（基础数学专业论文）约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及minimax估计.pdf

摘要 众多文献研究了回归参数矩阵b 的各种估计，特别是最小二乘估 计对于一般增长曲线模型参数估计的容许性也已经有比较成熟理 论，这些研究是对无约束情形，在齐次线性估计类和非齐次线性估计 类中展开的但是现实中的许多情形，由于对参数的先验知识等原 因，使得参数满足某些约束条件，因此，研究带约束的增长曲线模型 的参数估计的容许性具有非常重要的意义 本文考虑齐次线性约束条件下的增长曲线模型 y = x l b x i + 。 e p ) = o ，c d 擘：仃2 ( y 9 ) ( 1 ) h 8 = q y 0 z 0 其中五，置，分别为刀后，9 p ，七阶的己知设计矩阵，占为七g 阶 未知参数矩阵，仃2 o 未知参数，蚕表示占的拉直向量，矿 表示矿和 的心o n e c k e r 乘积 及 y 碱瓯+ q ，f = l ，2 ，掰 e 幢) = o ，v 缸莓) = 砰( 矿 ) 铆( 互，弓) = o ，f 歹 ( 2 ) 刀b = 0 0 矿 o 其中i ，毛均为刀p 阶矩阵，五，五，日分别为刀七，p g ，后阶的己 知设计矩阵，刀为七g 阶未知参数矩阵，称为这个模型的共同均值参 数，砰 o ( j = l ，2 ，历) 未知，为方便起见，记仃2 = ( 砰，z ，t ) ，毒表 i 示e 的拉直向量 获得了以下主要结果： 第一，在模型( 1 ) 及矩阵损失下，得到了可估函数腽分别在 齐次线性估计类厶和非齐次线性估计类中是线性容许m i n i m a x 估 计的充要条件 第二，在模型( 2 ) 及二次损失下对具有共同均值参数的增长曲 线模型研究了可估函数腽的线性容许估计和线性容许m i n i m a x 估 计，并分别获得了可估函数碰在两类线性估计类厶和4 中是线性容 许m i n i m a ) 【估计的充要条件 关键词：等式约束；矩阵损失；二次损失；容许性估计： 线性m i n i m a x 估计 a b s t r a c t d i m r e n te s t i m a t i o n so fr e g r e s s i o nc o e 衔c i e n t sm a t r i xbw e r e d i s c u s s e di nm a r l yd o c u m e n t s ，e s p e c i a l l yt h el e a s ts q 啦旺ee s t i m a t e a n d m e r eh a v eb e e nr a m e rm a n l r et h e o r i e sa _ b o u tt h ea d m i s s i b i l i t ) ，o fg e n e r a l 伊o 、吼hc u r 、r cm o d e lp a r a m e t e re s t i m a t i o n t h e s er e s e a r c h e sw e r es p r e a d i nt h eh o m o g e n e o 吣a d i l l i s s i b l ee 如i i l ；l t o i s 锄d 血ei i l 量i o m o g e n e o u sa d n l i s s i b l e e s t i m a t o r sm l d e ran o n - r e s t r i c t e dc o i l d i t i o n b u ti i im a n yc a s e s ，d u et om e p r i o rk n o w l e d g eo ft h ep a r a m e t e r s ，s o m er e s t r i c t e dr e q u i r e m e n t sa r em e t b yt h e 啦m l e t e 璐s o ，足球斌i i i l p o r t a i 瑚i sa 位a c h e dt os t u d yt l l ee s t i m 砒i o n o ft h eg r o w t hc v em o d e lp a r a m e t e r sw i t hr e s 仃i c t e dc o n d i t i o n t h i sp 印e rs t u d i e st l l eg r o 、讹c u r v em o d e l 吼d e rt h eh o m o g e n e o u s r e s t r i c t e dc o n d “i o n y = x j b x ：+ s 。 p 0 翟 【 矿 o ， o ( 1 ) i i lm e m o d e l ( 1 ) ，五，五a i l d 月a r el ( i l o 、nd e s i g i lm a t r i xo f 疗后， p g ，七o r d e r ，盯2a i l d 鼠。q a r e 幽o 、v np a r a m e t e r s ，吾i ss 仃a i g h t e n e d v e c t o r so f 占，矿 d e n o t e sm e 心o n e c k e rp r o d u c to f 矿锄d 觚d y ：截瓯+ 局，扛1 2 ，朋 e ) = o ，v 缸盖) = 砰( 矿 ) c d v ( 巨，弓) = o f _ ， h b = q 0 ，矿 0 ( 2 ) h lm en 1 0 d e l ( 2 ) ，j 】：，岛a r e 刀p o r d e r 枷k 仃2 a n d 反。q 撇m 出n o 姗 p 觚吼e t e r s ，互i ss 砌曲t e n e dv e c t o r so f 岛，仃2 = ( 砰，刃，仃：) ，y z d e n o t e st i l ek j o n e c k e rp r o d u c to f 矿a n d f i r s t l y i tc 卸b ec o n c l u d e dt h a tt h ee s t i m a b l ef h n c t i o n 翘己i st h e s u f f i c i e n c y 锄dn e c e s s 时c 伽d i t i o 鹏o f 如i s s i b l em i n i m a ) 【e s t i m a t i o n l l d e rt h eh o m o g e n e o 吣a d m i s s i b l ee 如m a t o r s 厶锄di 1 1 l l o m o g e n e o u s a d n l i s s i b l ee s t i m a t o r s i nt e 珈晦o fm o d e l ( 1 ) 锄dm a t r i xl o s s s e c o n d l y ，、es t u d i e dt h el i n e a ra d m i s s i b l ee s t i m a t o r sa i l dl i n e a r a d 血s s i b l em i n i m a xe s t i m a t o r so fl i n e a re s t i m a b l em n c t i o n 天8 li n g r o 、t hc l l r 、，em o d e lw i t hc o m m o nm e a np a 舢e t e ru n d e rm o d e l ( 2 ) 趾d q 岫缸cl o s s ，觚dm es u 伍c i e n c ya 1 1 dn e c e s s 时c o n d i t i o 邺o fl i n e a r a d m i s s i b l em i n i m a xe s t i m a t i o ni nt h em o i i n e a r 幽i s s i b l e 厶觚d4a r e c a l c u l a t e d k e yw o r d s ：e q u a l 时c o i l s 仃a i n t ；m a 仃i xl o s s ；q u a 血cl o s s ；a d l l l i s s i b l e e s t i m a t e s ；l i n e a rm i n i m a xe s t i m a t i o n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 荏菲 加芳年f 月2 孑日 l7 j 、 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期：沪君年 日切年 f 月冯日 ，只劣甚 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i l l i m a x 估计 1 1 符号说明 1 绪论 彳 刀 矩阵4 与男的h o n e c k e r 乘积 ( 彳) 矩阵彳的列向量张成的线性空间 r ( a )矩阵4 的秩 彳 矩阵彳依列拉直得到的列向量 彳7 矩阵彳的转置 彳一 矩阵4 的广义逆 彳+ 矩阵4 的m o o r e p e i 啪s e 广义逆 只向空间( x ) 的正交投影阵 m 。l p 。 随机矩阵或向量x 的均值 ( x ) 随机矩阵x 的协方差阵 g c m 增长曲线模型( 舶卅hc u r v em o d e l ) b l u p最优线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b i a s e dp r e d i c t i o n ) = “定义为或“记为 4 却矩阵彳为对称半正定矩阵 彳 o矩阵彳为对称正定矩阵 a 之ba 0 ，b 2 0 且a 一b o 缸彳)矩阵么的迹 l 高校教师在职硕士学位论文 r “ n 维欧氏空间 尺h 7 所有k x r 阶的实元素矩阵的集合 d i m ( s )线性空间s 的维数 1 2 研究背景 对于统计模型的研究，最基本问题之一是参数估计，以便人们根 据参数估计的结果进行统计分析，由此统计分析结果的好坏往往依赖 于参数估计的好坏 二十世纪四十年代末，久w a l d 创立了统计决策理论，目的是把形 形色色的统计问题归纳到一个统一的模式内，并由此产生了很多新的 统计问题以及新的研究方向，可容许性就是其中之一目前，在损失 函数为二次损失和矩阵损失下对可容许估计已有许多研究，如c o h e 玛 彳【3 3 】、z o n t e l ( ，s 【州和k a r l 咄s j 3 5 】等李新民等【1 6 1 研究了设计矩阵具有相 同值域的相依回归模型，在矩阵损失下给出了回归系数的线性估计是 可容许估计的充要条件；陈清平研究了多元线性模型中共同均值参 数的估计问题，针对矩阵损失函数，给出了不同形式的优良准则，得 到了在相应的估计类中均值参数矩阵的线性可估函数的线性估计的 可容许性特征；吴启光等【2 5 1 对随机情况下参数估计的可容许性也进行 了研究 假如我们不是全面对风险函数进行逐点比较，而只对风险函数某 一侧面进行比较，从中选出在这一侧面上最优的决策函数，这就形成 了众多统计决策准则，其中尤其以最大最小准则和贝叶斯风险准则最 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i n j m a ) 估计 常用和最有意义我们知道风险函数提供了一个衡量决策函数好坏的 尺度，我们自然希望选取一个决策函数使得它的风险尽可能的小，这 样就引入了m i n i m a x 估计 在损失函数为矩阵损失和二次损失下对晰n i m a x 估计有许多研究 在助正态随机向量，x 与矿均为 阶单位阵，损失函数为丝坐的 假定下，对夕的m i n i m a x 估计有不少研究，如k h u r s h e e d ，】和 b a r a n c h 吣彳【2 】等对共同均值的m i n i m a x 估计的研究有c o h e 皿彳【3 】和 k u b 帆州4 1 等在损失函数为，( 吐s ) = 等端的情况下徐兴 忠【5 1 、喻胜华【6 】、温忠麟【7 】等对线性模型的回归系数的线性m i n i m a x 估计进行了研究，给出了回归系数的线性m i n i m a ) 【估计及其最大风险 的表达式谭萄【8 1 9 】、王成名【9 】、刘郁文【1 0 i 】等对m i n i m a x 可容许估计进 行了研究在增长曲线模型中冯文娟【1 2 】、刘郁文【1 0 i l 、赵建昕【1 3 】、孙 孝前【1 4 】等对系数矩阵的线性m i n i m a x 估计进行了研究 增长曲线模型起源于1 9 3 8 年w i s t 斌研究不同组间动、植物生长情 况1 9 6 4 年p o h o o f 和i 埘d 将增长曲线模型定义为： f y = 船z + g 占一( o ，o )( 1 2 1 ) 【 o 其中】，是力g 的观察值矩阵，g 是刀g 的随机误差矩阵，x 和z 分别 是刀p 和后p 己知的设计阵，丑为参数矩阵，为g 阶单位矩阵，为 己知的投阶对称正定矩阵 增长曲线模型是比一般线性模型更广泛的模型，在许多领域如生 高校教师在职硕士学位论文 物学、医学、工艺替代、经济预测方面都有应用近十年来许多统计 学家都对此作了许多深入的研究，研究了模型( 1 2 1 ) 的参数估计，估 计的容许性、假设检验和预报，给出了许多不同条件下增长曲线模型 中未知参数的极大似然估计 几e ) ；1 9 8 9 年v o i 瓜o s e n 【2 5 】在均值无约 束、约束存在、观测有缺失三种情况下，分别给出了g c m 中回归参 数阵的m l e ；1 9 8 8 年潘建新给出了回归参数阵b 的最小二乘估计 ( l s e ) 及参数阵线性函数仃( c ，b ) 的最佳线性无偏估计( b u 厄) 及其 g a u s s v 定理对于一般增长曲线模型参数估计的容许性也已经 有比较成熟的理论，如【1 5 】- 【1 7 】，这些研究主要是在矩阵损失跟二次 损失函数下，在齐次线性估计类和非齐次线性估计类中展开的 在实际中，当我们对具体问题有了一定附加信息后，这些信息往 往可以用约束条件的形式描述因此对带有约束条件的增长曲线模型 的研究具有理论与现实的意义文献中对这种带有约束条件的增长曲 线模型的容许性研究比较少，本文就对这种带有约束条件的增长曲线 模型的容许性作进一步的研究 本文在矩阵损失或二次损失下，主要研究了以下两种增长曲线模 型 y = x l b x ：+ s ， e ( 占) = o ，c d 譬：仃2 ( y 。) ( 1 2 2 ) h b = q 、 矿 o o 4 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i i i i m a ) 【估计 y 截甄+ q ，f = l ，2 ，柳 e 憾) = o ，瞒) = 砰( 矿 ) c 0 y ( 互，弓) = o ， ( 1 2 3 ) h b = 0 z 0 ，矿 o 中可估函数舰的线性容许估计和线性容许m i n i m a x 估计 对于增长曲线模型参数的容许估计的研究不少，但对于约束条件 下增长曲线模型参数的容许估计和容许m 诚m a x 估计的研究还很少， 因此，本文第二章讨论了约束增长曲线模型在矩阵损失下参数的线性 容许估计和线性容许m i n i m a x 估计，得到了在约束条件下参数的线性 容许估计和线性容许m i n i m a x 估计的充要条件，如定理( 2 2 1 ) 和定理 ( 2 3 1 ) 第三章在二次损失下对带约束条件的具有共同均值参数的增 长曲线模型，分别在齐次线性估计类厶和非齐次线性估计类中讨论 线性容许估计和线性容许m i n i m a x 估计的充要条件，主要得到了定理 ( 3 2 1 ) ，( 3 3 1 ) 和( 3 4 1 ) 1 3 预备知识 定义1 3 1 【2 9 】设参数真值为目，人们采取的行动为口，则所遭受 的损失值可表示为口与p 的函数三( p ，口) ，则称之为损失函数 定义1 3 2 例设万( x ) 是一个统计决策问题中的决策函数，则 尺( 臼，万) = 乓p ( 汐，万( x ) ) = 三( p ，万( z ) 访( x ) 础( x ) j 称为决策函数艿( x ) 的风险函数，其中控制测度，常取l e b e s g u e 测度 或计数测度 定义1 3 。3 【2 8 】若在决策函数类矽中可选出这样的决策函数万( 工) ， 气 高校教师在职硕士学位论文 使得 2 珏翟尺( 毋，万( x ) ) 2 翟r ( 占，艿( x ) ) 则称万( z ) 为该统计决策问题在最小最大风险准则下的最优决策函 数，简称最小最大( m i n i m a x ) 决策函数，在点估计问题中，万。( x ) 称为 最小最大估计 定义1 3 4 2 8 1 对于两个判决函数万和万，若尺( 只扩) s 尺( 曰，万) ， v 目o ，称矿一致优于万，且不等号至少对某个岛o 成立若不存在 一致优于万的判决，则称是万可容许的 下面我们不加证明的给出一些结论( 证明详细见王松桂【1 9 1 ) 定义1 3 5 对矩阵以。一切满足方程组 删= 彳 的矩阵z ，称为4 的广义逆，记为f 定义1 3 6 设z 彤，s 为尺”的一个线性子空间，对x 做分解 x = y + z ，其中y s ，z s 上， 则称y 为x 在s 上的正交投影 定义1 3 7 设p 为n 阶方阵，并且对一切x 彤定义1 3 6 中定义的y 满足y = ，则称p 为向s 的正交投影阵 定理1 3 1 设以。为任一矩阵，硪【l l ( ( 4 ) = r ，若 叫矧q 这里尸，q 分别为历功和刀，的可逆阵，则 彳一= q 一 量； p 一 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i n i m a x 估计 这里d ，e 和f 为阶数适当的任意矩阵 推论1 3 1 对于任一矩阵彳，有 ( 1 ) 4 一总是存在的： ( 2 ) 彳一唯一彳为可逆方阵且4 一= 彳+ ( 3 ) 设彳为对称方阵，将彳表为 4 2 p 菌口g ( 丑，丸) p 此处p 为正交阵，( a ，丸) 为彳的全部特征根，咖( 丑，丸) 为一对角 阵，其主对角线元素依次为丑，以，则彳之一广义逆为 彳一= 黝垤( 甜，矸) 尸 此处约定冒= 慌瞄因此若彳对称 则必然存在对称骱，由以 上所述，可知，彳一是彳的推广 推论1 3 2 对任何一矩阵a ，有 彳( 彳_ ) 一彳彳= 彳，彳彳( 彳么) 一4 = 彳 定理1 3 2 设彳为册拧矩阵，只为向( 彳) 的正交投影阵，则 只= 4 ( 4 _ ) 一彳 显然只为幂等方阵，即只2 = 只 得 引理1 3 1 ( 谱分解) 设彳是刀阶实对称矩阵，则存在正交阵尸，使 彳= p d i a g ( 丑，厶) p 其中a ，以为彳的特征值，a ，4 o ，聊蚁4 ) = r 则有 4 = a 仍，如= 磊 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 高校教师在职硕士学位论文 称( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 所给出的为谱分解式 定义1 3 8 设彳= ( a ；f ) 和b = ( 气) 汽) 分别为m 刀，p g 的矩阵，定 义矩阵c = 魄b ) 这是一个叩叼的矩阵，称为彳和b 的c k e r 乘 积，记为c = 彳 b ，即 彳o b = 口i l bq 2 艿 吗i bq 2 曰 ： l 口2 口 q 。b 吒。曰 口舢曰 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i l l i m “估计 2 矩阵损失下带约束增长曲线模型中参数 矩阵的线性容许m i n i m a x 估计 2 1 引言 考虑带线性约束的增长曲线模型 y = x l b x ：+ ， ) = o ，c o l ，( 蚕) = 仃2 ( y ) 坳= o 矿 0 z 0 ( 2 1 1 ) 其中置，五，日分别为疗七，g xp ，七阶的己知设计矩阵，b 为后g 阶 未知参数矩阵，仃2 o 未知参数，暑表示占的拉直向量，矿9 z 表示y 和 的k r o n e c k e r 乘积 詹金龙，陈建宝【2 3 j 在二次损失下讨论了带约束回归系数的线性 估计的可容许性；王欣【2 l 】在二次损失下讨论了增长曲线模型参数阵的 线性容许性估计和m i n i m a x 估计，并且证明这种估计是唯一的本章从 另一方面矩阵损失来研究带约束增长曲线模型的线性容许估计和 m i n i m a x 估计 记 厶= m ：m ，分别为，阶，p 朋：阶常数阵，z = ：( 肘+ c ，m 厶，c 为嘲朋：阶常数阵) 考虑可估函数碰( ( k ) ( 五) 且( 三) ( 五7 ) ) ，其中，分 别为后，g 鸭阶常数矩阵 高校教师在职硕士学位论文 取矩阵损失函数为： 印删2 笨茹曷 盯+ 毒m a ) 【i 睨4 i a 口。i ( 2 1 2 ) 其中善= 护( 三觇) 护( 观( 墨y 一1 置) 一) ，b = ( ，一晶，) 4 ，昂，= 日7 ( 删) 一日， 置= 五u 一乓，) ，r = 置叫量，霞= k ( ，一名，) ，u 是已知阶方阵，且三观 o ，其谱分解为 三观7 = 主五q q ，q 哆= 主：i 二 损失函数( 2 1 2 ) 是一种刻度化的矩阵损失，其实际意义参见p e 盯o n f 【2 0 】中的引言，u 的作用是对各处分量进行加权处理，且u 可为单位矩 阵 记肘和肘w + c 的风险函数为 尺( 丸f ，舰，仃2 ) = e 三( ，舰) 和 尺( 倒+ c ，碰，仃2 ) = 三( a 删+ c ，舰) 2 2 模型( 2 1 1 ) 的回归参数矩阵在厶中的m i n i m a x 容许估计 定义2 2 1 设m ，m 。“厶是觑的任意两个估计，称唧一 致优于m 川，如果对任意的( 曰，仃2 ) 和，r2 j ：，尺鸭，= 1 ) ，有 ，尺( 肘，碰，仃2 ) ，茎，尺( m w ，碰，盯2 ) ，且严格不等号至少对某个 ( 曰，仃2 ) 和，成立，如果在厶中不存在一致优于肘的估计，则称m 在厶中是舰的可容许估计 定义2 2 2 设m ，m m 厶是碰的任意两个估计，若 l o 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i l l i m a ) 【估计 m i ns u ps u p ，尺( a 删，舰，盯2 ) ，= s u ps u p ，尺( m l w ，舰，仃2 ) ， ，e 飓( 日，lj 咫( 口，口2 l 则称m 蹦在厶中是拢的m i n i m a x 估计，如果一个m i n i m a x 估计又是 可容许的，则称其为容许m i n i m a x 估计 同理，可定义狮w + c 是觑的可容许估计、m i n i m a x 估计、 容许m i n i m a x 估计 引理2 2 1 在模型( 2 1 1 ) 和损失函数( 2 1 2 ) 下，若舰可估， m 厶，则 ( 1 ) r ( m ，舰，仃2 ) = 型竺竺挲唑掣绺掣坐丝叫) 仃2 + 善m a x l 彳刚口ll 、。 ( 2 ) r ( 呢，碰，仃2 ) r 删7 ，舰，盯2 ) 对一切( b ，盯2 ) 成立，且等 号成立的充要条件为 峨2 m ，叫。洲， 其中& = 墨( 暑7 一1 置) 一量7 一，气= 五( 墨矿一1 五) 一墨y t 证明由肘厶，及文【3 2 】中引理2 2 的证明方法可得 e ( 刀悄7 ) = 五b 冀删墨丑+ 盯2 驴( 彳) ( 2 2 2 ) 从而 一，= 塑竺黠幂一 仃。+ c m a x i 口。a 。f a c li 即( 1 ) 成立 帅皿膨从帆噼等兹篇铲 高校教师在职硕士学位论文 “屹哪观引= 掣嚣酱型 仃+ 亡m a x i 口：47 = ，z 口i e ( 肘一舰) u 唧一龇) e 陋一屹+ 警一碰) u 陋一屹+ 屹璎：一碰) = e 陋嘿砷吣删一岷呢 9 + 斗删一屹呢 9 她一删 蚓呢- 删呻唧_ 屹砷+ e _ 删帆呢- 删 = 印删一蚝呢砷删一岷砷+ 犯呢一删峨一删 e ( 绲呢一比觇) u ( 吃一船e ) ， 且等号成立的充要条件是 e ( 删一九吃珲：) u ( 删一九吃暖) = o m ( ，一乞) e y ( ，一& ) 删( ，一) 7 y ( ，一& ) m = 。 由( 2 2 2 ) 式，得m ( ，一& ) = o ，叫( ，一乞) = o 即 屹= m ，唧= 洲 引理2 2 2 设m 跗厶是腽的一个估计，对一切，足，有 ( 1 潞，吹陋，舰，仃2 ) ，护( 洲w ) j m 蹦7 ( 2 2 3 ) ( 2 罱，僻陋，觑，仃2 ) 胁( 洲觋) ，陋一妒一砂( 2 2 4 ) 证明根据尺( m ，觑，仃2 ) 一仃2 护( u 跗) m m 7 + ( 丸瞳一露) 舭 u ( 九函一霞) 碰 ， 一_ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - - _ - _ _ - _ ；二_ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ：= ：_ _ _ _ _ 二= = _ 二一 兰 仃2 + f m a x ( q 彳弛) 且有掣p ，尺( 蜊，碰，仃2 ) ，尺( 删，舰，仃2 ) ， i b c r 2 l 取肛0 ，易得( 1 ) 成寺 1 2 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i t l i m a x 估计 令仃2 一o ，可得 掣虽，尺( m ，托乩，盯2 ) ，璺婴职p 删，比睨，仃2 ) ， ( b ，) 。制 ( 2 2 5 ) 在( 2 2 5 ) 式中取彳= 主叫，口= 7 一d 瓯一玄) 7 ，即可得到( 2 ) 引理2 2 3 在模型( 2 1 1 ) 和损失( 2 1 2 ) 下，若舰可估，则肘 在厶中是k 脱的可容许估计的充要条件为： i 屹= m ； i i 洲毁= 删； i i i 城= 霞或者橱霞，但对任意 ( o ，1 ) ，有 嘲r 一础前一础一蛾r 一叫1 一力) 峨一詹) r 呲一霞) 却不成立 证明仿文【3 l 】将受约束的线性模型( 2 1 1 ) 化为无约束的 i 】，= 五( j 一昂，) 戤+ s 模型 互p ) = 0 ，国y ( 量) = 仃2 ( 矿oz ) ( 2 2 6 ) 【 b 啦 o 可证明条件可估函数觑的线性估计的容许性等价于模型( 2 2 6 ) 下 k ( ，一0 ，) 儿线性估计的容许性，利用引理2 2 1 ，参考文献【2 2 】中引理2 2 的证明可得其中墨= 墨( ，一玮，) 定理2 2 1 在模型( 2 1 1 ) 和损失( 2 1 2 ) 下，若腽可估，则 ( 1 ) m 附在厶中是舰的m i n i m a x 估计充要条件是： ( a ) 洲2 洲 ( b ) 丢丑( 霞丁一霞) a 肼7 ) 高校教师在职硕士学位论文 ( c ) ( 霞旧) 五 一霞) 丁一一它) 7 ( 2 ) 若a ( 霞丁一霞) o ，删在厶中是碰的m i n i m a x 可容许估计 的充要条件是：a ) ，b ) ，c ) 和峨= m 同时成立其中a 是方阵的最大特 征根 证明( 1 ) 必要性：由m i n i m a x 估计的定义及引理2 2 1 易知( a ) 成立 假设m 在厶中是舰的m i n i m a x 估计，则有 翟涡职( 三灯雄1 ，龇 ， 蚍p ，s u p ，欠( 彳l 】l 也i i ：比，仃2 ) ， ( 2 2 7 ) f e 恐f 日，i 而由引理2 2 1 及腽可估，可得 翟潞，欲( 三灯一乖。1 ，舰) ， = 鲫ps u p j 啦( 一c r 2 ) 鲫ps u p 屿( c r 2 ) 事实上，根据s c h w a r z 不等式，对任意的，r ，有 ，讹u ( 讹嶙丑p 雄电一；酏r 瘁去一；驰) 至丑q 彳7 q ，露丁一霞7 i = i 护( 三观) 懋( q 彳翻口j ) ，露r 霞， ( 2 2 1 0 ) 将( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 8 ) 式中，即得( 2 2 9 ) 由条件( a ) ，( 2 2 9 ) 和( 2 2 1o ) 知 1 4 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i i i i m a x 估计 翟涡职( 圭灯一雄一1 巩碰 ，丢伊( 洲例) ( 灯_ ) = 三驴| - 觇( 置置) 一 丑( 霞丁一霞) ( 2 2 1 1 ) 4l 、 7 j 1 、， 、7 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 1 1 ) 及引理2 2 3 知( b ) ，( c ) 成立 充分性：假设碰的估计m 满足条件a ) ，b ) ，c ) 根据s c h w a r z 不等式 有 s u ps u p ，嗄( 彳】mj 姐e ，仃2 ) ， = 翟罱塑竺鬻筹一 l 啦( 4 矿) 仃2 + 善m 觚i 。彳7 尉qi 咖( 叫，煳+ 驴( 洌) 懋( q 7 弛) ，陋一目r 她一霞) ， 翟涡z 盖耘五广一 s u ps u p j e 心( 彳矿) 丢吐观7 ( 置矿1 五) 一 ( 霞丁一霞) ( 2 2 1 2 ) 丹假砹m l 删i 是刖儿明仕恧一i 、佰计，很琚引埋z = z z ，侍 s u p 豫眠瓯，超己，仃2 y ( 口，c r 2 ) 舡( 删) j m 聊+ 伊( 嘲& ) ，似置一霞) ，一似置一玄) 7 刁 三矿( 州最；) 厂 m 酬+ ( m 置一霞) 丁一( m 毫一霞) ， ， = 昙吐觇( 缈1 置) 一三 ， a 毛( 一置丁一曩) a 吖+ 2 ( m 置一圭霞 r 一( m 墨一吉霞) + 圭霞丁一霞7 ， 护 观( 托矿q 五) 一三 ，( 霞r 一霞) ， ( 2 2 1 3 ) 高校教师在职硕士学位论文 对一切的，足成立其中最后一个不等号用到一五丁一x 却 由( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 可得充分性得证 ( 2 ) 必要性：假设m m 是觑在厶的一个m i n i m a x 估计，根据( 1 ) 的必要性及引理2 2 2 证明过程知必要性显然成立 充分性：只需证明引理2 2 3 中的( 3 ) 即可根据( 2 2 1 2 ) ( 2 2 m ) 和 吐观( 砂_ 五) 一 o 得： 矿卜张) 肌2 陋一渺州妒霞卜 = 三，7 灯玄叩 不妨设，7 是它r 霞的最大特征根对应的标准化特征向量，则有 刀m ( 一墨r 戽) = o ，矿( 霭一三霞) 丁一= o ，7 m = 妻，7 位丁一率1( 2 2 1 4 ) 即如果城= 霞，则命题得证 如果垴它，根据( 2 2 1 3 ) 和a ( 灯霞) o 得，对于任意实数 办( o ，1 ) ，有 矿 啦丁一础一打伽一憾心- ( 1 叫一霞) 丁一陋一霞) 卜 = 字，7 盱硒= 字丑( 肛霞) 0 ，矿 0 其中k ，岛均为拧p 阶矩阵，五，五，日分别为力七，p g ，后阶的 己知设计矩阵，曰为七q 阶未知参数矩阵，称为这个模型的共同均值 参数，砰 o ( f = l ，2 ，肌) 未知，为方便起见，记仃2 = ( 砰，一，仃三) ，亏 表示岛的拉直向量 设碰为参数b 线性可估函数，其中k ，分别为码七，g 阶的 已知矩阵，易知腽线性可估当且仅当( k ) ( 五) ，( ) ( 置) ， 其中”( 彳) 表示由彳的列向量张成的线性子空间选取估计类为： ： m e m ：m ，m 分别为聊。刀阶，p 鸭阶常数阵， m 五：尺，k 行满秩，f = l ，2 ，臃 = ( m z m + c ：m z m 磊，c 为啊肼：阶常数阵) 对于一般的线性模型，c o h e n ，4 【3 】和k u b a l ( a w a 州等研究了共同 高校教师在职硕士学位论文 均值的m i n i m a x 估计；李新民【1 6 】等研究了相依回归模型的线性容许估 计和m i n i m a x 估计；关于增长曲线模型中共同均值参数的线性估计的 可容许性，尤进红【17 】、陈学华【埔】等在特殊线性估计类中对其进行了一 些研究；王欣【2 l 】在矩阵损失下讨论了增长曲线模型中共同均值参数 的线性容许性估计和m i n i m a x 估计笔者在给定线性估计类后，研究了 在二次损失及等式约束下增长曲线模型中共同均值参数线性容许估 计和线性容许m i n i m a x 估计 3 2 模型( 3 1 1 ) 中共同均值系数阵的线性容许估计 取损失函数为：( d ，船己) = ( d 一尼钇) ( d 一船) ( 3 2 1 ) _研埘 尺( m z m ，碰，仃2 ) = e ( m z m 一碰) ( m 影m 一舰) i = lf = l扛i = 善椰州m 驯) + 陲定m 一三卜黜陲昱m 一刁( 3 2 2 ) = 砰m 巩驴( m 叫) + i 定m 一三i 占x 黜i 昱m 一三i ( 3 2 2 ) i l i i = lf = l 尺( m r m + c ，脱，仃2 ) = e ( m z m + c 一舰) ( m z 川+ c 一觑) ，= if = lf = l = 姜砰删毗吣 皿陲聃三 + c 】阿喜聃三 + c = 砰哪w 驴( m 叫) + l 皿i 显m 一三i + c | i 船l 昱m 一三l + cl i 1 l i = l ilj = ll 其中占= 彳( ，一昂，) ，丘= ( ，一昂，) 墨，三= ( ，一昂，弘， & = 五( 墨7 一1 五) 墨z 一，乞= 丘( 丘丘) 一丘 ( 3 2 3 ) 定义3 2 1 设主m z m ，主孵r 盯厶是船己任意两个估计，如果 对任意的( 曰，仃2 ) ，有 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i n i m a x 估计 尺( m z m ，舰，矿2 ) j r ( 珥z ，觑，盯2 ) ， i = li = l 且严格不等号至少对某个( b ，仃2 ) 成立，则称m r m 一致优于 i = l 研r 盯如果在厶中不存在一致优于m r i ，则称m e ：f 在厶中 i = li = ti = l 是碰的可容许估计 类似地，可定义m z m + c 在4 中是舰的可容许估计 扛i 仿引理2 2 1 的证明，可得 引理3 2 1 在模型( 3 1 1 ) 和损失函数( 3 2 1 ) 下 尺& 曝：川，舰，仃2 ) 月w ，龇，仃2 ) ， 尺( t 丘朗麓m + c ，碰，盯2 ) r ( t w + c ，碰，仃2 ) 对一切( 曰，仃z ) 成立，且等号成立的充要条件是 m j = m i p x l ，m = n ：。 定理3 2 1 在模型( 3 1 1 ) 和损失函数( 3 2 1 ) 下，若碰可估，则 杰m z m 在厶中是碰的可容许估计的充要条件为： ( i ) m = m 乞； ( i i ) 川2 睨； ( i i i ) 存在非负常数嘎o ，使得= l ，且m = q ，f 乩2 ，聊，其中 i _ l = m ； f = l ( i v ) 毫n 三或豆n 三，但对任意办( o ，1 ) ，存在口= ( ，口：，口州) 使 哪z 7 7 一三蝴承：n 勘，一承：n - ) o( 3 2 4 ) 2 1 高校教师在职硕士学位论文 不成立，其中r = 忌矿一忌 证明 充分性：若必z m 在磊中不是舰的容许估计，则存在 i = i m 。z 厶使得丝。z 越。一致优于艺m r m ， f = ii = l f = l 由引理3 2 1 ，不妨设m ，2 m ，& ，弼2 m 乞，由( 3 2 2 ) 式，便有 mm 砰弼吼。拜川眦 ( 3 2 5 ) i ii - 1 陲砜一三卜呦陲矾一三) 陲震卜船陲显) 即 ( 是m 一三) 曰x 黝( 震m 一三) ( 宠一三) b x 船( 霹一三) ( 3 2 6 ) 对一切的刀硝。- 及仃2 = ，z ，仃三) o 成立，其中川= m 。 i 1 设存在非负常数屈o ，使得屈= l ，m 。= 屈m ，m = f = l 2 ，小 由( 3 2 5 ) 式对对一切仃2 成立可得( 3 2 5 ) 式等价于 朋料 瑶n 洲。n v n ， 由屈= 啦= l ，及 忙if = l 气且风 o ，从而有 m 。， f = i 0 ，屈0 ( 扛l 2 ，肼) 得：存在乇使履 郇碱哪( 3 2 7 ) 由文献【2 9 】中引理3 1 有：( 3 2 6 ) 对一切的曰科。- 成立，等价于存在 办【- l ，l 】使 叉：n 。一= h 0 又：n 一、)( 3 2 8 ) 约束增长曲线模型中回归参数阵的线性容许性估计及m i i l i m a ) 【估计 若丘= 三，则从( 3 2 8 ) 式有：丘川= 三= 是7 ，再由m = 肘；& ， 川= 睨，m - = m & ，h = 孵咚：，知善m r m = 荟m - ，：m - ，荟m - z m - 不可 能优于m z 川 若丘三，对任意厅( o ，1 ) ，由( 3 2 8 ) 式有 丘7 1 = 居丘+ ( 卜d 三 从而川= 喁：= 五+ ( 卜dz 7 ( 忌矿一1 丘) - 置矿一1 代入( 3 2 7 ) 式有： 即 五，+ ( 卜脚z r 影y 一1 y 西 r + ( 卜励矿一1 丘r 三 = j i ，2 y + ( 1 一d 居三z 一是+ ( 1 一j i ，) 2 三丁一丘y 一1 丘丁一三 + 由( 卜d 7 置r z 哪一三7 丁一三+ 由( 彰三) 7r 一( 爱一三) o 对一切的口= ( q ，口，) ( = 1 ，呸却) 成立，这与定理3 2 1 中的( i v ) 相矛盾充分性得证 必要性( 1 ) 设m k m 是碰在厶中的可容许估计，由引理3 2 1 j = l 可得i ) i i ) ( 2 ) 若加( 川眦) = 0 ，f = l ，2 ，聊，则m = o ，( i i i ) 显然成立 若矿( m 烈) 不全为零，取岛= p ( 邮以) i ，4 = i 6 ll 匆 1 ，m、“ f = i 则对舰的另一个线性估计4 zd i 厶，有 驴 尺( 妻m e m ，舰，仃z ) r ( 艺4 z 口，舰，仃z ) f = if = l m = 护 i - l 高校教师在职硕士学位论文 砰聊h 印( m 驯) + ( 震一三) 7b k 黜( 是一三 ( 昱一三) 口x 黜( 震一三) = 护 芝砰川眦护似叫) 一艺砰聊忸f ，( 4 列) i - ii = l rm = 护i