（基础数学专业论文）若干局部双权积分不等式的研究.pdf

摘要 当0 o l 时，丁树森等得到了若干加权积分不等式，但对口= 1 时的情 形，还没有得到广泛的研究在本文中，我们首先引入了一种新的以j 。( a z ，沁，q ) 双 权，然后得到了当a 一1 时，微分形式的局部双权的嵌入定理，p o i n c a r 6 不等式， c a c c i o p p o l i 型估计和弱逆h s l d e r 不等式这些不等式是经典结果的推广，可用于 研究微分形式的可积性以及估计微分形式的积分最后，我们给出了上述结果的一 些应用， ， 关键词双权；嵌入定理；p o i n c a r 6 不等式；c a c c i o p p o l i 型估计；弱逆h 6 1 d e r 不等式 a b s t r a c t w h e n0 q 1 d i n gs h u s e na n do t h e ra u t h o r sh a v eo b t a i n e d s o m ew e i g h t e di n t e g r a li n e q u a l i t i e s ，b u tw h e n o l = 1 ，w e i g h t e di n t e g r a l i n e q u a l i t i e sh a v en o tb e e ns t u d i e dg e n e r a l l y i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t i n t r o d u c ean e wk i n do fa ；3 ( a l ，a 2 ，q ) t w o w e i g h t ，t h e nw eo b t a i n s o m et w o w e i g h ti n t e g r a li n e q u a l i t i e sw h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so ft h e i m b e d d i n gt h e o r e m s ，p o i n c a r 6i n e q u a l i t y , c a c c i o p p o l i t y p ee s t i m a t e a n dw e a kr e v e r s eh 6 1 d e ri n e q u a l i t yf o rd i f f e r e n t i a lf o r m sw h e na = 1 t h e s ei n e q u a l i t i e sa r ee x t e n s i o n so fc l a s s i c a lr e s u l t sa n dc a nb eu s e d t os t u d yt h ei n t e g r a b i l i t yo fd i f f e r e n t i a lf o r m sa n dt oe s t i m a t et h e i n t e g r a l so fd i f f e r e n t i a lf o r m s f i n a l l y , w eg i v es o m ea p p l i c a t i o n so f t h ea b o v er e s u 】t s k e y w o r d st w o w e i g h t ；i m b e d d i n gt h e o r e m s c a c c o p p o l i t y p ee s t i m a t e ；w e a kr e v e r s eh 6 1 d e r i i p o i n c a r 6i n e q u a l i t y i n e q u a l i t y 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 王壅垄日期：越年生月- 丝曰 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密由。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名：圣显鸶 导师签名! 离豸! 亟 日期：2 旦丛年五月生日 日期：兰咯_ l a 旦l 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a v eb e e nr e m a r k a b l ea d v a n c e si nt h ef i e l d s o fd i f f e r e n t i a f o r m s m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t so fd i f f e r e n t i a f o r m sa n d t h e i ra p p l i c a t i o n si nf i e l d ss u c ha sp o t e n t i a lt h e o r y , q u a s i r e g u l a rm a p p i n g sa n dt h et h e o r yo fe l a s t i c i t yh a v eb e e ne s t a b l i s h e d 1 一引n o w t h e r eh a v eb e e ng e n e r a l l ys t u d i e da b o u ta r ( q ) 一w e i g h t e dd i f f e r e n ti n e q u a l i t i e sa n dt h ep r o p e r t i e so fa r ( q ) 一w e i g h t 7 一引t h e ns d i n ga n d o t h e ra u t h o r so b t a i n e ds o m ei n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n db a s i cp r o p e r t i e s o ft h e s ec l a s s e so f 肆( q ) 一w e i g h t 9 - 1 0 1a n da r ( a ，q ) 一w e i g h t 1 1 1 3 】w h i c h a r ee x t e n s i o n so ft h eu s u a la r ( q ) 哪e i g h t r e c e n t l y ，d i n gi n t r o d u c e d 4 r ， ( e ) 一w e i g h t ( o rt h et w o w e i g h t ) 1 4 | ，w h i c hc a nb ec o n s i d e r e da sa f u r t h e re x t e n s i o no ft h e 钟( q ) 一w e i g h ta n da ，( a ，q ) 一w e i g h t r e s u l t s f o rm o r ea p p l i c a t i o n so ft h et w o w e i g h ts e e 1 5 1 6 t h ei m b e d d i n gt h e o r e m sp l a yi m p o r t a n tr o l e si nm a n yf i e l d s ，i n - c l u d i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da n a l y s i sa n d n o n l i n e a re l a s t i c i t ye t c t h eg r a d i e n to p e r a t o ra n d t h eh o m o t o p yo p e r a t o ra r ee f f e c t i v et o o l si na n a l y s i sw h i c hh a v ef o u n dm a n ya p p l i c a t i o n si nd i f f e r e n t a r e a so fm a t h e m a t i c s ，i n c l u d i n gt o p o l o g ya n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i n t h i sp a p e r ，w ef i r s td e f i n ean e wk i n dc l a s so fw e i g h t ，t h e nw ee s t a b l i s h l o c a la i 3 ( a l ，入2 ，q ) 一w e i g h t e dv e r s i o n so ft h ei m b e d d i n gt h e o r e m s f u r - t h e r m o r e ，w ee s t a b l i s ha 扣( h i ，a 2 ，q ) 一w e i g h t e dv e r s i o n so fc a c c i o p p o l i t y p ee s t i m a t e ，p o i n c a r i n e q u a l i t ya n dw e a k r e v e r s eh s l d e ri n e q u a l i t y 1 f o rd i f f e r e n t i a lf o r m s f i n a l l yw eg i v es o m ea p p l i c a t i o n so ft h ea b o v e r e s u l t s l e tqb eac o n n e c t e do p e ns u b s e to fr “， s t a n d a r du n i tb a s i so f ，a n da 。= a z ( r “) b e - c o v e c t o r s ，s p a n n e d c o r r e s p o n d i n gt oa l l e l ，8 2 ，e n b et h e t h el i n e a rs p a c eo f b yt h ee x t e r i o rp r o d u c t se i = e i l 八e i 2a 八e i l ， o r d e r e dl - t u p l e si = ( i l ，i 2 ，i f ) ，1 i t i 2 i l 礼，j 一0 ，1 ，n w el e tr = r 1 t h eg r a s s m a na l g e b r a a = 0 2i sag r a d e da l g e b r aw i t hr e s p e c tt ot h ee x t e r i o rp r o d u c t s f o r q = e 0 7 e i aa n d 矽= f l z e l ，t h e i n n e rp r o d u c ti nai sg i v e n b y ( q ，卢) = q 。p 。w i t hs u m m a t i o n o v e ra l l - t u p l e s ，一( i l ，i 2 ，如) a n da l li n t e g e r sl = 0 ，1 ，礼 w e d e f i n e t h e h o d g es t a r o p e r a t o r 青：a _ a b y t h e r u l e 1 = e t a e 2 a a e 。a n dc y a f l = f l a * c y = o f a ai sg i v e n b y t h ef o r m u l a t h eh o d g es t a ri sa n a n d ( 一1 ) 。( ”一。) ：a 。 q ，卢) ( 1 ) f o r a l lo l ，p a t h e n o r m 0 1 2 = ( a ，o ) = ( aa q ) a o = r i s o m e t r i ci s o m o r p h i s mo naw i t h ：a z _ a ”一z b a i l sa r ed e n o t e db yba n do bi st h eb a l lw i t ht h es a m ec e n t e r a sba n dw i t hd i a m ( p b l = p d i a m ( b ) w ed on o td i s t i n g u i s hb a l l s f r o mc u b e st b a o u g h o u tt h i sp a p e r t h en d i m e n s i o n a ll e b e s g u em e a s u r eo fas e te i sd e n o t e d b yf e lw ec a l l 叫( z ) aw e i g h ti fw l k ( r ”) a n d 训 0 p 0a e f o r l p n o r mo fa w h e r eqi sar e a ln u m b e r d i f f e r e n t i a lf o r m sa r ei n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n s o fr e a lf u n c t i o n sa n dd i s t r i b u t i o n s s p e c i a l l y , ad i f f e r e n t i a l - f o r mu o nqi sad er h a mc u r r e n t 1 7 ，e “0 p 7 删o nqw i t hv a l u e si na 。( r ，) ，n o t e t h a ta0 一f o r mi st h eu s u a lf u n c t i o ni nr ”m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t s a n da p p l i c a t i o n so fd i f f e r e n t i a lf o r m so fr e a lf u n c t i o n sa n dd i s t r i b u - t i o n sh a v er e c e n t l yb e e nf o u n d 1 s 一2 2 ad i f f e r e n t i a l - f o r muo nqi sa s c h w a r t zd i s t r i b u t i o no nuw i t hv a l u e si n 八( r d w eu s ed 7 ( q ， 。) t od e n o t et h es p a c eo fa l ld i f f e r e n t i a - f o r m s ( z ) = jw i ( x ) d z i = u i 。吐n ( x ) d x i ，ad x i 2 八ad x i2 w ew r i t e 妒( q ，八。) f o rt h e - f o r m s w i t hu l 9 ( q ，r ) f o ra l lo r d e r e dl - t u p l e s ，t h u sl ”( q ，a 。) i sa b a n a c hs p a c ew i t hn o r m u p , f 2 f 儿( z ) r d x ) 叫9 ： q ， ( 上( i ( 。) j 2 ) p 2 如、) 1 加 ， f o ru d 7 ( q ， 2 ) t h ev e c t o r v a l u e dd i f f e r e n t i a lf o r m v = ( 缸，差) c o n s i s t so fd i f f e r e n t i a lf o r m s a u o x i d 7 ( q ，a 。) w h e r et h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a t i o n sa r ea p p l i e dt ot h ec o e f f i c i e n t so fu a su s u a l ，w 1 , 9 ( q ，a 2 ) i su s e dt od e n o t et h es o b o l e vs p a c eo ft f o r m s ，w h i c he q u a l s ( q ，a 。) n 日( q ，a 。) w i t hn o r m u | i - 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1 1 as o l u t i o n s u c ht h a t f o ra l l 妒w 1 , p ( e ，八。一1 ) w i t hc o m p a c ts u p p o r t d e f i n i t i o n1 1w be a l lua na h a r m o h i et e n s o ri nqi f “s a t i s f i e s t h ea h a r m o n i ce q u a t i o n ( 1 2 ) i nq l e tu sm e n t i o ns o m eb a s i ct e r m sf o rh a r m o n i ct e n s o r sa sf o l l o w s ad i f f e r e n t i a l - f o r mu d ( q ，八 ) i sc a l l e dac l o s e df o r mi fd u = 0 i nq s i m i l a r l y , ad i f f e r e n t i a l ( 1 + 1 ) 一f o r m 可d 7 ( q ，a 。+ 1 ) i sc a l l e da c o c l o s e df o r mi fd * v = 0 ad i f f e r e n t i a lf o r m 乱i sc a l l e dap - h a r m o n i c t e n s o ri fd + ( i d u l p 一2 d u ) = 0a n dd + u = 0w h e r el p 1a n d0 oa e a n d ( i 刍。! f 三w 2 、11 2 7 r 一1 出) 1 3 1 c ：。 i fw ec h o o s ew l w 2 = 训a n da l = a 2 = a 3 = 1i nd e f i n i t i o n 2 1 1 ，w ew i l lo b t a i nt h eu s u a la r ( n ) 一w e i g h t i f w ec h o o s ew l = 讹= 删，a l = a 2 = 1a n da 3 = ai nd e f i n i t i o 21 1 ，w ew i l lo b t a i nt h e 肆( q ) 一w e i g h t 9 | i fw ec h o o s e u 3 1 = 训2 = ，a l = a n da 2 = a 3 = 1i nd e f i n i t i o n 2 i 1 ，w ew f l lo b t a i nt h ea ，似，n ) 一w e i g h t l l “ w ew i l ln e e dt h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dh 6 1 d e ri n e q u a l i t y l e m m a2 1 2l e t0 d 。，0 口 ( 3 0a n ds - 1 = o 一1 + 口一l 工f ，a n dga r em e a s u r a b l ef u n c t i o n so nr ”t h e n f 。ra n y q c r ” f o ra n yqcr ” 舟“n 剑f n fg n 7 、 出 廿 q以趾 即日 町 s a衙 ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm so fh e b e iu n i v e r s i t y w ea l s on e e dt h ef o l l o w i n gt w ol e m m a s 1 7 , 7 1 l e m m a2 1 3 l e t “l ( b ，a 1 ) ，f = 1 ，2 ，r t ，1 1 ，a n d 0 8 ，t o 。t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n tc ，i n d e p e n d e n to f ，s u c h t h a t 钍 。，b c i b i ( 一8 ) 时 珏f f f ，p 口 f o ra l lb a l l so rc u b e sbw i t hp bcq ( 2 4 ) w en o wp r o v et h ef o l l o w i n gl o c a lt w o w e i g h ti m b e d d i n gt h e o r e m f o rd i 髓r e n t i a lf c i r m s t h e o r e m2 1 1l e tu l ( q ，a z ) ，l = 1 ，2 ，n ，1 1 ，0 a 1 ，a 2 ，a 3 0 ，s u c ht h a t i 1 b c il b i ( 1 - 序) z | | 叫i 1 忆b( 2 7 ) f o ra n yc u b eo ra n yb a l lbcr “c h o o s et = 8 9 ( 卢一1 ) ，t h e n 1 s ta n dp = t ( t s ) 。s i n c e1 8 = 1 t + ( t 一8 ) 8 t ，b yl e m m a 2 1 2 ，( 2 1 ) a n d ( 2 7 ) ，w eh a v e ( 上 ( 上 ( 丘 = f jv ( 、1 加 i v ( r u ) 1 8 蜘i 1 如) ( i v ( t u ) 坩7 8 ) 5 d z l l 5 c 2 1 b i l “l l t ，_ b i i 伽；1l l 口1 b 8 c 3 1 b i i b i ( 1 一n ) l n 8i i 叫；- j | 1 1 b s i i “i i t ，b = c 3 1 b i i b i 一1 。i i 叫i 1 1 1 加, b i i “i i 徊 8 ) s t ( 2 8 ) c h o o s i n gm = s ( x a ( r 1 ) + 1 ) ，t h e nm , ：( r - 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