（应用数学专业论文）双曲型偏泛函微分方程的振动性.pdf

双曲型偏泛函微分方程的振动性 应用数学专业 研究生：罗玉文指导老师：穆春来教授 摘要：本文利用特征函数的方法，对齐次和非齐次非线性时滞脉 冲双曲型方程分别在d i r i c h l e t 边界和r o b i n 边界条件下的解的振动性， 得到一些了方程解振动性发生的充分条件。 关键词：振动，齐次，非齐次，非线性，双曲型方程，时滞。脉冲 a b s t r a c t ：ht h i sp a p e r ，w eu s ee i g e n f u n c t i o n sm e t h o d s t od i s c u s s t h eo s c i l l a t i o nb e h a v i o rf o rh o m o g e n e o u sa n dn o n h o m o g e n e o n si m p u l s i v e h y p e r b o l i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w od i f f e r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，a n do b t a i ns e v e r a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i a k e yw o r d s o s c i l l a t i o n ，d e l a y j i m p u l s i v e ，n o n l i n e a r ，n o n h o m o g e n e o u s ，h y p e r b o l i ce q u a t i o n ，r o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，d i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n 致谢 本文是在我的导师穆春来教授的悉心指导下完成的。在三年的学 习生活中，穆老师在学习、生活、研究等方面给予了我很多帮助、教 诲和鼓励。穆老师的高尚的学术道德、严谨的治学态度，深邃的数学 思想，对科学执着的态度和敏锐的洞察力以及对数学的热爱，都给我 留下了深刻的印象，是我一生学习的榜样。在此，作者向穆老师表示 深深的敬意和谢意。 同时，本人的论文的完成 导到了邓立虎教授的帮助与支持，在此 一并致谢。 四川大学硕士学位论文 偏泛函微分方程在生物遗传工程，化学，物理，人1 3 动力学等学 科中有比较多的应用，所以近年来，这类方程的研究结果比较多f 见参 考2 r d i 一8 ，1 0 - 1 8 等j ) ，而专著【2 7 】对抛物型泛函微分方程做了非常好 的总结。下面我们列举几个例子说明我们对双曲型泛函微分方程的研 例1 ：【4 】设三维空问的粘性固体是齐次的而且是各向同性的，假设 它满足的本构方程( 联系应力向量和变形速率向量的方程) 为 r ( t ) = 2 , u ( o ) e ( t ) + 州o ) ( 打e ( t ) ) i + 2 卢( s ) e 0 s ) + a ( s ) ( t r e ( t s ) ) i d s 其中r ( t ) ，e ( t ) 分别表示应力向量和变形速率向量。我们知道，流速梯度 张量豢是由变形速率张量e 衄与转动张量白所组成n 但是转动对粘性 应力张量几j 并无影响，因此，我们可以把上式中的变形速率张量e f 看 成流速梯度张量警。 把上式代入c a u d l y 动量方程 p 泰u = v r ( 州) 嚎u 群拦三篡谳黑，h ， d s 这是个滞后型的双曲方程。上式右边第一第二项描述了介质的瞬时 弹性反应，积分项表示粘性( 或者记忆性) 的作用。 例2 ：1 8 1 考虑波在微异多孔介质中的传播，我们有下面的方程 嘉一- a u + 小s ，学幽= 。 四川大学硕士学位论文 显然，这是一个中立型的方程。双曲型时滞方程更多的例子请参考文 献f l l j 和【2 3 】。 对于没有脉冲扰动的时滞双曲方程的振动性，研究结果已经很多 ( 见【l ，2 ，5 ，7 ，1 0 ，1 4 - 1 9 ，2 4 ，2 5 1 等。) 。对于同时具有时滞和脉冲的方程，现 在所见文献较少。在同时具有时滞和脉冲的情形，文献【6 】和文献【2 8 】 讨论了抛物型时滞脉冲方程的振动性，并得到了一些振动结果。对于 双曲型方程，2 0 0 3 年，文献1 3 】给出了齐次线性方程组振动的一个等 价条件。 对于偏泛函微分方程的振动性的讨论，现在大多使用直接积分法， 利用边界条件，消去调和项，将偏微分方程化成常微分方程来讨论。在 文f 5 2 s 1 中，作者使用了特征函数的方法，保留了调和项，得到了一 些有意义的结果。在本文中，我们使用特征函数方法讨论下列齐次非 线性时滞脉冲双曲型方程 乱“扛，t ) = a ( t ) a u ( x ，t ) + 6 0 ) u 0 ，t 一5 ) 一目( 。，t ) u ，t 一口) 一口扛，t ) ， “ ，t 一_ p ) j ，t t k ( 1 1 ) “( z ， ) 一u ( x ，t i ) = c k “( z ，t k ) k = 1 ，2 ，3 t ( z ，t 毒) 一u t ( 。，t i ) = c k u t ( x ，t k ) k = 1 ，2 ，3 ， 和菲齐次非线性时滞脉冲双益型方程的振动性： u “( z ，t ) = o ( t ) u ( z ，t ) + b ( t ) a u ( x ，t 一5 ) 一口( z ，t ) u ( x ，t j ) + h ( x ，t ) 一q ( z ，t ) ，【u ( z ，t p ) 】，t t k ； ( 1 - 2 ) 札( z ，t l - ) 一 ( z ，t i ) = c k u ( x ，t k ) ， k = l ，2 ，3 ； 钍# ( z ， ) 一u ( 。，i ) = c 2 如( z ，f 女) ， k = 1 ，2 ，3 2 ! 型垄兰塑主芏些鱼查 3 边界条件为r o b i n 边界： 丽0 u + 触= 0 ， z a q ， “； ( 1 3 ) 或d i r i c h l e t 边界： u = 0 ， z a q ，t t k ； ( 1 4 ) 其中为r ”上的l a p l a c e 算子，r + = 【0 ，+ ) ，n 是r 中有界 区域，其边界是分片光滑的。n 是a n 上的单位外法向量，。 在本文中，我们假设下列条件( 日) 成立： 1 ： o 。1 。2 “ ，k 旦“= + 。； j j ：，c ( r ，r ) ，h ( x ，t ) c ( a i 0 ，+ o 。) ，r ) ，o ( t ) ，b ( t ) p c ( r + ，r + ) ，g ( x ，) ，g ( z ，t ) p c n r + ，r + 】，i = 1 ，2 ， m ，p c 表示所有具有下列性质的分片光滑函数：它们仅仅在 t = t k ，k = 1 ，2 ，处有第一类问断点并且在这些点是左连 续的； 埘：6 0 ， 四川走学硕士学位论文 引理2 2 ：j 曲】设土l 是下列特征值闯题 忙：，枷0 ：i 曼 偿。， 的第一特征值以及妒l ( z ) 是相应的特征函数，则a 1 0 ，妒1 ( 。) 0 ， 引理2 3 ：1 2 6 1 设y ( t ) c 2 ( i t d ，+ o o ) ，r ) ， 可( t ) 0 ，掣唯) 0 ，圹( t ) 一1 ，七= 1 ，2 ，。 3 齐次方程 在这节中，我们给出方程( 11 ) 在边界条件( 1 3 ) 和( 1 4 ) t i 拘振动 准则并予阻证明。 定理1 设a ( t ) = m i _ n g ( x ，努，q ( t ) = n 逵q ( x ，) 假设( h ) 和以 i fz e l z 下的条件成立 ，( _ u ) = _ ，( u ) ，掣 c , l t er + ， l i r a s u p i i ( 1 + 靠) + 。，氏= m a x o ，c k + o 。t - - a “ 4 四川大学硕士学位论文 5 ，i m s 叱u p l 一题0 ，制s 螂p ( 。州川) 6 ( 班 +tit-o。熹厶刊gds_tk 一6一。 + t - p 1 ，t “ ( 3 4 ) 设z ( f ) = u ( z ，t ) q a o ( x ) d x 我们得到 z ”( ) + a o a ( t ) z ( t ) + a o b ( t ) z ( t j ) + a ( t ) z ( t 一口) + c q ( t ) z ( t p ) + a ( o z ( t 一盯) + c q ( t ) z ( t p ) 墨0 ， t t l ，t 靠 ( 3 5 ) 我们断言，从z ( t ) 0 ，z ”( t ) t l ，可以得到z ，( t ) 0 ，t t 1 。假定所言非真，则存在t t 1 ，使得z 7 ( t ) 0 。当t t ， 我们有 z 印) sz 讹 ) = ( 1 + “) 刃( ) s ( 1 + c k ) ( t 0 1 ) i i ( 1 + 靠) 刃( “) n ( 1 + 吼) z ，( t ) ( 3 6 ) t t k tt “ 一 q毗 一 拈 岍 胁厂、雩 一 。 文 = ，k 四川大学硕士学位论文 对( 3 6 ) 式从丁到t 积分，我们有 z ( ) 一z ( t ) 一q z ( 故) 1 - ( 1 十c k ) z 7 ( 丁) 一丁) 了1 “ t t k 0 ，z 7 0 ) o ，我耵 有 z ( t ) i i ( 1 + c k ) z 7 ( r ) ( t t k 丁) + i i ( 1 + 巩) z ( 丁) t t k 一o 。，z ( t ) 一o o ，【天| 为如若不然t 则当t 一+ 。o 时 一。：t ( 。) d 。：z ( t ) 一c 。z ( t 。) 一z ( t 一6 ) t - 6 t 一6 t k 这是不可能的。 z ( t ) i i ( 1 + i k ) z 0 6 ) 一” t - 6 一o o ，z 口) 一o o ，从而上式左端小于o ， 矛盾。所以，综上所述，我们得到z 他) 不能最终为负。 rz 一 + 一 t t l 使得z ( t ) o t z ( t ) ，t t 2 我们有 v 7 ) + a o a ( t ) z ( t ) + a o b ( t ) z ( t 一6 ) + g ( t ) z 0 一o r ) + c o ( t ) z ( t p ) 兰v 7 0 ) + o a o t a ( t ) z ( t ) + a o ( t 一5 ) b ( t ) o z ( t 一5 ) + g 0 ) 目 一口) z 一盯) + c q ( t ) ( t p ) o v ( t p ) ( 3 7 ) = 0 ) + 口a o t a ( t ) v ( t ) + a o ( t 一5 ) 6 b ( t ) v ( t 一5 ) + g ( t ) 日o o ) v ( t 一口) + c o ( t ) ( t p ) o v ( t p ) ， t t 2 ，t t 一i m i n r 等 器诫州t ) 等 州h 雠) 旦岛 ( 3 8 ) + g 删( t 一力帮“ 错诫雕训。帮 + 州c q ( t ) o ) ( 竺t 瓣羁如( 3 9 ) 一p ) 等掣凳碟 童1 - 二1 - - l - 即v ( t 卅- * ) 慨 y ( f p ) 2 志y ( t 一巧) _ 1 w 一p ! “ 0 ，e m e z ，我们有 鼍铲州1 弧7 0 ，一“i 旗n f 。；号铲。枷吣，如 + 。娶t t - j 去 。酬se f - + t - p e x ，我们有 v ( t 一矾 v ( t ) h ( 1 + c * ) ”。 t - - 5 t h 这表示 i n f v 。( ，s - d “ c , u e 巩 b ：l i m s u p h ( 1 + 砭) 佃，强= m a x o ，吼) t _ 十t - o r “ t 1 l i m s u p t _ + o o e ( 1 + c t ) s f - - 6 x k 0 四川大学硕士学位论文 。蝇一6 日( 8 ) d s + ”； b ：l i ms u ph ( 1 + 瓦) + ，h = m a x 0 ，c k i t _ + t - - e r “ c 。里 ( 。咖( s ) d s + f ：抖。( s 一一) o g ( s ) 如 +r(sp)oco(s)ds=慨k=12j ； + ( s i = + o 。， = ，； t dj 其中h ( t ) = 矗伽( 。) 危( z ，t ) d x ，则r d b i n 边界问题( 12 ) ，( 1 3 ) 的 所有非零解在g 上是振动的。 注记：对于h ( x ，t ) t 1 ，t “时，对方程( 1 1 ) 两边同乘以特征值问题( 2 1 ) 的特征函 数妒o ( z ) ，然后对方程两端在q 上积分，我们有 z ”( t ) + a o a ( t ) z ( t ) + x o b ( t ) z ( t 一6 ) - f - g ( t ) z ( t c r ) + c q ( t ) z ( t p ) 一h ( t ) 0 ，t t l ，t t k ( 4 1 ) 其中z ( t ) = ( z ，) 伽( 。) 如，昱= 且v o h ( z ，) 出，t l 由上一节定 义。 我们断言，从z ( t ) o , z ”( ) l ，- i d a 得到z ，( 亡) 0 ，t t l 。假定所言非真，则存在丁 t l ，使得( 叼s0 。当t t ，我们 有 z ( t ) 茎z 7 ( t ) = ( 1 + c k ) z 7 ( ) 墨( 1 + c k ) ( t + - 1 ) h ( 1 + c k ) z 7 ( “) h ( 1 + c k ) z ( t ) ttkt t 1 ，t t k ( 4 3 ) 对上式从t j 到t 积分，我们得到： ( 。( 矾卅6 ( s ) 邵卅) d ss 正。耶) 如，t “地( 4 4 ) ，日( s ) d s ( t ) 一z ， 一6 ) 。一6 一，c。z(tk)+。b(。)z(s一6)ds，45。 一 ) + 。扫( 5 ) z ( s 一6 ) d s ， 。 - - 6 # k 一9 对( 4 5 ) 两边同时除以z m ) ，我们得到 0 i 一叭t ) _ 1 z 心一6 ) + c k z m ) + t z ，。，一t 。a c 。，z c 。一t a - - 。6 t l ， 使得z ( t ) o t z 心) ，t t 2 。 我们有 v ( t ) + a 0 8 ( t ) z q ) + a o b ( t ) z ( t 一6 ) + g ( 幻z 8 一口) + c q ( t ) z ( t p ) 一h ( t ) v 0 ) + 口 o t n 0 ) z ( t ) + a o 一5 ) b ( t ) o z 0 6 ) + g ( t - - a ) z ( t - - g ) 一日( t ) ( 4 8 ) + e q 0 ) 0 一p ) o v ( t p ) = v ) + p a o t o ) y ( t ) + a 0 0 6 ) p 6 ( t ) y o d ) + g ( t ) 口0 一口) 矿0 一仃) 一h ( t ) + g q 0 ) 0 一p ) o v ( t p ) ， t t 2 ，t t k - 由上式我们得到： 矿一h ( t ) s - ( x o t o a ( t ) v ( t ) + 捌。一移联力职# 一 ( 4 9 ) + 日( t 一盯) g 0 ) v 0 一口) + 8 一p ) c q ( t ) v ( t 一力) ， 四川大学项士学位论文1 5 把上式从t 一6 到t 积分，我们得到： ( 。( 叭s ) 一耶) ) d s 一( 。( s n ( 5 ) 忡) 一a o ( s j ) 口6 ( s ) y ( s j ) 一a o ( s 一6 ) 口6 ( s ) y ( s d ) 一口( s 一盯) g ( t ) y ( s 一盯) o t - - 一( s p ) e c q ( s ) v ( s p ) ) d s ， ( 4 1 0 ) 如果记v ( t ) 在0 6 ，) 之间的间断点为y ( “) ，v ( t k + 1 ) ，一，v ( t 。) ，则上 式就是； v 0 ) 一v ( q ) + y ( t i ) 一+ v ( t t 。) 一y 0 5 ) 一h ( s ) d s s 一日f ；卜巾) y 诫( 一啪忡卅一 + ( s 一盯) g ( s ) y ( s 一盯) + e q ( s ) ( s p ) y ( 3 一p ) l d s ， ( 4 1 1 ) 所咀，我们有： y ( t ) v ( t 一6 ) + ，cky(ti)+一6日(s)dst- - 6 。一。i 。n 。f 。一。v ( s ) j 。一t 。0 ( t 一6 ) b ( s ) d s 1 - i t - - 2 5 t k t - 6 等；划6 ( s ) d s 一。 。 ( 4 1 3 ) 四川大学硕士学位论文1 6 口( s 一口) g f s ) 矿( s a ) d s 三，口d 一口) g ( 5 ) y ( 5 一曲d s j t - , f 一6 ，f 一6 + f 一i n l t _ s + v ( 8 上一6 98 - - i t ) g ( 5 ) 幽 ii。；鬻r刊g馘t- - 2 5 t k ( t d 一。i 一口 ( 4 1 4 ) 口( s p ) g q ( s ) v ( s 一5 ) d s c e ( s p ) q ( s ) v ( s p ) d s j t - aj 一6 r 一j + p 一6 一p i n f 。 。一。v ( 5 上一5 c e ( 8 一p ) q ( 5 ) d 8 三i i v(t-6)：-5“(sp)q(s)如，t- - 2 5 t k t - 6 ( 4 1 5 ) 在( 4 1 4 ) ，( 4 1 5 ) ，( 4 1 6 ) 中我们使用了下面这个事实 c k v ( “) + y ( 亡6 ) ( 1 + a k ) y o 一6 ) ， 联合( 4 t 3 ) 一( 4 1 6 ) r 我们得到： ”叫o “) + 羡 甜一。叫旬如t- 6 “ # 一” ，c 一7e ( s o ) a ( t 一口) y ( s ) d 5 j t - 6 一 。枷( s 卅吣) 忡卅如 ，t 一d g q ( s ) ( 3 一p ) v ( s p ) d s j t - 6 s ，( 1 + & ) y o 一+ ：h ( s ) 玉 416t-； t k 0 ， 。上一5 日( 8 ) 4 5 + ”； b ：l i m s u p 1 1 ( 1 + 靠) + o 。，魂= m a x o ，岛i a 。l i m 。阮s a o o b 蚺f 7 ( 脚胁 + z ：6 + 9 ( s 一) d s p ) o c q ( s ) d s = + 。，k = 1 ，2 ，； + ( s f = + 。， = ，； j f dj 其中h ( t ) = 矗 ( z ，t ) d x ，则d i r i c h l e t 问题( 1 2 ) ，( 1 4 ) 的所有非零解 在g 是振动的。 5 一个例子 这一节我们看一个例子。从前面的讨论我们知道，方程( 1 1 ) ，( 1 ，2 ) 的 振动性主要跟最大时滞、非线性项以及非齐次项有关，不失一般性，我 们设- ( 0 ，g ( z ，t ) 都为0 。考虑下面的方程： 口“( z ，= b ( t ) a u ( z ，一4 ) 一g ( z ，。) ，阻( z , t - 3 ) 1 + 。e 一2 s l n 2 茁，。k ； ( 5 1 ) u ( x ，t ) 一t ( $ ，t i ) = c k u ( x ，“) ， k = 1 ，2 ，3 - ； “t ( 写，t ) 一u t ( x ，坛) = c k u t ( x ，“) ， k = 1 ，2 ，3 里! ! ! 查茎塑生壁垒堕塞 1 8 其o f ( y 1 = y e u 6 ( ) f ( 亡一+ 1 ) 一 q ( x ，t ) = 【( 一t ) x 2 ， c k = 1 1 2 1 o t ( 女_ l 一； ， t ( k - 互1 ， ， ( 女一l ，一互1 ， t ( 七一；，七 1 ( 5 2 ) ( 5 3 ) 边界条件为( 1 3 ) 或者( 1 4 ) 。我们可以看到，方程满足定理3 和定理 4 的所有条件，所以方程的所有非零解是振动的。 l+ t 一 一 七 ，_，、_、 o = 1 2 3 “ 心 地 4 4 4 4 = = = | | 七 七 七 老 一 ! ! ! ! 叁主塑主主壁垒圭 1 9 参考文献 【1 1 1 b a l n o vd tk d z i s l a wza n dm i u c h e ve m o n o t o n ei t e r a t i v e m e t h o d sf o r i m p u l s i v eh y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a lf u n c t i o n a le q u a t i o n s j ，上c o m p u t a p p l m a t h7 0 ，( 1 9 9 6 ) ：3 2 9 3 4 7 。 【2 】b a i n o vd ，c u ibt a n dm i n c h e vef o r c e do s c i l l a t i o no f s o l u t i o n so f c e r t a i n h y p e r b o l i ce q u a t i o n s o fn e u t r a lt y p e d j ，c o m p u t a p p l m a t h 7 2 ，( 1 9 9 6 ) ：3 0 9 3 1 8 。 【3 1 3 c u ib t ，l i uy ，d e n gf ，s o m eo s c i l l a t i o nf o ri m p u l s i v eh y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hs e v e r a ld e l a y s j ，a p p lm a t h c o m p u1 4 6 ( 2 0 0 3 ) ：6 6 7 - 6 7 9 。 【4 】4 d n s s i o s g ，z a f i r o p o u l o sf ，e q u i p a r t i t i o n o f e n e r g y i nl i n e a r i z e d3 - d v i s c o e l a s t i c i t y j 、q u a r t a p p l m a t h ，4 8 4 ( 1 0 9 0 ) ：7 1 5 - 7 3 0 。 【5 】d e n gl ，h ，g ew g ，o s c i l l a t i o nf o rc e r t a i nd e l a yh y p e r b o l i ce q u a t i o n ss a t - i s f y i n gt h er o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n j 1 i n d i a n ，n m a p p lm o t h 3 2 ( o ) ( 2 0 0 1 ) ：1 2 6 9 1 2 7 4 。 6 l 邓立虎，脉冲时滞抛物型方程的振动准则【j l ，数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ( 3 ) ：5 0 1 5 m 。 【7 】d e n gl h o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rc e r t a i nh y p e r b o l i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n 【j 】，i n d i a n 上p u r e a p p l m a t h 3 3 , v 0 1 7 ，( 2 0 ) ：1 1 3 7 - 1 1 4 6 。 f 8 jh a n y g aa 。r o k ve ，w a v e p r o p a g a t i o n i n m i c r o - h e t e r o g e n e o u s p o r o u s m e d i a ：am o d e lb a s e do ua n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l w a v e e q u a t i o n j ，j a c o u s t 8 0 c a m ，l o z ( 6 ) ，( 2 0 0 0 ) ：2 9 6 5 - - 2 9 7 2 。 【9 ) 9h a l e j ，t h e o r y o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m 】，却r i n g e r - v e r l 叼，( 1 0 r v ) 。 【1 0 1 h em ，l i ua ，o s c i l l a t i o no fh y p e r b o l i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ， a p p l m a t h c o m p u ，1 4 2 ( 2 0 0 3 ) ：2 0 5 2 2 4 。 【1 1 】j o s e p h d d ，f l u i d d y n a m i c so f v i s c o e l a s t i c l i q u i d s m ，s p r i n g e r - v e ，| l u g ，w o r l d p u b l i s h i n gc b 印，b e j i n g ，( 1 9 9 2 ) f 12 】k u b i a e z y ki ，w a nt ，s a k e rs h ，o s c i l l a t i o no fh i g h e ro r d e rd e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t ha p p l i c a t i o n st oh y p e r b o l i ce q u a t i o n s j 】，i n d i a n m a p p l m a t h 3 4 ( s ) ( 2 0 0 3 ) ：1 2 5 9 - 1 2 7 12 0 0 3 a 望! ! 垄兰塑主芏堡堕查 2 0 1 13 】l iw n ，m e n g f w ，o n t h ef o r c e do s c i l l a t i o no fn e u t r a l p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h d e v i a t i n g a r g u m e n t s j i ，j m s t h a n a l a p l l , 2 8 8 ( 2 0 0 a ) ：2 0 - 2 7 。 1 4 】林文贤，高阶非线性中立型偏微分方程解的振动性【j ，生物数学学 报，1 8 ( 1 ) ，( 2 0 0 3 ) ：8 - 1 4 。 【1 5 】l i uap ，h em x ，o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rd e l a y h y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e j 1 ，a p p l m a t h m s c h e n g l 2 3 ( 6 ) ( 2 0 0 2 ) ：6 7 8 - 6 8 5 。 【1 6 】刘安平，何猛省，非线性中立双曲型时滞微分方和解的振动判据( j 】，数学 季刊，2 0 0 2 ，1 7 ( 2 ) ：7 1 3 。 f 17 】l i uw ，q i nm ，l iy ，o s c i l l a t i o n c r i t e r i ao f g e n e r a l n o n l i n e a r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s w i t hc o n t i n u o u s d e v i a t i n ga r g u m e n t sf j l ， a p p l m a t h c o m p u ，1 3 7 ( 2 0 0 3 ) ：4 5 1 4 5 8 。 【1 8 】l iwn ，m e n gfw ，f o r c e do s c i l l a t i o n f o rc e r t a i ns y s t e m so fh y p e r b o l i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f j j ，a p p l m a t hc o m p u 1 4 1 ( 2 0 0 3 ) ：3 1 3 - 3 2 0 。 f l9 1 l u o j ， o s c i b a t i o no f h y p e r b o l i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h i m p u l s e s j ，a p p l m a t h ，c o m p u 1 3 3 ( 2 0 0 2 ) ：3 0 9 - 3 1 8 。 【2 0 】罗玉文，邓立虎，一类脉冲时滞双曲型方程解的振动性【j l ，四川大学学报 ( 自然科学版) ，4 1 ，( 2 0 0 4 ) ：4 6 5 1 。 【2 1 】罗玉文，穆春来，非齐次非线性时滞脉冲双曲型方程解的振动性i j ，待发 表。 f 2 2 】毛卫华，二阶非线性具时滞脉冲微分方程振动性f j j ，华南师范大学学报 ( 自然科学版) ，n o 1 ，( 2 0 0 2 ) ：4 5 5 1 。 1 2 3 t e m a mr ，m i r a n v i l l ea ，m a t h e m a t i c a lm o d e l l i n gi n c o