（基础数学专业论文）分块算子的moorepenros逆.pdf

论文题目：分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆 学科专业：基础数学 学位申请人：扈小霞 指导老师：许庆祥教授 摘要 本文由以下四个部分组成；h i l b e r tc 一模简介，1 2 分块有界线性算子的m o o r e - p e n r o s e 逆的特殊表达式，1 2 分块可共轭算子的加权m o o r e - p e n r o s e 逆的一般表达 式，加权m o o r e - p e n r o s e 逆之间的关系及扰动估计 在第一章中，我们介绍了h i l b e r tc 模的一些基本知识和本文所需要的有关概念 在第二章中，我们主要研究了1 2 分块有界线性算子的m o o r e - p e n r o s e 逆的特殊 表达式，用新的方法把 2 】中的主要结果从矩阵的情形推广到了h i l b e r t 空间上的有界 线性算子的情形，本章的主要结果为定理2 2 5 在第三章中，在h i l b e r tc 模上的可共轭算子的框架下，我们研究了1 2 分块可 共轭算子的加权m o o r e - p e n r o s e 逆的一般表达式，给出了加权m o o r e - p e n r o s e 逆的七种 不同形式的表达式，本章的主要结果为定理3 3 2 在第四章中，我们给出了加权m o o r e - p e n r o s e 逆之间的一个重要的关系式( 见定 理4 2 4 ) 据我们所知，这一关系式是首次被发现的应用这个关系式我们研究了加权 m o o r e - p e n r o s e 逆的扰动估计( 见定理4 4 1 ) 关键词：m o o r e - p e n r o s e 逆分块有界线性算子加权m o o r e - p e n r o s e 逆 分块可共轭算子范数上界 t h e s i st o p i c ：m o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo ft h ep a r t i t i o n e do p e r a t o r s s u b j e c t ：p a r em a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：h ux i a o x i a i n s t r u c t o r ：p r o f e s s o rx uq i n g x i a n g a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t s ：b a s i ck n o w l e d g ea b o u tt h eh i l b e r tc * - m o d u l e s ， p a r t i c u l a rf o r m u l a ef o rt h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s e so ft h ep a r t i t i o n e db o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r so nt h eh i l b e r ts p a c e s ，g e n e r a lf o r m u l a ef o rt h em o o r e 。p e n r o s ei n v e r s e so ft h e p a r t i t i o n e da d j o i n t a b l eo p e r a t o r so nt h eh i l b e r t 俨一m o d u l e s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ew e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e sa n di t sa p p l i c a t i o ni nt h ep e r t u r b a t i o ne s t i m a - t i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ew i l lr e c a l ls o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tt h eh i l b e r tc 。一 m o d u l e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew i l lf o c u so nt h es t u d yo ft h ep a r t i c u l a rf o r m u l a ef o r t h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s e so ft h e1 2p a r t i t i o n e db o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nt h e h i l b e r ts p a c e s ，a n dw i l lg e n e r a l i z et h em a i nr e s u l t so f 【2 】f r o mt h em a t r i xc a s et ot h e e a s eo fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nt h eh i l b e r ts p a c e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h ew e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e so ft h e 1x2p a r t i t i o n e da d j o i n t a b l eo p e r a t o r so i lt h eh i l b e r tc * - m o d u l e s ，a n dw i l lp r o v i d e s e v e nd i f f e r e n tf o r m u l a ef o rt h ew e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e w e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e sa n dd e r i v ea ni m p o r t a n tf o r m u l a b a s e do nt h i sf o r m u l a ，s o m ep e r - t u r b a t i o ne s t i m a t i o n sf o rt h ew e i g h t e dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e sa r ec a r r i e do u t k e yw o r d s ：m o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ，p a r t i t i o n e db o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r s ，w e i g h t e d m o o r e - p e n r o s ei n v e r s e ，p a r t i t i o n e da d j o i n t a b l eo p e r a t o r ，n o r mu p p e rb o u n d n 学位论文独创性声明 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别加以标注和 致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所 做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表 4 2 论文储签名。鼬唐嗍： 日 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 论文使用授权声明 张髂敝骼撇姓触脱批慧雠名：座3 、如咖降s 月? 7 日 论文作者签名：屈。儿豫日期：加7 年5 月f7 日 翮鹤。触硝嗍2 伽严月7 日 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆 前言 据我们所知，广义逆的概念最早是由i f r e d h o l m 于1 9 0 3 年在解积分方程时提出的， f r e d h o l m 当时称广义逆为伪逆1 9 2 0 年，e h m o o r e 推广了非奇异矩阵的逆矩阵的概 念，他利用投影矩阵定义了矩阵的唯一m o o r e 广义逆，即对于任意的矩阵a c m ，满 足： a x = 马己( a ) ，x a = f k ( x ) 的他m 矩阵x 称为a 的广义逆矩阵，记为其中局o ( a ) 和马已( x ) 分别表示 冗( a ) 和n ( x ) 上的正交投影算子 接下来的3 0 多年，很少有 对矩阵广义逆注意过，直到1 9 5 5 年，英国数学家r p e n r o s e 利用四个矩阵方程，以简单、直观的形式给出了矩阵广义逆的定义，即对于任意的矩阵 a c m 姗，满足下列四个矩阵方程 a x a = a ，x a x = x ，( a x ) = a x ，( x a ) + = x a 的唯一n 仇矩阵x 称为a 的广义逆矩阵，记为a t 自r p e n r o s e 用四个矩阵方程定义矩阵广义逆开始，矩阵广义逆得到了广泛的关 注和研究，并在各个领域里取得很大的应用由于可以证明m o o r e 和p e n r o s e 所定义的 两种广义逆是等价的，为了纪念他们对广义逆研究所作的贡献，现在人们把这种满足四 个方程的广义逆称之为m o o r e - p e n r o s e 逆，简称m p 逆。 随着对广义逆理论研究的不断深入，认识的不断加深，各种广义逆在实际中得到了 广泛的应用它们在数值分析、统计学、测量学、最优化、信息处理、自动控制、工程技 术等学科中都有广泛的应用，在研究最t b - - _ - 乘问题，长方、病态线性、非线性、回归、布 估计等统计问题，无约束、约束规划问题，控制论和系统识别问题等广义逆都是不可缺 少的重要工具之一经过多年的深入研究，广义逆理论已经取得了丰硕的研究成果，目 前是数学界比较活跃的个研究领域，有许多问题仍有待进一步的研究和探索 作为矩阵广义逆的自然延伸，算子广义逆也在许多学科领域中有着重要的应用由 于有限维空间，h i l b e r t 空间以及矿- 代数均可以看成是h i l b e r tc 一模，因此在h i l b e r t 模这一广泛的框架下，用统一的方法研究算子广义逆具有重要的理论意义本文将 在h i l b e r tc + 一模这一框架下，主要研究h i l b e r tc + 模上可共轭算子的m o o r e - p e n r o s e 逆的一些表示及其扰动估计本文的主要工作简述如下t 首先，我们研究了h i l b e r t 空间上1 2 分块有界线性算子的m o o r e - p e n r o s e 逆的 特殊表达式本部分的主要结果如下： l 分块算子的m o o r e p e n r o s e 逆2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 定理0 0 1 设吼，仍，风是三个h i l b e r t 空间，a = ( a 1 ，a 2 ) 是分块算子，其中a t c ( 风，风) ，a 2 c ( - 2 ，4 3 ) 令p h 。，q i ，正( i = 1 ，2 ) ，分别如( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 所 定义，令 g = ( 。( q q 2 。a a 。1 ，) ，t 、，日= ( 三i 二三! 三： g ：三：；：) c 。1 ， 则下列条件等价? ( t ) g = a t ； 一砂g 是a 的 1 ) - 逆j l 砂7 宅( a 1 ) nn ( a 2 ) = 【o ) ； - 叫h 是以的 l 逆i ( ) h = a t 在上述定理0 0 1 中，我们给出了1 2 分块有界线性算子m o o r e - p e n r o s e 逆的特 殊表达式，用全新的方法把 2 】中的主要结果从矩阵的情形推广到了h i l b e r t 空间上的 有界线性算子的情形 其次，在般的h i l b e r tc + - 模的框架下，我们研究了1 2 分块可共轭算子的加权 m o o r e - p e n r o s e 逆的表达式，给出了加权m o o r e - p e n r o s e 逆的七种不同的表达式本部 分的主要结果为。 定理0 0 2 设风，凰，凰是三个h i l b e r t 一模，a t c ( 玩，风) ，a 2 c ( 1 - 1 2 ，风) ，分 块算子a = ( a 1 ，a 2 ) c ( 既0 1 - 1 2 ，1 - 1 3 ) 如p j 钏所定义m 是c ( 风) 中的正定元， 是c ( h 1o1 - 1 2 ) 中的正定元，如p 3 纠所定义口= 1 l ，s ( n ) = n 2 一l 口，d l ，d 2 如p 3 矽所定义设d ：，0 , 2 ，( ( 厶胁) m d 1 d d d 2 ) 都存在，则 其中 ( a ，a ：) k = ( a d k 1 二+ 口) q c = ( 玩一a i ( a 1 ) t m 1 ) a 2 ，= ( a 1 ) k 1 ( a 2 一a 1 n ) ， y=( 厶幻一c 乞s ( ) c ) s ( ) 一1 ， q = ( 玩+ y e 1 ) 一1 ( r s + 1 ( a 1 ) k 1 + c 艺s ( ) ) 此外，就矩阵的情形，我们给出了加权m o o r e - p e n r o s e 逆之间的一个重要的关系式： 定理0 0 3 设a c m ”是任意的，尬，m 2 c ”m 和1 ，n 2 c n n 是正定的则 2 a k 2 = r 矗；，2 a k 。1 l 矗，尬；l ， 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 分块算子的m o o r e - p e n r o a e 逆 其中 r m x ；n t ，n a 2 = 三尬，m 2 ；n i = = j + ( j a t 。1 a ) f 1 ( n 2 一1 ) a 乞。，a + ( j a k 1 a ) h 1 n 2 ， j + ( 岈1 一圻1 ) m 1 ( 1 一a a t m 。1 ) a a t m , l + 蚜1 m i ( i a a t m , 1 ) 据我们所知，上述关系式是首次被发现的j 匝用这个关系式我们饼冗j 刀杈m o o r e p e n r o s e 逆的扰动估计，得到了如下的结果。 定理0 0 4 悄矧耳端硭镂料， o a 一a 训a l i a 删，。 o a a 一心a 忙嵩。l l 心a i i ， i i a a 一a a k i i 丁二彳寒箬至芸翕箭 i i a a k i i 其中 r 2 l i 如( 1 0 m _ 1 如0 ) + r 1 ( 1 一r 2 i l j n i i ) l l m _ 1 如”i l m - 1 0 “一 ( 1 一r 2 | i n0 ) 1 一i i m 一1 如1 1 ( 1 + t 1 i i m 一1 1 1 ) 】 r l i i m 一1 6 m0 i i m 一1 f i + r 2 1 1 6 n i i 1 一i i m 一1 6 m 0 ( 1 + r l l l m 一1 i i ) = ? 。一 ( 1 一r = l l 如1 1 ) 【1 一i i m 一1 如i i ( 1 + r l l l m 一1 i i ) 3 分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 第一章h i l b e r tc 木- 模简介 本章将介绍h i l b e r tc 模的一些基本知识，目的是为学习以后各章内容作准备主 要内容包括：h i l b e r tc 模的定义，h i l b e r tc 一模之间的映照，h i l b e r t 模上的m o o r e - p e n r o s e 逆。 1 1 h i l b e r tc + 模的定义 设2 【是一个矿代数a 疆，如果a 满足o = 口，那么我们称口是自共轭的若 此时它的谱点s p ( n ) 为非负的实数集，则称口是正元，记为a 0 o 是正元，当且仅当 存在纽中的元素b ，使得d = b * b 此外，若a 0 ，则对于任何z 组，都有矿a x 0 如果p 是幂等的和自共轭的，我们称p 为p 代数q 中的个投影 定义1 1 1 设m 是一个加法群，r 是个环，如果存在m r _ m 的一个映照 ( z ，7 - ) _ z r 使得对任意的z ，y m ，nr l ，7 2 r 满足： ( i ) ( z + y ) r = z r + y r ； ( i i ) x ( r l + r 2 ) = x r l + x r 2 ； ( i i i ) ( x r l ) r 2 = x ( r l r 2 ) 我们称加法群m 为一个右皿模 同样地，可以定义左r - 模 定义1 1 2 设现是一个矿一代数，e 为右辨模，若存在e e _ 组的一个映照 ( z ，y ) _ 使得对任意的z ，y ，z e ，a ，c 和a 疆，满足： ( i ) ( z ，口y + 卢z ) = q ( z ，可) + p ( z ，z ) ； ( i i ) ( 。，y a ) = ( z ，髫) 口； ( i i i ) ( y ，z ) = ( z ，可) + ； ( i v ) ( z ，z ) 0 ，( z ，z ) = 0 骨z = 0 则称e 为一个内积舛模 注1 1 。1 设e 为内积纽模。 ( 1 ) 由( i ) 和( i i i ) 知，( ，) 关于第一个变量为共轭线性： 4 ( 0 ：z + 掣，2 )= ( ( z ，q z + p 剪) ) = ( q ( z ，z ) + p ( 名，影) ) 。 = a ( z ，z ) + 万( 耖，z ) 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文分块箅子的m o o r e - p e n r o s e 逆 ( 2 ) 对于任意的z ，y e 及a 甄，有 ( x a ，y ) = ( ( ! ，z n ) ) + = ( ( 秒，z ) n ) + = o ( z ，可) ( 3 ) 设疆为一个c + - 代数，e 为一个线性空间若e 不满足内积舛模的条件： ( z ，z ) = 0 = 令z = 0 ，则称e 为一个半内积辨模 定义1 1 3 一个内积辨模e ，若按照范数：忙0 = 、i i ( z ，z ) 0 ( v x e ) 是完备的，则 称e 是( 右) h i l b e r t 船模 设2 【为一个c 一代数v n ，b 疆，令( 口，b ) = a b ，可验证2 【是一个h i l b e r l2 【一 模 设置，易，b 为有限多个h i l b e r t2 【模，记 e xoe 2o o e k = ( z l ，x 2 ，z n ) ix i b ) ，y i 置，a a ，令 ( z 1 ，z 2 ，) o = ( x l a ，x 2 a ，x n o ) ， ( ( 2 7 2 一竹) ，( 轧y 2 ，鲰) ) = ( 玑) i = l 则可验证且。易0 ob 是一个h i l b e r t2 【模 定义1 1 4 设日和k 是h i l b e r t 辨模，f 是日的一个闭子模，若存在冒的个闭 子模g 满足h = f + g ，f ng = 【o ) ( 简记为，h = fo g ) ，则称f 为拓扑完备的 若h = fof 上，其中，f 上= z hj ( z ，3 ，) = 0 ，对任何的y f ) ，则称f 为直交完 备的 由定义可知，若f 是直交完备的，则必是拓扑完备的，但反之不一定( 反例见【4 】) 然而，c ( 日，k ) 中每个具有闭值域的算子，其零空间都是直交完备的 1 2 h i l b e r tc 幸一模之间的映照 设e ，f 为两个h i l b e r t 外模，令 ( e ，f ) = tit ：e - - - * f , 3 t ：f e ，使得( 纫，暑) = ( z ，矿y ) ，比e ，yef ) 设t ( e ，f ) ，则有下列结论： 5 分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 1 。t + 是唯一的设存在s ：f _ e ，使得( t x ，y ) = ( z ，s 秒) c 咖e ，y f ) ，则对 于任意的y f ，令z = s y t * y ，由( z ，s y t * y ) = 0 可得s y t * y = 0 ，故s = t + 2 。t ：e _ f 为一个线性算子比l ，z 2 e ，o t ，p c ，有 ( t ( a x l + b x 2 ) ，y ) = ( q z l + p z 2 ，t y ) = a ( z 1 ，t 4 y ) + 口( z 2 ，矿剪) = 5 ( t x l ，y ) + 口( t z 2 ，y ) = ( a ( t x l ) - 4 - p ( t z 2 ) ，秒) 于是有t ( a z l + 卢z 2 ) = a ( t x l ) + p ( t z 2 ) 3 。t ，t 都有界，并且有l i t l i = i i t 1 1 v z e x = 名e ln z l i 1 ) ，定义 厶：f 一疆，a ( y ) = ( t x ，可) f ) ， 则厶为个有界线性算子，并且对于任意的y f 及任意的茁e l ，有 i i a ( y ) i i = i i ( t x ，可) i i = l i x ，t * y ) l i i i x l l l l t + y l i i i t * y l i 由共鸣定理知，m = s u p i i a i ilz e 1 ) + o o 当z 0 时，令名= 赢e 1 ，则 0 厶l l = l i x l l 0 厶| lsm i i x l l ，即i i t x l i m i i x l l ，故t 为有界线性算子由对称性知，t 也 为一个有界线性算子 坛e 1 ，i i t x l i = s u p ( 1 l ( t x ，可) ii l u l i 1 ) = s u p l l ( x ，t 耖) i l u l is1 ) l i t * i i ，故 l i t l i i i t + 1 1 因( 矿) + = t ，故i i t l i = l i t 。l i 注1 2 1 当h = k 时，我们用c ( 日) 来表示c ( 日，h ) ，易知，c ( 日) 是一个俨- 代数 另外，我们用h 来表示日上的单位算子，( 当不产生混淆的时候，符号n 简写成n 用 c ( 日) + 表示c ( 日) 中所有正元的集合；用冗( a ) 和a ( a ) 分别来表示a 的值域和零空 间由【2 3 】中的引理4 1 可知，对任意的a c ( 日) ， a 0 令( 钺，毒) 0 ，对任意的h ( 1 2 1 ) 引理1 2 1 ( 2 3 】，定理3 2 ) 设日和k 是两个h i l b e r t2 【模，a ( 日，k ) 如果 冗( a ) ，冗( ) ，7 z ( a a + ) ，冗( a a ) 中有一个值域是闭的，则可推得另外三个的值域也是 闭的即 n ( a ) 是闭的净n ( a + ) 是闭的令冗( a a + ) 是闭的告净n ( a a ) 是闭的 若a 的值域是闭的，则n ( a ) = t 已( a a ) ，冗( ) = r ( a + a ) 且有下列的直交分解成立 h = ( a ) or ( a + ) ，k = n ( a ) oa ( a ) ( 1 2 2 ) 6 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆 1 3h i l b e r t 模上的m o o r e - p e n r o s e 逆 定义1 3 1 设日和k 是h i l b e r t 辨模，a e ( h ，k ) 若存在个元素z c ( k ，h ) 满足下列条件 似a = a ，x a x = x ，( a x ) + = a x ，( x a ) = x a ( 1 3 1 ) 则称x 是a 的m o o r e - p e n r o s e 逆 注1 3 1 ( 1 ) 设日和k 是两个h i l b e r tf i t - 模对于任意的a c ( 日，k ) ，a 的m o o r e - p e n r o s e 逆存在当且仅当a 的值域是闭的( 【5 3 】，定理2 2 ) 此外，若冗( a ) 是闭的， 则存在且唯一因此，由( 1 3 ) 可知，( a t ) = ( a + ) t 特别地，当h = k 和a 0 时，则 a a t = ( a a t ) = ( a t ) a + = a t a ， ( 1 3 2 ) 且 a t = a t a a t = ( a a ) ( a a ) 0 ( 1 3 3 ) ( 2 ) 设日和k 是两个h i l b e r tf i t - 模，a c ( 日，k ) 若存在，则由【5 3 】可知， a t a 和a a t 都是投影，且有 t 已( a t a ) = 冗( a ) = r ( a + ) 和7 z ( a a t ) = 冗( a ) ( 1 3 4 ) 因此 a a a 。= a 。 且 a + l 冗( a ) 上= 0 ( 1 3 5 ) 其中，冗( a ) 上是冗( a ) 的直交补，a ti 冗( a ) 上是a 在冗( a ) 上上的限制 7 分块算子的m o o r e 。p e n r o s e 逆2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 第二章1 2 f f 块有界线性算子的m o o r e p e n r o s e 逆的特 殊表达式 令日，k 是两个复h i b e r t 空间，c ( 日，k ) 表示日到k 上的有界线性算子全体，h ( 9 k 表示日与k 的直和假设皿，飓，风是三个h i l b e r t 空间，算子a 1 l ( h 1 ，h 3 ) ，a s l ( 凰，风) ，则分块有界线性算子a = ( a 1 ，a s ) c ( h 1o 2 ，h 3 ) ，其定义如下： a 饶) = 舢- + 锄。，眠凰，江1 ，2 这一章我们给出个分块有界线性算子a 的m o o r e - p e n r o s e 逆的特殊表达式 2 1 引言 令c m 一表示m 礼阶的复矩阵全体当给定a l c m ，m ，a s c m ，m 时，可诱导 相应的列分块矩阵a = ( a 1 ，a 2 ) c m ，m 抑。我们分别用a i ，a t 和a t 表示a 1 ，a 2 和a 的m o o r e - p e n r o s e 逆当前述分块矩阵a 是列满秩时，文献【8 】给出了的特殊表示 公式b a k s a l a r y 和b a k s a l a r y ( 2 ) 在更弱的条件7 z ( a 1 ) f 37 z ( a 2 ) = 0 下推广了文献【8 】 中的主要结果，其中冗( a 1 ) ，冗( a 2 ) 分别表示a l ，a 2 的值域在本章中，我们将用全新 的方法把文献 2 】的主要结果从有限维的情形推广到无线维h i l b e r 空间的情形 令日，k 是两个h i b e r t 空间日ok 表示日与k 的直和，它也是个h i l b e r t 空 间，其内积定义如下： 一- 凇+ k d 其中，h i h ，k i k ，i = 1 ，2 记e ( h ，k ) 为日到k 的有界线性算子全体对于任意 的a ( 日，k ) ，我们用a + ，冗( a ) ，a f ( a ) 分别表示a 的共轭算子，值域和核我们知道 a 的m o o r e - p e n r o s e 逆小存在，当且仅当冗( a ) 的值域是闭的，其中a t c ( k ，l ) ，满 足下列方程： 8 a a t a = a ，a t a a t = a t ，( a a t ) + = a a t ，( a t a ) + = a t a ( 2 1 1 ) 注意到，如果存在，那么a t a ，a a t 是幂等的和自共轭的，且有 t 已( a t a ) = 冗( ) = 冗( a + ) ，n ( a a t ) = 冗( a ) ( 2 1 2 ) 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 分块箅子的m o o r e - p e n r o s e 逆 因此 a a a + = a + ， a l 冗( a ) 上= 0 ( 2 1 3 ) 这里冗( a ) 上= 后k l = 0 ，v h 日) 是冗( a ) 的直交补，a t l 佗( a ) 上表示 甜在冗( a ) 上上的限制当h = k 时，我们用符号h 表示在h i l b e r t 空间h 上的恒 等算子 设风，玩，凰是三个h i l b e r t 空间，a 1 l ：( h 1 ，风) ，a 2 c ( 凰，风) ，定义 魄( 笔) = 鬼，讹t 州- 1 2 ( 2 1 4 ) 定义分块算子a = ( a 1 ，a 2 ) ：( h io 日2 ，凰) ， a ( 笔) - - - - a l h l + a 2 h 2 , v h le 刖吐2 ( 2 ) 在这一章中，我们总假定a i ，a ! 都存在令 q l = 玩一a l a i ，q 2 = 魄一a 2 a ! ( 2 1 6 ) 我们将证明：a t 存在兮( q 2 a 1 ) 存在# 专( q l a 2 ) 存在从而，如果存在，那么 就有表达式 a t = ( g ：三：；：菱) c 2 1 7 ， 其中 丑= 介一( q 2 a 1 ) ，t 2 = 一( q 1 a 2 ) ( 2 1 8 ) 我们还将给出乃= 0 ，t 2 = 0 的充要条件，将文献f 2 】的定理1 和定理2 从有限维 的情形推广到无限维的情形 2 2 主要结果 在这部分中研，飓，风是三个h i l b e r t 空间，a 1 l ( 凰，风) ，a 2 l ( h 2 ，凰) 我 们总假定a i ，a l 都存在对于i = 1 ，2 ，令只= a i 4 = 如一q ，其中q 如( 2 1 6 ) 式所定义，q t 是投影( 幂等的，自共轭的算子) 因n ( p 2 ) t 之( q 2 a 1 ) 上，由( 2 1 3 ) 得 ( q 2 a 1 ) 恳= 0 ，进而有( q 2 a 1 ) = ( q 2 a 1 ) t q 2 类似地，( q 1 a 2 ) t = ( q 1 a 2 ) q 1 我们的第一个结果陈述如下： 9 分块算子的m o o r e - p e n r o s e 逆 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 定理2 2 1 令a = ( a x ，a 2 ) 是分块算子，其中a x c ( h 1 ，- 3 ) ，a 2 c ( 2 ，3 ) q l ，q 2 如偿j 砂所定义则下列条件等价? ( i ) ( q 2 a 1 ) ? 存在； ( i i ) a t 存在i ( i i i ) ( q 1 a 2 ) t 存在 证明：“( f ) j ( i i ) ”：只要证明冗( a ) 为闭的即可设 z n ， 蜘) 分别为上 ，上乇中 的两个点列，h s 1 t 3 使得a l + a 2 一则 q 2 ( a l x n ) = q 2 ( a l x + a 2 ) _ q 2 b 因冗( q 2 a 1 ) 是闭的，所以存在h i 凰使得q 2 h s = q 2 a i ( h 1 ) 从而有 3 一a 1 h a ( q 2 ) = 冗( 马) = t o ( a 2 ) ，因此，存在上如使得h s = a 1 h 1 + a 2 h 2 “( i i ) 令( 矿：设 z n ) 是风中的个点列，满足( q 2 a 1 ) ( x ) _ h s 风由a l ，q 2 的定义，可得 a ( 一a 萎1 z 。) 。( q 2 a 1 ) ( ) - - * h a en ( q 2 ) 因冗( a ) 是闭的，所以存在h 1 h 1 ，1 - 1 2 使得h 3 = a 1 h 1 + a 2 h 2 从而有 h a = q 2 ( h 3 ) = q 2 ( a l h a + a 2 h 2 ) = q 2 a l h l n ( q 2 a 1 ) ( i i ) 和( 饿) 的等价性类似可证 口 在本章的余下部分中，我们进一步假定a t 存在在这种假设下，由前面的定理知 ( q 2 a 1 ) ，( q 1 a 2 ) 也都存在令只，p 2 如( 2 1 4 ) 所定义显然甜= p p x 舶ta t a t ，, l i 因此， 可以表示为( 2 1 7 ) ，其中乃c ( 日3 ，h 1 ) ，正c ( 风，上如) 如( 2 1 8 ) 所定义下面的定 理给出了正，正的具体表达式 定理2 2 2 令a = ( a x ，a 2 ) 是分块算子，其中a 1 c ( h 1 ，风) ，a 2 c ( - 2 ，日3 ) 令 q ，正( i = 1 ，2 ) 分别如( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 所定义，则正( i = l ，2 ) 在7 已( a a + ) 上上的限制 恒为0 ，而对于任意的h a 风，有 1 0 t i ( ( a 1 a i + a 2 a ；) h 3 ) = ( 如。一( q 2 a 1 ) ( q 2 a 1 ) ) a * l h s ， t 2 ( ( a x a ；+ a 2 a ；) h 3 ) = ( 一( q i a 2 ) ( q l a 2 ) ) a ；h a ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 证明：首先，我们证明乃，t 2 在t 已( a a ) 上上的限制恒等于0 很容易证明 a * h 3 - - - g 黔v 昧日3 ( 2 2 3 ) 2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文分块算子的m o o r e 。p e n r o s e 逆 从而得a f ( a ) = a f ( a ：) n ( 如) = n ( a 1 ) 上n 冗( a 2 ) 上所以对于vh a 冗( a 介) 上= 冗( a ) 上= ( 岔) ，我们得a h a = 0 ，又由( 1 3 ) 可得九3 = o ，a 5 3 = 0 ，进而可 得 3 h f ( a i q 2 ) = n ( q 2 a 1 ) 上由( 1 3 ) 得( q 2 a 1 ) 上h a = 0 ，所以丑风= ( 一 ( q 2 a 1 ) ) 3 = 0 类似地，t 2 h s = 0 其次，我们证明( 2 2 1 ) 成立事实上，对于v h 3 风，因 a t a a = a + ，( q 2 a 1 ) = ( q 2 a 1 ) q 2 ，q 2 a 2 = 0 ， 由( 2 1 8 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 2 3 ) 可得 t i ( a a + ) 九3 = 只吼( a t a ) a h 3 一( q 2 a 1 ) t q 2 ( a , a ：+ a 2 a ；) h a = p h 。a h a 一( q 2 a 1 ) ( q 2 a 1 ) a ；h a = a ：，b 一( q 2 a 1 ) ( q 2 a 1 ) a ：h a = ( h 。一( q 2 a 1 ) t ( q 2 a 1 ) ) a ： 3 等式( 2 2 2 ) 类似可证口 下面我们给出噩= 0 ，t 2 = 0 的充要条件 定理2 2 3 令a = ( a 1 ，a 2 ) 是分块算予，其中a 1 c ( h 1 ，风) ，a 2 c ( 2 ，风) 令 q t ，正( i = l ，2 ) 分别如( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 所定义，则下列条件等价： ( i ) t 1 = 0 ； ( i i ) r ( a 1 ) r lr ( a 2 ) = o ； ( i 钇) a ；a 1 乃= o ； ( 切) t 2 = o ； ( v ) a j a 2 死= 0 证明：显然有冗( 禽q 2 ) 冗( 以i ) 由定理2 2 2 得 五= 0 = 兮冗( a ；) 死( ( q 2 a 1 ) + ( q 2 a 1 ) ) = 冗( ( q 2 a 1 ) ) = 冗( a ：q 2 ) 仁专冗( 硝) = n ( a ：q 2 ) 铮a f ( a 1 ) = a f ( q 2 a 1 ) ( 2 2 4 ) ( i ) 号( i 矿：假设t 1 = 0 ，则h f ( a 1 ) = a f ( q 2 a 1 ) 对于v a t 已( a 1 ) nr ( a 2 ) ，存 在h l h 1 ，k h 2 使得a = a 1 h l = a 2 h 2 ，于是 ( q 2 a 1 ) 九l = q 2a ) = ( j 也一a 2 a ! ) a 2 ，匕= 0 ， 即h 1 f l f ( q 2 a 1 ) = ( a 1 ) ，从而a = a 1 1 = 0 1 1 分块算子的m o o r e 。p e n r o s e 逆2 0 0 9 上海师范大学硕士学位论文 “( i i ) 兮( 矿：假设冗1 ) r lt 已( a 2 ) = 0 我们证明a f ( q 2 a 1 ) a f ( a x ) 事实上， 对于v h l h a ，如果q 2 a 1 h 1 ：0 ，则由q 2 的定义可得a l h l = a 2 a t 2 ( a 1 h 1 ) 些n t c - ( a 1 ) n7 z ( a 2 ) = 0 ，即h i a f ( a 1 ) ( 谢) 净( 矿：假设a t 2 a 1 丑= 0 ，则对于v h 3 风，由( 2 2 1 ) 可得 a t 2 a 1 ( h 一( q 2 a 1 ) ( q 2 a 1 ) ) 硝= 0 注意到冗( a i 4 1 ) = 冗( a 1 ) 上，a 1 a j a l = a 1 ，所以由( 2 2 5 ) 可得 a ! a 1 ( h 。一( q 2 a 1 ) ( q 2 a 1 ) ) a i a l = 0 ， 对于v h l h 1 ，如果q 2 a 1 h 1 = 0 ，由( 2 2 6 ) 可得a t a l h l = 0 ，所以 a 1 h l = a 1 h l q 2 a 1 h 1 = a 2 a t 2 a l h l = 0 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 因此，a f ( q 2 a 1 ) = 冗( a 1 ) 进而由( 2 2 4 ) 可得7 1 = 0 “( i ) j ( i i i ) ”显然成立这就完成了( i ) - ( i i i ) 的等价性的证明关于( t i ) ，( 砌) 和( ) 的等价性类似可证口 应用定理2 2 2 ，通过直接的计算可得下面的性质： 性质2 2 4 令a = ( a t ，a 2 ) 是分块算子，其中a x