（基础数学专业论文）类空闭流形上的双曲结构.pdf

中山大学博士学位论文中文摘要 类空闭流形上的双曲结构 专业：基础数学 博士生：张坤 导师：陈兵龙教授 摘要 我们称一个黎曼流形( m ，9 ) 是双曲流形是指该流形的截面曲率为负常数，即 具有双曲结构。所有这样的流形都来自于双曲空间心模去其上面的一个离散等 距群。但是，一直以来对于一个给定的黎曼流形，我们都没有一个很好的内蕴 描述去判断该流形上是否存在着双曲度量。我们无法期待负曲率流形也有类似 于正曲率流形“拼挤 定理这样漂亮的结果，因为从负曲率的“拼挤”能够得 到的控制拓扑的信息比零曲率“拼挤”更少。在 2 4 中g r o m o v 和t h u s t o n 构造 的流形说明即使在充分“拼挤 的负曲率流形上也可以不存在双曲度量。但是 在本文中，我们将证明在一大类具有负曲率的黎曼流形上很自然地存在着双曲 度量。 我们从类空超曲面出发推广定义了类空流形： 定义0 1 我们称一个三元组( m ，) 是一个类空流形，如果( m ，g j ) 是一个 黎曼流形，并且是一个对称张量同时还满足下面的g a u s s c o d a z z i 方程 j 斛一( h j k h i k h j t ) = o lv t 吩七一v j 屯知：o 第1 页 中山大学博士学位论文中文摘要 接下来的想法是使用几何流去形变满足特定初始条件的流形m ，将其具有负曲 率的度量形变为双曲度量。 首先，我们注意到目前很少有用热流形变负曲率度量得到双曲度量的结 果；其次，对于维数n 1 0 的流形，在【2 0 】中f a r r e l l 和o n t a n e d a 证明了流形m 上 所有黎曼度量形成的模空间a 4 e t ( m ) 中的子集朋丁8 8 “o ( m ) 道路不连通，更 准确的说即流形m 上所有具有负截面曲率的度量集合m 占丁8 e c 0 ( m ) 具有无穷多 的连通分支。因此假设我们从双曲流形上的任意一个负曲率的度量出发，也 只能当该负曲率度量与双曲度量在m r 。c o ( ) 中的同一个连通分支，我们才 能在m 丁s e c 0 ， 那么在m 上存在一个双曲度量。 公式 关键词：双曲结构，类空闭流形，平均曲率流，内蕴平均曲率流，单调性 第1 i i 页 中山大学博士学位论文英文摘要 h y p e r b o l i cs t r u c t u r e so nc l o s e ds p a c e l i k em a n i f o l d s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：z h a n gk u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rb i n g l o n gc h e n a b s t r a c t r e c a l lt h a tar i e m a n n i a nm a n i f o l d ( m ，g ) i sh y p e r b o l i ci fi th a sc o n s t a n tn e g a t i v e s e c t i o n a lc u r v a t u r e t h e s em a n i f o l d sa l lc o m ef r o mt h eq u o t i e n to fh y p e r b o l i cs p a c e 酽b yi t sd i s c r e t ei s o m e t r yg r o u p s h o w e v e r , i ti sd i f f i c u l tt of i n dag o o di n t r i n s i c c h a r a c t e r i z a t i o nf o rw h e t h e rh y p e r b o l i cs t r u c t u r ee x i s t so nag i v e nm a n i f o l d w ec a r l n o th o p et h a tt h en e g a t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d sh a v et h e p i n c h i n gt h e o r e m j u s tl i k e p o s i t i v e l yc u r v e dm a n i f o l d s b e c a u s en e g a t i v ep i n c h i n gp r o v i d e se v e n l e s sc o n t r o lo n t o p o l o g yt h a nz e r op i n c h i n g i n 【2 4 ，g r o m o va n dt h u r s t o ns h o wu se v e ns u f f i c i e n t l y n e g a t i v e l yp i n c h e dm a n i f o l d sc a l ln o ta d m i tah y p e r b o l i cm e t r i c h o w e v e li nt h i s p a p e r , w ew i l lp r o v et h a th y p e r b o l i cs t r u c t u r e se x i s tn a t u r a l l yo nal a r g ec l a s so f m a n i f o l d s a tf i r s t ，w eg i v ea l li n t r i n s i cg e n e r a l i z a t i o no fs p a c e l i k em a n i f o l d sf r o ms p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e s - d e f i n i t i o n0 1w ec a l lat r i p l e ( m ，) 口s p a c e l i k em a n i f o l d , 纩( m ，) i sa 尺钯一 m a n n i a nm a n i f o l d , a n dh qi sas y m m e t r i ct e n s o rs a t i s f y i n gt h eg a u s s - c o d a z z ie q u a 厂甜一( 危订七一玩岛吩f ) = o 1v t 一v a 七：o 第1 v 页 中山大学博士学位论文英文摘要 a n dt h e n ，w ew a n tt od e f o r mt h er i e m a n n i a nm e t r i cw i t hn e g a t i v es e c t i o n a l c u r v a t u r eo ft h em a n i f o l dmt ot h eh y p e r b o h cm e t r i c f i r s t l y , n o t et h a tt h e r ea r ef e w r e s u l t sa b o u td e f o r m i n gt h em e t r i co fn e g a t i v ec u r v a t u r et ot h eh y p e r b o l i cm e t r i c a n d t h e n ，i n 【2 0 】f a r r e l la n do n t a n e d as h o wu st h a tm 丁s e c o ( m ) ，w h i c hi ss u b s e to f m 丁( m ) t h es p a c eo fa l ls m o o t hr i e m a n n i a nm e t r i c so nt h em a n i f o l dm ，i sn e v e r p a t h - c o n n e c t e dw h e nd i m e n s i o nn 1 0 p r e c i s e l y , t h es p a c eo fa l ln e g a t i v e l yc u r v e d m e t r i c sm 占丁s 8 。 o ( m ) h a si n f i n i t e l ym a n yp a t h - c o m p o n e n t s t h a ti s ，g i v e nam e t r i c w i t hn e g a t i v ec u r v a t u r eo nah y p e r b o l i cm a n i f o l d ，w ec a nd e f o r mt h i sm e t r i ct ot h e h y p e r b o h cm e t r i ci nm 7 嗽c o ( m ) o n l yw h e nt h e ya r ei nt h es a m ep a t h - c o m p o n e n t o fa , l t e e 0 ，t h e nm a d m i t sah y p e r b o l i cm e t r i c k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs t r u c t u r e ，s p a c e l i k em a n i f o l d ，m e a nc u r v a t u r ef l o w , i n t r i n s i cm e a nc u r v a t u r ef l o w , m o n o t o n i c i t yf o r m u l a 第v i 页 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：弘坤 日期：z o l o 年6 月6 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或 其他方法保存学位论文 学位论文作者签名：私胡辛 日期：2 烈d 年6 月6 日 导师签名：甲碌辱仍。 日期：? ol o 年6 月7 日 中山大学博士学位论文 第一章综述 第一章综述 1 1 任意仿紧的微分流形上都存在黎曼度量，度量决定了黎曼流形上的曲率张 量。根据k i l l i n g 和h o p f 的常曲率空间的分类定理可以得出，经过适当伸缩变 换具有常曲率的单连通完备黎曼流形只有下面三种： i 酽，c u r v i = - - + 1 怔仇聊“ i n ，c u r v = - 1 即佗维球面s n 、欧氏空间p 、双曲空间“。我们将常曲率流形称之为空间形 式。因此，任意具有常曲率的完备黎曼流形，都来自于三种单连通的空间形式 模去其上的离散等距群。 接下来我们会问当黎曼流形的曲率变化不大时，该流形是否具备一个常曲 率的度量? 这个问题也就是通常所说的“拼挤”定理，相对应分为下面三种情 况： ( 1 ) 正曲率“拼挤 正曲率的“拼挤”问题即我们通常所说的球定理，有着丰富的研究历史。 这里“拼挤常数”是指流形截面曲率上界和截面曲率下界的比值。黎曼流形曲 率“拼挤”的概念是r a u c h 在1 9 5 1 年引入的，同时他提出这样的问题： 对于紧的单连通流形m ，如果截面曲率满足 1 k 4 ， 则m 是否一定同胚于球面铲? 在1 9 6 0 年左右b e r g e r 和k l i n g e n b e r g 用比较定理证 明了这个命题，但是流形m 是否微分同胚于伊( 即著名的微分球定理猜测) 还 第1 页 中山大学博士学位论文 第一章综述 没能得到解决。 直到最近b r e n d l e 和s c h o e n 证明了更一般性的结果，对于逐点1 4 一拼挤的条 件，微分球定理成立，为球定理画上了圆满的句号。我们称黎曼流形m 具有逐 点的l 4 拼挤是指，在具有正截面曲率的流形m 上的任一点p ，该点截面曲率最 大值和最小值的比值小于4 。即对却点切空间已m 中任意两对2 一平面丌1 ，7 1 2 ， 都满足 0 k ( t r l ) 0 ，如果流形m 的直径 并且有截面曲率满足 d i a m ( m ) 1 ， 一e k g 则流形m 一定存在一个平坦的度量? 与正曲率“拼挤”不同，上面问题的答案是否定的。因为还存在其他满足 “拼挤”条件的流形即著名的“几乎平坦流形”。在度量方面，它们可以看为 幂零李群的紧的商空间。 关于零曲率“拼挤”问题的最基础的工作是g r o m o v 在1 9 7 8 年作出的，零 曲率的“拼挤问题仍然有解，只是答案并非只有平坦流形，还有所谓的 “i n f r a n i l ”流形。 定理1 2 存在一个只依赖维数的一致常数e ) ，使得如果一个黎曼流形m n 其 截面曲率k 满足 一1 k 1 ， 第2 页 中山大学博士学位论文第一章综述 并且直径 d i a m ( m ) 0 ，该常数依赖于佗，c ，使得如果一 个礼维闭黎曼流形m 截面曲率满足 一l k 一1 + e ， 并且同时满足下面两个条件之一： ( 1 ) 当维数礼3 时，流形体9 , , v o l ( m ) 0 ，那么在m 上存在一个双曲度量。 1 3 我们的做法是使用几何流去形变满足特定条件的流形，使其具有负曲率的 度量形变为双曲度量( 关于使用几何流形变流形，使该流形具有标准度量可以 参考 2 5 】【3 1 】) 。 下面我们将考虑流形m 上所有负曲率黎曼度量形成的模空间。 记m 丁( m ) 为流形m 上所有光滑黎曼度量的空间。该空间配备了光滑的拓 扑。根据e b i n 的切片定理( s l i c et h e o r e m ) 可以知道m s t ( m ) 是可缩的。我 们用g 朋p s 8 e 匹6 ( m ) 表示流形m 上所有截面曲率在区间a ，6 】上的黎曼 度量。特别的夕m 8 7 - 3 e 伫一1 ( m ) 表示流形m 上所有的双曲度量形成的空 间h y p ( m 1 ( 可以为空) 。 一个很自然的问题：对于给定的具有负曲率的黎曼流形该流形上存在的 所有的负曲率的黎曼度量形成的空间朋丁8 比 0 ( m ) 是否是道路连通的? 对于 维数为2 的情形，h a m i l t o n 在【2 7 】中用r i c c i 流证明了日卯( m ) 是m 丁8 钟 0 ( m ) 的 形变收缩核，而且进一步证明日卯( m ) 和m 丁s e c 0 ( m ) 是可缩的。但是对于维 数n 1 0 的情况，f a r r e l l 和o n t a n e d a 证明了朋r 0 ( m ) 道路不连通，更准确 地说m r 0 ( m ) 具有无穷多的连通分支。 因此假设我们从双曲流形m 上的任意一个负曲率的度量出发，只有该负 曲率度量与双曲度量在m 丁8 黜 0 的类空闭流 形也成立。积分单调性公式，如果正规化后的流形不坍塌，那么我们就能知道 双曲度量的存在。 基于上面的分析我们可以期望利用类空闭流形上的内蕴平均曲率流对类空 闭流形在微分拓扑的意义下进行完全分类，这将是我们下一步研究努力的方 向。 注记1 1 0上述一般类空闭流形上的内蕴平均曲率流的行为可以类比下面 的r i c c i 流中的非奇异解。 如果流形m 上r i c c i 流的一个非奇异解解是坍塌的，那么根据c h e e g e r - g r o m o v 或者c h e e g e r - g r o m o v f u k a y a 的 作可以得知流形m 具有厂结构然后m 的 拓扑信息是完全知道的，所以我们下面都假设非奇异解非坍塌。因此对于任 第7 页 中山大学博士学位论文 第一章综述 意的时间序列岛- o o ，我们可以找到一串列点巧和某个正常数6 0 使得流 形m 在点的单射半径至少为占。所以根据h 锄i l t o n 的紧性定理对上述序列选取 一个收敛子序列，我们将收敛的极限称为非坍塌极限。然后有下面的定理： 定理( h a i i l i l t o n ) 设( ) ，0 t 。 c 2 3 ， 其中t 是由度量( z ，t ) 和s 。卢( ) 定义的。 设( f _ 1 ) + g 和( f - 1 ) h 分别为目标流形( n ，s a z ) 上的一族单参数的拉 回度i g , j ( x ，t ) 和拉回对称- 量h 0 ( x ，亡) 。我们记彘卢( 可，t ) = ( 伊1 ) + 夕) a 口( 秒，t ) 和矗口卢( ! ，) = ( ( f 一1 ) + 九) 口卢( y ，亡) 。然后通过直接计算可以发现豇卢( 秒，t ) 和五a 卢( 可，亡) 满足下面的演化方程： = 一2 怠卢( 可，) + 2 丸口j 汤雪盯p + v a + v 口k = k 卢( y ，亡) 一心a 卵一邱a ，k 参叩( 2 - 4 ) + 2 左a a 以叠印矿p 扩一i a l 2 元q 卢 + 翰v 口妒+ 左町v 卢矿 第1 0 页 p 一 声一 垫争堕况 ，、_【 中山大学博士学位论文 第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 其中y a = 夕所( r 岛( 雪) 一亍岛( s ) ) ，r 鼠( 参) 和于务( s ) 分别是关于度量觅卢( 秒，亡) 和8 n 口( 可) 的c h r i s t o f f e l 符号。 这里我们仅分析演化系统( 2 - 4 ) 等号右边的主项。不难得出 = 俨旦o y t 坠o y + ( 1 0 w e r 。r d e rt e 船) 左a 卢( y ，t ) 一或。b 扩p 一岛叮k 多叩 + 2 五口a 轧。左印参a p 即一i a l 2 以卢+ 砧7 v n 矿+ 左针v 卢矿 中一a y - 2 两k y 卢- 一坠o y 珏雾砧n ) 一扩”( 一可o f 三u + 等) 锄中( 一挚+ 雾) 以a 伊等坩”雾k + ( 1 0 w e r o r d e rt e r m s ) = 兰o y u 堕o y 。 + ( 1 0 w e r o r d e rt e r m s ) f 耖卜尹参帕d e r 一， 弘5 ， l 警归尹磊+ 岫o r d e r t e 舢) 些叫 这样我们就能够从解( 多，左) 出发，利用下面的办法找出原始的演化方程的 又由 y 口= 9 厣7 ( r 磊( 蚕) 一于函( s ) ) = - ( a f 。f 一1 ) q ， ( 2 6 ) 箕= 一v of 一= 一 ， 疣 一 第1l 页 ( 2 7 ) 中山大学博士学位论文 第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 现在一旦我们有豇口，我们就能得到y ，进一步可以解( 2 7 ) 这样一个定义在m 上的一个常微分方程系统得到映照f 。从而可以通过映照f 拉回度量鸯和对称张 量九得到9 = f 4 毋和h = f + h 。 现在我们可以进一步断言，如果给定光滑的初始条件，演化系统( 1 1 ) 在紧 流形上的解是唯一的。不妨假设( 夕1 ，h 1 ) 和( 9 2 ，h 2 ) 是在初始时刻t = 0 相同的两 组解。则我们可以分别解出映照流( 2 3 ) 得到两族映照f 1 和尼。其中日和岛分 别是从配备度量g l 的m 和配备度量仍的m 到配备固定度量s 的目标流形的映 照，而且具有相同的初始值。然后我们可以得到流形上的两组具有相同初始 度量的解鸯1 和彘。根据标准的严格抛物方程解得唯一性理论，我们可以得出： ( 多1 ，h i ) = 渔，h 2 ) f l j ( 2 - 6 ) 我们有对应的向量场k = v 2 。因此下面两个具有相同初始值的常微分方 程 篑= o f l等= 一v 2 。易 的解必然相同。所以进一步演化系统( 1 1 ) 的解 也一定相同。 ( 夕l ，h i ) = f + ( 雪1 ，h i )( 现，h 2 ) = f 4 ( 奶，危2 ) 2 2g a u s s c o d a z z i 方程的保持l 生 在本节中，我们将证明g a u s s c o d a z z i 方程在内蕴平均曲率流( 1 1 ) 下保持。 设g 巧融= 斛一( h i l h j k h i k h j t ) 和c 茜七= v i ，0 七一 让。 命题2 1 如果对称张量在初始时刻= 0 时满足g a u s s c o d a z z i 方程 厂勘肼一( 甜吻知一鬼凫吩z ) = o lv i 吻七一= o 第1 2 页 中山大学博士学位论文 第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 那么它将在t 0 时仍然满足满足g a u s s c o d a z z i 方程。 证明通过直接的计算我们有 妄r 易= 三 ( 黑鳓) + v ；( 爰鲫) 一v z ( 岳) ) 晏确乩( 知) 吨( 知) 黑鼬一晏确+ o g h k d 缈h 根据这些关系式我们得到 妄勘斛= v l v 七马l v i v f 弓_ j c v j v 忌凰+ 码v f 忍七 一v l v k ( h j m g , - n ) + v i v f ( b m h n 血夕m n ) + v k ( h i m g m n ) 一q v l ( h i m h n k g m n ) 一勘b ( 凰一 川夕m ) 夕剪一“( 忌七一h t m h ，。i n n ，* , 夕武 和下面这些关系式 x 碰= - - 2 ( b i j k t b o t k b a j k + 鼠幻z ) + v t v 七弓f v i v 弓七一r v 惫r u + b v 忍知 + r m j 脚心i 夕m n + 忌m k l r 叮夕m ” 其中b i j k l = j 己n 巧。七f t 夕m “9 武。 第1 3 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 然后我们有 ( 瓦0 一) 嘞斛一2 ( 觚一奶腩一b a i l , + 鼠蚓) = 一b ( 勘一m b 9 ) 严一武( 忌七一h t m h n 后夕m n ) 一如舰( 玩一h t m h n i g ) 矿一忌s 从( 一h h m n ，x 旷 f 2 - 8 ) 一r 叮触九n i 9 m 9 邪一尼。k l h t m 删夕m n g 武 一v t v 七( 幻。，夕m n ) + v i v l ( h j m h n k g m n ) + v ，v 七( 也m 夕彻) 一v ，v l ( h i m h n 七9 m ) 为了简化演化方程，我们这里将采用活动标架法。准确的说法是，首先选 定流形m 上同构于切丛t m 的任意一个向量丛y 。进一步选定一个y 上的，在 初始时刻= o 时的单位正交标架f o = e 面0 ，n = 1 ，n ，然后通过下面的方程 瓦0 ，d i = 严( 包七一 竹七夕m “) 磋 去演化砰。这样标架f = 日，乃，r ) 将在以后的时间里一直保持单位 正交性。在接下来的内容中，我们将采用下标为a ，b ，的张量表示该张量在活 动单位正交标架下的分量。在该标架下面，我们有： 和 ( 裘一) - 2 ( 一一+ ) = 一只s 6 c d t m 忭。夕m n g 盯一r a s c d h t m h n 6 9 m n g 以( 2 - 9 ) 一v 口v 。( 九加n ，l d 夕”m ) 十v 。v d ( h 6 ，n 危僦扩n ) + v b v 。( k m 扎d 夕竹m ) 一弋7 b v d ( h d m 9 m ) ( 瓦0 一a ) h a b = - - 卅( 2 - 1 0 ) 第1 4 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 通过计算我们得到 然后用 ( 岳一) ( 。妣一k ) = 2 ( 一一+ ) 一亿捌危加h f l 口夕舢g 酃一r 蒯m h 竹b g 彻g 斫 一v 口v c ( 概h 们9 啪) + v 口v d ( h 9 ) ( 2 - l1 ) + v b v c ( 危口m 7 i 伽【夕m n ) v b v d ( 鲫。 耽夕m ) + 2 j aj 2 ( h a d h b c 一危 6 d ) + 2 ( v m 危o d v n 危6 c v m v n b d ) g 彻 雪曲c d = 冗m 0 6 。一( 脚 曲一危) 月m 幽一( m 。 c d 一 ) 】夕撇g 础 去替换鼠删，n c 和v c 分别去替换包含v 危，v v h 的项。即 一玩娩一+ = 一一+ 一鼻施 d n 危t c 9 仇n g 舡一只纛旧i s 扫n 缸9 肼9 耵 + 石，h 危t d ! 尸竹g 武+ j 乙，l d c 8 危咖危t o 夕胁9 虻 一矗；瑚幽h n t 危c 6 9 m 礼夕时+ 石k m d 5 c n 曲夕7 肌矿。 一r m b h 疵h 以夕m 竹g 武+ r m 6 c 8 h d n h t 口9 m n g 武 ( 2 - 1 2 ) + 三0 蝴k t 危d 5 夕胁9 酏石 西。危t 6 9 m n g 时 + r m 池h n t h d c g m n g 巩一r 懒 c n 危纪9 ”m 9 础 一k m h b s h c n 夕m 夕虻+ k m 危6 s d n d g m n g 砧 + 口d 九6 c i a l 2 一九咖 d 台危m 6 c g m n g 毹一 b m h n t h 口d 夕m n g 础 一 们九6 d l a l 2 + 危l c s h n t h 6 d 夕m n 9 3 t + b m 九幽危疵危夕仃m 夕以 第1 5 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 和 一亿取( h n d 扩n ) + 吼( 6 m 危眦g 舢) + 取( 啪危t l d 夕懈) 一砜( 九o m h n c 9 m n ) + 2 ( v m ，k v n 危6 c 夕一一v m 九v n 6 d 夕) = 一v 。( v o 6 m v 6 d m ) ，夕m v 口( v 。九d m v d ，l 。m ) 曲夕彻 + v d ( v o 尼概一v 6 m ) 眦夕m v 6 ( v 。九d m v d 饥) 夕m 一( v 口h 6 r r l v 6 h a m ) ( v c 九d n 一h ，x ，。? t t l l , 一( v a h d m v m ) v c 夕舢一( v d 九帆一v 仇) v b h m 9 彻 ( 2 1 3 ) + ( v 口， m v m 九) v d 危轨夕彻+ ( v 。 帆一v m h = ) v b h d g m n + ( v m 危6 c v 。危m 6 ) v n 九口d 夕+ ( v m 危6 c v 6 危竹圮) v n 危甜夕m 一( v 仇危6 d v d 危m 6 ) v n 九o c 夕m n 一( v m 尼6 d v 6 m d ) v ，l 危夕m n 一月i 口o h h n s 夕m n 9 盯一冗8 危n d ，9 册g 武+ 冗妇m h n s h 纪9 m n 9 时 + r b c m s 九纽9 m 夕时+ 月口d h h n s h 钯9 m n g 武+ 上毛d d m s h , 优h t b 9 m n 9 越 一r b d a 们 伽危t c g m n 9 盯一r b d m s 仳k 夕觚夕盯 我们将曲率张量记为r m ，在不需要精确表达式的时候将张量s 和张量t 的乘积记为s 术t 。接下来我们将用g 奉h 木h 替换包含r m 车h 术h 的项，又 由( 2 11 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ，经过计算得到 ( 瓦0 一a ) g = g 木g + g ：l c 危宰 + v c 宰九+ c 宰v + c 木c ，( 2 - 1 4 ) 第1 6 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 其中g 巧斛= r 巧觚一( 订7 0 七一 让吻1 ) ，七= v i h j k 一h i k 。 进一步我们得到 和 爰v 如 = v ；( 爰七) 一( 爰r o ) 一( 爰r 红) = v t ( 心七一弓m h n 惫矿肌一r k m h n l g m n + 2 m h n 。h t k g m n g 武一l a l 2 h j k ) 一( 爰r 乞) + v i r 胁g m + v r m n j g e r t n v m 忍七夕一 一v i 九知m ，k 巧夕i n 夕研一v i 竹l 。 n 七夕m n g 武一v k h i m h n s 巧夕”n g 武 一v k h m 。 饭h t j9 ”m 9 以+ v m h 妇 n j h t k g m 竹g 础+ v m h k s 九。f “g m n g 武 ( v 1 七) = 夕舢砜。砜( v ) = v i ( 吻岛) + 见m v n b k 9 m 竹+ 2 ( 尼删。v n k 知+ 足。t b v n ) 夕m 竹g 武 + v j r m 危n 七g m n v m k 惫9 m n + v 七尼m 九n j g 撇一v m 尼七9 一 所以我们有 ( 爰一) v 拟+ ( 爰r 咖七 = 一弓m v t k 七夕m 一哦m v i 夕撕 一见m v n 7 b 七夕仇n + v , ( 2 b m h n 。h 塘夕夕武一i a l 2 ，b 知) 一v i 冗, j r n l l b n k y 一一v i p k m h n k g m n ( 2 1 5 ) 一2 ( j 己n 巧。v n 危t 七+ r 嘶忌。v 竹允巧) 夕撇9 8 一v l 危詹m n 。h o g m n g 盯一v i h m 。h n 七，夕撇夕肿 一v k h i m h m 夕m 严一v 七九鹏夕舭矿 + v m h i 。h 珠九可夕m 9 以+ v m 尼h ，k ，锄9 帆9 疵 第1 7 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 在活动标架下我们得到 ( 妄一) v 口 k + i a l 2 v 。危k + ( 爰r 易) 七e 磅硭 = 一v 口 c m ，h 。九t 6 夕册9 武一v a 伽九t c 夕撇夕砒 一v m 九b c k 。 t 口夕m n g 酊+ 2 v 口九6 r n n s 7 k 七。夕僦g 砧 + 2 v 。危c m 危伽夕m n g 武+ 2 v d ，h s 危，1 6 饥c g m n g 村 f 2 1 6 ) 一2 v o h m 。h 位 6 c 夕矿一v 口 咖蚝夕伽g 武 一v 口h 仇。，九t c 夕仇n 夕酊一v c 危甜n k s 玷夕m 9 戚 + v m h 口。九曲危缸夕m n g 酊+ v m h c s k 6 k 夕m n 夕以 一2 j 号；琢曲。v n 钯g m n g 盯一2 点1 砧9 一夕3 。 进一步我们可以用c 去替换包含v h 的项，用g 去替换包含r m 的项得到 ( 晏一) c = 一l a l 2 c + g 木 宰危+ g 木r m + g 幸v ( 2 - 1 7 ) 再结合( 2 1 4 ) ( 2 1 7 ) ，我们有 ( 瓦0 一z x ) ( i g l 2 + 讲) g ( i g l 2 + i c l 2 ) 一2 1 v a l 2 2 1 v c l 2 + ( g ，g 木g + g 宰h 幸危+ v c * h + c 木v h + c 宰c ) ( 2 - 1 8 ) + ( a i a l 2 c + c 车h 宰h + c 木r m + g 奉v h ) c = ( i c l 2 + 蚓2 ) 在上面的计算过程中我们使用t c a u c h y s c h w a r z 不等式，当0 t 0 和p 0 ，使得f l h g o h i j e h g o 在t = 0 时刻在流形m 上成立。接 下来我们断言上面的不等式只要演化系统( 1 1 ) 的解存在，不等式都将保持。因 此为了证明这个断言我们需要下面的，关于流形上张量的极值原理。这种类型 的极值原理是h a m i l t o n 在【2 5 q b 给出的。 设矿是紧流形m 上的一个向量场，m t j 和m j 是紧流形m 上的对称张量， 它们可能会依赖时间t 。设= p ( m , j ，) 是由必，和利用度量缩并必，自身乘 积所组成的多项式。进一步，我们要求该多项式满足零特征向量条件，即对于 张量 磊，任意的零特征向量我们都有、7 ；f ，x x 歹0 。然后我们有下面的定理： 第1 9 页 中山大学博士学位论文 第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 定理2 3 ( h a m i l t o n )假设在0 t o 在m 【o ，卅上版卢 o , g 成r 。反之，假设 断言不对，则存在某个g 0 ，存在某个时刻t o 0 使得在流形m 上某点z o 张 量肋品存在一个单位长的零向量俨。那么在( 跏，t o ) 有， n b 铲护2n b 铲护一贰b 伊伊 一c e e a t 。f ( x o ) 其中取卢= p ( 成卢，) ，c 是依赖尥卢的界但不依赖于a 的正常数。 然后我们将俨延拓成z o 的一个领域内的不依赖于t 的局部向量场。具体做法 是沿着z o 出发的测地线平行移动n n v 口。则在( 勋，t o ) 我们可以得到 妄( 如删) o 第2 0 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 和 但是由 v ( 玩口俨) = 0 ( 成芦秽a 护) 0 o 爰( 版_ ；b 俨扩) = 去( 芦俨扩+ z e a t f ) = ( 成p 俨俨) 一a ( e e a f ) + u i v i ( 厨如俨护) 一u i v t ( g e 胤f ) - 4 - 钿矿扩+ z a e a t 。f ( x o ) 一c e a t o ，( z o ) + a e a 幻，( z o ) 0 当a 足够大时就有上式成立，所以矛盾即断言成立。 令_ 0 由断言即得到定理结论成立。 由上面的定理可以得到一个直接的结论就是： 命题2 4假设我们有e 日f l h g l j ，在初始时刻亡= 0 有日 0 ，那么 上面的不等式只要演化系统( 1 1 ) 的解存在就将一直保持。 证明 首先，对下面的方程使用极值原理 ( 晏一) 日= 一h i a l 2 ， 我们可以得到只要要演化系统( 1 1 ) 的解存在，h 0 就将一直保持。 第2 l 页 中山大学博士学位论文第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流 然后我们考虑 = 一e h g i j 警= 鲁一e 瓦o h 一6 1 掰鲁 一二= o 一，一二一p h 二 巩况。况聊况 = 危巧+ 2 日鬼m 可g m n