（基础数学专业论文）两类非线性边值问题解的存在性.pdf

两类非线性边值问题解的存在性 杨景保 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：韦忠礼教授) 中文摘要 随着科技的发展，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、 控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问 题的过程中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支非线性泛函分析 它主要包括半序方法、拓扑度理论、锥理论和变分方法等内容，为当今科技领域中 层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其足在处理应用学科中提 出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和j s c h a u d e r 将这一概念 推广至u b a n a c h 空间的全连续场，后来e h r o t h e 【1 - 2 】，m a k r a s n o s e l s k i i 【3 - 4 】h a m a n n 5 】，k d e i m l i n g 【6 】，m s b e r g e r 7 1 等对拓扑度理论、锥理论及 其应用进行了深入的研究，国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、孙经先 教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就( 这方面的内容参 见 s - 1 6 1 ) 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论、上下解方法等研究了含 蔫j p - l a p l a c i a n 算子的非线性常微分方程边值问题和二阶微分系统中的奇异s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题的正解的存在性等问题丰要内容如下： 第一章列出了后面几章用到的有关定义及不动点定理，这些内容在后面的主 要结果的证明中是至关重要的 第二章考察了下面含有一维p - l a p l a c i a n 算子的非线性两点边值问题 i ( u 7 ( ) ) ) - t - f ( t ，u ( ) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， t 以o ) ：4 ， 孔( 1 ) ：b ， 的可解性通过应用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理，得到了这类边值问题的解的几 个存在性定理主要结果表明：如果非线性项在其定义域的某个有界子集上的“高 山东大学硕十学位论文 度”是适当的，那么该问题必存在解或正解用这种方法类似地可以讨论边值问 题 f ( 如( ( f ) ) ) 7 + 厂( 钍o ) ，( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， i 仳( o ) = c ( 1 ) = h ， 第三章研究了下面含有p - l a p l a c i a n 算子的非线性四点边值问题， i ( 妒p ( ( ) ) ) 7 + ，( ，t l ( ) ，( ) ) = 0 ，0st l ， i a u ( o ) 一札k ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 石l ( ，7 ) = 0 ， 通过构造一个全连续算了并结合范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理得到了正解 存在的几个充分条件 第四章主要讨论了下面的含：t 百p - l a p l a c i a n 算子的非线性奇异四点边值问题 j ( ( ，z ) ) ) 7 + 矽( ) 巾，i ( ) ，? ) ) = 0 ，0 t 1 ， l a u ( o ) 一p 乱k ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 5 u ( o ) = 0 通过应用范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理，我们获得了几个正解的存在性定 理 第五章考察了二阶微分系统中的奇异s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题正解的存在性， 通过使用上下解方法，我们得到t c o ，l 】xc o ：l 】和c 1 f 0 ，l jxc 1 f 0 ，1 j 正解存在的 充分必要条件我们的非线性项 ( ，z l ，2 7 2 ) 在z l = 0 ，z 2 = 0 ，t = 0 或= 1 ，i = 1 ，2 处可能是奇异的 关键词：p - l a p l a c i a n 算子；l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理；锥拉伸与压缩不动点 定理；多点边值问题；上下解方法 山东人学硕十学何论文 a b s t r a c t w i t ht h eg r e a td e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l ls o r t so fn o n l i n e a r p r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ， e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n g s u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e e nb e i n go i l eo ft h em o s ti m - p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e r nm a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n c l u d e sp a r t i a lo r d e r i n g m e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , c o n et h e o r ya n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d a l s o i tp r o v i d e sam u c he f f e c tt h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si n t h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c l m o l o g y a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n t a p p r o a c hf o rs t u d y i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e d m a t h e m a t i c s l e j b r o u w e rh a de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o no ft o p o l o g i c a ld e - g r e ef o rf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 j l e r a ya n dj s c h a u d e rh a de x t e n d t h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e t e l yc o n t i n u o u sf e l do fb a n a c hs p a c ei n1 9 3 4 ：a f t e r w a r d e h r o t h e 1 - 2 ，m a k r a s n o s e l s k i i 3 _ 4 】，h a m a n n 5 】，k d e i m l i n g 【6 1 ，m s b e r g e r 7 】，e t c h a dc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho nt o p o l o g i c a ld e g r e ea n d c o n et h e o r y m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ，s a yz h a n gg o n g q i n g ， g u od a j u n ，c h e nw e n y u a na n ds u nj i n g x i a ne t c ，h a dp r o u dw o r k si nv a r i o u s f i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e e 8 - 1 6 ) t h e p r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e se x i s t e n c eo fp o s i t i o ns o l u t i o n sf o rs o m e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c i a na n d s i n g u l a rs t u r m l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ras e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a l s y s t e mb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , c o n et h e o r yo rt h em e t h o do fl o w e r a n du p p e rs o l u t i o n s i ti sm a d eu po ff i v ec h a p t e r sa n dt h em a i nc o n t e n t sa r ea s f o l l o w s ： c h a p t e r1g i v e ss e r v a ld i f i n i t i o n sa n df i x e d - p o i n t st h e o r e m s ，w h i c hw i l lp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nn e x tc h a p t e r s c h a p t e r2c o n s i d e r se x i s t e n c eo f s o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m sw i t ho n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a e i a no p e r a t o r j ( 如( u 7 ) ) 7 + f ( t ，u ，札7 ) = 0 ，0 t 1 ， l 牡，( 0 ) = a ，u ( 1 ) = b b yu s i n gl e r a y - s c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m ，s e v e r a le x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u - t i o n sa r ee s t a b l i s h e df o rt h ec l a s so fe q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t ss h o wt h a tt h e c l a s so fe q u a t i o n sh a sa tl e a s to n es o l u t i o no rp o s i t i v es o l u t i o n si ft h e “h e i g h t ”o f m 山东大学硕十学位论文 n o n l i n e a rt e r mi sa p p r o p r i a t eo i lab o n d e ds u b s e to fi t sd o m a i n b yt h es a m e w a y , w ec a ns t u d yt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f ( 如( 牡( ) ) ) + ( t ，t ( ) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 【u ( o ) = g ( 1 ) = h ， i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rf o u r - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hap - l a p l a c i a no p e r a t o r ( 如( 1 1 7 ( ) ) ) + f ( t ，l 。( ) ，l t ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， a u ( 0 ) 一p ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 6 ( ，7 ) = 0 s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e db y c o n s t r u c t i n gac o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o ra n dc o m b i n gf e d - p o i n tt h e o r e m o fv o i l ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o no fn o r mt y p e i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs i n g u l a rf o u r - p o i n tb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a no p e r a t o r i ( ( 乱他) ) ) + 妒( f ) 邢，札( ) ，乱，( ) ) = 0 ，0 0 ，使得 当t l ，t 2 a ，6 】，i t l t 2 l 0 ，t ( 0 ，1 ) 2 2 主要定理及其证明 对于乱c 1 【o ：1 1 ，定义其 删1 1 1 , , 1 1 i = m a l l u l l ，i l t 圳) ，这里 h 2 躐l ，1 1 “ 1 12 唆m a 三x i u t ( ) i 设妒( ) = a t + ( b a ) ，记l2 o o ，则是c 1 【0 ，1 】中的有界凸闭 集 2 山东人学硕十学位论文 为= 万便，记r = ( 一。，+ o o ) ，r + = 【0 ，+ o 。) 定理2 2 1 假如，：【0 ，1 】r r r 是连续的并且存在正数d ，使得 m a x i f ( t ，u ，u ，) i ：0 t 1 ，i f 钍j | l + d ，i i 扎，| i l a i + d ) 奶( d ) ， 则边值问题( 2 i 1 ) 至少有一个解“v d 满足i f u + i l l + d ，i l ( u ) ，i i l a i + d 证明设d 是c 1 0 ，1 】中的有界集，则m = s u p l l l u l l l ：i t d ) + 如 果，“d ，那么u | | f 7 , ，从而i i ”l ，i | m 设 m = s u p u m 。a 、x i f ( t ，u ( ) ，仳他) ) i ：u d ) ， 从，：【0 ，1 】r r _ r 是连续的，可知l ，( ，u ( ) ，扎也) ) l 在有界闭集 o ，1 】 【- - m ，m 】【- - m ，m l 上能取到最大值，因此，有 m = m a x l ( t ，, ，u t ) i ：( t ，u ，u 7 ) 0 ，1 】【- m ，叫【一m ，m 】) + 。o ， p , 亓i i v u d ，v t 0 1 】，有l ，( ，牡( ) ，u 7 ( ) ) l m 这样，对【0 ，1 1 ，v u d 有 i t u ( ) i i 妒( ) l + 1 西q ( f 0 8i ( r ，u ( r ) ，u 7 ( r ) ) i d r ) d s l + z 1 。( z 11 1 ( r ，札( r ) ，札7 ( r ) ) i d r ) d s 一 l + 。( ，) ， i ( t u ) 7 ( ) l i a i + 咖。( 0 8i ( r ，u ( r ) ，钍7 ( r ) ) i d r ) a ， ( 罚) a = b = o o o ， 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解 4 山东人学硕十学位论文 证明显然存在f 的连续延拓函数 ： 0 ，1 】r r _ 4 连续并且使得 m a x a ( t ，u ju 7 ) ：0 t 1 ，i | u l i l + d ，l l l | l a l + d ) 如( d ) 根据定理2 1 ，边值问题 如( ”) ，+ o ，扎 ) o ”= o o 1 ( 2 2 2 ) iu r ( o ) = a ， 乱( 1 ) = b ， 至少有一个解也v d 满足i l u + i i l + d ，l i ( u 。) 川i a i + d 因为 札+ ( 。) - - - a + 0 1 九( z 5 ( n u ( r ) ，( “+ ) 7 ( r ) ) d r ) d s b a 。， u + ( 1 ) = b 0 ，( 讳( ( “) 心) ) ) 7 = - f l ( t ，札( ) ，( 扎+ ) 他) ) 0 ， 所以，u + ( ) 在 0 ：l 】是下凹函数，从而札( ) 0 ，t 【0 ，l 】这时， f i ( t ，u ( f ) ，( u + ) 他) ) = f ( t ，u 。( ) ，( u ) 他) ) ，t 【0 ，1 】 因此，u 是边值问题( 1 1 ) 的非负解且满足 0 札+ ( ) sl + d ，i i ( u ) ，l a i + d 如果条件( i ) 成立，由上面的讨论过程可知u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】 如果条件( i i ) 成立，显然u ( t ) 三0 t 0 ，1 】不是边值问题( 2 1 1 ) 的解，这 样i i 乱0 0 ，再由上面的讨论可知u 是下凹函数，由下凹函数定义可知 + ( t ) 忆”m i n t ，1 一) 0 ，0 a ， ( 疵) a = b = 0 ，m a o ， 5 山东大学硕十学位论文 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解 i e l l , q 由极限的保序性定理可知3 d 0 ，v l ：0 z d 使h c l ) f p 一1 d p 一1 = 奶( d ) 这样，定理2 2 2 的条件得到满足，因此，由定理2 2 2 知推论2 2 2 的结论 成立证毕 注2 1 类似地，我们可以讨论边值问题 f ( 讳( ，“，( ) ) ) - t - ( t ，u ( ) ，u ，( ) ) = o ，0 1 ， lu ( o ) ：g u ，( 1 ) ：日， 得到相仿的结论 2 3 应用举例 i ( 妒p ( u 7 ( ) ) ) + f c t ，“( ) ，i f ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， ) ：丢川1 ) ： 删 p = 兰，。，u ( ) ，t t 。) ) = l n ( 1 + t 2 u ( t ) c 。s 2 ( ( ) ) ) a = 丢，b = 互1 ，妒( ) = 五1 石1 ，如0 0 ，p 0 ，7 0 ，5 0 ，m a x 等，考 0 ，0 ，7 0 ，t ( 0 ，1 ) 为了方便，我们采取下面的一些记号： 弘= m a x ) ， k = ( 1 + p ) ， h ( d ) = m a x f ( t ，u ，牡) ：( t ，u ，牡) f 0 ，1 】 0 ，d 】x 【- k d ，七切， 删= l i n ，u 以t t 吨1 一卅帅删 - k d , k 们 口 0 、。 。01 ! ( 如( ”) ，+ 5 ) = 0 o 。1 ( 3 2 1 ) 邵，= 雠搿搿掌弛渤 8 山东大学硕+ 学位论文 ( 札心) ) = 咖( 让协) ) 一。咖) d u = 矿咖) 帆 ( 3 - 2 3 ) 从而，u 心) = ( 矿彭( ) 面) 这样， 札( c ) = “( 盯) 一矿( 矿妙( u ) d u ) d s ( 3 2 4 ) 令( 3 2 3 ) 甍中的= f ，我们有( ( f ) ) = z 盯秒( d 1 i 再由( 3 2 1 ) 的边界条件，可 得u ( o ) = 兰t z 7 ( ) ，从而有 仳( 。) = 鲁。( 8 耖( u ) d u ) ( 3 2 5 ) 令( 3 2 4 ) 中的= 0 ，结合( 3 2 5 ) 式，我们得 “c 盯，= 鲁。( 么口y c u ，d u ) + o 口多。( 口y c u ，d u ) d s c 3 2 6 ， 因此，对【0 ，仃】，由( 3 2 4 ) 和( 3 2 6 ) ，我们有 乱c c ，= 售。( 9y c 可，d u ) + o c q ( ，! 寸y c 可，d t ，) d s 类似地，对hl 】，我们有 乱c t ，= 弓5 九( z 叩可c u ，d t ，) + 1 ( z 8y c u ，d ) d s 因此，( 如( ( t ) ) ) 7 + y ( v ) = 0 ，0 t 1 这样( 3 2 1 ) 式的第一个方程成立分别 令( 3 2 2 ) 和( 3 2 7 ) 式中的= 0 ，l 和= ，叼，我们可以得知( 3 2 1 ) 式的边值条件成 立证毕 9 力 幺& 矿 一 一 0 0 一 + o o 如果2 d ，那么珏 i l m o ，) , k 而l l u l l csr n o ，lu 7 i i c k m o 这样对ost 1 和u d ，我们有o u ( ) m o ，一七啪( ) k r n o 设 m u p m a xf ( 驰( t ) ，( ) ) ：“d ) 则由函数，的连续性及连续函数的最大值原理可知函数，在【0 ，1 】【o ，m o x - k , , o ，k m o l ： 取到最大值这样 1 0 m = m a x f ( t ，”) ：( ，u ，u ) 【0 ，1 】【0 ， l o 】【一后啪，七m 。】) + o 。， 山东大学硕十学位论文 从而v 让d ，v t 【0 ，1 1 ，我们有f ( t t ( ) ，i t t ( t ) ) m 因此，对v u d ， i i i i c2 躐in 洲21 札 = 笔q ( 矿，( 钉，u ( u ) u ，( v ) ) d r ) + z 口。( 口，( ”，u ( ”) ，( u ) ) d u ) d s p 妒口( 1 ，( u ，u ( u ) ：u 7 ( 口) ) d u ) + i 0 1 妒。( 0 1 ，( u ，u ( u ) ，u 7 ( u ) ) d u ) d s ( p + 1 ) 九( m ) = k - 1 c q ( m ) ， 队丁u ) ，l i c = 唧m a s x i 丁j q ( 0 1 帅似吐札铷) ) d u ) 姒帆 由此可知，丁( j ) ) 和( 丁( d ) ) 是有界的 设o t l t 2 1 ，u d ，因为t 札kcq 0 ，l 】，那么由微分中值定理可 知j ( f t ，t 2 1 ，使 i ( t u ) ( t 2 ) 一( t u ) ( t 1 ) i = i ( 丁札) 7 ( ( ) ( 2 一t 1 ) i 咖。( a f ) ( 2 一f 1 ) 因此，v u d ，t u 足等度连续函数，从而由a r z e l a - a s c o l i 定理可知：丁( d ) 是相对 紧集 另一方面，由( 丁( d ) ) 7 的有界性及如的连续性可知( ( t ( d ) ) 7 ) 是有界集由 于对0 t 1 t 2 1 ，u d ：我们有 i，f 2i i ( ( 丁札) 7 ( 2 ) ) 一如( ( 丁仳) ( 1 ) ) i i ，( u ，u ( u ) ：( u ) ) d t ，i m ( t 2 一1 ) ， i ，t li 从而可知如( ( 丁( d ) ) 7 ) 是k 中的等度连续集因此，如( ( t ( d ) ) 7 ) 是相对紧集由 于如( 讳( ( r ( d ) ) ，) ) = ( 丁( d ) ) 7 及的连续性，我们知道( 丁( d ) ) 7 是相对紧集显然， r 是连续算子因此，t ：k k 是全连续算子 证毕 3 3 主要结果及证明 为了方便，设丁 兰，+ 。o ) ，p ( 0 ，砷 定理3 3 1 假设( 研) 和( 凰) 成立如果存在两个正数r 与r 使得下面两条件同 时成立 ( q ) h ( r ) ( r r ) 矿1 ，( q ) h ( r ) ( p n ) p - 1 ， 那么边值问题( 3 1 1 ) 至少有一个正解k ，使m i n r ，尺) i i l u + 川m a x r ，r 证明不失一般性，假设r r 山东大学硕十学位硷文 讹k ，由引理3 2 2 ，我们有 t ( ) o l l l l c ，t p ，1 一刎 我们在k 中定义两个开子集q ，和q r 如下： q ，= t l k ：i l u l l c r ，七q 峭i i c r ， q r = 缸k ：l l u l l c r ，k - 1 l l u 7 l l c r = i i i u l i i ， 1 2 m a x 口 k r = k l l l , , 1 1 1 ( i i ) 盯归，1 一印 山东大学硕十学位论文 对2 ，1 4 1 ( 3 2 8 ) ，条件( q ) 和引理3 2 i ，我们有 m a x 口 t 1 一日 | t u ( t ) = 。a a x 鲁痧。( z 仃，( 秒，u ( 口) ，仳7 ( u ) ) d 秽) + o 叮妒。( 口，( t ，u ( u ) ，u 7 ( u ) ) d u ) d s ， 号。( z 叶，( u ，乱( u ) ，仳7 ( u ) ) d u ) + 1o q ( f 。8 ，( t ，缸( 口) ，u 7 ( 可) ) d u ) d s ) 三 z 口。( 口，c 秒，札c u ，仳7 c u ，d u ) d s + 1 咖。( 5 ，c f ，仳c t ，u 7 c u ，d t ) d s 丢丁r 口妒。( 口d 秽) d s + 1 9 。( 8 d u ) d s = 三丁r g ( 盯) 三丁r l2 r = 1 1 1 u 1 1 1 ， m a x 口 t 尼r = k i l l u 川 ( i i i ) 盯( 1 0 ，l 】 对u o f l ，f l i ( 3 2 8 ) ，条件( a ) 和引理3 2 1 ，我们有 m a x 口 2 r r = i i l 乱i | i ， 1 3 山东大学硕七学位论文 阳m k r = k i l l - 1 1 1 由上面的讨论可以知道，v u 御，我们有 l i t = l i e 。 眦t i i ，v ue 觎， ( 3 3 ，2 ) 当札a q r 时，我们有i l u l b = r ，k - 1 憎i i c = r ，从而有i i l u l l i = r 这样， 对秕0 f l r - - 与0st 1 ，我1 门有o u ( t ) r ，一k r u ( ) k r v u a q r ，由( 3 2 8 ) 和条件( g ) ，我们有 i i t u l l c2 o m 。a x 1 r u ( t ) l = t u ( a ) p 。( z 1 ，( u ，“( ) ，( f ) ) d ”) + 如( z 1 ，( 秒，u ( u ) ，z ( ) ) d u ) = ( p + 1 ) 。( z 1m 似吐诉) ) d 口) ( v r ) p 一，( q ) h ( r ) ( p r ) p ， 那么边值问题( 3 1 1 ) 至少有一个正解乱 定理3 3 3 假设( h 1 ) 和( 飓) 成立 两个条件之一 k ，使r a i n r , r i i l u 。 m a x r ，r 如果存在三个正数a b ( t l b ) p ，h ( c ) ( 化c ) p - 1 ； ( a ) h ( a ) ( r 2 a ) p 一，h ( b ) ( p 3 b ) p ，h ( c ) ( 7 3 c ) p ， 这里胁( 0 ，纠，气 兰，o o ) ，i = 1 ，2 ，3 ，则边值问题( 3 1 1 ) 至少有两个正 解u ；，u ；k 满足0 a 让引 b 扎圳c 定理3 3 4 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立如果存在2 m 个正数r l r 2 r 2 。一l ( 匏 一i r 2 i 一1 ) p ，h ( r 2 i ) ( m i r 2 i ) p 一，i = l ，2 ，m ， 这里t ，胁满足氕 兰，。) ，p i ( 0 ，叫，i = l ，2 ，2 m ，那么边值问题( 3 1 1 ) 至 少有2 m 一1 个正解 1 1 ；k 满足n 1 1 1 , , ；1 1 r i + l ，i = 1 ，2 ，2 m 一1 定理3 3 5 假设( 日1 ) 和( 凰) 成立如果存在2 m + 1 个正数r l r 2 r 2 m ( t 2 一i r 2 i 一1 ) p 一1 ，日( r 2 i ) ( 丁m + 1 r 2 m + 1 ) p 一1 ； 或 h ( r 2 扛1 ) ( 见t r 2 ) p ，i = 1 ，2 ，m ，h ( r 2 m + 1 ) ( p 2 m + l r 2 m + 1 ) p 一， 这里t ，以满足t 兰，0 0 ) ，p ( 0 ，乩i = 1 ，2 ，2 m + 1 ，那么边值问 题( 3 1 1 ) 至少有2 m 个正解u ；k 满足n l l l u ；1 l i = 丢七- ( 1 刊。1 = 吾 取p = 丢：由引理3 2 1 易得g ( ) = 丢2 一三+ 丽1 3 ，从而i i l i 珊 _ t 7 = o - r ) p 一，日( r ) = 9 2 4 1 是实 数带有p - l a p l a c i a n 算子的微分方程边值问题来源于偏微分方程边值问题导出 的常微分方程模型由于含有p - l a p l a c i a n 算子的非线性微分方程在应用数学和 物理方面有着广泛的应用，因此带有p - l a p l a c i a n 算子的非线性微分方程边值问题 近年来一直受到广泛关注最近，当非线性项，不依赖未知函数的一阶导数时，许 多文章考虑了形如下面的p - l a p l a c i a n 方程 ( 如( ( f ) ) ) 7 + f ( t ，孔( ) ) = 0 或( 如( “他) ) ) 7 + 口( f ) ，( ( ) ) = 0 适合不同边值条件下的正解的存在性( 见 2 1 ，2 6 - 3 2 和它们的参考) 由于受到文 章 2 6 - 2 9 ，3 3 3 5 1 的启发，我们考虑下面的含有一维p - l a p l a c i a n 算子的非线形奇 异四点边值问题 l( u 他) ) ) + 矽( ) ，( ，札( f ) ，u r ( ) ) = 0 ，0 o ，p o ，一y 0 ，6 0 ，m a x 鲁，； 0 ，0 ，7 1 ， ，1 、 ( 飓) 妒( ) c ( ( o ，1 ) ，( 0 ，。o ) ) ，0 0 ，t ( 0 ，1 ) 为了方便，在这篇文章中，我们采取下面的记号： p = m a x 鲁，毒) ，七= c 1 + p ，一l ，u = 。( z 1 妒c c ，d t ) 一1 h ( d ) = m a x f ( t ，t ，牡) ：( f ，t ，) 【o ，1 】【0 ，明【- k d ，尼明 ， 无( d ) = m i n ，( 缸，牡7 ) ：( ，珏，牡7 ) p ，l p 】p d ，田 - k d , k 棚：。 口 在几何上，函数日( d ) - 与h ( d ) 分别描述了非线性项，在有界集【0 ，1 1 o ，d x - k d ，七d 】 与p 1 一研t e d , d lxf k d ，捌上的最大高度与最小高度 4 2 预备引理 在这篇文章中，我们考察函数的基础空间是c 1 【0 ，1 】对于“c 1 【o ，1 】，我们定 义“的范数为f i f 圳= m a x l l l l c ，k - 1 胁7 i i c ，这里 i l u | | c5 o m 。a ， k = 乱皿 o ，1 】：u ( t ) 是 0 ：1 】上的凹函数 这里让( ) 是 0 ，l