（基础数学专业论文）交错群a5在k3曲面上的作用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要是以交错群a 5 在k 3 曲面上的作用为研究对象，从一类特殊的k 3 曲 面的a 5 作用出发，得到了该类k 3 曲面上a 5 作用的不动点，并利用不动点集计算 了群作用的一些不变量并得到了相关的拓扑性质，在此基础上进一步把其中的一些 结果推广到了一般情形下的同伦k 3 曲面上具体内容如下： 2 介绍流形的基本知识、四维流形上的s p i n 几何和有限群作用及其表示进一步 给出交错群a 5 的一些性质及特征标表格 3 讨论a 5 在一类特殊的k 3 曲面上的具体作用，并计算这类群作用的不动点个数 和一些不变量，从而得到相关的拓扑性质 4 将上述结果推广到一般情形下的同伦k 3 曲面上，并给出了等变指标的一些限 制 关键词：s p i n 四维流形；交错群作用；不动点；k 3 曲面；s e i b e r g - w i t t e n 理论 大连理工大学硕士学位论文 a l t e n a t i n gg r o u pa 5a c t i o n so nk 3s u r f a c e s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h es p i na l t e r n a t i n gg r o u pa 5a c t i o n so nk 3s u r f a c e s b e g i n n i n gw i t hs o m ea 5a c t i o no nas p e c i a lk 3s u r f a c e ，w eo b t a i nt h ef i x e dp o i n t ss e to f t h i sa c t i o na n ds o m ei n v a r i a n t so ft h eg r o u pa c t i o n ，a sw e l la sw eg e ts o m et o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s f u r t h e r m o r e ，w eg e n e r a l i z es o m er e s u l t st oh o m o t o p yk 3s u r f a c e s t h ec o n t e n t o ft h i sp a p e ri ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 w ei n t r o d u c 圮t h ed e v e l o p m e n to ft h i sr e s e a r c hf i e l da n ds o m er e c e n ta c h i e v e m e n t s g i v e nb yr e s e a r c h e r sa th o m ea n da b r o a d t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ep r e s e n t e d i nt h ee n d 2 。w ep r e s e n tt h ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g eo f4 - m a n i f o l d s ，t h es m o o t hc l o s e ds p i n4 - m a n i f o l d s ，a c t i o n sa n dl i n e a rr e p r e s e n t a t i o n so ff i n i t eg r o u p s ，a sw e l la ss o m ep r o p e r - t i e sa n dt h ec h a r a c t e rt a b l ef o ra l t e r n a t i n gg r o u pa 5 3 w ed i s c u s sas p e c i f i ca c t i o no fa 5o nas p e c i a lk 3s u r f a c e sa n dc o m p u t et h en u m b e r s o ff i x e dp o i n t sf o rc d n j u g a t ed a s s e so fa 5 w ea l s og i v es o m ei n v a r i a n t so ft h eg r o u p a c t i o n t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sa r ec o n s e q u e n t l yo b t a i n e da tl a s t 4 w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so b t a i n e dt oh o m o t o p yk 3s u r f a c e sa n dg i v es o m er e s t r i c t i o n o fg - e q u i v a r i a n ti n d e x k e y w o r d s ：s p i n4 - m a n i f o l d ；a l t e r n a t i n gg r o u pa c t i o n ；f i x e dp o i n t ；k 3s u r f a c e ；s e i b e r g - w i t t e nt h e o r y i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申 请学位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 查铴差辇魍 。，z ；，z 孑) 7 。 则称x 是可定向的微分流形 一般地，满足上述两个条件的( 观；z 客) ，( u s ；z ) 称为是定向相符的 下面介绍四维流形的相交形式及其与四维流形之间的关系具体内容参见【1 4 】 定义2 7 ：设x 是一个紧致的、可定向的四维流形对称双线性形式： q x ：h 2 ( x ，o x ；z ) h 2 ( x ，o x ；z ) 一z 由q x ( a ，b ) = = a b z 定义q x 称为x 的相交形式由p o i n c a r 6 对 偶h 2 ( x ；z ) 竺h 2 ( x ，o x ；z ) ，q x 同样可以定义于h 2 ( x ；z ) h 2 ( x ；z ) 5 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 设q 是有限生成自由阿贝尔群a 上的一个对称双线性形式q 的秩r k ( q ) 定 义为a 的维数把q 对应的矩阵扩张到ap zr 且对角化，对角线上+ 1 的个数记 为6 亨，一1 的个数记为6 i 6 妻一6 i 的差值称为q 的符号差，记为盯( q ) q 称为正定 ( 负定) 的，若r k ( q ) = a ( q ) ( r k ( q ) = 一仃( q ) ) ，其他情况称为不定的q 称为偶的，若 q ( q ，口) 兰o ( m 甜2 ) ，v q a 否则就称为奇的，若d e tq 一4 - 1 ，则q 称为幺模若x 是 一个闭的四维流形，则q x 为幺模 若q 1 ，q 2 分别定义于a 1 ，a 2 上，令a = a 1oa 2 ，设o ，b a 且有分解a = d 1 + a 2 ，b = b 1 + b 2 ，其中o t ，b i a t ，i = 1 ，2 若令； q ( a ，b ) = q 1 ( 0 1 ，6 1 ) oq 2 ( a 2 ，b 2 ) 则可定义a 上的对称双线性形式q = q 1oq 2 若鬼 0 ，q 表示o q ；对于 k 0 ，七q 表示l k l ( - q ) ；若k = 0 ，昆q 表示平凡群上的零形式，用空矩阵d 表示定义 于a = z 。z 且由矩阵( 2 舌) 表示的对称双线性形式记为h 为了计算三元组( 秩，符号差，奇偶性) 定义一个特殊的8 维双线性形式风： 作为一个定义于z 8 上的对称双线性形式岛给出了一个正定的、偶的、仃) = 8 的 幺模形式 用岛和日作为构造工具，对每一对具有口兰0 ( r o o d s ) ，r 川以及r 三 盯( q ) ( r o o d 2 ) 的( 盯，r ) z n ，可构造一个具有盯= 仃( q ) 以及r = r k ( q ) 的幺模 形式q = a 昆o b h 定理2 1 ：设q 是一个不定幺模形式，若q 是奇的，则同构于6 砉 c b ： ； 若q 是偶的，则同构于一华甄。r k ( q ) - z l a ( q ) l h 定理2 2 ：( r o h l i n ) 若q x 是偶的，则符号差叮( x ) 可被1 6 整除 通过对幺模的偶整二次形式分类以及r o h l i n 定理，具有定向且非正定符号差的 闭的s p i n 四维流形x 的相交形式为： - 2 k e 8om h 凫 0 6 大连理工大学硕士学位论文 特别地，当k = 1 ，仇= 3 时，x 为k 3 曲面 下面介绍d i r e c 算子，及所涉及的概念具体内容可参见 2 1 】 我们可以将四维欧式空间看作四元数空间y ，其元素为复2x2 矩阵形式： q = ( 三 嚣葛夕) 作为一个实向量空间，y 可由下面四个矩阵生成： 1 = ( 舌o ) ，；= ( 呈- 0 1 ) ，j = ( ? 舌) ，k = ( 言一0 i ) 一个四元数q 的行列式定义为： d e tq = t 2 + z 2 + z 2 + y 2 = ， 其中 表示欧式空间中的点积单位四元数球面 s u ( 2 ) = q v ： = 1 ) ， 在四元数乘法下构成一个李群 四维s p i n 群是由2 个特殊酉群作直积生成的： s 研n ( a ) = 9 弭( 2 ) xs n ( 2 ) 一个典型元素为( a + ，a 一) ，其中a 士s 魄( 2 ) 有表示： p ：跚n ( 4 ) _ g l ( v ) = y 到自身的同构( 2 1 ) 定义为： p ( a + ，a 一) ( q ) = a q ( a + ) 一1 由于a + 和a 一的行列式均为1 ，所以 = d e t ( a q ( a + ) 一1 ) = d e tq = ， 。 保持了欧式内积也就是说 p ：s p 忱( 4 ) 一s o ( 4 ) ce l ( v ) 设( x ， ) 是一个定向的四维黎曼流形黎曼度量可使t x 的结构从g l ( 4 ，r ) 约化到s o ( a ) 因此可以选择x 的一个开覆盖 ：q 4 ) ，使得相应的转换函数： g a # ：玩n _ s o ( 4 ) g l ( 4 ，r ) 取值于s o ( a ) 7 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 定义2 8 ：如果( x ， ) 上的一个开覆盖 巩：q a ) 和一族转换函数 蚕叩：u anu s s p i n ( 4 ) 在巩n n 上满足p o 雪a 口= g a f f ，以及余闭条件豇p 锄= 蛐，则称其为一个s p i n 结构具有s p i n 结构的流形称为s p i n 流形 将s p i n ( 4 ) 看作一个4x4 矩阵空间： ( 台卫) ，a 士s 魄( j ) 这个六维李群包含在下面这个重要的七维李群中： 跏础) c = ( l 。4 + 入a 0 一) ：4 s 弭( 2 ) ，a 一s n ( 2 ) , a 6u ( 1 ) 此外，( 2 1 ) 中的表示p 可以扩张为表示： p c ：s p i n ( 4 ) 。一c l ( v ) 。 定义为： j d 。( 入吾+ 嫂一) q = ( h a 一) q ( a a + ) 且有群同态7 r ：s p i n ( a ) c u ( 1 ) ，定义为： 丌( 入吾+ 入旦一) = d e t ( a a + ) = d e t ( 入a 一) = 入2 定义2 9 ：如果( x ， ) 上的一个开覆盖 ：q a ) 和一族转换函数 季a 口：l 7 0n u s s p i n ( 4 ) c 满足j d o 彘口= 9 a 口和余闭条件，则称其为一个却i 竹c 结构 h i r z e b r u c h 和h o p f 已经证明了：任何定向四维黎曼流形都有s p i n 。结构 设x 是一个具有s p i n c 结构的四维黎曼流形，“是s p i n 丛w 圆l 上的一个 s p i n ( a ) c 联络 定义2 1 0 ：d i r e c 算子d a ：f ( w o l ) _ r ( w 圆l ) 定义为： 44 巩( 妒) = 印d a e ( e ) = e t 。v 驰 8 大连理工大学硕士学位论文 d i r e c 算子：d a 可以分解为： 磁：r ( 吼ol ) 一r ( 肌ql ) ，：r ( 肌圆l ) _ r ( 肌ol ) 定义磁的指标为： i n d ：d + = d i m ( k e r ( t + ) ) 一d i m ( k e r ( d a ) ) 2 2 四维流形上的有限群作用 这节中我们将介绍四维流形上的有限群作用、群作用的不动点、l e f s c h e t z 不动 点公式、g s i g n a t u r e 公式，g s p i n 定理和有限群的表示 设x 是一个光滑的、闭的，s p i n 四维流形，且x 上有保持s p i n 结构的紧致李群 ( 或有限群) g 作用假定x 上有一个黎曼度量使得g 是等距作甩那么这个g 总可 以被提升为旋丛上的作用0 ，其中0 是下面的扩张： 1 _ z 2 _ g _ g 一1 如果0 包含一个同构于g 的子群，则称g 作用是偶型的，否则称为奇型的 簟 设x 是闭的单连通的四维流形，g 是流形x 上的有限群作用，则g 作用的不 动点集定义为： f i x ( g ，x ) = z x l 均g ，9 x = z ) 若g 是由g ：x x 生成的循环群作用，且g = ，g v = 1 ，“局部s m i t h 理论” 意味着f = f i x ( g ，x ) 由孤立点和曲面组成 著名的l e f s c h e t z 不动点公式给出不动点集的欧拉示性数为： x ( f ) = a ( g ) = 2 + 打o c e 【9 。：h 2 僻) _ 日2 ) 】 详细内容可参见文献【3 】 定义2 i i ：空间x 上的一个作用称为伪自由作用，如果此作用在x 的一个离散子集 的补集上是自由的 定义2 1 2 ：设g z = 臼g lg x = z ) 为群g 在点z 处的迷向子群如果每一点z x 都有一个在迷向子群作用下不变的邻域，且g 在此邻域上的作用等价于某个欧式 空间上的线性作用，则称此群作用是局部线性的 9 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 当g 为流形x 上的局部线性伪自由作用时，每个不动点p 都对应着一个不动 点d a t a ( a ，6 ) ，它是一个有序对如果选取q 的一个生成元( ，则它在不动点p 上的 作用为( z ，u ) _ ( ( 口名，e 6 u ) 设g = z 3 局部线性伪自由作用于四维流形x ，则群的不动点集为孤立点集，且 g s i g n a t u r e 公式为： 。 ，t，而、一笔譬(啦+1)k玩+1)isg n ( g “哪”。萎筹渊， 其中( = e x p ( 2 r r i 3 ) ，孤立点的个数为礼+ 2 ，( a t ，b i ) 为不动点d e t a 此外，对固定的g g ，我们有g - s p i n 定理： i n d g d x = 幻= z ，( 尸) ， j = op e x o 其中e = e x p ( 2 r r i 3 ) ，且z ，( p ) 是相应于每个不动点的一个确定的复数 设不动点p 关于9 有表示型( a ，扫) 则相应于p 点的数v ( p ) 由下式给出： 咿) 。两币而昔而 其中( ( o ) 壶和( e 6 ) 考的符号由条件 ( e 口) ) 3 = ( ( 6 ) ) 3 = 1 决定 定义2 1 3 ：设y 是复数域c 上的一个向量空间，g l ( v ) 表示由y 到自身的全体可逆 线性映射组成的群g 是一个有限群，g 在y 上的个线性表示就是g 到g l ( v ) 的 一个群同态p ：g g l ( v ) 若y 是有限维向量空间，选定其一组基 e ) ，则可逆线性映射口：v y 可由 个n 阶可逆矩阵定义当p 给定时，称y 为表示空间若d i m ( v ) = 竹是有限的，则 称扎为表示的度 定义2 1 4 ：设p 和分别是g 在向量空间y 和y 7 上的表示，p 和p 7 称为同构的，若 存在一个线性同构r ：v y 7 将p 转换成，且满足： 下op ( s ) = p l ( s ) ，对所有s g 1 0 大连理工大学硕士学位论文 定义2 1 5 ：表示p ：g _ g l ( v ) 称为不可约的，若v 0 ，且除了y 和0 之外，y 中没 有g 作用下的不变子空间 定理2 3 ：每个表示都可以分解成不可约表示的直和 定义2 1 6 ：令p ：g _ g l ( v ) 是有限群g 在向量空间y 上的一个线性表示，对每个 s g 令： x p ( s ) = t r ( p 8 ) ， 这样得到的g 上的一个复值函数勋称为表示p 的特征标 性质2 1 ：若x 是一个度为n 的表示p 的特征标， ( 1 ) x ( 1 ) = n ； ( 2 ) x ( s 一1 ) = x ( s ) 对于s g ； ( 3 ) x ( t , t 一1 ) = x ( s ) 对于8 ，t g ( 若z = z + i y 是一个复数，用z 或三表示其共轭z i 掣) 性质2 2 ：具有相同特征标的两个表示是同构的 若和妒是g 上的两个复值函数，令 ( j 妒) = 砉( ) 妒( t ) + ，其中夕是g 的阶 。t e g 则该运算关于妒是线性的，关于妒是拟线性的，且( i 咖) 0 ，w 0 定理2 4 ： ( 1 ) 若x 是_ 个不可约表示的特征标，则( x l x ) = 1 ； ( 2 ) 若x 和x 7 是两个不同构的不可约表示的特征标，则( x l x 7 ) = 0 ( 或称x 和x 7 是 正交的) g 上的一个函数，成为类函数，若f ( t s t - 1 ) = ，( s ) 对所有的s ，t g g 上所有 的类函数可构成一个空间日，互不同构的不可约特征标x 1 ，x 2 ，x n 属于日，且构 成日的一组正交基底 定理2 5 ：g 的不可约表示的个数( 同构意义下) 等于g 的共轭类的个数 关于特征标还有下面两个性质，可用来验证和计算特征标 1 1 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 性质2 3 ：用x 1 ，x 2 ，x 表示g 的互不同构的不可约表示的特征标，它们的度分别 记为n 1 ，r t 2 ，礼_ f l ，则有： ( 1 ) 度m 满足冬1 竹 = 9 ，其中g 是g 的阶； ( 2 ) 若s g ，s 1 ，则t h ：1m x i ( s ) = 0 定理2 6 ：若8 g ，c ( s ) 表示s 所属共轭类元素的个数，则有： ( 1 ) l h ；1 瑶( s ) 勉( s ) = 9 c ( s ) ，其中g 是g 的阶； ( 2 ) 若s g ，s 1 ，则值h1m x d s ) = 0 2 3 交错群如 交错群a 5 是集合a ，b ，c ，吐e 的所有偶置换组成的群这个群共有6 0 个元素，可 分为下列五个共轭类： ( 1 ) 单位元素1 ； ( 2 ) 1 5 个共轭于z = ( 0 6 ) ( 耐) 的2 阶元素； ( 3 ) 2 0 个共轭于t = ( a b c ) 的3 阶元素； ( 4 ) 1 2 个共轭于s = ( a b c d e ) 的5 阶元素； ( 5 ) 1 2 个共轭于s 2 = ( a b c e d ) 的5 阶元素 由特征标的性质可计算a 5 的特征标表格为： lxtss 2 x o 1 1 111 x 1 4 o 11l x 2 5 11 0o x 3 3101 + u + u 41 + u 2 + 3 x 4 3 一l01 + 6 0 2 + 6 0 31 + u + w 4 其中u ：e 2 仉5 交错群a 5 通过z 2 的扩张同构于z 2 a 5 ，故s p i n 四维流形上的交错群a 5 作 用是偶性的 大连理工大学硕士学位论文 3 交错群a 5 在一类特殊的k 3 曲面上的作用 本章利用交错群a 5 作用于k 3 曲面 计算了其不动点的个数，并得到了一些结果 考虑复空间c n + l ，设g = c o ) 是复数的乘法群它按 h x ( x ) = 入z入g ，z c n + 1 0 1 作用于c 竹+ 1 0 1 因此( c n + 1 o 】) g 可看作过原点的所用复直线的集合 定义3 1 ：空间( c 1 o ) g 称为复射影空间，记为c p n 3 1 群作用不动点的计算 由群元素作用的特点知，1 5 个2 阶元素分别作用时有相同的不动点个数同理， 2 0 个3 阶元素，2 4 个5 阶元素作用时的不动点个数也是相同的在后面的讨论中，我 们只需要知道不动点的个数，与其具体形式无关因此，只需取5 个共轭类的代表元 进行计算，求出每个共轭类的不动点的个数 ( 1 ) 当单位元1 a 5 作用于f z 0 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】c p 4 ，且笔o z = 0 ，4 任o z = 0 时，易知所有的点都是不动点 ( 2 ) 当z = ( a b ) ( c d ) a 5 作用于【z 0 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】c p 4 ，且笔。学= 0 ，笔o z = 0 时： 情况1 ：当，0 i 4 均不为0 时，即元素形如【1 ，z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】由不动点的 定义有： 【1 ，z 1 ，z 2 ，翘，z 4 】= ( a b ) ( c d ) 1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= z l ，1 ，z 3 ，z 2 ，z 4 】 1 3 、， 0 = oo1 z 4 渤 o = ni z 4 铷 4 p c 4 z 3 z 2 z名 o z r t =x 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 从而 1 ，z 1 ，z 2 ，z 3 ，忽】= 1 ，石1 ，石z 3 ，石z 2 ，石z 4 】 对应元素相等，有： z t = 石1 ，= 嚣， = 石z 2 ，= 石z 4 2 2 z 3 z 4 z l2 一，2 _ ， 2 _ 2 = _ z 1 z 1z 1z 1 解得 z o = 1 ，名1 = 1 ，名22z 3 ，z 4 任意 再利用曲面x 应满足的条件：4 恼。哿= 0 ，江4o 哿= 0 ，可得 l2 + 2 z ；+ 蟹= 0 【2 + 2 z + 霹= 0 此方程组应有6 个解因此，在这种情况下有6 个不动点 情况2 ：当z o = 0 ，其余魂，1 i 4 不为0 时，即元素形如 0 ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】由不 动点定义知： 【o ，l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= ( d 6 ) ) f o ，1 ，z a ，z 3 ，z 4 1 - 【1 ，0 ，z 3 ，z 2 ，z 4 】 显然 【0 ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】【1 ，0 ，z 3 ，z 2 ，z 4 ， 因此，在这种情况下无不动点 情况3 ：当z 4 = 0 ，其余z i ，0 i 3 不为0 时，即元素形如 1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，0 】由不 动点定义知： 【1 ，z l ，忽，z 3 ，0 】= ( 口b ) ( c d ) 【1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，0 】- 【z l ，1 ，z 3 ，z 2 ，o 】 从而 对应元素相等，有： 解得 或 吣1 ，钝，z 3 ，0 】= 【l ，石1 ，z a z l ，石z 2 ，0 1 z ，= 石1 ，z 2 = 石z 3 ，幻= 署z 1 。石z 2 。石幻2 石 z o 。1 ，z l51 ，z 2 。z 3 ，z 42 0 z o = 1 ，z l 。一1 ， z 22 - - z 3 ，z 4 - w0 1 4 大连理工大学硕士学位论文 再利用曲面x 应满足的条件：o 本= 0 ，笔。窖= 0 ，可得 1 l + + 霹z 2 ：= 。o 或 。1 + ：z 。2 = 。 第一个方程组无解，第二个方程组有两个解：z 2 = - 4 - i 因此，在此情况下有2 个不动 点： 【1 ，一1 ，i ，一i ，0 】 和 f 1 ，一1 ，一i ，i ，o 】 情况4 ：其他情况同情况2 ，均无不动点 综上，当z = ( 口6 ) ( c d ) a 5 作用时共有6 + 2 = 8 个不动点 ( 3 ) 当t = ( b c d ) a 5 作用于，z 1 ，z 2 ，z 3 ，名4 c p 4 ，且笔。名 = 0 ，t 4 ；oz = 0 时： 情况l ：当z i ，0 i 4 均不为0 时，即元素形如【1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 由不动点的 定义有： 【1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= ( b c d ) 1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= 【1 ，z 3 ，z l ，z 2 ，z 4 对应元素相等，有： z 0 = 1 ，z l = z 2 。z 3 ，z 4 任意 再利用曲面x 应满足的条件：4 涛o z = 0 ，i 4 ：o z 。3 = 0 ，可得 厂1 + 3 z + = o l1 + 3 z ；+ 霹：o 此方程组应有6 个解因此，在这种情况下有6 个不动点 情况2 ：当z o = 0 ，其余z i ，1 i 4 均不为0 时，即元素形如 0 ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 由 不动点的定义有： 【0 ，l ，钇，z 3 ，z 4 】= ( 6 c d ) o ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= 【0 ，z 3 ，1 ，z 2 ，z 4 从而 0 , 1 , z 2 , z 3 , z 4 = 【0 1 磊1 ，嚣，争 对应元素相等，有： 勿= 石1 ，勿= 石z 2 ，魂= 石z 4 勿2 石勿。石魂2 石 交错群4 5 在k 3 曲面上的作用 解得 z o 。0 ，名1 = 1 ，z 221 ，z 3 。1 ，z 4 任意 再利用曲面x 应满足的条件：4 值。哿= 0 ，刍孝= 0 ，可得 “ 3 + z 4 2 ：= 0 。 此方程组无解因此，在这种情况下无不动点 情况3 ：当z 1 = 0 ，其余z t 均不为0 时，即元素形如【1 ，0 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】由不动点的 定义有： 【1 ，0 ，z 2 ，z 3 ，z 4 1 = ( 6 磁) ( 1 ，0 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= 【1 ，z 3 ，0 ，z 2 ，z 4 】 对应元素相等，有： z o = 1 ，z 1 = 0 ，z 2 = 0 ，z 3 = 0 ，z 4 任意 再利用曲面x 应满足的条件：叁。哿= 0 ，4 悟。芎= 0 ，可得 薹三兰 此方程组无解因此，在这种情况下无不动息 情况4 ：其他情况同情况2 或情况3 ，均无不动点 综上，当t = ( b c d ) a 5 作用时共有6 个不动点 ( 4 ) 当s = ( a b c d e ) a 5 作用于 z o ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 c p 4 ，且笔oz ；= 0 ，笔oz = 0 时： 情况1 ：当，0 i 4 均不为0 时，即元素形如【1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】由不动点的 定义有： 【1 ，z l ，z a ，z 3 ，z 4 】= ( a 6 c d e ) 【1 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= f z 4 ，1 ，z l ，z 2 ，z 3 从而 【1 ，z ，z 2 ，孙瓠】= 【1 ，i 1 ，三，石z 2 ，詈】 对应元素相等，有： z o = 1 ，z l = 霹，纫= 霹，z 3 = 霹，霹= 1 1 6 大连理工大学硕士学位论文 再利用曲面x 应满足的条件：刍哿0 ，；4 ：o 司= 0 ，可得 其中z i = 1 除z 4 ：1 外，z 4 ：u ，w 2 ，u 3 ，u 4 ，其中u ：e 孕时，上述方程组恒成立，即有4 个解因 此，在这种情况下有4 个不动点： 【1 ，u 4 ，u 3 ，u 2 ，u 】， 1 ，u 3 ，u ，u 4 ，u 2 】，【1 ，u 2 ，叫4 ，u ，u 3 】，【1 ，u ，叫2 ，u 3 ，u 4 】 情况2 ：当z o = 0 ，其余魂，1 i 4 均不为0 时，即元素形如【0 ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 由 不动点的定义有： 【0 ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 】= ( a b c d e ) o ，1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 = 【z 4 ，0 ，1 ，z 2 ，z 3 从而 0 , 1 , z 2 , z 3 , z 4 - 【1 j 0 ，0 石z l ，石z 2 ， 显然 【o ，1 ，z 2 ，z 3 ，名4 】【1 ，0 ，石z l ，石z 2 ，詈】， 因此，在这种情况下无不动点 情况3 ：其他情况同情况2 ，均无不动点 综上，当s = ( a b c d e ) a 5 作用时共有4 个不动点 ( 5 ) 当s 2 = ( a b c e d ) a 5 作用于【z o ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 c p 4 ，且叁。筏2 = 0 ，4 i ：o z = 0 时，同( 4 ) 的讨论，有4 个不动点 由上述讨论得到交错群a 5 作用于k 3 曲面 的不动点表格如下： 1ztss 2 i 不动点个数 6 0 86 4 4 1 7 o 0 = = 霹碹 + +瑶勉 + + 魂磋 + + 3 4 2 4 z z + + 1 1 ，i_j(1【 、， o = _，i z 4 铷 0= 2i 孑 4 渤 4 pc 旬 z 3 z 2 zz o 肛r j i =x 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 3 2 同调群的表示 设k 3 曲面x = ，钆珏孙z 4 】c p 4 i 刍霉= 0 ，冬oz f = o ) 下面计算表 示 h 2 ( x ；c ) = a o l + b o x l + c o x 2 + d o x 3 + e o x 4 的系数o o ，c 0 ，d ；0 ，e o 用x 雪表示x 在g a 5 作用下的不动点集，x ( x g ) 表示不动点集的欧拉示性数 对k 3 曲面有h o ( x ；c ) 兰h o ( x ；c ) 兰c ，h 1 ( x ；c ) 兰h 3 ( x ；c ) 兰0 由于k 3 曲面的 相交形式为一2 e s + 3 h ，故凰僻；c ) 兰2 2 c ，因此x ( k 3 ) = 2 4 又单点集的欧拉示性 数为元素的个数，故a 5 的五个共轭类的欧拉示性数表格如下： 夕 1zt ss 2 x ( x g ) 2 48644 由于x ( x g ) = 2 + t r 9 ( 日2 ) ，于是有下面的表格： 夕 1 ztss 2 t r o ( h 2 ) 2 2642 2 再结合交错群a 5 的特征标表格，可得： 1 1 2 2 + 1x1 5 6 + 1 2 0 4 + 1 1 2 2 + 1 1 2 2 d 02 百广一24 ； ：曼兰! 兰! ! ! 兰! ! 兰垒( 二1 2 兰兰! 兰兰q 旦：2 ； 2 1 矿l 二一2 ； n l - c n ：兰兰! 兰! 兰q ! 兰! q 兰兰! 二1 2 ：兰! 兰兰! ! 二! ! ：羔! 墨兰兰：2 ；c o2 弋亩二二。一2 ； h d 0 = 丝竺止业型尘坐号塑坐坐坠生业= o ； e 。：盟竺止业丝业业坐型型型坐业_ o 因此，所求表示为： h 2 ( x ；c ) = 4 1 + 2 x 1 + 2 x 2 也( x ，c ) 有如下分解： h 2 ( x ，c ) = 耐( x ，c ) o 何( x ，c ) 1 8 大连理工大学硕士学位论文 下面计算砑( x ，c ) 和何僻，c ) 的表示，为此，首先计算亡r 口( 日+ 一日一) ( 1 ) 当g = 1 时，对k 3 曲面来说一手= m = 3 ，一a ( x ) 1 6 = k = 1 ，所以 t r g ( t t + 一h 一) = 6 砉一6 i = 3 1 9 = 一1 6 ( 2 ) 当g = ( 0 6 ) ( 以) 时，有8 个不动点，且9 2 = 1 于是得到不动点类型( 一1 ，一1 ) ， 带入定理有： 吲日+ - 州= 8 粥- o ( 3 ) 当g = ( a b c ) 时，有6 个不动点，且9 3 = 1 于是得到不动点类型( 1 ，2 ) ，带入 定理有： 亡r g ( h + 一日- ) = 6 嵩嵩= 2 ，其中u = e 譬 ( 4 ) 当g = ( a b c d e ) 时，有4 个不动点，且9 5 = 1 于是得到不动点类型( 1 4 ) 和 ( 2 ，3 ) ，带入定理有： ( n 日_ ) ：2 ( 而l + w 而1 + w 4 + 拦而1 + w 3 ) = 4 ，其中孕 ( 5 ) 当g = ( a b c e d ) 时，同( 4 ) 有： t r g ( h + 一h 一) = 2 综上，得到表格： 夕 1 zt ss 2 it r a ( 日+ 一h 一) 1 6o 244 再结合t r g ( h 2 ) 的表格，得到下表： 夕 1z tss 2 t r 口( 日+ ) 33333 打口( 日一) 1 93 111 类似日2 ( x ，c ) 表示的计算，有日+ ( x ，c ) 的表示系数a l ，b i ，c l ，d l ，e l 的计算如下： 1x1x3 + 1 1 5x3 + 1 2 0 3 + 1 1 2x3 + 1x1 2x3 。 d 1 = 一= j ： 1 6 0 。 b ，= 型卫生塑等型型型= o ； d 12 i 、_ 二一2u ； o u 1 9 交错群a 5 在k 3 曲面上的作用 c 严兰兰! 兰兰里! 兰兰q 兰曼( 二1 2 兰! ! 兰! ( 二1 2 兰旦塑；0 ； c 12 宙。一2 ； d 1 - 塑坐盟型坠坐坐坐些盐些丛生塑= 0 ； e ，：塑型坚幽坠型盟乓幽竺型型坐螋- 0 所以 砑( x ，c ) = 3 1 h 一僻，c ) 的表示系数a 2 ，b 2 ，c 2 ，d 2 ，e 2 的计算如下： a 。：! 兰! 兰! 皇! 兰! ! 兰曼! 兰! 旦兰! ! 兰! ! 兰! = 1 2 ! 兰! ! 兰( 二1 2 ：l ： a 22 面一2q 6 ，：曼兰! 兰! 竺! 兰! ! 兰! ( 二1 2 兰兰! 兰! 里q ：2 ： 眈2 飞矿、_ 一2 b u 伤：兰兰! 兰! 皇鱼! 兰! 里釜! ! 二1 2 兰! ! 兰! 二! ! f 二! ! 兰! ! 兰( = 1 2 ：2 ： c 22 方二一2z ； d 2 ：3 x i x 1 9 + ( - 1 ) x 1 5 x 3 + o + ( l + w + 1 w 矿4 ) x 1 2 x ( - 1 ) + ( 1 + w 2 + w 3 ) x 1 2 x 一( - 1 ) = 。； e 2 ：3 x 1 x 1 9 _ + ( - 1 ) x 1 5 x 3 + 0 + ( 1 + w 2 + 丽w 3 ) x 1 2 x ( - 1 ) + ( 1 + w + w 4 ) x 1 2 x 一( - 1 ) = 。 所以 3 3 i n d a 5 d 的表示 啊( x ，c ) = 1 + 2 x i + 2 x 2 下面计算表示i n d a 5 d = a o + b o x l + c o x 2 + d o x 3 + c o x 4 的系数a o b o ，c o ，d o ，e o 交 错群a 5 有5 个共轭类，分别取其代表元，并计算跗n ( 夕，x ) ： ( 1 ) 当g = 1 时： 跚吣= 一华_ 2 ( 2 ) 当g = ( a b ) ( c d ) 时，有8 个不动点，且9 2 = 1 于是得到不动点类型( 一1 ，一1 ) ， 带入定理有： 却伽( 夕，x ) = 1 x8 = 士2 大连理工大学硕士学位论文 由定理中的符号取法，可得g p i , 1 ( g ，x ) = 2 ( 3 ) 当g =