：c o v p 7 x ， 7 r x j = o ( 因为e ( x ) = o ) ，则方差变为： 厂、 胁( ) = 万7 万+ 肋i 五，月讣= 万7 e , 8 + 吉t r a 2 2 2 3 1 扭l 如果进一步表示成矩阵形式： p 么，( f 矿) = 8 r 万+ 吉， r 】2 2 2 4 】 假设标准化变量为：，= w e ，则y 的高阶矩可以表示为： 坦赫盟忙， 如果进一步假设n 0 ，) 的话，那么 y 打( ) = 6 7 占+ f r 【r 】2 + r 【2 2 6 】 而高阶矩表达式变为： 牲挫型篙产缈盟， 眨2 ， 2 2 2 样本累积矩的计算【6 】 矩母函数的定义：设一个随机变量的密度函数为“x ) ，则矩母函数是： m ( f ) = e 厂g 对l n m ( t ) 在t = o 处展开成泰勒级数，那么么项所对应的系数称为随机变量的累积 矩k r ，即： 群= 学 f = o 眩z ， 华中科技大学硕士学位论文 基于d g n 模型的投资组合价差的累积量计算 其中万：8 r k ，蜀：c r y x ，下面来计算矩母函数 【2 3 0 】 ，8 1 i r l i 1 由碲) ：去0 0 + j 1 墨砖) p 煎2 d r 。， 2 ，。】 e x p 圭8 0 t 2 ( 1 2 i t ) 【2 3 2 】 7 e e a w = e o f t 耳南唧 占：即， 【2 ，1 鳓+ 耋( 婀，争i 砷- ，) b s a ， 运用1 ( 1 x ) 和l n ( 1 - x ) 在x = o 处的幂级数展开公式 尼x = l + x + x 2 + x 3 + + z 疗+ l n ( 1 一x ) = 一( x + t x 2 了x 3 + + 鲁+ - ) 【2 3 5 】 【2 3 6 】 所以表达式变成为： 己”e 严形：胁+ 兰l6 0 r ：篁( 乃矿+ 芰导 i 1 2 3 7 伽e n 形= 胁+ 旧r 2 ( 乃，) 。+ 竿i f = 1li = 0 = 1 j k i = o r + 吉丑 f - 1 k z = 昂+ ；五 f = 1，= l k 3 = z ( 3 2 f 碲+ 露) f = l 【2 3 8 1 【2 3 9 】 2 4 0 】 、ll， 2 = = ra 一2 +r 妒 。川 +rp l i 形 口女已 面h uj 口日 南 华中科技大学硕士学位论文 以此类推，把高阶矩写成矩阵形式为： k ，= 圭( ，一1 ) ! 州( r ) 7j + 圭，! 万，( r ) 2 国r 2 1 2 4 1 2 3 矩匹配方法【8 1 在d g n 模型中，认为市场因子回报服从多元条件联合正态分布，但由于模型中 存在市场因子回报的二次项，因而投资组合价值变化已不可能还是条件正态分布， 那么寻找一个新的分布来描述价值变化十分必要，但是一方面由于w 的精确分布 已不是一个规则的分布，它的解析形式有时无法求得：而对于d g 模型，虽然没有 假定市场因子回报的分布，但是对于求解投资组合回报风险度时，也存在有类似的 困难，所以矩匹配方法也就在这种背景下被提了出来，矩匹配方法的通常步骤是先 假设a w 服从一个已知的易于求得分位点的分布，然后利用市场因子回报的历史数 掘来计算出投资组合价差的样本矩，使样本矩与已知分布的对应矩相