（基础数学专业论文）两个非线性方程的达布变换和孤子解.pdf

摘要 孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题本文考虑两个重要的非线性方程现 在已有许多方法得到非线性方程的解，其中达布变换是一种自然而美妙的方法，它从方程 本文第一部分介绍了最原始的达布变换和达布阵方法，以此为基础在下文中构造两个 非线性方程的达布变换 第二部分考虑b o u s s i n e s q - b u r g e r s 孤子方程 卜薹x 1 ；。 的达布变换在已知条件口一。= ；( “。+ u ) ，翰一。：百1 下，对达布阵 h w + 隹1 a t = t ( ) = a l一夕o iq ” k = 0 ( q ，a ，鼠，瓯和仇( 0 k n 一1 ) 是z 与t 的函数) 进行了严格证明 以平凡解u = 0 ， = - 1 作为种子解，利用此达布变换生成了b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方 程的孤子解，并且讨论了n = 1 和n = 2 前两种情形当n = 2 时，适当选择参数，作 出了优美的三孤子碰撞图像，并且孤子解口【2 】的三个孤子均有两个峰，这是一种与2x2 谱问题有关的孤子图像的不常见类型 第三部分，考虑耦合的非色散方程 如qt。+一2。rfrz：=。0,， 关于a 负幂的达布变换，在构造和证明此达布变换时有很大的技巧性最后以平凡解q = 1 ，r = 0 作为种子解，一次应用达布变换得到单孤子解，根据达布阵理论通过两次应用构 造的达布变换得到了耦合的非色散方程的双孤子解 关键词t 谱问题；达布变换；达布阵；孤子解 、， 妒 ” 取 仇 譬脚譬脚 a b s t r a c t t h es o l i t o ne q u a t i o ni so n eo ft h em o s tp r o m i n e n ts u b j e c ti nt h ef i e l d so fn o n l i e a r s c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt w oi m p o r t a n tn o n l i n e a re q u a t i o n s i ti sw e l lk n o w n t h a tt h e r ea r es e v e r a ls y s t e m a t i ca p p r o a c h e st oo b t a i ns o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o n s d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ( d t ) h a sb e e np r o v e dt ob eo n eo ft h em o s tn a t u r a la n db e a u t i f u l m e t h o dt og e te x p l i c i ts o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n sf r o mat r i v i a ls e e d m a t r i xm e t h o d b a s e do nt h e s em e t h o d s ，i nt h ef o l l o w i n gp a p e r ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s o ft w on o n l i n e a re q u a t i o n sa r ec o n s t r u c t e d i ns e c t i o nt w o ，c o n s i d e rt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no fb o n s s i n e s q - b u r g e r se q u a t i o n 仇z t t 三薯篡1 ；。 w i t h t h e h e l p0 f b h 一1 = ；( 。+ ) ，c k 一1 = ；，w e g i v e ac 。m p l e t ep r 。0 f 。f d a r b 。u x m a t r i 】【 寸影群 ( o t ，a k ，b k ，c ka n d d 女( 0 七s 一1 ) a r e t h e f u n c t i o n so f za n d t ) f r o mat r i v i a ls e e d = 0 ， = - 1 ，w eu s et h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nt og e n e r a t e n e wm u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n so fb o n s s i n e s o r b u r g e ms o , t o ne q u a t i o n ，t h e nd i s c u s st h ef i r s t t w oe a s e sn = 1a n dn = 2 w h e n n = 2 ，s u i t a b l yc h o o s i n gp a r a m e t e r s ，w ep l o tb e a u t i f u l t h r e e - s o l i t o nc o l l i s i o nf i g u r e s ，e s p e c i a l l ys o f i t o ns o l u t i o no f 2 li st h et h r e e - s o l i t o nw h i c h e v e r y s o l i t o nh a st w op e a k s i ti san e wt y p ef o rs o u t o nf i g u r e sa s s o c i a t e dw i t h2 2m a t r i x s p e c t r a lp r o b l e m hs e c t i o nt h r e e c o n s i d e rad a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h ec o u p l e dd i s p e r s i o n l e s se q u a - t h ) n ， j 啦+ 2 r = 0 ， i 如t 一2 旷= 0 ， t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ni sa b o u tt h en e g a t i v ee x p o n e n to fa w h e nc o n s t r u c ta n dp r o o f t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，w en e e dm u c hs t r a t e 百c a tl a s t ，c h o o s eq = 1 ，r = 0 a sas e e d ， b yu 8 eo ft h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，w eg e ts i n g l es o l i t o ns o l u t i o n s ，t h e nt o g e t h e rw i t h t h et h e o r yo fd a r b o u xm a t r i x ，w eg e td o u b l es o l i t o ns o l u t i o n so ft h ec o u p l e dd i s p e r s i o n l e s s e q u a t i o n k e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；d a r b o u xm a t r i x ；s o l i t o n s o l u t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者 陈爱牮 m 嫡辱埠r 沁b 一引言 随着科学技术的进步，线性模型已不足以反映客观世界的变换规律人们在对非线性 现象的研究中提出了“孤子”概念早在1 8 3 4 年，由英国科学家s c o t t r u s s e l l 发现的孤立 波现象，随着近代数学和物理学的发展，近二十几年引起人们极大的关注，对这一现象的 兴趣与日俱增孤波作为非线性现象的一个重要的研究领域，已有了巨大发展，并且迅速 扩展到流体物理、等离子体、光学、凝聚态物理以及其它科学研究领域现在，数值分析和 理论分析均已证明，一大批非线性发展方程具有孤子解孤立波具有非常奇特的性质，它 们在相互作用中保持稳定的波形，这颇类似于粒子碰撞的性质据此，k r u s k a l 和z a b u s k y 将其命名为“孤立子”孤立子已在许多科学领域中得到证实，已成为非线性科学中的个 重要研究课题 在大学数学物理方程中，主要讨论的是线性偏微分方程( 多数是常系数的) 用分离变 量法求这些方程的精确解的时候。通常要导出所谓线性的特征值问题( 也称谱问题) 十分 有趣的是，通常描述孤子的非线性偏微分方程。也与谱问题有关 在孤子理论中，通常将带时间变量及一维空间变量嚣的孤子方程称为“1 + 1 维的 方程”，它可从对空间与时间的联立谱问题中导出设 札= u 庐，庐# = y 西 这里妒是z ，的n 维向量函数，u ，v 是n n 矩阵，其元素中包含有谱参数a 及以z ，t 为自变量的m 维向量函数u ( x ，t ) 及其各阶导数为了使上述两个方程同时有解，毋必须 满足相容性条件西一= 西n 由此，得 仉一k + 【v 】= 0 ，f 玑v 】= u y y 矿 这个方程在微分几何中称为零曲率方程 适当选取u ，v 可以导出许多孤子方程，如 u = ( 二- “a ) ，y = _ 4 a 3 _ 2 u 2 a + 。一4 a 2 - 。a 2 。u + 。a 。- 。2 a u 3 时，可以推导出m k d v 方程 饥+ 6 u 2 + = 0 本文就选择了一组玑y ，导出了个非常重要的与水波有关的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 孤 子方程；选择了一组m ，导出了一个耦合的非色散方程 对于孤子方程，近来已经有许多求解的方法，例如反散射方法，双线性( h i r o t a ) 方法， 贝克隆( b i i c h l l n d ) 变换法，达布( d a r b o u x ) 变换法，代数几何法。等等 1 1 0 这些方 法各有特点，也有其内在联系其中，达布变换是一种自然而美妙的方法，它从平凡解出 发得到孤子方程的精确解 1 1 1 9 在1 8 8 2 年，达布就发现。薛定谔( s c h r s d i n g e r ) 方程【2 0 】 毋。- 4 - t ( z ) = ，( 1 1 ) ( 其中u ( x ) 是给定的函数，称为势函数。 是常数，称为谱参数) 在变换 咖= 札+ f 曲，霞= “一2 a x = - 4 - 2 1 n f ( x ，a 1 ) 】。，( 1 2 ) 一= 黜，f z z + u f 砘 作用下是不变的，即巧满足与( 1 1 ) 形式相同的方程 妒z t + 豇= a 咖， ( 1 3 ) 这通常称之为达布定理，也就是最初的达布变换在1 9 5 5 年，c r u m 利用s t u r m - l i o u v i u e 问题构造了c r u m 定理，将达布变换j l v 次迭代得到多孤子解f 2 1 为了将此方法推广到其它大量的非线性偏微分方程的求解，我们引入达布阵方法1 9 7 4 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 在文献f 2 2 ) 中通过穿衣法给出了达布阵方法并在文献【3 】中应用 了此方法随着时间的推移，达布阵方法在孤子方程求解中逐渐显露优势下面介绍此方 法的构造 考虑谱问题 其中u ( a ) s t ( 2 ) 规范变换 札= u ( j l ) 妒 = t ( a ) 毋 2 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 中，当廿一面保持满足的方程形式不变时 不变性看作是矩阵的经典达布变换【2 3 ，2 4 行构造 2 5 】： 考虑2x2 矩阵方程 规范矩阵t 称为达布阵方程( 1 4 ) 中的这种 规范矩阵t 的结构形式可以由下面的结论进 札= c ，( a ) ，d e t = c o n s t o( 1 6 ) 其中矩阵u ( ) s z ( 2 ) 的每个元素是a 的多项式设毋1 和如是方程( 1 6 ) 当a l 沁时 两个向量特征函数，且变换t ( a ) = e + t o ，其中孔与 无关，2 2 矩阵t ( a ) 唯一的 由下列线性系统确定 t ( 埘12 ( a l e + 蜀) 12o ， f 1 7 1 t ( a 2 = ( a 2 e + 乃) 也= 0 、7 在此变换 庐u ( 焉a 茹麓t ( a ) u ( a ) t _ 1 ( 卅聊- l ( u ( 1 8 ) ) + 己，( a ) =一1 ( ) + 瓦( a ) t 一1 ( a ) 作用下，我们有 ( i ) c ，( a ) “( 2 ) ， ( i i ) ( 1 6 ) 保持形式不变 所定义的达布变换( 也u ) 一( 西，0 ) 可以用同一的纯代数的算法。继续进行下去，得到 解的无限系列 ( 也c ，) 一( 西，口) 一( 享，疗) 一 前面讨论的是一次达布变换，即达布阵关于a 是线性的下面讨论 的多项式形式的 达布阵【8 1 ，将参数a l ，a 2 ，b 作用于达布变换( 1 8 ) 有 蒜u ( a ：蕊j = t ( a ) u ( a ) t 弋卅聊叫n 。， ) ，口( 。( a ) = 一1 ( a ) + 瓦( a ) t 一1 ( a ) 、7 其中达布阵是 t ( a ) = a n e + a 正， 3 高次的达布变换可由一次达布变换生成，所以在应用上就可以用多回一次的达布变换 来代替高次的达布变换，这样可以避免阶数很高( r 阶) 的行列式的计算由于一次达布变 换的计算公式( 算法) 是纯代数的，所以可以反复运用同套算法来得出一系列的解，这对 于利用计算机进行符号运算来求解是非常方便的 另外，我们可以直接作次达布变换( 采用文献【1 3 j 中的方法) 当取不同值时， 利用纯代数方法直接给出孤子方程的多孤子解 本文首先考虑b o u s s i n e 8 q - b u r g e r s ( b - b ) 系统的一个孤子方程【2 6 3 0 】 l “t = 一2 “+ 言， l 仇= ；“一一2 ( ) 。， 由文献 27 知，它是水波方程而关于b b 系统，我们已有大量研究在文献【2 8 】中， 讨论了在刘维尔意义下， b - b 系统是完全可积的在文献【2 9 中，利用驻定演化方程的 l a x 表示，将经典的b - b 方程族分解为两个可解的常微分方程系统，并且得到高维b - b 方 程的有限带势解在文献【3 0 l 中，通过研究b - b 谱问题，得到一个有限维可积系统，并证 明在刘维尔意义下完全可积，由前两个非平凡解孤子族得到( 2 + 1 ) 维b b 孤子方程。进 而求出拟周期解 本文在已有的基础上，利用相应的谱问题和达布阵方法，构造个达布变换，与以往 的达布变换不同的是它需要一定的限定条件然后从平凡解出发给出了b - b 孤子方程的孤 子解，利用计算机数学软件，作出了孤子解优美的碰撞图形其中个三孤子解的每个孤 子均有两个峰，这是一种与2 2 谱问题有关的孤子图像的不常见类型 然后考虑耦合的非色散方程【3 1 l q,。+一2。r矿rz：=。0，, 在文献【3 1 】中给出了方程的更一般形式，说明此方程具有p a i n l e v 6 性质，双线性形 式，并且对此方程利用贝克隆变换求出了显式的单孤子解本文在已有基础上，给出了一 个关于 负幂的达布变换，并且通过非常巧妙的方法进行了验证 4 二b o u s s i n e s q - b u r g e r s 孤子方程的达布变换 札= u 咖， u = ( 1 ：“二：i 二：) c z ， 相应的时间部分( 辅谱问题) 是 也= y 毋， ( 2 2 ) y = r 之1 刊二毒1 荨一互1 ) 其中“和 是两个位势函数。 是常谱参数 通过直接计算零曲率方程仉一k + 盼v l _ 0 可以得到b - b 孤子方程 i 羞魏1 仁s ， 下面我们将讨论谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的达布变换首先引入谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的规 = 珊， ( 2 4 ) 进而l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 转化为 咒+ t u = u t 正+ t v = v t ， 也= u 西 也= y 西 b ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 假定 t 叫炉a a b d1 ， 仁。， 其中 一1 a = a “+ a a k = 0 n l c = 伉妒， k = 0 n 一1 d = d k x k = o 设妒( ) = ( | p - ( ) ，忱( b ) ) 7 ，妒( ) = ( 讥( ) ，如( ) ) t 是( 2 1 ) 的两个基本解通过 ( 2 4 ) 知，存在常数r i 满足 ( a 妒1 ( ) + b 妒2 ( ) ) 一q ( a 砂1 ( ) + b 仉( ) ) = o ，( 2 1 0 ) l ( a p 1 ( ) + dc 1 0 2 ( 如) ) 一r j ( c 妒l ( a j ) + d c 2 ( a j ) ) = 0 邮划即 危n - - i 盯吖m k 一磷 ( 2 1 1 ) 【g + a i d = o ，i 邑( 瓯+ a j d k ) a ；_ 0 ， = ；要；麟，- ，z 一， c 。， 当常数，q ( k ，n 吩，若k j ) 适当选择时，( 2 1 1 ) 的系数非零因此，如果我 b 一l = i 1 心+ ) ，一- = ；， ( 2 1 3 ) 剩余的a k ，凤，g 和d k ( 0 ks n 一1 ) 由线性系统( 2 1 1 ) 唯一确定，而n 在下文给定 d e t t ( a j ) = 0 2 陋( b ) d ( ) 一b ( a y ) c ( a i ) a ( a i ) = 一o b ( b ) ，g ( ) = 一a i d ( a f ) ( 2 1 4 ) 妒 = b 所以 2 一l d e t t ( a ) = p ( 一) = 1 这表明( 1 j 2 n 一1 ) 是d e t t 的根( 其中肛与a 无关) 命题1 设a 满足一阶常微分方程 ( 2 1 5 ) 也l n a = a l v 一1 一d n 一1 2 l ? k 一2 一u ( 2 1 6 ) 由式子( 2 5 ) 确定的矩阵口与矩阵u 具有相同形式，即驴可以表示为 下列变换 口= fa + 百面z + 雷1 1一a 一面 ( 2 1 7 ) 将原位势函数“和 映射为新位势函数乱和口 证明一设t _ 1 = t + d e t t 且 c 瓦+ t t 2 ( 羔： 茗2 ： 岩) c z s ， t + 表示t 的伴随矩阵容易验证 l ( a ) 和尼( ) 是 的2 n 次多项式由已知条件( 2 1 3 ) ， 可知 2 ( ) 和，2 1 ( a ) 是a 的2 n 一1 次多项式当 = ( 1 j 2 n 一1 ) 时，利用( 2 1 ) 和( 2 1 2 ) ，可以得到一个r i c c a t i 方程 o z = 1 2 ( + 砷q 一( + ) 霹( 2 1 9 ) 通过直接计算，所有( 1 j 2 n 一1 ) 是厶( a ) ( s ，l = 1 ，2 ) 的根进而( 2 1 8 ) 可以改 写成 + 阿) r = ( d e tt ) p ( a ) ， f 2 2 0 ) 7 豪盘机悱 忙 峙 跗，= r 泸趔h p l o ) ) j 硝雕a + 磁j 其中，p 埘( o ( ，j = 1 ，2 ，l = 0 ，1 ) 与a 无关所以方程( 2 2 0 ) 等价于 瓦+ t u = p ( a ) z 比较等式( 2 2 1 ) 中a + l ， 和 “一1 的系数，可以得到 p 弹= 趔= 1 ，趟= 一1 ， p 弹= u + 以i n a ， p 簿= 2 a 一l ，。+ 2 u a 一l 一2 p 弹a 一1 + 2 b n 一1 + 2 a 一l 岛l n 乜 芦罂= 4 西一2 + 2 d n l 一2 a 一1 + t + 巩i n a 将( 2 1 6 ) 代入( 2 2 2 ) 一( 2 2 5 ) ，有 p 辩一面，p 罾= 磁+ 。，艘一一面， 对比( 2 5 ) 和( 2 2 1 ) ，易得驴= p ( a ) 证毕 注当n = 1 时。假定a l = b 二1 = 6 - l = d l = 0 ，上述达布变换可以写为 面= a o d o ，面= ( a o + d o k + “。+ ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 若妒( ) 和妒( ) 也同时满足( 2 ，2 ) ，采用与命题1 类似的方法，我们可以证明在变换 ( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 共同作用下，由( 2 6 ) 式确定的矿与v 有相同形式零曲率方程转化为 玩一记+ 【驴，切= 0 同样可以推导出相同形式的b b 孤子方程( 2 3 ) ，即 兰三拳1i 命题2 设。满足关于t 的一阶常微分方程 a l n n = 钍2 + 互1 t 。+ 互1 ( a 一l + d 一1 + 2 c n 一2 ) 。 一( a n 一1 一d 一l 一2 ( 一2 ) 2 ( 2 2 8 ) 则由( 2 6 ) 确定的矩阵矿与y 有相同的形式，除了将“， ，。，u 。和替换为相应的面， o ，n 。和砚在同达布变换( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 作用下，原位势函数”和 映射为新位势 函数面和口 证明；令t _ 1 = t + d e t t 且设 c 咿+ = 9 2 , 渊孙a 仁。， 【 j9 船【) ， 显然9 1 1 ( a ) ，蚴( ) 是关于a 的2 n + 1 次多项式根据( 2 1 3 ) ，有9 1 2 ( a ) ，卯1 ( ) 是关于a 的2 n 次多项式当a = ( 1 j 2 n 一1 ) 时，利用( 2 2 ) 和( 2 1 2 ) ，可以推导出o j ( 1 j 2 n 一1 ) 满足r i c a t t i 方程 = 一u 一2 ( 碍一；一u 2 ) a j h ( + ”) + 互1 “。一“- - u v + j 1 n 2 ( 2 3 0 ) 通过直接计算，( 1 j 2 n 一1 ) 是g o j ( a ) ( s ，l = 1 ，2 ) 的根联立等式( 2 2 9 ) 可得 ( 正+ t v ) t + = ( d e tt ) q ( a ) q ( a ) 有f 列形式 鲫，= ( 搿群毋盘墨趔) 其中嘲q ( o ( ，j = 1 ，2 ，f = 0 ，1 ，2 ) 不依赖于 进而等式( 2 3 1 ) 可写成 噩+ t v = q ( a ) t 比较方程( 2 3 2 ) 中 ”，a n + 1 ，和a “1 的系数，我们可以得到 g i i = 出= 0 ，口g = 甜= 1 ，溜：一1 ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 捌= 2 c n 一1 + d 一l a 一1 = 一面， 口i 0 ) = 一( i l u 。十u 2 ) + 口一1 一：g f + a t l n 口， y q l 0 2 ) 一m 一1 = ( u 。+ ) a 一1 + ；。一u 札。一u + ；一2 b _ 一2 ， 趔= 4 c k 一3 一( ：“。+ t 上2 ) + 2 d 一2 2 u d 一l 一2 a n 一2 + 2 豇a 一1 + bi n o ， 拶d 一- = ( 晶一- ) t + ( u 。+ ”) a n - 2 + ( 互1 。一u 一w + ；) a 一2 b _ 一3 + ( ；+ t 2 ) b n l 一拙1 b n l q 璺) d n 一2 + b n l 岛l n o 另一方面，利用已严格证明的命题1 ，比较方程( 2 2 1 ) 的a ”， “，和a ”一2 系数， a 一。声= ；( 面。+ 哥) 一：( “。+ ”) ， d n 一1 ，2 = 一2 忙一“) 功v “ ( + u ) a n - i - - 2 b n 一2 + 互1 。一u 。一u + 互1 = ( f i x + ) d 一1 b n 一2 一一2 u b n 一2 = 2 b n 一3 + ( 面。+ 面) d _ 一2 一( $ + v ) a 一2 ， 2 ( k 一3 + d n 一2 一a n 一2 = 一( k 一2 茹一2 面i ? k 一2 根据( 2 3 9 ) 一( 2 4 3 ) ，并且联立b - b 孤子方程( 2 3 ) 通过复杂计算，可以得到 口蹬= 豇。+ o ， 押= 一扣1 一面2 ， d 字= 互1 冠。一日吆一面口+ i 1 趔= 产1 + 面2 对比( 2 6 ) 和( 2 3 2 ) ，易得矿= 0 ( 柚证毕 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 有 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 根据命题1 和命题2 ，达布变换( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 将l 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 映射为相同形式 的l a x 对( 2 7 ) 和( 2 ，8 ) ，并且两个l a x 对通过相容性条件都可以导出b b 孤子方程( 2 3 ) 我们也称变换( 氟 ， ) 一( 石，面，面) 是b b 孤子方程( 2 3 ) 的一个达布变换 综上所述，有下定理成立+ 定理1b - b 孤子方程( 2 3 ) 的个解( u ， ) 在达布变换( 2 4 ) 和( 2 1 7 ) 作用下，映射为一 个新的解( 面，口) ，其中a n “p 一l 和c k 一2 由已知条件( 2 1 3 ) 和线性系统( 2 1 1 ) 确定。 利用上面给定的达布变换我们可以得到b - b 孤子方程一系列的精确解以平凡解u = o ， u = 一i 作为种子解，代入l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中。可以得到( 2 i ) 和( 2 2 ) 基本解选取 两个基本解为 一h 。哥。岛) 川栌( 。嚣。白弘 其中 6 2 - 婴幻，( 1 sj 2 n 1 ) q = 、碍一i 。 根据等式( 2 1 2 ) ，有 g j = - - c j 糍+ b ，l j 2 j v 1 ( 2 4 4 ) 联立已知条件( 2 1 3 ) 和线性系统( 2 1 1 ) ，利用克莱姆法则求解，得 辄t = 等，翰一警，d - 。厶f d n - 1 ， ( 2 4 5 ) = = a l a 2 b a l 盯1 a 2 啦 a 3 印 a r 一2a ，一2 叽 a ，一1 a 一2a ，一2 观 a 一1 - 2碍- 2 如a 多- 1 1 口2 一l 2 一l沁_ n _ 一1 u 2 n 一1 一 a n - 一2 la i 斋! l 盯2 一la n - 一i l a l a 2 a 3 a 1 盯l 2 观 a 3 0 3 a r 一2 a r 一2 盯1a r 一1 口1 a 一2a 一2 口ja 一1 仃2 碍_ 2w _ 2 0 a 争一1 1 0 2 n 一1 a 2 - l 枷一l o 2 n - - 1 磁! la 2 n - 1 啦州a 浆i 蚴一1 6 观 哪 ! 1 1 叽 如 哪 l 1 l 即，厶分别是线性系统( 2 1 1 ) 两组方程的系数行列式而a 。一。是将行列式的2 j 一1 列由下式替换 ( 一a f ，+ 互1 m ”一a 参+ ；晚a 一l 朱一l + 互1 观_ 1 a n - 1 1 ) 7 厶。一。，五d 。一。是将行列式厶的2 n 一3 列和2 n 一1 列换成 ( 一扣 1 1 1 n 一1 ，一互 21 2 a n - 1 1 ) 7 从而，利用达布变换( 2 1 7 ) 得到b - b 孤子方程( 2 3 ) 的非平凡解 。：= 一a n ，- + i 。- - a d n 。- + i - - 。2 c n 。+ - 2 。, c k 一。k ( 2 4 6 ) 为了便于讨论生成解的性质和图像，我们仅考虑n = 1 和= 2 前两种简单情形 ( i ) 当n = 1 时设a = a 1 根据已知条件( 2 1 3 ) 和线性系统( 2 1 1 ) ，可以得到 以。= 一a l + 产1 d o = 一丽1 进而，利用达布变换( 2 2 z ) ，b - b 孤子方程( 2 3 ) 的一个解为 n 【l 】_ ；， 州_ n 1 吣- r l ，t - c l a n h l 。i 面再葡 一! ! ! 二! ! ! 竺皇 1 2 ! ! 生些1 1 一l t a n h 6 ( 2 4 7 ) 即l = 一堡2 描 一瓣五r l 赴t a n h f 磐c 垫l ( t a n 丽h 丽 ( 2 - 4 8 ) 2 ( a 1 ( 1 1 ) 一1 一r 1 ) ) 2 、厶鼍。 当参数适当选择时，此解是单孤子解 ( i i ) 当n = 2 时令a = o = 1 ，2 ，3 ) 利用已知条件( 2 1 3 ) 和线性系统( 2 1 1 ) ，有 a ，= 等，g = 譬，。= 会 ( 2 4 9 ) 其中 = 图1a 1 = - 3 ， 2 = - 4 ，h = 一6 r l = o ，您= 一3 ，7 3 = 一0 6 时，日 2 】和一o 【司的图像 1 口l 1 屯 1 妇 1 乱h l 毋k 1 o 3b a l e x 2 d i a 3 c 3 l 厶凸= 一； 1 0 1 j l 口l 一 i 1 如；扎叻一遐 i o 3 3 如一增 a l9 la 1 口1 b 叻a 2 0 2 a 3 如 3 0 - 3 d ，= 一妄 从而，根据达布变换( 2 1 7 ) 可以得到b - b 孤子方程( 2 3 ) 的另一解 i 【2 】2 a l - d 1 - 2 岛，( 2 唧 ii 2 】= 一1 + ( a l 十凸十2 c b ) ； 、。 在 1 或九 一i 范围内，当参数适当选择时面埘和面脚是三孤子解为了更 清楚地观察o 【2 】三个孤子相互碰撞后的形状，我们给出一面【2 】的图像由图形可知豇【2 】的 每个波均有两个蜂。这是与2x2 谱同题有关的孤子图像新类型( 如图示) 。 八八 v ：- ：i 图2 a i = 一3 ，a 2 = 一a 3 = 一4 ， 1 1 = t 3 = 0 ，也= 一3 时，豇【2 】和一日 2 l 的图像 通过数学计算机软件，对于面 2 】和o 【2 j 的孤子图像，我们有下列结论； 若九，( = 1 ，2 ，3 ) 同为负数时，霞【2 】和o 【2 】两个三孤子解是相互追赶碰撞，其平面 图均沿z 轴正向传播，称为右行波； 若九，( i = 1 ，2 ，3 ) 同为正数时，面 2 】和口【2 】两个三孤子解是相互追赶碰撞，其平面 图均沿z 轴负向传播，称为左行波； 若九，( 1 = 1 ，2 ，3 ) 两正一负或两负一正时，豇f 2 】和口【2 l 两个三孤子解是两个追赶碰 撞和一个正碰，取正值时为左行波，取负值时为右行波 1 4 三耦合的非色散方程的达布变换 1 达布变换 我们考虑下列谱问题 札= m 庐，m = - - i ) l q 。- 认i ) 。r 2 ) ：= ( ：窘) c s m 也= ，= ( 誊三) 相容条件= b 产生了零曲率方程 m t n t + m n n m = 0 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 通过直接计算，( 3 3 ) 转化为方程 一q t + 2 。r 舻r z = 。o ，, 慨a ， 在文献【3 1 l 中给出耦合的非色散方程，它是类可积方程 a 科+ 2 a b 2 a + 2 口q b + f f c b , + c ：b ) = 0 ， t 上k 一2 a b b x + 2 卢( 2 a a 。+ g b 。) + 2 ，y b a 。= 0 ， t ( 一2 q g c ：+ 2 卢( 2 a a 。+ b c ) + 研g a 。= 0 ， 的特殊情况，当选择 ；= i q ，b = c = - i r ，o l = 卢= 0 和7 = 1 时即得方程( 3 4 ) 本文 根据a k n s 系统达布变换的构造方法给出这个方程的达布变换 下面考虑谱问题( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的达布变换假定变换t 满足 其中 曲= t 西 ( 疋4 - t m ) t = 府 1 5 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 产生一个新的谱问题 西。= m e 其中廊与m 有相同形式，只是o ，面代替。，u ，即 一，一i a 舌一z a 面、 m = ll 一i 墒i a o ( 3 7 ) ( 3 8 ) 下面讨论一个具体的变换设a = 知时。l a x 对( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的解是( o ，p ) 7 ，容易 验证( p ，一。) f 是当a = 一 o 的解取 令a = 0 | q a ：f - 。 o 1 ，h ：r ，q卢1 0 一j , o 卢一o 忙一= 一1 ( 1 2 。耋，) 丹 为了方便，记t m l 昙= 口，则 且由 可以推导出 于是 我们假定 ，ii c o s 08 i n 0 牿瓦l 血8 一。口 如= 一i a o u ( i 一口2 ) + 2 i x o 0 ，有 从而 仃2e x p ( 2 i a l z 一砉t 一2 叫 t = ：1 1 ( 蓟：n “二h ) 其中 j l 2 - - 2 认- + 砉抖2 a t 由( 3 1 2 ) 得到方程( 3 4 ) 的单孤子解 茹聿i = 相对于口和f 的l a x 对的解为 庐= ( 庐玎( 。，a ) ) 叫叫e x p ( - i 苫壤。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 0 e x p ( 1 a x - 荆，j 。1 7 如果将口和f 作为初始解，则可以利用西作新的达布阵，以得到方程( 3 4 ) 的一系列 首先按。的一般形式和达布变换作出它的达布阵t = ( ) 记a = 口。，取常数 南= 蓑装等渊 屯= i t 2 a ( 两, 、2 ) 丽+ t 丽= ( x 2 ) a 2 ， ( 3 1 8 ) 啦= 蓑瓮离渊 现在仍以口= 1 ，r = 0 作为出发点，将t 的具体表达式( 3 1 5 ) 代人( 3 1 7 ) ，得到 如，卜1 1i x z 气嚣嚣却) i 而= 岽耄盐鲁等， 埘 h 2 _ 2 址+ 砉2 吼，( k = 1 ，2 ) ：雾鬻 巾】2 碉雨券象潞芒曷籍糕面网 在参数适当选择的时候。它是双孤子解同样我们可以化简g 2 】，但是它的式子仍比较 参考文献 1 a b l o w i t z m ja n ds e g u r h ，s o , t o n sa n dt h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s o r m ，s i a m ， p h i l a d e l p h i a ，1 9 8 1 2 】2n e w e l l a c ，s o l i t o n si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s , s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 8 5 3 】n o v i k o v s p ，m a n a k o v s v ，p i t a e v s k i i l p a n dz a k h a r o v v e ，t h e o r yo s o l i t o n s ，t h e i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d s ，n a u k a ，m o s k v a ，1 9 8 0 4 】f a d d e e v l da n dt a k h t a j a n l a ，h a m i l t o n i a nm e t h o d si nt h et h e o r yo s o l i t o n s ，s p r i n g e r b e r l i n ，1 9 8 7 5 】a b o l o w i t z m ja n dc l a r k s o n p a ，s o l i t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s e s c a t t e r i n g , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 1 【6 1 李翊神，孤子与可积系统，上海科学技术出版社，1 9 9 9 闭m a t v a l e e v v ba n ds a l l e m a ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n ds o , t o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ， 1 9 9 1 【8 1 8r o g e r s ca n ds c h i e f w k ，b ? i c k l u n da n dd a r b o u xt r a n s o r m a t i o n sg e o m e t r ya n dm o d - e f na p p l i c a t i o n s 轨s o h t o nt h e r o y ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 2 【9 l i x ma n dz h a n g j s ，ag e n e r a l i z e dt dh i e r a r c h yt h r o u g ht h el a xm a t r i xa n dt h e i r e x p l i c i ts o l u t i o n s ，p h y s l e t t a ，2 0 0 4 ，3 2 1 ( 1 4 - 2 3 ) 【1 0 l l i x ma n dg e n g x g ，l a xm a t r i xa n dag e n e r a l i z e dc o u p l e dk d v h i e r a r c h y ，p h y s a ， 2 0 0 3 ，a 2 7 ( 3 5 7 - 3 7 0 ) 【1 1 】l i y s ，m w x ，z h a n g j e ，d a r b o u xt r a n s o r m a t i o n sd ，c l a s s i c a lb o u s s i n e s qs y s t e m a n di t sn e ws o l u t i o n s ，p l