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摘要 h i l b e r t 不等式( 包括重级数型和重积分型) 是分析学中的重要不等 式。近二十多年来，它一直受到许多学者的关注。涌现出许多的改进、 推广和应用。本文将利用不同的方法对h i l b e r t 型不等式作出改进， 并给出了它们的若干应用。全文组织如下： 第一章：介绍全文的研究目的、背景、方法和结果。 第二章：通过引入一个形如熹( x o ) 的函数，用胡克教授的升 幂方法建立了h i l b e r t 不等式的一个改进。并且给出了权函数的具体 表达式。作为应用，得到了h a r d y l i t t l e w o o d 不等式和w i d d e r 定理 的一些新的结果。 第三章：利用g r a m 矩阵的正定性和内积空间理论的知识，通过 引入单位可变向量建立了c a u c h y 不等式的一个改进。进一步再利用 分析方法的技巧，得到了h 6 t d e r 不等式的一个新的结果。据此，创 建了h a r d y h i l b e r t 不等式的一个改进，并且用e u l e r m a c l a u r i n 求和 公式对权函数进行精估，特别当p = 2 时，得到了h i l b e r t 不等式( 包括 重级数型和重积分型) 的一个新的的结果。 第四章：通过引入参数五( 1 - 告 1 ) 及两个非负且在 ( o ，+ ) 递增的可微函数u ( x ) 和v ( x ) 建立了一种广义带权的 h a r d y h i l b e r t 积分不等式。特别，当p = 2 时，得到经典h i l b e r t 积分 不等式的各种推广。作为应用，当“( x ) 和v ( x ) 是幂函数、指数函数和 对数函数时，建立了若干新的不等式。 t 第五章：分别研究级数型和积分型不等式。在h i l b e r t 重级数型 不等式中，通过引入一个适当的对数函数的幂建立了一种新的h i l b e r t 重级数型不等式。利用e u l e r - m a c l a u r i n 求和公式对权函数进行了估 计，证明了常数因子万2 h 1 e ( 厂) 的最佳性，其中e ，是e u l e r 数。作 为应用，给出了一些互相等价的不等式。在h i l b e r t 积分型不等式中 通过引入参数和对数积分核函数建立了一种新的h i l b e r t 积分型不等 式，证明了用e u l e r 数和万来表示的常数因子是最佳的，利用所得到 的若干特殊结果给出了经典的h i l b e r t 积分不等式的推广。作为应用， 建立了一些互相等价的不等式。 关键词：h i l b e r t 不等式；权函数；g r a m 矩阵；可变单位向量； e u l e r m a c l a u r i n 求和公式 i i a b s t r a c t h i l b e r t s i n e q u a l i t y ( i n c l u d i n g d o u b l es e r i e sf o r ma n dd o u b l e i n t e g r a lf o r m ) i sa l li m p o r t a n ti n e q u a l i t yi na n a l y s i s m a n ys c h o l a r sh a v e b e e np a y i n ga t t e n t i o nt ot h i si n e q u a l i t yf o rt w e n t yy e a r s t h ev a r i o u s i m p r o v e m e n t s ，e x t e n s i o n s ，g e n e r a l i z a t i o n sa n da p p l i c a t i o n so fi th a v e b e e nt e e m e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s o m ei m p r o v e m e n t so ft h eh i l b e r tt y p e i n e q u a l i t ya r ee s t a b l i s h e db yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s s o m ea p p l i c a t i o n s o ft h e ma r eg i v e n t h e l a y o u to ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s c h a p t e r 1 ：t h ea i m ，b a c k g r o u n d , m e t h o d sa n dr e s u l t so ft h e d i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d c h a p t e r2 ：ar e f i n e m e n to ft h eh i l b e r ti n e q u a l i t yi se s t a b l i s h e db y i n t r o d u c i n g af u n c t i o no ft h ef o r m 熹( x o ) a n db ym e a n so fh u s r i s i n gp o w e rw a y a n dt h ee x p r e s s i o no ft h ew e i g h tf u n c t i o ni sg i v e n a s a p p l i c a t i o n s ，s o m es t r e n g t h e n e dr e s u l t so fh a r d y - l i t t l e w o o d si n e q u a l i t y a n dw i d d e r st h e o r e ma r eo b t a i n e d c h a p t e r3 ：a ni m p r o v e m e n to fc a u c h y si n e q u a l i t yi sb u i l tb yu s i n g t h ep o s i t i v ed e f i n i t e n e s so fg r a mm a t r i xa n dt h ek n o w l e d g eo fi n n e r p r o d u c ts p a c e s ，a n db yi n t r o d u c i n gav a r i a b l eu n i t - v e c t o r f u r t h e r , aq u i t e s h a r pr e s u l to fh 6 1 d e r si n e q u a l i t yi sg o t t e nb ya p p l y i n gt h em e t h o d sa n d t e c h n i q u e si na n a l y s i s h e r e b y , ar e f i n e m e n to fh a r d y h i l b e r t si n e q u n i t y l l i i se s t a b l i s h e d ，a n dt h ew e i g h tf u n c t i o ni se s t i m a t e db yt h eh e l po ft h e e u l e r - m a c l a u r i ns u m m a t i o nf o r m u l a s p e c i a l l y , f o rc a s ep = 2 ，as h a r p r e s u l to ft h eh i l b e r ti n e q u a l i t y ( i n c l u d i n gt h ed i s c r e t ea n di n t e g r a l ) i s o b t a i n e d c h a p t e r4 - ag e n e r a lh a r d y - h i l b e r ti n t e g r a li n e q u a l i t yw i t hw e i g h t s i sb u i l tb yi n t r o d u c i n gap a r a m e t e r 五( 1 - 告 1 ) a n d t w o n o n n e g a t i v e f u n c t i o n s u ( x ) a n dv ( x ) w h i c h a r e i n c r e a s i n g a n d d i f f e r e n t i a b l ei n ( 0 ，+ ) i np a r t i c u l a r ，f o rc a s e p = 2 ，t h ev a r i o u s e x t e n s i o n so ft h ec l a s s i c a lh i l b e r ti n t e g r a l i n e q u a l i t ya r eo b t a i n e d a s a p p l i c a t i o n s ， s o m en e w i n e q u a l i t i e s a r e e s t a b l i s h e d ， w h e n u ( x ) a n d v ( x ) a r ep o w e rf u n c t i o n s ，e x p o n e n t i a l f u n c t i o n sa n dl o g a r i t h m f u n c t i o n s c h a p t e r5 ：i nt h i sc h a p t e r , t h eh i l b e r ti n e q u a l i t yf o rd o u b l es e r i e s a n df o rd o u b l ei n t e g r a la r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y a tf i r s t ，f o rh i l b e r td o u b l es e r i e si n e q u a l i t y , an e wh i l b e r tt y p e i n e q u a l i t yf o rd o u b l es e r i e si se s t a b l i s h e db yi n t r o d u c i n gap r o p e rp o w e r o fl o g a r i t h mf u n c t i o n t h ew e i g h tf u n c t i o ni se s t i m a t e db yu s i n gt h e e u l e r m a c l a u r i ns u m m a t i o nf o r m u l a t h ec o n s t a n tf a c t o r 万2 川e ( ，n ) i s p r o v e d t ob et h eb e s tp o s s i b l e ，w h e r eei st h ee u l e rn u m b e r a s a p p l i c a t i o n s ，s o m ee q u i v a l e n tm u t u a l l yi n e q u a l i t i e sf o rd o u b l es e r i e sa r e g w e n f i n a l l y , f o rh i l b e r ti n t e g r a li n e q u a l i t y , an e wh i l b e r ti n t e g r a lt y p e i n e q u a l i t yi se s t a b l i s h e db yi n t r o d u c i n gap a r a m e t e ra n da ni n t e g r a lk e r n e l f u n c t i o no fl o g a r i t h m t h ec o n s t a n tf a c t o re x p r e s s e db yt h ee u l e rn u m b e r a n d 万i sp r o v e dt ob et h e b e s tp o s s i b l e s o m ee x t e n s i o n so ft h ec l a s s i c a l h i l b e r ti n e q u a l i t ya r eg i v e nb yu s i n gs o m es p e c i a lr e s u l t so b t a i n e d a s a p p l i c a t i o n s ，s o m ee q u i v a l e n tm u t u a l l yi n e q u a l i t i e sf o rd o u b l ei n t e g r a l a r eg a v e n k e y w o r d s ：h i l b e r t si n e q u a l i t y ；w e i g h tf u n c t i o n ；g r a mm a t r i x ；v a r i a b l e u n i t v e c t o r ；e u l e r - m a c l a u r i ns u m m a t i o nf o r m u l a v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 鬲豸物矽7 年11 月叩日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：高秀枷日期：汐节年，月矽日 导师签名：宇彳背亥日期：年c 月7 日 关丁| h i l b e r t 不等式的改进及其戍j = 月 第一章前言弟一早月ui 设 ) a n b ) 是两个实数序列。那么 ( z 蒜z h 以- - 石+ 卜2 塾弘 ( 1 t ) 其中常数因子万2 是最佳的。当且仅当 ) 或者 瓦) 是零序列时， ( 1 1 ) 中等式成立。这就是著名的h i l b e r t 不等式。它相应的积分形式 是： ( 了弹出咖p 陋9 2 ( x ) d x f 2 ) d x9 2 ) d x ( 1 - 2 ) 0 000 i ，辟驴出咖i 崭ljo 怖i 一，一， 其中常数因子万2 也是最佳的。当且仅当厂( 工) = 0 或者g ( x ) = 0 时， ( 1 - 2 ) 等式成立。 1 9 0 8 年，h w e l y 首先发表了上述h i l b e r t 不等式，1 9 1 1 年，s c h u r 证明了其常数因子是最佳的，1 9 2 5 年，h a r d y 和r i e s z 推广了这两个 不等式。这些结果都可在文 1 中找到。鉴于它们在理论研究和实际应 用中的重要性，一百多年来，有许多数学家对这两个不等式进行了各 种推广和改进。特别是近二十多年来，出现了许多优美的结果。1 9 9 0 年，徐利治教授首先创建了权函数方法，启迪了许多数学工作者利用 这个方法进行研究( 见文 2 中所列的大量文献) 。1 9 9 2 年胡克教授采用 升幂方法和三角法，对研究h i l b e r t 不等式开辟了新的途径( 见文 3 】 4 ) 。19 9 9 年杨必成教授首先采用引入参数法对h i l b e r t 不等式进 行了推广( 见文 5 ) ，同年高明哲教授创建了矩阵方法，对h i l b e r t 不等 高校教师在职硕士学位论文 式给出了新的改进，这些结果在文 2 中都可以找到。最近，徐景实教 授通过引入多参数进行了推广( 见文 6 - 7 ) 。受上述文献的启发，我 们将利用不同的方法对h i l b e r t 不等式作出一些新的改进，并给出它 们的一些应用。 全文组织如下： 第二章：利用权函数方法。即引入一个形如熹( x o ) 的函数，用 胡克教授的升幂方法建立了h i l b e r t 不等式的个新的改进。作为它 的应用，给出了h a r d y l i t t l e w o o d 不等式和w i d d e r 定理的一些新的结 果。 第三章：利用g r a m 矩阵的正定性和内积的方法。通过引入单位 可变向量建立了c a u c h y 不等式的一个改进。进一步再利用分析的技 巧，得到了h 6 1 d e r 不等式的一个新的结果。据此，创建了 h a r d y h i l b e r t 不等式的一个新的改进，并且用e u l e r - m a c l a u r i n 求和公 式对权函数进行精估，特别当p = 2 时，得到了h i l b e r t 不等式( 包括重 级数型和重积分型) 的一个新的结果。 第四章：通过引入参数名( 1 - 吾 1 ) 及两个非负且在 ( o ，+ ) 递增的可微函数u ( x ) 和v ( x ) 建立了一种广义带权的 h a r d y - h i l b e r t 积分不等式。特别，当p = 2 时，得到经典h i l b e r t 积分 不等式的各种推广。作为应用，当甜( x ) 和v ( x ) 是幂函数、指数函数和 对数函数时，建立了一些新的不等式。 第五章：在h i l b e r t 重级数型不等式中，通过引入一个适当的对 数函数的幂建立了种h i l b e r t 重级数型不等式。利用e u l e r - m a c l a u r i n 关y - h i l b e r t 不等式的改进及其应用 求和公式对权函数进行了估计，证明了常数因子万2 川e ( ，一) 的最佳 性，其中e 是e u l e r 数。在h i l b e r t 积分型不等式中通过引入参数 和对数积分核函数建立了一种h i l b e r t 积分型不等式，证明了用e u l e r 数和万来表示的常数因子是最佳的。作为应用，建立了一些互相等价 的不等式。 关j ：h i n e r t 不笛式的改进及其应心 第二章引入权函数进行改进 2 1 引言 文 1 详细地介绍了经典不等式( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，并且还介绍了它们的 推广形式。近二十多年来，国内外有许多数学家对它进行了研究，其 结果出现在大量的文献中，如文 2 - 【2 6 等。特别是胡克在文 3 中给 出t ( 1 2 ) i 拘- - 个有意义的改进： l 了掣d x d y 卜渺卅一陋矿娟以时2 ) ( 了9 2c y ，咖 2 一( 了e ( y ) 9 2 ( y ) d y ) 2 ( 了9 2c y ，砂 。2 c 2 - ， 其中即) ：尊磐班叫班 ( h 川加。) 特别，当p ( x ) ：吾c 。：石，e ( x ) = 吾( p 一c 。s 石) 后来，胡克在文 4 中又给出了详细证明及它的若干应用。 本章的目的是继续做文【3 - 4 相应的工作，通过引入权函数建立 ( 1 1 ) 的一个有意义的改进并给出( 2 1 ) 的一种推广，然后研究它们的一 些应用。我们的主要结果如下： 定理2 1 设 ) 和 钆) 是个实数序列。如果口： ? ( ，z + 工2 ) ( 1 + x )力+ 1 ，z + x 2 1 + 工厂。j = 六侦熹一 n + 工2+ 击) 斟 + l 出 1 + 工 = i 1 11 矛伽留去 2 一n + x z ) 岫”x ) ) ： 2 i 矛伽留忑一hj 地( 1 + x 饥 i 1 1 秽留去 上n + l 岛 2 聆) 1 2 石。小厂 6 ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) +出 、， x ，l 2 g ，j口 且 +出 、， x ，j 2 ， rj口 ，j口rj口 r【 器 h 引理2 2 设巾) = 南( 嘶一( 南一南) ) ，g ( x ) = 南( 嘶+ ( 南一志) ) ， 其中咒n ，x ( o ，+ ) 那么 1 ) 厂( x ) 和g ( x ) 在区间( o ，+ o 。) 上单调递减，； 2 ) j 厂( x ) 出= 万( 卜c o ( 规) ) 且扣( x ) 出= 万( 1 + c o ( 刀) ) ， 0 0 其中函数0 3 定义7 1 i ：i ( 2 3 ) 式。 证明：1 ) 首先我们证明厂( x ) 和g ( x ) 的单调性。 因为l 一熹= 志，所以我们可以把厂( x ) 写成下列形式： 厂( x ) = 石( x ) + 厶( x ) ， 其中z ( 石) = ( 赤) ( 南) ，左( x ) = 丽蒜显然函数石( x ) 和 厶( x ) 在区间( o ，+ ) 单调递减。又由于1 一矗= 由，因此我们也可 以把g ( x ) 写成两个函数的和的形式： g ( x ) = g i ( x ) + ( x ) ， 其中蜀( x ) = 而带靠，( z ) 2 百羽4 - , 显然函数蜀( x ) 和9 2 ( x ) 在 区间( o ，+ ) 上单调递减。所以函数g ( x ) 在区间( o ，+ ) 上也是单调 递减的。 2 ) 其次，我们来计算两个积分。 先计算第一个积分。由引理1 ，我们可以得到 出= 砖( 珊+ 熹卜熹卜 = ( + 熹 砖( 晏) ” - - l 郴f - - 1 圭( 熹卜 高校教师在职硕十学位论文 蜥( ，+ 高 砖州石k 而衍 蜥( 1 + _ 1 f 石- 石n 砖州石了 = ( + 熹卜石 = + 熹h 蜥c j o l + f 一1 ( n + t 2 ) ( 1 + f ) ( 聆+ r 2 ) ( 1 + r ) = ( ，+ 熹h 一净 其中c o 是由( 2 3 ) 所定义的函数。 同理，容易算出 石h 1 ，z n + 1 0 忡一 出= 砖( 珊+ ( 熹一高炉 = ( t 一熹 b ( 班+ b ( 吼熹卜 = ( 南h 一睁鲁肌， 其中c o 是由( 2 3 ) 所定义的函数。这样我们就完成了引理2 2 的证明。 引理2 3 设 a n ) 使一个实数序列，c ( x ) 是一个实函数。如果 + 0 0 ，那么 证明：显然 r a = l 薹喜鲁鲁= 萎。台, oi a m 石a n ( ，一c ( 胛) + c ( 聊) ) ( 2 7 ) 喜羔( h ( 聆) + 俐= 艺m = l 艺n = l 而c l r a n 一妻m = l 艺n = l 羔怫薹喜羔懈 我们只要证明下面等式成立。 旆 专 。脚 芙丁h i l b e r t 不等式的改进及其应用 设h ( m ) = 可见( 2 7 ) 成立。 薹喜羔c ( 门) = 主r a = l 妻r t f f i l 磊a m a n 料 那么 ( 聊)= 妻m = l f ，妻= i 粤m + n k j 咖薹陲磊a k 卜 裂, of 刍, o 志aj x c = 薹喜鲁( 刀) ( 力) = n = l ( m ) 喜瞎熹卜 薹羔m ( 以)鲁玎+ 、7 ( 玎) 引理2 4 设口是一个实数，厂( x ) 和c ( z ) 是两个实函数。如果 少2 ) d x 口时，利用引理2 2 ，我们得到 僻划高高删( 采一蒹p x 一口五l n ( x 亿) 石x - - a l + x - c r z ( 1 + x - a ) 1 + 而 注意到，l i m 。( x ) = o 因此，由( 2 5 ) 所定义的函数是合理的。 其余类似于定理2 1 的证明，这里从略。 2 3 应用 1 设厂( x ) e ( o ，1 ) 且厂( x ) o 。定义一个序列：= 卜”厂 ) c u ， ，z = 0 ，1 ，2 ，那么 1 口： 石- 厂2 ) d x ， n = o 0 ( 2 - 1 3 ) 其中乃是最佳常数。这就是著名的r t a r 4 y l i t t l e w o o d 不等式( 见 2 7 ) 。利用定理2 1 ，我们有下列结果： l 定理2 3 具有如上所述的假设。定义一个序列：= j x 酬2 ) a x t = 1 ，2 ，那么 关丁h i l b e r t 不等式的改进及其戍州 ( 善口：) 4 万2 ( 喜口： 2 一in - 艺, 国c 门，口： 2 ( 了2c 二，d k 2 其中国( 咒) 是由( 2 - 3 ) 所定义的函数。 ( 2 1 4 ) 证明由假设，我们可以把a ；写成下列形式：口：= k x 舻考厂 ) a x 利用s c h w a r z 不等式，我们有 ( z 。a ：) 4 = 1 p 。z 甩一；厂c x ，出) 4 = ，( 喜口。x 九ty c 工，出) 4 睢叩鸣脚叫2 = 陲兰胎出 2 仁 根据( 2 1 0 ) 和( 2 1 5 ) n 得不等式( 2 - 1 4 ) 设o = o ，1 ，2 ) ，彳( z ) = z a n x n 彳+ ( x ) _ za n 丁x 那么 n ；on - - 0 ： ：f a 2 ( x ) 出- - i ( 8 吖彳+ ( x ) ) 2 ( 2 - 1 6 ) 这就是著名的w i d d e r 定理( 见 2 8 1 ) 下面我们给出( 2 - 1 6 ) 的一个 改进。 定理2 4 具有如上所述的假设，那么 ( 。ac x ，d k 2 石2 ( 了厂2c x ，d k 2 一( 弘口c x ，厂2 c x ，d k 2 ) ， 其中( 功= 彳( x 一曲，- 而6 0 a 是由( 2 - 5 ) 所定义的函数。 ( 2 1 7 ) 证明：首先，容易验证关系式：p a ( t x ) d t = a ( x ) 事实上， 0 p c 啪= 雄n = o 巡f i ! 衍= 器x 予- t d t = z 脚a n x = a 从而我们有 高校教师在职硕十学位论文 ( ，彳2 c z ，出) 2 = ( “弘一彳c 所，衍) 2 出 2 = h 弘一乎彳。一口，么) 2 古出 2 = 胁1k a 吖”叫2 咖 2 i 了 了e 一( j 一口) “一( s 一口) 彳+ c s 一口，a _ ) 2d “ 2 锄e - ( s - a 。) u f 幽h 2 ：匝箍出小舶， 其中( 功= 删彳( x 一曲利用定理2 2 ，我们从( 2 1 8 ) 马上可得不等 式( 2 1 7 ) 。 1 4 关丁h i l b e r t 不等式的改进及其应用 第三章利用h 6 1 d e r 不等式进行推广和改进 3 1 预备知识 为方便起见，我们需要引入下列记号： ( 口，b ) = 口：蟛，| i a l l ，= i 口：i ，删：= ， ，、v 7 n = l n = l ( f 7 ，9 5 ) = ，厂7 ( x ) 9 5 ( x ) 出，= l ，厂( x ) 出l ，：= ， ， 、工7 00 墨( 口，y ) = ( 口啦，训眦啦 其中口= ( 口，口：，) 是实数序列，厂： o ，+ o o ) 一【o ，+ ) 是可测函数，口 和y 都是内积空间e 中的元素。 设口= ( 口1 ，a ：，) 和b = ( 6 1 ，6 2 ，) 是两个非负实数序列。那么h 6 1 d e r 不等式可以写成下列形式： ( 口，b ) - la 忆b l 。 ( 3 - 1 ) 当且仅当口，= k b 7o = 1 ，2 ，) 时，( 3 1 ) 中等式成立。其中尼是一个 非零常数。这个不等式是非常重要的，它在函数论、泛函分析、f o u r i e r 分析以及解析数论等领域中都有非常重要的应用。然而，它还有一定 的局限性，如 口= ( 以1 ，口2 ，口。，0 ，o ) ，b = ( o ，0 ，吃+ 1 ，“，吃。) ， 1 2 , b r 2 ” 假定q = b j = 1 ，i = 1 ，2 ，刀；= n + l ，咒+ 2 ，2 n 。将它们代人( 3 - 1 ) 中， 得n o ，z 在这种情况下，显然没有什么意义。因此我们给出( 3 1 ) 的 一个改进，既可弥补上述缺陷，又可对许多经典不等式进行改进，特 高校教师在职硕= ：学位论文 别是给出h a r d y h i l b e r t 小等式的改进。 3 2 主要结果的叙述 设h ) 和慨) 是两个任意的实数序列，万1 一r 虿1 _ 一1 。如果o ， 佃， o 1 1 6 i i 。 + o 。，那么 趁删删而a r a b - 0( n = 2 ，3 ，) ，1 p + l q = 1 如果 o 1 口忆 + 且0 l b i i 。 + ，m = m i n 古，勃，那么 薹喜急 协群h 喜嘶) w 卜叫 ( 3 - 3 ) 其中q ( ”) = 二s i nz c p 一旦，盟l - 1 r ( ，= p ，g ) ，o r ( 咒) 由( 3 1 7 ) 定义，而r 由下式给出： r = 丢 ( 吖( 砉国，c 胛，口：) 1 啦一 6 ，( 砉功pc 刀，蝣) 卅 啦) 2 现在我们考虑由( 3 - 1 7 ) 所定义的函数e ( ，z ) 文 2 2 已经证明： o r ( ”) 1 - c ， 其中c 是e u l e r 常数。即c = ! 鳃( 喜丢一h ，z = o 5 7 2 1 5 6 6 4 9 因 此，由定理3 1 可得如下结果： 推论3 1 同定理3 1 所设，那么 喜辩 鼢衅黔功蜘叫 b 4 ， 关丁i t i l b e r t 不等式的改进及其应用 其中尺由( 3 2 9 ) 给出，而面，( n ) 由下式定义： 面，( 刀) = 二s i n 刀p 一万1 - c 其中c 是e u l e r 常数。 ，= p ，g 在不等式( 3 4 ) q b ，如果r 用零 来代替，那么就可得到文 2 2 】的结果。可见( 3 3 ) 是文 2 2 的一个改进。 推论3 2 设a l b l - - ：o 如果o 佃，且o 悯，i s z , 。；。芝。：。川a r a 十b i 喜缈( ，z ) ) 啦 喜缈( ，z ) 贸) 啦( 一厂) v 2 ( 3 5 ) 其中 国( 门) = 万一目( 门) 石，目( 玎) 由( 3 1 8 ) 给出，而，厂由下式定义： r = 朱i 阿飞 函飘。 ( 3 6 ) 当r = 0 ，由( 3 - 5 ) 司得文 2 0 】的结果。这就说明( 3 - 5 ) 是文 2 0 的一个改进。文【2 2 证明了下列结果： 秒( 门) 三一二十土 ( o 孝 啦( ，一，) v 2 ( 3 - 7 ) 其中，如( 3 6 ) 所定义，而口= i _ 西7 + 土3 2 0 ( o 善 0 ，厂( x ) f ( 0 ，+ ) ，g ( x ) 口( 0 ，+ o o ) ，i p + 1 g = i 那么 觥拶 o ，厂( z ) ( o ，+ ) ，g ( x ) 口( o ，+ ) ， 万1t 百1 = 1 删= m i n 古，勃那么 了聘笋螂 南叭岫m 坼) 出小一盖) 肌限9 ， 其中 盖= 学 ( 景p 邱) 威胁2 o 出 - l 2 一( 菇气施肌帕门一3 。 显然，不等式( 3 9 ) 是( 3 8 ) 的一个改进。 当p 2 g = 2 时，可得h i l b e n 积分不等式的_ 个改进。 推论3 4 如果0 f i j l 2 + o o ，0 f i g u 2 + o 。，那么 了聘笋蛐 1 如果 o 1 1 口蚣+ o 。，o g 1 。 因i1+三=l，所以p2令r=詈，q=刍，那么去+西1pp = 1 由 p 上一瓜 蟛 高校教师在职硕十学位论文 h 6 1 d e r 不等式，我们得到 ( 口，b ) - - z 色= ( 口。娣加) 垆加 ”= l 喜( 口。醒，p ) r ) l 足 喜( 6 ，。加) q ) 1 | q = a p 2 ，b q 2 ) 纠户i l b l l ；1 一纠力 ( 3 - 1 4 ) 当且仅当口p ：和b q ：线性相关时，( 3 1 4 ) 中等式成立。事实上， ( 3 1 4 ) 中等式成立当且仅当对任何正整数k ，存在正数c i ，使得 ( a k b 善p ) r = q ( 跣刮p ) 口化简得p 7 2 - - c l b q 胆禾o m ( 3 1 2 ) 可得 ( a p 2 , 6 “2 ) 2 0 口0 ：1 1 6 喝( 1 一，) ( 3 - 1 5 ) 其中厂- - ( s p ( 口，c ) 一s 。( 6 ，c ) ) 2 不等式( 3 - 1 5 ) 中等式成立当且仅当 口朋与b q 2 线性相关；或者c 是口p 2 和b 们的线性组合且( 口朋，c ) ( 6 q 1 2 , c ) - - o 但( 口妒，c ) ( 矿胆，c ) 把( 3 - 15 ) 1 x , ( 3 1 4 ) q b ，化简后即得 ( 口，b ) 羔l l 口1 1 ，1 1 6 1 i 。( 1 - r ) “p ， ( 3 - 1 6 ) 由于p 和g 的对称性，可见( 3 1 3 ) 成立。 关于引理3 1 3 2 ，也可参看文 4 5 的有关结果。 引理3 3 设， 1 ，n 酬定义一个函数： o r ( ) = 4 ( 玎) + c ( ) 一互丽n ，( 3 - 1 7 ) 其蛳垆矿砂1 了黜卜c = 岩簪卜 而 p o ) = f p 卜1 2 另b 么q ( 珂) o 它的证明已在文1 2 0 中给出，这里从略。 特别，当r ：2 时，文f 2 0 1 给出了下列结果： 关丁h i l b e r t 不等式的改进及其应用 ) = 0 2 ( 炉4 ( 卅c 2 ( 矿赤，( 3 - 1 8 ) 其中4 c 门，= 2 石甜呕( 1 石) ，c ：c 刀，= 一喜笔考( 寺 拍严“l ( 吉 + 以， 而b s 。是b e r n o u l l i 数，。即b 2 = 1 6 ，b 4 = 一1 3 0 ，b 。= 1 1 4 2 ，b 。= 一1 3 0 ， 等等，岛是余项，它与l 一i 倒数第一项具有相同的符号且绝对值 较小。 引理3 4 设( x ) ，g ( z ) 0 ，1 p + l q = 1 ，肌= n l i n 古，射如果 f ( x ) ( 0 ，+ o o ) g g ( x ) 口( 0 ，+ o 。) ，那么 ( ，g ) 户m 。1 一k ) - ( 3 - 1 9 ) 其中盖= ( 墨( 厂，砂一& ( g ，办) ) 2 ，这里l i h h = i 并且( f p 2 , 乃) ( g 非，办) o 。 ( 3 19 ) q a 等式成立当且仅当厂朋和g q l 2 线性相关，或向量h 是f p 2 和g q l z 的线性组合，且( 厂舻，h ) ( g q 2 , 办) = o ，但办不同时正挛于厂朋和g 们它的 证明类似于引理3 2 的证明，这里从略。 定理3 1 的证明：我们首先定义两个函数： 口= 南( 詈) 啪，= 南( 扩m 舻 应用不等式( 3 4 ) 估计( 3 1 2 ) 的i 右边如下： 删主删历a r a 十b i = 薹喜筇 薹喜口p ) 咖 1 ，而扎如应用e u l e r - m a c l a u r i n 求和公式 2 4 ，并 利用关系式：s i n7 r p = s i n z q ，得到 删= 防+ 扣一努， ( 3 乏2 ) 其中o r ( 咒) 是( 3 1 7 ) 所定义的函数。因此，我们有 主艺拈如簖= 妻( 南一等 群， d | p = ( 门) 簖= i l 一券i 群， , l f f i l ” ( 3 - 2 3 ) s i njrm=ln = l n = l 同理可得 茎喜矿= 砉( 赢一筹) 蟛( 3 - 2 4 ) 把( 3 2 3 ) , 1 1 ( 3 2 4 ) 4 - a ( 3 2 1 ) 5 b ，于是天就化为下列表达式： 豆： ( 薹喜口舻y ) ( 喜c 胛，口：) 叫2 一( 耋善矿) ( 砉缈pc ，娣) - 啦) 2 c 3 - 2 5 ， 因此，不等式( 3 2 0 ) 就化成了下列形式： 薹喜焘协傩啪) 小司 ( 3 - 2 6 ) 其中豆由( 3 - 2 5 ) g 舍出。 我们选取如下的单位向量y ： y ：y ( 聊，门) = 丢喜 ：i j ( 3 _ 2 7 ) 关丁h i l b e r t 不等式的改进及其应用 其中肌，z e n 显然，i t y i l 2 ：至艺y z ：1 容易算出： m s l 月兰l n o ! ，p 2 0 0 k q 2 口2 y = 等“2 7 = 等 m = ln = l - 研= l ”= l 厶 把( 3 - 2 8 ) 代人( 3 2 5 ) q b ，豆就进一步化为下列形式： r ：= 1 4 蚓必一蚓 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 从而不等式( 3 2 6 ) 可以写成下列形式： 瑟。：。，a 竹r a 十b i 喜缈。( ，z ) 口；) v ， 砉缈p ( ，z ) w ) v 9 ( t r ) ( 3 - 3 9 ) 因为向量组p 2 非和7 线性无关，所以( 3 - 3 0 ) d ? 不可能取等 号。从而不等式( 3 3 ) 成立。于是定理被证明。 附注向量y 是一个可变单位向量。它可以根据我们的需要适 当地进行选取，如文 3 0 ， 31 和 3 2 等。因此不等式( 3 2 6 ) 具有一 般性。下列推论中，我们只考虑由( 3 2 7 ) 所定义的y 的情形。 如果( 3 - 2 1 ) 中的r 用零来代替，那么我们就可以得到不等式 ( 3 - 2 ) 。显然，不等式( 3 - 3 ) 是( 3 2 ) 的一个改进。 定理3 2 的证明：我们先定义两个函数： f = 器铲，g = 器( 扩 利用不等式( 3 。19 ) ，我们有 了跫字螂= 驴出哆 l _ 目1 - ，q - - x 2 如果 翼( “( x ) ) 1 一a ( “( x ) ) 1 一p ) p ( x ) 出 + o o 且翼( v ( x ) ) 卜丑( v ( x ) )