（基础数学专业论文）一些数论函数的均值性质及包含数论函数的方程求解.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支关于一 些算术函数的算术性质及其应用在数论的研究中占有很蕈要的地位，许多著名的 数论难题都与之密切相关因而研究它们的性质具有很大意义 1 9 9 3 年，著名的罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在他所著的0 n l v p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中提出了1 0 5 个尚未解决的问题，其中许多问题都 与数论有关 本文基于对以上所述问题的兴趣应用初等数论、解析数论等相关知识对一 些特殊函数的性质进行了研究，通过对其性质的研究，我们构建了几个方程，并用 初等的方法得到了它们的所有的正整数解与此同时，我们还对s m a r 锄d a c h e 型 函数的无穷级数进行了研究具体来说，本文的主要成果包括以下几个方而： 1 对任意的正整数n 和女2 ，n 的s m a r a n d a c h e 七次补数n ( n ) 被定义为最小 的正整数，使得住n k ( 几) 是一个完全次幂即就是 口七( n ) = m i n f ：f - n = m 七，f ，m ) 第三章主要依据次补数的定义和性质，研究了包含七次补数的方程的可解性问 题，并利用初等方法获得了方程的所有正整数解 2 通过研究s m a r a n d a c h e 型可乘函数口。( 扎) 的性质，构建了方程 口# ( n ) + d 嚣一1 ( n ) + + d # 1 ( n ) = n ， r 1 并用初等的方法完全解决了它 3 关于s m 村锄d a c h e 型函数的无穷级数，本文运用解析的方法研究了它的收 敛性，同时给出了几个重要的恒等式 关键词： 算术函数；方程；正整数解；无穷级数；恒等式 】e a nv a l u ep r o p e r t i e so ns o m ea r i t h m e t i c a l f h n c t i o n sa n ds o m ee q u a t i o n si n v o l v i n ga r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e l lk n o w na n a l y t i cn u m b e rt h e o r yi sac o m p o n e n to fn u m b e rt h e o r y li t s s t u d y i n gi m p l e m e n ti sa n a l y t i cm e t h o d m e a n v a l u ep r o b l e m so fs o m ea r i t h m e t i c a l f 1 1 n c t i o n sp l a ya nj m p o r t a i l tr o l ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e 0 吼a n d t h e yr e l a t et om a i l yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，i th a sg r e a t s i g n i f i c a n c et os t u d yt h e i rp r o p e r t i e s p r o 胁s o rf s m a r a n d a c h ei sar u m a i a f a m o 璐n u m b e rt h e o r e t i ce ) c p e r t ，i n 1 9 9 3 ，p r o f e s s o rf s m a r a n d a c h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e dp r o b l e m si n o n l yp m b k m s ，n 0 ts o l u t i o n s ，s o m eo ft h e ma r er e l a t e dt on u 1 b e rt h e o u i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，im a j n l yu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h _ o d st os t u d yt h ep r o p e r t i e so fs o m es p e c i a lf i l n c t i o l l sw h i c hw e r eg i v e ni o l y p r o b l e m s ，n o ts 0 1 u t i o i l s ，b ys t u d y i n gt h e i rp r o p e r t i e sw e s e tu ps o m ee q u a t i o n s ， a n do b t a i na l lt h e i rp o s i t i v ei i l t e g e rs o l u t i o l l s ，i “s os t u d yt h ei n f i n i t es e r i e sa b o u t t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n t h em a i na c h i e v e m e t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o a r ea s b 1 1 0 w s ： 1 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 凡a d 后2 ，w ec a l l ( 仃) a sa 七一p o e rc o m p b m e n t a 叫n u m b e ri f 毗( 礼) d e n o t e st h e s m a l l e s tp o s i t i v ei n t e g e rs u c ht h a t 礼凸七( n ) i s ap e r f 套c t 七一p o w e r t h a ti s o 知( 佗) = m i n f ：f 佗= m 。，2 ，m ) i nc h 印t e rt h r e e ，w em a i n l ya c c o r d i n gt ot h ed e f i n j t i o na n dp r o p e r t yo ft h e 舡 p o w e rc o m p l e m e n tt os t u d yt h es o l u t i o i l so fa ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h e 虹p o w e r c o m p l e m e n t a r yn u m b e r s ，卸du s i n gt h ee l e m e n t a 珂n l e t h o d st og i v ei t sa up o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n s 2 b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fs m a r a n d a c l l e t y p ef u n c t i o nd m ( 几) ，w es e t u pt h ee q u a t i o n ， d 豺7 ) + d 等一1 ( n ) + - + d = 1 ( n ) = 礼， r 1 a n ds 0 1 v e di tc o m p l e t e l y 3a b o u tt h es m 8 r a n d a c h e _ t y p ef u n c t i o n ，w eu s e dt h ea a l y t ki r l e 址l o d s t os t u d yi t sc o n v e r g e n c eo fs o m ei n f i n i t es e r i e s ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n t i d e n t i t i e s k e y w d r d s ： n u m b e rt h e o r e t i cf u n c t i o n ；e q u a t i o n ；p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n i n 丘n i c es e r i e s ；i d e n t i t y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：尘一盐 指导教师签名：主告垂司缉 ) 们年j 月；o 日2 鲫矿年5 月；。日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：套静 2 i f o f 年j 月? o 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论是一门研究整数性质的学科它与几何学一样，是最古老的数学分支 在数论形成一门独立的学科后，随着其他数学分支的发展：研究数论的方法也在 不断的发展在我国，数论也是发展最早的数学分支之一 众所周知，当自变量”在某个正整数集合中取值时，因变量取实数值或复 数值的函数g = ，( n ) ，我们将其称之为数论函数。数论函数在许多数论问题的研 究中起着非常重要的作用，许多著名的数论难题都与之密切相关但一些数论函 数的取值是十分不规则的，因而研究他们的性质是非常有意义的 关于数论函数的均值估计是数论研究的重要课题之一，是研究各种数论问题 不可缺少的工具，因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对数论的发展起到 重要的推动作用 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a i l d a c h e 教授所作出的许多贡献中其中一项就 是他源源不断提出来的一系列出色的问题，1 9 9 3 年在他所著的0 n l yp r o b l e i 璐， n o ts o l u t i o n s 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的问题，其中许多问题与数论有 关；而另一位加拿大数论专家r k g u y 所著的u n s o i v e dp r o b l e m si nn u m b e r t h e o r v 一书中的诸多问题则同样引起了数论爱好者的研究兴趣对其中的一 些问题进行研究并给以一定程度上的解决，是有趣并有一定理论意义的 基于以上的想法，我们应用初等数论、解析数论等知识对一些特殊函数的均 值性质进行了研究，并得到了较为有趣的研究结果 1 2 1 主要成果和内容组织 方程的整数解问题是数论的一个重要课题，也是一个非常复杂和吸引人的课 题，世界上许多伟大的数学家都在这一领域作出过杰出的工作，至今仍旧是现代 数论和现代代数几何的推动力和源泉为了研究一些方程的整数解，人们创造了 许多强有力的方法和工具，但是仍有许多问题没有解决在f s m a r a n d a c h e 教授 的o n l yp r o b l e 】s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，他给出了许多有趣的数论函数，并 建议广大学者去研究它们的性质 本文主要研究了包含s m a r a n d a c h e 型函数次补数的方程，包含无次幂因子 数的方程的可解性，并利用初等的方法完全解决了它们，同时给出了它们的所有 正整数解本文还研究了几个无穷级数的收敛性，内容主要分布在第三章至第五 章具体来说，本文的主要成果如下： 1 研究了包含次补数的方程的可解性问题，并利用初等的方法获得了该 方程的所有正整数解 第一章绪论 2 通过研究s m a r a n d a c h e 型函数上) m ( 几) 的性质，构建厂方程 璐7 ( n ) + 碟1 ( n ) + + 璐1 ( 礼) = 几， r 1 并用巧妙的方法完全解决了它 3 关于s m a r a n d a c h e 型函数的无穷级数，本文运用解析的方法研究了它们 的收敛性，同时给出了几个非常重要的恒等式 2 西北大学硕士学位论文 2 1数论简介 第二章数论概述 一般说来，一个学科分支的起源总是从对一些人们所关切的，感兴趣的重要 问题的研究开始的，当形成了特有的研究对象，特有的研究方法，以及较为系统的 基本理论和成果时，一门新学科就诞生了 例如像1 ，2 ，3 ，这些简单的正整数，从口常生活以至尖端科学技术都是离 不开的其它的数字，如负数，有理数等等，都是以正整数为基础定义出来的，所 以研究正整数的规律非常重要数论这门学科最初就是从研究整数开始的，所以 叫做整数论后来整数论又进一步发展，就叫做数论了确切地说，数论就是一门 研究整数性质的学科数论与几何学一样，是最古老的数学分支古希腊人和中 国古人等很早就有了数论知识 在我国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大 公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等在国外，古希腊时代的数 学家对于数论中一个最基本的问题一整除性问题就有系统的研究，关于质数、和 数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了后来的各个时代的数学家 也都对整数性质的研究做出过重大贡献，使数论的基本理论逐步得到完善 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入 研究整数的性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的有关问题，一直受 到数学家们的关注 虽然现在属于数论范围的许多著名问题在很早就开始进行研究，并获得了 十分丰富的成果，但奇怪的是，数论作为一门独立的数学分支出现却是迟至十九 世纪初的事人们公认高斯( c f g a u s s ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究 ( d i s q u i s i t i o r l 锶a r i t h m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞生的标志，数论最 基本的特有的研究方法就是高斯在这一天才著作中所创立的同余理论 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 “皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”下面简要列出几颗“明珠”：费尔 马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题 数论是最古老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域：数论是最典型 的纯粹数学，它又是日益得到广泛直接应用的新“应用数学”分支 虽然古希腊、中国与印度的数学著作中不乏数论问题与结果的记述，但近代 意义的数论研究是从费马开始的费马提出了一堆定理，这些定理，毋宁说是猜 想，因为费马只对其中个别命题留下了自己的证明这些猜想，使数学家们忙碌 了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题，下面是费马提出的部分 “定理” ( 1 ) 费马小定理：如果p 是素数，d 与p 互素，则n p o 可以被p 整除 3 第二章数论概述 f 2 ) 费马大定理：方程 护+ 圹= 扩 对任意大于2 的自然数扎无整数解 ( 3 ) 平方数问题：( i ) 每个4 n + 1 形的素数和它的平方都只能以一种方式表示 为两个平方数之和：每个4 扎+ 1 形的素数的三次方和四次方都能以两种方式表 示；其五次方和六次方都能以三种方式表示，如此等等，以至无穷如几= 1 时， 5 = 2 2 + 1 2 ，5 2 = 3 2 + 4 2 ，5 3 = 2 2 + 1 1 2 = 5 2 + 1 0 2 ，等等( i i ) 每个正整数可表示 成四个或少于四个平方数之和 ( 4 ) 费马数：昂= 2 2 ”+ 1 ，n = o ，1 ，2 ，3 ，费马在1 6 4 0 年给梅森的一封 信中断言“形如2 2 “+ 1 的数永远是素数” ( 5 ) 方程z 2 一a 9 2 = 1 当a 是正数但非完全平方数时有无穷多个( 整数) 解 费马还研究过完全数、亲和数等 1 8 世纪的数论研究可以说是受到了费马思想的主宰，这一时期得到的许多结 果，都与证明费马提出的那些“定理”有关 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开始， 就出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家1 9 4 9 年以后，数论的研究得 到了更大的发展，特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”等方面的研究，已取得 世界领先的优秀成绩 2 2 数论的分支 数论是研究整数性质的一个数学分支，在它形成了一门独立的学科后，随着 数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展如果按照研究方法来说，数 论可以分为初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分，还有其他分 支现代数论已经深入到数学的一切分支 ( 1 1 初等数论 初等数论不求助于其他任何数学学科的帮助，它是数论中以算术方法为主要 研究方法的一个分支，是研究整数最基本的性质，是数论的最古老的分支初等 数论中对某些问题的研究促成了新的数学分支的产生 整除理论是初等数论的基础，它是在带余数除法的基础上建立起来的：整除 理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论同余理论是初等数论的核 心，它是数论所特有的思想、概念和方法；求解不定方程是推进数论发展的最主 要课题 f 2 1 解析数论 数论中以数学分析作为工具来研究数的性质的分支叫做解析数论数学分析 是以函数作为研究对象的，在极限概念的基础上建立起来的数学学科用数学分 析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对他的发展做出过 贡献通常把g f b m e m a n n 于1 8 5 9 年发表的著名论文论不大于，一个给定值的 4 西北大学硕士学位论文 素数的个数( u b e rd i ea n z a h ld e rp r i m z a h l e nu n t e re i n e rg e g e b e n e ng r 0 8 s e ) 看 作是解析数论作为数论的一个分支开始形成的主要标志 解析数论起源于对素数分布问题的研究，在对各种堆垒数论问题的研究中得 到发展其主要领域有素数分布、黎曼( 函数、狄利克雷除数函数、堆垒数论、 格点问题和解析数论方法等 解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比如，对于“质数有无限 多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷 级数的若干知识二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了 “三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用我国数学家 陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的就是解析数论中的筛法 解析数论本身是在和其他学科互相渗透的过程中逐步发展起来的，从历史和 近年来的发展趋势看，新的分析、代数以及几何方法必将不断被引进来继续推动 解析数论向前发展，而这些学科的方法与结果的价值也将在其推动数论问题的解 决所取得的进展巾得到检验所以，解析数论始终是一门具有强大生命力和光辉 前景的重要学科 ( 3 ) 代数数论 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支同时它也是数论的一 个重要分支，它以代数整数或者代数数域为研究对象不少整数问题的解决要借 助于或者归结为代数整数的研究因此代数数论是整数研究的一个自然的发展 ( 4 ) 几何数论 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的它又被 称为数的几何，是应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支它研究的基 本对象是”空间格网”在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全 部整点构成的组就叫做空间格网空问格网对几何学和结晶学有着重大的意义 因此几何数论在丢番图逼近和代数数论研究中得到了广泛的应用 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状 态，它对数学理论的发展起到了积极的作用由于近代计算机科学和应用数学的 发展，数论得到了广泛的应用除了以上四个分支外，数论还有其它分支： 计算数论：主要借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解 等和密码学息息相关的话题 超越数论：研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的z e o 函数值之研究 尤其令人感兴趣 组合数论：利用组合和机率的技巧，非构造性的证明某些无法用初等方式处 理的复杂结论这是由艾狄胥开创的思路 2 3 数论的发展 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这 些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完 5 第二章数论概述 整统一的学科 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富 了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了德国数学家高 斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨，1 8 0 0 年寄给了法国科学院，但 是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1 8 0 1 年自己发表了这部著作 这部书开始了现代数论的新纪元 在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时 现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还 引进了新的方法 6 西北大学硕士学位论文 3 1引言 第三章包含忌次补数的方程 设七2 是一个给定的正整数对于任意正整数礼，我们定义扎的s m 甜a n d a c h e 女次补数o k ( n ) 为最小的正整数，使得n o ( 几) 是一个完全女次幂即就是 七( n ) = m i n f ：f n = m 七，f ，m ) 特别的；我们称n 2 ( n ) ，n 3 ( n ) ，0 4 ( 礼) 分别为平方补数，立方补数及四次方补 数例如，毗( 2 ) = 2 2 ，n k ( 3 ) = 3 ，n k ( 2 。) = 1 ，在文献【1 】的第2 7 个问题 中，美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究有关礼的次补 数n k ( 礼) 的性质关于这个问题，不少学者作过研究，并且获得了一些有趣的结论 例如，娄源冰给出了一个有关平方补数n 2 ( 礼) 的渐近公式即就是证明了对任意实 数z 3 ，有： y d ( n 2 ( 礼) ) = c 1 山z + c 2 z + o ( z 扣) ， n 妄。 其中d ( n ) 是除数函数，e 是任意给定的正数，c l 和c 2 定义如下： c ，= 善玎( ，一南) ， 也= 善珥( ，一南) ( 莩者淼均一) ， ，y 是欧拉常数，表示对所有素数求积 与此同时，姚维利博士获得了一个有关七次补数o ( 他) 的渐近公式即就是对 任意一个实数z 1 ，我们有： d ( 砜( 礼) ) = z ( a 。1 n 外a 1 l n 抖+ 也) + o ( z 扣) n l 乐茂华教授声称他完全解决了这个问题，即就是证明了下面的结论 引理3 1 【1 1 】设“2 ( n ) 表示礼的s m a r a n d a c h e 平方补数，那么方程 o ；( n ) + ；一1 ( 凡) + + 2 ( 几) = 扎， r 1 ( 3 1 ) 的所有正整数解( n ，r ) 由以下给出： ( n ，r ) = ( 3 6 3 ，5 ) ( n ，r ) = ( 0 6 2 ，2 ) ， 其中n 和b 是互素的正整数，并且满足o 1 ，6 1 ，= 6 2 1 且n 是无平方因子数 3 2主要结论 在这篇文章中，我们主要利用初等方法研究了另外一个包含平方补数的方程 以及一个更一般的方程，即包含s m a r a n d a c h e 七次补数的方程，并给出了它们的所 有的正整数解具体地说也就是证明了下面的： 定理3 1设m 为完全平方数，那么对任意正整数k 2 ，方程 ( n 1 ) + o ( n 2 ) + + n ( 几七) = m - o ( 佗l + 礼2 + + n 七) 有无穷多组正整数解( 礼l ，竹2 ，几 ) 定理3 2 对任意的正整数自3 ，方程 o ；( n ) + o ：一1 ( 凡) + + o 七( 礼) = 礼， r 1 ( 3 2 ) 有解的充要条件是礼= r = m ，其解为( 礼，r ) = ( m ，m ) ，其中m 1 是任意的正 整数 3 3 定理的证明 3 3 1 定理3 1 的证明 在这一部分，为方便起见我们用n ( 孔) 表示n 的平方补数，并且利用初等方法 以及有关著名的歌德巴赫猜想的结论来完成定理的证明为引用方便，这里我们 把著名的陈景润定理及三素数定理的结论予以介绍： 8 西北大学硕士学位论文 陈景润定理：任意一个充分大的偶数2 都可以表示成2 = 功+ 抛或 者2 v = p l + 化p 3 ，其中p l ，耽，船为不同的素数 三素数定理：任意一个充分大的奇数都可以表示成三个奇素数之和即就 是2 + 1 = p 1 + m + 船，其中p l ，p 2 及p 3 为奇素数 关于这两个著名定理的证明可参阅文献【4 】 现在我们可以利用以上两个重要结论来完成定理3 1 的证明由血f 佗) 的定义 及性质显然有o ( p 1 ) = p 1 ，n 0 1 p 2 ) = p 1 仡，o ( 礼2 p ) = p ，这里p ，p l 及p 2 为不同的素 数由于m 为完全平方数，所以可设m = 肛2 ，下面我们讨论七的不同情况 ( i ) 当= 2 时，如果卢为奇数，则p 2 p 为奇数，2 p 2 p 为偶数，于是由著名的陈 景润定理知当2 卢2 p 足够大时有2 p 2 p = p l + 耽或者2 p 2 p = p l + 砘p 3 ，其中p 1 ，p 2 ， 船为不同的素数于是取n l = p l ，亿2 = 化或者n l = p 1 ，他= 脚3 ，则有 p 2 0 ( n l + 礼2 ) = p 2 0 ( 2 p 2 p ) = p 2 2 p = 札l + n 2 = ( n 1 ) + n ( n 2 ) 由于p 为任意充分大的素数，所以( 礼l ，礼2 ) 有无穷多组即原方程有无穷多组正整 数解( n l ，n 2 ) 因此，定理的结论是正确的 如果p 为偶数，则芦2 p 为偶数同样由著名的陈景润定理可知当肛2 p 足够大 时有肛2 p = p 1 + m 或者p 2 p = p l + 船舶因而有 或者 肛2 0 ( p l + p 2 ) = p 2 ( p 2 p ) = 肛2 p = p l + p 皇= o 1 ) + o ( p 2 ) p 2 ( p 1 + p 2 孤) = p 2 n ( p 2 p ) = 卢2 p = p l + 仡m = 0 1 ) + n 2 船) 即此时方程有无穷组正整数解 ( i i ) 当= 3 时，如果为奇数，则p 2 p 为奇数于是由著名的三素数定理知 对于足够大的奇素数p 有卢2 p = p 1 + p 2 + p 3 ，取n 1 = p l ，n 2 = p 2 ，凡3 = 船，则有 肛2 0 ( p l + m + 船) = p 2 n ( p 2 p ) = 肚知= p 1 + 纯+ 船 n ( 他1 ) + n ( n 2 ) + n ( 札3 ) 如果p 为偶数，则肛2 p 为偶数于是由著名的陈景润定理可知对于足够大的 素数p 有p 2 p = 2 + p 1 + 优或者p 2 p = 2 + p l + p 2 船因而有 p 2 0 ( 2 + p 1 + p 2 ) = p 2 0 ( p 知) = p 0 = 2 + p 1 + p 2 = n ( 2 ) + o 1 ) + n ( p 2 ) 或者 p 2 n ( 2 + p 1 + p 2 p 3 ) = p 2 ( “2 p ) = 卢2 p = 2 + p l + p 2 p 3 = n ( 2 ) + o ( p 1 ) + o ( p 2 船) 9 第三章包含女次补数的方程 即此时方程也有无穷组正整数解( n 1 ，n 2 ，他) ( i i i ) 当 3 时，我们分两种情况讨论：( a ) 如果p 为奇数，则p 2 p 为奇数于 是当后为奇数时，对充分大的素数p ，p 2 p 也足够大，由著名的三素数定理( 推广形 式为：设3 为奇数，则任意充分大的奇数都可以表示成女个奇素数之和】不难 得到“2 p = p 1 + p 2 + + m 因而有 肛2 n ( p 1 + m + + p 七) = p 2 n ( 2 p ) = p 2 p = p 1 + p 2 + + p 七 = o 1 ) + 口( p 2 ) + + n ( m ) 此时取几1 = p l ，”2 = p 2 ，n 女= m 并注意素数p 任意性即可得到我们的定理 如果角为偶数，则当p 2 p 足够大时同样由三素数定理的推广形式容易得 到p 2 p = 2 + p l + 他+ + m 1 于是有 p 2 0 ( 2 + p 1 + p 2 + + p 七一1 ) = 肛2 0 ( 肛2 p ) = p 2 p = 2 + p l + p 2 + + p k 一1 = n ( 2 ) + n ( p 1 ) + n ( p 2 ) + + n ( p k 一1 ) 取n i = 2 ，礼2 = p 1 ，n k = m l 立刻得到定理的结论也就是说此时方程仍然 有无穷组正整数解( n 1 ，n 2 ，仃女) ( b ) 如果卢为偶数，则p 2 p 也为偶数于是当七为偶数时，对充分大的肛2 p ， 设2 p = 3 + p l + 化+ + m 一1 因而有 p 2 ( 3 + 1 + p 2 + + p 七一1 ) = p 2 0 ( 肛2 p ) 一p 2 p = 3 + p 1 + p 2 + + p 七一1 = n ( 3 ) + n ( p 1 ) + n ( p 2 ) + - - + n 溉一1 ) 如果七为奇数，则当弘2 p 足够大时可设p 2 p = 2 + p 1 + p 2 + + 腓一l ，则 矿n ( 2 + p 1 + 仡+ + p 七一1 ) = 卢2 n ( 肛2 p ) = p 砀= 2 + p l + p 2 + + p k 一1 = o ( 2 ) + 0 0 1 ) + ( 优) + + n 魄一1 ) 也就是说此时方程同样有无穷组正整数解( n 1 ，n 2 ，几k ) 结合以上各种情况就完成了定理3 1 的证明 3 3 2定理3 2 的证明 现在我们利用引理3 1 给出定理3 2 的证明：设 凡= m m 5 m ， 其中m 2 ，m 3 ，m k 是两两互素的正整数且无平方因子 由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 我们可以得到 ( 3 3 ) o ；( n ) + 一1 ( n ) + j + 口女( n ) = m 2 m ；一1 m k ( 3 4 ) 1 0 西北大学硕士学位论文 又由) 的定义我们有 因为3 ，所以m 引m ；_ 1 ，由公式( 3 ，1 0 ) 我们可以得到m ；k k ( n ) 因为m 2 ，m 3 ，- - ，m k 是两两互素的，所以m 2 = 1 由( 3 1 0 ) 式我们有 o k m ) ( o ：。( 几) + n ；- 2 ) + + n k ( 佗) + 1 ) = m 七m ；m 七 即就是 竞一1 r 一1、 七一1 m h ，( n ：( n ) ) = m m 搿 ( 3 5 ) = 2 0 = 0 t = 2 如果2 乳则当一t 时，我们知道m 锗整除( 3 1 1 ) 式右边，所 以也整除( 3 1 1 ) 式左边，但是m 绪fm 0 1 ，所以m 搿只能整除( o ：( n ) ) ，所 以m t + 1 = 1 于是( 3 1 1 ) 式可写为 曩m ! l j ：一1 ( 薹ic n ，) = m 曩m 高宴一t + l 由于 2 】+ t 一1 七一 一t + 1 ， 鼢：1 孰：， m 群。1j m 黼， = 2 t = 2 是m 罱：一1 是m 篙粤一件1 ， 嘲 唱i t = 2 。 ( 3 6 ) 因为m 嘲+ t 是两两互素的并且无平方因子，所以m 十t i m 现在我们来证明( 3 1 2 ) 式中的m 嘲+ t 2 1 否则，我们可以假设m 嘲+ t 有一 个素数因而私咖，蜘，但跗嘲：，那缈i 匡础n ，) ，所以 有矿1 1 ，与p 是一个素数矛盾因此我们证明了m 嘲+ t = 1 第三章包含次补数的方程 们有 剩卜j 的情况只有七一t = t 这时显然女是一个偶数并且七4 由公式( 3 1 1 ) 我 即就是 祟：( m 铲 o ( n ) 一1 由引理3 1 我们知道这个方程仅有一个解m = 1 1 但由于凫4 ，所以m ；不可能 等于1 1 ，也就是说七一t 因此由前面的分析我们有叻= 1 ，j = 2 ，3 ，七，所以n = m ，n ( n ) = 1 又南( 3 8 ) 式，我们有r = 礼= m 这样就完成了定理3 2 的证明 1 2 m 1 1 。 础 西北大学硕士学位论文 第四章关于s m a r a n d a c h e 型函数日n ( n ) 4 1引言 对任意的正整数n ，著名的s m a r a n d a c h e 幂函数鼠( n ) 被定义为 ( ，1 ) = m i n m ：n i m ) 例如，如果七= 3 ，我们就可以得到数列 岛( 札) ) = 1 ，2 ，3 ，) 特别地： 昆( 1 ) = 1 ，s 3 ( 2 ) = 2 ，岛( 3 ) = 3 ，岛( 4 ) = 2 ，岛( 5 ) = 5 ，& ( 6 ) = 6 ，岛( 7 ) = 7 ， s 3 ( 8 ) = 2 ，根据定义，这个算术函数显然是一个可乘函数，并且有一些非常 有趣的性质，因此许多学者都对它进行了研究例如，李杰硕士研究了这个函数的 一个非常重要的渐近性质，并且获得了一个十分有趣的渐近公式，即就是，对任 意的正整数七，我们有： q ( ( 州) ) = 知1 n n + c ) + o ( 志) 其中g 是一个可计算常数 同时，其他一些学者对另一个s m a r a n d a c h e 型可乘函数c k ) 也进行了研究 函数g 。( n ) 被定义如下： i ! k ( 凡) = m a x z ：z ”in ) 关于这个函数，刘华宁博士证明了：对任意的整数m 3 和任意实数。1 ， 我们有 三) 2 帮刑1 同时，郭金保教授也对函数c k ( 礼) 的性质进行了研究，并且获得了如下结论： 令d ( n ) 为除数函数，那么对任意的实数。1 和任意给定的正整数m 2 ，我们有 d ( ( 几) ) = ( ( m 净+ o ( z 扣) n 1 的所有正整数解，并给出如下： ( i ) ( n ，r ) = ( 3 6 3 ，5 ) ； ( i i ) ( n ，r ) = ( 8 驴，2 ) ，这里。是一个无平方因子数，且和6 是一对互素的正整 数并满足以下关系 1 ，6 1 ，8 = 护一1 在这篇文章中，我的主要目的是用初等的方法来研究一个包 含s m a r a n d a c h e 型函数d 。( n ) 的方程的可解性，同时给出它的所有正整数解即 就是，我们将证明如下定理： 定理4 1 设m 是一个给定的正整数，且满足m 2 ，t 是一个非负整数，那么 方程 d 翁”( 几) + d 嚣一1 ( n ) + + 口嚣1 ( n ) = 礼， r l ( 4 1 ) 有正整数解( 几，r ) ，并且它的所有正整数解( 礼，r ) 给出有如下三种情况： ( i ) ( n ，r ) = ( 6 m ，护) ，这里6 是一个正整数； ( i i ) ( n ，r ) = ( 7 。+ 1 4 0 0 ，4 ) ，( 3 。+ 1 1 2 1 ，5 ) ，( 1 8 2 + 1 3 4 3 ，3 ) ，这里t 三o ( m o d 1 ) ； ( i i i ) ( n ，2 ) = ( 口蚪1 ( o + 1 ) ，2 ) ，这里口是一个无m 次幂因子数，且三o ( m o d m l 特别地，如果令上面定理中的t = o ，那么我们就能够得到如下推论： 推论4 1给定一个正整数m 2 ，方程 d 毛( 礼) + d i l ( 礼) + - + d 。( n ) = 扎， r 1 ( 4 2 ) 有以下的正整数解 1 4 西北大学硕士学位论文 ( i ) ( 几，r ) = ( 6 m ，护) ，这里b 是一个正整数； ( i i ) ( n ，r ) = ( 2 8 0 0 ，4 ) ，( 3 6 3 ，5 ) ，( 6 1 7 4 ，3 ) ； ( i i i ) ( 几，2 ) = ( ( + 1 ) ，2 ) ，这里n 是一个无m 次幂因子数 4 2 一个引理 首先，我们的定理的证明需要如下引理 引理4 1 【2 4 】方程 等叫，z 1 ，9 ” 2 ，q 1 有且仅有以下三组正整数解，即( 1 ) ( z ，掣，r ，口) = ( 7 ，2 0 ，4 ，2 ) ，( 2 ) ( z ，9 ，r ，q ) = ( 3 ，1 1 ，5 ，2 ) ，( 3 ) ( z ，可，r ，q ) = ( 1 8 ，7 ，3 ，3 ) 4 3 定理的证明 现在我们利用这个引理来完成定理的证明令扎= u “ ，这里u 是一个无m 次 幂因子数根据函数d 。( 凡) 的定义，我们可以得到研。) = 又由方程( 4 1 ) ，我 们有 + 7 + 口。+ 7 1 + + ”+ 1 = t ，“u 或者 ( 矿一1 + 7 2 + + 1 ) = 让”， r 1 ( 4 3 ) 如果”= 1 ，我们有r = 让”，令6 = 仳，那么就有( 礼，r ) = ( 护，6 m ) 如果 1 ，当t = o 时，方程( 4 3 ) 就变为 暑卵，r 1 ( 4 4 ) 根据引理， 当r 2 时，我们可以立即得到( ，u ，r ，m ) = ( 7 ，2 0 ，4 ，2 ) ，( 3 ，1 1 ，5 ，2 ) ，( 1 8 ，7 ，3 ，3 ) 那么带入方程就有( 凡，r ) = ( 2 8 0 0 ，4 ) ，( 3 6 3 ，5 ) ，( 6 1 7 4 ，3 ) 当r = 2 时，由( 4 4 ) 式我们可以得到 + 1 = “令n = 钌，就有( 礼，2 ) = ( o ( n + 1 ) ，2 ) ，这里是一个无仇次幂因子数 至此推论就得到了证明 以上是t = o 的情况，下面我们证明 0 的情况： 当z 0 时，我们可以令u = 1 钍2 ，这里“1 u 2 都是正整数 在方程( 4 3 ) 中，由于( ，口件1 + + 1 ) = 1 ，因此我们就有 = “p 1 5 ( 4