（基础数学专业论文）物理中偏微分方程弱解的正则性与奇异集合.pdf

摘要 在本文中，首先我们将致力于不可压缩流体n a v i e r s t o k e s 方程组弱解的正则 性问题；然后运用具有d i r i c h l e t 边界条件的r - 收敛方法研究铁磁材料的l a n d a u - l i f s h i t z 方程能量泛函；最后将变分不等式方法应用到超导体g i n z b u r g - l a n d a u 方 程能量泛函，得到方程解的一些奇异性结果。 作为本文的大前提，我们将概括上述物理中偏微分方程的一些相关概念和 问题，主要包括n a v i e r - s t o k e s 方程组弱解正则性研究的一些基本想法和问题； l a n d a u l i f s h i t z 方程及其能量泛函以及r 收敛的一般概念；带有涡旋结构的超导 材料的三维g i n z b u r g - l a n d a u 方程及其能量泛函。 之后，我们将考虑弱解的正则性以及泛函极小元的存在性问题，包括： 1 三维n a v i e r - s t o k e s 方程的柯西问题，我们得到在弱空间压力或压力梯度项 条件下的弱解正则性； 2 l a n d a u l i f s h i t z 铁磁模型在具有d i r i c h l e t 边值的二维圆盘中的r 收敛； 3 超导体中存在涡旋时，g i n z b u r g - l a n d a u 泛函局部极小元的存在性。 关键词：柯西问题，弱空间，布洛赫壁，f 收敛，正则性，极小元，存在性 ab s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt os t u d yt h er e g u l a r i t yo fi n c o m p r e s s i b l en a v i e r s t o h _ ! s e q u a t i o n si nw e a ks p a c e sa n dr c o n v e r g e n c eo ft h ee n e r g yf u n c t i o n a lf o rl a n d a u - l i f s h i t zf e r r o m a g n e t i cm o d e lw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e nw ew i ld e v e l o p av a r i a t i o n a li n e q u a l i t ym e t h o dt ot h eg i n z b u r g - l a n d a uf u n c t i o n a la n do b t a i nt h e e x i s t e n c eo fl o c a lm i n i m i z e r sw i t hv o r t i c s f i r s to fa l l ，w ew i l lt a l ka b o u ts o m ec o n c e p t i o n sa n dp r o b l e m so ft h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa b o v e ，i n c l u d i n gt h es t u d yo fr e g u l a r i t yf o rw e a ks o l u t i o n s t on a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，l a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o na n df u n c t i o n a l ，t h eo r i g i n a l d e f i n i t i o no fr c o n v e r g e n c e ，a l s oa b o u tt h es u p e r c o n d u c t i n gm a t e r i a l sw i t hv o r t e x p i n n i n gt og i n z b u r g - l a n d a uf u n c t i o n a li n3 - d i m e n s i o n a lc a s e s e c o n d l y , w ew i l ls h o ws o m er e g u l a r i t yc r i t e r i ao fw e a ks o l u t i o na n de x i s t e n ( e o fm i n i m i z e r s ： 1 t h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h e3 - d i m e n s i o n a ln a v i e r s t o k e se q u a t i o n s ，w ew i l l e s t a b l i s hs o m es e r r i nt y p er e g u l a r i t yc r i t e r i o ni nw e a ks p a c e si n v o l v i n gt h es u m m a - b i l i t yo ft h ep r e s s u r eo rt h eg r a d i e n to ft h ep r e s s u r e ； 2 r - c o n v e r g e n c eo fl a n d a u l i f s h i t zf e r r o m a g n e t i cm o d e li nt h ep r e s e n c eo f b l o c hw a l li nt h ed i s ko fr 2w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ； 3 t h ee x i s t e n c eo fl o c a lm i n i m i z e r sw i t hv o r t i c e sl o c a t i n gi nt h e p i n n i n gr e g i o n s k e y w o r d s c a u c h yp r o b l e m ，w e a ks p a c e ，b l o c hw a l l ，f - c o n v e r g e n c e ，r e g u l a r i t y , m i n i m i z e r ，e x i s t e n c e 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字只期：年月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字同期：年月日签字日期：年月日 第一章绪论 在物理中有许多偏微分方程，如e u l e r 方程、波方程、k d v 方程、s c h r s d i n g e r 方程、n a v i e r - s t o k e s 方程组等等。人们试图通过对这些方程的研究来解释和预测 一些物理现象或认识物质运动的本质。其中，研究方程解的先验估计，正则性和奇 异性等性质，对于分析大多数不可求解的偏微分方程具有重要意义。本章主要介 绍n a v i e r - s t o k e s 方程组、l a n d a u l i f s h i t z 方程以及g i n z b u r g - l a n d a u 方程的物理 背景以及与本文内容相关的一些概念和问题。 1 1n a v i e r s t o k e s 方程 n a v i e r - s t o k e s 方程组主要用于描述r n ( 扎= 2 或3 ) 空间中流体的运动。对于 充满整个空间r n 的不可压缩流体，其运动方程组如下： 岳u t + 骞筹- = - v t u i - - 老+ c 州， ， 不可压缩条件 d i v 乱= 喜甏= 。 ( 1 1 2 ) 初值条件 “( z ，0 ) = u o ( z )( 1 1 3 ) 方程组中，速度u ( x ，t ) = ( u i ( x ，亡) ) 1 t 9 髀和压力p ( x ，t ) 酞为未知量，位移 z 酞竹和时间t 0 为参数。u o ( z ) 是给定在r n 上光滑的、散度为零的向量场， 五( z ，t ) 为给定外力f ( x ，t ) ( 如：重力) 的分量，为粘度系数。由于n a v i e r s t o k e s 方 程具有量纲不变性，为方便起见可取= 1 。 1 1 1 c l a y s - 禧年问题 式( 1 1 1 ) 其实就是对流体元运用牛顿第二定律，= m a ，外力厂来自于压力 和摩擦。式( 1 1 2 ) 表明流体的不可压缩性质。对于符合物理实际的解来说，要求当 浙江大学博士学位论文 2 趋于无穷大时，u ( z ，t ) 不随i x i 增加。因此需要给，和u o 做出一些限制： i 醒u o ( z ) i c q k ( 1 + i x l ) 一k ，其中z r n ，o z 和k 任取( 1 1 4 ) i 露卵，( z ，亡) i q m k ( 1 + + t ) 一k ，其中( z ，t ) r n 【0 ，o o ) ，q ，仇，k 任取 ( 1 1 5 ) 如果以下条件成立 p ，u c 。( r nx 0 ，o o ) ) ( 1 1 6 ) ， i u ( z ，t ) 1 2 d x 0 ， 佗= 3 。令? 2 0x ) 为任一光滑无散向量场且满足( 1 1 4 ) 式。取外力项f ( x ，t ) 恒等 于零。则存在r 3 【0 ，( 3 0 ) 上光滑函数p ( x ，t ) ，u i ( z ，t ) 满足( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) ， ( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) 。 命题( b ) r 3 上n a v i e r - s t o k e s 方程解的破裂：取2 0 ，佗= 3 。则存在一 个r 3 上光滑且散度为零的向量场呦( z ) 和一个在r 3 ( 0 ，o g ) 上的光滑函数( x ，t ) 满足( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ，与它们对应的方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) ，( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) 在 r 3 0 ，o o ) 上的解，u ) 不存在。 或者命题( a ) 成立，或者存在一个光滑无散初值u 0 ( z ) 使方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ， ( 1 1 3 ) 存在一个有限爆破时间的解。但是，至今此两命题仍未得到证明。 1 1 2弱解正则性 如果乱= 乱( z ，t ) 满足以下条件： ( a )乱l ( o ，丁；l 2 ( 酞3 ) ) nl 2 ( o ，丁；h i , 2 ( r 3 ) ) ， ( b ) d i v u = 0 在r 3 ( 0 ，t ) 中 ( c ， o t r 。 - u 西t + v u - v + ( u v u ) 西班= 。 浙江大学博十学位论文 3 对所有的在r 3 ( 0 ，t ) 中d i v 中= 0 的圣翠( 酞3 ( 0 ，t ) ) 成立。则我们称向量 场u = u ( x ，t ) 是方程组( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 在r 3 ( 0 ，t ) 中的弱解。 对于证明上述n a v i e r s t o k e s 方程解的存在性和光滑性，从弱解出发证明的 基本思想是：首先，证明弱解的存在性，即构造一个弱解；然后，证明任何弱解 是光滑的。此法已取得部分成功，法国数学家l e r a y 4 3 1 和h o p ff 3 2 1 证明：对给 定的u o ( x ) l 2 ( r 3 ) ，存在弱解“( z ，t ) l o 。( o ，t ；l 2 ( r 3 ) ) nl 2 ( 0 ，t ；日1 ( r 3 ) ) 。但 弱解的唯一性( 正则性) 仍然未知。目前最好的部分正则性结果是c a f f a r e l l i k o h n n i r e n b e r g 1 4 ，文中证明了除去一个零测集外方程组( 1 1 1 ) ( 1 1 3 ) 存在一个弱解 满足适当的增长性条件。 另一方面，在增加一定条件后，许多研究者证明了给定弱解的正则性，如 s e r r i n 5 7 ，f a b e s j o n e s - r i v i e r e 【2 2 ，g i g a 【2 s ，s o h r 【5 s ，y o nw a h l 5 9 ，s t r u w e 6 2 ，t a k a h a s h i 【6 5 ，6 6 】等等，在对“增加条件后证明其正则性；而b e i r g od av e i g a 【9 ，1 0 ，1 7 ，c h a e l e e 【1 5 ，b e r i s e l l i - g a l d i 【1 2 】等等则研究了涉及到压力项p 或者 速度场札与压力项p 的组合条件下弱解的正则性问题。 在第2 章中，我们总结了n a v i e r s t o k e s 方程已知的一些正则性结果，随后在 给定的弱空间中研究弱解的光滑性条件。 1 2l a n d a u l i f s h i t z 方程 磁性物质的宏观理论认为，磁体q 的磁化状态可以用其磁化强度向量 u = ( u l ( t ，z ) ，u 2 ( t ，z ) ，u s ( t ，z ) ) s 2 来描述，其中t ( 0 ，t ) 表示时间，t 0 ， z qcr n 表示磁体的物理质点位置，n n _ o ) 是物理空间维数。 1 9 3 5 年，l a n d a u 和l i f s h i t z 在研究铁磁体磁导率的色散理论时，提出了如下 磁化运动方程： 筹= 入l 乱也一a 2 乱( s 皿) ( 1 2 8 ) 其中a 1 , a 2 为常数，a 1 r o ) ，入2 0 ，向量h e 为作用于磁矩的有效磁场强 虎 疗 疗 日e = 一盖e m 叼( u ) ， 这里e m a g 表示整个磁场能量密度。方程( 1 2 8 ) 被称为l a n d a u l i 氐l i i t z 方程。 如果忽略磁致伸缩和其他各种铁磁质被磁化时的力学效应，并假设铁磁质的 温度为常数且低于它的居里温度( 即居里点，当铁磁质超过此温度时，在铁磁质内 浙江大学博士学位论文4 部的磁性原子交换作用强度与热扰动作用相当，原有的磁矩有序排列被破坏，造 成强磁性消失) 没有外部磁场情况下，我们考虑这样的磁场能量泛函： 1 交换能 铁磁体的行为本质上是量子效应产生的力使分子磁场有序排列，交换能由磁 矩方向分布的不均匀性产生，是最重要的量子能： 蹦u ) 2 互1 丕3 眠o uo u i 出， 其中 a i j 为对称、正定张量。 2 各向异性能 鼠n ( “) = 妒( ) d x ， 其中连续函数咿：时一r + ，依赖于磁性物质的晶体结构。在居里温度附 近，作为1 阶近似将妒的幂次展开截断，令 其中 ) 为对称、正定张量。由于磁各向异性，每一种铁磁体都存在易磁化 方向和难磁化方向。 3 外磁场能量( 静磁能) 勖( 乱) = 丽1 上。皿2 如 其中h e 和u 耦合满足m a x w e l l 方程。 整个磁场的总能量为 e 夕u ) = 邑n ( 仳) + e 叼( u ) + 勖( u ) ， 根据l a n d a u ，l i f s h i t z 和w e n s 的经典理论，在平衡态时，整个磁场的总能量必须 达到( 局部或全局) 最小值，乱满足约束条件： 在q 中， i u ( z ) i = 常数( 特别地，等于饱和磁矩) u 一叼 l d 3 时 = 一= ：、妒 浙江大学博十学位论文 5 铁磁体被薄转换层( 布洛赫壁) 分隔成近似均匀的磁化区域( w e i s s 域) 。以上三种能 量的形式与铁磁质的对称性质有关。本文中，我们研究这样的特定情况：铁磁质为 立方晶体，此时交换能为 既z ( “) = z a i 。饥1 2 如 当磁化方向平行于主晶向( 比如z 方向) 时，各向异性能量密度最小： 妒( u ) = p ( u l + u ；) 其中q ，p 为正常数。此时，磁场能量 凹( u ) = 上q i 。u 1 2 如+ 上p ( u ；+ u 3 2 ) d x + 丽1 上。日e 2 如 当各向异性能量起主要作用，交换能量很小时，我们通过坐标变换得到这样的能 量泛函： e = e zl 。u 1 2 如+ 三z 妒( u ( z ) ) 如+ 丽1 上。日2 出 ( 1 2 9 ) 其中 0 。在本文中，主要通过r - 收敛的方法研究上述能量泛函极值问题的奇异 极限。 r 一收敛：考虑泛函族 q ，g ：l 1 ( q ) 一【一0 0 ，+ 】，j n 如果下列条件： a 对任意l 1 ( q ) 中序列一u ，都有g ( 乱) l i r a i n f 歹+ o 。g j ( ) ； b 对任意函数u l 1 ( q ) ，存在序列u 3 l 1 ( q ) 满足：在l 1 ( q ) 中，_ 乱且 q ( 吻) _ g ( u ) 均成立，则称序列g f 为r 一收敛到g ，记为 g = r l i r ag i j 一+ o 。 。 a n z e l l o t t i ，b a l d o 和v i s i n t i n 在文献 5 】中通过r 一收敛方法证明了泛函( 1 2 9 ) 极小 元的存在性。在第3 章中，我们将给出具有d i r i c h l e t 边界条件的f - 收敛的定义并 研究在极限条件下磁性材料中的布洛赫壁的性态。 浙江大学博士学位论文 1 3 g i n z b u r g l a n d a u 能量泛函 人们将低温下直流电阻消失的现象称为超导电性f 4 1 1 ，具有超导电性的材料叫 做超导体。由于超导体在超导状态下具有零电阻和完全抗磁性【4 5 】，因此在发电、 输电和储能方面具有广阔的应用前景。 1 9 5 7 年，美国物理学家巴丁、库珀和施里弗对超导电性做出理论解释，建立了 著名的超导微观模型，被称为b c s 理论。 当超导材料被置于外加磁场( 磁场强度非常弱) 时，其热力学状态取决于 g i n z b u r g - l a n d a u 参数k ，即穿透深度与相干长度的比率，这是一个与材料温度无 关的常数。k 1 以的被称为i i 型 超导体。 i 型超导体，主要是金属超导体：若磁场强度日充分小，则该磁场将从材料内 部被排斥出去，也就是说磁场无法进入超导体内部，磁场被屏蔽。若日超过某一 临界值，则该磁场将完全穿透超导材料，材料的超导性能被破坏。i i 型超导体，主 要是合金和陶瓷超导体，它允许磁场通过，具有第三种状态一混合状态( 涡旋态l 在此种状态时，有一部分磁场穿透到超导材料内，两相( 超导态和正常态) 同时存 在。 b c s 理论只能解释i 型超导体的特性，不能解释i i 型超导体的特性。1 9 5 0 年，维 塔利金茨堡( v l g i n z b u r g ) 和列夫朗道( l d l a n d a u ) 建立了一个解释超导现象 的模型；1 9 5 7 年，阿列克谢阿布里科索夫( a a a b r i k o s o v ) 得到g i n z b u r g - l a n d a u 方程的解析解存在性并提出涡流栅( v o r t e xl a t t i c e ) 理论解释i i 型超导体的混合状 态：超导电流形成许多排列有序的小涡旋，这样的涡旋点阵可以让超导电子运动 的阻力消失，并使磁场从涡旋点阵的通道中通过。在涡旋中心，超导电子的密度 为零( 即处于正常态) 。1 9 5 9 年，戈尔科夫( l p g o r k o v ) 证明g i n z b u r g l a n d a u 方程 可以从b c s 理论直接推导得到，奠定了g i n z b u r g l a n d a u 模型的微观基础。随后， g i n z b u r g - l a n d a u 方程作为研究超导的宏观模型得到广泛地接受。 g i n z b u r g l a n d a u 是关于超导电子的波函数霍以及磁势b 的下列泛函的 e u l e r l a g r a n g e 方程： ，1、 ，i 1 何入( 皿，b ) = 去i ( v i b ) v 1 2 + 寻( 1 皿1 2 a 2 ( z ) ) 2 + 去i r o t b 2 ， ( 1 3 1 0 ) l ，n 厶 j r 3 这里晓cr s 为有界开域，i 1 2 等于超导电子的局域密度佗。，b 为定义在r 。 空间中的三维实值函数，a 0 为参数。对于正常态= 皿= 0 ，而超导态 浙江大学博士学位论文7 他。0 ，皿0 。因此皿起序参数作用，这里为一个复序参数。函数a ( x ) 表示超导 电子的最大密度。当忽略钉扎效应时，我们置a ( x ) 在整个域q 中恒为1 ( 此时超导 体处于正常状态) 。 在第4 章，我们将主要研究超导材料中涡旋的均衡分布，即当材料被混入杂 质，超导体中存在小的钉扎区域时，涡旋的分布情况。 1 4 本文的主要工作 在本文中，我们在前人研究的基础上，做了一些工作。下面来做一个简单的介 绍。 在第二章中，我们研究下列不可压缩流体的n a v i e r s t o k e s 方程的c a u c h y 问 题的正则性条件： f 豢栅吼+ v p u ， 1 d vu o ， 【u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， 我们利用泛函分析方法以及弱空间的插值不等式来估计上述方程的弱解，得到在 某些压力项或者压力梯度项条件下相应弱解的光滑性，改进了d c h a e 和j l e e 在 文献 1 5 】中的相关结果。 在第三章中，我们考虑下面的铁磁薄膜能量泛函的极限问题： e ( “) = z ，丢i v u l 2 + ( u ) 如 我们给出带有d i r i c h l e t 边界条件的r 收敛的定义，并借助该定义证明当铁磁体中 存在布洛赫畴壁或布洛赫线时上述l a n d a u - l i f s h i t z 能量泛函存在极小元，改进了 a n z e l l o t t i 、b a l d o 和v i s i n t i n 在文献【5 】中的相关结果。 最后在第四章中，我们研究三维空间中带有涡旋钉扎效应的完全g i n z b u r g l a n d a u 泛函 州皿 b ) = z 互1i ( v 一冽皿1 2 + 扣卜m ) ) 2 + 厶1 弘旧1 2 我们利用变分不等式和区域扰动方法得到在单连通区域上局部极小元的存在性， 从而将a n d r e ，b a u m a n 和p h i l l i p s 在文献【2 】2 中的相关结果推广到三维空间，完善 了m o n t e r o ，s t e r n b e r g 和z i e m e r 在文献【4 8 】中的工作。 第二章弱空间中n a v i e r s t o k e s 方程的弱解正则性的压力项 条件 2 1 引言 本章主要考虑n a v i e r s t o k e s 方程组的c a u c h y 问题，对于给定的压力项或压 力梯度项条件，得到n a v i e r - s t o k e s 方程组弱解的一些正则性结果。首先，我们介 绍关于弱解的正则性问题的研究背景。 在r 3 ( 0 ，t ) 空间中，考虑如下不可压缩流体的n a v i e r s t o k e s 方程组的 c a u c h y 问题： | ，瓦o u + 乳+ 唧= 舭， 出口u ：0 ， ( 2 1 1 ) 【u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， 其中钆= u ( x ，t ) r 3 为流体的速度场，p ( x ，t ) 为流体在点( x ，t ) 的压力标量， 咖( z ) 满足条件d i vu o = 0 且在分布意义下为初始速度场。对于n a v i e r s t o k e s 方程 组的弱解，本文中指所谓的l e r a y - h o p f 解，定义如下： 定义2 1 1 如果u = u ( z ，t ) 满足以下条件： ( a ) ( b ) ( c ) 乱己o 。( o ，r ；l 2 ( 酞3 ) ) nl 2 ( 0 ，t ；h l , u ( r 3 ) ) ， d v “= 0 在酞3 ( 0 ，t ) 中 z t 上。 西。+ v u v 西+ ( u v 吵垂) 如班= 。 对所有的在r 3 ( 0 ，t ) f i b d i v 圣= 0 的垂掣( r 3 ( 0 ，t ) ) 成立 则我们称向量场乱= 乱( z ，) 是方程组( 2 1 1 ) 在r 3x ( 0 ，t ) 中的弱解。 8 浙江大学博士学位论文9 法国数学家l e r a y 4 3 】和h o p f 3 2 】证明了弱解在时间上的全局存在性。但是， 三维不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程组的全局正则性至今仍未解决。另一方面，众所 周知，只要光滑解存在，则l e r a y - h o p f 解就是光滑解。 s e r r i n 5 7 首次证明了在某些附加假设下，一个l e r a y - h o p f 解确实是正则的。 这一结果也被o h y a m a 5 1 】独立地证明。 定理2 1 1 设u l o o ( o ，t ；l 2 ) nl 2 ( o ，t ；h 1 ，2 ) 是n a v i e r - s t o k e s 方程组俾j j ) 的 一个弱解，如果满足附加条件“l 8 ( o ，t ；l 7 ( r 3 ) ) ，其中；+ ；1 。则u 光滑。 在s e r r i n 的原创性工作中，采用的是稍强的条件；+ ； 1 。经过f a b e s j o n e s r i v i e r e 【2 2 ，g i g a 【2 s ，s o h r 【5 8 】以及y o n 、h l 【5 9 逐步改进其结果而得到定理 2 1 1 中的条件；s t r u w e 【6 2 和t a k a h a s h i 【6 5 ，6 6 将相应的s e r r i n 局部正则性结果 推广到极限情形。在r = 3 ，8 = 情形，原本需要的充分小假设条件现在已经被 e s c a u r i a z a - s e r e g i n - s v e r 磊k 【3 3 ，5 5 】解决而移除。还有许多诸如此类的文献，如【1 2 许多学者研究类似的条件正则性结果，涉及到压力项p 或者速度场仳与压力 项p 的组合条件，参见b e i r 弱d av e i g a 【9 ，1 0 ，1 7 ，c h a e - l e e 1 5 】以及b e r i s e l l i g a l d i 【1 2 】等等。值得注意的是量纲分析( 如c a f f a r e l l i - k o h n - n i r e n b e r g 【1 4 】) 预测 ( 2 1 1 ) 弱解正则性可由如下条件推出 v p l 8 ( o ，t ；l r ( r n ) ) 其中三+ 等3 ( 2 1 2 ) 或条件 。 一 p l 8 ( o ，t ；l ，) ) 其中三+ 号2 ( 2 1 3 ) 其中佗为空间维数。 下述正则性定理结果由b e r s e l l i - g a l d i 【1 2 】得到，随后z h o u 【7 6 】做了一些技术 上的改进。 定理2 1 2 设u l ( o ，t ；l 2 ) nl 2 ( o ，t ；日1 ) 是n a v i c 7 - s t o k e s 系统偿j ! ) 的弱 解，相应压力项为p ( z ，t ) 。若假设下列每件之一被满足： 砂压力项满足俾j 圳其中1 8 。o ； i i ) 压力梯度项满足条件偿! 砂其中l s n 。 则u 光滑。 浙江大学博士学位论文1 0 b e r s e l l i - g a l d i 曾指出，若压力项在己。o ( o ，t ；驴2 ) 中范数充分小则可以推出 在极限情况p 三( o ，t ；l n 2 ) 下的弱解正则性。参考文献 1 2 ，注1 3 。 当佗4 时，z h o u 7 8 ，7 7 】移除了定理2 1 2 第二部分对于8 的限制。随后， s t r u w e 【6 4 将前者的结论推广到任意维数礼3 。 定理2 1 3 令n 3 。若u l o 。( 0 ，丁；l 2 ) nl 2 ( 0 ，t ；日1 ) 为n a v i m - s t o k c s 系统 俾j 砂的弱解，相应压力项为p 。假设v p 满足条件俾j 圳，其中等 ， o 。，； s 0 0 。则u 光滑。当u 为空间周期函数时，相同的结论也成立。 本章主要目的为在r 3 中，将定理2 1 2 和2 1 3 推广到弱空间( w e a ks p a c e ) 。 我们的主要结果为 定理2 1 4 令u o ( z ) l 2 ( r 3 ) nl 。( r 3 ) ， 设u ( x ，t 、) 为( 2 1 1 ) 一令l e r a y h o p f 弱嫔， 足以下条件之一： 则乱光滑。 其中q 4 且在分布意义下d i vz $ 0 = 0 。 对应的压力项为p ( x ，t ) 。如果p ( x ，t ) 满 t ) pcl 8 ( o ，t ；l ：( 酞3 ) ) 其中昙十导= 2w i t h 1 8 粤 i i ) p l o 。( o ，丁；己影2 ( r 3 ) ) 且相应范数充分小 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 饿) 唧三8 ( o ，t ；三：( r 3 ) ) 其中兰+ 昙 3 ，或者57 唧以咿；以蛸) 其中詈+ ；3 = 3 ，吾 s o 。，1 r o o ( 2 1 6 ) 锄) v p l ( o ，t ；上孑( r 3 ) ) 且相应范数充分小( 2 1 7 ) 这里l 0 三l 7 ，为弱空间，2 ，q 为标准洛伦兹( l o r e n t z ) 空间( 参见 4 6 ，6 7 】) 。 2 2 准备工作 同b e r s e l l i - g a l d i 1 2 ，z h o u 【7 6 ，7 7 1 ，s t r u w e 【6 4 】文章中证明方式类似，定理 2 1 4 的证明需要以下估计 圳l - 酬训羔z 。，1 q o o ， ( 2 2 8 ) 浙江大学博士学位论文 以及 0 怯c v u l l l 巩1 q o 。，( 2 2 9 ) 实际上，对( 2 1 1 ) 1 式两边作用梯度算子可得 3 一p = d i v ( u v u ) = 0 i o j ( u u 0 i , j = l 运用c a l d e r s n z y g m u n d 不等式，由上式即得到( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 式。 根据插值理论，我们由( 2 2 8 ) 式易得 | l p | i 珊一( r n ) c l l uj l 至。加( r 。)( 2 2 1 0 ) 上式对所有的1 q o o 和1 仃 o o 成立，此不等式在后文计算中将会用 到。 我们还将用到如下嵌入定理( 【4 2 】) ：对任意的1 q 0 0 ，1 p n ， l 辑，- c l i v u l i l ，i q ( 2 2 i i ) 以及h 6 1 d e r 不等式( 4 6 ，6 7 】) ： i l u v l t l , ，a c l l u l l l , ，- ，i 肋，。，( 2 2 1 2 ) 其中p 1 = 击+ 1 ，q 1 = 音+ 1 啦。 在范数等价意义下，洛伦兹空间的一些性质： a ) l p ，p = 汐l 弘。= l ：，当1 p 。时 b ) 三p ，1cl ”2 ， 若r l 7 2 特别地，l pc 础， 引理2 2 1 令2 p 墨，1 q o 。，则 l i u l l p ，。( 舭) c i i “i i z ：( 舭) i i v u i l 磊& 。) ， ( 2 2 1 3 ) 其中1 一q = 鸶一詈 浙江大学博士学位论文 1 2 证明选取p 1 和p 2 使得2 p l p p 2 惫且刍= 盖+ 警根据g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，有 l l p 硎也a i 7 t 忆1 - ，m ， 对任意i = 1 ，2 及1 一q t = 詈一旦p i 成立。由于1 2 ，9 是1 2 l 和l p 2 的实插值空间，也 就是说，口，q = ( 护，1 2 。) 口，口，由此可得 乱i i l ，。c | | 钆i i 知，i l u l l l l - p 。0 c ( 芝圳v 似嵫q - ) 8 ( 硎“嵫q 2 , 。忆1 - 。a 。) 1 卅 硎u 怯i l w l l 矗。 故( 2 2 1 3 ) 得证。 引理2 2 2 v ，2 , 1 ( 酞3 ) ，v0 p 1 o ，q o 成立( 2 2 1 4 ) 证明由洛伦兹空间的范数定义， ，o o i l f l l p ，。= ( ( t 1 肋，+ ( t ) ) q d t t ) 1 q 其中1 r 仃) ) 令k 0 ，有 m ( 口，七) ：肛( z ：l ，七( z ) l 仃) ) = p ( z ：l ，( z ) i 盯1 7 南】) = m ( a ：l k , ，) 令( ，南) ( t ) ：i n f ( a ：m ( 仃，知) t ) = i n f a ：m ( 仃1 4 , ，) 冬t ) = ( ，( t ) ) k 则 ， i l i 口i i 胁。( 舻) = ( ( 亡1 p ( ，口) + ( t ) ) q t i t t ) v 。 ，0 = ( z 。0 ( t l l q v ，+ ( ) ) 伽巩t ) 南= i l f l l z 唱a a ( 即) 口 2 3定理2 1 4 的证明 令让为n a v i e r - s t o k e s 系统( 2 1 1 ) 在空间( o ，t ) r 3 上的光滑解。我们希望估 算出一个先验边界从而将u 延拓到全部时间( 0 ，t ) 。 用川8 2 u 乘( 2 1 1 ) l ，其中p 3 待定。然后在r 3 上分部积分，得到如下众 所周知的等式 吾否d 儿i + ll v u l 2 i u i 纰如+ 下4 ( 0 - 2 ) 厂i v i 讲1 2 出= 一训i 眦唧出 上式对t ( 0 ，t ) 成立。 情形1 ：假设条件( 2 1 4 ) 成立。令p = 4 ，得 丢磊d 。rl u l 4 d z + il v u l 2 i 让1 2 d z + 互1 i v l 1 21 2 ，z 彬= 一。i 1 2 v ，r f ：t ：( 2 3 1 5 ) 记，( t ) ：= 一j t , l u l 2 v pd x ，通过分部积分得 邢) c 弘i i u l 2 i v l u l l 如 ( 2 3 1 6 ) 令秒= 川2 。由( 2 3 1 5 ) 和( 2 3 1 6 ) 两式得： 象池+ c 陬1 2 如ci , p i i 钆i i v 恤 _ 0 成立。 由假设条件( 2 1 4 ) 可得( 2 3 1 7 ) 式最后一项有界，具体估计如下： i p l 2 i 口i 如c i l p l l 加i i p i i 州i i 毗i i 啪z ( 嘉+ 而1 十而1 = l ，) c l l p l l l ，。i i u i i l m ，z i i u i i l t ，t z z 令m 1 = m 2 = m ，则m = 两2 r * 2 ，6 ) 。令1 一口= 互3 一磊3 ，则五1 = s ，由( 2 2 1 3 ) 式， c l l p l f l r ，。i k i i 乏。，。c l l p l l l 一，。l i 钉| i 罄l i v u i l 器一0 。f | | v u i i 至z + o l l p l l 2 ，。l i 口i i 羔z 上式对任意e 0 成立。 将上述估计带入( 2 3 1 7 ) 式并令e 充分小，运, r f jg r o n w a l l 不等式可得 u l ( 0 ，丁；l 4 ( r 3 ) ) 情形2 ：假设条件( 2 1 5 ) 成立。我们令m l = m 2 = 6 ，p = 4 ，则( 2 3 1 7 ) 式最后 一项的有界性可作如下估计： r l p l 2 i v l d x c l l p l l 删：，。l i p l i l 21 1 v l i l m z ，。 c l l p l l l 3 1 2 ，。i 羔e 。 c l l p l l l s l z ，。1 1 w 1 至z ( 用( 2 2 1 1 ) ) 与情形1 类似地，可得乱l o o ( o ，t ；l 4 ( 酞3 ) ) 。 情形3 ：令条件( 2 1 6 ) 成立 情形3 1 ：；+ 享= 3 ( v p 在l 8 ( o ，t ；l 0 ( 酞3 ) ) 有界) 。我们假设7 3 。实际上， 由( 2 2 1 1 ) 式，对于r 3 有 i i p i i l ( o ，t ；l f ) c