（基础数学专业论文）群胚、离散力学与变分.pdf

摘要 本文在群胚罪李代数胚理论豹基础上，主要研究建立在李嚣轻q q 上瓣 两种差分离散拉格朗日形式及相应的离散交分首先引入群胚态射的概念类 似差分离散力学系统中的离散函数，群胚态射定义在离散格点上，取值于李群 胚qxq 中。这里涉及鹃格点为一维正规格点裂用群胚态射的概念，两种差分 离散拉格朗日泛函s = 工，+ 1 ) 和s 一l ( q k ，a q k ) 可由群胚形式表出于 是根据群胚的骞限交分方法，文章褥出麓分离教力学系统分别通过离教变分原 理d v p i 、d v p i i 得到的离散欧拉一一拉格朗日运动方程文章最后讨论在群胚 意义下第二离散变分原理的几何意义 关键词：群躯，李代数胚，离散交分，第二离散变分原理 a b s t r a c t o nt h eb a s i so ft h et h e o r yo fg r o u p o i d sa n dl i ea l g e b r o i d s ，w em a i n l ys t u d y t w od i f f e r e n td i f f e r e n c ed i s c r e t el s g r a n g i a nf o r m u l a sw h i c ha r ed e f i n e do i lt h el i e g r o u p o i dqx 口a n dc o r r e s p o n d i n gd i s c r e t ev a r i a t i o n s f i r s t l y , w ei n t r o d u c ead i s - c r e t ef i e l dw h i c hw a sc a l l e da na n a l o g u eo fc o n t i n u o u sf u n c t i o ni nt h ed i f f e r e n c e d i s c r e t em e c h a n i c sb ya g r o u p o i dm o r p h i s md e f i n e do i lt h er e g u l a rg r i da n dt a k i n g v a l u eo nt h el i eg r o u p o i d 口x 口a s s o c i a t e dw i t ht h e g r o u p o i dm o r p h i s m ，w ed e f i n e g r o u p o i d v e r s i o n s o f t h e d i f f e r e n c e d i s c r e t e l a g r a n g i a n f u n c t i o n a l s s = l ，弧+ 1 ) a n ds = l ( q k ，瓠) w ea l s og e tt h ed i s c r e t ee u l e r - l a g r a n g e se q u a t i o n s r e s p e c - t i v e l yb yf i n i t ev a r i a t i o n so fg r o u p o i d s f i n a l l y , i nt e r m so fg r o u p o i d s ，w eg i v et h e g e o m e t r i cm e a n i n go fd v p i i k e y w o r d s ：g r o u p o i d s ，l i ea l g e b r o i d s ，d i s c r e t ev a r i a t i o n s ，d v p i i 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作：t 与 日期：砷年崩，7 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 舒眚 日期：力萨f 月，) 日 第一章引言 。群胚”于1 9 2 6 年由h b r a n d t 1 1 最先命名和应用在二十世纪，它作为一 种数学工具，拓展了群的应用领域 群胚在代数几何、分析以及代数拓扑等领域都有广泛的应用 b r a n d t 在他的文章中首次提出群胚的概念后，与b a e r 在二十世纪二十年代 开始研究群胚的代数结构，之后e h r e s m a n n 增加了拓扑和微分结构，将群胚引入 微分拓扑和几何领域( 参见| 2 1 ) 在代数几何领域，c r o t h e n d i e c k 大量运用群胚，特别在于利用群胚克服了模 空间结构中无法处理的等价关系问题，使群胚在数学和物理领域发挥了重要作用 在分析领域，m 蝴【3 | 借助群胚处理群的遍历作用，从群到群胚的推广，使 对合运算保持了大量菲交换代数结构在c o n n e s 的非交换几何一书中，谈到群胚 为统一研究算子代数、叶状结构、指标定理提供了理论框架 在代数拓扑领域，h i g g i n s 、b r o w n 4 1 等人发展了拓扑空间的基本群胚的概 念，使群胚应用于非连通空间 在微分几何领域，数学家的最初想法是用群胚描述具有丛结构的数学对象的 对称性( 【5 】) 由于l i e 的工作预见了群在几何范围应用的局限性，因此产生了伪 李群、李群胚、主丛等概念和各种相关的无穷小概念如李方程、阶化李代数、李 代数胚，在此基础上数学家尝试寻求一种严密而有力的语言来研究与局部几何变 换相关的对称性另外p r a d i n e s 进行了关于从可微群到群胚的l i e 李理论的主要 推广工作，与群胚和李代数胚在微分几何中的研究起收录在m a c k e n z i e 的著作 中 随着在许多数学领域的应用和推广，群胚作为一套独立的理论丰富发展起来 近年来，群胚又被用来研究数学物理领域中的离散模型 离散力学系统，将所研究体系的拉氏形式由连续情形下关于q 和a 口的拉氏 密度泛函l ( q ，a t g ) 转化为关于q 和a q k 隐含差分项的拉氏密度泛函l ( q k ，q k + 1 ) 或显含差分项的拉氏密度泛函l ( q k ，靠) 这种对拉氏形式分类处理的思想，对应 着群胚变分原理的两种不同处理方法 对于差分离散力学系统，上世纪八十年代初李政道【6 】和m a e d a ? 独立地提 出了差分离散拉氏系统的离散变分思想同一时期，m o s e r 和v e s e l o v 8 1 研究了一 些经典可积系统的离散模型，如e u l e r - a m o l d 方程，具有经典自旋的h e i s e n b e r g 链和s t i e f e l 流形上的新的离散系统随后，m a r s d e n 等人【1 0 】根据一种几何变分 方法研究了离散力学和场论一方面，他们利用几何变分方法得到具有多辛结构 的解，证明了推广的n o e t h e r 定理和辛守恒性，另一方面采取保持守恒性的离散 l 方法，离散偏微分方程，并选取适当的离散作用泛函在对离散力学的研究中， 他们发现v e s e l o v 离散模型的变分辛积分子，保持离散多辛形式的协变时空积分 子，另外他们还用v e s e l o v 离散方法研究了具有多辛结构的场论 结合李政道、m a e d a 的离散变分思想，经过v e s e l o v 和m 时及吴裕华 9 l 等的工作，以及m 蚴| d 等人的研究，完整地得到了一种离散变分方法，后来被 称为第一种离散变分方法( d v p i ) 1 1 第一种离散变分方法，将底流形q 的切 丛t q 上的拉氏密度泛函l ：t q 一r 离散化为流形q q 上的离散拉氏密度 泛函l ：q q r ，相应地，将关于拉氏密度泛函l ( q ，a i 口) 的变分转化为关 于l ( 讥，弧+ 1 ) 的变分 在上述作者发展第一种离散变分方法的同时，w 缸1 8 t e i n 【1 2 】分析了m o s e r 和v e s e l o v 文章中关于某种离散力学系统的完全可积性问题具体地讲，他认 为m o s e r 等人从两个不同背景出发分别研究离散力学系统的拉格朗日形式和哈密 顿形式其中第一种情况是在位形空间肘的笛卡尔积m m 上定义了一个适当 的非退化的拉格朗日函数厶得到j l ，上的一个二阶递推关系式，即一个将( o ，y ) 映为b ，力的映射，相应的哈密顿系统是p m 的正则变换，是经典意义上的 生成泛函另一种情况是将工定义在一个李群g 上，力学系统由g 到自身的微 分同胚来描述，相应的哈密顿系统是李代数的对偶矿到自身的映射，三是g e 和m a s d e a 提出的生成泛函借鉴他们的想法，w e i n s e i n 研究了时问连续的拉格 朗日形式和时间离散的拉格朗日形式，将离散情形下的l 定义在一个李群胚上， 得到的力学系统为群胚上的映射，将群胚元g 映到h ，g h 在群胚中有定义，相应 的哈密顿系统是该群胚伴随李代数胚的对偶的p o s s i o n 自同态在此基础上，他 利用群胚理论研究上述的离散变分方法，最近又引起了一系列的后续工作c o r t e s 等人在李群胚上研究了完整约束和非完整约束条件下的拉格朗日力学和哈密顿力 学，c a n t r i j n 等人在李群胚上研究了离散经典场论( 参见f 1 3 】，f 1 4 ，【1 5 1 ) 他们的 共同特点是将拉氏密度泛函转化为群胚单位元上的函数，从而将对群胚元的变分 问题简化为离散点的变分问题 为了更贴近连续的变分原理，文献【1 6 】提出第二种离散变分方法( d v v n ) n ， 保持差分的形式，将关于l ( q ，a t 口) 的变分转化为关于l ( q ，弧) 的变分由于差分 项a q k 具有群胚的性质，本文利用群胚理论，将文献1 1 6 】中的拉氏密度泛函定义 为同时显含单位元和群胚元的形式利用群胚的变分原理，不仅得出文献f 1 6 1 中利 用第二种离散变分方法求出离散场方程说明第二种离散变分方法与群胚有限变 分存在联系，而且使文献【1 6 l 中的d v p i i 在群胚意义下得到合理的几何解释，从 而为进一步发展离散力学系统奠定了理论基础 本文在第二节介绍群胚和离散场的概念，在第三节引入坐标将李群胚q q 的伴随李代数胚和其相应的左、右不变向量场具体表示出来，得到有限变分的变分 2 向量场在第四节介绍对离散场的有限变分，结合第二节的变分向量场，从群胚角 度解释了d v p i i 的几何含义，在第五节对定义在李群胚q q 上形如l ( q k ，弧h ) 的拉氏密度泛函变分，求得与d v p i 相应的离散场方程及变分向量场另外，对定 义在李群胚q q 上形如工，( 啦，弧+ 1 ) ) ，l ，讥) 的拉氏密度泛函用同样的 变分方法处理，求得与d v p i i 相应的离散场方程及变分向量场，此时的差分离散 系统的差分项作为群胚元是合理的 3 第二章定义群胚及离散场 经典力学中讨论具有m 个质点的力学系统，每个质点用三维欧氏空间中的 向量俄( 力，i 一1 ，m ) 表示如果系统要满足k 个约束条件，独立的自由度 为 t l 一3 m 一时，构成一个有n 个自由度的力学系统用 口1 ( t ) ，q ，i ( t ) ) 表示 该系统的运动， 口1 ，矿 构成一组独立坐标，称为广义坐标它们所属的空间称 为位形空间，记为q 该系统从t o 时刻到t l 时刻的演化是q 中的一条参数曲线 7 ( t ) = 矿( t ) ；i 一1 ，n ，t o t t 1 ) ( 1 ) 在离散系统中，连续对问t 被离散化为一个点序列：f “，t k + l ，k z ， 这里用等间隔离散化，即间距t l 一“一是常值这样，连续变量函数g ( ) 转 化为离散变量函数瓠= 口) 而拉氏密度函数l ：t ( o ) r 也相应地转化 为l ：口q r ( 详细参见【1 7 】) 由于离散化的拉氏形式定义在oxo 上，便产生了引用群胚的语言来描述离 散拉格朗日力学系统的想法【1 2 1 首先介绍关于群胚和李群胚的概念以及基本性质，详细的内容可参阅文献【5 】 和【1 2 】 定义2 1 ( 群胚) 设g 是一个集合，q 是g 的一个子集，两个满射a ，p ：g q 分剐称为源映射和b 标映射它们限制到q 上是恒同映射。在gxg 昀一个子集 g 2 = “雪，_ 1 1 ) g g j 卢( 们= q ( ) ) 上存在种偏序乘法运算( g ，h ) 9 7 l ，满足： j 对任意( g ， ) g 2 ，有口b ) = 口( g ) 且卢( 9 _ 1 1 ) = p ( ) ； 2 j 旷任意g ，_ i l ，k g ，若( 9 = g ( h k ) ，则有p ( 9 ) = o ( h ) 且卢( ，i ) = n ( 七) ； 只对任意g g ，育o ( g ) g = 9 。卵( 9 ) = g - 对任意g g ，g 中有个逆元记为g 一满足g - l g = 8 嗡g g - l = 俚。 则称g 为q 上的群胚，记作g j o q 中的元素称为单位元g 中的偏枣乘法记 为t n ：g 2 一g 。逆映射记为i ：g g 定义2 2 ( 李群胚) 一个群胚g jo ，g 和q 是微分流形，q 是g 的闭子流形，映 射q 9 ，m 和i 是光滑映射并aa 8 是浸入映射，满足上述条件的群胚称为李群胚 将过g g 的口纤维记为，8 ( 9 ) ，即，n ( g ) za 一1 ( q ( g ) ) ，叩( 9 ) 的定义类似 因为口，卢是浸入映射，所以，。0 ) 和芦4 0 ) 是g 的闭子流形 4 另外，令口( 9 ) = $ ，卢( 9 ) = y ，在李群胚g 上有自然的左平移 1 ：，( f ) + p 扛) ，h ”g h ， 同样有右平移 r ，：，印( z ) ，明( 们，h 一幻 为了定义拉氏形式，本文将涉及到群胚vx v j v 和李群胚qx q j 口，下 面将它们作为两个例子加以说明 例1 设y 是r l 中的正规格点集，v 一 “，t k + l ) ，l ，v = ，t , ) l t k ，白 n ，源映射口：v v k ，如) 一“，目标映射p ：v x v k ，t 1 ) 一 t i ，偏序乘法m ：( v n y ) + x ”，( ( t 1 ) ( t l ，“) ) = ，t o ) ，逆映 射 ：vxv v k ，) 一( 如，“) ，这样定义的v vjv 是群胚 仞2 设口x 0 ，q 均是微分流形，q 是q x 0 的闭子流形，v ( 叮l ，口2 ) ，叮3 ) 口xa 源映射口妇，啦) 一q l ，目标映射厣恤，啦) 一钇，逆映射 触，q 2 ) = ( 口1 ，妇) 一1 一( 以，n ) ，乘法m ：( 乱，啦) ( 匏，驰) 一( 9 1 ，妇) ，口，卢，m ，i 是光滑映射， 且a ，p 是浸入映射，一a ( 口l ，啦) ，印妇，啦) 是q x q 的闭予流形，则q x q j q 是 李群胚 有了群胚和李群胚的概念，如文献【1 2 】所述，差分离散系统中的拉氏密度函 数l ：口q r 可定义在李群胚q x q j q 上比较连续情形下的拉氏密度函 数的一般表达式，下面的问题是建立取值在q x q 上的离散场：v x v q x q ， 这需要用到以下要介绍的群胚态射的概念 定义2 3 ( 群胚态射) 设gjqg ，j9 是群屋己其源映射和目标映射分别 为a 8 和o c 。秽。南一对映射由：g a 和| ：q q 满是； 1 do 牵= o q ，8 o 牵= f0 9 ， 幺若( g ，h ) g 2 ，刚妒( 9 ) = 妒( g ) ( ) ， 满足上述条件的对映射p ，) 称为群胚态射 根据群胚态射的概念，在群胚vxv 上定义如下离散场【1 5 】， 定义2 4 ( 离散场) 设群胚vxvjv ，季群月五口xqjq ，一对映射毋= ( 妒( 0 ) ，币( 1 ) 是v y 至灼xq 的群胚态射，其中 ：v q “一鲰 ( 2 ) 呶1 ) ： vx v qx q ( “，1 ) 一( 瓠，瓠+ 1 ) ( 3 ) 5 1 口( 呶1 ) ( “，“+ 1 ) ) = 妒( o ) ( t h ) 2 v ( t h ，t h + 1 ) v k 这样的群胚态射审称为个离散场 卢( 呶1 ) ( t i ，t h + 1 ) ) = 妒( o ) ( “+ 1 ) ； ( 4 ) 呶1 ) ( t ，t h ) = 眦1 ) ( “，沁i ) l 一( 5 ) 离散场的定义，与差分离散系统中相空间的参数曲线离散化过程相对应具体 说来，定义离散场妒的思想，不仅借鉴差分离散系统中离散化方法，引入离散化的 参数衄线，将格点集y 中格点映射为相空间q 中的向量，还结合群胚理论的特点， 将y 中离散点间有向线段，通过群胚态射，映为q 中离散向量闻的有向线段，从而 在两个群胚的元素间建立对应关系从群胚的角度看，差分离散系统中的离散化参 数曲线就是定义在群胚v y 上，取值在李群胚q q 中的群胚态射，完全可以 用群胚的理论处理变分问题 另外。如前所提。引入离散场的目的在于定义离散力学系统的拉氏密度函 数l ：q q + r 根据前面定义的离散场，拉氏密度函数一般表达式定义 为l ( 毋) 由于毋t ( 如，曲( 1 ) ) 是一对映射，也可将l ( 铆区分为只显含群胚元 的l ( 氟1 ) ) = 厶，弧+ 1 ) 和显含单位元及群胚元的l ( 庐( o ) ，妒( 1 ) ) 一工，弧+ 1 ) ) 两种表达式，相应作用量分别为s = l ( q k ，弧+ 1 ) 和s = l ( q h ，甄+ 1 ) ) 6 第三章李群胚的伴随李代数胚及不变向量场 经典力学系统利用泛函变分原理，对系统的拉氏量变分求极值，得到常见的 欧拉运动方程在几何框架下也可通过对变分向量场与拉氏密度泛函的微分1 形 式作配对来实现差分离散力学系统依然基于以上思想，利用离散变分原理，对离 散作用量变分而群胚理论的优点在于，建立离散力学系统的群胚结构，进一步得 到与无穷小变分相应的变分向量场，为离散变分原理做出了几何上解释因此在引 入群胚的有限交分之前，先介绍一下与李群胚g 的变分向量场紧密相关的不变向 量场 类似李群单位原点附近的切向量场可以构成李代数，李群胚具有伴随李代数 胚a g ，它可以生成李群胚上的左、右不变向量场，为此先引入李代数胚【5 j 的概 念 定义3 1 ( 李代数胚) 设q 是一个流形，曰是q 上的向量丛，p ：e t q 是 向量臆e 到切毯t q 的丛映射r l 功是向t 丛e 的全体截面的集合r 囤中 的括号积【，l ：r ( e ) r c e ) r ( e ) 满足 j r ( 助关于f i 1 是季代数f 幺对任意，妒ef ( 司，有p ( ，纠) 一阢妨，“妒) 】，等式右边的括号积是q 上 切 龟量场的李括号积； 只对任意庐，妒r ( e ) 和，伊。( q ) ，有，纠= ，纠+ p c 纠( ， 则称e 为q 上的李代数胚记作e q ，称p 为李代数胚e 的锚映射 任意李群胚gjq 都有相应的李代数胚，称为伴随李代数胚，记为a g q a g 是流形q 上的向量丛，对任意z q ，z 上的纤维定义为曙= k e r c c a 。) 。) ，其 中源映射n 的切映射为( 口) 。：瓦g 一死扛) q ，瓦g 是g 在的切空间，瓦( 。) q 是q 在口0 ) 的切空问 设口是a g 的截面，是截面口在z 的向量对任意g g ，由口生成的左不 变向量场沪和右不变向量场泸在9 的向量为： 铲( 9 ) = ( ) 。( 印) 和 r ( g ) = ( r oot ) ( d ) ) ， 其中( ) 。，( bo0 。分别是左平移0 和逆映射复合右平移o 诱导的切映射( 参 考文献【1 4 和【1 8 】) 那么，李群胚qx q j q 的伴随李代数胚为 a g = uk e r ( ( 口) “神) ( 6 ) ( 州) e q x q 7 为了讨论a g 的局部性质，设q 是n 维微分流形，q 0 是轨维光滑流形， q q 中元素的局部坐标为( p l ，矿，g l ，矿) ，记为( p ，d 李群胚q q j q 的源映射 a ：q q q 白，g ) 一p ( 7 ) 利用同构映射i ：，( p ，p ) 构造a 和i 的复合映射为a 如下， a ：q 口_ q q ，( 8 ) a ：( p ，曲一( 最动 ( 9 ) 其坐标分量表示为： 融拳二雾 ( 1 0 ) 、矿( p ，d 一矿 卜w 表示前n 个分量的指标，p 表示后馆个分量的指标i ，p 一1 ，n 目标映射卢 也作相同处理 a 在缸口) 的切映射： ( 丘- ) c - ，| ) ：7 h 口) ( q q ) , - - i t 神( q q ) ( 1 1 ) 刍，杀是q q 在扫，口) 的切空间面旧q ) 的基底， 刍，南是q q 在慨功的切空间，p ) ( q 研的基底 瓦对( p ，口) 的切空间的基底的作用： 引毒) z 雾h 们劳+ 雾i 弗= 蔷+ 品， c - z ) 瓦( 杀) = 器务+ 器每- 0 ( ，3 ) 由切映射的线性性质，对于( p ，们的切空间中任意切向量矗岳+ 伽每， 瓦像刍+ m 毒) = f 盈( 旁+ 引杀) = 矗( 刍+ 杀) ， ( 4 ) 其中6 ，是定义在函，q ) 附近的俨函数 令( 1 4 ) 式右端取零，得6 = 0 于是 七e r ( ( a ) ) = 札赤， ( 1 5 ) 所以q q 在( g ，曲上的纤维 ( k 叮) 2 七c r ( ( 瓯) “劬) = ( ( 鼋 口) 赤) ( 1 6 ) 由以上推导可知： 们2 总胁“。撼饥。川砖l 0 7 ) ( i 。) 心) 因为q 在g 的切空间正q = ( 吼口) 毋 ，所以显然有a g 垡t q 于是李群 胚q q j q 的伴随李代数胚可以表示为t q 一q 求出李群胚口qjq 的伴随李代数胚，根据群胚理论【1 4 】，由伴随李代数 胚的一个截面可生成群胚上的一个左( 右) 不变切向量场 首先，根据李群胚的定义，口口口的左作用为 f ，：尹( 伽) 一+ 尹)( 1 8 ) ( 细，口) - ( 瑚，和) ( q b ，口) 一( 挪，口) ，( 1 9 ) 其中夕= ( p o ，如) ，a c g ) = p o ，3 ( g ) = 钿，g 是q 中任意元素 由于李群胚q qjq 的乘法m 是光滑映射，因此可以进行局部坐标运算 以下运算中直接用( p ，q ) 代表群胚元的坐标 | 由坐标分量表示为； 黝( i o ( 细q o ：崭三乒 ( 2 0 ) i 酽，口) ) = 旷 p w b 在( q o ，d 的切映射： ( ( ) ) ( 如神：正，q ) ( q q ) _ + 丁k ，。) ( qxq ) ， ( 2 1 ) ( b ) 对( q o ，口) 的切空间的基底的作用； ( ( 鼽) 恤神( 刍) = 雾i ( 相加旁+ 器| ( 靳m 毒= 。， ( ( u ) ( 和“毒) ；簪b 神参+ 簪b m 旁一毒 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 特别地，当( q o ，= 声( 夕) ，即口= q o 时，由于l ，( 声0 ) ) - - - - g ，( ) 对q q 的单 位元声( 9 ) 的切空间的基底的作用如下： ( ( 鼽) 硒) ( 刍) ) = 。， ( 哟 ( ( u ) 鼬) ( 杀) ) = 丽0k ( 2 5 ) ( ( ) ) 硒) ( p 驴。) ) 刍l 反神+ ，7 i ( 声( 枷杀i 鼬) ) = 矿( 卢。) ) 毒k ( 2 6 ) 9 其中( 2 6 ) 式是( b ) 对q q 的单位元声( 9 ) 的切空间中任意向量的作用 同样的，李群胚q q j q 的右作用： 勺：( p o ) 一+ 少( 驰)( 2 7 ) ( 口，p o ) - ( g ，p o ) ( 细，q o ) = ( 吼q o )( 2 8 ) g = ( p d ，知) ，a ( g ) ；p o ，声0 ) = 锄，口是q 中的任意元素 q q 的逆映射 复合右作用r ， o ：( p 口。q ) _ 汹，q ) - 1 饰，和) 一“，轴) ，( 2 9 ) 其的坐标分量表示为。 融0 。袈翥：善 ) l 矿( r ，o ，g ) ) 一茹 w r ，0 i 在( 册，g ) 的切映射 ( ( r ，0 i ) 。) 岫神：口) ( q q ) _ + 2 k m ) ( q q ) ，( 3 1 ) 对，口) 的切空闻的基底的作用； ( ( r w o 钿“争一器昙+ 器毒= 0 c a z ， c c 。巩，如劫c 杀，= 筹毒+ 等品= 嘉+ 。= 杀 c 。s ， 特别地，当( 口 p o ) = a ( g ) ，l i p 口= p o 时，由于( ( o i ) ) a = ( 丘( g ) ) - l g = g ， ( 0 ) 对q q 的单位元a ( 9 ) 的切空间的基底的作用如下， ( ( _ 。 ) ) 训( 蔷l ) = o ， ( 3 4 ) ( ( 吩。班) 的) ( 杀) 一刍| - ( 3 5 ) f i r , o i ) 。) 砌) ( a ( 鲫毒k 。) 十，7 i i ( a ( 枷毒l 的) ) 一矿( a ( g ) ) 高i ， ( 3 6 ) 其中( 3 6 ) 式是( o o 对q q 的单位元a ( g ) 的切空间中任意向量的作用 由( 2 6 ) 式知，a g 的一个截面矿驴( 9 ) ) 务i 口生成q q q 上的一个左 不变切向量场 t 产( 9 ) = ( ( b ) ) 缸) ( 矿驴( 9 ) ) 杀l 缸) ) = 矿( 口( 9 ) ) 杀i ， ( 3 7 ) 同理由( 3 6 ) 式知，a g 中的一个截面矿( a ( 9 ) ) 岳i 砷) 生成q q - - - , q 上的一个 右不变切向量场 铲。) = ( ( r ，) 训坩( a ( 鲫毒i 训) = 矿( 丘( 鲫杀i ， ( 鲫 这样求出的左( 右) 不变向量场是群胚左( 右) 作用的无穷小变换，与伴随李代 数胚的截面存在对应关系( 详见文献【1 8 】) ，因此具有代数结构 另外，对任意可乘的群胚元q l ，9 2 ) q q ，满足声( m ) = 丘渤) g z 的左不变 切向量场为 一 一 身 铲缸) = 7 ，( 卢渤) ) 盍k ， 啦的右不变切向量场为 垆渤) = 矿陋渤) ) 毒k 一矿驴( m ) ) 岳k ( 3 9 ) 它们由截面矿驴( g ) ) 旁i j 上的同一向量矿( 声渤) ) 毒l j 饥) 生成，有相互依赖关 系，在第五节可以看到对同一个离散方程都有贡献 还需注意，本文后面将要介绍的变分向量场是由左，右不变向量场生成的，它 们将为差分离散力学系统的两种变分原理d v p i ，d v p i i 建立相应的几何背景 1 1 第四章对离散场的有限变分 如上节所述，与连续情形的拉格朗日力学系统类似，第二节定义了关于离散 场妒的拉氏形式l 和作用量s ，接下来的关键是如何对群胚上的作用量变分，只有 解决这个问题才可能求离散运动方程本文利用群胚的有限变分方法对离散场变 分 在介绍有限变分方法之前。首先具体定义一个从李群胚q q 映到q q 的 群胚态射 定义4 1 ( 态魁麓q 唪是李群胚q x q 到自身的一族群胚态射满足。 妒：r ( q q ) 一口x q ( 毛慨口) ) + h - i ( s ) ，q ) k ( s )( 4 0 ) 其中联! a 扭( s ) ：r - + q q ，l i l ( s ) c 严( p ，g ) ， h ( o ) = a ( p ，g ) ，h ( o ) a g 名饥o ， 映身批( s ) ：r - - - 4q q ，k ( s ) c ，6 ( p ，g ) ) ， k ( o ) = p ( p ，d ，k ( o ) a ， a g 吣是李群胚q xq 伴随李代数珏在p 氓曲的纤维 也记 妒( s ，( p ，口) ) = 讥， 剿称唪为态射族 因为仉是群胚态射，所以仉与a ，声可交换，并保持乘法运算对任意可 乘群胚元( q l ，口2 ) ，( 驰，q a ) q q ，有讥缸，q 2 ) = i 1 ( g l ，口2 ) h ( s ) ，仉他，驰) = 坷1 ( 叮2 ，啦) 如( s ) ，根据群胚态射保乘法运算，有k l ( s ) = _ 1 1 2 ( s ) 这样定义的群胚态射族妒具有态射性质( f 5 】，【1 5 】) ，这是饥为群胚态射的必 要条件定义如下： 性质4 2 ( 态射性质) 群胚态射妒满足， 妒- 1 ( 8 ，( p ，g ) ) = ( s ，( p ，g ) ) ) 以 态射性质说明定义4 1 的群胚态射保逆元，即群胚态射的像有逆元，逆元形式 如上 对于前面定义的离散场，现将其定义在有限集c ，cv v 上，其中u = ( t k + , ) l k = 0 ，f t 一1 结合态射族母的概念，取值在李群胚q q 的离散场币的有限变分( 参考文 献【1 4 】和【1 3 】) 定义如下： 1 2 定义4 3 ( 有限变分) 设离战场妒= ( 如) ，妒( i j ) 是群胚v y 到李君觏昀口的群 胚态射，母是满足定义1 1 的态射族且 讥( 呶o ) ( t i ) ) = q k ( s ) ， 讥( 呶1 ) ( “， + 1 ) ) 一k 1 ( j ) ( 瓠，缸+ 1 ) ，1 ( s ) ， 箕中e 睡射h k ( 8 ) ：r + 口x 口，h k ( s ) c ，6 ( 瓠，弧+ 1 ) ， k ( 0 ) = 丘陬，q k + 1 ) ，h ( o ) ea g a 4 1 ) ， h ( 。) 一，q ( s ) ) ， 映射饥( 8 ) ：i r q ， 另外| l o ( s ) = a ，乱) j l - i ( s ) 一声( 一1 ，) ， 剐称态射族妒为离散场；( ( o ) ，呶- ) ) 在c ，上的个有瞑变分 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 比较有界区域上的连续曲线变分，保持曲线端点不动，根据给定的变分向量场 曲线在空闻中连续变换，生成一族变分曲线，离散场的有限变分过程与之类似令 有限集u 上的离散场妒保持边界点不变，态射族妒将其映为q q 中的一族离 散场由此可见，群胚有限变分的思想与连续情形下的变分思想一致，而有限交分 的核心一群胚态射砒将决定离散场方程的具体形式 第五章离散运动方程 上节定义了由态射族妒生成的李群胚q q 上的一族离散场妒( 妒) 本节根据 连续情形下泛函变分求极值的思想，对关于妒( 妒) 的拉氏量求极值，此极值便是离 散场方程 第二节根据离敌力学系统的两种拉氏形式定义了群胚上的拉氏密度泛 函l ，瓠+ 1 ) ，l ( q k ，q k + 1 ) ) 及其作用量由于群胚态射讥分别对单位元和 群胚元定义，使得显含群胚元的拉氏形式的有限变分，与显含单位元和群胚元的拉 氏形式的有限变分不尽相同。因此对两种相应拉氏量变分求极值得到不同形式的 运动方程，即差分离散系统中由d v p i 和d v p i i 变分得到的离散运动方程 为与两种不同的离散变分得出的离散运动方程作比较，下面分别对形 如二( 虬，q k + 1 ) 和l ( q t ，( 啦， 瓠+ 1 ) ) 的拉氏密度泛函进行讨论 首先根据群胚的有限变分方法，对两种拉氏形式推导相应的离散运动方程和 相应的变分向量场 5 1 形如工，弧+ 1 ) 的拉氏密度泛函 差分离散力学系统对拉氏密度泛函l ( q k ，弧+ 1 ) 采用d v p i 进行变分处理 定义在李群胚q q 上的离散场妒= 妒( 1 ) m ，1 ) = ， 1 ) ，其显含群胚元 的拉氏密度泛函就如第二节定义： l ( 4 。o ) ( t k ，h 1 ) ) = 工( 讥，q k + x ) ，( q k ，缸+ 1 ) q qj q ， n 作用量s = l ，q k + 1 ) k f f i o 离散场西在u 上的有限变分： 仉( 妒( i ) ( “，t k + 1 ) ) = k 1 ( s ) ( 弧，弧+ 1 ) + l ( s ) 其中k ( s ) = ( 弧，q k ( s ) ) ( k = 1 ，n 一1 ) ， o ( s ) = a ( q o ，锄) ，k ( 。) = 声( - l 甄) ， k ( o ) a g a ( “m + 1 ) ，h k ( o ) = a ，q k + x ) ， 即q i ( o ) = 饥， o ( o ) 瓦。( q ) ， ( 4 3 ) ( 4 4 ) 相应作用量随着离散场的有限变分转化为： s ( 讥) = + ( 硭l ( 司( 口扣l ，啦) h ( s ) ) + l ( 酊1 ( s ) ( 弛，q k + 1 ) 札+ 1 ( s ) ) + ( 4 5 ) 1 4 根琚_ 雯分累掘乏僵明思忍， 丢占( 训瑚扎 将( 4 5 ) 式代入( 4 6 ) 式，得 + 丢工( 7 l o l ( 曲( 弧一i ，弧) h ( s ) ) l 。 + 丢l ( k 1 ( s ) ( 弧，弧+ 1 ) h + i ( s ) ) i 。+ = o ，( 4 7 ) 将k ( 8 ) = ( 弧，q k ( 8 ) ) 伪一1 ，珏一1 ) 代入，得 + 石dl ( ( 瓠一l ，q b i ( 5 ) ) 一1 ( g 一l ，弧) ( 弧，q h ( s ) ) ) i 卸 + 五dl ( ( 弧，q i ( s ) ) 一1 ( 讥，口“1 ) ( 弧+ l ，q 1 0 ) ) ) i 1 0 + = o ，( 4 8 ) 整理得 + 丢l ( 让l ( s ) ，仉( 删1 0 + d l ( q k ( 5 ) ，q m ( 洲神+ 一o ( 4 9 ) 对等式左边求导展开 + 否虿兰而“q t 一，( 5 ) ，q 小) ) 1 一。五d 饥一1 ( s ) 1 - o + 南工( q h “曲，饥( s ) ) 1 - _ o d q 删神 + 瓦知湘蹴弧t ( s ) ) | 脚丢训s ) i 脚 + 否百罢而工( 仉( s ) lq - ( 枷i a 旦d s q ( s ) i 。= o + = 。，( 5 。) 等式左边在s = 0 处取值，等式化简为 + 去山q 脚( o ) + 杀山弧) 国t ( 0 ) + l ( q k ，) 钒( 0 ) + 去如，叭- ) 承“o ) + 一。( 5 1 ) 由于h k ( a ) ( k = 0 ，n 一1 ) 选取的独立性，使得也( o ) 在( 5 1 ) 式中的作用是 独立的因此要求( 5 1 ) 式成立，只须 杀l ( + 杀l ( 弧，蛳) = 。， ( 5 2 ) 边界项为 杀l ( q ；o ，乱) 岛( 。) + 杀工( 一，如) 魏( o ) ， ( 5 3 ) ( 5 2 ) 式便是离散运动方程 方程( 5 2 ) 与用第一种离散变分方法d v p i 得出的离散欧拉运动方程形式相 同文献【1 5 】利用恒同映射，将流形q 口中群胚元映为流形q 中单位元，相应交 分向量场也由诱导切映射从q q 上的不变向量场映为q q 的伴随李代数胚的 截面，通过对流形q 中单位元作无穷小变分也得出同一离散运动方程本节根据 流形的局部性质引入坐标，将群胚变分求极值问题转化为微分几何中流形上的问 题，不仅体现对单位元变分的处理过程，更重要的是利用演算说清了对群胚元的变 分思想，从而得到有限变分的变分向量场，即无穷小变分 下面推导拉氏密度泛函l ，瓠+ 1 ) 的交分向量场 根据第二节所求左( 右) 不变向量场的( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式，有 其中 ( ( 舢。) 。地舢，) ( 识( 。) 丢i a ( “舢。) ) = 识( 。) 杀k 舢。， 一鼠( o ) 杀 ( ( 1 觚舢1 ) ) ) 酏舢。) ( o ，( 。) 毒舢。) ) 一。备。( 。) 毒k 舢，) 一乳- ( 。) 击， 饥( o ) 去| a 瓴。+ ，) a ( 珞机。+ ，) 饥z ( 。) 去恢。舢， g 凤m 小 ( 5 4 ) ( s s ) ( 5 6 ) ( s t ) a g a ( q a 。叭。) 是李群胚q q 伴随李代数胚在a ，缸+ 1 ) 的纤维， g 口( “，“+ ，) 是李 群胚q q 伴随李代数胚在矽，饥+ 1 ) 的纤维 因此( 5 1 ) 式中的后两项 也( o ) 杀+ 弧t ( 。) 去= 。+ 1 ) 。吼( 弧。) 杀i 地褂1 ) ) + ( 2 机。+ ，) ) ( 国- + t ( 0 ) 瓦笔i 口机，。) ) ， ( 5 8 ) 是伴随李代数胚a g q 的截面移= 讯( o ) 彘，o = 1 ，住一1 ) 生成的左、 右不变向量场的直和铲，弧+ 1 ) + 泸，瓠+ 1 ) ，即在咄，q k + 1 ) 伽= 1 ，n 一1 ) 处的切向量 1 6 又因 2 ；魏( o ) 蔷l ( 讥，q k + 1 ) + 瓴+ l ( o ) 去l ( 瓠，讥+ 1 ) ( 5 9 ) 是( 5 1 ) 式的后两项，所以t ，矗，弧+ 1 ) + 口工，讥+ 1 ) ( k = 0 ，n ) 是上述离散 场妒= 氟1 ) ，舛1 ) 有限变分相应的变分向量场 由左右不变向量场直和形式生成的变分向量场，从群胚的交分向量场角度 为d v p i 作出了解释 由于第一种离散变分方法处理的拉氏形式没有相应的哈密顿系统，为了研究 离散力学的哈密顿系统和相应的辛结构，文献【1 6 】类比连续情形的变分原理，定义 了第二种离散变分方法 5 2 形如l ( q k ，慨，瓠+ 1 ) ) 的拉氏密度泛函及特倒 差分离散力学系统对拉氏密度泛函l ，弧) 采用d v p i i 进行变分处理 对定义在李群胚0 q 上的拉氏形式，先讨论不显含具体差分形式的情况 离散场驴。( 西( o ) ( “) ，呶i ) 陬，t k + 1 ) ) = 饥，q k + 1 ) ) ，其中( o ) 呶1 ) eq ( q q ) ，q 旧q ) 为拓扑积空间且a ( ( 1 ) ) = 如，其显含单位元和群胚元的拉 氏密度泛函如第二节定义； 工( 妒( o ) ( t ) ，呶1 ) ( “， + 1 ) ) = l ( q k ，( 叽，讥+ 1 ) ) ， 作用量 s = l ( q k ，( q k ，啦+ 1 ) ) i 暑。 离散场面在【，上有限变分； ，以( ( o ) ( “) ) = q - ( s ) 以( 妒( 1 ) ( “，靠+ 1 ) ) = k 1 ( s ) ( 讥，q k + 1 ) h k + l ( s ) ， ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) 其中k 0 ) ，q k ( s ) 的定义与前面相同 相应作用量转化为 s ( 讥) = + l ( q k ( s ) ， i 1 ( 8 ) ( 弧，q h + 1 ) i + l ( s ) ) + ( 6 4 ) 1 7 根据变分求极值的思想，令 丢s ( 删- o = o ， ( 6 5 ) 将( 6 4 ) 式代八【6 5 j 式，得 + d l ( q h l ( 8 ) ，h 。- 一l l ( s ) ( 靠一l ，q k ) j l i ( s ) ) i 。 + 云l ( q ( s ) ， i 1