（基础数学专业论文）时间尺度上的非线性动力方程边值问题.pdf

摘要 摘要 本文利用拟线性化方法研究了时间尺度上非线性动力方程多点边值问题的求解方法 拟线性化方法是在方程的上下解存在的条件下，构造出一致收敛于边值问题解的单调逼近解 序列，并且指明收敛速度全文共分四章 第一章简述了时间尺度上的动力方程边值问题的应用背景、研究现状及本文的主要工 作 第二章介绍了时间尺度上的基本概念、基本运算及其性质 第三章利用拟线性化方法研究了时间尺度上非线性动力方程三点边值问题的求解方法， 得到两个一致收敛于边值问题唯一解的单调解序列，而且是二阶收敛的 第四章讨论了时间尺度上非线性动力方程m 点边值问题的求解方法利用拟线性化方 法构造出两个一致收敛于边值问题唯一解的单调解序列，并且它们是七( 尼2 ) 阶收敛的 关键词时间尺度；边值问题；拟线性化方法；上下解；收敛 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eq u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o di 8a p p l i e dt oi n v e s t i g a t et h e 印p r 0 8 u c ht o t h es o l u t i o no ft h en m l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so n t i m es c a l e s t h eb a s i ci d e ao ft h em e t h o di st h a tt h em o n o t o n es e q u e c e so fa p p r o ) d m a t e s o l u t i o n sa r ec o n s t r u c t e d1 ) yt h eu p p e ra n dl 陀rs o l u t i o n so fb v p sa n dt h ec o i l v e 玛e n c ei 8 o b t a i n e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff b u rc h a p t e r s 。 i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o 珂o ft h es t u d ya b o u tt h em u l t i - p o i n tb v p so fn o n l i n e a rd y n a m i c e q u a t i o n so nt i m es c a l e si si n t r o d u c e da u c c o m p a n i e dw i t hs o m ep r i n t so fp r e s e n tw d r k a u sw e u a st h em a i nw o r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，b a s i cn o t i o n sc o n n e c t e dt ot i m es c a l e sa r eg i v e n ，a n dt h ec a l c u l u so nt i m e s c a l e sa n dr e l a t e df u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，t h et h r e e - p o i n tb v p so ft h en o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s a r es t u d i e d t h eq u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt 0b v p sa n dt w om o n o t o n e8 e q u e n c e s a r ec o n s t r u c t e dw h i c hc o n v e r g eu n i f o r m l yt ot h eu n i q u es 0 1 u t i o no fb v p s m o r e o v e r ，t h e o r d e ro ft h ec o i l v e r g e n c ei s ( m a d r a t i c i nc h a p t e r4 ，t h em - p o i n te ；v p so ft h en o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e 8a r e d i s c u s s e db yt h eq u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o d ，t w om o n o t o n es e q u e n c e sa r ec o n s t r u c t e dw h i c h c o n v e r g eu n i f o r m l yt ot h es o l u t i o no fb v p sa n dt h eo r d e ro ft h ec o n v e r g e n c ei s 尼( 后2 ) k e y w o r d s ： t i m es c a l e s ；b o u n d a 巧v m u ep r o b l e i 璐； q u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o d ； u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ；c o n v e r g e n c e i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密、，。 ( 请在以上相应方格内打“巾) 作者签名： 导师签名： 日期：乏堡2 晦白上日 日期：五之鱼群么月一白 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为够扣缈次蜘爿 绫恸力新弘蝴学位 论文，是我个人在导师( 乒惑免指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 作者签名： 导师签名： 日期： 日期： 2 垒垒星年上月上日 五望翌星年厶一日 第一章引言 第一章引言 1 1时间尺度上的非线性动力方程边值问题的发展概况 随着科学技术的发展，非线性问题在自然科学和社会科学领域的作用越来越大，也 越来越受到人们的关注在物理、化学、生物工程、能源环境、工程技术、医药，甚至社 会经济等问题中都存在着大量的非线性问题，而这些问题的研究最终可归结为连续系统 问题或离散系统问题1 9 8 8 年h i l g e r 在他的博士论文【1 】最早提出时间尺度的概念，从 此时间尺度迅速发展成较为完整的理论这一理论将连续系统和离散系统统一起来，形 成了时间尺度上的动力方程，即方程的未知函数的定义域为时间尺度当时间尺度是实 数集时，时间尺度上的动力方程就退化为微分方程；当时间尺度是整数集时，则退化为 差分方程因此，时间尺度上的研究结果更具有一般性，而且更具有广泛的应用前景 如生物学、热力学等领域的许多实际问题，都是通过建立数学模型来研究的，这些模型 都是时间尺度上的动力方程这些实际的应用背景使得时间尺度上的动力方程问题得到 关注，并取得了许多研究成果，如 2 4 】 随着非线性理论和时间尺度理论的逐步完善，时间尺度上的非线性动力方程边值问 题受到广泛关注，尤其是时间尺度上的非线性边值问题求解方法的研究成为目前研究的 热点之一拟线性方法【5 】是非线性微分方程的一种非常有效的求解方法目前，这种方 法在时间尺度上的应用已得到广泛关注 从2 0 0 0 年开始，a l 【i n 、e l o e 和a t i c i 等学者利用拟线性方法或广义拟线性方法【6 】 对时间尺度上非线性动力方程边值问题求解问题展开研究，且取得了许多重要的成果， 如 7 - 2 0 】等，这些主要是基于两点边值问题求解方法的研究 上世纪八十年代，k i g u r a d z e 和l o m t a t a d z e 等提出非线性动力方程多点边值问题 1 9 9 2 年，c u p t a 开始研究微分方程三点边值问题对于三点或多点边值问题的研究主要 集中在解的存在性、正解的存在性问题上 文献【2 1 2 3 】分别研究了时间尺度上三点边值问题 庐v ( t ) + 。( t ) m ) 3 ( ! ，【? ，习c t ( 1 1 。1 ) i u ( o ) = o ，q 钍( 7 7 ) = “( 丁) 、 7 其中，7 ( o ，p ( 丁) ) n 且o q o ，叩( o ，p ( 丁) ) ，o o ，p 1 ) 正解的存在性，使用的主要工具是锥上的不动 点理论 文献 2 4 】研究了时间尺度上多点边值问题 f 庐v ( ) + ，( ，z ) = o ，t 【o ，卅ct ， 1 剐0 ) _ 伊( 0 ) - 0 徊) 一譬n 娟) 扎m 3 ( 1 1 4 ) 7 ( 1 一口t ) o 利用泛函锥上扩张压缩不动点理论证明了正解的存在性 t = 1 总之，关于时间尺度上的非线性动力方程边值问题多点边值问题的求解方法研究较 少，因此利用拟线性方法对时间尺度上非线性动力方程多点边值问题的进一步研究在理 论上还是在实际应用上都有重要意义 2 - + 已m 譬烈 一 丁 8且 并 r 已毗 帕试 0丁 p 一知 o ，a o ，p2o ，o o ，o 1 已 岛一2 p ( t ) ，o t ) ， 则称盯：t 一为向前跳跃算子；若存在p ( t ) t ，使得 p ( t ) = s u p s t ：s t ) ， 则称p ( 亡) ：- _ 为向后跳跃算子特殊地，定义i n f 谚= s u p - l 即当t 是t 中的最大值 时，盯( t ) = t ；s u p 谚= i n f 即当是中的最小值时，p ( t ) = t 定义2 1 2 若p ( ) t ，则称t 是右散点；若t 既是左散 点又是右散点，则称亡是孤立点；若亡 i n ft 且p ( t ) = t ，则称t 是左稠的；若t o 邻域 u = ( 亡一正亡+ 6 ) c ，使得对所有的s u ，都有 i ，( 盯( 亡) ) 一，( s ) 一，( ) ( 盯( t ) 一s ) i e i 伊( ) 一s i ， 那么称，( t ) 为函数，在t 处的一导数 定义2 2 2 对于函数，：- 一r ，t 仉，若对于任意的e 0 ，存在的6 0 邻域 u = ( t 一6 ，亡+ 6 ) c ，使得对所有的s u ，都有 i ，( j d ( 亡) ) 一，( s ) 一，v ( t ) ( j 9 ( ) 一s ) i e i p ( t ) 一s i ， 则称，v ( ) 为函数，在t 处的v 一导数 注2 2 1 若t = r ，则，( t ) = ，v ( t ) = ，7 ( 亡) ；若t = z ，则厂( t ) = ，( 亡) = ，( t + 1 ) 一，( t ) 且，v ( ) = v ，( 亡) = ，( ) 一，( t 一1 ) 下面介绍一导数和v 一导数的性质定理 定理2 2 1 设函数，夕：t r 且t 畔，则 ( 1 ) 若，在t 处可导，则，在处连续 ( i i ) 若，在处连续且是右散点，则，在处一可导且 垆掣 ( 俐) 若，是一可导的且是右稠点，则 = 烛等掣 ( t ”) 若，在亡处一可导，则 ，( 盯( ) ) = ，( 亡) + p ( ) ，( 亡) 定理2 2 2 设函数，夕：t _ r 且亡吼，则 ( i ) 若，在t 处v 一可导，则，在t 处连续 第二章时间尺度上的微积分 ( i i ) 若，在处连续且t 是左散点，则，在处v 一可导且 归紫b ，一一厶 ( 俐) 若厂是v 一可导的且t 是左稠点，则 问= 粤等掣 ( i ) 若，在t 处v 一可导，则 ，( j d ( t ) ) = ，( t ) + ( p ( t ) 一) ，( t ) 定理2 2 3 设函数，夕：t _ r 在t 吼处一可导，则 ( i ) 厂+ 夕：t _ r 在t 处一可导且 ( ，+ 夕) ( t ) = ，( ) + 夕( 亡) ( i i ) 对任意常数q ，q 厂在t 处一可导且 ( a ，) ( t ) = q 厂( ) ( 谢) 向： 一r 在处一可导且 ( ，9 ) ( ) = ，( ) 夕( ) + ，( 盯( t ) ) 9 ( z ) ( i u ) 若夕( ) 夕( 盯( ) ) o ，则吾在处一可导且 c 弘，= 掣榉 特殊地，当，( ) ，( 盯( t ) ) o 时，睾在t 处一可导且 c 净，= 蒜 为了定义积分，我们引入两个概念t 定义2 2 3 设函数，：t r ，若，在右稠点连续且在左稠点左极限存在，则称，右 稠连续记作，g d ( ) 定义2 2 4 设函数，：t r ，若，在左稠点连续且在右稠点右极限存在，则称，左 稠连续记作，q d 口) 河北大学理学硕士学位论文 定义2 2 5 设函数f ：俨_ r ，若对于任意t 俨，有f ( t ) = ，( 亡) 成立，则称f 为函数，：叶r 的原函数 在此情形下，定义，的积分为 z 。小) s = 邢) 一m ) ，耽t 定义2 2 6 设函数g ：仉_ r ，若对于任意t 弧，有g v ( t ) = ，( t ) 成立，则称g 为函数，：t _ r 的v 原函数 在此情形下，定义厂的积分为 z 2 m ) v s = g 一g ( 。) ，t 注2 2 2 若t = r ，则 z 6 ，( t ) = z 6 ，( t ) v t = 6 ，( 亡) 出； 若r = z ，则 z 6 邢凼= 酗， z 6m 肭= 七妇n - 8 第三章时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 第三章时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 本章主要研究时间尺度上非线性动力方程三点边值问题的求解方法利用拟线性化 方法构造出两个收敛于边值问题解的单调逼近解序列，并且讨论了序列的收敛速度问题 3 1 非线性动力方程三点边值问题 当非线性项具有凸性时，利用拟线性化方法来研究时间尺度上非线性动力方程三点 边值问题的求解方法；当非线性项不具有凹凸性但加上个凹或凸函数后具有凹凸性时， 利用广义拟线性化方法来讨论 考虑时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 k 蒜竺粼淼竺藏焉譬撼扎 “， iq z ( j d ( 口) ) 一p z ( p ( o ) ) = o ， z ( 盯( 6 ) ) 一a z ( ) = o ， 、7 其中口，q ，p 及a 满足： ( 日1 ) 盯( 6 ) o ，q o ，p o ，o a o ，使得当o 一6 s t o 时， 夕( s ) o ；当亡o o ， 这是一个矛盾 当托是左稠点时，则由引理3 1 2 知m v ( ) = 1 1 哩型号产o 与左散的情形类 似，这也和已知条件相矛盾 当亡o = p ( o ) 时，则仇( p ( o ) ) o 及m ( p ( o ) ) o 这与( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 矛盾总之， ( t ) 叫( ) ，t ( n ) ，( 6 ) 】 定理3 1 2 设叫( 亡) 和口( ) 分别是边值问题( 3 1 1 ) 的上下解，且在p ( o ) ，盯( 6 ) 】上 u ( t ) 伽( t ) ，则边值问题( 3 1 1 ) 在p ( o ) ，盯( 6 ) 】上存在一个解z ( t ) 且满足 ( 亡) z ( 亡) 叫( 亡) 进一步地，在定理3 1 2 中若厂( 以z ) 关于z 严格单减，则边值问题( 3 1 1 ) 有唯一解，即 下面定理 定理3 1 3 若边值问题( 3 1 1 ) 中，( t ，z ) 关于z 严格单减，则解是唯一的 对于任意的 ，叫d ，定义p ，叫】：= z ( 亡) d ：u ( t ) z ( 亡) 伽( 亡) ，亡p ( n ) ，盯( 6 ) m 定理3 1 4 若下列条件成立： ( a 1 ) 伽o ( t ) 和咖( 亡) 分别是边值问题( 3 1 1 ) 的上下解且在 p ( o ) ，矿( 6 ) 】上伽( 亡) 叫o ( 亡) ； ( a 2 ) 厶( 亡，z ) ，厶z ( 屯z ) 在 p ( 口) ，盯( 6 ) 】，伽o 】上存在，且关于z 在，蛐】上连 续、关于亡在 p ( o ) ，仃( 6 ) 】上左稠连续； ( a 3 ) 厶( t ，z ) ，使得 伽抄1 叫n 叫l 叫o 1 2 - 第三章时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 成立，其中礼n o ，+ 1 和叫计1 分别为边值问题 jz v + ( 亡) f ( ，z ；，) = o ，【o ，6 】， lq z ( p ( n ) ) 一p z ( p ( o ) ) = o ， z ( 盯( 6 ) ) 一入z ( ) = o 及 jz v + ( 亡) g ( t ，z ；，伽n ) = o ，亡 o ，6 】， la z ( p ( o ) ) 一p z ( j d ( 口) ) = o ， z ( 盯( 6 ) ) 一入z ( ) = o 的解其中 啪，= 去( 帮c 脚加吵叫+ 帮亡 + 去e g 他s ) q ( s 眺晰；挑吲喇 由于陋，6 】是紧集并且 ) 及 伽n 】- 是单调有界的，故存在函数z ，使得撬2 1 i m 叫n = z 从而由l i mf ( 屯+ 1 ；，) = ，( t ，z ) 知，z ( ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的 n + o on + 唯一解 最后证明收敛速度是二阶的令肌+ 1 ( 亡) = z ( 亡) 一+ 1 ( t ) 及+ 1 ( t ) = 叫n + 1 ( t ) 一z ( 亡) ， ( o ) ，盯( 6 ) 】易见+ 1 o ，+ 1 o 据定理的条件知 阱础) 去( 等( 脚加吵( 6 ) 叫+ 帮t + 去e g s 顺s 灯( 5 沪m 川州s 删z 叫肌 寺( 帮c 帅如吵叫+ 等t + 寺z ( 口) g ( t ，s ) 危( s ) ( 厶( ，) 一厶( s ，叫n ) ) 肌( s ) v s 去( 等c 帅加吵叫+ 帮 + 去e g 啪( s ) ( 吨( s 酬( 秘) + 孙) ) v s 兵甲 7 7 1 z ， 啦 由于 ( 垒二竺坐2 塑竺二生+ 上：堂堂二竺坐壁竺尘 1 d 盯( 6 )。仃( 6 )d 盯( 6 ) 一 所以 恼n + t i is 刈+ 。i i + 去m l ( 扣陬1 1 2 + 扣g n l l 2 )( 3 1 1 。)o + 1 i isa i 旧n + l i i + 寺m l ( 刳陬1 1 2 + 割g n l l 2 )( 3 1 1 0 ) 河北大学理学硕十学位论文 其中m = 嚣翁i 厶z ( 芒，z ) l ，2 嚣箱i ( t ) i l2 嚣筠坛穿g ( 厶s ) v s 从而由( 3 1 1 0 ) 得 州峪揣( 狐1 1 2 + 狮1 2 ) 同理可证 忙揣n i | 2 推论3 1 1 若定理3 1 4 中( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，将( a 3 ) 换成厶( ，z ) o ，厶z ( t ，z ) o 则定理3 1 1 的结论仍成立 若边值问题( 3 1 1 ) 的非线性项厂( 厶z ) 并不具有凸性，但加上一个凸函数后具有凸 性时，则有下面定理 定理3 1 5 若下列条件成立； ( b 1 ) 埘o ( ) 和啪( t ) 分别是边值问题( 3 1 1 ) 的上下解且在p ( o ) ，仃( 6 ) 】上均( ) 咖( 亡) ； ( b 2 ) 厶( ，z ) ，厶z ( 亡，z ) 在p ( n ) ，盯( 6 ) 】h ，蛐】上存在，且关于z 在，叫o 】上连 续、关于t 在( 口) ，盯( 6 ) 】上左稠连续，厶( t ，z ) o ； ( b 3 ) 存在痧( ，z ) ，使九( t ，z ) ，九z ( t ，z ) 在眵( n ) ，仃( 6 ) 】，叫0 】上存在、连续且关于t 在 p ( n ) ，口( 6 ) 】上左稠连续，且九z ( t ，z ) o ，厶( t ，z ) + 屯( ，z ) o ，厶z ( 亡，z ) + 九z ( 厶z ) o 则存在两个一致收敛于边值问题( 3 1 1 ) 唯一解z ( t ) 的单调序列 叫n ( t ) ) 和 ( t ) ) ，并 且它们的收敛速度是二阶的 证明据t a y l o r 中值定理及厶z ( t ，z ) + 九z ( t ，z ) o 知，当z ，秒，叫o 】，z 耖 时有 ，( ，z ) ，( t ，y ) + ( 丘( ，妙) + 九( ，可) ) ( z y ) 一( 砂( t ，z ) 一矽( t ，) ) ( 3 1 1 1 ) 令 f ( 亡，z ；如，蜘) = ，( t ，咖) + ( 厶( ，如) + 机( t ，伽) ) ( z 一咖) 一( 咖( 亡，z ) 一( t ，铷) ) ， g ( t ，z ；伽，训o ) = ，( t ，伽o ) + ( 厶( t ，珈) + z ( 亡，咖) ) ( z 一叫o ) 一( 矽( 亡，z ) 一( t ，叫o ) ) ， 其中z 是关于亡( t 陋( 口) ，盯( 6 ) 】) 的函数 考虑边值问题 叫焉：瓮壤霸竺茹 6 ，譬躞；：。 慨2 ， iq z ( p ( n ) ) 一p z ( p ( 口) ) = o ，z ( 伊( 6 ) ) 一a z ( ) = o 、7 第三章时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 及 舻v + ( 。2 g ( ，。；珈黜) = o ，t 【a ，6 1 ，( 3 1 1 3 ) 1 口z ( p ( o ) ) 一z ( j d ( o ) ) = o ， z ( 盯( 6 ) ) 一a z ( ) = o 、7 首先，据条件( b 1 ) 及不等式( 3 1 1 1 ) ，得 叫拿v + ( ) f ( t ，叫o ；伽，o ) 瞎v + 允( 亡) ，( 亡，叫o ) o 毋v + ( t ) f ( ，珈；珈，蜘) 兰毋可+ ( t ) ，( t ，咖) o 即叫。和珈分别是边值问题( 3 1 1 2 ) 的上下解从而据定理3 1 2 知边值问题( 3 1 1 2 ) 存 在一个解 1 ，使得铷u 1 伽o 同理可证边值问题( 3 1 1 3 ) 存在一个解叫1 ，使得 1 咖 其次，证明u 1 伽1 据( 3 1 1 1 ) 知， o = 拿v + ( t ) f ，口l ；，伽o ) u 拿v + 九( t ) ( ，( t ，秒1 ) 一( 丘( 亡，铷) + 丸( ，伽) ) ( u 1 一伽) + ( ( t ，移1 ) 一( ，均) ) + ( 厶( 亡，) + 如( 亡，铷) ) ( 研一铷) 一( ( ，魄) 一( 亡，铷) ) ) = p v + ( t ) ，( ，口1 ) 类似可证叫拿v + 九( t ) ，( t ，坩1 ) so ，即叫1 和口1 分别为边值问题( 3 1 1 ) 的上下解从而据 定理3 1 1 知u 1 叫1 依此类推，得到两个单调序列 ) 和 叫n ) ，使得 铷u 1 + l t + l 叫1 蛳， 其中n n o ，+ l 和叫n + 1 分别为边值问题 fz v + 九 ) f ，z ；， n ) = o ，t 【口，纠， lq z ( j 口( o ) ) 一p z ( p ( o ) ) = o ， z ( ( 6 ) ) 一a z ( f ) = o 及 i z v + 九( t ) g ( t ，z ；，u h ) = o ，t o ，6 j ， lq 正( j d ( o ) ) 一p z ( p ( n ) ) ；o ， z ( ( 6 ) ) 一a z ( ) = o 的解，而且 啪) = 去( 帮( 帅小吵叫+ 帮亡 + 寺z ( 曲g ( t ，s ) 九( s ) f ( s ，+ 1 ；，叫n ) v s ， 口，6 】 - 1 5 河北大学理学硕十学位论文 由于 n ，6 】是紧集并且函数列 ) 及 叫n ) 是单调有界的，故存在函数z ，使得 l i m = l i m 叫n = z n _ o 。n _ o 。 从而由恕f ( t ，十1 ；，鲫n ) = ，( t ，z ) 知， z ( t ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的唯一解 最后证明 ) 和 叫n ) 收敛速度是二阶的令+ 1 = z 一+ l ，锄+ 1 = + 1 一z 易 见m + 1 0 ，g n + 1 0 据中值定理知，存在7 7 ，7 7 伽n ，使得 去( 帮c 脚加吵叫+ 等t + 去：g ( ，s ) ( s ) ( ( 厶( t ，叫n ) + 矽z ( 亡，埘n ) ) 一( 厶( t ，) + 咖z ( 亡，) ) ) ( 叫n z ) v s 去( 帮c 帅加吵叫+ 帮t + 去e m m s 心咖m 小川) ( 扣耋磊) v s 蛙喇铲幽+ 南= 型笔铲型1d 仃( 6 ) 。盯( 6 )d 仃( 6 ) 二 i | p n + ，| i 入i l p n + z i l + 去m l ( 去i i p n l l 2 + 兰i l 1 1 2 ) 其中m 2 暑萄i 厶z ( ，z ) + 九z ( ，z ) l ，2 黝i 危( t ) i ，l 。署翁坛男g ( 屯s ) v s 从而 忪揣( 扣酽+ 狮1 2 ) 同理可证 蚧峪揣( 扣1 1 2 + 汕1 2 ) 推论3 1 2 若定理3 1 5 中( b 1 ) ，( b 2 ) 成立，将( b 3 ) 换成存在( t ，z ) ，使九( t ，z ) ， 丸z ( t ，z ) 存在目西。，限z 1 o ，p2o ，o a 1 ，( p ( n ) ，盯( 6 ) ) ； ( 日2 ) 九： o ，6 j _ ( o ，+ o 。) 是左稠连续的； ( h 3 ) ，夕： a ，6 】( 一o o ，+ o 。) _ ( 一o 。，+ o 。) 连续，( 亡，) ，9 ( ，) 在 o ，6 】的任意子区间 上不恒等于零 定义3 2 1 设实值函数叫( t ) d 在p ( o ) ，盯( 6 ) 】上有定义若 叫v ( ) + ( t ) ( ，( 亡，叫) + 9 ( 亡，叫) ) o ，( o ) ，盯( 6 ) 1 ， q 叫( p ( o ) ) 一p 伽( p ( o ) ) o ，伽( 盯( 6 ) ) 一a 叫( ) o ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 均成立，则称加( 亡) 为边值问题( 3 2 1 ) 的上解；若改变不等号的方向，则称伽( t ) 为边值 问题( 3 2 1 ) 的下解 定理3 2 1 若下列条件成立： ( a 1 ) 咖( ) 和珈( ) 分别是边值问题( 3 2 1 ) 的上下解，且在p ( o ) ，仃( 6 ) 】上( t ) s 叫o ( t ) ； ( a 2 ) 厶( 屯z ) ，如( ，z ) ，厶z ( ，z ) ，吼z ( ，z ) 在c p ( 口) ，盯( 6 ) 】h ，t u 0 】上存在，且关于。 在，讹】上连续、关于t 在加( o ) ，仃( 6 ) 】上左稠连续，厶( t ，z ) o ，吼( t ，z ) o ； ( a 3 ) 厶z ( 亡，z ) o ，纨z ( 亡，z ) o 则存在两个一致收敛于边值问题( 3 2 1 ) 唯一解z ( t ) 的单调序列 叫n ( ) ) 和 ( ) ) ，并 且它们的收敛速度是二阶的 - 17 - 河北大学理学硕士学位论文 证明据厶z ( 亡，z ) o 及吼z ( ，z ) o 知，当z ，! ，伽o 】，z2 时有 厂( t ，z ) ，( 亡，) + 厶( t ，z ) ( z 一! ，) ， 夕( ，z ) 夕( t ，) + 如( 亡，可) ( z 一! ，) 定义 f ( t ，z ；伽，叫o ) = ，( 亡，啪) + 夕( t ，咖) + ( 厶( 亡，挑) + 如( 亡，珈) ) ( z 一珈) g ( t ，z ；伽，伽o ) = ，( t ，叫o ) + 夕( t ，伽o ) + ( 厶( 亡，叫o ) + 啦( t ，铷) ) ( z 一叫o ) 其中z 是关于亡( p ( o ) ，盯( 6 ) 】) 的函数 考虑边值问题 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) z 胛+ ( t ) f ( t ，z ；咖，蛳) = o ，t 口，6 】， ( 3 2 8 ) iq z ( j d ( n ) ) 一p z ( p ( n ) ) = o ， z ( 仃( 6 ) ) 一入z ( ) = o 、 7 护v + ( 。冰，z ；珈，叫o ) = o ， a ，6 】，( 3 2 9 ) lq z ( j d ( n ) ) 一p z ( j d ( o ) ) = o ，z ( 仃( 6 ) ) 一a z ( ) = o 、7 据条件( a 1 ) ，( 3 2 4 ) 及( 3 2 5 ) 得 叫拿v + 九( t ) f ( t ，叫o ；珈，叫o ) 瞎v + 九( ) ( 厂( ，叫o ) + 夕( t ，叫o ) ) o ， 话v + ( t ) f ( ，铷；蜘，撕) 三斧v + ( t ) ( ，( t ，伽) + 夕( t ，伽) ) 2o 即叫。和咖分别是边值问题( 3 2 9 ) 的上下解从而据定理3 1 2 知边值问题( 3 2 9 ) 存在 一个解叫1 ，使得伽硼1 挑同理边值问题( 3 2 8 ) 存在一个解u 1 ，使得珈 1 叫o 其次，证明 1 叫1 据厶z ( 亡，z ) o 及鲰z ( 厶z ) o 知， o = u 拿v + ( ) f ( t ，口1 ；珈，t j 0 ) 拿v + ( 芒) ( ，( t ，u 1 ) + 夕( t ，u 1 ) 一( 厶( t ，u 1 ) + 吼( t ，铷) ) ( 1 一咖) + ( 厶( 亡，蛳) + 玑( 亡，蜘) ) ( u 1 一咖) ) 拿v + ( t ) ( ，( ，u 1 ) + 夕( 亡，仇) ) ， 同理可证叫拿v + ( 亡) ( ，( 亡，枷1 ) + 夕( 厶叫1 ) ) o ，即叫1 和u 1 分别是边值问题( 3 2 1 ) 的上 下解从而据定理3 1 1 知钉1 硼1 依此类推，可得到两个单调序列 ) 和 伽竹) ，使得 咖u 1 伽1 姚 - 1 8 - 第三章时间尺度上非线性动力方程三点边值问题 成立，其中n n o ，+ 1 和伽n + 1 分别为边值同题 jz v + ( t ) f ( t ，z ；，n ) = o ，亡陋，6 】， la z ( p ( n ) ) 一p z ( p ( o ) ) = o ， z ( 仃( 6 ) ) 一入z ( ) = o 及 iz v + ( t ) g ( 亡，z ；，伽n ) = o ，亡 o ，6 】， i q z ( p ( 口) ) 一p z ( 口( 8 ) ) = o ，z ( 盯( 6 ) ) 一入z ( ) = o 的解其中 叫州= 去( 等c 帅加吵叫+ 等 + 去z ( 口) g ( t ，s ) 允( s ) g ( s ，叫a + l ；，伽n ) v s ， t k6 】t 由于 o 6 】是紧集并且 ) 及 训n ) 是单调有界的，故存在函数z ，使得规2 1 i m 伽n = z 从而由1 i mf ( t ，+ 1 ；，叫几) = ，( t ，z ) 知，z 是边值问题( 3 2 1 ) 的唯一 n o 。 n 。 解 最后证明收敛速度是二阶的令肌+ 1 = z 一+ 1 及+ l = 枷n + 1 一z ，易见m + 1 o ， g n + 1 0 据中值定理知，存在7 7 1 ，仇，且7 7 1 ，7 7 2 叫n ，使得 p n + ，去( 垒铲( p q p ( 口) ) ) ( 盯( d t ) + 查铲亡 + 吉z ( 口) g ( t ，s ) 愿( s ) ( 厶( s ，) 一丘( s ，钮n ) + 鲰( s ，t 7 n ) 一( s ，) ) ( 茁一) + 厶( s ，叫n ) ( z 一+ 1 ) + 乳( s ，) ( z 一+ 1 ) ) v s 去( 等c 阳加吵叫+ 帮t + 寺z ( 口) g ( 亡，s ) 九( s ) ( 一厶z ( 5 ，叩1 ) + 阮王( s ，7 7 2 ) ) ( m + g n ) m v s 去( 等c 阳小吵叫+ 帮t + 吉e g s s 慨( s 砌慨( 5 删( 三磊) v s 由于 ! 生二型型坐) 二盟+ 上：业塑二型型竺堕 】 d 仃( 6 )。仃( 6 ) d 口( 6 ) 一 所以 l i 陬+ 。l | 刈p n + 。i i + 去( a + b ) l ( 兰旧删2 + 割g n l l 2 ) ( 3 2 - 1 。) 1 9 - 河北大学理学硕士学位论文 其中a 5 嚣筠l 厶z ( 厶z ) i ，b2 嚣筠i 吼z ( 。，z ) i ，5 嚣筠i ( t ) i l2 嚣筠坛孑g ( ，s ) v s 从而，由( 3 2 1 0 ) 得 i i m + 。l is 镨( 兰i i p n i l 2 + 三i i 1 1 2 ) 同理可证 | j + 。i l 锵( 三j | p n ij 2 + 兰i i 口n l l 2 ) 若边值问题( 3 2 1 ) 中的，( 厶z ) ，9 ( t ，z ) 并不具有凹凸性，但它们加上一个凸函数或 凹函数后具有凹凸性时则有下面定理 定理3 2 2 若下列条件成立； ( b 1 ) ( a 1 ) ，( a 2 ) 成立； ( b 2 ) 存在咖( t ，z ) ，矽( 瓦z ) ，使得九( ，z ) ，也( 瓦z ) ，九z ( t ，z ) ，佤z ( 厶z ) 在 j d ( o ) ，盯( 6 ) 】 h ，撕】上存在、连续且关于亡在p ( n ) ，盯( 6 ) 】上左稠连续，而且z z ( t ，z ) o ，九z ( 芒，z ) 芝o ， 疋z = 厶z ( 亡，z ) + 啦z ( t ，z ) o ，g z z = 吼z ( ，z ) + 也z ( 厶z ) o 则定理3 2 1 的结论仍成立 ( 证明略) 2 0