（基础数学专业论文）四维minkowski空间内类空曲线的光锥高斯映射.pdf

摘要 在本文中我们定义了四维m i n k o w s k i 空间内类空曲线的光锥高斯映射，光锥垂足 曲线，光锥高度函数的概念，建立了这些对象的奇点与在洛仑兹群作用下曲线的几何不 变量之间的关系，并且运用奇点理论的标准工具对该空间中类空曲线的奇点进行分类 关键词：类空曲线，光锥高斯映射，光锥高度函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w bd e 6 n et h en o t i o n so fl i g h t c o n eg a u s sm a p s ，l i g i l t c o n ep e d a lc u e s a n dl i g h t c o n eh e i g h tf u n c t i o o fas p a c e l i k ec u r v ei nm i n k o w s k i4 s p a c e ，a n de s t a b l i s h e d t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns i n g u l a r i t i e so ft h e s eo b j e c t sa n dg e o m e t r i ci r l v a r i a n t so fc u r v e s u n d e rt h ea c t i o nl o r e n t zg r o u p ，a n da sa na p p l i c a t i o n 8o fs t a n d a r dt e c h n i q u e so fs i n g u l a r i t yt h e o r yc l a s s m e ds i n g u l a r i t i e so fas p a c e l i k ec u r v ei nt h i ss p a c e k e yw o r d s ：s p a c e l i k ec u r v e ，l i 曲t c o n eg a u s sm a p ，l 培h t c o n eh e i g h tf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：适雠同期：2 1 塑! 圭! 兰l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：送建筌指导教师签名：丝立z 垒 日 期：翘堑。圭，2 f 日期：尬五。2 星 学位论文 工作单位 通讯地址： 电话： 邮编：星蛙堡垒垒 引言 微分几何是以数学分析为工具来研究空间形式的一门数学学科，主要讨论光滑曲 线与曲面的性质古典微分几何主要讨论曲线与曲面的局部性质，即主要包括曲线论与 曲面论随着对物质运动认识的深入，十九世纪开始展开了高维空间微分几何的研究 二十世纪以来，整体微分几何及微分流形的研究逐渐兴起且发展非常迅速，并与微分方 程、代数、拓扑相互渗透成为数学的一个重要学科微分几何在机械工程、力学、引力理 论及理论物理等其他领域都有广泛应用微分几何这门学科不仅历史悠久，而且由于它 在发展过程中不断更新，至今仍是一个十分活跃的领域近年来微分几何已渗透到数学 的各个分支，对许多其他学科产生了重要影响 在古典微分几何中研究曲面的内蕴几何十分必要，曲面的内蕴几何即由曲面的第 一基本形式所决定的曲面的内在几何，也即描述曲面与形状改变无关的度量性质，最终 给出决定曲面形状的微分不变式的完全系统曲面的内蕴几何中高斯曲率扮演了重要角 色，曲面的高斯曲率是变形的不变量利用高斯映射可以给出高斯曲率的几何意义，曲面 上一点的高斯曲率为曲点邻近区域的面积及球面上对应区域面积之比的极限值而高斯 映射可定义如下：在曲面的各点作它的单位法向量，然后把这向量平移到坐标原点，那 么它的端点就决定了单位球面上的一点，我们把如此建立的曲面上点与单位球面上点的 对应称为高斯映射 高斯映射与奇点理论联系紧密，我们以平面蓝线的高斯映射举例说明，见【3 3 】设 x ( t ) ( o o ) 且1 9 + = ( l ，。2 ，z 3 ，z 4 ) l z = $ ! + z i + z ；，z l o 因为 西_ 1 ( z 1 ，。2 ，z 3 ，。4 ) = ( ( 1 ，嚣，嚣，磬) ，。1 ) ，圣是一个微分同胚由上可假定d 膏cs 辜r + ，显 然有 垂( d 齑) = ( u ，u ) i u = ( 1 0 ) ，n 2 ( s ) 土礼3 ( s ) ) ( 扎2 ( s ) 土礼3 ( s ) ，s n 由定理3 1 和命题3 2 ( 2 ) ，膏的判别式集d 哥局部微分同胚于一直线或尖点 由命题 2 1 ，( 2 ) 得证 4 类空曲线的通有性质 本节中，我们考虑了四维m i n k o w s k i 空间中类空曲线的m o n g e _ t a y l o r 映射设，y ： ，_ 掰为正则曲线，是四维m i n k o w s k i 空间中单位圆s 1 的连通开子集现在我们选 择一族光滑单位向量函数n l ( t ) ，它是7 在t 处切向量t ( t ) 的伪垂线，( n l ( ) ，m ( t ) ) = l ，且 对任意t j ，( m ( t ) ，t ( t ) ) = o 这样的n 1 ( t ) 可如下获得：考虑把t 映成单位切向量t ( t ) 的 光滑映射t ：j _ 辞，若y 是辞的任一向量，可通过伪正交投射将y 作用于每个法空 间且正规化，得到向量n l ( t ) 因此 州螗拱踹 于是有( m ( t ) ，n l ( t ) ) = l ，且( n l ( t ) ，t ( t ) ) = o 类似可获得在t 处伪正交于7 的切向量t ( t ) 的 1 3 第二族光滑单位向量函数n 2 ( t ) 考虑把t 映成单位类空向景n 1 ( t ) 的光滑映射n z ：，_ + 碑， 若是珥( 衅= p 尉i ( p ，p ) = 一1 ) ) 的任一向量，可通过伪正交投射将作用于每 个法空间且正规化，得到向量，1 2 ( t ) 因此 。 w 一m “1 ( t ) ) n l ( t ) “孙 一1 1 w 一啊n 1 ( t ) ) n l ( 圳 于是任意t j ，( n 2 ( t ) ，n 2 ( t ) ) = 一1 ，( n 2 ( t ) ，n 1 ( t ) ) = 0 ，旧( t ) ，t ( t ) ) = 0 这表明n 2 ( t ) 是沿 ，y 的单位类时向量我们也可以获得在处伪正交于7 的第三族光滑单位向量函数 n 3 ( t ) = t ( t ) n l ( t ) n 2 ( t ) 我们用由t ( ) ，n l ( t ) ，t 1 2 ( t ) ，n 3 ( ) 张成的伪正交直线作为曲线在 点，r ( t ) 处的坐标轴，依赖于曲线的洛仑兹运动旋转坐标轴上的单位点分别对应以上四个 单位向量注意此处不要求7 一定是单位速度曲线，其中7 ( o ) = o 7 ( ，) 局部上可以记为 ( f ) ，f ， ( ) ，“( f ) ) ) ，且j 1 ，t ( o ) = j 1 甄( o ) = j 1 “( 0 ) = o 设k 代表关于f 的次数大于等于 2 小于等于的多项式空间对类空曲线7 ，我们有m o n 黔t a y l o r 映射 p ，：j + k k k ，p 1 ( ) = 0 8 ( 0 ) ，j 2 9 t ( o ) ，j 。k ( 0 ) ) kx 诈磙可以等同于r ：_ 1 矗：- 1 月 = 咒p ，坐标记为( n 2 ，幻，“，c 2 ， 当然p 7 与n 1 ( t ) ，n 2 ( t ) 的选取密切相关这里，o 产粤，饥：! 挚，q = 掣( 2 t 女) ， 即k k = ( n 2 f 2 + a 3 f 3 + + o 七专七) ，( 6 2 f 2 + 6 3 f 3 + + 6 t f ) ，( c 2 f 2 + c 3 f 3 + + 。女) ) 设r 代表形式为妒( z ，z ， ) = ( ( 妒1 ( z ，_ ，z ，u ) ，忆( z ，z ，t ) ) ，妒3 ( z ，g ，z ， ) ，咖( 。，9 ，。， ) ) 的 映射妒：咒 r 的空间，其中啦( ，z ，w ) 是关于。，z ，”的次数的多项式元 素妒r 由妒l ，妒2 ，咖，妒4 中单项式一矿”的系数决定，共有监趔坚书器生q 丝个次 k 4 + i n t 3 k 2 5 0 k 2 4 数s 女的单项式z 矿u m ，所以最可以看成m i n k o w s k i 空间r 百一这个空 间可以提供我们所需要的曲线的形变 为了使问题简化，我们假设曲线7 是常态的，并且7 ( j ) 是有界的恒同映射 1 础：r i r 自然是r ( k 1 ) 中的元素设，y 满足以上假设，易知存在1 础的开邻域 【，c r ，它有以下性质：若妒u 则线性映射 t 妒( 一y ( t ) ) ：r r i ； - _ d 1 ；f ，( 7 ( t ) ) 满足把类时型向量映成类时型向量，类空型向量映成类空型向量其中d 妒( ，y ( t ) ) 代表 妒在，y ( t ) 处求导( 事实上这三个条件可以写成1 ( t ) 的开邻域上的三个代数不等式 所以由7 ( s 1 ) 的紧性，满足以上三个条件的集合是有限个开集的交，自然是开集) 如果 我们通过妒u 对原曲线进行形变，我们会得到两族新的法向量“l 母n 砷( t ) 如下t 因为映射妒：硝磁在包含了( j _ ) 的开集上是微分同胚向量n l ( t ) ，n 2 ( t ) 被映成 新向量d 咖( 1 ( t ) ) n l ( t ) ，d 币( 1 ( t ) ) n 2 ( t ) ，它们既不是零向量也不与妒o7 在t 处相切把向 量d 妒h ( t ) ) n 1 ( t ) ，d 妒n ( t ) ) n 2 ( t ) 正交投射到妒o ，y 在t 处的法空间并将其正规化就得到 1 4 n 1 妒( t ) ，n 1 妒( t ) ) = d ( 妒。7 ) ，n 2 妒( t ) ，n 2 妒( t ) ) = 一占( 妒o7 ) 其中 n 1 妒( ) = ( d 妒( ，y ( t ) ) n l ( t ) + ( d 妒( 7 ( t ) ) 扎1 0 ) ，如) 妒) 川d 妒( ，y ( t ) ) 礼l ( t ) + ( d 妒( 妒( t ) ) n l t ) ，讪) 曲 或 n 2 妒( t ) = ( d 妒( ，y ( t ) ) 扎2 ( t ) 一d 妒( ，y ( t ) ) n 2 ( t ) ，n i 妒) n 1 妒) 0 d 妒( 7 ( t ) ) n 2 ( t ) 一( d 妒( 一y ( t ) ) n 2 ( ) ，n l 曲) n l 曲 其中，如表示曲线妒0 7 在t 处的切向量所以按照以上假设，我们选择1 ，最的一 个开邻域它是由把包含，y ( j ) 的开集同胚地映到其象集的多项式映射构成的集合现 在我们证明了存在光滑映射； p ：s 1 u 叶k k k p ( 一，妒) 是妒0 7 应用向量族n l p ( ) ，n 2 t ( t ) 的m o n g e - t a y l o r 映射因此我们有以下定理 定理4 1 设，y 是类空曲线，q 是k k k = r 3 一3 的一个子流形对包含恒 同映射的某个开集矾c 由p ( t ，妒) = p 口。，( t ) 定义的映射 p ：s 1 巩一k k k 与q 横截( 事实上，我们可以证明肛是淹没映射，不需要考虑q 的情形) 通过直接计算，我们可以得到以下引理 引理4 2设，y ：s 1 _ 兄4 是由 7 ( t ) = ( 仇嬉) ，f ， ( f ) ，“嬉) ) = ( 6 2 r + 6 3 f 3 + 一，口2 f 2 + 口3 3 + - 一，c 2 p + c 3 f 3 + ) ，( 如) = o 给出的类空陷线则 (