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中文摘要 一类由差分方程定义的正交多项式的渐近研究 摘要 本文主要研究了一类由差分方程定义的正交多项式的渐近性质，内容包括： 广义p o l l a c z e k 正交多项式及其零点的渐近性质，两个不同的单位圆上的正交多 项式序列的组合仍是单位圆上的正交多项式序列的一个充分必要条件，以及由差 分方程定义的复正交多项式( 其定义参看( 1 1 8 ) ) 的渐近零点分布本文共分为六 章 第一章简单地给出渐近分析的历史背景及一些基本知识，包括基本的定义， 正交多项式和特殊函数r y 函数的一些性质，以及一些经典渐近分析方法的简 单介绍 第二章我们引入由下面差分方程所定义的多项式 ( n + 1 ) 只1 1 ( z ；a ，b ) = 2k ( 扎+ a + o ) + 6 】焉( z ；a ，b ) 一( n + 2 a 一1 ) 只1 1 ( z ；a ，6 ) ， n = 1 ，2 ， ( 1 ) 初始条件为 户岔( z ；a ，b ) = 1 ，尸p ( z ；n ，b ) = 2 z ( a + a ) + 2 b 当a i b i ，入 0 时，由( 1 ) 所定义的多项式是通常意义下的p o l l a c z e k 正交多项 式，其权函数的支集是区间 一1 ，1 】而在别的情况下，比如b 0 且a b ，此时由 ( 1 ) 所定义的多项式称为广义p o l l a c z e k 正交多项式，其权函数的支集是由连续部 分【一1 ，1 】和离散部分( 可数点集) 组成所以从权函数的支集来看，广义p o l l a c z e k 正交多项式与通常意义下的p o l l a c z e k 正交多项式的性质会有所不同但令人惊 讶的是在此之前，广义p o l l a c z e k 正交多项式的研究并不多 首先，不失一般性，我们从差分方程( 1 ) 的一个特殊情况( a = 1 ，a = 0 ，b = - b ，b 0 ) 出发，得出r ( z ) 的积分表达式然后，利用积分法求出r ( z ) 在整 个实轴上的一致渐近展开，特别地，在关键点风一1 + 皇+ 处的一致处理 是从未遇到过的一种新情况最后，利用r ( z ) 的渐近结果得出其极端零点和 q n ，风附近零点的渐近展开，并用表格给出了在关键点q n ，风，z 1 = 们了萨， 和x 2 = v 1 + b 2 4 附近r ( z ) 的零点的真实值与渐近值的比较 中文摘要 第三章直接从差分方程出发，我们首先得到了r ( z ) 在区间f 一1 ，1 1 和区域 c 一1 ，1 】内的紧子集上的一致渐近展开，然后详细分析了在关键点a n ，风处 r ( z ) 的一致渐近展开我们得到的结果与第二章的结果吻合，从而在某种程度 上说明了从积分和差分方程两个不同出发点所得出的结果的一致性和统一性 第四章，我们的主要动机是用r i e m a n n h i l b e r t ( 简写为r h ) 方法得出r ( z ) 的渐近展开，这里出现的新情况是权函数叫向) 是由区间f 一1 ，1 1 和点集z n = 、1 + b ：n 2 ，n = 1 ，2 ，组成据我们所知，这种情况的r h 问题的研究还没有 出现首先，我们选择一个简单的例子，即权函数的支集是s ( u ) = 一1 ，1 】u f 2 的 情况目的是阐释整个分析的过程及找出其与权函数支集是s ( u ) = 一l ，1 1 这种 情况的不同之处然后给出r ( z ) 的r h 问题刻划，但整个问题的分析还要继续 探讨这是因为虽然我们已经知道在o l n ，尻处的拟基本解涉及到a i r y 函数，但 是，怎样求出平衡测度和怎样进行变换仍然是一个有待解决的问题这也是作者 在未来的工作中将要考虑的问题之一 第五章给出组合a p n ( x ) + b q n ( x ) 仍是单位圆上正交多项式的充分必要条 件，其中p 竹( z ) ，q n ( x ) 都是单位圆上的不同正交多项式序列，他们的权函数都 是定义在单位圆上的正波雷尔测度 第六章给出由差分方程所定义的复正交多项式的渐近零点分布，利用得到的 结论，我们先给出一些前人通过其他方法所得山的结果，比如含有非标准参数的 j a c o b i ，l a g u e r r e 多项式的渐近零点分布然后给出一些新的结果 关键词：正交多项式，正交测度，差分方程，渐近零点分布，r h 方法，一致渐近 一h 一 o nt h ea s y m p t o t i c so fac l a s so fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s d e f i n e dv i aad i f f e r e n c ee q u a t i o n h o n g y o n gw a n g ( p u r em a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry u q i uz h a o i nt h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i c so fac l a s so f o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sd e f i n e dv i aad i f f e r e n c ee q u a t i o n f i r s t l y , w ee l a b o r a t et h eu n i f o r m a s y m p t o t i c s o ft h es i e v e dp o l l a c z e kp o l y n o m i a l s ，a sa na p p l i c a t i o no fw h i c ht h ea s y m p t o t i ca p p r o x i m a t i o n so ft h ez e r o so ft h ep o l y n o m i a l sa l eg i v e n s e c o n d l y , w ep r o v i d es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h ec o m b i n a t i o no ft w od i f f e r e n ts e t so fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l so nt h eu n i tc i r c l er e m a i n st ob eo r t h o g o n a lo nt h eu n i tc i r c l e a n df i n a l l yt h e a s y m p t o t i cz e r od i s t r i b u t i o no fc o m p l e xo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ( ( 1 18 ) ) d e f i n e db ya d i f f e r e n c ee q u a t i o ni so b t a i n e d t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eh i s t o r ya n ds o m eb a s i ck n o w l e d g eo ft h e a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，i n c l u d i n gs o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ，p r o p e r t i e so fo r t h o g o n a lp o l y n o - m i a l sa n da i r yf u n c t i o n ，a n ds o m ec l a s s i c a lm e t h o d so f a s y m p t o t i c s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eas e to f p o l y n o m i a l sd e f i n e db yt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n c e e q u a t i o n ( 扎+ 1 ) 只1 1 ( z ；口，6 ) = 2p ( n + 入+ 口) + 6 】磁( z ；n ，6 ) 一( 佗+ 2 a 一1 ) 只1 1 ( z ；n ，6 ) ， 钆= 1 ，2 ， ( 2 ) w i t hi n i t i a ic o n d i t i o n s 硪( z ；o ，b ) = 1 ，辟( 2 ；a ，b ) = 2 z ( a + a ) + 2 b w h e na | 6 | a 0 ，t h ep o l y n o m i a l sd e f i n e db y ( 2 ) a l et h ec l a s s i cp o l l a c z e ko r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，t h es u p p o r to ft h ew e i g h tf u n c t i o ni s 【- 1 ，l 】b u ti no t h e rc a s e s ，f o r e x a m p l e ，a sb 0a n dasb ，t h ep o l y n o m i a l sd e f i n e db y ( 2 ) ，c a l l e ds i e v e dp o l l a c z e k o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，p o s s e s sa no r t h o g o n a lm e a s u r ec o n s i s t i n go faw e i g h ts u p - p o r t e do n 【 1 ，1 】a n dad i s c r e t ep a r t ( c o u n t a b l ep o i n t ss e t ) s oi nv i e wo ft h es u p p o r t 。i i i 英文摘要 o ft h ew e i g h tf u n c t i o n ，t h ep r o p e r t i e so ft h es i e v e dp o l l a c z e ko r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s m i g h tb ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo fc l a s s i c a lp o l l a c z e ko r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s b u ts u r - p r i s i n g l y , t h e r ei sf e w r e s e a r c ho nt h ea s y m p t o t i c so ft h es i e v e dp o l l a c z e ko r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s f i r s t ，w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y , w es t u d yt h ep o l y n o m i a l sr ( z ) d e f i n e db yt h e d i f f e r e n c ee q u a t i o n ( 2 ) w i t h 入= l ，n = 0 ，b - - b ，a n db 0 w e f i r s td e r i v et h e i n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fr ( z ) f r o m ( 2 ) ，a n dn e x t ，w ea p p l yt h ei n t e g r a lm e t h o d st o g e tt h eu n i f o r ma s y m p t o t i c so fr ( z ) ，s p e c i a l l yt h eu n i f o r mt r e a t m e n tn e a rt h et u r n i n g p o i n t s 尻一1 + 鲁+ a n d 风一1 + 鲁+ i s n e w f r o mt h ea s y m p t o t i cr e s u l t so f r ( z ) ，w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o n so ft h ee x t r e m ez e r o sa n dt h ez e r o sn e a rq n ， 风f i n a l l y , t h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h et r u ev a l u e sa n dt h ea s y m p t o t i cv a l u e so ft h e z e r o sn e a rt h ec r i t i c a lp o i n t so t n ，尻，x l = 1 + 6 2 ，a n dz 2 = 1 + b 2 4a r eg i v e n i nc h a p t e r3 ，w es t a r to u ra n a l y s i sf r o mt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o nd i r e c t l y w ef i r s t e s t a b l i s ht h eu n i f o r ma s y m p t o t i c so fr ( z ) i nt h ec o m p a c ts u b s e t so f 一1 ，1 】a n dc 【一1 ，1 】n e x t ，w ee l a b o r a t et h eu n i f o r ma s y m p t o t i c so fr ( z ) a tt u r n i n gp o i n t so t na n d 风t h er e s u l t sw eo b t a i n e di sc o n s i s t e n tw i t hw h a ti nc h a p t e r2 ，s o ，i tc o n f i r m st o s o m ee x t e n tt h ec o n s i s t e n c ya n du n i f i c a t i o no ft h ea s y m p t o t i cr e s u l t so b t a i n e df r o m i n t e g r a lp r e s e n t a t i o na n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n 、 i nc h a p t e r4 ，o u rm a i nm o t i v a t i o ni st og e tt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no fr ( z ) v i a t h er i e m a n n - h i l b e r t ( a b b r e v i a t ei tb yr - h ) m e t h o d i nt h i sc a s e ，t h es u p p o r to ft h e w e i g h tf u n c t i o nw ( x ) c o n s i s t so f - 1 ，1 】a n dp o i n ts e tz n = x 1 + b 2 1 n 2 ，1 1 , = 1 ，2 ， w h i c hs e e m st oh a v en o tb e e ns t u d i e db e f o r et ot h eb e s to fo u r k n o w l e d g e f i r s t ，b ya s i m p l ee x a m p l e ，i nw h i c ht h es u p p o r to ft h ew e i g h tf u n c t i o ni ss ( p ) = 【- 1 ，1 】u 2 ) ， w ee l a b o r a t et h ep r o c e s sa n df o c u so nt h ed i f f e r e n c ef r o mt h ec a s es ( u ) = 一1 ，1 】 n e x t ，w eg i v et h ef o r m u l a t i o no ft h er - h p r o b l e mo fr ( z ) a l t h o u g hw eh a v ek n o w n t h a tt h ep a r a m e t r i c e sn e a ro t n ，风a r er e l a t e dt ot h ea i r yf u n c t i o n ，h o wt og e tt h e e q u i - l i b r i u mm e a s u r ea n dm a k et r a n s f o r m a t i o na r en e e d e dt ob ei n v e s t i g a t e d a n dt h i si s o n eo ft h ep r o b l e mt h a tw ew i l lc o n s i d e ri naf u r t h e rp a p e r i nc h a p t e r5 ，w eg i v et h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n ss u c ht h a tt h ec o m b i n a t i o na p n ( x ) + b q ( x ) r e m a i n st ob eo r t h o g o n a lo nt h eu n i tc i r c l e ，w h e r e ( z ) ， g n ( z ) ) a r ed i f f e r e n ts e q u e n c e so fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l so nt h eu n i tc i r c l e t h e i r w e i g h tf u n c t i o na r ep o s i t i v eb o r e lm e a s u r eo nt h eu n i tc i r c l e i nc h a p t e r6 ，w ep r o v i d et h ea s y m p t o t i cz e r o sd i s t r i b u t i o n so ft h ec o m p l e xo r - t h o g o n a lp o l y n o m i a l sw h i c ha r ed e f i n e db yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s b yu s eo ft h er e s u l t s i v 英文摘要 o b t a i n e di nt h i sc h a p t e r , w ed e r i v et h ea s y m p t o t i cz e r od i s t r i b u t i o n so ft h ej a c o b ia n d t h el a g u e r r ep o l y n o m i a l sh a v i n gn o n - s t a n d a r dp a r a m e t e r s a n dw ea l s og i v es o m en e w r e s u l t s k e yw o r d s ：o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，m e a s u r eo fo r t h o g o n a l i t y , d i f f e r e n c ee q u a t i o n ， a s y m p t o t i cz e r o sd i s t r i b u t i o n ，u n i f o r ma s y m p t o t i c s 一v 一 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：曼；? 岛 日期：如f o 年6 月弓日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或 其他方法保存学位论文 学位论文作者签名：五亏7 毫 日期：洳i o 年月弓日 翩签名杰洛t 日期：2 , o l o 年6 月中e l 第一章绪论 1 1 渐近分析的历史背景 第一章绪论 十八世纪初，人们已经开始注意到级数有收敛和发散之别到了十九世纪，由于分析 中注入了严密化，数学家们就不敢再使用稍不严格的理论，他们逐步接受了发散级数的 禁令，并把它们弃于合法的数学之外但是，我们将通过下面的具体例子来说明，发散级 数实际上是有用的 比如说，要计算零阶b e s s e l 函数而( z ) 的值，我们可以用幂级数方法求和，即 o o ，2 竹 而( z ) = n = 0 ( 一1 ) n 薪砰 = l 一丢z 2 + 击z 4 一丽1z 6 + 志z 8 虽然上面级数的收敛半径为o o ，但对于较大的z ，该交错级数收敛得非常缓慢对于 z = 4 ，前三项逐渐增大，看起来像个发散级数为了准确到三位有效数字，至少要计算八 项，而( 4 ) = - 0 3 9 7 另一方面，对于大的z ，我们可以 j 如下的渐近级数来进行计算： 坼) ( 争2 【( 1 一瓣+ 器) c o 啦+ 扣 + c 去一器+ 器沁出一轫 - ( 去) l 2 ( 1 一志+ 嘉) c o s ( z 一五1 丌) 。，1 7 5 5 9 5 3 5 1 、， + ( 菘一1 0 2 4 x 3 + 2 6 2 1 4 4 x 5 一) s i n ( z 一石丌) 】， 其中，( 2 扎一1 ) ! ! = 1 3 5 ( 2 n 一1 ) ，为了准确到三位有效数字，只要取一项就足够了 所以到了十九世纪末，人们又重新对这些发散级数加以研究正如p o i n c a r 6 所描述 的一样“在这个世纪初已认为要断然从严密数学中驱逐出去的那些级数，在这个世纪末 又重敲接纳之门，这确实是我们科学的一个奇怪的变迁”在当时。p o i n c a r 6 和s t i e l t j e s 同时独立地建立了渐近级数的理论在这里，我们主要叙述在p o i n c a r 6 意义下的渐近级 数( a s y m p t o t i c s ) 的相关定义( 以上内容来自【2 9 1 ) 1 2 基本概念和定义 1 2 基本概念和定义 为了叙述方便，我们首先来规定量阶记号大o 和小o 的意义 2 9 1 ： 定义1 1 设西( z ) ，( z ) 是定义在q 上的两个函数如果存在某个常数a ，使对q 某个内点z o 的邻域u 内的所有z ，满足 西( z ) i a l 莎( x ) l ， 或者 撬俐= a i 我们称函数壬( z ) 至多与西( z ) 同阶，并记为 西( z ) = d ( ( z ) ) ，z _ x 0 定义1 2 设圣( z ) ，砂( z ) 是定义在q 上的两个函数对于任一 0 ，q 某个内点x o 总有一个邻域以存在，使所有z 以满足 或者 圣( z ) i e l 咖( z ) i ， 撬俐- o 我们称函数西( z ) 在z x 0 时，是函数0 ) 的高阶小量，并记为 圣( z ) = d ( ( z ) ) ， z - 斗x 0 定义1 3 ( 3 8 ，p p 1 6 】) 设，( z ) 是实或复变量z 的函数，e 墨o z 一8 是一形式级数 ( 收敛或发散) ，r n ( z ) 是y ( z ) 与其他阶级数部分和的差，即 m ) = n 。+ 粤+ 骞+ + 丽a n - 1 + 取( z ) zzz 一。 假设对每一个固定的佗，当z _ o 。时， 一2 一 r 竹( z ) = o ( z 川) 第一章绪论 在某一个无界区域q 中成立那么，我们称级数墨oa s z _ 8 是( z ) 的渐近展开，记为 ，( z ) 一口。+ 詈+ a 2 + ，z 。 定义1 3 有些简单的推广。如下 定义1 4 ( 3 8 ，p p 2 5 】) 设 九( z ) 】墨。是定义在无界集q 上的函数序列，使得对每 个s ， 。( z ) ) 篷。都满足 。+ 1 ( z ) = d ( 咖。( z ) ) ， z 。o 那么 机( z ) ) 墨。称为渐近函数序列，而 是指对每一个非负的整数礼，都有 n l 雕) 一n 。( z ) + o ( 如( z ) ) ， s = o 定义1 5 设 九( z ，n ) ) 墨。是一函数序列，使得对任意固定的8 ，下式 妒。+ 1 ( z ，q ) = o ( 0 。( z ，a ) ) 关于a 在其定义域内一致成立，那么【九( z ，n ) ) 釜。称为当名- 时，关于a 的一致渐 近函数序列，而 他，q ) 一n 。机( ”) ，z - 。， s = o 是指对于任意的整数n ，都有 其中，误差项中的常数与z 和a 无关我们称i ( z ，n ) 一墨。口。机( z ，a ) ， 2 - o 。是关 于q 在其定义域内的一致渐近展开 一3 一 1 、z o c 孑 ， oz口 z n d+口z 0 枷 口z ，j 1 3 a i r y 函数 1 3a i r y 函数 在求解多项式在某些特殊点处的一致渐近展开时，往往牵涉到一些特殊函数 在本文中，只涉及到a i r y 函数及其导函数，为此，我们将其一些重要性质例举如下 ( 【3 8 ，p p 5 3 5 5 ，l l6 一l18 ，3 9 2 3 9 3 】) 1 满足微分方程： 其线性无关解记为a i ( x ) ，b i ( x ) 2 a i r y 函数及其导函数在原点的值： y = x y a i ( o ) = 3 - 2 3 r ( 2 3 ) ，a i 7 ( 0 ) = 一3 - 1 3 t o 3 ) ， b i ( o ) = v f 3 a i ( o ) ，b i ( 0 ) = 一v - j a i 7 ( o ) m ( z ) = 丽1z e x p ( 吾让3 一z 札) 砒， 其中，l 是始于区域一7 r 2 p h u 一7 r 6 中的无穷远点，而止于区域7 r 6 p h u 丌2 中无穷远点的任意一个围道 4 函数关系： a i ( z ) + w a i ( w z ) + w 2 a i ( w 2 z ) = 0 ， b i ( z ) = i w a i ( w z ) 一i w 2 a i ( w 2 名) 其中伽：e 半 5 渐近展开： 一4 一 俐一去z _ 1 4 e 寺舭薹( - 1 ) k 嘲2 ，z - - + c o ；蚓q 刚一旁班净们薹盯3 们，z - - ) 0 0 ；陋蚓 第一章绪论 1 4 经典的渐近分析方法介绍 1 4 1 最陡下降法 考虑形如 j ( z ) = f c l ( z ) e 七，l ( = ) d z ，z _ 。o 的积分这里c 是复平面的一段弧或闭曲线，函数厂( z ) ，h ( z ) 均为复平面上的解析函数， 由于复平面上的积分可以改变路径，比如：可以选h ( z ) 的实部r e h ( z ) 或h ( z ) 的虚部 i m h ( z ) 为常数的路径，这时问题就化为驻相积分或l a p l a c e 积分最陡下降法的基本思 想是：形变原积分路径c ，使其满足 ( 1 ) 经过h ( z ) 的一个零点劲 ( 2 ) i m h ( z ) 在形变后的积分路径上的常数 这时被积函数是e i z v ( 石o ) e 伽( 。) ，( z ) ，因为也( 劲) 和郇( z ) 都是实值函数，而l ( z ) 不依赖于 z 从而被积函数在形变后的积分路径上不会剧烈振荡原积分转换成l a p l a c e 积分，以两 阶导数不为零的情况为例： ，= li ( z ) e z h ( z ) d z = e x h ( x o ) 上，他炉h ”凇嘣z 订坼。上，f ( z o ) 圳 ”) l e 协一d 叫 玎 ( 引i ( z o ) e 伊印仁e 剥 ”淞( 1 1 ) 其中( 考一詈) 刚好是最陡下降方向参看 2 9 ，p p 5 7 5 7 1 4 2 差分法 考虑如下形式的二阶差分方程 r + 1 ( z ) 一( a n z + b n ) r ( z ) + r 一1 ( z ) = 0 ， ( 1 2 ) 5 一 1 4 经典的渐近分析方法介绍 设系数a n ，玩的形式渐近展开为 小n 卅薹睾， 其中0 是实数以及a o 0 让匍是常数，令| ，= n + 7 0 那么，( 1 3 ) , - i p 2 重新写为 a n 卅s = 0 等， 既。壹鲁 8 = 0 在( 1 2 ) 中让z = v o t ，r = 把( 1 4 ) 代入( 1 2 ) ，并让v - - - o o ，得 入2 一( j o t + 压) a + 1 = 0 ， 上式有两个根 入士= 丢 ( q ：亡+ 靥) 土、反：吾7 ：而， 它们在t = 士处相等，其中t 士满足 ( j o t 士+ 反) = 士2 ( 1 3 ) ( 1 4 ) z w a n g 和r w o n g 在【4 6 _ 4 8 】中称t = t 士为t u r n i n gp o i n t s 或t r a n s i t i o np o i n t s ，他们 考虑了以下三种情况：( 1 ) 0 0 且t + 0 ；( 2 ) 0 0 且t + = o ；( 3 ) 0 = 0 ，o t l = p 1 = 0 他 们证明了：对于第一种情况，( 1 2 ) 的两个线性无关解在t = t 士处分别用饿，a i 和b i ， 历。来表示其局部一致渐近对于第二种情况，拉革尔多项式满足的差分方程是个很好的 例子，由己知的结论知道，在两个关键点处一个是用a i r y 函数做逼近，另一个是片j 贝塞尔 函数做逼近但是，从差分方程的角度出发，这个问题还没有得到解决最近，r w o n g 及 其团队在研究这种情况至于第三种情况，( 1 2 ) 的两个线性无关解在t = t 士处是分别用 贝塞尔函数l ，l 一1 和玩，虬一1 做局部逼近的 1 4 3 一致渐近方法 据我们所知，一致渐近方法首次出现于( 【2 ，9 】) 中这里，我们用h e r m i t e 多项式的积 分表达式来简单介绍一致渐近方法的主要思想和步骤，h e r m i t e 多项式风( z ) 的积分定 义如下 耻，= 杀z 等如? 5 ， 一6 一 风 脚 既 第一章绪论 l 是绕原点的任意闭曲线做变换名= 芴d ，及z = 佩，( 1 5 ) 变为 玩( 瓜) = 2 n 丌! in - n 1 2 儿f e n ( 2 v 互a t - t 2 - - 1 nt ) 扣 ( 1 6 ) 在不引起混淆的条件下，己经过变换之后我们仍记为己令f ( t ，) = 2 v 2 a t t 2 一i n t ， 由o f ( t ，a ) o t = 0 ，我们解得两个鞍点为 心弩， 显然，两鞍点在a = 4 - 1 处重合，不失一般性，下面我们只考虑o - 1 的情形做三次变换 f ( t ，。) = 吾叫3 6 2 + c ， ( 1 7 ) 其中6 ，c 是与a 相关有待于确定的常数( 1 7 ) 的右边函数的两个鞍点为伽= 士6 ，让t + 对应于b ，t 一对应于一b ，我们有 解得 2 屈4 一弘i n t + = 一尹23 + c ， 2 厄t - - 一t 三_ i n t 一= 善6 3 + c 口 i ， 及 c = 争1 仙2 + 2 。2 】， ( 1 9 ) 可以证明，变换t _ 叫是共形变换，所以d t d w 或者d w d t 在相应区域不为零经 过变换之后，( 1 7 ) 可写为 风( 而) = r l ! e e a - n 2 le n ( 妒- 6 2 叫高差咖， ( 1 - o ) 其中t ( w ) 可以从三次变换巾( 1 7 ) 求得，另外 d t2 以n 一2 t l 一= 一 d w1 0 2 6 2 7 一 彬 护厢 、啦篇 弘卜 1 4 经典的渐近分析方法介绍 在讨论的区域中解析，这里的一致渐近方法基于h n ( 叫) ，佗= 1 ，2 ，所满足的迭代式 h ( 伽) = n n + 风伽+ ( w 2 - - 6 2 ) 跏( 伽) ，九n + l ( 叫) = 面d 肌( ) ， 礼= o ，1 ，( 1 1 1 ) 其中( 叫) = 赤嘉，将硼= 士6 代入( 1 1 1 ) ，解得 驴t h n ( b ) + h n ( - b ) ，风= 型杀业 把迭代式( 1 1 0 ) 代入( 1 6 ) 中，重复应用并分部积分礼次，可得 其中 玩( 而) = 篆n 叫2 2 3 6 2 ) n 一1 - a i 7 ( z 2 1 3 铲) ( 一1 ) 七f l k z - k - 2 3 + e n ， k = o 佗= ( 一1 ) n z n 互1l e 。( 吾w a - b 2 w ) h n ( 叫) d 伽 在z 很大且f b i 有界的情况下，i i 的估计如下 竹i 热c l i a i ( z 2 3 6 2 ) i 习丽c 。d 。) |+ 南c 2 | 蕊7 p 3 6 2 ) i i ( 1 1 2 ) 其中和依赖于礼，e l ，c 2 ，d 依赖于( 1 1 2 ) 中的系数，b ，c 如( 1 8 ) ，( 1 9 ) 所示，且 和 一8 a i ( u 1 = a i ( u ) ，u 0 ， 【a i 2 ( u ) + b i 2 ( u ) 】1 2 ，u 0 ，都有 f l z i m d ，- ( z ) 0 ，n = 0 ，1 ， 满足 p mc z ，声n c z ，d p c z ，= ：兰： c 6 ， m ( z ) ) 称为关于p 的标准正交多项式尤n 称为p n ( z ) 的首项系数 注1 3 若p 的支集是单位圆，那么定义1 7 是单位圆上的正交多项式的定义对于p 是一般曲线的情况，可参阅【4 1 注1 4 定义中的内积若为 ( 加) ：壹厂) 歹( 七) d p 七， k - - - - o ， 其中弘七是给定的正测度，记号，( ) 表示对，求k 次导此时称为s o b o l e v 正交参 看【3 l ，3 2 ，3 4 】 定义1 6 ，1 7 中的正交关系称为h e r m i t e 正交，下面我们介绍两种n o n - h e r m i t e 正 交关系 ( j ) 设p ( z ) 是定义在复平面某个子集上的非正，或者复值函数，由条件 p n ( z ) 乏南d p = 。，k = 0 , 1 , - - , n - 1 ( i 1 7 ) 可以确定出一族正交多项式 m ( z ) ) ( i i ) 同上，设p 是复平面某个子集上的非正或者复值函数，由条件 f p n ( z ) z d 缸= 。，七= 。，1 ，n 一1 ( 1 1 8 ) 也可以确定出一族正交多项式 孙( z ) ) 注1 5 此时g r a m s c h m i d t 正交化过程可能失效，但此时我们可以根据( 1 1 7 ) 或 ( 1 1 8 ) 得到个关于多项式系数饥，k = 0 ，1 ，n 的n 个齐次方程组但此时由于未知 量比已知量多，所以陬( z ) 的次数可能低于凡 4 3 1 1 0 一 第章绪论 1 5 2 三项循环迭代式 定义1 8 设为复平面上的曲线或实轴上的区间，若关于彬( z ) 的正交多项式族 孙( z ) ，黯。满足如下条件 ，ep n ( z ) p m ( z ) t u ( z ) c h = t n 我们称 鼽( z ) ) o 。r t w o 为上关于硼( z ) 的标准芷交多项式 ( 1 1 9 ) 定理1 1 每个标准正交多项式族 0 ，b n r ；而当为复平面上的一般曲线时， 正乞乞 1 5 正交多项式及三项循环迭代式 a f l 0 ，b n c 定理1 2 每个首一正交多项式族 f i n ( z ) ) 黯。都满足下列三项循环迭代关系式 x t r n ( x ) = 7 r n + 1 ( z ) + b n t r n ( z ) + o 三7 h 一1 ( z ) ， ( 1 2 5 ) 其中孙( z ) = k n 丌n ( z ) a n ，b n 的定义如定理1 1 证明：将关系式p n ( x ) = ，c n 丌n ) 代入( 1 2 0 ) 式中，得 k n x t r n ( x ) = b n + l 仡n + 1 7 f n + l ( z ) + k n b n t r n ( z ) + 心n l n 三一l ( z ) ( 1 2 6 ) 由首一条件，有 = 惫， 从而 b n = f f 。n - - 1 尤n 在( 1 2 6 ) 两边| 一时除以k n ，并利用上面两式，容易验证( 1 2 5 ) 成立 1 5 3 正交多项式的零点性质 下而的定理与正交多项式的零点有