（工程力学专业论文）基于动力特性的桩基损伤检测和承载力评估技术研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 随着我国交通事业的迅速发展，桥梁建设数量越来越多，桩基础在桥梁建 设中也被广泛采用。因此，对桩基工程的质量检测已成为桥梁建设中的重要环 节。桩基的承载力和完整性检测是桩基质量检测中的两项重要内容，其检测方 法主要有传统的静测法和近年来迅速发展的动测法。由于动测法简捷、高效， 因而动测法目前已成为桩基质量检测领域最有发展前景的方法。 桩的纵向振动理论是桩各种动态测试方法的理论基础，开展桩纵向振动理 论的研究对于进一步弄清桩一土间动力相互作用、动力试桩的机理以及正确分 析试桩测试曲线是非常重要的。 本文以桩的纵向振动理论为基础，采用理论分析、模型实验和现场测试相 结合的方法，对桩基损伤、承载力进行了检测和评估，主要内容有： ( 1 ) 基于一维波动理论，分析了杆在两端固定、一端自由一端固定、两端 自由等情况下的固有振动，并分析了杆的纵向强迫振动、桩的纵向振动，得到 了桩土系统纵向振动的响应。探讨了应力波在桩的固定端、自由端、变截面处 的反射情况，以及桩侧有摩阻力的情况下应力波的传播规律。 ( 2 ) 建立了缺陷桩的桩土振动模型。通过拉氏变换，并利用阻抗函数的性 质，求得了桩身截面在任意段情况下桩顶的阻抗函数的解析表达式，进一步得 到了速度导纳以及时域速度响应。并分析了桩基瞬态动测响应的衰减特性、多 频振动特性、空间特性、频谱特性。 ( 3 ) 以桩的连续杆件为模型，介绍了曲线拟合法的基本原理、桩身混凝土 本构模型及桩土耦合的静力模型和动力模型；根据应力波理论，介绍了反射波 法进行桩基缺陷检测的时域分析和频域分析及如何确定桩长和缺陷位置。 ( 4 ) 以应力波理论为基础，通过模拟计算，研究了缺陷位置对反射波信号 的影响，以及在不同脉冲宽度和材料阻尼的情况下应力波沿桩身的衰减特性， 并通过模型桩实验，验证了结论的正确性。 ( 5 ) 以曲线拟合法为基础，建立了桩的连续杆件模型。在高应变的基础上 通过遗传算法编制程序，反演了桩基承载力，并与静载实验对比，验证了遗传 算法的可行性。 关键词：桩；纵向振动；损伤检测；承载力：遗传算法 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft r a n s p o r t a t i o ni no u rc o u n t r l j ，t h eb r i d g ec o u s t r u c t i o n q u a n t i t ya l eg e t t i n gm o r ea n dm o r e ，t h ep i l ef o u n d a t i o ni s a l s ow i d e l yu s e di nt h eb r i d g e c o n s t r u c t i o n t h e r e f o r e ，t h ep i l ef o u n d a t i o nq u a l i t yd e t e c t i o nh a sb e c o m eak e yi nt h eb r i d g e c o n s t r u c t i o n 1 1 1 ep i l ef o u n d a t i o ns u p p o r t i n gc a p a c i t ya n dt h ei n t e g r i t yd e t e c t i o na r et w o i m p o r t a n tc o n t e n t si nt h ep i l ef o u n d a t i o nq u a l i t y , i t sd e t e c t i o nm e t h o dm a i n l ya l et h e t r a d i t i o n a ls t a t i ct e s t i n ga n dt h er a p i d l yd e v e l o p m e n to fd y n a m i ct e s t i n gi nr e c e n t y e a r s b e c a u s et h ed y n a m i ct e s t i n gs i m p l ya n dt i m e s a v i n g ，t h u st h ed y n a m i ct e s t i n g h a sb e c a m et h em o s tp r o s p e c tm e t h o di nt h ep i l ef o u n d a t i o nq u a l i t yd e t e c t i o na t p r e s e n t t h el o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt h e o r yo fp i l ei st h eb a s i so fm a n yk i n do fm e t h o di n d y n a m i cp i l et e s t i n g ，d e v e l o p m e n tt h ep i l el o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt h e o r yw h i c hc a l l b eu s e dt oe x p l a i nt h ed y n a m i cr e s p o n s eb e t w e e np i l ea n ds o i l 、t h em e c h a n i c so fp i l e t e s t i n ga n dt oi l l u s t r a t et h ep i l et e s t i n gc u r v e s b a s e do nl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt h e o r yo ft h ep i l ei nt h i sp a p e r , t h ep i l ed a m a g e a n ds u p p o r t i n gc a p a c i t yh a sb e e nd e t e c t e da n de v a l u a t e df r o mt h em e t h o dw h i c ha r e t h e o r e t i c a la n a l y s i s ，m o d e le x p e r i m e n ta n ds c e n et e s tu n i f y , t h ep r i m a r yc o v e r a g e i n c l u d e s ： ( 1 ) b a s e d0 1 1t h eo n e - d i m e n s i o ns t r e s sw a v et h e o r y , t h ei n h e r e n c ev i b r a t i o no f t h e r o di nt h eb o t hf i x e d 、a 1 1e n df i x e da n do t h e r sf r e e d o ma n dt h eb o t he n df r e e d o m ，a s w e l la st h ef o r c e dv i b r a t i o no ft h er o da n dl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o no ft h ep i l eh a sb e e n a n a l y z e d ，t h e nt h er e s p o n s eo ft h ep i l e s o i ls y s t e mi nl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nh a sb e e n g a i n e d h a sd i s c u s s e dr e f l e c t i o ns i t u a t i o no fs t r e s sw a v ei nt h ep i l eo f t h ef i x e de n d ， t h ef r e ee n da n dt h ev a r i a b l ec r o s s s e c t i o n ( 2 ) n es o i l p i l ev i b r a t i o nm o d e lo ft h ed e f e c t i v ep i l e sh a sb e e ne s t a b l i s h e d ，a n d t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no ft h ei m p e d a n c ef u n c t i o na tt h et o po ft h ep i l ei na r b i t r a r y c r o s s - s e c t i o ng e t 丘d mt h el a p l a c et r a n s f o r ma n di m p e d a n c ef u n c t i o n , f u r t h e r , t h e s p e e dc o n d u c t a n c ea n dt h es p e e dt i m e d o m a i nr e s p o n s eh a s b e e no b t a i n e d ，a sw e l la s t h ed y n a m i ct e s t i n gp i l et r a n s i e n tr e s p o n s eo ft h ea t t e n u a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e 武汉理工大学硕士学位论文 m u l t i - f r e q u e n c y v i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e s p a t i a l c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h e f r e q u e n c ys p e c t r u mc h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e na n a l y z e d ( 3 ) t a k et h ep i l ec o n t i n u a lm e m b e r 箍am o d e l ，t h eb a s i ct h e o r yo ft h ec b r v ef i r i n g 、 c o n s t i t u t i v em o d e lo ft h ec o n c r e t ep i l es h a f ta n dp i l e s s o i lc o u p l i n gm o d e lo ft h e s t a t i ca n dt h ed y n a m i ch a sb e e ni n t r o d u c e d ；a c c o r d i n gt ot h es t r e s sw a v et h e o r y , t h e t i m e - d o m a i na n a l y s i sa n df r e q u e n c y - d o m a i na n a l y s i so ft h er e f l e c t e dw a v em e t h o d i nd e t e c t i o nd e f e c t i v eo fp i l ea n dh o wt od e t e c t i o nt h ep i l el e n g t ha n dt h ed e f e c t i v ep o s i t i o n h a sb e e ni n t r o d u c e d ( 4 ) t h ei n f l u e n c eo ft h ed e f e c t i v ep o s i t i o nf o rt h er e f l e c t e dw a v es i g n a ls t u d i e d f r o mt h ea n a l o gc o m p u t a t i o nb a s e do ns t r e s sw a v et h e o r y , a sw e l la st h ew e a k e n c h a r a c t e r i s t i co ft h es t r e s sw a v ea l o n gt h ep i l es h a f ti nt h ed i f f e r e n tp u l s ew i d t ha n d m a t e r i a ld a m p i n gh a sb e e nc o n f i n n e df r o mt h em o d e lp i l ee x p e r i m e n t ( 5 ) t h ep i l ec o n t i n u a lm e m b e rm o d e lh a sb e e ne s t a b l i s h e db a s e do nc u r v ef i t t i n g m e t h o d ，t h ep i l ef o u n d a t i o ns u p p o r t i n gc a p a c i t yh a sb e e ni n v e r s e df r o mt h eg e n e t i c a l g o r i t h mb yt h eh i g hs t r a i l l a n dc o n t r a s t 、i t ht h es t a t i cl o a de x p e r i m e n t , h a s c o n f i r m e dt h eg e n e t i ca l g o r i t h mf e a s i b i l i t y k e yw o r d s ：p i l e ，l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o n , d a m a g ed e t e c t i o n ，s u p p o r t i n gc a p a c i t y ， g e n e t i ca l g o r i t h m i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生( 签名) ：圭丕兰妻 日 关于论文使用授权的说明 期：7 0 9 9 3 _ 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：塑童圭导师( 签名) ：翌塞圣! 王日 期竺7 f 立誓 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 概述 第1 章引言 近年来，随着我国高速公路和铁路交通事业的迅速发展，桥梁建设数量也 越来越多，桩基础在桥梁建设中也被广泛采用。如果桩基工程的质量出现问题， 后果将不堪设想，轻则会使桥梁发生不均匀沉降，重则会使桥梁发生开裂甚至 倒塌，而且桩基工程的造价也很高。因此，对桩基工程的质量检测己成为桥梁 建设中的重要环节。桩基质量检测的方法主要有传统的静测法和近年来迅速 发展的动测法，本文以振动理论为基础，主要通过动测法对桩身完整性和单桩 竖向承载能力进行检测。 1 2 动力测桩技术在国外的发展 基桩低应变动测技术是以应力波理论为基础发展起来的。早在1 8 6 5 年圣 维南提出了一维波动方程问题，他通过对一端自由、一端固接的细长杆受撞击 后的应力波传播规律的研究，从数学的角度提出了应力波传播符合一维波动程 瞄1 。1 9 3 1 年d v i s a c c s 提出打桩过程中能量是以波动方式传播的，应力波的 传播规律可以近似用一维波动方程来描述1 。他把土参数引入波动方程，研究 了打桩过程中应力波的传播问题。不过，由于桩一土体系的复杂性，方程的求 解比较困难，只能得到几种简单的边界条件下的解，不适用于多变的实际工程 情况，因而未获得广泛的应用。 上世纪5 0 年代后期，美国机械工师e a l s m i t h 提出了应用有限差分数 值解法来求解波动方程，把锤一桩一土体系简化为质量块、弹簧和阻尼器模型， 通过计算机进行迭代运算，并提出了计算模型所涉及的各种参数，给出了这些 参数的建议值，从而使波动方程应用于打桩分析进入实用阶段。从2 0 世纪6 0 年代开始，美国的g g g o b l e 教授领导的基桩动测技术研究小组，对桩基动测 仪器研制、现场测试方法改进及桩一土模型完善等方面进行了系统性工作，改 进了应变测量技术，完善了力和速度的测试系统，设计了可重复使用的应变传 感器，创造性的提出了在桩身安装传感器进行现场实测，解决了一直困绕桩基 动测技术中关于锤一桩之间的能量传递的问题”1 。1 9 7 0 年g g g o b l e 教授等 武汉理工大学硕士学位论文 发表了“关于桩承载力的动测研究文章，1 9 7 5 年发表了“根据动测确定桩 的承载力 的研究报告。这些文献标志着以波动理论为基础的桩基动测技术逐 步走向成熟。1 9 7 0 年以后，美国已把桩动测技术用于工程实际。 1 9 7 2 年，荷兰h b m c ( h o l l a n d s c h eb e t o nm a a t s c h a p p i j b yc o m p a n y ) 研制 了液压打桩锤，在液压锤上安装应力计，打桩时可准确测量出作用在桩项上的 冲击力，随时量测桩打入到不同深度时的承载力怕1 。 1 9 7 4 年，荷兰国家应用科学研究委员会的建筑材料和结构研究所研制出 基桩诊断系统f p d s 一3 ( f o u n d a ti o np il ed i a g n o s ti cs y s t e r 3 ) ，它以便 携式计算机为主体，配以四通道采集箱和t n o w a v e 分析软件，可兼作高、低应 变法测桩1 。 1 9 7 7 年，美国p d i ( p i l ed y n a m i c si n c ) 公司，根据波动方程半经验解 析解原理，开始生产p d a ( p il ed r i v i n ga n a l y z e r ) 打桩分析仪的高应变动力 试桩专用仪器。它通过量测桩顶力和速度( 或加速度) 的波形，对桩的极限承载 力、桩身重量、锤击能量、锤和锤垫性能做出实时分析，得出c a s e 法承载力。 此外，还可以进行c a p w a p c 程序分析，获得桩身侧阻力分布曲线，并计算得出 模拟的q - s 曲线。 1 9 8 0 年，瑞典p i d 打桩开发公司和v p p s a l a 大学联合开发了p i d 打桩分 析仪，并配置了c a p w a p c 波形拟合程序。 1 9 9 0 年，荷兰i f c o 公司研制了利用应力波反射法检测桩身结构完整性的 测桩仪哺1 。 1 3 动力测桩技术在国内的发展 国内在引进国外仪器的同时，也吸收、改进了相应的分析软件，同时也研 制出了自己的分析软件。 1 9 7 2 年，湖南大学周光龙教授等人开始研究桩的动测技术，经过多年研 究探索和工程考核试验，形成了动力参数测桩法。 1 9 7 6 年，四川省建筑科学研究所和中国建筑科学研究院共同研究，形成 了锤击贯入高应变动力试桩法u 。 1 9 7 8 年，唐念慈在渤海1 2 号储罐平台上，沿两根大直径钢管桩( 桩径0 9 米，桩长7 0 米) 两侧粘贴电阻应变片，在桩头设置加速度传感器，现场量测打 2 武汉理工大学硕士学位论文 桩过程中的各项数据，编制了b f 8 1 计算程序，进行了波动方程打桩分析测试， 还得到了静载荷试验时的桩身应力分布，取得了动静对比资料。这是我国首次 把波动方程用于打桩分析。 1 9 8 0 年，西安公路研究所研究了稳态激振机械阻抗法，并与中国科学院 电工研究所共同研究出水电效应法低应变动力测桩技术，研制出了我国最早的 低应变动力测桩仪器h 。 1 9 8 6 年，甘肃省建筑科学研究所编制了可以输入实测力波的波动方程计 算程序，并和上海铁道学院共同研制了我国的高应变打桩分析仪。 中国科学院武汉岩土力学研究所在2 0 世纪8 0 年代也开始了桩基动测仪器 及软件的开发研制工作，于1 9 8 6 年开发出第一台r s m 桩基动测仪，并逐步完 善c c w a p c 程序。 1 9 8 8 年以后，中国建筑科学研究院开始对引进的美国g c 型打桩分析仪进 行开发应用研究，编制了桩的特征线波动分析程序f e i p w a p c ，1 9 9 2 年又推出 了f e i 系列桩基动测分析系统，具备高、低应变检测功能哺1 。 1 4 动力测桩的主要方法 动测法是通过在桩头施加动载荷，再利用在桩头上安装的力和加速度传感 器所采集的信号，经过相关软件处理后得到的响应来达到测试目的。动测法又 分低应变动测法和高应变动测法。在工程上常用的低应变动测法主要有如下几 种方法。 ( 1 ) 反射波法又称时域法，即在时间域上研究桩的振动曲线。振动曲线的 获得可通过手锤或力棒敲击桩顶即可获得桩的瞬态振动曲线，通过对曲线的研 究判读进而判断桩身的质量。这种法方法操作简便、成本低，因而在工程上应 用广泛。需要指出的是反射波法只在对评价桩身质量比较可靠，由于其锤击能 量小，不能够使桩土之间产生足够的相对位移来激发土对桩的阻力，因此用它 来估计桩的承载力可靠性不高。 ( 2 ) 动力参数法本法的实质是用敲击方法测定桩的基本自振频率( 频率 法) ，或同时测定桩的频率和初速度( 频率一初速法) ，用以换算桩基的各种设 计参数。实测时，用仪器测定桩基的频率，结合土工原理，能较准确地计算桩 基各种参数。此法采用敲击方式激振，在仪器配备和实际操作方面均较轻便， 武汉理工大学硕士学位论文 经实测对比研究，精度也能满足工程要求。 ( 3 ) 机械阻抗法机械阻抗法将桩身简化为多自由度的质量一弹簧模型。通 过测定施加于桩基的激励力和该激励下的动态响应来识别桩的动态特性。由于 桩的动态特性与桩身混凝土的完整性以及桩一土相互作用的特性密切相关，通 过对动态特性的分析计算，可估计桩身混凝土的缺陷类型及其在桩身中的位 置。根据激励技术及分析技术的不同，分为稳态机械阻抗法和瞬态机械阻抗法 两种。 所谓高应变动力测桩法，广义地讲，是指所有能使桩土间产生永久变形( 或 较大动移) 的动力检测桩基承载力的方法。这类方法要求给桩土系统施加较大 能量的瞬时荷载，以保证桩土间产生一定的相对位移。自1 9 世纪人们开始采 用打桩公式计算桩基承载力以来，这种方法已包括： ( 1 ) 打桩公式法用于预制桩施工时的同步测试，采用刚体碰撞过程中的 动量与能量守恒原理，打桩公式法以工程新闻公式和海利打桩公式最为流行。 ( 2 ) 锤击贯入法简称锤贯法，曾在我国许多地方得到应用，仿照静载荷 试验法获得动态打击力与相应沉降之间的关系曲线，通过动静对比系数计算静 承载力，也有人采用波动方程法和经验公式法计算承载力。 ( 3 ) s m i t h 波动方程法设桩为一维弹性杆，桩土间符合牛顿粘性体和理 想弹塑性体模型，将锤、冲击块、锤垫、桩等离散化一系列单元，编程求解离 散系统得差分方程组，得到打桩反应曲线，根据实测贯入度，考虑土的吸着系 数，求得桩的极限承载力。 ( 4 ) 波动方程半经验解析解法也称c a s e 法，将桩假定为一维弹性杆件， 土体静阻力不随时间变化，动阻力仅集中在桩尖。根据应力波理论，同时分析 桩身完整性和桩土系统承载力。 ( 5 ) 波动方程拟合法即c a p w a p 法，其模型较为复杂，只能编程计算，是 目前广泛应用的一种较合理的方法。 ( 6 ) 静动法( s t a t n a m i c )其意义在于延长冲击力作用时间( 约l o o m s ) ，使 之更接近于静载荷试验状态。 波动方程半经验解析解法和波动方程拟合法是目前最常用的两种高应变 试桩法，也是狭义的高应变动力试桩法，它们的现场测试方法和测试系统完全 相同，只是采用不同的软件求得相应的承载力和基桩质量完整性系数憎。 4 武汉理工大学硕士学位论文 1 5 动力测桩法的优缺点 相对于静载试验和钻孔取芯法而言，基桩动测法是一种间接检测方法，技 术含量较高，要求检测人员不仅要掌握岩土工程、桩基工程、波动理论等相关 知识，还需要熟悉测试仪器的性能、信号采集处理和分析技术，并且必须具备 一定的工程实践经验。 基桩检测是一项难度较大的工作，情况比较复杂，尽管低应变反射波法应 用发展比较成熟，但在复杂情况下单纯依赖它并不能确定所有桩身质量问题。 实际上，任何一种动力测桩法都有其明显的适用范围，并非所有情况下都能发 挥作用，即使在适用范围内，不同的人、不同的仪器对同一根桩的检测，也不 会得出完全相同的结论。 目前仅就单桩承载力检测而言，还没有哪一种动测法能够完全令人信服地 取代静载试验。对大多数工程来说，通过一定数量的静载试验确定承载力，以 作为设计的依据或工程桩承载力验收的主要手段，同时辅助高低应变动测法加 大抽检范围，对工程桩承载力和桩身完整性进行检测评价，是比较通行的做法。 与静载试验相比，动测法具有如下优点： ( 1 ) 仪器设备轻便，检测速度快，检测费用低； ( 2 ) 动测法除能检测单桩承载力外，还具有桩身完整性检测、沉桩能力分 析、打桩机械监控和桩动态特性测定等功能； ( 3 ) 能够检测桩身缺陷及其位置，检查在持续打击力作用下缺陷的发展状 况； ( 4 ) 检测效率高，更有利于对桩进行普查。 桩基动测技术向高质量、规范化、标准化的方向发展过程中，除了不断开 发和改善动测分析的硬件设备外，还应不断完善理论研究和软件分析。 1 6 本文研究的主要内容 本文采用理论分析、模型实验、数值模拟、现场实验相结合的方法，运用 动力学知识，对桩基损伤、承载力进行了检测和评估，主要内容有： ( 1 ) 基于一维波动理论，分析了杆在两端固定、一端自由一端固定、两端 自由等情况下的固有振动，并分析了杆的纵向强迫振动、桩的纵向振动，得到 了桩土系统纵向振动的响应。探讨了应力波在桩的固定端、自由端、变截面处 5 武汉理工大学硕士学位论文 的反射情况。 ( 2 ) 建立了缺陷桩的桩土振动模型。通过拉氏变换，并利用阻抗函数的性 质，求得了桩身截面在任意段情况下桩顶的阻抗函数的解析表达式，进一步得 到了速度导纳以及时域速度响应。 ( 3 ) 以应力波理论为基础，通过模拟计算，研究了缺陷位置对反射波信号 的影响，以及在不同脉冲宽度和材料阻尼的情况下应力波沿桩身的衰减特性， 并通过模型桩实验，验证了结论的正确性。 ( 4 ) 以曲线拟合法为基础，建立了桩的连续杆件模型。在高应变的基础上 通过遗传算法编制程序，反演了桩基承载力，并与静载实验对比，验证了遗传 算法的可行性。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章动力测桩法的理论基础 2 1 等直杆的纵向振动 对如图2 1 所示的等截面细直杆，讨论它沿纵向的振动规律。首先需作两 点假设： ( 1 ) 杆的横截面在振动时，仍保持为平面，作整体运动； ( 2 ) 略去杆纵向伸缩而引起的横向变形。 。e 三三j 荔三三三三三三 l 一e 二二兰 。+ 磬出l 一!a j 一 ，囫一，+ 磬由 图2 一l等截面细杆的纵向振动 取杆的纵向作为x 轴，各个截面的纵向位移表示为u ( x ，f ) ，微单元出的受 力及位移情况如图2 一l 所示，设杆单位体积的质量为p ，杆长为，截面积为 彳，材料的弹性模量为e 。再设杆在任一截面x 处的纵向应变为c ( x ) ，纵向内 力表示为p ( x ) ，则由材料力学知 so)=_ou(2-1) 尸( x ) ：4 仃：么e 占：4 e 坐( 2 2 ) 出 尸+ 芸凼划瓦o u + 丽0 2 u 出，) ( 2 - 3 ) 缸、苏 玉2 7 列出d x 段的运动微分方程 出萨0 2 u = p + o 玉pd x _ p = a e 融0 2 u ：d x ( 2 - - 4 ) 整理后得 害专争 o x lc 2 吲 武汉理工大学硕士学位论文 式中，c = 、：历，表示弹性波沿桩纵向的传播速度。上式即为一维波动方程。 2 2 杆的纵向固有振动 2 2 1 固有频率和主振型 对杆的一维波动方程式( 2 5 ) ，采用分离变量法，设 u ( x ，f ) = x ( x ) r ( t ) ( 2 - - 6 ) 其中，丁( f ) 表示运动规律的时间函数，x ( x ) 是杆上距原点x 处截面的纵向位 移，则 害川湖z ) ( 2 _ 7 ) 了0 2 u ：x ( 石) 于( r ) ( 2 8 ) 叙2 将上面两式代入式( 2 5 ) ，得到 t ( t ) x ”( x ) = - 互rx ( x ) 穸( f ) ( 2 - - 9 ) 经整理后得 塑：c z 塑! ：一名( 2 1 0 ) 2 ( f )爿 ) 上式中第一个等号的左边是时间t 的函数，右边是位置x 的函数，现二者 相等，表明五只可能为常数，由此得到下列两个方程 ( 卅吾砸) _ o ( 2 - 1 1 ) t ( t ) + 2 t ( t ) = 0 ( 2 一1 2 ) 为了保证式( 2 1 2 ) 的解为简谐函数，即各质点的运动为振动，常数五必须 大于零，因此设名= 国2 ，这样式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 成为 x 。( x ) + 了( 1 9 2x ( x ) = o ( 2 1 3 ) 于o ) + 缈2 丁( r ) = 0 ( 2 1 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 由此解得 x ( z ) = 么s i i l 罟x + 马c 。s 石c ox (2-15) 丁o ) = d ls i n ( c o t + 矿) ( 2 1 6 ) 其中，a 。，且及缈将由边界条件确定，d l ，伊则由初始条件确定。 将式( 2 一1 5 ) 、( 2 1 6 ) 代入式( 2 6 ) ，得 u ( x ，) = ( 彳ls i l l 昙x + 尽c o s 昙z ) bs i n ( c o t + o ) ( 2 - - 1 7 ) l l 上式就是等直杆的主振动，它表示了杆的各个质点以式( 2 1 5 ) 所示的x ( x ) 为 振动形态，以缈为频率作简谐振动，所以x ( x ) 称为主振型或振型函数，而c o 则 是固有频率。下面来确定各种简单边界条件下，杆的固有频率和主振型u 训。 2 2 2 两端固定的等直杆 两端固定的等直杆，其边界条件为 x ( 0 ) = x ( ，) = 0 代入式( 2 1 5 ) ，得 f 马= 0 t 4s 洫告，- o 为使系统有非零解，必有 s i l l 竺，：0 由此得到两端固定杆的固有频率为 哆笾i 刮锥，2 ， 相应的主振型为 引加中m 芋x ，2 2 2 3 一端固定一端自由的等直杆 ( 2 一1 8 ) ( 2 一1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 一端固定、一端自由的等直杆，设x = o 处为固定端，石= ，处为自由端， 9 武汉理工大学硕士学位论文 在固定端处，边界条件为 x ( o ) = 0( 2 2 2 ) 在自由端处，边界条件为尸( ，) ：0 ，即罢l ：0 ，亦即 废i j x ( ，) = 0 将式( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 代入式( 2 一1 5 ) ，得 为使系统有非零解，必须满足 c o sc o l ：o c 由此得到一端固定一端自由杆的固有频率为 相应的主振型为 2 2 4 两端自由的等直杆 两端自由的等直杆，边界条件为 代入式( 2 1 5 ) 得 x ( 0 ) = x ( ，) = 0 为使系统有非零解，必须满足 由此得到两端自由杆的固有频率为 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) i = 1 , 2 ，( 2 2 5 ) i = 1 , 2 ， ( 2 2 6 ) i 彳i - 0 髀咖罟，一o s i i l 里f - 0s m f = c 1 0 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) o = ，f 桫一c n o 趿 = 4 马竺c ，l e p 万一， x 一2 一川 以 洫 塑万 吐 2 一 ) = 研 墨 武汉理工大学硕士学位论文 驴丁i n c = i 锥p 圳，1 ，2 ， ( 2 - 2 9 ) 国；= 一=一卜一 j = u 1 z lz z 了j 。 z z 、f 一7 相应的主振型为 置( x ) ：b ic o s 军x k 0 ，1 2 。( 2 - - 3 0 ) 很明显，上面两式包含了零固有频率和相应的刚体振型k ( x ) = b 。 将= 0 代入式( 2 1 4 ) 得， 瓦= 谢+ b ( 2 3 1 ) 于是，相应的主振型为 ”o ( x ，t ) = x o ( x ) t o ( t ) = b o ( a t + b ) ( 2 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 表明，在零固有频率的情况下，杆以式( 2 3 2 ) 的形式作刚体平 一r 动。 求出各阶固有频率峨和相应的主振型置( x ) 后，就得到了相应的各阶主振 动 甜- ( x ，) = z ( 石) z ( ) ( 2 3 3 ) = x ，( x ) 口s i n ( c o f t + 仍) f 1 , 2 ， 它们都满足固有振动方程( 即一维波动方程) ( 2 1 4 ) 式， 是无穷个主振动的叠加。 u t ( x ，f ) = x ，o ) d s i n ( c o f f + 仍) i - i 对于两端自由的杆，还应增加刚体平动( 2 _ 3 2 ) 式。 2 2 5 杆端带有弹簧支座的等直杆 因此杆的固有振动 ( 2 3 4 ) 如图2 2 所示的杆端带有弹簧支座的等直杆，设弹簧的刚度为k ，其边 界条件为 o eap 彭 ir l 、 一 vvv v vvv 1 一 h 图2 2 杆端带有弹簧支座 武汉理工大学硕士学位论文 u ( o ，f ) = o i 以宴ll0(2-35)oxl ，- ， 一j 由上述边界条件及式( 2 - 6 ) ，有 x ( o ) = 0 1 赢，( f ) ；一( f ) ( 2 - - 3 6 ) 代入式( 2 一1 5 ) 得 且= o 幽竺c 。s 竺l = - k s i n 罢， 2 3 7 cccj 即t g ( _ 垃, z c ) ：一一e a ：口( 2 - - 3 8 ) t | ch 式( 2 3 8 ) 即为杆的频率方程，对应于给定的口值，不难找到各个固有 频率0 9 ，的数值解，相应的主振型为 置( x ) 4 , s i nc ，o , , x ( 2 - - 3 9 ) 若k = 0 ，则为一端固定，一端自由的系统； 若k = ，则为两端固定的系统。 2 3 杆的纵向强迫振动 与多自由系统一样，分析弹性体的强迫振动，同样可以用模态分析一样的 方法一振型叠加法。 如图2 3 所示，有一等直杆，受一分布力p ( x ，f ) 的作用。类似于( 2 1 4 ) 式，可以推出杆的强迫振动方程 窘= e ao 矿2 u 吲彬) ( 2 - - 4 0 ) 若已知其初始条件为f = 0 时 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 u(x,o)-a(x工)ou-att-o i 一i = r - l “j ( 2 4 1 ) p(石，t) 。e 三三重复三三三三三 i 一一一- 一 l 兰， 出 “( j ，f ) l 一一j + 百出 _ 叫 口” ， ；。i 雪一p + 磬出 图2 _ - 3 等直杆的纵向强迫振动 假设在给定的简单边界条件下，已经得到各阶固有频率缈= 1 , 2 ，) 及相 应的正则振型，o ) ( f - 1 , 2 ，) ，类似于多自由度系统的振型叠加法，可将杆的 位移展开为各阶正则振型的无穷级数，即 u ( x ，) = ，( x ) 刁( ，) ( 2 4 2 ) l = i 其中，z ，( f ) 称为相应的正则坐标。将上式代入式( 2 4 0 ) 得 例m ，乏= 尉2 。+ p ( z ，) ( 2 4 3 ) i - i，= i 上式两边乘以，( x ) ，并沿杆长积分，得 艺t - - i ( i i ，出磁= 喜( i 翻冲，出) z f + f p ( 五f ) ，出 由正交性条件，上式得 三j + 缈；z = q j o ) = 1 , 2 ， 上式即为第，个正则坐标方程，其中 q j ( t ) 5j ：p ( x ，) 西，d r , q j ( f ) 称为第个广义力。 1 3 ( 2 4 4 ) ( 2 4 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 冉将初始条件( 2 4 1 ) 转化为止则坐杯卜的初始条仟 u ( x ，o ) = 西，( x ) z 即) = z ( x ) l 忙1 lf2 4 7 、 剖1 = 0 = 知i = 1 班f ( 0 m j 再由正交性条件，得 乃( o 卜 醐q o 叫 ( 2 - 4 8 ) z j ( o ) = fp a f 2 0 ) d xj 这样，微分方程( 2 - - 4 5 ) 的解为 z ) = z ( c o s o j j t + 2 j 叫( 0 ：) s i n 缈，r + 去f 州f ) s i n ( o j ( f _ 州f 因此，只要将式( 2 4 9 ) 代入式( 2 4 2 ) ，便得到杆的( 或桩) 在初始条件 式( 2 4 1 ) 下，对任意激励的响应。 若对零初始条件，则式( 2 4 9 ) 为 尔，) - f 叭f ) s i n c o j ( f 叫d f = “p ( w ) 吖x ) s i n ( f 叫捌r 此时，杆对任意激励的响应为 出力2 扣砂圳贴一叫s i l l 姒黼 。2 川， = 善击呜m x ) 似s i n ( ) 捌f 如果激励力为一集中力p f ，) 作用在x ：f 处，则可利用万 ) 函数 其中 p ( x ，f ) = p ( r ) 8 ( x 一善) 万c x 一孝，= ： 二i 喜 1 4 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 武汉理工大学硕士学位论文 这样，广义力q j ( ，) 为 q j ( ，) 2p ( x ，f ) j d x 2j ：p ( t ) 6 ( x 手) 小) d x ( 2 5 4 ) = p ( f ) 中，( 善) 此时，杆对零初始条件的响应为 m 2 喜击吖垆彤) 伽) s i n c o j ( 矽f ( 2 娟) 2 4 桩的纵向振动分析 前面已经介绍了杆的纵向振动，下面介绍桩的纵向振动，即考虑桩一土系 统共同作用时桩的纵向振动。为此，作如下假设 1 桩是半无限长的等截面的均匀杆； 2 桩侧土是均匀的； 3 桩侧土与桩之间的相互作用用一个线形弹簧和一个与速度有关的阻尼 器以平行的方式耦合； 4 桩侧土的剪切应力与深度x 无关。 图2 4 土中桩的受力情况 ( z ，f ) l 如图2 4 所示的桩，桩顶受到一扰动力9 ( r ) 作用，取出一长度单元出来 分析，由图中可见d x 单元上的剪切力是 印= k f _ u d x + 蟛, o 西u d x( 2 5 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 而剪切应力可写做 f ( 刈) ：a f ：里“+ 里孚( 2 - - 5 7 ) 、一 s d xs s8 t 其中，厨和墨是常数，而s 是桩断面边长。 由胡克定律仃= e 占= e 孚和牛顿定律可以得到 彳塑出一垡d m d f ：o 撖 研 其中 d m = d x d f ：k ：u d x + k ：一o ud x一 a f 其中p 为桩的质量密度，彳为桩的断面积。令 v ；= e a 由式( 2 5 8 ) 可得 0 2 u10 2 uk ；o u k ：，、 o x 21 ，o t 2e ao te a u _ 一一一- 三一一一o = u 则方程( 2 6 2 ) 即为桩一土系统共同作用时，桩的纵向振动方程。 设有力q ) 垂直作用于桩顶，方程( 2 6 2 ) 应满足如下边界条件 q ( ，) ：a e - - 罢( o , t ) ，q ( f ) 。，如果 ( 等) 2 一k 。 。，将出现不同的解。此时，变态贝塞尔函数可改写为 从而得到 l 肚一曼甲 泸= ，。 k 。一( 等) 2 啦卜；。一，2 一x 2 y 2 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 哪) = 击r j 0 k k ：( ) 2 _ 石2j 2 幻p 阜”j ) 出( 2 - - 8 1 ) 娜= h 列啦 以上结果即为桩在外力q ( f ) 作用下的解1 。 2 5 应力波的传播规律 2 5 1 弹性杆内的波