（基础数学专业论文）关于弱正则半群的若干研究.pdf

s o m es t u d i e so nw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u p s b y j i aa i x i a b s ( n o r t h w e s tn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e i l c e p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rt i a nz h e n j i m a y , 2 0 1 1 11 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：覆暖霞 日期圳年肘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名： 导师签名： 霞鳗霞 秒能 日期：汕1 年6 月9 日 日期：押解6 月孑日 _ 1 0 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 引言 国内外研究现状综述 本论文的主要研究内容 弱正则：i c 半群的z ) - 类 弱正则木半群的定义，例子及特征 弱正则 半群的口类 2 2 1 引言与预备知识 2 2 2 防类定理 第三章弱正则木半群的半直积和子直积 3 1 弱正则木一半群的半直积 3 2 弱正则 一半群的子直积 3 3 弱正则木半群的织积 3 4 弱正则宰一半群的b 酉覆盖和纯覆盖 3 4 1b 酉覆盖 3 4 2 纯覆盖 第四章弱正则木半群上的木一同余格 4 1 弱正则奉一半群上的，i c 一同余的投影核 4 2 弱正则木一半群上的木一同余格 第五章 拟正则木半群上的木同余 5 1 基本概念及引理 5 2 拟正则木半群上的木一同余 结论 参考文献 致谢 附录a( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 一缸 1 1 2 3 3 5 5 6 8 8加挖埒坞m 埔m 俎殂毖 卯 ； 缸 1 l 摘要 本文研究弱正则宰一半群和拟正则辜- 半群全文共分为五章 第一章为引言部分给出研究背景和本文的研究内容 第二章证明了弱正则木半群的口类是正方形 第三章研究了弱正则木一半群的半直积和子直积，给出了弱正则宰半群的子直积 的构造并利用这一构造定理，讨论了弱正n * - 半群的b 酉覆盖和纯覆盖同时讨论 了弱正则木一半群的织积 第四章在弱正则丰半群s 的宰一同余格c ( s ) 上定义了一个关系p ，证明t o 为泸( s ) 上的一个同余关系以及每个良类为c ( s ) 的一个完全模子格 第五章刻画了拟正则木。半群s 上的宰一同余同时证明了映射妒：p p t r p 为拟 正则木半群s 的宰一同余格c ，( s ) 到s 的投影集p ( s ) 的所有正规等价组成的格( p ) 上 的完全格同态 关键词：弱正则木一半群；拟正则掌一半群；口类；半直积；子直积；织积；e - 酉覆盖； 纯覆盖；奉一同余格 a b s t r a c t w es t u d yw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u p sa n dq u a s ir e g u l a r , - s e m i g r o u p si nt h i s t h e s i sw h i c hi sd i v i d e di n t of i v ep a r t s t h ef i r s tp a r ti sab r i e fi n t r o d u c t i o n w es h o wt h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n d r e s e a r c hc o n t e n to ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r t w ep r o v et h a td - c l a s so faw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u pi s s q u a r e i nt h et h i r dp a r t ，s e m i d i r e c tp r o d u c t sa n ds u b d i r e c tp r o d u c t so fw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u p sa r es t u d i e d ，a n dac o n s t r u c t i o no fa l ls u b d i r e c tp r o d u c t so fw e a k l y r e g u l a r 水一s e m i g r o u p si so b t a i n e d a sa na p p l i c a t i o n e - u n i t a r yc o v e r sa n dp u r e c o v e r sf o rw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u p sa r ei n v e s t i g a t e d f u r t h e r m o r e ，t h es p i n e d p r o d u c t so fw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u p sa r ed i s c u s s e d i nt h ef o u r t hp a r t ，w ed e f i n ear e l a t i o n 口o n ( s ) ，t h ec o m p l e t el a t t i c eo f , - c o n g r u e n c e so naw e a k l yr e g u l a r , - s e m i g r o u ps a n dp r o v et h a tpi sac o n g r u e n c e o ng + ( s ) a n de a c h & c l a s si sac o m p l e t em o d u l a rs u b l a t t i c eo fc + ( s ) i nt h ef i f t hp a r t ，w ec h a r a c t e r i z e , - c o n g r u e n c e so naq u a s ir e g u l a r , - s e m i g r o u p s ，a n dw ep r o v et h a tt h em a p 矽：p 卜p t r pi sac o m p l e t el a t t i c em o r p h i s mo f 俨( s ) o n t o ( p ) k e yw o r d s ：w e a k l yr e g u l a r 木一s e m i g r o u p ：q u a s ir e g u l a r ：| 一s e m i g r o u p ；t ) - c l a s s ； s e m i d i r e c tp r o d u c t ；s u b d i r e c tp r o d u c t ；s p i n e dp r o d u c t ；e - u n i t a r yc o v e r ；p u r e c o v e r ；l a t t i c eo f 木- c o n g r u e n c e ； 第一章引言 1 1国内外研究现状综述 代数学是现代数学的支柱学科之一，一直是国际上最活跃的研究方向，其重要 性为数学界所公认它的理论和方法己广泛地应用于拓扑理论、泛函分析、密码学、 计算数学、量子力学和生命科学等许多领域，对现代数学的发展起到了极其重要的 作用半群代数理论是二十世纪5 0 到6 0 年代发展起来的一个新的代数学分支与半 格、半环等理论和格论、环论关系不同，半群代数理论以其特有的研究对象、研究 课题和研究方法，早已独立于群论之外对半群理论的研究不仅体现于对代数学纯 理论领域的贡献，而且越来越体现出对应用数学领域的伟大贡献它在自动机理论、 符号计算、理论计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论等方面都 有广泛的应用 在数学史上，对半群的研究可追溯到1 9 0 4 年，然而它的系统研究始于上个世 纪5 0 年代，特别是计算机科学、非线性动力系统等学科的推进使半群代数理论成为代 数学的一个重要分支回顾半群代数理论历史，对正则半群的研究始于上世纪四十 年代初七十余年来，正则半群及其若干特殊情形( 诸如纯整半群，逆半群等) 的研究 已成为半群代数理论研究中的主流领域之一特别是，p e t r i c h 的巨著“i n v e r s es e m i - g r o u p s 囊括了当今逆半群研究中的主要课题作为逆半群的自然推广，t e n o r d a h l 和h e s c h e i b l i c h 于1 9 7 8 年引入正l l j , 一半群f l l 】 设s 是一个半群，如果在s 上有一个一元运算木：sos ，z 一矿满足如下三条： ( 1 ) ( v z s ) ( z + ) + = z ； ( 2 ) ( v x s ) z z z = z ； ( 3 ) ( 妇，y s ) ( x y ) + = y 矿 那么，s 被称为一个正l l j , 一半群，记为( s ，宰) 随后，m y a m a d a 1 9 , 2 0 深入研究了这类半群的结构，并于1 9 8 2 年得到了著名的结 论：一正则半群为正则木一半群当且仅当它具一p _ 系【2 1 1 t i m a o k a 5 7 】研究了这类半群 的表示理论及其上掌一同余的刻画1 9 9 9 年，芮昌祥【2 】将正则木一半群的概念一般化，引 入了弱正则木一半群的定义，举例说明了这是比正l i j , 一半群更广的一类正则半群，并 得出重要结论：正则半群能成为一个弱正则木半群的充要条件是这个正则半群至 少有一个弱p 系【2 】随后，芮昌祥，陈建飞进一步研究了基本的弱正则掌一半群的结 构 3 9 1 2 0 0 8 年，丁爱霞【1 】引入了拟正则牛半群的概念，举例说明了它也是比正则幸一半 群更广的一类非正则半群，并用投影核正规系和正则牛一同余对对拟正则聿半群上的 正则木一同余进行了刻画 1 关于弱正则木一半群的若干研究 1 2 本论文的主要研究内容 本文就弱正则木半群的口类，半直积，子直积，c 同余格等方面以及拟正则丰半 群的杠同余展开研究全文共分为五章 第一章为引言部分给出研究背景和本文的研究内誉 1 9 7 8 年，t 。e n o r d a h l 1 1 l 研究了正则_ c 一半群的口类本文第二章研究弱正则木- 半 群的口类，得出弱正则木半群的9 - 类是正方形 1 9 8 3 年，n i c o 【1 2 j 研究了两个幺半群的半直积为正则半群和逆半群的情形s a i t o 1 6 j 研究了一个幺半群与一个半群的半直积为纯整半群和左、右逆半群的情形m e a l - i s t e r 与p e t r i c h 1 4 1 讨论了逆半群的子直积郑恒武 3 1 】研究了7 r 正则半群的子直积本 文第三章研究弱正则半一半群的半直积和子直积，给出弱正则杠半群的子直积的构造 并利用这一构造定理，研究弱正则术一半群的b 酉覆盖和纯覆盖并讨论弱正则木一半群 的织积 本文第四章在弱正则木半群s 的木一同余格c + ( s ) 上定义了一个关系口，矽盯当且仅 当p 与仃有相同的投影迹证明了口为c + ( s ) 上的一个同余关系以及每个口类为c ( s ) 的 一个完全模子格 拟正则木半群是比正则木半群更广的一类非正则半群，本文第五章刻画了拟正 则唪半群上的木一同余的特征同时证明了映射矽：p p t r p 为拟正则事半群s 的木一同 余格c + ( s ) 到s 的投影集p ( s ) 的所有正规等价组成的格e ( p ) _ h f f j 完全格同态 2 第二章弱正则木半群的口类 2 1弱正则木一半群的定义，例子及特征 定义2 1 1 【2 】设s 是一个半群如果在s 上有一个元运算牛：s s ，z 卜+ 矿满 足如下三条： ( c 2 1 1 ) ( 1 ) ( v x s ) ( z ) + = z ； ( 2 ) v x s ) z z z = z ； ( 3 ) ( v z ，y s ) ( x x + y y + ) 。= y y 。z z 那么，s 被称为弱正则半一半群，记为( s ) ( 最木) 的元素z 被称为投影元，如果护= z 且矿= 。我们用尸( s ) 表示( s 车) 的 全体投影元构成的集合此后，我们将满足( c 2 1 1 ) ( 1 ) ( 3 ) 的一元运算木：s - s 称 为( s ，木) 的弱木一运算 设s 是一个正则半群，e ( s ) 是s 的幂等元集合e ( s ) 的个子集合f 被称为一 个p - 系f 2 1 1 ，如果满足： ( c 2 1 2 ) ( 1 ) 对于任意的o s ，存在唯一的口+ y ( 凸) ，使得a a ，a * a f ，其s v ( a ) 表 示a 的全体逆元组成的集合： ( 2 ) 对于任意的a s ，有a 4 f o f ，其中章是r e ( 1 ) 确定的一个一元运算： ( 3 ) f 2 e ( s ) 在文献【2 l 】中，m y a m a d a 震 l 到著名的结论：一正则半群为正则幸一半群当且仅当它 具一p - 系对于弱正则木一半群也有类似的性质 定义2 1 2 【2 j 设s 是一个i e 贝, j 半群，e ( s ) 是s 的幂等元集合e ( s ) 的一个子集 合f 被称为一个弱p - 系，如果满足： ( c 2 1 3 ) ( 1 ) 对于任意的口s ，存在唯一的口+ y ( n ) ，使得n 矿，a * a f ，其中y ( d ) 表 示a 的全体逆元组成的集合： ( 2 ) 对于任意的，f ，有i f f ； ( 3 ) f 2 e ( s ) 引理2 1 3 【2 j 一正则半群为弱正则木半群当且仅当它至少有一个弱p 系 弱正则车一半群是比正则木一半群更广的类正则半群，正则木一半群类是弱正则宰一 半群类的真子类下面举例说明 3 关于弱正则宰一半群的若干研究 例2 1 4 设s = 1 ，a , b ，c ，d ，z ) ，按如下乘法表在s 上定义一个二元运算： 直接验算可得，s 是一个半群，且它的子半群 l ，z ) 和 口，b ，c ，田分别是群和矩形带 此外。s 有如下的蛋盒图： 固， 圜 容易证明| s 的弱p - 系只有r = l ，a ，d ) 和民= l ，b ，c ) 但r 和岛都不是s 的p 系 因为z 是它本身的唯一逆元，并且 x f l x = 1 ，b ，c ) 仁毋， z f 2 x = 1 ，口，d ) 茌r ， 所以r 和尼都不满足( c 2 1 2 ) ( 2 ) 说明9 没有p 系于是，我们能在s 中定义一个一 元运算使得它成为一个弱正则术一半群，但s 不可能成为一个正则木一半群 从第二章至第四章，若无特殊说明，s 总表示一个以：- 为弱事一运算的弱正则扣半 群文中未说明的符号和术语同文献【2 】，【4 】 下面的引理给出了弱正则书- 半群的几个基本性质 引理2 1 5 令p l 一 z 茁：互s ，1 2 = z z ：z s ) ，贝j j 尸l = p 2 = p ( s ) 证明对任意z s ，有 ( z z + ) ( z z ) = z z ， ( z z ) = ( ( z z ) ( z z + ) ) + = ( z z + ) ( z z + ) = z z ， 因而z z p ( s ) ，说明只p ( s ) 反过来，对任意口p ( s ) ，有口= a a = a a ，说明p ( s ) p 1 所p a p , = 尸( s ) 同理可证p 2 = 尸( s ) 因此只= 1 2 = p ( s ) 定义2 1 6 设s ，t 是弱i e 贝j j , 一半群，妒：s - - 4 t 是同态映射称妒是木一同态，如果 对任意a s ，( a 妒) = a t o 4 硕士学位论文 引理2 1 7 弱正则木一半群s 的木一同态像仍是弱正则木半群 证明令妒是弱正则幸半群s 的幸一同态对任意o ，b s ，有 。妒( q 妒) + a ( p =o 妒8 + 妒a 妒= ( a a + a ) l p = a 妒， ( ( 口妒) ) = ( o + 妒) + = ( 口+ ) 妒= a c p ， ( 口妒( 口妒) 6 妒( 印) + ) + =( a c p a 。妒6 妒扩妒) = ( ( n o + b b + ) 妒) = ( a a 。舻) 。妒= ( b b a a + ) 妒 = 却( 6 妒) n 妒( 口妒) 因而s 妒是弱正则事一半群 引理2 1 8 设妒：sot 是弱正则奉半群的木同态，若，为s 妒的投影元，则存 在e p ( s ) ，使得e c p = f 证明设f = n 妒是s 妒的投影元，则( n 妒) 2 = a ( p ，( n 妒) = n 妒即舻妒= 口妒，矿妒= 口妒因此( n n + ) 妒= 0 2 妒= a c p 取e = a a + p ( s ) ，则e 妒= ， 引理2 1 9 设s ，t 是弱正则：i c 半群，妒：s - + t 是木一同态，则i m 妒是t 的一个弱正 则丰一子半群，且对i m 妒的任意投射元e ，e 妒一1 是s 的一个与p ( s ) 相交的弱正则掌一子半 群 证明显然，i m 妒是t 的一个弱正则木一子半群且对i m 妒的任意投射元e ，因为e 是 幂等元且e ：e ，所以e 妒一1 是s 的一个弱正则宰子半群对任意z e 妒，容易验 证z z 。p ( s ) ne 妒一1 定义2 1 1 0 1 2 1 设p 是s 上的一个同余称p 为s 上的一个木- 同余，若 ( ，b s ) a p b 净矿p b 定理2 1 1 1 设p 是弱正则 一半群s 上的掌一同余若口p 是s j d 的投影元，则存在e p ( s ) ，使得a p = e p 证明若口p 是剐p 的投影元，贝l j ( a p ) 2 = a p ，( a p ) = a p b 1 a 2 p a ，a p a 因 此a p a 2 p a a + 取e = a a + p ( s ) ，贝l j a p = e p 2 2 弱正则水- 半群的口类 2 2 1引言与预备知识 在文献【1 1 1 中，n o r d a h l 和s c h e i b l i c h 研究了正则奉一半群的口类，得出正则 一半群 的z ) - 类是正方形本节将文献【1 1 】中有关正则宰一半群的若干结果推广到弱正则木一半 群中 5 _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ 。一 关于弱正贝崃一半群的若干研究 量皇皇蔓寰曼曼量舅曼曼曼曼皇曼曼量曼曼舅曼曼曼曼曼曼舅曼皇舅舅蔓曼岜蔓曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼暑鼍鼍置曼量量曼曼曼舅鼍皇曼量曼曼量量曹曼曼舅曼曼曼 引理2 2 11 4 0 1 在弱正则幸- 半群s 巾，对于任意的a ，b s ，我们有 2 2 2 织类定理 ( a b ) = b * b ( a b ) = ( a b ) a a = b b ( a b ) 。o 口。 定理2 2 2 若e ，f p ( s ) ，则( e f ) + = f e 且e ，f e e ( s ) 证明对任意e ，尸( s ) ，有 ( e f ) 。= ( e e f f ) + = ( e e f f ) + = f 。e e 。= f f e e = f e e f = ( e f ) ( e f ) + ( e ) = ( e f ) ( f e ) ( e f ) = e ( f f ) ( e e ) f = ( e f ) ( e f ) 因此e f e ( s ) 同理可证，e e ( s ) 定理2 2 3 设a s ，则映射口：z 卜矿( z 亿) 是风到l 口的双射，且映 射盯保幂等元和咒一类 证明若z 玩，则存在，t j s 1 ，使得z u = a ，a u = z 由引理2 2 1 知 n = ( x u ) = ( x u ) + z z ， 矿= ( a v ) + = ( a v ) + a a + 因此z 。l 矿 若 ，y ) “= 冗nc ，则( 矿，矿) cn 冗= 7 4 因而映射口保饨一类 对任意e e ( s ) ， e + = e + ( e ) + e + = e * e e = e * e e e 因为e e ，e * e p ( s ) ，所以由定理2 2 2 知 e 一( e + ) = ( e * e e e ) = e e e 。e e = e * e e + = e + ( e e + e + e ) e 。 = ( e * e e ) ( e + e e + ) = e * e + 因而e e ( s ) 这说明映射口保幂等元 ， 显然7 ：y y + ( y l 矿) 是映射仃的逆映射，因而映射谤是见到l 口的双射 定理2 2 4 弱幸运算固定且只固定每一个7 各类( c - 类) 申的一个幂等元 证明设口s ，则a a + 是兄中的一个幂等元，且( a a ) ；口n 。因此弱 i 一运算至 少固定终类中的一个幂等元 6 硕士学位论文 设e 2 = e ，2 = ，( e ，) 冗且e = e 由定理2 2 3 知( e 。，广) c 若，= 广， 则( e ，) n 冗= 咒因此e = ， 同理可证弱宰运算固定且只固定每一个c 一类中的一个幂等元 定理2 2 5 弱正则 一半群的口类是正方形 证明设d 是弱正则木一半群的一个口类，c = e d ：e = e 2 ，e = e ) 则由定 理2 2 4 ，集合c 是d 中的t o - 类和c 类的计数集合因此d 是正方形 定理2 2 6 设( 口，6 ) s ，则 ( 1 ) ( n ，6 ) 口o = 矿6 ； ( 2 ) ( o ，6 ) 冗兮n 口+ = 凇； ( 3 ) ( o 6 ) 死营口幸o = b * b 和n 矿= b b * 证明( 1 ) 若( n ，6 ) c ，则由定理2 2 4 知o n = b * b 反之，若口口= b * b ，则o n a ，b * bc6 故nc6 ( 2 ) 同( 1 ) ( 3 ) 由( 1 ) ( 2 ) 可得 7 第兰章弱正则水半群的半直积和子直积 3 1弱正则木- 半群的半直积 定义3 1 1 设9 和t 均为幺半群，e n d ( t ) 为t 的自同态半群若t t ， e n d ( t ) ，则记t ，为t 在，下的象令q ：s - - e n d ( t ) 为给定的半群同态若对任 意8 ，s l s ，t ，t 1 t ，记俨( 摹) = 矿，则 ( u 1 ) 。= 心l 。，( 矿) 以= 尸1 在直积s t 上定义乘法： ( s ，t ) ( s x ，t 1 ) = ( 8 8 1 ，以1 ) 则s t 关于此乘法做成幺半群，幺元为( 1 ，1 ) ，称此幺半群为s 和t 的半直积，记 为s at 在文献 1 2 1 中，n i c o 讨论了两个幺半群的半直积为正则半群和逆半群的情形在 文献 t 6 l 中，s a i t o 研究了一个幺半群与一个半群的半直积为纯整半群和左、右逆半 群的情形本节讨论两个半群的半直积是弱正则木半群的情形： 定理3 1 2 设s 和t 是幺半群，a ：s - - e n d ( t ) 为给定的半群同态若半直 积s 。t 为弱正则木半群，则 ( 1 ) s ，t 均为弱正则卓一半群； ( 2 ) ( v s s ，v 6 t ) ，t 护t ； ( 3 ) ( v s ，8 1 s ，v t ，t l t ) ，( 护8 - 矗t ( 扩) 8 l t ；1 + t l + ) + = t 1 5 i 8 。( 1 + ) 。8 + z 1 t 证明若s 口t 为弱正则丰一半群，则对任意8 ，8 1 s ，6 x t ，( s ，t ) ，( s 1 ，t 1 ) s at ，存在( s ，o ) 4 ，( s l ，t 1 ) + s at ，满足 ( ( s ，t ) 。) + = ( 8 ，) ， ( 8 ，t ) ( s ，亡) + ( s ，) = ( 8 ，) ， ( ( s ，) ( s ，t ) + ( s l ，t 1 ) ( s l ，6 1 ) ) = ( 8 1 ，t 1 ) ( 8 1 ，亡1 ) ( s ，t ) ( s ，t ) 4 规定( s ，亡) 。= ( 矿，矿) ，s s ，矿t 。由 ( ( s ，t ) ) = ( s ，+ ) 4 = ( ( s ) ，( t + ) + ) = ( 8 ，) ， 知( 矿) 4 = s ，( ) = t 又由 ( 8 ，) ( s ，) + ( s ，t ) = ( 8 ，) ( 矿，矿) ( s ，) = ( 8 8 + ，矿t + ) ( s ，t ) = ( s s s ，缈扩) 8 t ) = ( 8 8 8 ，矿( 矿) 8 ) = ( 8 ，t ) ， 8 i 硕士学位论文 知s s 8 = 8 ，t s ( i + ) 。t = t 故结论( 2 ) 成立因为 ( ( s ，0 ( 8 ，矿( 8 1 ，t 1 ) ( 8 1 ，t 1 ) ) =( 8 1 ，t 1 ) ( s l ，t 1 ) + ( s ，0 ( 8 ，t ) 。 ( 8 1 ，t 1 ) ( s l ，1 1 + ) ( s ，0 ( 8 。，亡) ( 8 1 8 1 ，1 0 1 t l ) ( s ，0 ( 8 ，t ) ( 8 1 8 1 8 ，( t l m l * t l + ) 8 0 ( 8 ，) ( 8 1 8 1 8 8 + ，( l 1 。( 1 ) 。) 。t ) ( 8 1 8 l + 8 8 ，t l a l * s s * ( t 1 ) 矿矿t ) ( 8 ，0 ( 8 + ，) ( s 1 ，；1 ) ( 8 1 + ，l + ) ) ( ( s s + ，t 8 t + ) ( s 1 ，t 1 ) ( 8 1 。，t l + ) ) + ( ( 8 8 8 1 ，( t a * t ) 暑1 t 1 ) ( 8 1 ，t l ) ) ( 8 8 + 8 1 8 1 ，( t s - s 1 ( t + ) 。1 1 ) 。l t l + ) 。 ( 8 8 。8 1 8 1 ) + ，( t o * j l $ 1 * ( z ) 。1 8 1 t 1 8 l t l 。) + ) ， 所以 ( s s 8 1 8 1 + ) + = 8 1 8 1 + 8 8 ， ( t 8 0 1 8 1 ( + ) 8 - 。- i 1 l ) + = t l s l * m s * ( l + ) 。+ 。t ， 即结论( 3 ) 成立因此 ( s + ) + = 8 ，8 8 + 8 = 8 ， ( 8 8 + 8 1 8 1 + ) = 8 1 8 1 + 8 8 故s 是弱正则宰一半群 由于s 是幺半群，可取8 = 1 ，则存在1 s ，1 1 。= 1 。1 = 1 又1 = 1 1 1 = 1 + ， 因而由，8 ( t ) 。t = 可知扩t = t 由结论( 3 ) 知 ( t t t i t l + ) + = t i t l + 故t 是弱正则木半群 若在半直积s n t 中，q ：s - e n d + ( t ) 为给定的半群同态，其中e n d ( t ) 为t 的木一 自同态半群，则称此半直积为s 和t 的木- 半直积，记为s ：t 定理3 1 3 若s ，t 是弱正则率半群，且对任意e p ( s ) ，t ，t 。= t ，则s ：t 是弱正则车一半群 证明设s ，t 是弱正则木半群，且对任意e p ( s ) ，t ，护= t 则对任 意8 ，) ，( 8 1 ，t 1 ) s ：t ，存在8 + ，8 i s ，t ，t ：t 规定( s ，) + = ( 8 + ，( t ) 矿) 则 ( ( s ，d + ) = ( 8 。，( 芒。) 矿) 。= ( 8 ，( ( ( 圹) 矿) 。) 。) = ( 8 ，8 ) = 8 ，t ) 9 关于弱正则木一半群的若干研究 所以 ( s ，) ( s ，t ) - ( s ，) ； = = = ( ( s ，) ( s ，t ) 幸( s l ，t 1 ) ( s l ，t 1 ) ) = i = = = = = ( 8 1 ，t 1 ) ( 8 l ，t 1 ) + ( s ，t ) c s ，) + = = = = = ( ( s ，) ( s ，t ) ( s l ，亡1 ) ( s l ，h ) 4 ) = ( 8 1 ，h ) ( 8 1 ，t 1 ) + ( s ，t ) c s ，) + 故9 ：t 是弱正则卓一半群 3 2 弱正则木半群的子直积 定义3 2 1 半群7 r 称为半群s 和t 的子直积，如果它满足条件： 【1 ) 7 r 同构于s t 的子半群日； ( 2 ) 第一、二射影f l ：日js ( 8 ，t ) 卜s 与f 2 ：h 斗t ，( s ，t ) 卜是满同态 引理3 2 2 俐设日是弱i e n 半群s 的子半群，则h 是s 的弱正则木一子半群当且 仅当对任意a h ，矿h 定理3 2 3 若弱正则幸一半群h 是半群s 和t 的子直积，则只t 都是弱i e n 半 群 1 0 妒r 丁 r y f、 一一哪一。一一一。哪铲唧丁似：毒九r 一一一一一一一一一一一一一一一一 硕士学位论文 证明对任意a s ，由第一射影 是满同态，知存在( 口，b ) eh 由h 是弱正 则宰一半群，j f l l ( a ，6 ) + h 规定( n ，6 ) = ( a ，扩) 由 ( a ，b ) = ( ( q ，6 ) ) 奉= ( ( o ，扩) ) = ( ( 口。) ，( 6 ) ) ， 知( 矿) = a 又由 ( a ，6 ) = ( n ，6 ) ( n ，6 ) + ( 凸，b ) = ( a ，6 ) ( n + ，6 + ) ( n ，b ) = ( a a + a ，b b 均) ， 知a a a = a 因为 ( ( n ，6 ) ( a ，6 ) + ( c ，回( c ，印+ ) + = = = = ( ( n ，6 ) ( 口，扩) ( c ，回( c ，矿) ) ( a a + 0 3 * ，b b d d + ) ( c ，d ) ( c ，d ) + ( 口，6 ) ( n ，6 ) ( c c + a a + ，d d + b b + ) ， 所以( 口o + c c ) 。= c c + a a 因此s 是弱正则木一半群 同理可证t 是弱正则率一半群 两个弱正则木半群的子直积未必是弱正则奉一半群例如，设s = t = 1 ，a ，b ，c ，d ，茁) ， 按例2 1 4 中定义的二元运算，s 和t 都是弱正则木- 半群h = ( 1 ，1 ) ，( 1 ，z ) ，( 1 ，o ) ，( 1 ，6 ) 是s 和t 的子直积因为日没有弱p 一系，所以日不是弱正则木一半群 下面我们给出弱正则木半群的子直积的构造 定义3 2 4 设s ，t 是弱正则木一半群，映射妒：s _ 尹( t ) ( t 的幂集) 称为s 至i j t 的 满子同态，如果它满足以下条件： ( c 1 ) 对任意8 s ，s 妒1 2 i ； ( c 2 ) 对任意s 1 ，8 2 s ，( s 1 妒) ( s 2 妒) ( s l s 2 ) q o ； ( c 3 ) us i p = t ； s e s ( c 4 ) 对任意8 s ，t t ，若t s 妒，则s 妒 定理3 2 5 设s ，t 是弱正则木一半群，妒是s n t 的满子同态n n ( s ，t ，妒) = ( s ，t ) s t ：t s 妒) 为弱正则木一半群，且为s 与t 的子直积；反之，任意其 为s 与t 的子直积的弱正则木一半群可以如此构造 证明令i i = ( sz 妒) 根据条件( e 1 ) 知i i i z i 若( s l ，t 1 ) ，( s 2 ，t 2 ) i i ， 则l s l 妒，t 2 s 2 妒由条件( c 2 ) 知t i t 2e ( 8 1 s 2 ) 妒，从而为s t 的子半群 由条件( c 1 ) 与( c 3 ) ，射影 ：i ijs ，( s ，t ) h8 ，射影，2 ：- - + z ( 8 ，t ) 一t 为满 同态，故为s 与t 的子直积若( s ，t ) 1 1 ，则t s 妒由条件( c ，4 ) 知t 。s 妒，从 而( s + ，t + ) 根据引理3 2 2 ，n 是弱正则木一半群 1 1 _ _ _ _ _ _ - - _ _ - 。_ _ _ _ - - 。 关于弱正贝l j , - 半群的若干研究 量邑皇曼曼鼍量曼曼曼曼量寡曼| 量曼量曼舅曼量曼曼曼曼曼曼曼量曼皇曼鲁舅曼曼量曼曼量皇曼舅舅蔓皇皇量曼量皇吕曼蔓曼曼曼曼皇曼量曼量曼曼曼鲁鼍置曼曼黑 反之，对任意弱正则唪一半群日，且h 是s 与t 的子直积定义映射妒：s - - p ( t ) ， 暑一 t ：( s ，t ) 日) 由于h 是s 与t 的子直积，故射影 ：h _ s 为满 同态，因此对任意s s ，存在t t 使得( s ，) h ，从而亡即，即条件( c 1 ) 成 立由日是s t 的子半群，知条件( c 2 ) 成立由于日是s 与t 的子直积，故射影，2 ： 日叶t 为满同态，因此对任意t t ，存在s s ，使得( 8 ，t ) h ，即s 妒，故条 件( c 3 ) 成立又日是弱正则率一半群，故条件( ( m ) 成立综上可知妒为s 到t 的满子同 态因而h = ( st ， 3 3 弱正则扣半群的织积 定义3 3 1 若半群s ，t 有相同的同态像，且妒：s _ h ，妒：t _ h 是满同 态则称y = i i ( h ，妒，矽) = ( s ，) s t ：3 妒鼍r e 为s 与t 的关于h ，妒，妒的织积 引理3 3 2 半群s 与t 的织积y = h ( h ，妒，妒) 是s 与t 的子直积 引理3 3 3 设只t 是弱正则木半群，则直积s t 也是弱正则宰一半群 证明设s ，t 是弱正则事一半群，则对任意s ，8 1 s ，t ，l t ，存在8 ，s ；只t ，t ； t ，满足 ( s 。) = 8 ，8 8 8 = s ，( s s 8 1 8 1 ) 。= 8 1 8 1 s s ( t ) = ，t t + t = t ，( t t + t l t l ) + = t l t l + 扩 规定( s ，亡) + = ( s + ，t ，8 。s ，扩t 贝l j ( ( s ，t ) + ) 。= ( s ，矿) 。= ( ( s ) 。，( 矿) 。) = ( 8 ，) ， ( s ，) ( s ，) 4 ( s ，t ) = ( 8 8 s ，t ) = ( 8 ，) ， ( ( s ，t ) ( s ，矿( s 1 ，t 1 ) ( s i ，1 ) + ) = = = ( 8 1 ，t 1 ) ( s 1 ，t 1 ) + ( s ，t ) ( s ，t ) “三 ( s s s 1 8 1 + ，t t + t i t l 4 ) 。 | p ( s ) 上的所有正规等价关系的集合记为( p ) 反之，令p c ( s ) ，且7 r = p t r p 则 易知7 r 为p ( s ) 上的一正规等价关系，记为从 引理5 2 2 【1 1 设n = r ：a j ) 为p ( s ) 的一正规划分，则 p = ( 凸，b ) s s ：( v q i ，筇，7 j ) o r 口i ，扩r 扩昂，a 聿r d ，6 + r 矿冬只) 是s 上使得p t r # j v = 7 r 的最大正则木- 同余 引理5 2 3 设s 是拟正则木一半群，a 是c + ( s ) 的任意非空子集则 ( 1 ) p t r ( np ) = n ：p t r p ； ( 2 ) p t r ( vp ) = vp t r p 证明( 1 ) 对任意e ，p ( s ) ，有 e p t r ( np ) s e ( np ) s p a p e a 铮对于所有的p a ，e p ， 对于所有的p a ，e p t r p 甘e ( np t r p ) i p a 2 2 硕士学位论文 因此p t r ( np ) = np t r p ( 2 ) 因为p a 是s 上的木一同余，所以对任意e ，f p ( s ) ，有 ep t r ( vp ) f 铮e ( vp ) i p e ap e a 兮存在s ，p i a ，i = 1 ，2