（基础数学专业论文）非线性演化方程的初值问题和对称约化.pdf

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出第四章，给出了本文的结论彝需要进一步研究的问题。 本文在理论上将前人的方法推广到单个高阶方程，所得的结果为对方程 进行更深刻的讨论提供了有效信息 关键词：广义条件对称；初值阆题；对称约化；非线性演化方程；对称群 l 西北大学硕士学位论文 c a u c h yp r o b l e mf o rn o n l i n e a u re v o l u t i o ne q u a t i o na n d s y m m e t r yr e d u c t i o n a b s t r a c t 7 i h en o n l i n e a rp h e n o m e n aw i l e l ya p p e a ri nm i i i o s ta ：ut h e6 e l d ss u d ha sn 跏 t u r e ，s o c i e t y ，e c o n o i n ya n d 8 0o n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c e ，p e o p l ep a y m o r ea t t e n t i o nt ot h en o n l i n e a rp h e n o m e n aw h i c hr e f l e c tn a t u r mp h e n o m e n a ， 8 0t h er e s e 甜c h e so nt h en o n l i n e 盯s y s t e m 8a r em a k i n gm o r ea n dm o r ep r o g r 器s i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h ee q u a t i o no fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sp l a yak e yr 0 1 ei n t h ep h y s i c 8a n dm a n ys c i e n t m c 丘e l d s al o to fm a t h e m a t i c i a i i la n dp h y s i c i s t t 珂t oo b t a i nt h e 8 0 l u t i o n so fd i 船r e n t 试e q u a t i o 璐，e s p e c i 越l yf o rc o n s t r u m i n ge x a c ts 0 1 u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i md i 髓r e n t i a le q u a t i o n s a 8i sl 【i l 嗍i t h a ts y m m e t r yg r o u pp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec o i l s t r u c t i n g8 0 l u t i o 璐 o fp d e s s y m m e t 】呵g r o u pm e t h o dp i o n e e r e db ys l i ei st h em o s te 仃e c t i v e a n du n i v e r s 赳m e t h o df o rc o n s t r u c t i n ge x a c ts o l u t i o 璐o ft h e s ee q u a t i o n s w b r e f e rt oi ta sc l a s s i c 址m e t h o d h o w e v e r ，t h es y m m e t 盯g r o u p sa d i i l i t t e db y s o m ep r o b l e l sa u r i s i n gi na p p l i c a t i o n s2 u r en o tr i c he n o u g hf o ro n et ou 8 et h e t e c h n i q u eo fs y m m e t r yr e d u c t i o n ，e s p e c i 以l yf o rt h ea n a l y s i so fb o u n d a r ya n d i n i t i a l v a l u ep r o b l e l s i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e 1 8 ，v a r i o u sg e n e r a l l i z a ，- t i o 璐o ft h ec l a s s i c a lm e t h o dh a v eb e e nd e v e l o p e d t h e s ei n c l u d ec o n d i t i o n a l 8 y n 1 h l e t 吼g e n e r a l i z e ds y m m e t 巧，h i g h e rc o n d i t i o n 越s y m m e t 吼e t c 7 r h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o u o 、7 i r s ：i ns e c t i o n1 ，r ep r o v i d e8 0 m eb a c k g r o u n dm a t e r i a la n dn o t a t i o n 8o fg c sa n dt h e o 盯o f8 y m m e t 珂r e d u c t i o n i n s e c t i o n2 ，ed i s c u s st h ec l 嬲s i & a t i o na n ds y m m e t 盯r e d u c t i o nf o rt h eg e n e r 4 i z e dk d v - t y p ee q u a t i o 璐u t = g ( ”) 札z + f ( u ，u z ) b yh i g h e rc o n d i t i o n a ls y m - l e t r ym e t h o d i ns e c t i o n3 ，w ep a ya t t e n t i o nt oa c l a 筠o ff o u r t h _ o r d e rp d e s 饥= 一u z 扰善一日( u ) 让：z + f ( 仳) 2 + q ( u ) 畦+ 冗( u ) w - ec l a s s i 移t h ee q u a t i o n s a d m i th i g h o r d e rg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n 2 l ls y m m e t r i e sa d l dr e d u c et h er e 8 u l t i n g e q u a t i o 璐t oc a 肛c _ 1 1 yp r o b l e i 璐f o r8 0 m es y s t e m so ff i r s 乞- o r d e ro d e s w ec a n c 0 璐t r u c ta na ：i y t i cs o l u t i o n so ft h ei n i t i a l 一v a l u ep r o b l e i i l 8f o rp d e s ，t h 豁es o l u t i o n sg e n e r a l l yc a n n o tb eo b t a i n e dv i at h ec l a s s i c a l l8 y m m e t wm e t h o do rt h e c o n d i t i o n a l ls y m m e t 珂m e t h o d 8 e c t i o n4i st h ec o n c l u s i o n 8a n dt h es t u d yi n 2 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 非线性现象广泛存在于自然界和人类社会、经济等众多领域中随着非线性 科学的迅猛发展，对非线性系统的研究日趋深入人们在探索和解决这些自然界 和人类社会的各种复杂的非线性问题的同时使我们对自然和社会的科学认识更加 深刻而非线性数学物理方程在物理学和许多非线性科学领域扮演着重要的角色 寻求微分方程的精确解，尤其是非线性偏微分方程精确解的构造，一直是数学家和 物理学家共同关注的问题因为精确解包含了相关系统的精确信息，因此在分析各 种物理现象时起到了至关重要的作用另一方面，精确解为控制数值解的精确度 也提供了有用的信息而对非线性方程的对称及相关问题的研究成为研究者的重 要课题所谓的发展方程，是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方程的统 称，又称演化方程在物理力学或其他自然科学中用来描述随时间而变化的状态或 过程波方程热传导方程反应扩散与对流扩散方程k d v 方程等以及由这些方程 通过适当方程耦合而得到的耦合方程组，皆属于发展方程的范畴 1 9 世纪后期，挪威著名数学家s 印舰s 勘e 提出了连续变换群，即李变换群的 概念李变换群是作用在欧氏空间上，依赖于一个连续参数的变换群平移，旋转 和伸缩是最基本的李变换群厶e 群是群这一代数概念与流形这一几何概念相结 合的产物这两个看似不相干的数学概念的相互渗透与交叉，产生了勘e 群这一新 的数学理论厶e 把连续变换群的定义引入到数学物理和力学中其最初动机是为 了发展常微分方程的积分理论以便能够合理地解释一些基本的问题，例如，为什么 有些方程是可积的而另外一些方程是不可积的厶e 在这方面的基本结果可以看 作是g 甜扰s 和a 6 e f 的代数方程组可解性理论的推广助e 的主要工作对常微分 方程做了系统而全面论述，在偏微分方程方面，他还研究了线性偏微分方程在觑e 群作用下的不变性，同时建立了热传导方程的局部变换群，开创了髓e 群理论在偏 微分方程中的应用从那时起，髓e 的连续变换群理论在数学和物理的很多问题中 得到了广泛的应用 数学物理和理论物理中出现的大多数非线性微分方程的对称性质已经广为人 知事实证明，绝大部分的非线性微分方程仅仅允许各种各样广义的对称群 丘e 1 】首先运用微分方程的群理论构造方程的精确解，该方法是研究偏微分 方程对称的古典方法，一般称之为李点对称方法或者无穷小变换李群方法【2 】- 【4 】 5 西北大学硕士学位论文 利用经典李方法【5 】求解偏微分方程的基本思想是：利用对称减少自变量的个数， 将偏微分方程转化为常微分方程如果我们能够求出最后的常微分方程的解，那么 就能得出相应偏微分方程的特解这个维数约化的过程我们称之为对称约化2 0 世纪7 0 年代后期对称约化成为求解非线性偏微分方程的有效工具并且已经证 明了对称约化是构造产生于应用数学和物理领域中的线性和非线性偏微分方程的 精确解和有效工具 2 】 4 】 6 】使用经典对称方法求解非线性偏微分方程时，要求 所研究的方程应当具有非平凡的李点对称但在实际中存在着许多具有弱李点对 称的重要方程例如非线性演化方程因此，研究李对称方法的推广是很有必要 的，基于古典李点对称的各种各样的对称群推广方法逐渐发展开来这些方法包括 以 e r 【7 】提出了丘e b a c 埘删对称方法，也称为广义对称方法，b f u m o n 【5 】 8 】 等人提出了条件对称方法，也称为非经典对称方法，等等然而，在实际应用中有 些问题不允许丰富的对称群，而不能利用广义对称方法或条件对称方法来解决，尤 其是对初边值问题在条件对称的基础上，z h d a n o v 【9 】和f 0 k a s 以及l i u 【1 0 】提出 了广义条件对称，又称为高阶条件对称或者条件乜e b 苞c 尼f u 删对称利用广义 条件对称可以解决初边值问题广义条件对称是对条件对称的自然推广如同条件 对称是李点对称的推广与古典的约化方法不同，g a l a l l 【i t o n o v 【1 1 】【1 2 】引入的“非 线性分离变量方法”以及函数变量分离方法 1 3 】- 1 8 】和f u s h c h y c h 等人 1 9 】引入 的“反约化方法 的思想均基于在对一族微分方程的研究中对某个方程进行约化 一阶对称形式不能解释这些现象，而高价条件对称可以表征这些现象的特性广 义条件对称方法的一个显著特点是可以构造非线性偏微分方程的具有重要物理意 义的精确解 2 0 】该方法已成功地应用于寻求某些非线性偏微分方程的精确解和 对称约化的研究中【2 1 1 【2 4 】，这些解一般不能由古典对称方法或条件对称方法求 解在f 2 5 1 f 2 9 1 中，屈长征等人系统地研究了只具有弱的李点对称的非线性演化方 程，对方程进行分类并找到了很多有重要意义的精确解z h d a n o v 等已经证明了 非平凡广义条件对称的存在性是将演化方程约化为常微分方程组的充分必要条件 3 0 1 一3 4 1 ，同时将偏微分方程与常微分方程组的约化和高价条件对称联系起来我 们可以通过常微分方程组求出对应的偏微分方程的解 3 5 】 如何运用对称方法处理非线性系统边值、初值的分析问题对数学物理学家仍 然是一项挑战主要困难在于：来自实际应用中的边值、初值问题的对称群不够丰 富，难以有效运用对称约化技巧为了拓宽能够用对称方法处理初、边值问题的范 围，目前一种重要尝试是z h d a n o v 等的非线性系统的条件对称 用z 九如n 俐等的方法处理非线性演化方程的初值问题其主要步骤是： 6 西北大学硕士学位论文 看成关于z 的阶常微分方程，其通解具有如下形式( 至少局部的可以这样表示) 让 ，z ) = u ，z ，咖1 ) ，也 ) ，( t ) ) ，( 1 9 ) 其中奶( t ) ，0 = 1 ，) 是任意光滑函数我们称( 1 9 ) 是堋口场在广义条件对 称( 1 3 ) 下是不变的 定理1 1 1 方程( 1 1 ) 在l i 争b 诎l u n d 向量场( 1 3 ) 下是条件不变的其中f c + 1 ( d ) ，口是舯+ 3 中的开领域叩c 2 ( ) ，口7 是r + 3 中的一个开领域却砒 0 我们称在l 涪b 舀c l 【1 u n d 向量场( 1 3 ) 下是不变的口伽口场将方程( 1 1 ) 约化为一个 有个常微分方程的方程组个函数咖( t ) 0 = l ，) 表示如下 等= 玛( t ，1 如) ，j = 1 ， ( 1 1 0 ) 逆命题：口佗s d 切将( 1 1 ) 约化为常微分方程组，其中函数u 和它的导数a u 知+ 1 1 5 l 九如奄， 0 = 1 ，七= o ，) 存在，并且在d l 中连续，d 1 是r + 2 中的开区域； e c 1 ( 硝) ，口i 是r + 2 中开区域，那么存在l 海b 诎l u n d 向量场( 1 3 ) 使得方 程( 1 1 ) 在其下是条件不变的 这个定理确定了偏微分方程到常微分方程组的约化和它的高价条件对称之间 的联系，其证明过程可以参阅 3 0 】 3 6 】 考虑方程( 1 1 ) 的如下初值问题 饥= f ( t ，z ，牡，让l ，t 正2 ，心n ) ， 口( z ) ( t o ，z ) + p ( z ) u ( 知，z ) = ，y ( z ) ，( 1 1 1 ) 其中q ) ，p ) 和7 ) 是光滑函数 定义1 1 3 我们称口n s o 坛( 1 9 ) 约化初值条件 q ( z ) ( 亡o ，z ) + p ( z ) u ( t o ，z ) = ，y ( z ) ， 如果将口瑚口拓( 1 9 ) 代入( 1 1 2 ) ，所得的等式恒成立，同时 咖) = c ，茁= l ，2 ， ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 其中c l ，c 是某些常数 定理1 1 2 n 船。钯( 1 9 ) ，是在l 诲b 渊u n d 向量场( 1 3 ) 下是不变的，能约化初值 条件( 1 1 2 ) 当且仅当下面的两个条件成立 ( a ) 两个偏微分方程 7 ，z ，u ，牡1 ，t ) = o ，口 ，z ) 牡1 + 6 ( t ，z ) u c ，z ) = 0( 1 1 4 ) 9 西北大学硕士学位论文 是相容的 ( b ) 上式方程组的解就是方程叩= o 作为关于z 的常微分方程的通解( 1 9 ) 定义2 1 4 我们称关于z 的常微分方程 ，7 ，z ，u ，u l ，让) = 0( 1 1 5 ) 在如下算子下是条件不变的 x = ( 如，u ) 岳+ e ( 如，牡) 丕 ( 1 1 6 ) 0 时，那么下面的关系成立 x 叼i o = o( 1 1 7 ) 其中又是算子x 的阶延拓，符号q 代表交叉表面，由变量孟，z ，缸，u t ，缸 r 所 在的空间r 悄，和方程( ，z ，乱) u 1 一e ( ，z ，钆) = 0 关于z 直到一1 阶荨= 0 时， 我们称( 1 1 5 ) 在算子( 1 1 6 ) 下是条件不变的，如果求出e ( t ，z ，让) = o 关于u 的解， 得到( 1 1 5 ) 的一个精确解 定理1 1 3 n n s o 切( 1 9 ) ，是在l i 争b 诎l u n d 向量场( 1 3 ) 下是不变的，能约化初值条 件( 1 1 2 ) 当且仅当下面的两个条件成立 ( a ) 方程( 1 1 5 ) 在算子( 1 1 6 ) 下是条件不变的，并且 毒= 口( z ) ，e ，z ) = 一卢( z ) t 正+ 一y ( z )( 1 1 8 ) ( b ) ( 1 1 4 ) 的解就是方程叼= o 作为关于z 的常微分方程的通解( 1 9 ) 根据定理( 1 1 3 ) ，我们形成如下步骤的对称方法来约化初值问题( 1 1 1 ) ( i ) 计算方程? 7 = 0 在如下李向量场中的最大李不变代数 x = 讹z ) 是+ ( 姚z ) t i + c 2 ( t ，z ) ) 兰 ( 1 1 9 ) ( i i ) 令a ( z ) = ( o ，z ) ，p ( z ) = 一6 ( o ，z ) ，7 ( z ) = e 2 ( o ，z ) 最后我们将在l i e - b 渊u n d 向量场( 1 3 ) 下是不变的方程( 1 1 ) 的初值问题约 化为常微分方程组的初值问题 对非线性常微分方程7 7 = o 而言，我们并不总能找到通解( 1 9 ) 式；另一方面， 我们知道一些非线性偏微分方程允许其广义条件对称是关于u ，u 1 ，让的线性 函数鉴于上述两方面，我们考虑如下的广义条件对称 q = 卦卜酗砒) 怯 m 2 。， q = i 磁lu 一啦( ) 让t ) l 杀，伽= 饥 ( 1 2 0 ) 七= 0l ；0 j 。一“ 西北大学硕士学位论文 如果这样的广义条件对称可以找到，那么方程，= 0 是线性的，通过积分得 到口伽n 纪具有如下形式 n u = 甄( t ，z ) 晚( t ) ( 1 2 1 ) t = 1 利用广义条件对称约化初值问题有如下三点限制条件： ( 1 ) 所讨论的方程必须允许非平凡的高价条件对称 ( 2 ) 我们能够求出非线性常微分方程? 7 = o 的解，以便得出伽口玩 ( 3 ) 常微分方程叼= o 允许非平凡的李对称 1 1 西北大学硕士学位论文 第二章k d y 型的分类和对称约化 从这一章开始我们进入主题，首先讨论广义的k d y 型方程 饥= g ( 牡) u 铭霉+ f ( t ，t k ) ，g m ) 0( 2 1 ) 其中g ( ”) ，f ( u ，) 是光滑函数 在1 8 9 5 年，荷兰a m 8 t e r d a m 大学教授k o r t e r e g 和他的学生d ev r i e s 研究 了浅水波的运动，在长波近似及小振幅的假设下，建立一个一维的数学模型，他们 建立的方程就是著名的k d y 方程，是k o r t e w e 夸d ev r i e s 方程的简称k d y 型方 程是首次从理论上揭示了孤立波的存在，随着非线性现象研究的深入，孤立子理论 的建立和发展，科学家们又在许多不同的领域发现了k d v 方程，如：冷等离子体 的磁流体波运动；等离子体的离子声波；液、气两种混合态的压力波运动；非谐振 晶格的振动；在低温下非线性晶格的声子波包的热激发等等 这一章讨论方程( 2 1 ) 的广义条件对称和约化问题，并对分类出来的部分方程 进行对称约化，将其转化为常微分方程组 2 1分类 定理2 1 1 方程( 2 1 ) 允许如下形式的三阶广义条件对称 q = 刀未三撇一。2 ( t ，z ) u 站一口。( t ，z ) 一口o ( t ，未) 叫品 ( 2 2 ) 当且仅当( 2 1 ) 等价于如下的方程之一： ( i ) t t ： 譬铭+ ( 一口2 9 l u + ) + 如牡+ ， n 2 o “2 q = ( 一口2 ) 盖+ q = ( 龆一勉+ 詈眈2 ) 彘+ ，鲰= o ， oq = ( 龆一勉+ 詈眈2 ) 羞+ ，鲰= o ， o q = ( 铭一口2 一口l u 茹一口0 u ) 是+ ，玑= o ， = o ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( i i ) 饥= 日( u ) 船+ 2 + 卜口1 日m ) + 】一口l t 2 + u + ，( 2 6 ) q = ( 一口t ) 嘉+ ( 2 7 ) 1 2 西北大学硕士学位论文 ( i i i ) ( i v ) t t = ( 仇u + 眈) u 霉黜+ ( u + 厶) + ，3 铲+ t i + ， q = ( + 会+ 叠) 品+ 仇。 饥= 夕嚣+ 魄+ 五u q = ( 嚣一口3 ( t ，z ) u 埘。一啦( t ，z ) 茁一口。( t ，z ) 一n 0 ( t ，z ) 牡) 未+ 其中知( 亡，z ) ，口1 ( t ，z ) ，眈( 亡，z ) 满足如下方程组： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 她 =夕口o 霉+ 咖重+ 3 9 n o n 缸+ 3 9 咖口2 。+ 3 9 n 位n 缸+ 劫n o n 3 n 3 z 口1 t =幻口霉+ 口k + 3 夕口l n 缸+ 3 9 n 1 霉口如+ 3 夕n o o 缸+ 趵n 1 口缸+ 趵口l 口3 口3 霉 + 9 q l 霉t z 口2 t =幻0 2 口2 + 3 夕a 2 z a 钯+ 3 9 a 2 口3 + 幻口2 口缸茁+ ：趵口1 + 勋口2 口3 口缸+ 卵2 撇 + 3 夕口1 2 霉+ 3 夕。阮+ a 如 口舭= 3 9 口2 z 霉+ 口缸+ 夕a 3 撇+ 3 1 7 幻口3 船+ 韧口3 口2 茹+ 幻口1 霉+ 幻喀+ 3 妒2 口钯 + 3 9 n ；z 定理2 1 3 方程( 2 1 ) 允许如下形式的五阶广义条件对称 毛三k 一静加m 击 当且仅当( 2 1 ) 等价于如下的方程： ( 2 1 3 ) q =( 砧船一6 4 ( t ，z ) 一6 3 ( 亡，z ) t 一一6 2 ( 亡，z ) 牡一6 l ( t ，z ) ) 毛+ ，3 o ； q = ( 一口4 ，z ) 钍端站一口3 ( t ，z ) 一口2 ( t ，z ) 地珏一口1 l j c ，z ) 一知l j c ，z ) t ) 盖 + 厶= 0 1 4 主半伍 64k6 3 t = 勋6 2 6 缸+ 3 夕6 缸+ 3 如6 缸z + 幻6 3 6 缸+ 勋6 3 “6 缸+ 3 9 6 1 2 + 3 9 6 4 t = 趵6 2 z + 夕+ 3 9 6 4 6 缸茁+ 幻6 4 + + 3 夕6 3 6 缸+ 3 讲i 乞+ 3 9 磕+ 3 函数啦(t，刀)(t=o，1，2，3，4)分别满足如下偏微分组： 口 = 夕口眙霉霉+3夕口on4黝+的ooo钯+o眙+3夕n缸+39知毗毒 n = 39口103茹+勋aoo缸+3夕n104n4霉+勋口1n缸霉+901z+口h+3夕口1$口缸+3夕蕾蕾 2 =3 夕n 1 0 4 卫+ 夕n 缸船+ 3 9 a 2 口1 4 0 缸+ 幻n 他+ 趵n 知n 缸+ 趵n 2 地霉+ 3 9 n 2 口4 嚣+ 3 口缸 口3 t = 趵口3 啦z 茁+ 口缸+ 趵n 缸口缸+ 却口1 茹+ 3 9 砚n 缸+ 3 9 n 2 + 勋口3 毗口缸+ 趵0 + 缸站口船= 3 夕n 知+ 9 黝+ 3 夕毗口4 + 3 9 口4 0 缸+ 口缸+ 趵口3 口4 卫+ 韧吨+ 3 卵i n 缸 定理2 1 4 方程( 2 1 ) 允许如下形式的六阶广义 西北大学硕士学位论文 ( i i ) 饥= 夕龆+ 已k + 如t 正， q=( t k 船绷一n 6 ； ，z ) t k 嚣霉一口5 ，z ) u 霉2 2 2 2 一口4 0 ，z ) t 屯馏龆一a 3 ，z ) t k 一n 2 ，z ) 珏一n ，z ) 一a 0 ，z ) u ) 击+ 其中仇( 舌，z ) 满足如下方程组： 口戗 =9 n 缸嚣+ a 蚀+ ：轫o 0 0 6 就+ 勋o o n 5 z + ：轫n o n 6 口缸+ 幻n o z 伪陆 口1 t =3 夕n o z + g n l 粘2 + 3 夕0 ( b 瑶+ 3 9 a 1 口阮+ 0 1 十幻o l a 6 z 霉+ 趵口l 霉霉 + 3 n l n 6 夕n 缸 蚴= 3 夕d 1 茹茁+ 夕0 2 薯端+ 3 9 口q 霉+ 趵口2 口6 船+ 3 夕a 2 a 1 5 茹+ 韧n 1 0 6 薯+ 3 夕口缸口缸+ 韧口2 知a 船 + n 缸 口乳 =夕n 缸黝+ 3 9 口l 茁+ 3 夕口钯霉+ 勋口3 a + 3 夕n 2 口缸+ 3 夕口3 口6 嚣+ 趵口3 8 融+ 3 夕a 缸a 船 + h a | 口4 t= 3 卵4 口梳霉+ 溉口5 z + 飒a 6 。+ 3 9 乜3 a 【6 霉+ 3 9 珏4 口6 a b + 趵a 缸+ 卵缸骝+ 劬 + n 缸 口5 t =勋口缸+ n 5 霉+ 3 卵5 n 缸+ 3 夕0 5 霉+ 3 9 口4 霉茹+ g 口缸黝+ 3 9 口5 a 6 + 幻口4 口缸 + 3 夕口5 z n 缸+ 3 9 0 4 a l 右+ 的口缸a 位 魄= + 3 夕n 琵+ 3 9 口5 铭+ 3 9 口缸+ 魂口5 霉+ 幻n 6 嚣+ 卵缸船+ 3 夕口5 + 3 卵2 霉 2 2例子 例子2 2 1 约化方程( 2 3 ) 的初值问题 首先积分方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，可得到口嬲口切 让= 九+ 也z + 九e 0 2 霉，( 2 1 6 ) t = 1 + 锄e 扣z 茁8 i n ( 雩口2 z ) + 九e 扣。zc 0 8 ( 孚口2 z ) ， ( 2 1 7 ) 上式可将方程( 2 3 ) 约化为一个常微分方程组然后我们计算方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的 李点对称，并且得到如下初值条件： 岛( t o ，留) + a 缸，z ) = 岛+ q z + 侥e 啪( 2 1 8 ) 岛，z ) 一q t ( 圮z ) = 仍+ q e 扣。2s i n ( 譬。2 z ) + g e 扣庐c 0 8 ( 孚a 勰) 1 9 ) 1 7 西北大学硕士学位论文 a 1 4 = a 1 5 = 6 貔乜 a0 c 2 + 1 2 a n l 6 岛口 五+ 譬貌匈+ 半 例子2 2 4 约化方程( 2 1 1 ) 的初值问题 首先积分方程( 2 。羔2 ) ，可得到黜穗钯 t = 咖l + 也毋尘+ 九e 融+ 九拶蕾， ( 2 3 4 ) 上式可将方程( 2 1 1 ) 约化为一个常微分方程组然后我们计算方程( 2 1 2 ) 的李点 对称，并且得到如下初值条件： a ( t o ，茁) 一岛u ，z ) 黜岛+ 岛e 风喾+ 岛毋霉+ a 铲霉，( 2 3 5 ) 其中。然后将( 2 3 4 ) 代入( 2 羔1 ) 和( 2 。3 国得到如下的初值问题： 訾= 姨+ m + 警= 如( 也+ 警= 也魂+ 如) 警= 九( m + 如) ( 2 3 6 ) 雕滩 如 如 南 t 0时 令南= o ，方程( 2 3 6 的解： 勰、一五+ 厕t 跳( 甲j 一删嬲( 粼) ) 郴) 茹1 矿型燮翌 也( 幻= 蔗7 甲一耥) ) ) 觑 础) = 编e 露( “讹。t a n ( 避华蛐( 耥) ) ) 出， 蠡t ) = a 约e 。 4 岛，5 ”瑶 批1 篇“e 肌舶细( 避华卜蛐( 黼) ) ) 出t 也g ) 篇a 1 3 e 。 。 嘞、4 ，3 ，5 一堵 西北大学硕士学位论文 其中a ，t = l ，1 5 是某些特定的常数 0 f 2 尻= 一生业罐争堂 岛= 风= 一q 2 + 1 2 9 1 + 怕a 2 j + 1 2 怕 9 1 j 1 2 夕1 a q 2 1 2 9 1 幻1 a 西北大学硕士学位论文 第三章一类四阶方程的分类和对称约化 我们给出四阶的方纛醐 魂一一一日( 缸) t ：霉+ p ( 牡) + q ( t 1 ) 缱+ r ( 牲)( 3 1 ) 其中日( 钍) ，p ( 珏) ，q ( 珏) 和r ( t 1 ) 是关于牡的光滑函数 方程( 3 1 ) 的下面几种特殊情况都具有丰富的物理应用背景 当( 铭) = 一天，p ( 铭) = 一l ，q ( 铭) 粼l 一爻和冀( 钍) 粼。时p 翻一g 】，则方 程( 3 1 ) 转化为： = 一一+ a 龟+ ( 1 一a ) ( 3 2 ) 当爻= o ，就是著名的鬈嚣铡诚。一黝泌勉霸葶姆( k s ) 方程蚓 t t = 一一+ 记( 3 3 ) k u r a m o t o 在反应扩散系数的耗散结构以及s i v 够h i n 8 妇在火焰燃烧传播模 型中和流体力学不稳定分析中，分别独立地得到了该方程k u r a m o t o 在研究 b e l o n s o v - z h a b o 乇i n s k y 化学反应中的相湍流的问题时导出了一维空阀中的方程 后来，s i v a s h i n s k y 将上述方程推广到二维乃至更高维的情形关于这类无穷维动 力系统已有许多研究。如：研究其惯性流形，近似惯性，这两类流形均用来刻划该类 系统的局部吸引予和整体吸引子d e p a s s i e r 和s p i e q e l ，n i e o l a u e n k o ，郭柏灵等许多 学者讨论了该方程。k s 方程在等离子物理问题，热传导及氧化反应的扩散，动力 学，自e l j 膜表面的流动等问题中有广泛的应用【4 l 】_ 【4 2 1 当a = 1 ，等价于c a h m h i u i 射d 方程 t t = 一一伽( 牡) ) ( 3 4 ) 其中p ( 珏) 是关予链的光滑函数方程( 3 。4 ) 是一个反映一种易熔合的化学混合物 成二元和金，然后再被聚冷而成一种不稳定状态，继而分解成为性质截然不同的两 相位过程的模型降司一銎臻 这一章主要讨论方程( 3 1 ) 的对称和约化问题，并对分类出来的部分方程进行 约化。 茜北大学硕士学位论文 3 1分类 定理3 。l 。1 方程( 3 。1 ) 允许如下形式的三阶广义条件对称 y = 印毫兰一一锄( t ，z ) 一靠。，z ) 一知转，茹) 川未 ( 3 。5 ) 当且仅当( 3 1 ) 等价于如下的方程之一： i ) ( i i ) ( 主i i ) ( i v ) t t = 一+ ( 矗+ u ) 一耋 遽一吾 胡戳2 + r t 牡+ r o ， 罄= 一勉+ 善递； 域= 一一磙+ ( 南+ 私) + ( 耋8 l 2 一兰 ) 魄2 一( 丢胁+ 三蚴i ) 铲h 钍+ 翔， 刀= t k 龆一口1 t k ； 撕端一骝霉一k 牡荛+ ，o t 瓣+ 口1 磋+ r l u + 咱， 露燃一a 2 搽； 魄 =一+ 五+ n 珏， 蟹= l 垂霉铭一纯毡珏一糕l 毫k 一舀。狂； 其中 ，n 和啦 z ) 是任意的实常数 ( v ) 诹= 一搿茹+ 如， 7 = 一舭( 厶z ) 翟一a l ，茁) 一伽 ，尘) 缸 ( 3 6 ) ( 3 。7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 西北大学硕士学位论文 其中啦( t ，z ) 0 燃0 ，l ，2 ，3 ) 满足如下的偏微分方程组： 鼬 =一国蛔一盘怒8 船一表硒8 觏黝一8 釉吨一& 珀穗l 拓一蚍+ 矗 一6 口岫a 孰髫一4 知n l n 2 z 一4 n o n 2 0 h 一4 n o o 缸+ 2 8 0 口如一6 a o 口2 口2 铭 一4 龟壤秘8 轮一4 8 酝8 l 霉 n “= 2 如n 1 0 2 嚣一0 1 $ 嚣嚣一4 吨一4 咖口h 一鼬l 噍一4 口l + 2 口0 嚣+ 矗口l 渊 一4 8 i 8 2 茹一& l l 霉貔2 矬一4 | 8 1 8 2 茹龆一4 i 良缸8 l 嚣一6 畦1 8 l 霉嚣一6 翻露2 瓣一4 i 岛。霉粼 一4 c b 口2 毗善一4 0 1 n i n 缸一乩毗n 2 霉一4 n 1 口2 口1 嚣一4 0 2 0 h a l 2 z 一6 a l n 2 口知喾 勉 =2 南8 l 霉一6 奄8 2 嚣一4 8 2 8 2 嚣氆b 嚣霉一6 髫一4 鳓8 缸一1 2 8 2 建一4 8 1 8 l 茹 一4 n i g l 霉一1 0 口2 霉n 妇霉+ 矗口勉z 一4 n 2 n 2 $ 粘一4 啦口眙一6 n l 口知霉一1 2 n 1 2 嗽嚣 一8 8 1 8 2 8 2 霉+ 2 矗锄8 2 嚣一4 8 l 搬一6 锄盘l 嚣 定理3 1 2 方程( 3 1 ) 允许如下形式的四阶广义条件对称 嘞嘉兰k 一乒柚m 嘉 当且仅当3 1 ) 等价予翔f 的方程之一： ( i ) 鳓= 一一( 籼锃+ ) 心+ ( 要轰l 霹舻+ 五珏矗) + ( 口2 九，一吾九，霹) 弘+ 鲁勉霹+ 勉勉一鲁 】醒一昙九，口2 舻 一( 鲁屯口2 口i + 丢心) 铲+ n u + r 0 ， ( i i ) 魄= 一黜卫+ 而茹+ 如铭， ，7 = 描一口3 “黝忿一口2 t 屯雠一口，+ 未口i 谑牡； 其中五，鬼，n 和舷 z ) 是任意的实常数 ( i i i ) 魂= 一啪+ 而， 剪= 燃珏一铂，z ) 一鳓8 ，) t 屯珏一a l q ，。) 一匈o ，髫) 锚 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 。1 4 ) 西北大学硕士学位论文 其中啦( t ，z ) = o ，1 ，2 ，3 ) 满足如下偏微分方程组： =一z 一4 a l 茹一她轴n 0 龆一4 口红一6 n 缸一4 咖遽n 3 善一4 a 3 n 3 霉 一8 绚也一6 如g 搬+ 2 矗知一6 知铂a 缸霉一4 如幻勉霉一4 8 0 砚8 缸+ 矗钧粉 一4 锄8 缸瓣 糕l l =一4 8 阮嚣一8 l 删一8 i 住缸一4 妇1 3 8 l 嚣8 3 蕾一4 臻翻8 l 龆一k l 口缸黝i 一4 蟊l 勉8 轮 + 2 矗口q 嚣一4 0 l 霹n 龇一6 口l 茁口缸正一8 0 l g 荛一6 咖n 3 拙一6 8 1 口2 站一6 0 1 0 3 a 融 一4 知口2 2 + 2 ，o a l 貔瓤一4 口1 n 3 口2 霉一4 n l n l 茹一4 n l 口如+ 0 1 茹霉一4 0 0 n 3 n 鼢 n 僦 =一4 口1 n 3 口缸一4 n 2 蚴n 2 譬一4 n 3 n 知铂霉+ 2 ，o a h 一4 n 2 吐缸黜一6 n 知n 3 霉霉一4 a 乞 一6 a 2 n 2 嚣一4 锄n 瓤一鼠1 8 缸茹一4 8 2 8 l 墨一钇2 穗l 接轴一6 勉8 3 8 3 貂+ 2 矗8 2 8 瓤 一2 8 玉一4 i 一8 8 l 霉8 缸一或秀一6 + 南一缸1 8 2 鬈一钯l 潮溶 一8 2 = 醐臻臻 n 3 亡 =一4 n 知黜一6 8 l a 缸茁出茁一1 0 8 缸a 1 3 嚣一6 a 3 n 孰茹一6 n 2 n 3 嚣一4 ：8 l 窃轴一4 俑眙 一6 口；口3 霉霉一4 a 3 0 缸茹街一1 2 口3 口一8 n 2 口3 口3 第一4 口；口钯一1 2 口2 z 口3 z 十2 a 3 堪鼬 一4 口3 n 1 茹+ ，o 口轴茹一4 n 2 口缸+ 2 口知一4 n 2 a 缸 定理3 1 。3 。方程( 3 。1 ) 允许如下形式的五阶广义条律对称 y 翟露嘉兰一一塞搬凇】未 当且仅当( 3 1 ) 等价于如下的方程之一： ( i ) ( i i ) 魂= 一一九t 吃+ 【( 鲁九t o s 一鲁蜘) 珏+ 司蚍+ 缅记 + ( 丢钧勘一篡纛t 霹) 铲毪铭+ 翔， 露= = 一铂+ 丢如；露= = 硒燃一8 3 + 磊； 饥 =一+ 如+ n 牡+ r o ， 智= 砧黝一弛一幻2 锄一a 2 一嵇l 抛， 伯o ； 零= 虢粼一瓤毫屯瞧龆一铅一8 2 强秘一穗l 魄一翻器， 内= o 。 2 7 ( 3 。羔5 ) ( 3 。l 妨 ( 3 1 7 ) 西北大学硕士学位论文 其中厶，如和啦a z ) 是任意的实常数 ( i i i ) 铫= 一+ 南， 弩= 魄嚣嚣一铷( ，z ) 一如毛2 ) 锄一现( 孟，功一8 l ( 季，z ) 一口o ( 毛茹) 氍； 其中魄垂，茹) 0 = 0 ，l ，2 ，3 ，莲) 满足如下方程组： =一4 8 0 8 2 鬈一8 妇黜嚣+ 矗铂龆一4 知a 缸霉霉一6 知穗3 一6 瓯龆一4 8 0 霉弼嚣 一8 知凸乞一4 0 4 茹茹一4 n 0 口缸一4 d 0 n 3 一4 n 4 口缸一6 知口4 国妇 + 2 而咖n 缸一4 伽蛳口缸 貔l t 掣 一4 吼谊骝一口1 嬲+ 2 矗n l n 钯一4 8 l 口缸+ 而n l 黜+ 2 矗n 妇一4 口1