（基础数学专业论文）某些泛函微分方程的正周期解的存在性.pdf

某些泛函微分方程的正周期解的存在性 摘要 本文研究了几类泛函微分方程的正周期解 利用重合度理论，在第二章，研究了_ _ 类在缀块环境下具有 b e d 出佗d n 型功能性反应和放养的时滞捕食者食饵系统 fz ：( ) = z - ( ) p t ( t ) 一n ，( ) z - ( t ) 一取万再等券可河两 l q 1 ( t ) ，七1 ( s ) z 1 ( t + s ) d s 】+ d l ( ) k 2 ( ) 一z l ( ) 】+ s l ( t ) ， z ：( t ) = z 2 ( ) 【您( t ) 一口2 ( ) z 2 ( t ) 一口2 ( ) ，七2 ( s ) z 2 ( + s ) d s 】 l + d 2 ( ) 陋1 ( ) 一z 2 ( z ) 】+ ( t ) ， 【y 7 ( t ) = 3 ，( t ) 【一r 3 ( z ) + 取虿警等笛】+ 鼠( t ) 得到了系统的正周期解存在的充分条件；在第三章，研究了非自治 的具时滞的自食系统的开发模型 i 硝( t ) = n 1 ( t ) z 2 ( t ) 一7 ) z 1 ( t ) 一8 2 ( ) z 2 ( t 一7 i ) 一“恐( t ) z l ) z 2 ( t ) + f ( t ) ， iz ：( t ) = a 2 ( t ) z 2 q 一1 - ) 一( ) z ；( ) + u l ( t ) z l ) z 2 ) 一日( ) 的正周期解的存在性 使用比较定理和单调性，在第四章，研究了具有脉冲和功能性反 应的非自治捕食一食饵系统 f ( t ) = z ( ) 阶) 一o ( ) z ( t ) 一考可( t ) 】，t 九， j ( t ) = 可( z ) p ( ) + 揣z ( t ) 一9 ( t ) y ( t ) 】，t 如， iz ( 丰) = ( 1 + 危七) z ( t 七) ， 知= 七t ，七， l ! ，( 嘉) = ( 1 + k ) 可( t k ) ， “= 七z 七 获得了一些该系统持久性和正周期解及其全局吸引性 关键词：脉冲；时滞；放养；自食；全局吸引性；重合度理论；持 久性；正周期解 某些泛函徽分方程的正周期解的存在性 i i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep e r i o d i c i 锣o fs o l u t i o 璐o f8 0 m e i n c t i o n a l d i h l e r e n t i a le q u a t i o n s h ld h a p t e r 栅o ，b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e _ g r t h e o r y ，w es t l l d yt h e d e l a yl o t k v o i t e r r ap r e d a t o r - p r e ys y s t e m 谢t hb e d d i n g t o n _ t y p eh l n c t i o n a l s o m es u i 伍c i e n tc o n d i t i o l l 8t h a tg u r a n t e et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e n o d i c s o l u t i o n so ft h es 弘t 锄a r eo b t a i n e d b yl l s i n gt h em e t h o d0 fc o i n c i d e n c ed e g r e e ，i nc h 印t e rt h r e e ，w e8 t u d y t h ep e r i o d i c i t y0 fac l a 船o fm a t h 锄a t i c a lm o d e l sw i t hc a l l i l i b a l i 锄a r i s i n g b i o e c o n o m i c 8 ： j 吐( t ) = 理l ( t ) 耽( t ) 一，y ( t ) z i ( t ) 一嘞( t ) z 2 ( t 一丁) 一忱( t ) z l ( t ) z 2 ( t ) + f ( t ) ， 【( t ) = q 2 ) a 您 一丁) 一p ) z ；( t ) + u l ( ) z l ) z 2 ( t ) 一日 ) b yl l s i n gc o m p a r i s o nt h e o r 锄觚dt h em o n o t o n i c i t y i nc h a p t 盱f 0 1 ”，w e s t u d yan o n a l l t o n o m o l l sp r e d a t o r _ p r e ym o d e l 诵t hh l n c t i o n a lr e s p o l l s ea n d i m p u l s e s ： 如， t t 七， “= 七t 七， t k = k t ，k n s o m es u 币c i e n tc o n d i t i o n 8w h i c hg u a r a n t e et h ep e r m a n e n c ea n d 娜p t o t i c b e h a 访o ro ft h i ss ”t 咖盯eo b t a i n e d 搋咖 ；嚣吼卅一一一啦”啦剑 一一一一 从嚣删 热哪一 腓器j 毗韭料埘础 一 十扮“ 、，、j k 、jk 埘 p p 卜m 坩+ + q 1， 雄北m q 引引卜卜 、j、j r：p：泔泔 i v 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 k e yw o r d s ：i m p l l l s 髑；d e l a p ；s t o c k ；c a n n i b a l i s m ；a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ； u n i f o m l ya s y t n p t o t i cs t a b i l i t y ；c o i n c i d e i l c ed e g r e e ；p o f ；i t i v ep e r i o d i cs o l l l t i o n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作 品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：夕多力jz 愀 乃睁f 碉日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权 书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打。 ”) 作者躲虏万口彬、啉嘶绸f 日 各呵( 1 司 啉年月日 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 1 绪论 众所周知，周期现象普遍存在于自然界中，特别是在一些生态模 型中，由于实际生态意义需要，往往还要求人们讨论周期正解的存 在性，这方面已发表了许多代表性的文章周期解一直都是微分方 程理论的一个重要分支，对周期解的研究在理论和实际应用中都是 非常有意义的工作 拓扑度理论，不动点理论，单调半流理沦，分支理论，半序方法 以及临界点理论等是研究泛函微分方程周期解存在性的重要方法 最近二十年来，这些理论通过一批数学工作者的努力，已取得了长足 的发展张恭庆，郭大钧，刘正荣，g n i n e s ，e r 6 e ，吴建宏以及h n f e 等 在这些理论的发展中做出了引人注目的工作【1 7 】如何利用这些理 论来讨论泛函微分方程周期解的存在性问题，始终是数学工作者非 常重视的课题之一 对于泛函微分方程的周期解的研究，已获得了非常多的结果 其中刘志军等【8 】以及f ，e e d m 几和尸e 唧【9 】利用正解的持久性结果和 厶可n _ 舭礼伽一砌名牡m i 七舷n 技巧获得了几类时滞扩散捕食者食饵系统正 周期解的存在性以及全局吸引性的充分条件；x i o d 和月仳n n 【1 0 】，觇 和冗牡帆【1 1 ，1 2 】以及f o r 叫1 3 】用日叩厂分支理论建立了几类生物系统 局部周期解的存在性结果；李永昆【1 4 ，1 5 】，马世旺【1 6 】，张正球【1 7 ，1 8 】， 范猛【1 9 】，鲁世平【2 0 ，2 1 ，2 2 】利用m n 伽胁n 重合度理论，讨论了二阶及 三阶时滞微分方程，l 以七。一y o 舰r r n 竞争模型，捕食者食饵模型， 具有时滞的扩散捕食者一食饵系统以及具有阶段结构的捕食者食 饵系统周期解的存在性 现在简述与本文直接相关的几个问题的研究现状，并结合介绍 本文的主要工作 2 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 一、具有放养的时滞捕食扩散系统的正周期解的存在性 从l e t ，州2 3 】建立了缀块环境生态系统的l 况七凸一y d 2 t e r r 口模块以 来，关于这种模型所描述的种群动力系统学行为的研究越来越引起 数学工作者的兴趣到目前为止，大部分工作集中在对不含放养和 收获系数的己础托一y d f t e r ，n 捕食者一食饵系统的研究，研究带扩散 和放养的l 优托一y d 2 t e r ，n 捕食者食饵系统的文献还很少房辉和 王志诚教授 2 4 】讨论了一类一般形式的具有放养项的竞争系统 吐( t ) = 九l ( t ，z l ( t ) ) l ) 一6 1 ( t ) z l ( t ) 一c l ( ) ( t ) ) + d l ( t ) b 2 ( t 一丁丁1 ) 一z 1 ( t ) 】+ s l ( t ) ， 吐 ) = 2 ( t ，z 2 ( t ) ) ( n 2 ( t ) 一6 2 ( t ) z 2 ( t ) ) ， 十d 2 ( t ) 1 ( t 一亿) 一z 2 ( t ) ) + 岛( t ) ，、。 秒 ) = b ( t ，y l j c ) ) ( n 3 ( ) 一6 3 ) y ( t ) 一p ( t ) j 二七( s ) 秒 + s ) d s c 3 0 ) z l ( t ) ) + 岛( 亡) 利用重合度理论得到了系统( 1 1 ) 的正周期解存在的充分条件陈福 来和文贤章教授【2 5 1 讨论了一类具有扩散和放养的时滞竞争系统 l 吐q ) = z l ) p l ( t ) 一o l ( t ) z 1 ( t ) 一6 1 ( t ) 可 ) 一口l q ) ，尼l ( s ) z l ( t + s ) d s 】 i+ d l ( t ) 陋2 ) 一z l ) 】+ & ) ， ( t ) = z 2 ( t ) r 2 ( t ) 一n 2 ( t ) z 2 ( t ) 一q 2 ( t ) ，羔乜( s ) z 2 ( t + s ) d s 】 i + d 2 ( t ) p l ( t ) 一z 2 ( t ) 1 + 岛( ) ， i 矿( t ) = ( t ) h ( t ) 一n 3 ( t ) z l ( t ) 一6 3 ( t ) y ( t ) 】+ 岛( t ) ( 1 2 ) 利用重合度理论得到了系统( 1 2 ) 的正周期解存在的充分条件 本文在第二章利用重合度理论 2 1 讨论了具有b e d 也哪d n 型功能 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 性反应的l 疣后。一y f ) f t e r r o 捕食者一食饵系统 得到了该系统的正周期解存在的充分条件 二、一类具自食现象的生物经济模型的周期性 近年来，具有阶段结构的数学模型被许多数学工作者研究，这 不仅是因为它比由偏微分方程描述的模型要简单，而且它能够得到 象偏微分那样的结果对于这些模型的分析，2 0 0 1 年前的文献都是 涉及平衡态的稳定性和周期解的存在性2 0 0 m 2 0 0 2 年已有一些文献 【2 6 ，2 7 ，2 8 】讨论了非自治阶段结构模型的持久性、周期解的存在性及 全局稳定性，目前为止，讨论有自食现象的阶段结构模型的文献很 少自食现象是许多种群共有的自然现象，比如鱼类种群在食浮 游生物中这种现象时常发生，而且还有助于提供该物种的食物来源 【2 9 】，因此，自食对种群的结构和动力学行为有重要的影响 在大自然中存在这样一种生物群，其成年种群会吃自己的幼年 种群或蛹这类模型为 z i ( 。) 2 毗( 。) 一，y z l ( t ) 一q z 2 ( 。一丁) 一u 2 z l ( 她( 2 ) ，( 1 4 ) iz ：( 亡) = q e 一 z 2 一7 - ) 一卢z ；( t ) + u 1z 1 ( t ) z 2 ( t ) 、 吴建宏( 1 9 8 6 ) 研究了模型( 1 4 ) 的正平衡点的局部稳定性以及h 叩， 分支现象 本文在第三章，利用重合度理论研究了非自治的具时滞的自食 撩吣一 雨+ 毗吼丽 一酬一醐盟以协舢+ 业忡啦咖业霉 1 d 墙d ，l f ，l i ，ln l 仡k rl rl i 、j、j、j、：， 帆一一 l l 2 l，】、划训划觑北 4 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 系统的开发模型 i 研( t ) = a l ) z 2 ( t ) 一7 ( ) z l ( t ) 一o ，2 ( t ) z 2 ( 亡一7 - ) 一“屹( t ) z i ( 古) z 2 ( t ) + f ( 古) ， 【吐( t ) = 口2 ( t ) z 2 ( 亡一7 - ) 一p ( t ) 雹( z ) + u l ( t l ( t ) 现( t ) 一日( t ) ( 1 5 ) 的正周期解的存在性 三、脉；中非自治捕食食饵系统的持久性和周期性 随着科学技术的飞速发展，人们发现脉冲微分方程较之相应的 不带脉冲的微分方程能更真实地反映自然界发展过程的某些现象 科学和技术的许多领域如理论物理、机械、种群动力系统、流行病 动力系统、工业控制、生物、技术经济等许多方面的变化规律都可 以用脉冲微分方程来刻画或描述，这使得对脉冲微分方程的研究更 具有现实意义由于脉冲泛函微分系统的广泛应用，对该系统的研 究逐渐成为热点 捕食者食饵系统是非常重要的生态系统，已有许多相关研究 成果报道文献【3 0 ，3 1 】研究了收获或投放对捕食者食饵系统的影 响，其假设人类的活动是连续的然而实际生活中人类对外界资源 的管理和开发是季节性的或离散的，同时考虑到种群活动具有明显 的周期性等因素，应该用非自治脉冲微分方程对这类离散干涉模型 进行描述【3 2 ，3 3 】张树文和陈兰荪教授【3 4 】研究了具有脉冲效应的捕 食者一食饵系统 搓 ) = z l ( t ) r l ( t ) 一n ( t ) z l ( t ) 一6 ( ) z 2 ( 亡) 】，t t 七， 嚣篙( t 墨掌p “d 】箸麓七叫 6 ， t 孝) = ( 1 + c 七) z l ( t 知) ， t 七= 七t 七， 、 t 者) = ( 1 + 也) 勋( t ) ， “= 七e 七， 的正周期解，本文在第四章，利用比较原理和单调性，研究了具有 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 脉冲和功能性反应的非自治捕食者食饵系统 ( t ) 一。( t ) z ( t ) 一考影( t ) 】， ( t ) + 器端z ( t ) 一9 ( t ) 妙( ) 】， k ) z ( 如) ， k ) 可( t k ) ， 亡“， ：皇麓七叫 7 ， “= 后z 七， 、 t 七= z 七 获得了一些该系统持久性和正周期解及其全局吸引性 p p + m 坩+ + t t t l l 球舭小小i卜卜 t t r 1 _ 馕对对 ， ，li 胡矾q 叭 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 2 具有放养的时滞捕食扩散系统的正周期解的存在性 2 1 引言及引理 关于具放养的种群模型动力学行为的研究是生物经济学一个非 常重要的课题，越来越引起中外数学工作者的兴趣自从l 舢饥 3 5 】建 立了缀块环境生态系统的l 优托一y o z e ，- r o 模块以来，大部分工作集中 在对不含放养项的捕食者一食饵系统的研究 3 6 3 9 】，研究带扩散和 放养的捕食者食饵系统的文献还很少，如【4 0 】本文利用重合度理论 【2 】给出了具有扩散和放养项的两种群两缀块的时滞l 础七。一y 魂t e r r a 捕食者一食饵系统的正周期解的存在性 考虑如下两种群两缀块的时滞l 疣梳一y d l 把r r n 捕食者一食饵系 统 f 硝( t ) = z - ( t ) p l ( t ) 一n t ( t ) z - ( 亡) 一而高 i一口l ( t ) ，七1 ( s ) z l + s ) d s 】+ d l ( t ) k 2 ( t ) 一z 1 ( t ) 】+ & ) ， z ：( t ) = z 2 ( t ) h ( t ) 一眈( t ) z 2 0 ) 一o ，2 ) 巴乜( s ) z 2 ( t + s ) d s 】 ( 2 1 1 ) i+ 仍( t ) k l ( t ) 一z 2 ( t ) 】+ ) ， 【矿( t ) = y ( t ) 卜r 3 ( t ) + 丽爵等笔】+ 岛( t ) 其中，当可在缀块一中捕食的时候，种群z 可以在两缀块间互相扩 散，以躲避天敌，而种群可被限制在缀块一中不能扩散，黾( t ) a = 1 ，2 ) 表示种群z 在第i 个缀块中的密度，皿( t ) ( 江1 ，2 ) 表示种群z 在缀 块i 与另一个缀块之间的扩散系数，考虑系统与过去的状态有关， 我们引入时滞项锄( t ) ，( s ) 如( t + s ) d s ( i = 1 ，2 ) ，可( t ) 表示种群在第一 个缀块中的密度，& ( ) ( 江1 ，2 ，3 ) 表示放养系数 为了更好地描述系统( 2 1 1 ) ，假设 ( 日1 ) 心( ) ，啦( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ，6 ( t ) ，c ( t ) ，危( t ) ，u ( ) ，都是严格正的连续r 一 - 8 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 周期函数； & ( 亡) g = 1 ，2 ，3 ) ，现( ) ，( t ) ( i = 1 ，2 ) 是非负连续的t 一周 期函数 ( 飓) ( s ) o ，s 【一下，0 】其中7 - o ；( s ) 分段连续且满足 仁( s ) d s = l ，i = 1 ，2 下面，我们先介绍两条引理 设c ( _ 丁，0 】，兄n ) 是卜丁，o 】上连续向量函数全体，简记为g 定义 范数为 妒c ，0 妒l l c = s l l pi i 妒( 9 ) 1 1 口【- 下 o 】 这里i | i l 是冗n 上的范数，对札= ( “，札2 ，u n ) 舒，l = l 乱t i 这里 g 便赋c 以一致收敛拓扑记初始时刻为呒盯r ，a o 是指定的常 数或为+ o o ，对v t p ，盯十州记”力为右导数，z ( t ) c ( 【仃一下，盯十乱形) ， 再记z t = z t ( p ) = z ( t + 口) ，口【_ 丁，o 】 我们考虑如下泛函微分方程 ，( t ) = 厂( t ，死，a ) 这里，：冗c 【0 ，1 1 _ 彤是全连续的，并且存在t o ，使得对于任 意( z ，妒，a ) 月c 【o ，1 】，( t + z 妒，a ) = ，( t ，妒，a ) 与文【4 1 1 中命题的证明类似，我们能得到下面引理 引理2 1 1 ( n ) 对系统 z 7 ( t ) = a ，( ，锄，a ) ，a ( 0 ，1 ) 的任意t 一周期解z ( t ) ，存在常数m o ，使得对于任意t r ，有 忙( 圳 ( 考) + q 扣胁，r ： q 警e m l ，( c 6 ) e m l 如( 胪+ e m l ) 则方程( 2 1 1 ) 至少存在一个t 一正周期解 证明作变换奶( t ) = e 撕( t g = 1 ，2 ) ，可( t ) = e “s ( 蚰，则系统( 1 1 ) 变为 ft 正i ( t i t 正( t l i i 吗( t = r l ( t ) 一o l ( 亡) e 州) 一而者麟莉一口l ( ) 下后l ( s ) e m 件。d s + d l ( t ) e 忱( t ) 一缸t ( 。) 一d l ( t ) + 岛( t ) e u l ( 扪， = r 1 2 ( t ) 一8 2 0 ) e u 2 ( ) 一口2 ( t ) ，七2 ( s ) e ”2 ( 。+ 。) d s + d 2 ( t ) 酽- ( ) 一心：( 。) 一d 2 ( t ) + s 三( t ) e 一撕( 扪， = 一r 3 ( t ) + 丽丽等娶霹繁丽+ s ( t ) e 咄水 容易看出，如果系统( 2 2 1 ) 有一个t 一周期解( “：( t ) ，札；( 亡) ，心；( t ) ) r ， 则( z ：( t ) ，z ；( 亡) ，旷( t ) ) t = ( e 印札：( t ) ，唧“；( t ) ，e x p 仳( t ) ) t 是系统( 2 1 1 ) 的 一个正周期解因此下面我们证明系统( 2 2 1 ) 有一个t 一周期解 1 0 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 令c ：= c ( 【- lo 】，兄3 ) 定义算子，：尺c 0 ，1 j _ 兄3 如下： 厂( t ，妒，入) = ( ( t ，妒，a ) ，儿 ，妒，a ) ， ，妒，a ) ) ，妒= ( 妒l ，妒2 ，妒3 ) c ，入 o ，1 】 其中 ( t 妒，a ) = r 。( t ) 一n t ( t ) e 妒- ( o ) 一a 元i ；孬_ = # i 皇；2 一入a l ( t ) 七l ( s ) t ( 8 ) d s + 入j d l ( t ) e 妒z ( 0 ) 一妒t ( 0 ) 一a d l ( t ) + 入s l ( t ) e 一妒l ( 0 ) ， 如( t ，妒，a ) = 仡( t ) 一n 2 ( t ) e 忱( o ) 一入a 2 ( t ) 七2 ( s ) e 垆：( 。) d s + 入d 2 ) e 妒l ( o ) 一忱( o ) 一入d 2 ( t ) + 入兜( t ) e 一仰( 0 1 ， ( t ，妒，a ) = 一r 3 ( t ) 十面面i 三舅譬+ a 岛( t ) e 一忉( 0 ) 显然，：r c 【0 ，1 1 _ 舻是完全连续的，且系统( 2 2 1 ) 可表示为 相应地考虑系统 即 ( 亡) = ，( t ，u 幻1 ) 心( t ) = 入，( t ，毗，入) ，入( o ，1 ) u = a r l ( t ) 一n l ( t ) e 啪) 一a 丽若雠勃 一入口l ) j 二七l ( s ) e u o + 口) d s + 入d l ( t ) e “z o ) 一u - o ) 一a d l ( t ) + 入& ( t ) e ( 。 ， ，oo ，) 、 “： ) = a 【r 2 ( t ) 一眈( t ) e u z ( t ) 一a 口2 ( 亡) ，! 乜( s ) e 心：o + s ) d s 。“4 + a d 2 ( t ) e “t ( 。) 一。( 。) 一入d 2 ( 亡) + a ( t ) e u 。( 。) ) ， 牡j ( t ) = a 一r 3 ( t ) 十丽万乏瓮篙辈勃+ 入& q ) e 一蛳( 。) 】- 设( 让l ( t ) ，札2 ( t ) ，u 3 ( t ) ) t 是系统( 2 2 2 ) 的t 一周期解选取已，【o ，卅 使得 u t ( 釉。蹦仳地u t ( 吼) - 。嗽札m 谂1 ，2 ，3 某些泛函截分方程的正周期解的存在性 1 1 显然 ： ) = o ，仳：( 仇) = o ，i = 1 ，2 ，3 结合系统( 2 2 2 ) 可得 叫咱慨矽瓶l a 丽善游去网 粕水。) 仁姒s 渺+ | ) d s + 协) 【篇- 1 】 + a 裂- 0 吃( 已) 一n 2 ( 巳) e “。池) 一a q 2 ( 已) 七2 ( s ) e 。他扣) d s ，o ，一r 伽2 ( 刨篇叫+ a 裂- 0 咱( 卅丽普掣蓑网+ a 裂- o 以及 r-(叩-)一。(叼t)e“小，一a元i；元了二f萎妥毫萼； 砒炯。) 。咖州m + s + 弛) 【篇_ 1 】 砒( ，一佃1 + d s + 弛( 【篙一1 】 + a 涨_ 0 r 2 ( 啦) 一。：( 叼2 ) e 坳恸) 一入口2 ( 啦) 仁乜( s ) e 地沏+ 。) d s 舢2 ( 酬筹_ 1 】+ a 涨= o ，+ a d 2 ( 啦) 【丽两一1 】+ a 吾等岩= o ， 飞( 卅丽等料案南+ a 鬻o 下面分别对札；f 已1 m f 豫1f 江1 ，2 3 1 进行讨i 合 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 首先，对于札；( 锄“= 1 ，2 ) ，( 2 2 9 ) 式或( 2 2 1 0 ) 式必有一个成立 1 2 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 仳2 ( 2 js 让1 k 1 ) s 朋isa 4 1 ，( 2 2 9 j 乱1 ( 1 ) 札2 ( 已) s 绣舰，( 2 2 1 0 ) 这里 懈：= l n 三( 三) “+ 三圻( 三) 中+ ( 鲁) u 】， 蟛：= l n 丢( 三) “+ 三析( 乏h z + ( 鲁川， m ：= m a x 嵋，蟛 下面分两种情形进行讨论 情形1 若u l ( - ) 乱2 ( 已) ，则让( ) 让2 ( - ) 由( 2 2 3 ) 式可得 n l ( 1 ) e 2 1 - ( e 1 ) 一r l ( 1 ) e l ( e 1 ) 一s l 健1 ) 0 ， 心订一( 嚣心m 恤l ( 等) g e 虮( 1 ) 丢( 三) u + 三 【( 三川2 十4 ( 鲁卜 “。他) “t ( f t ) l n 三( 三) u + 三v i ( 暑) 中+ 4 ( 鲁) 1 ：= 孵 ( 2 2 1 1 ) 情形2 若让( - ) u 2 ( 已) ，则让l ( ) 札2 池) 由( 2 2 4 ) 式可得 n 2 ( 已) e 2 乜z 他) 一您( 已) e q 。( 缸) 一岛( 已) 0 ， 类似于( 2 2 1 1 ) 式的推导，我们有 乞- ( 札。) l n 三( 乏) 1 + 三彬( 三) 牛+ 4 ( 鲁h ：= 蟛 ( 2 2 1 2 ) 再者，对于讹( 绣) ( i ：1 ，2 ) ，( 2 2 1 3 ) 式或( 2 2 1 4 ) 式必有一个成立 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 1 3 这里 m ls m ：似l ( ，7 1 )st 正2 ( 叼2 ) ， m ls 呓st 正2 ( 啦) “l ( ，1 ) ， 啼_ l n 【盟哿业l ， 嘭- n 【瓮芋】 m l ：= m i n 【m ：，m ；】- 下面分两种情形进行讨论 情形1 若u l ( f 7 1 ) u 2 ( 7 7 2 ) ，则札l ( ，7 1 ) 仳2 ( 叼1 ) 由( 2 2 6 ) 式可得 r - ( 叼- ) n ( 叼t ) e “l n 。+ a 元石再了_ = f 警要；若罢 挑砌t ) 仁姒s ) e m 帆+ 。) 电 嘣妯m 渺1 ) + 器怕妒， 少陬，盟鲨， 州独 _ 鲨】= = m ： 情形2 若让1 ( 叼1 ) 牡2 ( 啦) ，则“l ( 叼2 ) “2 ( 叩2 ) 由( 2 2 7 ) 式可得 r z ( 啦) n 。( 化) e 锄细：) 十“z ( 啦) 仁如( s ) e 地( 啦扣) d s ， e “2 ( 】2 ) 呓一q 兰e 尬 n 墨 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 1 4 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 姒 l n 【乏芋j ：= 仇参 ( 2 2 1 6 ) 最后，我们讨沦仳3 ( t ) 对系统( 2 2 2 ) 的第三个方程从。到t 积分可得 知啦t = z t 蒜z t 裂出= 忍e 仁2 ， 由积分中值定理知道，| t 0 ，卅使得 由( 2 2 1 8 ) 式有 恐= 丽筹辫篙丽十a 嚣 ( 2 2 m ， 桫) l n 继专掣卜m 骞 ( 2 2 2 0 ) 由( 2 2 2 ) 的第三个方程有 z rl 仳：( t ) i d t z r 珊( t ) d t + z r 元币了j ；耋2 皂d t + 入z r 裂拈2 r 而， 协2 m ， 因此，对于任意t 【0 ，l l 让3 ( t ) su 3 ( 扩) + z t l 乱：( 圳出瞄十2 t 忍：= 尬( 2 2 2 2 ) ，r 坳( t ) 坳( 矿) 一z i 嵋( t ) i 班2m ；一2 t 吩：= m 2 ( 2 2 2 3 ) 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 - 1 5 结合( 2 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 6 ) ，( 2 2 1 7 ) ，( 2 2 2 2 ) ，( 2 2 2 3 ) 式，我们有 蹴m 2 ) l sm a d c l m l i ，i m 2 i ，i m l l ，i m 2 1 ：= m 。 这里( 口f ，味咭) t 是系统 篓跫。 出，= ( 一蓬) 。 d e 夕 夕，( r 3 ) ，o = s 夕n ( 一1 ) 3 a l a 2 面酽：+ 呓+ t ； = 一1 ( 札：( t ) ，牡；( t ) ，“；( t ) ) t ，从而系统( 2 1 1 ) 至少有一个正周期解 ( z ：( t ) ，z ；( t ) ，3 ，( t ) ) t = ( e x p u ： ) ，唧“；( 亡) ，e x p 嵋( t ) ) t 1 6 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 推论1 若系统( 2 1 1 ) 中& ( t ) 三o ，( 江1 ，2 ，3 ) ，在假设( 日1 ) ，( 飓) 之 下，如果成立 ( 风) ：r p ( 尝) 1 + q 警慨，r q 兰， ( c 6 ) 2 e m t 忍( 九u + ) 这里= 黔 ( 詈) “ ，则系统( 2 1 1 ) 至少存在一个正丁一周期解 推论2 若系统( 2 1 1 ) 中不考虑过去状态的影响，即q ；( t ) 兰o ( 忙 1 ，2 ) 在假设( 日。) ，( 飓) 之下，如果成立 ( 风) ：r i ( 三) “，( 圳2 砜 恐( 胪十) 这里咖= m i l l 每# ，毒 则系统( 2 1 1 ) 至少存在一个正丁一周期 解 注记从定理和推论1 ，推论2 知扩散率d i ( t ) g = 1 ，2 ) 对系统 ( 2 1 1 ) 的正周期解的存在性是没有影响的 某些泛函微分方程的正周期解的存在性 1 7 3 一类具自食现象的生物经济模型的周期性 3 1 引言及引理 自食现象是许多种群共有的自然现象，比如鱼类种群在食浮 游生物中这种现象也时常发生，而且还有助于提供该物种的食物来 源，因此，自食对种群的结构和动力学行为有重要的影响 在大自然中存在这样一种生物群，其成年种群会吃自己的幼年 种群或蛹这类模型为 j 硝( ) = q 娩( t ) 一7 z l ( ) 一q e 叩z 2 ( 2 7 - ) 一忱z l ( 2 ) z 2 ( 。) ，( 3 1 1 ) i 畦( t ) = qe 一圹z 2 一丁) 一p 遥 ) + u lz l ( t ) z 2 ( t ) 、7 其中，z 。( ) ，z 2 ( t ) 分别表示幼虫和成虫的密度，项忱z - ( ) z ：( t ) 代表在 单位时间内被吃掉的幼虫数量，而u 。z - ( t ) z 。( t ) 代表的是成虫吃了幼 虫后所减少的死亡率考虑如下的非自治的具时滞的自食系统的开 发模型 l 吐( t ) = q l ) z 2 ( 亡) 一，y ( t ) z l ( t ) 一o ，2 ( t ) z 2 ( t 一1 ) 一u 2 ) z l ( t ) z 2 ( t ) + f ( t ) ， 【吐( 亡) = a 2 ) z 2 一7 ) 一p ( t ) z ；( t ) + u l ( t ) z l ) z 2 ( t ) 一日( t ) ( 3 1 2 ) 其中f ( t ) 表示放养系数，日( t ) 表示收获率本文利用重合度理论给 出了非自治的具时滞的自食系统的开发模型正周期解的存在性 为了更好的描述系统( 3 1 2 ) 假设 ( 日1 ) q i ( t ) ，咄( t ) = 1 ，2 ，) ，p ( t ) ，y ( ) ，都是严格正的连续t 一周期函 数；f ( 亡) ，h ( t ) ，是非负连续的t 一周期函数 下面，我们先介绍两条引理 设c ( 【一lo 】，彤) 是 一lo 】上连续向量函数全体，简记为c ，定义 1 8 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 范数为 妒c ，i i 妒i i g = s u pf i 妒( 口) i j p 【一下，o j 这里i 是舻上的范数，对仳= ( 仳。，缸。，仳住) 形，i = 这里 c 便赋c 以一致收敛拓扑记初始时刻为吼盯r ，a o 是指定的常 数或为+ o o ，对p ，盯+ 州记圳”为右导数，z ( t ) c ( p 一下，仃+ a 】，毋) ， 再记z t = z t ( p ) = z ( t + 口) ，口【一丁，o 】 我们考虑如下泛函微分方程 ( t ) = ，( t ，也，入) 这里，：兄c 【0 ，1 】_ 形是全连续的，并且存在t o ，使得对于任 意( t ，妒，a ) 兄c 【o ，1 】，( t + e 妒，a ) = ，( t ，妒，a ) 与文【4 1 1 中命题的证明类似，我们能得到下面引理 引理3 1 1 ( n ) 对系统 z ) = a ，( t ，z t ，a ) ，a ( o ，1 ) 的任意t 一周期解z ( t ) ，存在常数m o ，使得对于任意t 兄有 忙( 刚 o ，u i m l 一日t o 则方程( 3 1 2 ) 至少存在一个丁一正周期解 证明作变换毛( t ) = e 眦( 。a = 1 ，2 ) ，则系统( 3 1 2 ) 变为 l t 正i ) = 口l ( t ) e u 2 ( 。) 一1 - ( 。) 一7 ( ) 一a 2 ( t ) e u 2 ( 一r ) 一“t ( t ) 一“匕( t ) e 地( ) + f ( ) e u t ( 们， ( 3 2 1 ) 【让：( ) = o 匕( t ) e 坳。一r ) 一“2 ( 2 ) 一p ) e “。( 。) 十u l ) e u t ( d 一日( t ) e u ：( 容易看出，如果系统( 3 2 1 ) 有一个t 一周期解( u ；( t ) ，仳；( t ) ) t ，则 ( z ：( 亡) ，z ；( t ) ) t = ( 唧仳f ( t ) ，e ) c p 让；( t ) ) t 是系统( 3 1 2 ) 的一个正周期解 因此下面我们证明系统( 3 2 1 ) 有一个丁一周期解 令c ：= c ( 【- lo 】，兄2 ) 定义算子厂：冗c 【o ，1 】_ r 2 如下： ，( t ，妒，a ) = ( ( t ，妒，a ) ，丘( t ，垆，入) ) ，妒= ( 妒l ，妒2 ) c ，a 【o ，1 】 其中 ( z ，妒，a ) = a a l ) e u 2 ( t ) 一u l ( 。) 一，y ( 亡) 一a 眈( ) e 抛。一r ) 一u t ( t ) 一九比( t ) e “2 ( 。) 十f ( t ) e u t ( ， 厶( t ，p ，a ) = a a 2 ( ) e q 2 ( 。一r ) 一2 ( 。) 一( t ) 矿：( 。) + u i ( 芒) 矿( 。) 一a 日( t ) e 一切( t 】 - 2 0 湖南师范大学2 0 0 8 届高校教师在职硕士学位论文 显然，：冗c 【0 ，1 】_ 辟是完全连续的，且系统( 3 2 1 ) 可表 示为 相应地考虑系统 即 得 ( t ) 一厂( 亡，札t ，1 ) t 正7 ( t ) = a ，( t ，“t ，a ) ，入( 0 ，1 ) t 正i ( t ) = a a q l ( t ) e “。( 。) 一t ( t ) 一，y ( t ) 一a 口2 ( t ) e q 。o 一7 ) 一- ( t ) 一a u 2 ( t ) e 地( ) + f ( ) e 一l ( 。) ， t 正：( t ) = a a a 2 ) e t 2 ( 2 1 。) 一“z ( 。) 一卢 ) e “。( 。) 十u l ( t ) e u t ( 。) 一a 日( t ) e 一“。( 。) ( 3 2 2 ) 设( 仳l ( t ) ，u 2 ( t ) ) t 是系统( 2 2 ) 的t 一周期解选取已，讹【0 ，卅使 显然 蚴( 锄2 掰仳m 仳i ( 吼) - 。慨啦( 2 ) ，i = l ，2 仳：慨) = o ，让：( 讹) = o ，i = 1 ，2 结合系统( 3 2 2 ) 可得 以及 a a l ( 毒1 ) e 口： - ) 一“- 代- ) 一，y ( 1 ) 一入q 2 ( 专1 ) e 1 2 ( - r ) 一u t 代- ) 一a u 2 ( 1 ) e “：( h ) + f ( 1 ) e 一- ( - ) = o ，( 3 2 3 ) a a 2 ( 已) e “。馐：f ) 一“。( e 。) 一卢( ) e “：( 6 ) + u 1 ( 巳) e 1 - ( 已) 一