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算术级数中三个或多个素数的和 r 5 f 3 i l5 7 摘要 1 9 9 7 年，n i e d l a n d e r 和g 0 1 d s t o n 给出了三个或多个素数的和的表法个数的渐 近公式本文把n i e d l a t - d e r 和g o l d s t o n 的结果推广到算术级数中，根据“模”的大 小，分别给出了算术级数中三个或多个素数的和的表法个数的渐近公式全文共分 三章第一章首先简要介绍奇数g 0 1 d b a c h 猜想的研究进展以及算术级数中g o l d b a c h 问题的研究情况，然后介绍本文所要解决的问题及得到的主要结果第二章在“小 模”情形下，运用s i e g e l w a l f i s z 定理，给出算术级数中三个或多个素数和的表达式， 及其表法个数的渐近公式第三章在“大模一隋形下，利用a ( n ) x ( n ) 的显式， n 得到s ，( a ) 和疋( ) 的表达式，进而推广了第二章的结果 关键词：算术级数，g o l d b a c h 问题，素数，和 s u m so ft h r e bo rm o r ep r i m b s i na r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s a b s t r a c t i n1 9 9 7 ，f r i e d l a n d e ra n dg d d s t o ng 甜et 哪e s e m a b ka s y 柱啦娟c 妇心ad 眦璐o f t h r e eo rm o r ed r i m e s i nt h i st h e s i sw ee x t e n df l i e d l a n d e ra n d g o l d s t o n sr e 8 u l ti n t o a r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n sa n dg i v ei t sr e p r e s e n t a _ b l ea s y m p t o t l cf o r m u l ar e s p e c t l v e l yb 粥e d o nf h e1 a r g eo rs m a l lm o d u l i t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h 印t e r1 ，6 r s t l y j w ei n t r o d u c et h er e s e a r c ha d v a n c eo fg o l d b a c hc o n j e c c u r ea n dt h a ti na r i t h m e t i cp r o g r e s - s i o n s ，s e c o n d l y ，w eg i v et h ep r o b l e mw h i c hw es h a l l 吼u d ya l l dt h er e s u l tw h i c h w eg e t i n c l l a p t e r2 ，u n d e rs m a um o d u l i ，u s i n gs i e g e l 一h m s zt 1 1 e o r e mw eg e c a n r e p r e s e n t a b l ea s y m p t o i i cf o r m u l ao fs u m so ft h r e eo rn l o r ep r i m e si na l i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s i nc h a p t e r3 ， u n d e rl a r g em o d u l i ，u s i n gt h ee x p l i c i tf o r m u l ao f ：a ( n ) ( n ) w eg e tt h er e p r e s e n t a b l e n s t f o r n l u l ao f 曷( n ) a n dj k ( ) ，f u r t h e r ，w ee x t e n dt l l er e s u l to fc h a p t c r2 k e yw o r d s ：a r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n ，g o l d b a c hp r o b l e m ，p r i m e ，s u m s i i 第一章问题简介及主要结果 1 7 4 2 年，g l o d b a c h 和e u l e r 在几次通信中，提出了关于正整数和素数之间关系 的两个推测可以描述为：( 1 ) 每一个不小于6 的偶数都是两个奇素数之和；( 2 ) 每 一个不小于9 的奇数都是三个奇数之和这就是著名的g l o d b a c h 猜想 g 1 0 d b a c h 猜想吸引了众多数学工作者和数学爱好者的注意和兴趣，并为此做出了艰巨的努力 f 1 1 9 2 0 年前后，g 且h a rd y lr a m a n u j a n 和j b “t t l e w o o d 提出和系统发展了近代解 析数论的一个强有力的新的分析方法圆法，应用于三个或多个素数和的研究， 取得了丰硕成果1 9 3 7 年，i m v i n o g r a d o v 利用圆法和他的线性索变数三角和估 计方法，证明了充分大奇数n 都是三个奇素数之和( 又称三素数定理) ，并且给出了 表法个数的渐近公式2 1 即设 则 则( a ) = e 2 秕印，( a r ，2 ) p ! r h ) = 1 p 1 + p 2 + p 3 = = 淼6 。c m 。( 南) 其中 6 s c 耻翳( ，一南) 黯( ，+ 南)p i _ 、 “ 7 7 计、 “77 若把s ( 3 ) 陋l 换为等价的加权线性索密数三角和 删( a ) = e 2 1 0 9 p d o ，6 3 ( ) 同上i m v i n o g r a d o v 基本上解决了奇数g o l d b a c h 问题陈 景润、王天泽得到每一个奇数e z p ( e 印( 9 7 1 5 ) ) 都能表示成为三个素数之和f 4 j 对于多个素数的和也有许多著名的结果 5 】 r ：1 ) ( ) = 1 = 志器6 州，+ 。( 高斋) ，剐一( 一1 ) ! ( 1 0 9 ) 。“7 ( 1 0 9 ) + 1 6 一飘( - + 器) 熙( - + 群) g h h a r d y 和j e l i t t l e w o o d 给出了 r ：2 ( ) = ( 1 0 9 p 1 ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 p ) p 1 + p 2 + t + p k = = 7 i 兰而扛1 6 k ( j v ) + d ( 肛1 _ ) ， f k 一1 11 + 7 一 ” 其中3 ，6 为变数，e o ，6 1 一e ，e = s u p 卢：l ( 卢+ 竹，x ) = o ) ，6 k ( ) 同上以后，i m v i n o g r a d o v ，g h h a r d y 和j e l i t u e w o o d 证明了对3 ， ( ) = 志旷1 6 州) + o ( 胪 + e ( 1 0 9 胪) ， 此式实际上是前面j = i e 时的特例 1 9 9 7 年，j b n i e d l a n d e r 和d a g 0 1 d s t o n 利用( 6 ，t ，x ) 零点密度估计，给出 了【6 | r 乎( ) = t i 兰而1 6 k ( ) + p ( k 2 + 。h ) 十o ( “+ e ) ， 其中3 ，e o ，叩3 = ；，仉= 譬，当自5 时仉= o ，并且证明了 r ( ) = 丽兰丽- 1 6 k ( ) + 。( ) ，5 与广义黎曼猜想( 以下简称g r h ) 等价 算术级数中三个素变数的和( 奇数g l o d b a c h 问题在算术级数中的推广) ，也有许 多重要的研究结果r a d e m a c h e r ，a y o u b ，z u l a u 张新华等曾分别给出素变数不定方 程 = p l + p 2 + p 3 ，p 7 兰 ( m o d ) ，j = l ，2 ，3 3 ( b ， ) = 1 ，bi ( m o d ) ，当给定正整数 或1s ( 1 0 9 ) 。，c 为常数时， j = 1 方程可解 7 】王天泽、廖明哲、展涛把 扩展到“大模”的算术级数中，证明了当 1 s 6 ，6 o 时，对充分大，方程可解【8 ，9 ，l o ，1 1 _ 在这篇论文中，我们首先考虑“小模”情形下算术级数中三个或多个素数和的 表法个数，我的主要结果为 2 定理1设女23 ，e = s u p 卢：三( 卢+ 竹，x ) = o ) ，e o “( ) = ( 1 。g p l ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 m ) p i + p 2 + p = 叶s ，巧5 即( m o dh ) ，l j ；口l + 9 2 + 口k l m 。d ) = t i 兰可k 。6 ( k ，) + 。( k _ 2 + e 如) + o ( 讯“) 其中q 3 = 2 ，叩4 = 警和当25 时仉= o ， 6 卟志婴( - + 蹀) 娶( - + 揣) 假设广义黎曼猜想成立，由于e = ，有 推论1假设g r h 成立，有 “( ) = 丽 面- 1 6 ( k ，) + 。( 。；) ，5 在“大模”情形下，我们证明了 定理2设k 3 ，0 = s u p 卢：l ( 卢+ 计，) ) = o ) ，e o ，“( ) 同定理1 ，则 ( ) = 瓦兰丽- 1 6 ( 七，| v ) + o ( 2 + 。+ ) + 。( 仉机) + 。( _ 2 + 卢如) ， 其中q 3 = 3 ，q 4 = 警和当5 时玑= o ，6 ( k ，) 同定理1 ，万为l 函数的例外 零点 推论2假设g r h 成立，有 ( ) = 丽兰可k 。6 ( ，) + 。( k 一；) ，k 5 注记：我们采用通常记号，p 功( 1sj k ) 表素数，p ( n ) 表示e u l e r 函数， a ( n ) 是m a n g o l d t 函数，肛( n ) 是m j b i u 8 函数，记e ( z ) = e 2 ”，e 表示充分小的正 数，是v i n o g r a d o v 符号 3 第二章“小模”情形下算术级数中三个或多个素数的和 这一章我们给出“小模”情形下算术级数中三个或多个素数的和的表法个数的 渐近公式及g r h 下的结果 2 1引言 我们以a ( n ) 表示m a “9 0 1 d t 函数，记e ( 口) = e 2 ”。， l 是正整数，口是实 数，p ，功( 1 j ) 表素数整数m ，9 2 ，g ，满足( 毋， ) = l ， ( 1s ，女兰3 ) ，1s s ( 1 0 9 ) a 为整数，a 为大于l 的正数指数和 岛( n ) =e ( p a ) 1 0 9 p ， p ! p 兰鲫( m d d ) 巧( a ) = a ( 咖( n a ) ，l j ， n s n 耋毋( m o d ) ( ) = ( 1 0 9 p 1 ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 刚 n + p 2 + + p k = n s ，巧5 町( m o d ) l ! j s 5 9 i + 如+ “( m o d ) 五( ) = a ( n 1 ) a ( n 2 ) a ( n k ) ”l + “2 + “b = ，5 野( m 。dh ) ，l g s k 5 ，i + 9 2 + + 9 ( m o dh ) 在“小模”情形下，我们运用s i e g e l - w j l 6 s z 定理，得到岛( a ) 的主项，进而通过详 细计算得到矗( ) 的渐近公式，即 定理1设3 ，e = s u p 卢：l ( 卢+ 竹，) ( ) = o ) ，e o 厶( ) = ( 1 0 9 洲l o g p 2 ) ( 1 0 9 m ) 键髯拳j 冀鬈焉葛 = 南肛1 6 ( 七，) + o ( 扣2 + e “) + 。( 仉+ e ) 其中怕= 2 ，弧= 譬和当5 时讯= o ， g 帖志娶( ，+ 群) 飘( - 十器) 推论1假设g r h 成立，有 如( ) = 话兰可k 。6 ( ，_ ) + o ( k i ) ，5 2 2岛( a ) 的主项 这一节，我们的主要目的是给出岛( a ) 的主项表达式 引理1 ( d i r i c h l e t 逼近定理) v a ( 赤，1 + 由j ，1 q ，( n ，q ) = l ，1 qsq ， a 都可以表示为a = ；+ z ，其中1 n q ，南 证明参见 1 2 根据引理l ，我们定义q 阶f a r e y 数列，取 1s qs ， ；：1s gsq ， osos 吼 ( o ，g ) = 1 ) ， 令口s ( 】o g ) 8 ，b 为任意大于1 的正数以每个胁e y 分数( 除了 ) 为“中心”的 f a r e y 区间，可以如下定义：令 dnd f 孑 百 歹 为q 阶f a r e y 数列中的相邻f a r e y 分数，对n o ，令 m 嘶，= ( 崭，并 1 ；， 山= ( ，一击，- + 击 则上面这些小区间不相交，且它们的并集覆盖区间( 南，1 + 南 定义 r ( 一而，志 ，。扎 畅，= ( 一击，击 _ 5 引理2 ( ) 如上面定义，则 ( 一南，刍) 弛牡( 一高，嘉) 证明由于q ，g ，q ，q ，所以g + q s2 q ，g + g ”2 q ，则 ( 一南，去) ( 一志，赤) ，2 口印2 9 q 3 口妇+ 一) g ( g + 口”) 目 ( 一去，去) ( 南，南) 下面证 ”，( 一高，南) ， 即要证明 g + q q ，q + g ”q 不妨假设q + q ” q ，由于： 爷为 ：ls q q ， os 。q ， ( d ，g ) = 1 ) 中两相邻f h e y 分数，所以 0n + o 百 而i 矿， 由q + q ” q ，o + n ” 1 l l o g p 1s l o g 1 训口p m 列g 1 0 9 1 0 9 9s ( 1 0 9 ) 2 设n = ：+ z ，贝0 岛( n ) = a ( n ) e ( n a ) + o ( 5 ) + o ( ( 1 0 9 ) 2 ) 一? 器 2 喜e ( 警) 暑m 坝m m ( ；) “净1 篙觏譬端 。d 誊( 书。；赢m ) e ( 嘲+ 。( 疥)f - 嚣d ) n ；乃鬲。dd 7 = 喜e ( 警) v e c z 旬a ( ；三a c n ，j + 。( ) l i 删盖d ) “1 j ( ”)7 = 喜e ( 詈) 出哪( 志+ 。( 扩埘) ) + 。( ；) * 盛：a ， = 志喜e ( 警) 出州t + 0 ( 从而，我们得到岛( a ) 的主项乃( z ) 的表达式 + 驰卜志，毒，e ( 等) 。丕咖z ， ( f ，口) = l一一 。：志的剖。至e ( 叫 2 3 ( ) 的简化 这一节我们对算术级数中三个或多个素数和的表法个数“( ) 进行初步化简 由第一节定义知 五( ) = “( ) + r ， 吲 a ( n 1 ) a ( n 2 ) a ( n 女) 表示至少有一个n j ( 1 j 女) 是一个素数幂p ，f 2 8 佩n 心 础 f k 。赫 我们不妨假设” = p ， f 2 令，_ 一n ，又a ( ) = l o g p 1 0 9 吲( 1 0 9 p ) ( 1 0 9 ) 1 一s p l + p 2 + k 一1 。 l 兰2 p l ，p 2 p k l 曼v s 矿1 乏( 茄) 魄p f 2 2 一、 所以 矗( ) = 五( ) + 。( 一e ) 知n 曷( a ) 可展开为以下各项的和 f l k ( ) ：一项兀如， j = 1 k ( a 1 ) ：k 项形如( s 1 一以) 兀乃， j = 2 k ( 钆) ：一项兀( 岛一乃) = 1 由傅里叶系数公式知 c ，= z 1 ( 耍岛c a ，) e c 一a ，a a = 由( 垂叫e ( 一胁 2 。量。蠡k ，马( 圳e ( 一( 出 2 交引一警) 厶。，”+ 孵小删。 k = m o ( ) + m 1 ( ) + o ( e m ) ， 9 乃 + 乃 一 曲 。脚 = o 马 。硝 由 其中 如( 七) = m m ( ) = 。蠹。蠡e ( 一龇。，( 黔) e ( 一m 妃 。囊q 。萎。e ( 一等) 厶。，亟c 岛一如，( 。寞。乃) e ( - 圳z e m ( 一。量。嘉l ，黔_ l 。”旧。 l k ( ) i e m ( ) ， m = l ，2 ， 这一节我们要给出级数 2 4奇异级数 。萎q 志。三。e ( 一警) 鱼舶训 ( b ，口) = l 的渐近公式 引理5设( o ，q ) = 1 ，( ，g ) = d ，则 ，= 喜e ( 警) * 船：a ， 一，肛( 3 ) e ( 半) ，( d ，5 ) = 1 一 l o ， ( d ，) l 其中o p d 是同余方程5 u i 1 ( m 。dd ) 的唯一解 引理6设( n ，g ) = l ，( ，q ) = d ， ( d ，5 ) = 1 ，t 是同余方程3 u 1 ( m o dd ) 的唯 一解令 盹脚( ：) 妻e ( 等) e ( 一警) ， ( n ，q ) = 1 则f ( g ) 是g 的积性函数 引理5 ，6 的证明参见【9 引理7设 砘，= ( 筹) 妻e ( 一警) 垂 ( n ，q ) = l 。 则b ( g ) 是一个积性函数 证明设g = g l 啦，( 9 1 ，9 2 ) = 1 ， d = ( ，q l q 2 ) = ( ，9 1 ) ( ，啦) = ：d l d 2 则 妒( g ) = 妒( g l 驰) = i p ( 9 1 ) 妒( 9 2 ) ， 妒( d ) = 妒( d l d 2 ) = 妒( d 1 ) 妒( d 2 ) 则由引理5 ，6 知b ( q ) = b ( q 1 ) b ( q 2 ) ，即b ( q ) 是q 的积性函数 引理8b ( 口) 同引理7 ，则对素数p 和正整数m 有 f妒( p “) ，p m 旧 b 矿，= 啡艺缚蕾麓赣：耄 【o ， 耐 e r 叫i 5 e 证明由引理5 知，b ( p “) o ，当且仅当p “f 或m = l 时扫， ) = 1 当p ”沸时， 有 ( g ， ) = m ， ) = d = p m = g ， 所以 b c p m ，= 耋e ( 一专- ) 鱼喜 e ( 舞) b ( p 卜驯制娶。毫8 ( 舞) ( ”“) = 1 。 一! ；= = ：? 置。 = 妻e ( 一舅) 鱼e ( 嘉毋) = 篓e ( 业考型n ) 、停 e 。“ 。撩扣 却 当m = 1 ，( p ， ) = 1 ，即当d = 1 时 b ( p m ) = b ( p ) 引理得证 定义 e ( k ，) 虽l 刍i p ( d ) d ，5 ) = 1 e ；) e ( 一 p f p l e ( 一警) 洳剖 e ( 一等) 垂， l i 口 喜志矿( ：) d ，5 ) = l 志霎( 篇) 矿 ( d ，5 ) = 1 1 s 。，、 丽备圳训 e ( 警) 丢e ( 警)f i ：廊：a ， p ( ；) e ( 等) ( 一竽) e ( 坐 ( ：) + 卯+ + 鲰) d ( 1 + i b ( p ) i + + i b ( p ”由“) i ) l 、 石妒 ，莽 。雌 ，群 一女 l p一妒 、咝p ，蒜 赤 _ k l 一 + ) 1 一 一” 一 “ k k l l 一 一 ，j、l 筠 一k 卯 州 器 一厂 一口 一妒 弹 。触 、坐。 ，、 e 祭 。杀 竽 ， 。赫 帮 p b+ l 搿 一 g 日 哪 斗 ，二 哪 h 一 因而妻b ( q ) 绝对收敛 由引理7 ，8 知 6 ) 2 志飘1 删圳聚( 1 + b ( p 邶洲埘) ) = 赤婴( ，+ 蹀) 婴( + 蹀) ( 1 + 妒( p ) + - + 妒( p ”由( “) ) 上式中o r 如( ) 表使p m l 的最大整数m 因为 2 5( k ) 的计算 这一节，我们主要计算m j ( ) ，即“( ) 的主项 c t 卜。萎q 。萎。e ( 一警) z 蛳，( 鱼乃c z ，) e c m a z 1 如翊( 高彗、”训“”j “ 一n 。 q ，鲫) 1 d z e ( n z ) ie ( z ) 出 1 n 茎 = 志如剖l 。，( 。萎咖z ，) e ( - 删出 = 志弘“( 。萎咖z ，) 巾雌 器 精 落 笳 志 、， 一陆 一d 易 一例 。埘。触 ，、，j 町 曲 h，乜厂 所以 又由引理5 知 所以 + 。( 志妙册，i 疋b ， e ( 一z ) 如 1 志旷1 + o ( 旷2 ) ， 幽( ，高) 乓b e ( n z ，卜小嘞矧旷1 觚。剖降( ；) p = 1i 驰，) e ( - 脚 ( 扯鲫，) ( 志一。c m ) + 。( 志p 2 ( 孙酣。1 ) c m ，= 。萎”囊。e ( 一警) 志( 垂舶剖) 1 5 蜓。( 端、“v 1 ( 南旷1 倒胪2 ，) + o ( ，萎。m ，志p 2 ( 肌秽一) 1 1 口s 0 。 1 4 、 zn 蜓 ， f 一 肼 “ 蜓 m r厶卯 2 志一萎q 志。副一警) a ( g ，珊) + o ( 一2 ) + d ( q ) 要b ( 一等) 志驰幻， 所以 磊志p 2 ( ；) 茅， 嘉志( 器) ，磊( 湍) 击蒹赤， 石丽， 娜) = 志旷1 6 ) + d ( 眦) + o ( + 。( 喾) 2 6尬( ) 的计算 本节主要计算尬( k ) ，进而给出尬( ) 的上界估计 删2 。萎口。蠡e ( 一龇。卧川，) e c - 脚 1 5 注意到 k ，研( 壹叫巾肌胁 5 向戮唧矧l ，( 舛) 啪出 2 善训e ( 警) z 1 卜州挑 葛磊赤矿( 抛严。) 2 。烈- 叫州南m 圳) ( 。舅叫) p i m ( m o d ) ， ， 引c p _ ) 扪z + 。( 嵩赤肛2 ( 挑钞一2 ) 2 赤( 壹) ) 南三c k e ( 警) c 脚r 2 + 。( 赤酚剖嵩 + 。( 高赤肛2 ( 跏计q ) 2 赤) ) 南善c 噼( 警) c 帅严2 + 。( 赤( 批删前” 下面计算 三酬e ( 警) c 刊m口 p 三9 l ( m 州 ) 如 。赳 一 西 。御 s i | 乃 。础 j s 令p = ”q + 6 ，因为 蚤s 咖( 警) c 刊“ l ( 、17 p 兰9 i ( m d dh ) q = ( b ，q ) = l l o ，( dd + 0 e ( 鲁) 暮s 州帅广2 p 三n ( m o dd ) ( 胪。2 l 刚) ( 1 0 9 p ) ( 一p ) 扣2 口( = 肛矿嘞bd ) l 唧jp 三n ( m o dd ) = z c 一。一2 a 石j 可+ ( ，；，磊。，。s p 一志) = 和叫a ( 志) + 和叫籼d ( 若一志) p 三n ( m o dd ) 2 志等州一广2 l 薹崦p 一高l j ( b 删崦p 一志卜叫)b i n ( m o dd ) 志等心叫川若 b i n ( m o dd ) l 唧一高卜矿q 出，d ) 熟知 所以 从而 ，；盖d ) 1 唧= ，；轰岫k 蛾p ) ，；n 焉o d )，；n d ) ；舅j 善州哪5 篆州哪志。( 互。) 烈川“m ， t n t 、 7 ( m o d d ) = 石志叉( n ) a ( n ) x ( n ) 妒( 引。( 翥研”7 急一“ 2 高+ 高。三。，瓢剐薹a ( 呶m ) 2 丽+ 丽，冬。、又毛a 【n 胁) + 。( 高e - c 俑) 2 高一志三一，毳t 筹 2 丽一丽，刍。、烈n 0 象，石 + 。( 高e _ c 俑) 十。( 竽) ， 注：这里r 2 p 曼o p 三t l ( m o dd ) 1 0 9 p _ 高 一志。丢，淝0 磊r 等+ 。( 志e - c 佩) + 。c 竿，+ 。( ，；量。，t 。s p ) ( 1 0 9 p ) ( 一p ) p s p 三n ( m o dd ) 则 志占旷一高。互。桶乙毳，矿 ，f 。 出+ o ( ) + ol _ 2 i p = n i m 口4 口吣) 薯c 吲e ( 警) c 帅r 2 5 帮击胪l 一嵩。未乙蠢_ ( 警) 刺蒜学和广饥。) 因为 - 1 扩( 1 一) “哦l ，。p r j o 所以，当3 时， ：i ，m p f 2 _ 绝对收敛 1 j 、州曼t 则 由于 志舶别) 南旷l 、嚣扎：赫：。， + 。( 茄+ 一志渔舶剖) 南 e ( 跏川 ，磊，字办h 广 j 】v ( g 印) “d ) 。萎。磊e ( - 警，乱渺，) 巾删虮础， 出5一e 、， z 由 。芦 ， s 4，k 。 n 叫， 所以 删= 一南。萎。蠡e ( 一警) 志( 如鲫，) e ( 和引l ，蒹丁竽和h 广3 出 + o ( j v 一g + q 一1 + il 。g q ) 注：上式余项中出现；1 0 9 q 是因为当女= 3 时， ，量。蠡8 ( 一等) 志氘。萎。扣札q 特别地，取q = 桀，当4 时，尬( 女) k 一2 + e 2 7估计( ) 的预备工作 为了估计e k ( k ) ，这一节我们首先给出几个预备引理，其次给出岛一乃的上界 估计，最后给出一个重要引理 引理9对1sq ，有 r l1 上i 妨( 。) 1 2 d a “石赫1 0 9 j 0y ， 证明因为 l 为( o ) 2 = 岛( a ) 可两= ( 1 0 9 p ) e ( p n ) ( 1 0 9 p ，) e ( 一一a ) ，；菇篇圳p ，三z 篇d )p 三鲫【m o d p 三或( m o d ) 所以 上旧陋) | 2 如2 蓦1 0 s p 乏 1 0 9 p 上咖0 。“_ p ，0 。如 p 三鲫( l o dh )p ，三一( m 。d ) k 壹亲 量l 2 萎1 0 9 p 萎，吲上8 ( p p ，) 。) 如 p s n一 。 p 三鲫l m 。d ) 三虻( m 。dm f( i o g p ) 2 ，p 7 = p ； = ，；疗鼢n ) 【 o ，p 一l o g l o g p p ；m 南1 0 9 m 引理1 0对1 q ，甭 。篆。薹。k 。，旧1 2 如1 0 s l s 口0i s ! 曼q 。”q ( q o ) 证明 。篆。薹。k 。，协| 2 出 1 口曼0i 。口。”口( q ，d ) 因为 1 9 s 口( 高璺 i 帮。到叫卜 。氍蠡志l ，憾咖z ，1 2 如 ( o q ) = 1 。 矶篆咖小 。上。蒹咖。蒹“力如 2 ，萎。点。，上e ( ( 一n ) 出 1 n _ 1 n 。” r1 ，n = ； =r1 n _ l0 ，n n ， 所以 引理1 1对l q ，有 证明由于 所以 1 兰口茎0 ，篆。薹。k 。，协| 2 出1 口s 0l s n ! q 。”q ( q ，o ) 篆。m ，( 篇) 2 l ! 蜓q ( 器) 2 。萎q 赤 ( 器) 2 s q ( 器) 2 s 。萎。蠡l ，肾卵如l o g r 岛一乃1 2 2 r e l ! 口茎0 ( 岛一乃) ( 巧一丐) 岛1 2 一岛万一写巧+ i 乃f 2 i 岛1 2 2 r e 易丐+ i 乃1 2 ， | 岛1 2 出z 1i 岛陋) 1 2 d a 石斋l 。g ls 再d z j 略( q 。) 、 (吲z a 。l 9 s q ，i s 坚i 邶川 l d ，口j = l l o g 1 兰q s q s ，一j ，平d z j 口q ( q ，d ) 、 k ，吣叫 i 筠 筠 筠 q坼 ，一 第 。萎。磊厶矧2 扣2 觑。萎。嘉k 。，瓣 + 卅如 1 5 9 到( 端”“町 l o g 注：引理儿的证明中运用了c a u c l l y s c l l w a r z 不等式 删2 - 燮( 黠；黑。，i 毋一吼 ( q ) 2 。瑟s ( q ) ，只2 ，岛( q ) 由引理1 1 和上述定义，显然推得下面引理 引理1 2设m 2 ，有 。萎。，三。k 。，肾胪如驰，。1 训 下面我们将给出岛( ：+ z ) 一乃( z ) 的上界估计 设= 岛一乃，由于岛= 巧+ o ( ) ，所以只须求出巧一乃的上界 因为 巧( o ) =a ( n ) e ( n 。) 。；毋赫训 = a ( n ) e ( n 。) + o ( ( 1 。g ) 2 ) 。z 孝篇圳 2 一誊( 书。；鑫岫) e ( 叫+ o ( ( 1 0 9 ) 2 ) 。；盅；。) n i q 鬲。dd ) 2 。熹。e ( 警) 志。三d ) - c 弓，暑撕m 叫小， + o ( ( 1 0 9 ) 2 ) = 志。熹。e ( 警) m m 一嘉，魁雾码驴咖钡 十o ( ( 1 0 9 ) 2 ) ， 所以，当x = x o 时，由s j e g e 】一w a l n s z 定理， 如( z ) ，则由上述过程，我们定义 y ( ，x ，z ) = a ( n ) e ( n z ) x ( n ) n s 我们给出 a ( n ) e ( n 。) 的主项 。；占篇 讯，2 蒹黼( 詈) 这里芝：表示当x = x o 时，= 。一e ( n z ) 又因为i f ( x ) i g ；，则 w 3=s3 一j3 。志，蹇，e ( 书。骄c 秽c ， ( 1 ，q ) = 1 “ 而 e ( 引。薹d ) _ c m ) x 附m z ， = 茄再) ( ( o ) f ( 又) 矿( 出z ) 妒( d 、( 者d ) “u 剧”硝纠 q 一扣i y ( 抛z ) i ， x ( m o d d ) y ( ，) ( ，z ) = 7 a ( n ) x ( n ) e ( n 。) n o ，有 。姜。，三。南厶岛叫2 啪z 2 e 气t o g 一 。蠹，萎。k 岛叫2 m 。2 。1 l o g ) 5 桊 尹；铲 十 十 ”一她上 q q 盎。乳 b 上 o驴+ 托 击o + 7 ，斤时知 旦i g 墨+ 沁 嗍糖 x 证明因为 又由于 所以 2 志。烈。瓣嘏m ，1 2 = ( 蒜) 2 北，。驯砸坪m m 炉 ( 篙) 2 。驯r a ( n ) x ( n ) 一“。l o g q u n 嘉时，因为 所以 y ( ，x ，z ) = 一彤+ d ( ( 1 0 9 q ) 2 ) j 7j ! v 2 小炉弧川暑：珥卜卵刚卅 下面分两种情况讨论 ( 1 ) 当5 ”9 l + i 蠢丙时 巳 2 h p l 7 l 兰5 ，_ vl 【姊 i j 了| 茎5 ” d z 2 d z n 1 驴一1 卜 2 d u i 。一+ 一，一。| d 。口+ 口，一。d 。 2 l 2 厂“舢d u j 2 ，。赤一d 。 j 2 面可l o g v i o g ， 口+ 口。1 口十臼一l 2 。一11 0 9 由e 的定义知，o ，故不论p + 卢7 取何值，总有 从而 _ 厂。v u 口一2 如2 。_ 1 1 。g j 2 少叫_ 2 砒等等 1 吨i 磊州上扩 。2 砒 。m ，等 s 5 ”f 。7 + u ，儿 惮 = 嘉还是专，总有 m 嗽，圳2 出。( 1 0 9 q ) 4 则 9l 厩l 。出：，9 厩| z 出 ( 筠一“”( 高彗 r v 口i y ( ，x ，。) 1 2 如 j 一 q g 2 。( 1 0 9 q ) 4 ”i 眄陬： ”i 厩j 。如+ 。( g 州) l 口 q o 一， 1 d 日j 一 ( d ，q ) = 1( ，g ) = l q g 2 。( 1 0 9 9 ) 4 。萎q 。墓南l 一硝出 。量。蠡志( 器) 。2 m i n ( 矿挑 。萎q 志，萎。z “肾批 ( n ，们= l 2 。+ 1 ( 1 0 9 ) 4 妒2 + 。( g ) 庄。肾骈出 1 口 。可一 ( n ，q ) = 1 若c = o ，由于1 姜q 南1 。g q 1 0 9 ，所以引理中结果( 1 0 9 ) 4 要相应地换为 ( 1 0 9 ) 5 ，引理证完 0蜓 竺彬 问 ，巾 嚣则磊 钆蜓 m 没理 其中 s 一， 2 攫熟i 岛一也 证明由引理1 6 和c a u q 曼q 2 ，p 卯川：d 。1 j ( )j k 卯” ( 2 。+ 1 ( 1 。g ) 5 ) ( 2 m 一3 l 。g ) m + 。一1 ( 1 0 9 ) 3 2 8e 。( ) 的估计 这一节我们估计e 。( ) 首先，当女= 3 时( e 1 ( 3 ) 对应于m l ( 3 ) ) e l ( 3 ) f s 一j 1 如 j 3 l 出 1 s g s 0 ，1 二s 巳。“。( 4 ) t 8 ，q ) = l ( q ) l 1 1 s q q 矿( q ) 1 0 9 j 21 l 如l d z 0 墨 = 得 弘 式 搿厶 才 o i 一差悱 h 0删隧 嚣 、 筠 0蜓 ，lii、 ，k 端 蜒 一 ls 叩。 s ，k 器 q蜓 ，器 剐3 ) _ ，萎口。蠡k 。，陋l “踮圳蚓出 l s j m 出 1 1 唧( 端“咖 b 弘即囊。弘阳z ) 5 如( 3 ) = f l 岛一乃恤 1 5 。翊( 端“嘶2 1 8 u p 卜川。萎。，萎。k 。，卜帆 因为 1 矧南，t 0 = 1 + ，q q ， 所以 g = g + g q + g 南= q 十q _ 1 q + q 一 又由前面得到的的上界估计，得 s