（基础数学专业论文）广义度量空间若干问题的研究.pdf

广义度量空间若干问题的研究 摘要 内容摘要：本文研究了具有星可数( 弱) 基、5 n 网及a ( + ) 网空间的一些刻画 及映射性质，主要讨论了具有册网空间的若干性质。第1 章是预备知识，给出 了本文所需的一些定义及基本性质。第2 章是关于具有星可数( 弱) 基空间的一 些映射性质。第3 章是关于具有5 n 网的空间，给出了其相关的刻画定理及映射 性质。第4 章是关于具有母) 一网及t 一网空间，并给出其相关的一些刻画定 理。 关键词：( 弱) 基；s n 网；沁) 一网：七一网 2 广义度量空间若干问题的研究 a b s t r a c t c o n t e n t ：i nt h i s p a p e r，w es t u d y s o m e m a p p i n gp r o p e r t i e s a n ds o m e c h a m c t e r i z a t i o n so fs p a c e sw i t hs t a r - c o u n t a b l ew e a kb a s e，s n n e t w o r k sa n d c s ( c s + ) 一n e t w o r k s e s p e c i a l l ys c v e r a lp m p e n i e so ns n _ n e 咐o r k sa r ep r o v e d c h a p t e r1 p r o v i d e s f h n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l l sw h i c hw i l lb e u s e di 1 1t h i s p a p e rc h a p t e r 2i s 西v e n s o m e m a p p i n gp r o p e r t i e s w i t hs t a r - c o u n t a m e ( w e a k ) b a s e s c h a p l e r3i sd e v o t e dt os o m er e l a t ec h a r a c t e r i z a t i o n sa n dm a p p 曲g p r o p e n i e so fs n n e t w o r ks p a c e s h 1t h el a s tc h a p t e rs o m er e s u l t sw i t hc s ( c s + ) 一n e t w o r k a n dk n e t w o r ks p a c e sa r ep m v e d k 0 y w o r d s ：( w k ) b a s e ；s n - n e t w o r l s ；c s ( c s + ) n e t w o r l 【s ；k _ n e t w o r k s ； 3 广义度量空问若干问题的研究 引言 中外许多拓扑学工作者，通过对度量化问题、空间与映射的关系和积空间的仿紧性等一 般拓扑学中重要课题的研究，导致了广义度量空间理论的建立。广义度量空间从某种意义上 是“接近”于可度量空间的，粗略地说，广义度量空间是这样一些空间类，它有益于刻画 可度量性，继承了度量空间许多优美的性质，而且度量空间某些理论与技巧，可应用到这些 更广泛的空间中来。究竟哪类空间值得称为广义度量空间昵? 我们以p 一空间类来说明，p 一空间类推广了度量空间与紧空间，相应地有如下几个结论：( 1 ) 仿紧p 一空间是度量空 间的完全原像。( 2 ) p 一空间的可数积是p 一空间。( 3 ) 如果每个因子空间是仿紧p 一空 间，则积也是仿紧p 一空间。而且这类空间在一般空间的维数论中也扮演着重要的角色，所 以像p 一空间值得被称为广义度量空间。广义度量空间研究的主要对象是具有点数基的空 间，肘d d ，e 空间，m ；空间，单调正规空间，c ，l f c 空间，4 砌删空间和m ，类等， 主要工具是点可数覆盖，展开列，基，网，一网，紧覆盖映射等。本学位论文是在此基础 上对具有点可数( 弱) 基、聊网以及甜( 母) 一网空间的性质进行了研究和推广。全文共分 四章，具体章节和主要内容如f ： 第1 章预备知识给出了全文所需的一些概念及基本性质。 第2 章具有星可数( 弱) 基空间讨论了这类空间的一些映射性质。 第3 章具有5 n 网的空间给出了相关的刻画定理及映射性质。 第4 章具有甜( 圆+ ) 一网胤一网空间。 本文中所有空间都假定满足正则分离公理的，除非特别说明，映射是连续到上的，n 表示自然数。字母有三种含义，一是实数集的子集nu o ，二是第一个无限序数，三 是最小无限基数。若_ ( ，l ) 是x 中一列点，则( h ) 表示x 的子集 矗：n ) ；( 砖) 表 示笛卡儿积x “中的第h 个坐标为的点； 吒j 表示x 中的第”项为_ 的序列。其它未定 义的术语参见文 5 】及 9 】。 二鉴垦量窒塑堇王塑里塑! 塑 第1 章预备知识 定义1 1 8 1 设，：x y 是映射。，称为m s s c 映射，如果x 是积空间兀。置。的 子空间，x 。是度量空间 并且y 有y 在y 中的开邻域序列 k ) ，使得只( ，一1 ( k ) ) 是疋的紧子空间，其中，以：。以一瓦是投射。 定义1 2 5 1 2 2 发，：z l ，是跌射，假定下列定义中每个序列包括它的极限。 ( 1 ) ，称为紧覆盖映射，若y 的任一紧子集是x 中某紧子集在，下的像。 ( 2 ) ，称为1 序列覆盖映射，若对于_ ) 】，存在z ，一1 ( y ) 满足：如果y 中的序列 y ，t 收敛于y ，那么存在并中收敛于点珀q 序列 矗) ，使得每_ ，一1 ( _ ) ，。) 。 ( 3 ) ，称为2 序列覆盖映射，若对于) ，】，斑，一1 ( y ) 满足：如果】，中序列 儿) 收敛而，那么存在x 中收敛于点x 的序列 矗) ，使得每一，一，( 咒) 。 ( 4 ) ，是序列覆盖映射( 伪序列覆盖映射) ，如果对l ，中任一收敛序列s ，存在z 中 一收敛序列( 紧子集足) ，使得，) - s ( ，( k ) 。s ) 。 ( 5 ) ，是序列商映射( 子序列覆盖映射) ，如果对y 任意一收敛序列s ，存在x 中一 收敛序列( 紧子集k ) ，使得，) ( ，( k ) ) 是s 的一子序列。 ( 6 ) ，称为完备映射，若，是闭的且对每一y 】，1 ( ) ，) 是x 的紧子集。 易验证 2 序列覆盖映射j1 序列覆盖映射j 序列覆盏映射 序列商映射 u 完备映射j 紧覆盖映射j 伪序列覆盖映射j 子序列覆盖映射 定义1 3 f 4 】1 1 ”：设z 是一个空间，p c 工。 ( 1 ) 若肖中序列 ) 收敛于一称 k j 是终于_ 尸的，如果存在川使得 x ) u ：n = m 】c p 。 ( 2 ) p 称为彳中点的序列邻域，若盖中序列 矗) 收敛h ，则 吒) 是终n 丁| p 的。 广义度量空间若干问题的研究 定义1 4 2 2 0 1 ：设m = u ，m ，是空间j 的子集族，它满足：( j ) 对x z ，既是新弦中 的网，即z n m ，且对x 中含x 的开集g ，存在p 巩。使得尸c g ；( i i ) 如果，矿吼。 那么存在况，使得c un 矿 ( 1 ) 撒称为x 的弱基( w e a kb a s e ) ，若x 的子集g 是盖的开集当且仅当对于每一 x g ，存在p 册，使得p c g 。每一m ，称为x 在x 中的弱邻域基。 ( 2 ) m 称为j 的序列邻域网( 简记为s n 网) ，若册。每一元是x 在x 中的序列邻域。 定义1 5 ( 1 ) 州设映射厂：x y ，称为弱开映射( w e 黼yo p e dm a p p i n g ) ，如果存在 空间y 的弱基帆= u m ，：y 】，) 且对每一y y ，存在x ( y ) ，一1 ( _ ) ) 满足：对x ( y ) 的 任何开邻域u ，存在岛飒，使得b c ，( u ) 。 ( 2 ) 吲映射，：x y 称为强s 一映射，如果对每一y 】，存在y 的邻域矿，使得 ，- 1 ( y ) 是石的可分子空间。 定义1 6 ；设x 是空间，飒是x 覆盖。 ( 1 ) 筑是x 的网( 网络) 【”，若x 的每开子集是飒的某子集族的并。 ( 2 ) 观是x 的七一网【”，若对于x 中每一紧子集k 及x 中包含k 的开子集y ，则 j p m ，使得k c p c y 。 ( 3 ) 巩是x 的岱一网m 1 ，如果z 中序列 ) 收敛于x 且矿是x 在丑中的邻域，则 存在p m 及j m ，使得 z ) u 矗：n 芑m ) c p c y 。 ( 4 ) 辨是x 的+ 一网1 8 】，如果z 中的序列 矗) 收敛于x 且y 是x 在工中的邻域， 则存在p 巩以及序列 的某子序列 ，) ，使得 石) u ：i ) c p c y 。 ( 5 ) m 是并的岫+ 网吲，如果 k ) 是收敛于x 的序列且u 是x 中含x 的开集， 则存 在p 飒和 k ) 的子序列 _ ) ，使得扛，) c p c u 。 由文【5 】生口：基 弱基# 翩网 嚣网 网j w c s + 网# 一嘲。 定义1 7 f 5 j 【驯：设m 是空间x 的子集族。 广义度量宅间若干问题的研究 ( 1 ) 巩称为z 的点可数族，若对于每一石j ，( 贸) ，= u 筑：x ) 是可数的。 ( 2 ) 玳称为j 的局部可数族，若对于每一x ，存在x 弦中的开邻域 ，使得 ( 观b = y m ：y n u 一) 是可数的。 的。 ( 3 ) 班称为x 的星可数族，若对于每y m ，( 飒l = p 观：尸n y 司是可数 ( 4 ) m 称为z 的紧可数族- 若对于盖的每一紧子集k ，( 辨) 。； p 飒：p n k 庐) 是可数的。 第2 章具有星可数弱基的空间 p d ，l 俐口比y 曾证明具有点可数基的空间可利用度量空间的开s 映象来刻画【”， f 如s i 几口就开始思考这样的问题：具有点可数弱基的空间可利用度量空间的怎样的映射的 象来刻画? 林寿在文【2 1 中利用一类序列覆盖映射回答了凰盼 f n 口的问题，即( 1 ) 空间z 具有点可数弱基当且仅有x 是度量空间l 序列覆盖商s 映象，而夏省祥在文”中利用弱开 5 象同样回答了胁始抽口的问题，即( 2 ) 空闭y 具有点可数弱基当苴仅当它是度量空闷 的弱开s 象。在此基础上本章得到了具有星可数弱基的空间的刻画定理。 2 1 关于星可数弱基空间的刻画 引理2 。1 1 ：【2 ，推论3 6 】设，：x l ，若x 是第一可数空间，则，是弱开映射当 且仅当，是1 序列覆盖商映射。 因为度量空间是第可数空间，从而可得如下结果： 定理2 1 2 【1 】【2 l 对任何空间x ，下列条件等价 ( 1 ) z 具有点可数弱基 ( 2 ) z 是度量空间1 序列覆盖商5 映象 ( 3 ) x 是度量空间弱开s 映象 定理z 1 3 ：空间y 具有星可数弱基当苴仅当它是度量空间z 弱开强s 一跌象。 证：( 日设，：x y 是弱开强s 一映射，这里x 是度量空间，设舻= u 舻，：) ， ， 8 广义度量空间若干问题的研究 是满足定义1 4 中弱基，因为x 是度量空间，所以它有盯一局部有限基辨，设辨2 吕疣。， 对每一p 巩， 置舻，= b 护：b c ，( 尸) ) ，b ，= u 舻， 下面我们要证 舻+ = b ，：p m 是星可数的。事实上，对每一y y ，因为，是瓠一映射，所以存在 y 的邻域矿，使钟。( y ) 是x 的可分子空间，因为x 是度量空间，所以，一1 ( 矿) 是 z 自啦加如 可子空间，而f n 如彪矿空间的局部有限集族是可数的，故 p m ：p n 厂一1 ( y ) 一) 是可数的，从而 ，( p ) ：p 巩，矿n ，( p ) ；庐) 是可数的，又 冈为，是弱开的，故对y y ，存盘( y ) ，1 1 ( ) ，) ，于融( y ) ，一1 ( y ) ，而，一1 ( y ) 开于 石，故存在b ，矽，使得b ，c 扩一1 ( y ) = 矿，故 厂( p ) ：p 9 乇，b ，n ，( p ) 一妒) 是 可数的，从而 ，( p ) ：p 9 1 ) 是星可数的，由b p 的定义可知舻a b ，：p 倪) 是星可数 的，对每一岛一 b ，舻：存在b ，使得b ，矽p ) ，舻，是吼的有限交，则 舻。= u 舻，”：) ，y j 是星可数的，我们将证明p 。是y 的弱基，显然驴”满足定义1 4 中 ( i ) 与( i i ) ，假设y 是l ，的开子集，对每一y y ，设x ( y ) 是，1 ( y ) 的满足定义1 5 中( 1 ) 的点， 由 于筑 是j的基，所 以存在 p 沉，1 吏x ( y ) pc ，- 1 缈) ，对此p 应存在b ，驴，使得b ，c ，( p ) ，所以b ，舻， 从而b ，舻， 矽，”且b ，c ，( p ) c 矿。相反，假设矿是y 的子集使得对每一y y 都 存在b 舻，”满足b c y 。由舻，和舻y ”的定义及定义1 4 中( 1 ) ，我们有b ，舻，使得 _ ) ，b ，c b c y 。因为舻= u 舻，：_ ) ，y ) 是y 的弱基，所以y 是开子集。因此，舻”是y 的弱基，从而矽”是y 的星可数弱基。 ( 一) 设飒是y 的星可数弱基，赋予册离散拓扑，则可数乘积m “是可度量化的。设 石= ( c ) 飒“： 只：以) 形成蹦某曲的网) 。因为y 是互的，这样的) ，被( 只) 唯 一确定( 事实上， ) ，) = ，盆只) ，并记为，( ( 只) ) 。这样就定义了映射厂：x y 。由于 观是星可数的，所以x 是度量空间。我们将证明，是从x 到y 上的弱开映射。 ，是到上的：对每一_ y l ， 列举 p 册：y 科为( 只) ， 则 广义度量空问若干问题的研究 ( 只) 工且，( ( 只) ) = y 。 ，是连续的：显然。 ，是弱开的：我们将证明y 的弱基m 满足定义1 5 中( 1 ) 。对每一y y ，列举 巩，为( 只) ( 这里m ，是y 的弱邻域系) ，则，( ( 只) ) 2 y ，所以( 只) ，- 1 【y ) 。对每一 n ，置 b ( 只，最，) = ( 只) x ：只7 一只，z s n ) 。 易验 证 b ( 号，e ，只) ：n ) 构成x 的点的( 只) 的局部邻域基。断言： 厂( b ( 墨，只，只) ) = 2 只。 事实上， 设( f ) b ( 只，最，只) ， 则 ，( ( ) ) = 2 号c 2 卑，所以，( b ( 片，县，只) ) c 2 号。相反，设z o 足，列举为 ( p 十，”) ，令 p rs 九 p 叫蠢，。 则( f ) b ( 号，罡，只) 且 ，( ( f ) ) = z ，所以0 只c ，( b ( 最，e ，只) ) 。因此， ，( b ( 号，曼，只) ) = i n p i 。 因为9 乇是y 的弱基且 鼻：f ) = 吼， 所以 ，( b ( e ，e ，只) ) = l n p ；m ，( ，l _ ) 。设g 是x 的点( 只) 的任一开邻域，则存在 ，使得b ( e ，尸：，弓) c g ，所以，( b ( # ，县，# ) ) c ，( g ) 。由上面的证明知， ，( b ( 置，最，弓) ) = q 号m ，因而存在y 的弱基飒和( p n ) ，4 ( y ) 满足定义 1 5 中( 1 ) ，故r 是弱开的。 2 2 星可数弱基空间与局部可数弱基空间的关系 引理2 2 1 【”：空间y 具有局部可数弱基当且仅当y 是度量空间弱开强s 一映象。 定理2 2 2 ：对任何五空间，下列说法等价 ( 1 ) 空间y 具有局部可数弱基。 ( 2 ) 空间】，是度量空间弱开强s 一映象。 ( 3 ) 空间y 具有星可数弱基。 1 0 广义俊量空问若下问题的研究 证：由定理2 1 3 与引理2 2 1 即知。 第3 章具有。一网的空间 3 1 紧可数趼网空间的刻画 定义3 1 1 4 1 ：，：石一y 称为一映射，如果对于l ，的任一紧子集k ，厂一1 ( k ) 是署 的可分子集。 引理3 1 2 卸：设厂：x l ，鱼口果( e ) 是j 中某点x 的递减的网且每一 ，( 玩) 是，( x ) 在y 中的序列邻域。若y 中的序列 k ) 收敛于，( z ) ，那么存在 吒，。1 ( n ) 使得在x 中序列 k ) 收敛于x 。 定理3 1 3 ：空间x 具有紧可数的s n 一网当且仅当并是度量空间的1 序列覆盖a 一映 象。 证：( # ) ：设m 是度量空间且，：肘一盖是1 序列覆盖甜一映射，让 辨= l = j 矾。表射的盯一局部有限基。对于每一x x ，存在声，- 1 ( 吒) 满足：如果x 中 的序列 矗) 收敛于x ，那么存在m 中收敛于晟的序列 & ) 使得每一，一1 ( 扎) 。置 舻。一 ，( p ) ：成p 阻) ，矽；u 。舻，。f 证舻是x 的紧可数j n 一网，任取x 的一紧子 集k ，由于，是一映射，则，。1 ( k ) 是m 的可分的子空间。因m 是度量空间，所以 ，- 1 ( k ) 是m 自缸i ”妇鲫子空间，而l f n 班f 够空间的局部有限集族是可数的，又已知筑。是 局部有限的，故 p 飒。：p n ，一1 ( 置) * 妒】是可数的，从而 ，( p ) ：p 坍，( p ) n k 一妒 是厂( 飒) 的紧可数子集，故由成p 册推知x = ，( 晟) ，( p ) ，( m ) ，从而 舻，= ，( p ) ：反p 辨) 是z 处的s n 一网，故护= u 。舻，是空间z 的册一网。 ( 一) ：设m 是空间x 的紧可数s 网，记飒= 只：口a ) ，a 赋予离散拓扑，令 m = d ；( q ) a 。： 足：f 构成x 中的某点k 的网j ，则m 是a 。的度量子空间， 因为工是王的，这样的是被a 惟一确定的( 事实上， ) = 盆只，故k 是被( 乞) 惟 一确定的，又最与a f 对每一f 是一一对应的，从而矗是被a 惟一确定的) ，并记它为 广义度量空间若干问题的研究 ，( ( ) ) = ，( a ) ，于是可以定义函数，：m 一盖使研( 口) = 。下面我们将证明 ，是膨到石的l 序列覆盖岱一映射：( 1 ) ，是连续的。对于a = ( q ) m ，( 口) = u ， 其中u 开于盖，存在f 使得k 只c u ，令矿= y m ：r 的第i 个坐标是口i ) ，则 矿是m 中的禽有口的开子集且，) 只，c u ，故，是连续的。( 2 ) ，是到上的，显然。 ( 3 ) ，是一映射。假设置是彳的任一紧子集，因为x 具有紧可数的s n 网，所以 只：只n k 纠是可数的，从而，_ 1 ( k ) c u 仁 ：只n k ， 9 是可数的，则 ，一1 ( k ) 是m 的可分子集。( 4 ) ，是1 序列覆盖映射。对于每一x 。盖，设9 乇的子集族( 只) 是x 。在盖中的序列邻域网，记卢；( 口。) a “，那么芦，。( 工。) ，对于每一f ，置 峨= ( n ) m ：对于f 皇，z 有n = 口；) ，那么( 玩) 是卢在m 中递减的邻域基且 ，( 最) = n 。只，事实上，设y = ( y ，) 坟，那么，( y ) n 。最c n 。是，所以 ，( 玩) c n p f ，再设z n 。只，选取辨的子集族( 墨) ，使得( 毛) 是彘在x 中的网 且当fs n 是有4 = q ，令d = ( 喀) a 。，那么z = ，( d ) ，( 圮) ，于是n 。& c ，( e ) ， 故，( 最) - n 。气，现在设x 中的序列 x ) 收敛于矗，由于，( e ) 是k 的序列邻域，再 由引理3 1 t 2 知，存在岛，一1 ( 工，) ，使得在m 中的序列 岛) 收敛于箩，从而，是1 序列 覆盖映射。 推论3 1 4 ：若窄间x 具有紧可数的姘网，则x 是度量空间的2 序列覆盖酷一映象。 3 2 局部可数跏一网空间的刻画 定理3 2 1 ：空间工具有局部石】数册一网当且仅当爿是厦量空1 可肘的1 序列覆盖强s 映象。 证：( # ) 假设x 是度量空间m 在1 序列覆盖强s 一映射，下的像，设撒= u 。疣。是x 的满足定义1 4 中的s n 一网，由于m 是度量空间，所以m 有盯一局部有限基m ，对每一 p 巾，令m ，= 口倪：口c ，( p ) j ，彤= u 倪，对每一x x ，因为，是强s 一映射， 所以存在x 的邻域矿使得厂。( y ) 是m 的可分子空间，因为m 是度量空间，所以 1 2 广义度量空间若干问题的研究 ，1 ( 矿) 是m 的胁如何子空间，而工加d e 何空间的局部有限集族是可数的，故 p 垂：p n ，一1 ( y ) 一妒) 是可数的，从而 ，( p ) ：p m ，y n ，( p ) 一驴) 是可数的，因此 ，( p ) ：p 币) 是局部可数的，由丑，的定义知，辨= 扛p ：p 币) 是局部可数的，对每一 x 工，令9 t ：t 啡m ：存在玻巩使得只眦，) ， 巩：是飒：的有限交，则 撒”= u m ：x x ) 是局部可数的。下面我们将证明巩”是x 的跏一网，由于厂是1 序列覆 盖映射。故对每一x x ，存在反，一1 ( x ) 满足：如果x 中的序列 矗 收敛于x ，那么 存在m 中收敛于点反的序列 & ) 使得每一& ，一1 ( ) ，又由于 辨= u d 撒，是盖的肌一网，故对于x 石及含x 的开集u ，存在r 蹰使得x r c u ， 并对于x 中收敛于x 的序列 矗】，存在肌使得 x ) u ：，1 2 珊，胛) c r c u ， 从而 ，一1 ( x ) 】u ，一1 ( ) ：n t m ，一) c ，一1 ( 且) c ，一1 ( u ) ，即得 成) u & ：”= 卅 ，n c ，1 ( r ) c 厂1 u ) ，由于，- 1 ( ，) 开于m ，从而存在p 垂使得 成) u j 吒： 以苫删，l 1c ，_ 1 ( r ) c p c ，- 1 ( u ) ， 于是据，是到上的即得 x ) u ：一苫m ，行) c 尺c ，( j p ) c u ，即知r 巩”，故m ”歙的s ，l 一网。 ( j ) ：设疣是x 的局部可数5 n 一网，赋予辨离散拓扑，则可数乘积m “是可度量的， 设m = ( 只) m 。： 霉：f ) 形成z 的某删网) ，因为z 是互的，这样的x 被( 霉) 唯 一确定的( 事实上， x ) - n 。只) ，并记它为，( ( 曰) ) ，这样的就定义了映射，：m x ， 则m 是m 。的度量子空间。下面我们将证明，是1 序列覆盖强5 一映射。( 1 ) ，是到上的： 对每一x x ，列举 p 巩：z 纠为( 只) ，则( 霉) x 且，( ( 弓) ) = 石- ( 2 ) ，是是连续 的；显然。( 3 ) ，是强s 一映射。对每x x ，由丁筑是局部可数的，所以存在x 的邻域y 使得仅有册的可数多个p 满足p n 矿妒，故 尸m ：p n y ) ”n z 是工的可分子空 间，由于，一1 ( y ) j p 巩：p n v 甜”n x ，故，是强s 一映射。( 4 ) ，是1 序列覆盖映射a 对工z ，让 卑：f ) c 辨是点x 在肖中的s 一网，记卢2 ( 只) 孵“，那么 1 3 广义度量空间若干问题的训f 究 卢，- 1 ( x ) 对n ，置 昆= ( ) m ，跏s 尼有k = 皇) 那么 玩：，l 】是卢在m 中下降邻域基，且对n 有，( 玩) = n 。# 。事实上，设 y ；( n ) 玩，那么，( y ) = n 。n c n 。层，所阻，( 吃) c n 。只，再设z n 。霉 选取m 的子族 唾：f ) ，使得fs n 时有6 i = 口；，且 4 ：f ) 是点z 在x 中的网。 令巧= ( 毒) 飒“，那么z = ，( 6 ) ，( 玩) ，于是n 。号c ，( 鼠) 放，( 最) = n 。异。现在， 设在x 中x ；一x ，由于，( b ) 是x 的序列邻域。再由引理3 2 知，存在岛一卢，故，是1 序 列覆盖映射。 注：定理3 2 1 结论与文【2 3 】的命题1 的结论在本质上是一致的，但本文给出了这个结论 的另一种证法。 推论3 2 2 ：若空间z 具有局部可数s h 网，则x 是度量空间m 的2 序列覆盖强s 一映 象。 3 3 盯一局部有限跏网空间的刻画 定理3 3 1 空间盖具有盯一局部有限5 n 网当且仅当爿是度量至i 司的1 序列覆盂 m s s c 一映象。 证( ) 设，：m 一工是1 序列覆盖珊嬲c 一映射，其中m 是度量空间，又由假设可知 存在度量空阅 肘，) 满足埘跚一映射定义的条件，对于j ，因为m ，是度量空间，由 口f n g 一口g n 船一s m f 埘d v 度量化定理存在盯一局部有限基m f 令 巨= x n ( 2 p 广( 弓) ) ：弓飒，j sr ) ，b = 甚e ，则口是x 的基，对于x x 存在x 的开 邻域 巧) 使任一只，- 1 ) 是m ，的紧子空间， 对于n ，令 1 f ，( b ) ：f n 矿一庐) i c ，从而，( b ) 是z 的s n 网。 v u ，( 占) 黜【，因为， 是1 序列覆盖映射，则存在成厂一1 扛) 如果x 中的序列 k 收敛于则存在 成，一1 ( _ ) ，使得m 中序列 成) 收敛于反，因为u ，( 口) 所以存在p 占使得 ，一1 ( u ) = b 是反的开邻域。则存在m ，v m ，则成口= ，。1 ( u ) 所以当 n = m ，_ = ，( 卢 )，( b ) = 仃1 ( 【，) = u 也即 x 】u _ ：nz m ) c u ，这就说明了 广义度量卒间若干问题的研究 u 是x 的序列邻域。故厂( 剐是x 的一局部有限s n 网。 ( 一) ：设空间j 具有仃一局部有限聊网毗= 茹辨；，其中每一吼。= 只：口4 ) 是盖 的有限爻封闭的局部有限的团集族。并设盖m 。c m f + 1 ， 置肘a 卢一( q ) 璺4 ： 只。：f 是x 中某觑( 卢) 的网且气。c & j ，赋予m 离散 空间族 4 ) 的积拓扑诱导的子空间的拓扑，则m 是度量空间，因为盖是胁琊螂空间， 对卢m ，z ( 卢) j 是唯一确定的，于是可定义函数厂：m j 为，( 纠= 工( 芦) ，则，是 连续到上的下面首先证明，是聊韶c 一映射。对x z ，i ，存在x 在x 中的开邻域使 | a 4 ：只n 巧，妒) l c 。令旦= 口4 ：只n 巧；庐) ，则是，- 1 ( k ) c e 又由于县有 限，所以i 而是4 的紧子空间，故，是，l 跚一映射。其次证明，是1 序列覆盖映射。 对x x ，由辨的定义，存在芦= ( q ) 熙4 ，使得 只) 是石在z 中的序列邻域网，并且 卢，- 1 ( z ) 对h ，置玩一 芦= n ) m ：f 蓝n ，n = q ) ，则 玩：n ) 是卢在m 中的下降邻域基，且有，( 鼠) ；9 & a 事实上，设卢= ( 扎) 吃，那么 ，( 卢) n 。0cn 。气，所以，( 域) cn 。& ，再设z n 。气，选取m 的子集族 矗：f ) ，使得 墨：f ) 是点z 在x 中的网且当f s n 时有4 = q ，令 6 。( 4 ) n 4 ， 那么z = ，( 6 ) ，( 玩) ，于是n 。只。c ，( e ) 。 从而 l ，( 鼠) = n 。乞。现在，设x 中的序列 z ，) 收敛于_ 由于，( 只) 是z 的序列邻域，再由 文( 2 ) 引理2 ，2 知，存在岛，一1 ( _ ) 使得在m 中，序列 岛) 收敛于卢，从而，是1 序 列覆盖映射。 推论3 3 2 ：若空间工具有d 一局部有限期网，则j 是度量空间的2 序列覆盖删c 一 映象。 引理3 3 3 【文( 7 ) 定理2 】：空间工具有口一局部有限册网当且仅当z 是度最空间1 序列覆盖口一映象。 定理3 3 4 ：对空间x ，f 列条件等价： ( 1 ) 空间x 具有盯一局部有限5 h 网 ( 2 ) x 是度量空间1 序列覆盖d 一映象 ( 3 ) z 是度最空间1 序列覆盖巩，s c 一映象 证：由守理3 3 】及引珲333 立知。 墨壁量室囹董王塑壁塑塑塑 一一一 3 4 盯一局部可数s n 网空间的刻画 定义3 4 1 1 8 1 设，：盖一y 是映射。，称为分层强5 一映射，如果存在以x 为子空间的 积空间n 置满足：对于任意的y ，。存在y 在y 中的开邻域序列 ，使每一 。 n ，一1 ( ) 是墨的可分子空间，如果更设所有的置的度量空间，那么，称为可度鼍空间的 分层强s 一映射，简记为，删一映射。 引理【2 3 ，命题2 1 3 4 2 ：空间x 具有d 一局部可数s h 网当且仅当x 是度量空间l 序列覆盖 m 5 掰一映象。 推论3 4 3 ：若空间工具有盯一局部可数s n 网，则x 是度最空间2 序列覆盖打坫豁一映 象。 引理【空1 5 定理2 1 ：拓扑空间x 具有d 一局部可数c s 一网络当且仅当x 是某一度量空间的 强序列覆盖m s 船一映象。 注：文【1 5 】中的强序列覆盖映射的定义与本文的序列覆盖映射的定义在本质是一致的， 所以1 序列覆盖映射j 强序列覆盖映射。因此有， 推论3 4 ：若拓扑空间x 具有一局部可数岱网络。则x 是具有盯一局部可数翩 网。 因为趴一网络= 船一网络，结合推论3 ，4 4 可得 推论3 - 4 s ：拓扑空间x 具有盯一局部可数甜一网络当且仅当z 具有盯一局部可数 s 昂一网络。 注：由文【1 6 】注4 知，度量空间上的序列覆盖紧映射是1 序列覆盖映射。结合定理3 1 3 、 3 2 1 、3 3 - 1 、引理3 4 2 可得如下的推论： 推论3 4 6 ( 1 ) 若空间x 具有紧可数s ，l 网，则x 是度量空间的序列覆盏紧甜一映象。 ( 2 ) 若空间x 具有局部可数期网，则z 是度量空间的序列覆盖紧强s 一映象。 ( 3 ) 若空间工具有一局部有限肼网，则x 是度量空间的序列覆盖紧埘跚一映象。 ( 4 ) 若空间x 具有口一局部可数肼网，则工是度量空间的序列覆盖紧小s 鼯一映象。 第4 章具有a ) 一网与一网空间 4 1 紧可数嚣一网空间的刻画 定理4 1 1 ：空间x 具有紧可数船一网空间当且仅当x 是度量空间序列覆盖甜一映象。 证：( # ) 设，：m x 是序列覆盖一映射，其中m 是度最空间。设舻2 掣矽一是m 的仃一局部有限基，那么 ，( 毋) ：b 护) 是空间j 的紧可数船一网e 事实上，设k 是茗的 f 6 广义度量空间若干问题的研究 任一紧子集，因为，是船一映射，则厂1 ( k ) 是可分的，因为纪的局部有限的，所以 占舻。：曰n 厂一1 ( k ) 一庐) 是可数的，从而 ，( 口) ：口矽。，( b ) n k ，庐 是可数的。下 证，( 舻) 是岱一网，设 x 。) 是x 中收敛于x 的序列，令k + = 工) u ：”) c ，是x 的开邻域，由于，是序列覆盖映射，则存在m 中的收敛序列，使得，( 三) z k 。， 于是c ，- 1 ，仁) = ，“( k ) c ，1 ( u ) ，即，。( ，) 是m 中的收敛序列 - ：甩) u f ) 的开邻域，于是，存在聊，使得 f ) u 亿：，l 苫扰) 曰c ，一1 ( u ) 对于某个丑舻，因而 x ) u 矗：n 芑所) 一 ，( f ) ) u ，( ) ：n 州 = 厂( f ) u ：nz m c ，( 丑) c 铲。1 ( u ) = e ，故，( 矽) 是紧可数岱一网。 ( 一) 设m = 只：口4 ) 是空间x 的紧可数一网。假设z 阻且阻是关于有限交 封闭。 令爿一 ；( q ) 丌。4 ： 足) 是中某觑( 卢) 的网络且气+ ，c 气) 赋予爿离散 族 a ) 的积拓扑所诱导的子空间拓扑，则彳是可度量化空间，由，( ) = z ( ) 定义了从一 到j 上的映射。则，是序列覆盖岱一映射： 1 ，是岱一映射，设k 是z 的任一紧子集，则，。1 ( k ) c 旦4 n 4 ，则，_ 1 ( k ) 是 爿的可分子空间。 ( 2 ) ，是序列覆盖映射。对于x 中收敛于点x 的序列 k ) 不妨设所有h 是互不相同 的。让k = 工) u ：以) 并设u 是x 中任一包含k 的开子集。称m 的子集族。中具 有性质中( k 上，) ，如果西满足： ( i ) 是有限的。 ( i i )对每个p 巾，有p n k c p u ，且k c u 中； ( i i i ) 每个z 世，存在唯一中，使得z ； a v ) 若工p 垂，则k p 是有限的； 令飒( k ) = 巾c 双：中且有性质中( 足，x ) ) 囡为默是紧可数的且k 是z 的紧可数 子集，所以辨+ ( k ) 是可数的。 广义度量空问若干问题的研究 记辨( k ) = 观。：f ) ，渤，令巩：= 0 睨。，则m ：c m 。，则m ：是具有性质 中( k ，j ) 对每f ，脚及k ，存在口“4 使得靠气m ；令卢；( o 。) 娶4 ，从而可推知 气：f ) 是靠在x 中的网络。事实上，设y 是靠在盖中的邻域， 如果，则 茗) u ：月f ) c y ，对某个f ，令墨= z ) u 矗：nz f ) ，= k k ， 则对于墨，矿存在巩的子集族f 及性质f ( k ，y ) ，因为琏是有限集且嘭c x ) ，存 在 趼 的有限子族 f ” 有 如c u f ”c x ) 及每个 p f ”，p n k ，令f = ，u f ”，则f 有性质f ( k ，x ) ，于是存在某个f ，使得 f = m f 具有性质f ( k ，x ) ，因为k 气m 。7 ，对于f ， f ， 存在 号矾，使得气= 2 p t 所以有k 气c u f c y ，因此 ：f ) 构成靠的网络。 因而每一m ( 其中珊= o ) u ) ，有成m ，且，( 以) = ( 而= z ) ，对每个f ，存 在n ( f ) ，使得当，l n ( i ) 时，有o 。= q 。因此，4 中的序列 口。) 收敛于a 。于是m 中 序列 以) 收敛于岛，这就证明了，是序列覆盖映射。 4 2 仃一局部有限甜+ 一网空间的刻画 定理4 2 1 ：空间爿是厦量空i 司的伪厅列覆盖， 船c 一映象当且仅当j 是具有盯一局部 有限网。 证明( = ，) 设z 是度量空间的伪序列覆盖懈c 一映射，下的像，于是存在度量空间 m ) 满足m 船c 一映射的定义，对于f ，因为肘：是度量空间，由引n 占一i g 口细一5 胁f 埘d v 度量化定理，存在盯一局部有限基眠令骂； 肘n ( 皿巧1 ( 吩) ) ：b 巩，sz ) ，其中m 是满足m 嬲c 一映射定义中息m 。的子空间。令矽2 出e ，则驴是m 的基，对于z 膏， 存在x 的开邻域列 k ) 使每p 。，- 1 ( k ) 是m 。的紧子空间，对于月，令y = n k ，则y 与，( e ) 至多有限个成员相交，于是厂( 玩) 是x 的局部有限集族，从而厂( 矽) 是石的口一 广义度量空问若干问题的硼f 究 局部有限网。下证集族，( 舻) 是x 的+ 一网：现设z 中序列 _ ) ，一z ，x u ，u 是开 集，不妨设一_ ( f ，) 且_ x 。由于，：m 一是伪序列覆盖映象，因此存在k c m ( k 是m 的紧子集) ，使，( 蜀) = _ ) u x ) ，取毛k n ，_ 1 ( ) ( ) ，则 ) 有一 收敛子列 乙。) ，不妨设 乇，) 收敛于z ，显然，( 2 ) 一工，由于舻为m 的基，因此存在 占矽使得z 丑c ，一1 ( 矿) ，显然舻含有 毛) 的子列，于是x ，( b ) c y 且，( 舻) 乙) 的子列，故，( 矽) 是z 的一网。 ( 一) 设m = ，吕阻。是x 的盯一局部有限。一网，其中巩，a 心：a 4 ) 姓x 的 有限交封闭的局部有限的闭集族。v f ，不妨设丑c m fc 巩令 爿= 声- ( a 。) 曼4 ： 圪) 是x 中某觑( 卢) 的网且兄c 只。j ，赋予4 离散空间族 4 ) 的积拓扑的诱导的子空间拓扑，则爿是度量空间，由，( ) 一z ( 卢) ，则，确定了 从爿到x 的映射。下面证明，是m 鼬c 一映射。对x x ，f ，存在z 在x 中的邻域 k 使k 与筑，中的有限个成员有非空交，令层= a 4 ：圪n k 神，则 i 而c 且，又由于县有限，故毒7 碌4 的紧子空间，从而，是朋跚一映射。 其次证明，是伪序列覆盖映射。 设 靠) 是盖是收敛于x 的序列，令= x l u 毛】，则存在班的有限子集列 骥。) 满 足： ( 1 ) ( u 飒。) 是在x 中的网 ( 2 ) m 中每元素与的交集是l 中不空闭集。 ( 3 ) 对于y 五，并令矽= 只：y e 趼) ，( 只) 是y 在x 中的网 ( 4 ) 若m 关于有限交封闭，则每一仇。加细猊。 1 9 广义度量空间若干问题的研究 事实上：不妨设所有h 是两两不相同的，先证明对于l c r ，y 开于x ，存在飒的 有限于族吼7 ，满足 ) ，l 匕u 吼c y ；p ) ，巩中每一兀素与的交集是l 的不至闭于 集。 令吼= r m ：x 尺c u ) ；( 墨) ，对于t ，若序列 ) 不终于g r 的，则存 在 靠) 的子序列 。) 满足对于每一。x g r ，从而有 ) 的子序列 k 。) 和使得k 。) c r ，矛盾。因此存在t ，使得 _ ) 是终于g r 的， 由此可以作出满足0 ) ，( 6 ) 的m 的有限子族 飒于是我们可设 中= 睨：飒是倪的有限子族且满足( a ) ，( 6 ) ) ，则巾是有限的。记垂= ( m 。) 显然 疣。) 满足( 1 ) 和( 2 ) 。设) ，工且对于竹和咒( 筑。) ，若y y 开于x ，如果 y = z ，令厶= 矿n l 则存在阻的有限子族既满足条件： ( 口) ，厶 u 飒。c 耽( 6 ) ，观中与厶相交不空的成员构成的集族是x 的非空闭子集族。 同时存在巩的有限子族筑2 ，使得l 厶c u m 2 x 厶，不妨设m ：与l 厶相交不空。 于是巩，u 巩：满足：( 口) ”，工c u ( 9 乇。u 吼：) j ；( 扫) ”，m ，u m ：中与l 相交不空的成 员构成的集族是x 的非空闭子集族。从而有f ，使得飒l u m 2 = m i ，所以 y rcu 筑。c 矿，故( m 。) 是y 在x 中的网。如果) ，工，则存在r m ，使得 ) ，巩c y 旺 y 】) ， 同时存在m的有限子族飒，满足： ( n ) ”， ) ，) u 阻， x 、 _ ) ) ；( 6 ) ”，巩，中与趴 y ) 相交不空的成员构成的集族是 x 的非空闭子集族。从而m 。u r ) 也满足( ) ”与( 6 ) ”，于是存在j 使得 m ，u p ) = 巩那么y 吩= r c y ，使( r ) 是y 在x 中的网，因而( 3 ) 成立。 由于巩是空间z 的盯局部有限一网， ) 收敛于x 且l 一 矗) u 工) ，则存在 班的有限子集列 巩。) 满足条件( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，于是每一n ，存在a 的有限子集列r 。， 使得巩。= 吃：。l ) 也= ( q ) 。r 。，三n ( n 。吃。) 有有限交性质】那么 广义度量空问若_ _ f 二问题的研究 有以下断言：断育，