（基础数学专业论文）曲面间映射的重合点.pdf

摘要 考虑拓扑空间之间的映射，如果一个点在两个映射下的的像点相同，该点被 称为这两个映射的重合点。在代数拓扑学中，人们不仅对重合点的存在性感兴趣， 也十分关注重合点的个数估计。 重合点的一个重要特例就是不动点。j a c o bn i e l s e n 在1 9 2 7 年提出了n i e l s e n 数 的概念，并证明n i e l s e n 数是映射同伦类中所有映射的不动点个数的一个下界。后 来，人们引进了重合点n i e l s e n 数，并证明它也是映射重合点个数的下界。 一般说来，n i e l s e n 数的计算是非常困难的。一个自然的想法就是建立n i e l s e n 数与其它拓扑不变量的联系。通过考察其它拓扑不变量来探讨n i e l s e n 数本身的性 质。本文中，我们主要讨论曲面上一种特殊自同胚- d e h n t w i s t 的重合点，给出 了重合点n i e l s e n 数与闭曲线的最小几何相交数的联系。我们证明：环面上两本质 简单闭曲线决定的d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数等于这两条曲线的最小几何相 交数的平方。这样我们给出了一个计算环面上d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数的新 公式。我们也尝试计算大亏格闭瞌面上d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数。另外，我 们也讨论了一般定向流形间两同胚，和g 的重合点与同胚g “。，的不动点的关 系。 关键字：重合点，曲面，自同胚，简单闭曲线，最小几何相交数。 c o i n c i d e n c e p o i n t s o f m a p s b e t w e e ns u r f a c e s a b s t r a c t c o n s i d e rt w om a p sb e t w e e nt o p o l o g i c a ls p a c e ap o i n ti ss a i dt ob eac o i n c i d e n c ep o i n to ft h e t w om a p si fi th a st h es a m ei m a g eu n d e rt h et w om a p s i na l g e b r a i ct o p o l o g y , o n e si np a ym u c h a t t e n t i o nt ot h ee s t i m a t i o no ft h en u m b e ro fc o i n c i d e n c ep o i n t sa sw e l la st h ee x i s t e n c eo ft h e c o i n c i d e n c e p o i n t s a s p e c i a la n di m p o r t a n tc a s eo fc o i n c i d e n c ep o i n ti sj u s tf i x e dp o i n t i n1 9 2 7 ，j a c o bn i e l s e n i n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fn i e l s e nn u m b e r , a n ds h o w e dt h a ti ti sal o w e rb o u n do ft h en u m b e rt h e f i x e dp o i n t so fm a p si nt h eh o m o t o p yc l a s so fg i v e nm a p l a t e r , n i e l s e nn u m b e ro fc o i n c i d e n c e p o i n t sw a sd e f i n e d ，w h i c h i sal o w e rb o u n df o rt h en u m b e ro fc o i n c i d e n c ep o i n t s i ti sk n o w nt h a tt h ec o m p u t a t i o no fn i e l s e nn u m b e ri sv e r yd i f f i c u l t an a t u r a li d e ai s t o e s t a b l i s ht h er e l a t i o nb e t w e e nt h en i e l s e nn u m b e ra n do t h e rt o p o l o g i c a li n v a r i a n t s i nt h i sp a p e r , w e c o n s i d e rt h ec o i n c i d e n c ep o i n t so fas p e c i a lk i n do fs e l fh o m e o m o r p h i s m s ，n a m e l y d e h nt w i s t s w e o b t a i nar e l a t i o nb e t w e e nt h en i e l s e nn u m b e ro fc o i n c i d e n c ep o i n t so ft w od e h nt w i s t sa n dt h e m i n i m a lg e o m e t r i ci n t e r s e c t i o nn u m b e ro ft h es i m p l ec l o s e dc u r v e sd e t e r m i n i n gt h e s et w od e h n t w i s t w es h a l ls h o wt h a to nt h et o r u s ，t h ec o i n c i d e n c en i e l s e nn u m b e ro ft w od e h nt w i s t si n e s s e n t i a ls i m p l ec l o s ec u r v e si se q u a lt ot h es q u a r eo ft h em i n i m a lg e o m e t r i ci n t e r s e c t i o nn u m b e r o f t h et w oc u n q e s m o r c o v e r ，w et r yt oc o m p u t et h ec o i n c i d e n c en i e l s e nn u m b e ro fd e h nt w i s t so n o r i e n t e ds u r f a c e sw i t hb i g g e rg e n u s e s m e a n w h i l e ，w ea l s o d i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h e c o i n c i d e n c ep o i n t so f a n dgw h i c ha r et w oh o m e o m o r p h i s m s b e t w e e no r i e n t e dm a n i f o l d sa n d t h ef i x e dp o i n t so ft h eh o m e o m o r p h i s mg 1 。， k e y w o r d ：c o i n c i d e n c ep o i n t ，s u r f a c e ，s e l fh o m e o m o r p h i s m ，s i m p l e c l o s e dc u r v e ，m i n i m a l g e o m e t r i c i n t e r s e c t i o nn u m b e r 。 2 首都师范大学硕士学位论文 曲面间映射的重合点 1 引言 设x ，y 是拓扑空间，映射，g ：x 一】，连续，如果，o ) 一9 0 ) ，善z ， 那么我们就称点x 是映射，和g 的重合点。映射重合点的存在性以及重合点 的个数问题就是方程f ( x ) * g ( x ) 的解的存在性和解的个数问题的抽象化。映 射的不动点就是这个映射与恒同映射的重合点。因此，研究重合点问题也就 更具有普遍意义。百年来，重合点( 或不动点) 的存在性、个数估计以及同 伦对其的影响都倍受人们的关注。 关于不动点的存在性的第一个定理就是：映射，：d “一d “有一个不动 点。 1 9 2 3 年，l e f s c h e t z 对于自映射，：x 一工，定义了一个整数 l ( ，) 。( 一驴t r a c e ( ：日。( x ，q ) 一日。( x ，q ) ) ，其中h 晖，q ) 是x 的有理同 调，并指出：当l ( f ) 一0 时，映射厂必有一个不动点。后来人们称这个整数 为l e f s c h e t z 数( 参见 2 p 1 7 4 ) 。 之后，人们将l e f s c h e t z 数推广到定向闭流形间两个映射的重合点 l e f s c h e t z 数，并证明：当l ( f ，g ) * 0 时，和g 必有一个重合点( 参见 2 p 1 7 7 1 7 9 )。 1 9 9 1 年，d g o n c a l v e s 等计算出了紧曲面上映射的重合点l e f s c h e t z 数 ( 参见 4 ) 。1 9 9 7 年，d g o n c a l v e s 和j j e z i e r s k i 又给出了不可定向流形 上映射的重合点l e f s c h e t z 数的计算公式( 参见 5 ) 。 在代数拓扑中，人们不仅对重合点的存在性感兴趣，同时也十分关注重 合点的个数估计以及重合点的分类情况。 1 9 2 7 年j n i e l s e n 提出了映射的n i e l s e n 数的概念，并指出：n i e ls e n 4 首都师范大学硕士学位论文 曲面间映射的重舍点 数( ，) 是与映射，同伦的所有映射的不动点个数的一个下界。后来人们对 光滑流形间任意两个映射( ，g ) ：m 一定义了重合点n i e l s e n 数，同时指 出它是与( ，g ) 同伦的所有映射对的重合点个数的一个下界。 1 9 9 9 年j j e z i e r s k i 又证明了：当d i m m d i m n 3 时，映射f ，g 的 n i e l s e n 数n ( f ，g ) 是映射，g 的重合点个数的一个最好的下界。即存在同伦 于( f , g ) 的映射对( ，7 ，g ) ，使( ，g ) 的重合点集的个数撑c d 抽( ，g ) - n ( f ，g ) 。 n i e l s e n 数与l e f s c h e t z 数相比较，它给出了更多的关于重合点( 或不 动点) 的信息。但是n i e l s e n 数的计算是非常困难的，它没有个一般的计 算公式。j i a n gb o j u 给出了一类拓扑空间的n i e l s e n 数的计算( 参见 1 p 5 2 ) 。 1 9 7 5 年r b r o o k s ( 参见 3 ) 证明了：k 维环面间两个连续映射，g 的 重合点n i e l s e n 数等于，g 的l e f s c h e t z 数的绝对值，即n ( f ，g ) - i l ( f ，g ) i 。 本文的主要内容也是重合点n i e l s e n 数的计算，我们讨论曲面一类自同 胚一一d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数与另一个拓扑不变量一一简单闭曲 线的最小几何相交数之间的关系。我们给出了一个计算环面上d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数的新公式：沿环面上两条本质简单闭曲线c 和c 的d e h n t w i s t i 和瓦的重合点n i e l s e n 数等于这两条本质简单闭曲线的最小几何 相交数的平方，即n ( l ，t o ，) 一( ( c ，c ) ) 2 ，其中a ( c ，c i ) 是本质简单闭曲线c 和 c 的最小几何相交数。最后我们尝试计算大亏格闭曲面上两个d e h nt w i s t 的重合点n i e l s e n 数。同时也讨论了一般定向流形间两个自同胚，g 的重合 点与自同胚g 1 。，的不动点的关系。 蔓塑堕垫查兰堡主兰垡笙兰 些堕塑堕盟! 堡垒：i i _ 2 准备知识 设x 是道路连通的拓扑空间，映射p ：岩一x 是z 的万有复迭映射。我 们知道万有复迭空间j 是单连通的，即基本群平凡。 定义2 1设映射，：x x ，：j j ，如果，满足：p 。，= ，。p ， 那么我们称映射，是映射，的一个提升。如果映射y ：j 一膏，满足p 。y p ， 那么我们称映射y 是岩的一个复迭变换( 即恒同映射的一个提升) 。 性质2 2 ( i ) 对于任意x ，瓦，置p 一1 0 。) ，则存在唯一的复迭变 换y ：j j ，使得r ( 磊) ；i 。j 的所有复迭变换构成群石( j ，p ) ， 石( 霄，p ) 同构于x 的基本群以( x ) 。 ( i i ) 设映射，：x x ，给定x o x ，x ，一f ( x 。) ，任取p 1 g 。) 置p 一 ，) ，则存在唯一的提升，使得，( x 。) 一墨。 ( i i i )设映射，：x x ，是映射，的一个提升，a ，石暖，p ) ，则 卢。，。a 也是映射，的提升。 ( i v ) 设，和，是映射，的两个提升，则存在唯一的r e 石( 2 ，p ) 使得 一yo ? 。 证明：参见 1 p 4 5 。i 定义2 3 设映射，：x z ，是映射，的一个提升，取a x ( x ，p ) ， 复合，。也是，的一个提升，由性质2 2 ，存在唯一的石( j ，p ) 中元素d ， 使得口，。，。，。a 。显然由，决定的对应口h 口是一个同态，记a 为丘。 那么就可以定义由，决定的x 的复迭变换群x ( y ，p ) 的自同态： 互：玎( 2 7 ，p ) 一玎( j ，p ) ， 互 ) 。，一，。a ， 其中口石( j ，p ) 。 定义2 4设映射，g ：x x ，书i 6 9 - ( ，g ) 表示映射，和g 的映射 首都师范大学硕士学位论文 曲面间映射的重含点 对，对于x e x ，如果，o ) t 9 0 ) ，那么我们称点x 是( ，g ) 的重合点。 记映射对( ，g ) 的所有重合点构成的集合为c o i n ( ，g ) 。记映射对( ，占) 的提升为( ，季) ，其中，蚕：j j 分别是映射，和g 的提升。 定义2 5 设( ，亭) 和( ，f ) 是映射对( ，g ) 的两个提升，如果存在 y ，y ，石( j ，p ) ，使得( ，岳) 一( y ，。，。( y ) ，y ，。亭。( y ) 一1 ) ，那么我们称 ( ，g ) 的两个提升( ，亭) 和( ，f ) 是共轭的。 为简便起见，我们记( y 。7 。( y ) ，y 。虿。( r ) 一1 ) = r 。( ，季) 。y 。 显然这个共轭关系是等价关系。我们记包含( ，喜) 的共轭类为 【( ，季) 】。 y ，。( ，岳) 。y 一1ir ，y 。石( j ，p ) 。 性质2 6 设映射对( ，g ) ：x x ，( ，岳) 和( ，季) 是映射对( ，占) 的两个提升，则 ( i ) c o i n ( f ，g ) - u ( ，勘p c o i n ( f ，岳) 。 ( i i ) 如果【( ，蚕) 】一( ( 厂，亭) 】，则pc o i n ( ，f ) - pc o i n ( ，f ) 。 ( i i i ) 如果【( ，茸) 】一1 ( 7 ，岳) 】，则pc o i n ( f ，岳) npc o i n ( f ，岳) t 妒。 证明： ( i ) 设x oc o i n ( ，g ) ，由定义f ( x o ) ；g ( x o ) ，设其值为y 。取 五p 一1 ( x 。) ，元p 一1 ( y 。) ，由性质2 2 知，存在，的提升于和g 的提升季，使 得f 瓴) - 甄一岳瓯) ，即焉c o i n ( f ，官) ，从而x 。pc o i n ( f ，手) 。 反之，对于工j ，取童p 一1 ，设膏e c o i n ( 7 ，享) ，则 ，。p 晖) - p 。， ) 一p 。季 ) 一g 。p ) ，即p ) - x c o i n ( f ，g ) 。 所以c o i n ( f ，g ) ；u ( ，鼢p c o i n ( f ，雪) 。 ( i i ) 设( ，季) ty ，。( ，季) 。o ) ，且pc o i n ( f ，季) ，即存在五p - 1 0 。) ， 使，瓴) 一岳瓯) ，则 首都师范大学硕士学位论文曲面间映射的重合点 ，( y 瓴) ) 一y 。，。? - l ( y ( 瓦) ) ；y 。，瓯) = 。孑瓯) = n 。f 。y - 1 ( y 瓴) ) 一季0 瓯) ) 即x 。：p 。r ( i o ) e pc o i n ( f ，季) 。从而pc o i n ( f ，岳) pc o i n ( f7 ，蚕) 。同理可得 pc o i n ( f ，季) pc o i n ( 7 ，誊) 。所以pc o i n ( 7 ，岳) = pc o i n ( f ，岳) 。 ( i i i ) 假设存在z 。e p c o i n ( 7 ，雪) n pc o i n ( f ，蚕) ，则存在，墨e p 。1 。) ， 使瓦ec o i n ( f ，季) ，互, e c o i n ( 7 ，蚕) 。由性质2 2 ，存在唯一的y 石暖，p ) ， 使墨一y 瓴) ，由p 。，( ) 一p 。，瓴) ，再根据性质2 2 知，存在y 。石( j ，p ) ， 使，瓴) 一y 。7 ( z o ) ，则有，- y 。，( f 的提升由它在一点的值唯一确定) 。 再由性质2 6 有( ，季) 一( y 。，。y ，y ，。季。y - 1 ) - y ，。( ，季) 。y ，与已知 ( ，岳) 】一【( ，f ) 】矛盾。- 我们称c d 抽( ，g ) 的子集pc o i n ( 7 ，岳) 是映射对( ，g ) 的由( ，岳) 决定的重 合点类。 推论2 7( ，g ) 的重合点集c o i n ( f ，g ) 可以分解为重合点类的不交并。 证明：由性质2 6 显然可得。 以上我们是通过万有复迭空间将映射的重合点进行分类，下面我们给出 另一种等价的重合点的分类方法。 性质2 8 设映射对( f ，g ) ：并一x ，点x o ，x 1 x 是( ，g ) 的两个重合 点，则，毛属于同一重合点类当且仅当存在从工。到x 。的道路口，使g 。口定 端同伦于，。口。 证明：设映射对( ，g ) 的重合点，z 。属于同一重合点类，则存在( ，g ) 的提升( ，蚕) ，使石”工。pc o i n ( 7 ，岳) ，即存在五p 一1 ( x o ) f q c o i n ( ，岳) ， 墨p ( x a ) ( 3 c o i n ( 7 ，岳) 。令疗是从磊到i 的道路，则，。丘和岳。昂有相同的 起点和终点，即，。疗定端同伦于f 。昂，令口一p 。丘，则口即为所求道路。 堕苎堡堇查兰婴主兰堡堡苎 些亘塑些塾塑重全皇 反之，若存在从到的道路口使，。口定端同伦于g 。口。设 e p c o i n ( f ，季) ，z o e p 一1 0 。) ，提升道路口，得到以磊为起点的道路昂j ， 则，。昂投影到f 。口，岳。d 投影到go 口因此，。昂，蚕。昂分别是f 。口和g 。口 的提升，且均以元为起点。由f 。口定端同伦于g 。d ，且它们的提升有相同的 起点，因此也有相同的终点。所以， ) 一亭 ) ( 这里墨是丘的终点) 。即，x 。 属于同一重合点类。i 由此可见，对于非空类，这两种重合点的分类是一致的。在不动点理论 中已经有： 性质2 9 设映射，：z x ，x o ，而x 是映射f 的两个不动点，则 x 。，x 。属于同一不动点类当且仅当存在从x 。到x 。的道路t ；t ，使f 。口定端同 伦于a 。 证明：参见 1 p 6 。- 下面我们考虑指数的定义。 定义2 1 0 设工，y ，丑是定向闭流形，b 是1 ，的子流形，d i m y 。以， d i m x m ，d i m b 一七，且口一扰+ k ，设映射h ：石一y ，令u 是z 的开子集， 如果 。1 ) n o u - ，那么我们称映射h 在u 上关于子流形曰是可允许的 ( a d m i s s i b l e ) 。如果f “( b ) n ( o u x i ) - ，那么我们称同伦f ：x x i l ，在 u 上关于子流形b 也是可允许的。 定义2 1 1 设x ，y ，b 是定向闭流形，曰是y 的子流形，d i m y 。n ， d i m x m ，d i m b k ，且n r a + 七，设映射h ：x y ，令z 。1 ) ，分别取x 在点x 的切空间t z 和b 在点1 1 0 ) 的切空间瓦b 的基髋，宇：邑) 和 协。，叩：仇) ，它们分别诱导x 和b 的正方向。由于映射 与口横截相交， 9 首都师范大学硕士学位论文曲面间映射的重台点 所以d h ，( t x ) o 瓦( ，) b = l ( ，) y ，其中d h 。：l x 一瓦“) y 是h 在x 点的微分。 则映射h ：x y 在点x 关于子流形口的局部指数定义为 m 加仁，萋段藩麓警凛j 捌靴滞瓣 h 在u 上关于子流形b 的指数，伪，b ，u ) 一l ( h ，b ，x ) 。 r 币) n ” 引理2 1 2 ( 参见 6 ) 设映射h 。，h 。：x y 光滑，b 是y 的子流形， h 0h 。都与b 横截相交，且在u cx 上关于子流形b 是可允许的 ( a d m i s s i b l e ) ，如果存在h o 和h 。的连续同伦映射在u 上关于子流形b 也是可 允许的，则l ( h 。，b ，u ) - ，b ，u ) 。 下面考虑映射，g ：z x ，令h ( ，g ) ：工一x x ， o ) 一( ，0 ) ，g ) ) ， m ；戤，x ) e x x ，x x c _ x x x 。 引理2 1 3 映射 ( 船) 在u c x 上是可允许的当且仅当映射，和g 的 重合点集c o i n ( f ，g ) n o u 一妒。 证明：根据定义2 1 0 ，h ( ) 在u cx 上是可允许的，即 ( ) - 1 ( j 。x ) na u ；妒。而 ( 胁) 4 ( a x 。z ) 就是映射，和g 的所有重合点的集 合，显然有结论：，l ( ，g ) 在【，上是可允许的当且仅当c o i n ( f ，g ) n o u 一妒。i 不难看出，和g 的任意一个重合点类( 记为k ) 是集c o i n ( ，g ) 的相对 开子集，即存在适当的开集u k ，使c o i n ( f ，g ) na u ；妒，及 c o i n ( g ) n u 。k 。由引理2 1 3 ，h 在u 上关于子流形a x x 是可允许的。因 此，我们可以定义映射f 和g 的重合点类k 的指数，记为i ( f ，g ，置) 。并且， 上述指数定义与u 的选取是无关的，只要满足c o i n ( f ，g ) n a ui 声，且 c o i n ( f ，g ) n u k 。 引理2 1 4 设映射对( ，g ) 同伦于映射对( ，g ) ，则同伦对应的类n 首都师范大学硕士学位论文曲面间映射的重台点 和有相同的重合点指数，即指数定义具有同伦不变性。 证明：由重合点的指数定义和引理2 1 2 显然可得。_ 定义2 1 5 如果映射对( ，g ) 的重合点指数i ( f ，g ，k ) 一0 ，我们称重 合点类k 是( ，g ) 的本质重合点类。否则称k 是非本质的。也称( ，g ) 的本 质重合点类的个数为映射对( ，g ) 的本质重合点n i e l s e n 数，通常记为 n ( f ，g ) 。 命题2 1 6 ( 参见 6 ) 设映射，g ：x x ，映射，g ：x 一并分 别是同伦于，和g 的映射，则n ( f ，g ) 一n ( f ，g ) ，即重合点n i e l s e n 数保持 同伦不变性，并且任何同伦于( ，g ) 的映射对至少有n ( f ，g ) 个重合点。- 1 1 首都师范大学硕士学位论文 曲面问映射的重合点 3 环面r z 上两个d e h nt w is t 的重合点 首先我们给出定向曲面x 上d e h nt w i s t 的定义。 定义3 1如果曲面x 上一条曲线c 无自交点，那么我们称曲线c 是简 单的。如果曲线c 不界定一个圆盘，那么我们称曲线c 是本质的，否则是非 本质的。 定义3 2设曲线c 是定向曲面x 上一条有向的本质简单闭曲线，取 c 的正则邻域n 。，它同胚于圆环，即存在同胚妒：n c s 1 x 【o ，l 】， 妒。) 。0 ”，f ) 。曲线c 是。的中心线妒一1 l e i o ，_ 1 ) ，它的方向是沿着口增加的方 向。定义疋：x x - f 徊“”嚣 l xx 笮v ， 那么我们称上述定义的盖的自同胚疋是沿有向曲线c 的d e h n t w i s t 。 霉 在犯上 曲面上一条本赝简单闭曲 线c 和它的正则领域玑 以 由定义我们知道，沿一条曲线c 的d e h nt w i s t 是与曲线c 的方向有关 的，显然t 一。是i 的逆，即t 。1 。是恒同映射。由于曲线c 是本质的，那么 沿瞌线c 的d e h nt w i s t 不同伦于恒同映射。 1 2 善都努蘸大学疆士学短谂文 夔覆蜒陵囊| 囊擘麓会鑫 引理3 3 ( 参见 7 ) 设x 是亏格为g ( gz 1 ) 的定向闭曲面，则x 的 绦定翔鑫圈疆豹溺痰类褥藏令有疆生裁群，生成元是( 3 9 一葑拿d e h n t w i s t ：疋，t ：疋。，c 1 ，c 2 。班1 如下图所示。 鳆一翁 一1 由引理3 3 知，环面z 2 的保定向自嗣胚的同痕类构成一个群，窀可以 由两个d e h nt w i s t 疋，生成，其中缸，卢 是环面的基本群石，口2 ) 的基底。 ：并置这个群丽构予驻：( z ) ( 参觅 7 p 3 ) 。 定义3 4 设曲线c ，c 魑定向曲面篁上两条本质简单闭曲线，在曲线 c ，稳溪畜司痰类审，取整线秘交数懿最，l 、壤，那么我键虢穗这个簸小筵是 曲线c ，c 的最小几何相交数，记为a ( c ，c ) 。 我键舞遂，鼗瓣主往舞塞浚莠重戆露俭癸与它载基零耧熬霹态一一砖痰。 曲面上任何自同胚的同痕类与它的基本群的同构一一对艨。在环面上，规定 t 2 * ( e 2 z u ie 2 a v i ) 群，v 置 ，万鸯复迭p ：寅2 一r 2p o ，p ) * p 2 8 “”) 。 把环灏丁2 看作商窝间r 2 z 0 z ，环面的基本群啊仃2 ) t z 国z 。基本群啊仃2 ) 的两个生成元口，芦：【o ，1 】一r 2 ，其中a 0 ) 。( e 2 1 t t t ，o ) ，声* ( o e “) e 环面上 鑫同瓤豹犀伦类中存在唯一的弼胚，它有雅一豹线槛挝升( 保持琢患) 。我 们称这个具有唯一的线性提升的同胚为标准同胚。对于环蕊上特殊的自同胚 d e h nt w i s t 静溺痰类，它氇蠢一个难一豹糠准司殛。这个标准同骚辩应摹 本群的一个同构a ：z2 一z2 ，谨是由矩阵a ( 也记为a ) 决定的线性映射。 这个鳜簿氇是一维溺调群导逡弱矩凑。 首都师范大学硕士学位论文曲面问映射的重合点 一个矩阵4 2 降口二) 其虬哗。 与卅卢 即瓦( ；) - ( ：) ( ；)，同理有( ；) ( j ：) ( ；) 。 驰) 叫+ i ：卜叫c - ( 1 + 脚) 即 砌) ；卢+ 罡j c - f l + ( - p ) c p 2 ( 1 一朋) 卢 也就是说，瓦作用在口上的分量坐标是( 1 矧，t 作用在卢上的分量坐标 是( 二) 。因此4 。守二卜 首都师范大学硕士学位论文 曲面问映射的重合点 它的线性提升是。，a 。一) ，则标准同胚( t ，t ) 的任意提升( y 。月。，y ：。月。，) 的重合点f 一晤，五) 的坐标是： z 。( 型睦鲁产，虹世等产) ， 其中r ；一( a j ，b f ) i t l ，2 。 证明：由于映射对 ，疋) 是标准同胚，根据引理3 5 ，它的线性提升是 m 其中4 2 滢，二) ，铲眵三) 。 设j - 嗝，墨) 是幔，正) 的任意提升( r 。4 。，y ：。a c ，) 的重合点，则根据重合 点的定义有r 。a 。隹) 一y 2 。爿。 )y 。= ( 4 ；，b 。) i 一1 ，2 即( 乏) + ( 1 ：? g 。二乏) ( 主) ( 乏) + ( 1 + 。：r s 。- 一r 阳2 八五写) 由于曲线c 和c 不同痕，那么曲线c 和c 至少有一个交点。解上述方程得出： ( y ，。4 ，y ：o 爿。) 的重合点 舅瞩叫型垃譬产，虹监害产) 投影到环面上，x 。p ) 就是标准同胚伍，瓦，) 的一个重合点。 由y 。和y ：的任意性，我们就得到了环面上两个d e h nt w i s t 的标准同胚 的所有重合点。_ 引理3 7 设映射f ，g ：t 2 一t 2 连续，设( ，岳) 是( ，g ) 的一个提升， ，是f 的任意一个提升，则存在映射g 的提升季，使得【( ，岳) 】一 ( ，7 ，亭) 。 证明：因为，是，的任意一个提升，由第二节性质2 2 ，存在y 玎( z 2 ，p ) 使，；y 。，即，7 一y 。，。，其中，是恒同变换。只需取岳一，。f ，则显 然有( ，岳) = y 。( ，季) 。，一，即【( ，f ) 】一【( ，7 ，富7 ) 】。- 首都师范大学硕士学位论文曲面问映射的重合点 特殊的，若尹；，自然也成立。同理还有： 推论3 8 设，g ：r 2 一r 2 连续，( ，岳) 是( ，g ) 的一个提升，季是 g 的任意一个提升，则存在映射，的一个提升，。使【( ，喜) 】叫( ，亭) 】。_ 下面我们给出本文的一个主要定理： 定理3 9 设曲线c ，c7 是环面t 2 上任意两条有向的本质简单闭曲线， 则沿曲线c ，c 的d e h nt w i s t 瓦和瓦的重合点类的个数等于这两条曲线的 最小几何相交数的平方。 证明：情况一：曲线c 和c 7 不交，即曲线c ，c 没有交点。下面我们说明 将l 和t ，分别作一个小的扰动，可以使t 和t 没有一个重合点。 沿本质简单闭曲线c 将环面切开，得到一个圆柱。由于曲线c 是本质简 单闭曲线且与c 不交，那么c 只能是圆柱侧面上与曲线c 平行的一条曲线。 如右图所示。 取圆柱的参数坐标： i：-j=r c s o ；n s 日o 。os sh os s ，2 坷r 为定催； 那么圆柱上任一点可以用0 ，r ) 来表示。 取正数s ，使。c e c 丢。 爿一如，日，r ) 1 1 一s 主“s 1 ，o s 疗s 妨 ， ； 丑十 ，旧+ e u l - e , o o 扫) c 一 ，口，r ，l 丢一ss “s 丢+ e , o 露；y 。，。y 。 ( 2 ) 由( 1 式， 。y 一九。霉 ( 3 ) 荐由定义2 。3 ，( 3 ) 式等号左边。y - ，( y ) 。即。( r ) 。my 。霉 繇盂，移) 。簟) - y ，。箨)舅蜒岩。趣藏怒说霉。稃) 与h 在点霉g ) 泰相同 的值，由复迭空间的知识我们知道，复迭变换由复迭空间中一点的值确定， 因茂 ，( y ) * y 1 ( 4 ) 零巍雹，藜是霉，懿握煮，粼夺在 硝2 ，力谴零一耋。霉；弱瑾潮( 2 ) 1 8 首都师范大学硕士学位论文 曲面问映射的重台点 式有正：；亭。正一；y 。o t ，oy ，从而亭。瓦，oy = y 。o t ，由定义2 3 也有 孝。，。y 一霉。( y ) 。，一y ，。霉，同样的道理得出 亭。k ( y ) = r 。 ( 5 ) 结合( 4 ) 式和( 5 ) 式有 。( r ) t 亭。，。( y ) ( 6 ) 好r = ”根据命题s - s ，霉租分别是由矩阵( 1 篇) 和p 三) 决定的线性提升硎( 6 ) 式对应的矩阵形式如下 弦二胁心+ r s1 _ r - r s k l 即( ：) 。i p q q ：一- 。r ：s ：一- p p 9 2 j 1 ( k ，) 因此，由上式我们知道，( t ，t ) 的重合点类的个数即为： l a e t i p g q ：一- 。r ：s1 , 2 _ p 2 ) i 2 c p s g r ，22c c c ，c ，2 其中a ( c ，c ) 是本质简单闭曲线c ，c 的最小几何相交数。- 定理3 9 得到的只是两个d e h nt w i s t 的重合点类的个数与曲线的最小 几何相交数之间的关系，而不是查厘重合点类个数( 重合点n i e l s e n 数) 与最 小几何相交数之间的关系。由第二节本质重合点类的定义我们有必要讨论重 合点娄的指数。 1 9 酋都师范大学硕士学位论文 曲瑚间映射的重台点 4 映射的重合点类指数 下面我们就根据第= 节中指数的定义，计镎环面上沿饺意两个d e h n t w i s t 酶重含点类的指数。 引理4 1 设曲线c c 是环面上有向的本质简单闭曲线，飘 矗，c 0 0 ，暇，乏，是标准瓣殛，瓣纯，t 0 懿每个羹台点指数舔是+ i 。 证明：设曲线c * p a + q 卢，c * r o t + s 卢。以下我们都记纯，疋，) - ( ，g ) 。 令h - ( ，g ：r 2 一t 2x t 2 ，箕中 ) 皇( f ，g ) ( z ) 蕾( f ，g ) 2 ”“，e 2 ) 辑0 2 。 扣”h ，e 2 z 冉“，”，b 2 ”n 扣，”“，e 2 ”。z “t ”) ) 粼。p 二，( 洲1 + ；：r s 甜( ：) 。 取丁2 在点x r 2 邻避的局部坐标图卡缈，妒) ，uc t 2 ，妒：u r 2 ， ( e 2 ”i 。“) 时嵇，v ) ，熬坐标分量善一蓐。妒，- 1 ，2 ，其中描j 是麸霆2 委l 第j 个因子空间的投影n 我们知道丁2 谯点z 的切空间t r 2 ( 以下记为t ) 与r 2 之弱存在对应，靼弘：乏一r 2 是同构映射。取r 2 巾的标准基嶷 a ，t p ，1 ，。，2 x ，；l2 其中6 j 一 ： ：；。 翔霞2 豹蒸疯瓶，龟 薅疲誓懿一缀基燕氇，毛 ，岛m 嘉一西1 ，) ，j 一岛2 再取l ( a ，：) 的一组标准基切，r ：j ，对成r 2 中的一组标准綦底 t x ，0 ，1 ，妨，1 ，0 ，1 ) 。 映射 诱导切映射幽，：一瓦( 也称为1 l 在x 点的微分) ，这里瓦 是夏“ t 2x 善2 靛麓写。我 f 】知道切映射d h 是一个线性映射，它的分量表承 厩一妒。h o 妒。1 ( 其中，妒) 是r 2 r 2 在厅点邻近的局部嫩标图卡) 愚幽 首都师范大学硕士学位论文 曲面间映射的重台点 加扰斛叫粤卜决定的线性映射一加吣小则 叫乱：一【舻j 4 x 2 讨l 礴2 魄la 9 2 a 比a 比a “a “ o f , 一o l 亟垫 a v却却却 f 1 + p q口2 1 + 坶 4 i p 2 1 - p 口_ f 2 峨蚴。( ? 。毫? 。0 棚慨吼讥刚删对鲋 中元素虹+ 朋，q 2 ，1 + 昭，5 2 ) ，( - p 2 ，1 一p q ，- - t 21 一凇) 。 由定义2 1 1 中横截性知锄。 ) ，d h ，( 岛) ，叩l ，r 2 构成瓦“，2 r 2 的一 组标准基底，并且诱导瓦t 2 x t 2 中的正方向。 ( 这是因为：t h “，2 t 2 的基底搬皤) ，d h ，晤：) ，t 7 。，r 2 ) 对应r 4 中基 底： ! ( 1 + p q ，q 2 , 1 + r s , 8 2 ) ，( 一p 2 ，1 一p q ，一，2 ，1 一r s ) ，( 1 ，o ，1 ，o ) ，( o ，1 ，o ，1 ) ，它 与标准基底 ( l0 ，0 ，o ) ，( o ，1 ，0 ，o ) ，( o ，o ，1 o ) ，( o ，0 ，o ，1 ) 的转换矩阵的行列式恒 大于零。) 则根据指数的定义：( t ，) 每一重合点的指数都是+ 1 。l 再根据第二节定义2 1 5 ，我们得到：环面上两个d e h nt w i s t 的每个重 合点类都是本质重合点类。因此我们可以将定理3 9 完善为： 定理4 2设曲线c ，c 是t 2 上任意两条有向的本质简单闭曲线，则沿 曲线c ，c 的d e h nt w i s t 瓦和疋，的查匮重合点类的个数( 也是t 和瓦，的重 合点n i e l s e n 数) 等于这两条曲线的最小几何相交数( c ，c7 ) 的平方，即 n ，瓦，) - ( a ( c ，c ) ) 2 。l 2 1 j i ： 阽 s t 善帮帮藏大学硬圭学垃论文魏垂赫跌妻重熬蘩台纛 5 大哥格闭曲面上两个d e h nt w is t 的重合点 下瑟我翻继续尝试在可定翅羯夔瑟客惫蛰上考察嚣个d e h nt w i s t 载 重合点。 我们知道鬈酝2 ) 可著撂目构于弗t ( 墨) 憨一个察数群g 佟蹋在 l o b a c h e v s k i a n 平顽( 以下记为己平面) 而得剡的空间，g 的元素由五平面上 的等距糨成。g 是平蟊上的等距群的一个离散子群( 参见 8 p 1 6 7 ) 。 下面给出本节需要的基本知识和一些引理。 定义5 1 设g 是e 上的个离散变换群，其元素为l 上的等躐，己的 子集移称为离散群g 酌基本域，艴果它满越： ( i ) d 是闭子集： ( i i ) d 静豫g ( 谚覆盏整令： ( i i i ) l 上每一点的充分小的邻域只与有限多个g ( o ) 相交，g e g ： ( i v ) g ( i n t d ) n i n t d 一番，对于锈意1 g e g ，i n t d d 、。 定理5 2 ( 参见 8 p 1 7 0 )群g 由变换d ( 口) ) 生成，其中4 是旗本域 d 的边，r ( a ) d d ，如图所示。 l ( r y 1 移= 鼋l 上 ，、， 残辞徊= 怠 引理5 ，3 ( 参见 8 p 1 7 5 - 1 7 6 ) l 乎丽上的保定向簿距a ，崩，( 其中 毪；：啦时口；最：趣) 生成离散群g ，g 由如下关系严格定义： a 。麒。町1 。芦i 1 吼。玩。a 。颤1 = l ，髓g 有一个戢边形作为基本域。 2 2 首都师范犬学硕士学位论文曲面间映射的重合点 引理5 4 ( 参见 8 p 1 7 6 ) 可定向闭曲面t ( 占2 ) 的万有复迭空间是 l 平面。 引理5 5 ( 参见 8 p 1 7 6 1 7 7 ) 映射，：一在万有复迭空间的提升 映射是一个m o b i u s 变换。 引理5 6 ( 参见 9 p 3 7 3 9 ) 离散群g 的基本域的两个模型之间存在 如下关系：( 以g 一2 为例) 设双环面的两个基本域模型d 1 ，d ：，则 。1 一b a d 一1 ，口2 一c a 一1 b