（基础数学专业论文）非线性项不连续椭圆方程与障碍问题的研究.pdf

摘要 本文主要利用推广的m i n i 嬲x 原理研究非线性项不连续的椭圆方程和障碍问题的非 平凡解的存在性 本文分为三部分第一部分主要推广了一些i l l i i l i m 觚定理以形变引理为基础，我 们对“p h i t z 连续的这类特殊的非光滑泛函推广了一些m i n i m 双定理同时，我们对推 广的山路引理给出了一个实例，即我们讨论了方程一a 甜一砌= 厂似材) 的零边值d m c l l l 眈 问题的非平凡解的存在性，其中q 彤是有乔的光滑区域，八五d 是定义在q 冗上的 局部有界可测函数当a 和，化，) 满足适当的条件时，我们证明了上述d 矾c h l e t 问题至 少存在一个非平凡广义解在讨论的过程中，广义导数是我们研究的基本工具 第二部分，我们将推广的山路引理应用到了另一类非线性项不连续的椭圆方程的求 解问题中本文首先介绍了o r i i c 和s o b o i c v 空问中的一些相关概念及结论，然后在一类 o r l i c z s o b o l e v 空间中，我们讨论了拟线性椭圆方程一西咖( 舐i v 打1 ) v 甜) = g 化甜) 带零边值 的d 砸c 1 1 l e t 问题的非平凡解的存在性当矾s ) 和非线性项g 化，) 满足适当的条件时。我 们利用推广的山路引理证明了上述d i r i 砌e t 问题至少存在一个非平凡广义解 第三部分，我们研究了下列障碍问题的非平凡解的存在性 儿v 棚( v 一却皿+ j 0 烈咖( v 一甜冲l ，( t 村) ( v 一甜地v ，j i ： 甜足 其中，足= y 础( 卿：v 口露于啦，这里q 是r ”中有界的光滑区域在障碍杪( x ) ， 口o ) 和非线性项p 化f ) 满足适当的条件下，我们利用关于不等式的山路引理证明了上述 不等式存在非平凡解 关键词：拟线性椭圆方程；变分不等式；障碍问题；m i n i m a ) ( 原理；0 r l i c z s o b o i e v 空 问；形变引理；p s 条件 a b s t r a c t l nt l l i sp a p 玳m a i n l y 咖d yt h e 耐吼e n c eo fn o n 讲、r i a l l u t i so fe l l i 埘ce q u 砒i 谢t l ld i s c o m i 肌叩s i l l i i l 一哆锄dt h eo b s t a c l ep r d b l 锄w i t hg 朗盯a l i z e di i l j 岫m a xp 血l d p l e n i sp 印e r i sd i v i d c d i m o t l i i p a n s t 恤f i r s tp a n i sn i a i n l y 融v o 吲t o g 吼盯a l i z e m e m j n i m a 】【t h 舢s b 船i n go nt l l ed e f b 丌n 砒i l 眦i n a w eg e 咐a l i 雠i i i i n i m 娃 t h c o f e r n sf o rac h s so f s p i a lf i l n c t i o i l a l ，w i l i c hi sl i p s c l l i t zc o n t i 娜伽s a t t h e 蚴e6 m e w e g i v e0 m 柚印p i i c a t i o no f t h eg 朗e r a i i z e dm o i l l i t a i np 酗st h r 锄w b d i s c u s st l l e 喇s t e n c eo f n 呛n o m r i v i a is 0 1 u t i o ft h ee q u a t i 一厶毒f 一砌= ，( x ，甜) w i md i r i c h l e tz 哪b o u n d a r y v a l u e ，w h e r eq r ”i sab o u n d e df i e l dw i t hs m o o t hb 叫i l d a 哆( t f ) i sal o c a l l yb 咖n d e d m e a 锄豫b l ef h n c t i o nd 娟n e do nq r w bp o v e ，唧d e rp r o p 盯c o n d i t i o 船一a 卸d ( r ，f ) ，t h ea b o v ed i f i c h i e tp r o b l 锄i i a sa tl 能s ta n t “a lg e n 酬i z e d l u t i o n i l it h e p r o c c s so f t h ed i s c i l s s i o i i t h cg 蛐嘲d i z e d 黟a d i e n ti sab a s i ct 0 0 1 i i lt h es e c o n dp a 心w e g i v ea u t 狮a p p l i c a t i o f t h eg 锄e r a l i z e dm o u m a i np 勰sl 锄m a t o l v ea n o t h 盯e l l i p t i c 唧j a t i o nw i t hd i s c o n t i 加时n o n l i n e a r i t yf i r s t l y 1 】l 砖i m i o d u m e n 舐s 柚dr e i m h sr e l a t c dt ot b eo r l i c z - s 0 b o l e 、，s p e ，t h 蛐d i s c i l s st h e 喇髓朋o ft h e n o m r i v i a ls o l u t i o no f t h ee q u a t i o n 一坊v ( 口( iv 甜i ) v 甜) = g 甜) w i t hd i r i c m e t 姗b 咖d a r y v a l u ei n 觚o r l i c z s 0 b o l e vs p a c e w bp r o v e ，u n d 盯p r o p e rc o n d i t i o n 以j ) a n dn 地 n o n l i n e a r i t yg 也f ) ，t h e 曲o v ed 矾c h l e tp r o b l e mh a s 戤1 组s ta n 嫡v i 8 lg 髓e f a l i z e d s o l u t i i i lt h et l l i r dp a n ，w es t l j d yt i l ee 嫡s t e n c eo f t l l en o m r i v i a l l u t i o no f t h ef o l l o w i n go b s t l e d m b l 锄 儿v 棚( v 一雄胁也口( 功”- ( v 一甜逑乩p ( e 甜) o 一甜地v v 足 l甜足 w h e r ek = v 磁( 囝：y s 矿触嗡，qi s 柚o p 吼b 咖d e d 删d 讯群，柚di t sb 叫n d a r y i ss m 0 0 t h w ep r o v e ，u n d e rp r o p e r n d “i s t h eo b s t a d e 矿( 功，口( x ) 锄dt l l e n l i i l e a r i t y 烈f ) ，t h ea b o v e d 耐c h i e tp r o b l e ml l a san o n t r i v i a l l u t i o n k e yw o r d $ ：s e m n i n e a r 删i p t i ce q u a t i o n ；v a r i a t i o n a li n e q 柚a l 姆；o b s t a d ep m b i e m ； m i n i m 缸p r i n c i p ko r l i c 罾- s o b 0 1 ws p a c e ；d 娟口哪a t i o nl e m m a ；e s c o n d i t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：叉严驴巷日期：刀年争月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文， 本学位论文属于 l 、保密口，在 年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：叉滓荡 日期：印年，月，日 导师签名：蛐救勾 日期：加7 年争月矿日 第一章绪论 1 1 研究背景 近几十年来，对椭圆方程和障碍问题的研究日益受到重视，这是因为一方面 这些方程所涉及的大量问题来源于物理学、化学和生物学中的众多数学模型，因 而有强烈的实际应用背景另一方面，在对这些问题的研究中，对数学本身也提 出了许多挑战性的问题，从而引起愈来愈多的数学家、物理学家和生物学家的关 注 其次，求解方程是现代数学中一个永恒不变的主题相对而言，非线性项不 连续的偏微分方程在实际生活中比非线性项连续的偏微分方程在实际生活中的 应用相对而言更广与此同时，许多自由边界值问题可以简化为非线性项不连续 的偏微分方程( d n d e ) 的边界值问题( 见文献【l 3 】) ，而且将初始的偏微分方 程放在更广泛范围内讨论更方便，如非线性项不连续的偏微分方程因此，研究 非线性项不连续的椭圆方程非平凡解的存在性问题是有实际应用背景的 目前求解椭圆方程的解的存在性问题有多种方法，而变分法是其中最常用的 方法之一这种方法的主要思想是将所要求解的方程转化为一个与之相应的泛函 ( 即能量函数) ，通过讨论能量泛函的性质来研究该椭圆方程的非平凡解的存在 性也就是说我们完全可以通过讨论函数的性质来研究椭圆方程解的存在性，这 样利用我们熟悉的分析方法就可以解决某些椭圆方程解的存在性问题( 见文献 【4 2 3 ) 就非光滑泛函而言，经典的临界点理论就不适宜本文对非线性项不连 续的椭圆方程的研究我们希望能够推广光滑泛函的临界点理论来讨论非线性项 不连续的椭圆方程的零边值d i r i c i l l e t 问题的解的存在性在1 9 8 1 年，张恭庆就 一类特殊的非光滑泛函即“p s h c i t z 连续的泛函建立形变引理以来( 见【l 】) ，由此 形成和发展起来的研究方法和技巧，已经被广泛应用于上述非线性项非连续的椭 坷方程的解的存在性及类似问题的讨论中 本文主要考虑如下形式的半线性椭圆问题的广义解的存在性 也2 苁x ，u ) ，x q( 1 1 1 ) i u = o ， x 规 这里n 最。( 雄3 ) 是有界的光滑区域，沁f ) 是定义在q 月上的局部有界的 可测函数 本文分为三部分第一部分主要针对上述方程对应的能量泛函在b a n a c h 空 伺上推广建立了一些m i n i m 觚定理，我们期望能够把光滑泛函的临界点理论的一 些结果平行地推广到一类特殊的不可微泛函这部分的工作是以张恭庆针对局部 【卸s c f i i t z 连续的泛函建立的形变引理为基础的在本文中c l a r i 建立的广义 导数是我们讨论的基本研究工具同时，我们还对推广的山路引理给出了一个应 用，即将其应用到讨论下列非线性项不连续的椭圆方程边值问题非平凡解的存在 性 譬 山= n 他， i _ ， l u = o ， x a q 这里q ( _ ，3 ) 是有界的光滑区域，( 墨力是局部有雾的可测函数，其具 体实现过程为将上述问题转化为在s o b o l e v 空间：( q ) 中寻求下列能量泛函的 非零临界点 j r ) = 三l ( iv 打f 2 + 五2 沙一f ( 盯诲， 日：( q ) ( 1 1 3 ) 其中f 似f ) = f ，( x ，s ) 凼是，( x ，f ) 的原函数 令化f 。) 2 ，躲。伽i n f 飑力，( t 岛) 2 | f 埭。缀s 印以薯加它们分别 j 0j _ 0 是 f ) 在，( x ，f 。) 处的本质下确界和本质上确界，那么据文献m a e ( l ，) = l 厂( x ，) ，j r ( x ，) 】问题( 1 1 2 ) 一般没有非平凡解，但当甜。为泛函， ) 的一个临界点时，有 一舰+ 砜叫x ，) ，( 圳o ) 】， 此时我们称。是问题( 1 1 2 ) 的广义解 第二部分，我们在一个o r l i c z s o b o l e v 空间中利用推广的山路引理讨论了下 述拟线性椭圆方程的广义解的存在性 一西”o ( f v ( 砷) v 甜( x ) ) 2 9 ( 甜( x ) ) ，x q( 1 1 4 ) 【甜= o ， x m 在文献【1 9 2 3 ，1 7 冲，、) l ，i l i e n 和r a b i n o w i t z 等人利用山路引理考虑了半线性的情 况，即口( 力；l ，基于下列基本假设 ( 1 ) g “f ) 关于( x ，f ) 满足c a r a t h e o d a r y 条件，即g ( t f ) 作为x 的函数是可测 的，而作为f 的函数在q 上几乎处处连续存在g q 2 ) ，c o 使得 i g ( ，f ) l c ( 1 + lr l 叮- 1 ) x q ， f r ， 其中2 ：旦。疗3 ： ( 2 ) 极限l i m 鲫p 型盟 2 ，f 。 0 使得 0 f 0a e x q ， 2 其中讯，) ：= f 烈e 5 ) 凼。 在文献【2 1 】和【2 6 】中，c l e 蛐斌、g a r c 协h u i d o b m 、m 锄弱e v i c h 和s c l i i m i n 与k l 分别把半线性推广到拟线性烈s ) = 口( i s i p 的情况，而烈s ) 是尺到自身 的奇递增同胚映射，但同时要求g “f ) 关于 f ) 也满足c 删b e o d a r y 条件 由于前面对局部l i p h 娩连续这类特殊的非光滑泛函也建立了山路引理， 故我们希望能利用类似的方法来讨论上述模型当非线性项g 瓴，) 只是局部有界 可测函数的情况而在o r l i c z - s o b o i e v 空间中讨论上述拟线性椭圆方程解的思想 源于文献【1 3 ，2 6 】给予的启示，作者a e m e i i t 等与k l 、，分别于2 0 0 0 年与2 0 0 1 年讨论了非线性项颤t f ) 关于o ，f ) 满足c a r a t h d a r y 条件情况当口( f ) ，g 瓴f ) 满足适当的假设条件时，本文证明了上述椭圆方程的零边值d i r i c h l e 闯题在 o r n c z s o b o l e v 空间叼k ( 固( 后面我们将给出定义) 中存在非平凡解在本文 中，我们对口( f ) 与g ( x ，f ) 的限制条件较【1 3 ，1 9 2 3 ，2 6 2 8 】更具一般性 问题( 1 1 4 ) 所对应的能量泛函为 ， ) = l m ( iv 甜( 力i ) 矗一j ：】g ( 薯打( r ) ) 出， ( 1 1 5 ) 其中g 阮甜) = r g s ) 西是g 阮f ) 的原函数，o o ) = r ( f ) 硪为( o 的原函数， 而烈s ) 定义如下 = 删扣蓑鬻 其中邢) 满足应当的条件，使得认d 是r 到自身的递增奇同胚映射那么 在d 啦僻8 ) 的范数下的闭包 设泛函，在点x z 处局部嗣即曲汜连续， ，x ，则厂o d 表示泛函，在 工点处v 方向的广义方向导数矽( 功表示泛函，在z 点的广义导数，有时也表示 在z 点处的次微分 另外，我们定义三个特殊的集合如下 4 = x y l ，( 工) c ) ； j 己= x x i 口e a ，( 卫) ，( x ) = c ) ； 嚣( c ，s ，万) = 丸；一丸；一m ( 艺) 这里，似) 是定义在z 上的局部垂娥厮红连续泛函，c r 是常数，以( 回表示集 合s 的万邻域 令 曰4 ：= ( x 尺：i x i s i s ”- 1 ：= x r “：i x i = l 其中f f 表示欧氏范数 1 3 预备知识 众所周知，微积分在变分方法中有重要的作用在研究非光滑泛函的临界点 理论的过程中，广义导数( 见【2 4 】) 是我们讨论问题的基本工具我们在本节中 首先将介绍广义导数的一些性质，接着介绍了其它一些基本概念和引理 定义1 3 1 m 称，：z _ 只为局部三珈渤地连续，若对任意的x x ，存在 邻域( 工) 及常数量 o ，使得 i 厂0 ，) 一，( z ) i s 足f y 一工i ，b 弘工， 显然l i p s c l l i t z 连续泛函是几乎处处可微的 定义1 3 2 “1 设泛函，：z _ 尺在给定点x 局部l i p l l i t z 连续，v 是x 中其 s 它任意的一个向量，那么称极限 o ( 墨v ) = 脚s u p 业竿丛 f 山o 为，在x 点1 ，方向的广义方向导数，其中y x 广义方向导数具有下列性质 性质 ( 1 ) 泛函v h ，o ( x ；v ) 定义在x 中是有限的，次可加且是正齐次的，并且是 凸的； 。( 2 ) i 厂o ( e d 喀置 lv0 ，其中k 是l i p s c 眦z 常数， ( 3 ) 作为v 的泛函，o ( x ；v ) 是连续的更迸一步，。( x ；v ) 是上是阶为足 的l i p s c i i i t z 连续的； ( 4 ) 泛函( x ，v ) 一，o ( x ；v ) 是上半连续的； ( 5 ) ，o ( x ；一v ) = ( 一，) o ( x ；v ) 由泛函分析的知识，胁一及删定理保证了x 空间上的任意正齐次、次 可加的泛函确定了x 上的一些线性泛函根据广义方向导数的上述性质，下面 的定义是有意义的 定义1 3 3 圳泛函j r 在x 点的广义导数记为可( x ) ，是x 的子集定义为 孝工：，o ( x ；力 v v x ) 广义导数可( z ) 具有如下基本性质( 见 2 4 】) 性质 ( 1 ) 对任意的r x ，钞( 簟) 是x 上非空的并且是弱+ 紧的凸子集； ( 2 ) 对任意的v x ，有 厂o ( x ；v ) = r n a x ，孝可( x ) ) ； ( 3 对任意的孝形( 砖，f | 孝s x ； ( 4 ) 善够( 功当且仅当对任意的v x ，有，o ( x ；v ) ； ( 5 ) 设j r ，g ：z r 为局部三删舷连续，那么盯+ 苫) c 钞( 功+ 霹( 功； ( 6 ) 对所有的a r ，a ( 五，) o ) = 五o ) ； 6 ( 7 ) 如果泛函是凸的，那么在凸分析意义下矽( 砷和的次微分相同； ( 8 ) 设( 毛器和坛准，分别是j 和x 中的序列，使得专矽( ) 若墨收敛到 x ，于是专弱+ 拓扑下的聚点，那么善识d ( 也就是说矽 ) 是弱+ 闭的) ； ( 9 ) 集值映射x h ，( x ) 是上半连续的，即对任意的x ，v 占 0 ， ，石， 存在占 o ，对忙一l i 万，善形( d ，那么存在磊可( 而) 使得 i i g ； ( 1 0 ) 设妒( f ) c 1 ( 【0 ，l 】z ) ，：x 一只是局部l i p h 妇连续泛函，那么 而= j ，。在【o ，1 】上几乎处处可微，并且 o ) m a x ，善可( 烈f ) ) ； 口0 ( 或， o ， 存在氖； o 满足 五( 功6 f 譬口( c ，瓦6 ) 引理1 3 2 州设，在自反的b 蛐h 空问x 上满足p s 条件，那么存在定义 在烈b - 6 ) 上的局部n p 础d t z 向量域1 ，( 力满足 jjy 【功l j l ， x + m ) 丢6 ，垤+ 可( 班 引理1 3 3 【1 1 设o 占 o ，使得 ，7 ( 功= 仇 ，f o ) ，其中哺“f ) 满足引理1 3 3 中的条件 定义1 3 6 【”1 称连续映射，是拓扑空间x 到其子空间】，的一个收缩，是指 对任意y y ，有，= y 引理1 3 5 【卅彤中的单位闭球不存在到其球面s “的收缩 注1 3 1 有限维空间中的任意球都木存在到其球面的收缩 引理1 3 6 t 硐( s o b o k ：v 嵌入定理) 设q c 彤，下面的嵌入是连续的 口：( r d c ， 2 p a o ，月= l ，2 ； 月：( q 口c ( r d ，2 s ，2 ， 露3 ； 讲2 ( q ) c r ，刀3 引理1 3 7 ( r e u i c h 嵌入定理) ”1 如果i q i ，则下列嵌入 职( q ) 一p ( q ) ，l p 2 。 是紧的 推论f 3 8 l ”1 若i q i ，则常数 ( q ) 2 购i l v 眵o i - _ = l 可达到 注1 3 2 易知域( 锄c 或。( 国 注1 3 3 若l q i ，若下面两个条件同时 成立 ( 1 ) 毒2 噼，伽) ，( o ) ， ( 2 ) 6 ，劬 令r ：= ( ，c ( 【o u x ) ：双o ) = o ，o ) = f ) ，则c 2 曾! 耥7 ( 巾) ) 是，“) 的一个临 界值，即， ) 在x 上至少存在一个非零的临界点 证明下面我们将用反证法证明定理的结论 如果c 不是泛函， ) 豹临界值根据临界值的定义1 3 4 知，疋是空集由 定理的假设条件( i ) 和( 2 ) ，存在常数 电使得 j 0 ) 占 o ( 其中占 乇，而乇是 l l m l 瑚 。 引理1 3 4 的注解中的常数) ，存在x ，满足i | l l 三一万，是泛函，似) 在z 上 的临界点，且，0 ) = c 证明同上面的定理一样，我们采用反证法证明定理的结论 设c 不是泛函7 留) 在x 上的临界值，郎是空集据形变引理1 3 ，4 知，对 任意给定的常数毛 o 及集合e 的任意邻域，存在占( o 岛) 和同胚映射 野：x 专x 满足下列包含关系 ，7 ( 以，i 柳c 丸。( 2 1 5 ) 由于疋是空集，取= x 1 曰( o ) ，其中b ( o ，) 表示z 中以原点为圆心三为半径 的球根据c 的定义，如。是无界的可以选择足够大的， o ，使得 以，占( o ，) 由引理1 3 4 的说明知，7 ( 功= o ，f o ) ，而且泛函， ) 关于编似f o ) 是 非增的由( 2 1 5 ) 可知 研( 4 。i ，f o ) c 4 ，。 ( 2 1 6 ) 若令( 如。) 自= 伽x ：撤 ，以。) 一j ，使得“是泛函， ) 在j 上的临界点， 且，伽) = c 证毕 推论2 1 3 设x 是自反的b 柚h 空间，：x _ r 局部l i p i i i t z 连续，满 足户s 条件，有下界设c 是任意的有限数，若存在六部( ) ，满足0 厶斗o ， ，0 。) 一c 蕴含甜。有界，那么当0 甜。i i 一时，有，帆) 一 证明反设定理的结论不成立，那么c = i 妇i i l f ，0 ) r 由定理2 1 2 的结 n 论知，c 是，似) 的一个临界值更进一步，存在甜。x ，且i l 。i h m ，满足 ，o ) _ c 存在a ，“) ，有0 六0 0 另一方面，由定理的已知条件，上面的论证结果蕴涵甜。是有界的，这与 i i 甜。i 卜m 的假设矛盾，因此定理的结论成立证毕 下面的定理是推广的s 锄d l e 定理 定理2 1 4 假定x 是自反的b a n a c h 空间，：x 一尺局部l i p s c h i t z 连续， j 蔺足p s 条件z = 五+ 五，且墨是有限维的如果存在常数6 i 6 2 及五中的 以原点为圆心p 为半径的球n 满足 i l i f ，k = 如， ( 2 1 8 ) 且 ，k 4 ( 2 1 9 ) 令m = ，r = ，c ( m ，x ) ：，b = 耐) ，则c = i 蟥m 臀，( ，( ”) ) 是泛函， ) 在上 旭lh e 肘 的临界值 证明首先我们将证明也c 也就是说，需要证明对任意的y r ，有 “m ) n z o 令p 表示到置上的投影，使得p ( 五) = o 若存在，r ，使得 八m ) n 五= 9 ，由于o 置，则。垡，似) ，因此映射 一p 揣 是m 到a 的一个连续映射对任意的“。a ，j p y ( ”。) = p ( ) = 甜。又由于 l | l | = p ，故吠) = ，即妒k = 科，p 是闭球m 到其边界a 的一个收缩映射， 这是矛盾的因为搠( x ) o d ，由注解1 3 1 知，有限维空间的任意的闭球都 不存在到其球面的收缩因此，对任意的，r ，有“m ) n 五o 换言之，不 等式6 2 c 成立从而对任意的y r ，有 1 罂警( 抛) ) 吃 # “ 一 若c 不是， ) 的临界值，即e = g 选择岛= 学，据形变引理1 3 4 知， 任意选择一个非空的集合，存在占( 0 ，毛) 和同胚映射玎：x 斗x 满足形变引理中 的条件对任意的a ，有y ) a ，由( 2 1 9 ) 式有 附( ”= 地硒半妒岛 故 ， o ) 仨4 + 自一4 ， 由引理1 3 4 中，7 的性质( 1 ) 知，7 ( ，( ) ) = 叩瓯) ，则叩。，k = 耐易知 ，7 。，c ，x ) ，因此叩。，r 由下确界的定义，存在歹r ，满足 1 4 呀7 。八”) c + s 另一方面，据玎的性质( 3 ) 知 ，( 叩6 - ( 甜”) c s 这与歹r 矛盾，因此c 是， ) 的临乔值证毕 定理2 1 5 设x = 五+ 置是一个b a n a c h 空间，搠( 墨) 口2 麟7 ( ) ， ( 2 1 1 3 ) 令r = y c ( m ，柳：y k = 耐) ，则c = 鳟1 搿7 ( ，伽) ) 是泛函， ) 在x 上的一个 临界值 证明对任意的，r ，我们断言“m ) n o 否则，令p 表示到五上的 投影，使得p ( 五) = ( o ) ，尺是五0 ( 见i z ) 到肘。的一个收缩定义映射9 如下 妒：搿卜只( p ( ，( ) ) + l l ( 耐一d ，( 甜) 0 ，_ 1 z ) 易知伊是m 到眠的一个连续映射对于任意的 坻，有 9 ，伽) = 月( 尸( ，似) ) + 0 ( 耐一尸耖 ) l i y 1 z ) = 尺( p ( ， ) ) ) = 因此矿是m 到 厶的一个收缩由引理1 3 5 的注解知这是矛盾的，因此我们的 断言成立 其次，对任意的，r ，有酱，( 巾) ) 赠， ) = 6 ，故c 6 若c 不是， ) 的临界值，即兄= g ，选择岛= 2 手由于疋= a ，故我们可以任意选择个非 空的集合，对给定的毛和，存在e ( o ，岛) 和同胚映射，7 ：x x 满足形变 引理中的结论对任意的，有y ) 坛，由( 2 1 1 3 ) 有 1 5 ，o ，( 互，o ) ) = ，( ) 口s 口+ 岛c 一岛= c 一岛 因此，( 打。) 仨以自一4 一日，故有玎( ，) ) = ，从而，7 。，k = 埘由下确界的定义 知，存在歹r 满足 另一方面，据玎的性质知 翼努7 。，( 材) s c + 占 ，( 叩( - ( “) ) ) c 一占 这与歹r 矛盾因此c 是，( ) 的临界值证毕 2 2 推广山路引理的应用 在本节中，我们将给出推广的山路引理在非线性项不连续的椭圆方程的求解 问题中的一个应用 考虑下列边值问题的非平凡解的存在性 ：等扯八删：岩 吲， 这里q 是彤中的一个有界开区域( x ，) 是定义在q 尺上的局部有界可测函 数，满足下列增长性条件 i 厂( 墨f ) i q + 岛i ，r ，( 2 2 2 ) 其中q ，吒 o ( 待定) ，o 一丑，则 ( 2 ，2 3 ) 式中所定义的泛函 ) 在叫( q ) 中满足p s 条件 i 6 证明由于名 一 ，选择6 = l + m i n ( o 和，则 l l v 甜l 嗟+ 名0 甜0 ；6 v i 因此，我们可以在职( 囝上定义等价范数。甜i = 撕乔i 正i 而面为了书写方 便，我们不妨定义算子 ：= 如v 材肥+ 五如甜n 则三是日：( 固上的自伴算子令地) = f ( x ，打) 出，由( 2 2 2 ) 式，化f ) 满足 的增长性条件，有 i 栩卜| i ，o ) l - j l r “，f 瑚滤一l r ，似f ) 翻臆i = | 0 殿，( 墨f 础i 0 i 殿，( 彬矽l 凼 ( q ( 咧q ) ) 矗+ 口2 黔i l w i i 妻- ) i f 甜一v i i 叶。 其中u 是上，1 ( q ) 中以和v 为内点的闭球，因此联批) 在上，1 中局部l 砸鲇h 砣连 续，从而| j j ( 甜) 在硝( q ) 局部l i p h i t z 连续，而， ) 也在日：( q ) 中局部l i p h 娩 连续且 ij ) h l c 厂( 而f ) 如矗i l i r “，o ，f ) 击i d k 0 r q + 矿抛 s q ( 肼帮( q ) ) 矗i i 打吣+ + ；2 _ i i 却i i ： 口+ i 又由( 2 2 4 ) 式知 1 砌) 悟q 码( 嬲( q ) ) 矗l | ”o + ! 罕。甜l i 一- 仃+ l 令c = m 强( q 码( 胧s ) 南，乞翁，即有 i 朋缸) i c ( 甜+ | | i r r “) ( 2 2 5 ) 下砸我们将证明，似) 在满足p s 条件 设f 封) ：c 职( r d ，d 是正常数，满足i ，( “。) i d ，且a 。) 一o 当n 充分 1 7 大时，存在动 。) ，满足 i 园l “， 从而 一| | “。0 “1 ( 2 2 6 ) 利用( 2 2 6 ) 式，有 d + l + | l i 陋，( 甜。) 一c j ( ) + c f f 。 f “ = 皇k 巾一 ( ) + c i k i p l 二 1 ，2 _ c 嘲l 二 因此，甜。在职( q ) 中有界当1 q i m 时，由联( q ) 在r “的稠密性，且 h ：( q ) c f “是紧嵌入，利用定理4 3 的结论可得，h 。在联( q ) 中存在收敛的 子序列从而泛函，( ) 在硪( q ) 中满足p s 条件证毕 接下来，我们将利用推广的山路引理来证明零边值d i r i c h l e t 问题( 2 2 1 ) 在适当条件下存在非平凡解 定理2 2 2 设定理2 2 1 中的条件成立，当怕0 _ o 。时，坝“) 时，那么 ( 2 2 3 ) 中定义的泛函， ) 在联( q ) 中至少存在一个非平凡解 证明因7 ( o ) = o ，当o 玎l 时，容易验证， ) 满足定理2 1 1 中的两个几 何条件，此时， ) 在砩( 哟中至少存在一个非平凡解 下面我们将验证当1 仃 景笔时， ) 满足定理2 1 1 中的几何条件， 由 ， ) 的条件和( 2 2 5 ) 式有 ， ) = 扣训2 勘 ) 扣训2 c _ c ” 若肛 o = ，( o ) 当怕0 一m 时，联“) _ m ，存在 t 8 穰( q ) 满足归胗肘( m 充分大) ，有，o b ) o ，硇此j ) 满足定理2 1 1 牛 的几何条件故，似) 在础( 【d 中至少存在一个非平凡解 综上，当o o ，l i m 口( f ) = ； ( 2 ) 口( f ) 非减，即s f o 蕴涵以曲口( f ) ： ( 3 ) 烈f ) 右连续，即若，o ，则i 啦) ：口( f ) 则由爿) = r 口o ) 凼定义的f o m ) 上的实值函数称为一函数 给定满足( 1 ) 一( 3 ) 的口o ) ，我们定义敏f ) = s u p f 不难验证这样定义的二 d ( i ) 臼 也满足( 1 ) 一( 3 ) 的条件 我们引入下面的定义 定义3 1 2 由a ( f ) = j ：口( s ) 凼，彳o ) = r 氲s ) 凼给定的 ，一函数称为互补 的，每一个称为另一个的补( 一函数) 下面的定义说明了两个一函数间的一些偏序关系 定义3 1 3 汹1 着彳和占是两个一函数，称曰全局控制4 ，只要存在一个 2 0 正常数| | 使得一( f ) 占 ) 对所有f 2 0 成立称艿在无穷远处控制4 ，若存在正常 数i | 和f o o ，使得上述不等式对所有的f 毛成立 两个一函数4 和b 称为是全局( 或在无穷远附近) 等价的，若其中每一个 全局( 或在无穷远跗近) 控制另一个， 定义3 1 4 嗍若曰在无穷远处控制一，而4 和占不是在无穷远处附近等价 的，说彳本质上在无穷远处附近增加慢于丑当且仅当对于每一个| 0 ，有极限 ! 受哿= o 上述定义等价于对任意的j | o ，有极限! 鳃器= o 成立 定义3 1 5 例一个一函数4 被说成满足全