（基础数学专业论文）若干类非线性微分方程边值问题的正解.pdf

山东师范大学硕士学位论文 若干类非线性微分方程边值问题的正解 杨樱花 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 近几年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等 许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐 渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方 法、锥理论和变分方法等，这些方法成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问 题所需的富有成效的理论工具 本文主要利用不动点定理和锥理论，更加深入的研究了非线性微分方程二阶、 三阶和四阶边值问题( 简称b v p ) 一解及多解的存在性；并鉴于奇异、半正、参数 的重要性，探讨了奇异、半正、参数对非线性微分方程的解产生的影响，且获得了 一些较好的结果 全文共分四章 第一章利用l e g g e t - w i l l i a m s 不动点定理研究了奇异二阶三点边值问题 ， iu ”( t ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 ， iq “( o ) 一卢“( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) 后乱( 叩) = 0 ， 、 其中n20 ，卢0 ，0 7 7 1 ，0 k 旦c 。o + 哩r x - - 吾) ，并允许口( ) 在t = 0 ，t = 1 处具有奇 异性我们给出了适当的条件，得到了边值问题3 个正解以及2 n 一1 个正解的存在 性，并举例说明条件的合理性 第二章研究了二阶奇异半正n e u m a n n 边值问题 ， i u “+ m u = a ( f ( t ，t ) + g ( t ，u ) ) ，0 o , f ( t ，u ) ，g ( t ，u ) 在t = 0 ，t = 1 处可能具有奇异性，并 允许g ( t ，u ) 变号本章通过利用锥上的不动点定理，在，满足超线性或次线性条件 下，得到了参数入的区间，使得对在这些区问内的任意入，边值问题至少存在一个 正解，并给出例子说明条件的合理性 山东师范大学硕士学位论文 第三章讨论了含双参数的奇异三阶三点边值问题 ， f 乱”( ) + a l f ( t ，仳( t ) ) = 0 ，0 t l ， iu ( o ) = “( o ) = 0 ，u t ( 1 ) 一q 札7 ( 叩) = 入， 其中叩( 0 ，1 ) ，o l 【0 ，j ) 是常数，入l ，a ( 0 ，+ o 。) 是两个参数，允许，( t ， ) 在 t = 0 ，t = 1 及u = 0 处具有奇异性本章通过利用锥上的不动点定理，得到了参数 a 1 的区间，使得对在这些区间内的任意a 1 ，当a 充分小时，边值问题具有一个及两 个正解的存在性结果，并给出例子说明条件的合理性 最后一章讨论了四阶奇异边值问题 i ( p ( t ) 乱”) ) 7w ( t ) f ( t ，u ( ) ，u ”( t ) ) ，0 t 1 ， lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， l 伽”( 0 ) - b l i m + p ( t ) u ( 垆0 ， 【c 缸”( 1 ) + d 弊p ( ) 乱”7 ( z ) = o ， 多个正解的存在性，其中a 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，a c + b c + a d 0 ，并允许p ( t ) ，w ( t ) 在t = 0 ，t = 1 处具有奇异性本章通过利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理及局 部化方法，在更一般的边界条件下，得到了该问题n 个正解的存在性 关键词： 奇异；半正；双参；不动点定理；正解 分类号： 0 1 7 5 8 2 p o s i t i v es o l u t i o n st ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e v e r a l k i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y a n gy i n g h u a i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a bs t r a c t i nl a s tf e wy e a r s ，m o r ea n dm o r en o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，s y b c r n e t i c sa n ds oo n i ns o l v i n gt h e s ep r o b l e m s ，m a n yi m p o r t a n tm e t h o d sa n dt h e o r i e ss u c ha sp a r t i a lo r d e r i n g m e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d ，t h et h e o r yo fc o n ea n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o dh a v e b e e nd e v e l o p e dg r a d u a l l y t h e yb e c o m ev e r ye f f e c t i v et h e o r e t i c a lt o o lt os o l v em a n y n o n l i n e a rp r o b l e m si nt h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e rd e e p l yd i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo fo n e s o l u t i o na n d ( o r ) m u l t i p l es o l u t i o n s t ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v pf o rs h o r t ) f o rs e c o n do r d e r ，t h i r do r d e ra n df o u r t h o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm a i n l yb ym a k i n gu s eo ff i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h e t h e o r e mo fc o n e b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo fs i n g u l a r ，s e m i p o s i t o n ea n dp a l a m e t e r s ， w ca l s os t u d yt h ee f f e c to fs i n g u l a r ，s e m i p o s i t o n ea n dp a r a m e t e r so nt h es o l u t i o n so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dw eo b t a i ns o m eu s e f u lr e s u l t s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h ed i s s e r t a t i o n i nt h ef r s tc h a p t e r ，b yu s i n gl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ed e a lw i t h s i n g u l a rs e c o n d - o r d e rt h r e e p o i n tb v p ，) + ) ，( u ) ：o ，o l ， lq u ( 。) 一触，( 0 ) = 。，u ( 1 ) 一州叼) = 。， w h e r e 口o ，p o ，0 叩 1 ，0 0 ，f ( t ，乱) ，g ( t ，u ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ， gi sa l l o w e dt oc h a n g es i g n i nt h i sc h a p t e r b yu s i n gt h ek r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n t t h e o r yi nc o n e s ，w ed e r i v ea ni n t e r v a lo fas u c ht h a tf o ra n y 入l y i n gi nt h i si n t e r v a l t h e s e m i p o s i t o n cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o ni ffi ss u p e r l i n e a g o rs u b l i n e a r ：a n da ne x a m p l ei sw o r k e do u tt oi n d i c a t et h a to u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gs i n g u l a rt h i r d o r d e r t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t ht w op a r a m e t e r s u l ( t ) + a 1 口( t ) ，( 仳( t ) ) = 0 ，0 t u ( 0 ) = 乱7 ( o ) = o ，就( 1 ) 一a 缸7 ( 印) = a ， w h e r e 卵( o ，1 ) ，o t 【o ，击) a r ec o n s t a n t s ，a 1 ，a ( o ，+ o 。) a r et w op a r a m e t e r s ，f ( t ，仳) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1a n du = 0 b yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r yi nc o n e s ，a l l e x p l i c i ti n t e r v a lf o ra li sd e r i v e ds u c ht h a tf o ra n ya 1l y i n gi nt h i si n t e r v a l ，t h ee x i s t e n c e o fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o no rd o u b l ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h ea b o v eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi sg u a r a n t e e dw h e nai ss m a l le n o u g h ，a n de x a m p l e sa g ew o r k e do u tt oi n d i c a t e t h a to u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed e a lw i t ht h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g f o u r t h o r d e rs i n g u l a rb v p i ( p ( t ) 钍”) ) w ( t ) f ( t ，u ( t ) ，u ”( ) ) ，0 t 0 ，p ( ) ，叫( ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 i nt h i sc h a p t e r b yu s i n gt h ek r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r yi nc o n e sa n dl o c a l i z a t i o n m e t h o d 1 ，h ee x i s t e n c eo fnp o s i t i v es o l u t i o n si sc o n s i d e r e df o rac l a s so ff o u r t h o r d e r s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nm o r eg e n e r a lc o n d i t i o n s 4 山东师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s i n g u l a r ；s e m i p o s i t o n e ；t w op a r a m e t e r s ；f i x e dp o i n tt h e o r y ；p o s i t i v e s o l u t i o n s c l a s s i f i c a t i o n ：0 17 5 8 5 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：杨襻亿导师签字兹酶 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权堂垫 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杨移花 答字日期：7 钼2 日 导胳字：忱拳 签字日期：呷年争月日 | 山东师范大学硕士学位论文 前言 非线性微分方程边值问题是微分方程领域中一个非常重要的研究领域，近年 来，许多数学工作者和其他工作者对其研究，并产生了些非常重要的方法和理 论，其中，半序方法、拓扑度方法、锥理论和变分方法等成为当今解决科技领域中 层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具 本文主要利用不动点定理和锥理论，更加深入的研究了菲线性微分方程二阶、 三阶和四阶边值问题一解及多解的存在性；并鉴于奇异、半正、参数的重要性，探 讨了奇异、半正、参数对非线性微分方程的解产生的影响，且获得了一些较好的结 果 本文共分四章第一章利用l e g g e t w i l l i a m s 不动点定理研究了奇异二阶三点边 值问题3 个正解以及2 n 一1 个正解的存在性结果，并举例说明其应用第二章研究 了二阶奇异半正n e u m a n n 边值问题，在非线性项半正的情况下，通过适当的积分 变换，建立适当的积分算子，利用锥上的不动点定理，得到了参数人的区间，使得 对在这些区间内的任意入，边值问题至少存在一个正解，并给出例子说明其应用 第三章引入两个正参数入及入l ，通过利用锥上的不动点定理，讨论了含双参数的奇 异三阶三点非齐次边值问题，得到了参数入l 的区间，使得对在这些区间内的任意 a l ，当a 充分小时，奇异边值问题具有个及n 4 正解，并给出例子说明其应用最 后一章讨论了四阶奇异边值问题多个正解的存在性，通过利用锥上的k r a s n o s c l s k i i 不动点定理及局部化方法，在更一般的边界条件下，得到了该问题n 个正解的存在 性结果 本文主要是改进、推广了已有结果，这在正文中有所体现 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章奇异二阶三点边值问题的多个正解 1 1 引言及预备知识 众所周知，多点边值问题在弹性稳定性理论中有着广泛的应用，它的研究始于 i i i n 和m o i s c c v 此后，g u p t a 等人相继就解的存在性建立了一些结果【2 4 】近 来，文献f 5 】假定关于让严格单调递减，从而借助g r e e n 函数和摄动技巧建立了 奇异三点边值问题 iu ”( ) + f ( t ，札) = 0 ，0 t 1 ， ia u ( o ) 卢u ( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) 一k u ( r i ) = 0 非负连续解的存在唯一性文献【6 】首次考虑了边值问题 i 乱”( t ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，o t 1 ， i 乱( o ) = 0 ，( 1 ) 一k u ( u ) = 0 的正解，但非线性项不具有奇性文献【7 】在不要求，严格单调的情况下，利用锥 拉压不动点定理考察了下列边值问题 ) + “亡刨o “ 1 ， ( 1 “) ia u ( o ) 一p 缸( o ) = 0 ，u ( i ) 一k u ( u ) = 0 一个正解的存在在非线性项无奇异的情况下，文献【1 0 】利用锥上的不动点定理， 对下列非线性二阶三点边值问题 j 锃”( ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 1 ， iu ，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) + o l u 7 ( 卵) = 0 ， 作了研究，得到了n 个正解的存在性结果本章在此基础上，受文献【8 】的启发， 采用与文献 1 0 】不同的方法，利用l e g g e t w i l l i a m s 不动点定理，得到了奇异边值问 题( 1 1 1 ) 3 个正解及2 n 一1 个正解的存在性结果，其中q20 ，p 0 ，0 叼 1 ，0 k 差鹣( s 寺) ，并允许凸( ) 在t = 0 ，t = 1 处具有奇异性 为方便起见，列出如下假设条件： h i ) 口o ，p 0 ，o ? 7 1 ，0 k 五a 叼+ 十b p t 、一 0 。 尻)o c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ 。) ) ，满足0 ：；7 ( + o e s ) a ( s ) d s + 。o ，0 口a ( s ) d s 4 - o c 7 山东师范大学硕士学位论文 定义1 1 1 称函数u ( t ) 为边值问题( 1 1 1 ) 的一个解，如果它满足下列条件 ( i ) 札c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ； ( i i ) i t “( t ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 t 0 ，则称u ( t ) 为边值问题( 1 1 1 ) 的一个正 解 定义1 1 2 设p 是实b a n a c h 空间e 中的个锥，称o t 为p 上的个非负连 续凹泛函，如果q ：尸一【0 ，+ 。) 连续，且满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) q ( 可) ，v x ，y p 0 t 1 由锥p 及凹泛函口的定义，我们引入下面的记号 定义1 - 1 3 令0 a b ，口( z ) 是锥尸上个非负连续凹泛函，定义凸集只， p ( a ，a ，b ) 为 尸r = z p ：i i x l i r ，p ( a ，a ，b ) = z p ：asq ( z ) ，i i x l i 6 ， 贝0a b = x p ：l i x l i = 7 ) ，7 i = z p ：i i x l i r ) 引理1 1 1 f 9 】设t ：- c 一一c 全连续，且存在非负连续凹泛函q ( z ) 满足o ( z ) l( v x 一p c ) ，又设3 0 a 6 ； ( q ) 当z 瓦时，有i i t x l isn ； ( g ) 当x p ( a ，b ，c ) 且i i t x l i d 时，有a ( t x ) b ， 则丁在_ c 中至少存在3 个不动点x l ，x 2 ，x 3 ，且满足i | z l f l a ，b a 且 a ( x 3 ) b 引理1 1 2 1 3 4 ( s c h a u d e r ) 设d 是e 中的有界凸闭集( d 不一定有内点) ，a ： d d 全连续，则4 在d 中必具有不动点 8 1 2 正解的存在性 本章的研究空间为e = c o ，1j 空间，并规定其范数为最大值范数 首先考察问题( 1 1 1 ) 所x , - j 应的线性三点边值问题 卅n 渤_ o 0 “， ( 1 2 1 ) la u ( 。) 一p t 正( 。) ：。，“( 1 ) 一u ( 叩) ：。 。l 厶j 引理1 2 1 【7 l 设条件h 1 ) ，耽) 成立，则边值问题( 1 2 1 ) 存在唯一的正解 u ( t ) = z 1g ( ，s ) ( s ) d s 一生! g ! 丢j 竺生2z 1 ( s 一叩) n ( s ) d 5 ， ( 1 2 2 ) 其中 ， g ( ，s ) ： ；( p + q s ) 【( 1 一惫? 7 ) 一1 一南h 】s s 瓦 lj ( 卢+ a t ) l ( 1 一后叩) 一( 1 一庇) s 】，t s 引理1 2 2 【7 】设条件日1 ) 成立，令5 = m a x ( 1 ，竿鲁) ，则0 a ( t s ) 6 ( ? ( s s ) 0 t ，5 1 为方便叙述本章的主要结果，令 肛：0 16 g 8 , 8 ) d s 仇= 血n ( 学z 1 ( 1 - s s ) d s 州学小刊s ) d s ) ) 定理1 2 1设h 1 ) ，h 2 ) 成立，且存在0 o b 睾c ，其中1 = m i n ( 譬辞，概叩) ，使得 ( 1 ) 当0su a 时，有，( u ) 示b ，o ( 3 ) 当0 札c 时，有f ( u ) 口 且a ( u z ) b 证明定义锥p = u ( t ) ：i t c o ，l 】，u ( t ) o ) 令p ( z ) = 恶飘z ( t ) ，z 尸 显然o ( z ) 是锥p 上一个非负连续凹泛函，并且 o ( x ) i i z l l ，v z 尸 定义算子t ：p _ p t u ( ) = f cg 0 ( t ，5 ) 。( s ) ，( 乱) d 5 一生塑专于堕j 厂7 1 ( s 一叼) ( s ) ，( 乱) d s p 易证t ：p _ p 全连续，且边值问题( 1 1 1 ) 的解等价于算子t 的不动点 下面验证引理1 1 1 的条件 当u 夏时，则i c 由条件( 3 ) 和引理1 2 2 得 t u ( ) = 1g ( t , 8 ) 。( s ) ，( 让) d s 一生学z 1 ( s 一叩) 口( s ) ，( 札) d 5 ， ， z 1g 6 ， 因此 z ：z p ( o ，b ，鲁) ，o ( x ) 6 国 当，c p ( o ，b ，粤) 时，有“( t ) 号，恶熟钍( z ) b ，结合条件( 2 ) 得 ( i ) 当0 6 从而v o 弓b 时，有o ( t u ) 2 勰t 扎( t ) y i i t 乱i i 事实上，由算子t 的定义及引理1 2 1 可知：q ( t 乱( o ) ) 一z ( t u ( o ) ) = 0 ，( 丁u ( 1 ) ) 一 k ( t u ( t i ) ) = 0 且( 丁t c ) ”( t ) = 一a ( t ) f ( u ) 0 从而由t u 的上凸性，可设l i t u l i = t u ( t o ) ， 下面分两种情形讨论 ( 1 ) o 惫 1 ，此时艘l t u ( t ) = t u ( 1 ) ( i ) 当0 t ( ) 叩 1 时，有 i i t , , i i = 丁t c ( t 。) s 丁“( 1 ) + ，t u ( r ，7 ) - 一t u ( 1 ) ( 幻一1 ) s b i 兰穹务丁“( 1 ) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 ( i i ) 当r t o a 且0 ( u 3 ) b 定理1 2 2 设日1 ) ，) 成立，且存在0 a l b l t ，, l c l a 2 b 2 5 ，2 c 2 0 4 且口( 讹+ 2 ) a 1 且p ( u 。) b 1 依次进行下去，由归纳法可知定理结论成立 1 3 应用 例考虑二阶三点边值问题 二裂裂赫 & ， 山东师范大学硕士学位论文 设o ( ) = 击，其中 l 华，o 让s l ， i ( u ) ： 2 仳一1 1 u 2 ：【三：筹3 结论b v p ( i 3 1 ) 至少存在三个正解 证明由o = 2 ，p = 1 ，叩= ，k = 1 粥= ，p ：= 1 ，膳( 1 + 2 s ) 去d s = 警 + 。蝰了i 。d s = 2 一以 1 且0 ( u 3 ) 2 1 2 山东师范大学硕士学位论文 第二章二阶奇异半正n e u m a n n 边值问题的正解 2 1 引言和预备知识 二阶n e u m a n n 边值问题描述了两端点处梯度为零的一类重要的物理现象，这 一问题的研究历史悠远，许多学者作过研究，并取得了一系列较好结果【1 1 1 3 1 其 中文献【1 1 ，1 2 】在非线性项为正的情况下给出了正解的存在性结果，文献【1 3 】在非 线性项无下界的条件下考虑如下n e u m a n n 边值问题 r i u ”+ m u = m ( t ，乱) ，0 0 ，f ( t ，u ) ，g ( t ，u ) 在t = 0 ，t 皇1 处可能具有奇异性， 并允许g ( t ，乱) 变号本章利用锥上的不动点定理，在，满足超线性或次线性条件 下，通过适当的积分变换，建立适当的积分算子，讨论问题( 2 1 1 ) 正解的存在性， 并举例说明条件的合理性 为证明本文主要结果，先给出下面的引理 引理2 1 1 【1 5 】若x 是实b a n a c h 空间，qcx 是一个锥，假设q 1 。【2 2 是x 的两个有界开子集，且o q 1 ，西cq 2 ，算子t ：qn ( 亍_ q 1 ) _ q 全连续，且满足 下列两个条件之一 ( i ) 若i i t x l i i l z | | ，z q n a q l ，且i i t x l i i i z | i ，z ( 了n a q 2 ； ( i i ) 若i i t x l i i l z i l ，z qna q l ，且i i t x i i i x l l ，x qna q 2 ， 13 山东师范大学硕士学位论文 则算子丁在q n ( 面q 1 ) 中有一个不动点 2 2 主要结果 本章的研究空间为e = c o ，1 1 空间，并规定其范数为最大值范数 为了方便，先给出以下假设条件 ( h 1 ) ，c ( ( o ，1 ) x 【0 ，+ o o ) ， 0 ，l 。) ) ，且存在常数入l2a 2 1 ，使得对v t ( 0 ，1 ) ， 他 0 ，+ ) ，有 c 1 厂( ，u ) sf ( t ，c u ) 矿2 y ( t ，u ) ，v o c 1 ( f ) 厂c ( o ，1 1 【0 ，+ 。o ) ，【0 ，+ o 。) ) ，且存在常数0 a 3 入4 1 ，使得对v t 【0 ，1 】， i t , 0 ，+ 。) ，有 c a 5 y ( t ，仳) sy ( t ，c , u ) c a 6 ，( t ，) ，v o c 1 ( h 2 ) o ( t ，u ) c ( ( o ，1 ) x 【0 ，+ 。) ，( 一o 。，+ 。) ) ，且对v t ( 0 ，1 ) ，u 0 ，+ o 。) ，存在 一个函数q ( t ) l 1 ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，使得1 9 ( t ，仳) ls 口( t ) ( 彤) 9 ( ，乱) c ( 【o ，1 】x 【0 ，+ o 。) ，( 一。，+ o o ) ) ，且对v t 【0 ，1 1 ，u 【0 ，+ o 。) ，存在一 个函数q ( t ) g ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ 。) ) ，使得1 9 ( t ，乱) isq ( t ) ( 啦4 ) 存在1 ，t 2 ，如( 0 ，1 ) ，使得9 ：( 0 ，1 ) z 1 ，t 2 ，t 几 【0 ，+ 。o ) 一( 一，+ o 。) 连续，且存在一个函数q ( t ) l 1 ( ( o ，1 ) ，( 0 ，+ o o ) ) ，使得i 夕( ，牡) l 牮( ) ， ( 凰) o 层( ，( t ，1 ) + q ( t ) ) a t + 。o ( 磁) o 厝y ( t ，1 ) d r + o o ： 注记2 2 1 【1 6 】对v c 1 ，( t ，u ) ( 0 ，1 ) 【0 ，+ 。o ) ，我们有 c a ：，( z ，“) f ( t ，c 让) c a l ，( ，t ) ， c 沁f ( t ， i z ) y ( t ，c 乱) c a 4 ，( ，u ) 引理2 2 1 1 1 6 l ( i ) 若，( ，乱) 满足( h 1 ) ，则对v t ( 0 ，1 ) ，y ( t ，乱) 关于“ 0 ，+ ) 单调递增且v 【q 纠c ( 0 ，1 ) ，有 l i 矗二i n 丝生：+ 。 “+ + o o 挺【n ，p 】 u ( i i ) 若y ( t u ) 满足( 川) ，则对v to r _ 【0 ，1 】，f ( t ，让) 关于u 【0 ，+ 。o ) 递增且有 l i mm a x 型：o 1 4 山东师范大学硕士学位论文 引理2 2 2 1 3 】设g ( t ，8 ) 为边值问题 i u ”( t ) + m u = 0 ，0 t 0 ，使得i l ，v u d 这样对v u d ，s 【0 ，1 】，有 【u ( s ) 一( s ) 】8su ( s ) i | u i i l l + 1 ， 从而由( h 1 ) ，( h 2 ) 得：对v u d ，t ( 0 ，1 ) ，有 i 【厂( t ： u ( t ) 一( ) 】+ ) + g ( t ，【u ( t ) 一咖( t ) r ) + g ( 亡) 】i f ( t ，l + 1 ) + 2 q ( t ) ( 厶+ 1 ) a 1 ，( ，1 ) + 2 q ( t ) 【( 己+ 1 ) a z + 2 1 f 厂( ，1 ) + g ( t ) 】 ( 2 2 2 ) 因此，结合( 凰) 有 ，1 i t u ( t ) i = a g ( t ，s ) 【，( s ， 札( s ) 一砂( s ) 】+ ) + 夕( s ，【u ( s ) 一西( s ) 】4 ) + q ( 5 ) 】d s 0 ，1 入b 【( l + 1 ) a - + 2 】l 厂( s ，1 ) + q ( s ) d s 0 ，使得t l ，t 2 ，s f 0 ，1 】，l t l t 2 i 0 ，使得 u o i l 】i l u 。f i l l ( n = 1 ，2 ，) 类似( 2 2 2 ) 式，可得 i f ( s ， u n ( 5 ) 一西( s ) r ) + g ( s ，【u n ( s ) 一咖( s ) r ) i sf ( 5 1 + 1 ) 如+ 1 】f ，( s ，1 ) + g ( s ) 】，佗= 0 ，l ，2 ， 1 6 山东师范大学硕士学位论文 由t 的定义得 i t u n ( t ) 一t u o ( t ) i a b i ，( s ，【u n ( s ) 一咖( 5 ) r ) 一，( s ， u o ( s ) 一咖( s ) 】+ ) + 夕( s ，【乱n ( s ) 一( s ) 】+ ) 一9 ( s