（基础数学专业论文）单位球上的零伦全纯映照.pdf

河南人学硕十学位论文 摘要 星形映照与螺形映照是多复变几何函数论中两个重要的映照类，它们共同的几 何特征是其像域中任意一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，本文从同伦的 观点出发来对具有这种几何特征的映照类进行了研究，全文共分三章。 在本文的第一章，我们简要地介绍了本文所常用到的一些记号及基本概念，定 义和定理： 在第二章，我们引入了零伦全纯映照的概念，研究了中单位球日“上的零 伦全纯映照的性质，并得出了单位球b n 上零伦全纯映照的判别方法： 第三章，我们结合推广的不同形式的r o p e r s u 蹦d g e 算子对零伦全纯映照进行 了讨论，证明了这些算子保持零伦不变性，据此，通过r o p e r s u 盘i d g e 算子可以由 复平面c 中单位圆盘上的正规化的零伦全纯映照构造出多复变中不同空间特定区 域上的零伦全纯映照。 本文所建立的主要定理是与星形映照或螺形映照中已知的定理相对应的。通过 本文的工作，我们对多复变几何函数论中具有上述几何特征的映照类有了迸一步的 认识。 关键词：螺形映照，零伦全纯映照，r d p e r - s 心i d g e 算子 塑l 缒堡堂垃堡塞 a b s t r a c t s t a r l i k em a p p i n g sa l l ds p i m u j k em a p p i n g sa r et w oo ft h em o s t i m p o r t a n tm 印p i n g s l ng e o m e t r i cf u n c t l o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b k s t h e i r 8 a i n e 嚣e o m e t r i cc h a r a c t e 卜 i 2 a t i o ni st h a tt h ec 1 0 s e dl i n es e g m e n to r8 p i r a lj o i i ge a c hp o i n t i n t h e i ri m a g ed o m a j 丑s t 0 髓r 0h e 8e n t i r e l yi nt h e i ri m g ed o m a i 璐i t h i st h 船j s ，w es t u d yt h em a p p i g sh a v i n g t h ea b o v eg e o m e t 五cc h a f a c t e r i z a n o n 丘0 mt h ev j e wo f h o m o o p y t h ew h o i et h e s i sc o l l s i s t s o f f o l l rc h a p t e r s i nt h e 丘r s c h a p c e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l ys o m en o t a t i o n s b a s i cc 0 c e p t s ，d e 丘n a t i o n s a n dt h e o r e n l su s e du s u “l yi nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ei n t m d u c et h ed e 在n a t i o no fh o l o m o r p h i cm 印p i n 静h o m o t o p h i ct 0 z e r o ，a n ds t u d yt h ep m p e r t 沁so f h o l o m o r p h j cm a p p i n g sh o m o t o p h i ct o 聊oo nt h eu n i t b a l li ng “m 愀r ，w eo b t a i nt h ec r i t e r i af o rh o l o m o r p h i c m 印p i h g sh o m o t o p h i ct oz e r o o n t h eu n i tb “l i g ” i n ( 虹巾t e r3 ，w ei n v e s t i g a t eh o l o i n o r p h i cm a p p i g sh o m o t o p h i ct oz e r o 拍s o c i a t e d w i t hd i r e tg e n e r a l i z e dr 0 p e r - s u 蹦d g ee x t e i l s i o no p e r a t o r s ，a n dd r a w ac o n c l t l 8 i o nt h a t t h e yp r e s e r v et h ep r o p e r t l e so fi n v 射h t i 0 h o m o t o p h i ct oz e r o ，t h e r e f o r ，w ec a no b t a i n o r m a l i z e dh o l o m o r p h i cm a p p i g sh o m o t 叩h j ct oz e r oi ns e v e 脚c o m p j e xv 撕a b 王e s o nt h e 8 p 枷cd 咖a i 且sj nd i 脑e n ts p a c e sy i ah o i o m o r p 娩m a p p i 姆h 0 0 t o p h i ct oz e m o nt h e u n i td j s cj co f h ec o m p i e xp l a n e t h ep r i c i p a kt h e o r e m sa r er e l a t i v et ot h ek n o w nt h e o r e 必o f s t 缸l i k em a p p i n 即a n d s p i r a i i i k er n a p p i 酗t h a t h a v et h ea b o v eg e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o ni n 聊m e t r i cf u n c t i o n t h e o r yo fs e v e r 址c o m p l e xv a r i a b l e s k e yw b r d s ：s p i r a u j k em a p p i n g s ， h 。1 0 m o r p h i cm a p p i n g sh o m o t o p h 沁t oz e r o ， 舶p e r s u 野“a g eo p e r a t o r i i y 9 l i l l l 5 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位b 漆士学位口中请。本人郑重 声明：所呈交_ 的学位论文是本人独立完成的，对所研究的课题有 新的见解凸，创造性的见解口。播我所知，除文中加阱说明、标注 学 论文 据收 本) 校学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩即、扫描 和拷贝等复制手段保存、汇嫡学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名： 粉澎 月、 目 第一章预备知识 本章我们将给出全文中将要用到的一些常用的符号及基本概念，定义和定理 多复变函数论是研究复空问。m 与n 问的全纯映照，：，m n 。当 ，g 是一域时，就是单复变函数论。单复变函数论经过几百年的发展已经成为 一门相当成熟与深刻的理论，特别是对多值函数的研究，导致黎曼曲面的概念，这是 一般的流形( 微分流形，复流形) 概念的起源当。c m ( m 1 ) 是一域时，多复 变作为一门独立的方向得到研究与发展，是从二十世纪初开始的当时p o i n c a r e 和 h a r t o g s 等人发现多复变中有与单复变有本质区别的若干现象而在此前，人们似乎 认为多复变不过是单复变的平凡推广多复变函数论研究的重点，正是研究这些单 复变函数论不可能有的性质多复变是研究多个复变量的学问，是研究高维的 单复变几何函数论是复分析中的一个重要组成部分，其历史源远流长，它的根源 可追溯到著名的r i e m a n n 映照定理在上个世纪相当长的一段时间内，有不少数学 家，如p k o e b e ，l b i e b e r b a c h ，c l o e w e r ，g m g o i l l z o n ，p l d l l r e n ，c h p o m m e r e n k e ，h g r u 8 k y l m s s h i 踮r 和l d e b r a n g e s 等，为单变数几何函数论的发展做出了重大的贡献， 从而使它的内容非常丰富和完善，获得的结论也十分优美和深刻。 如何将单复变几何函数论中众多的成果推广到多复变数中去? 最早考虑这件事 情的数学家也许是h c a n t a i l 1 】。1 9 3 3 年，他指出：即使象“在单位圆上全纯单叶函 数的展开式的系数的模是有界的”，这样的基本结果，在多复变数也是不成立的。但 是在多复变数全纯映照的展开式中，同一阶的系数，不再是一个，而是有很多个。 有没有这种可能：对一个系数来讲，其模不再有界，而对一些系数加以适当地组合 之后，其模却可望有界。f i t z g e r l d 的反例否决了这点，也就是说，不论将这些系数 进行何种组合，其模均可无界，这个反例十分信服地告诉我们，如果将单复变数几 河南人学硕十学位论文 何函数论中的一些结果，推广到多复变数空间中去，而又指望得到一些正面结果的 话，光有双全纯映照的条件是不够的，必须加上其它的一些限制。h c a r t a n 还指出， 相应的增长定理及掩盖定理等，若只要求映照是双全纯，这在多复变中也是不成立 的。但他指望多复变数的双全纯映照的偏差定理有可能成立。其实很早以前就有人 知道，这是不可能的，那么应该加上哪些限制来企图得到一些正面的结果? h c a r t a l l 建议考虑双全纯映照的子族，如凸映照和星形映照等一些特殊的映照类。人们经过 5 0 年的努力，直到1 9 8 8 年，才由龚升教授，c h f i t z g e r a l d 教授和r w b a r n a r d 教 授三人率先在多复变几何函数论的研究上取得重大突破。尔后，国内外的不少学者， 如t j s u 蹦d 即，王世坤，余其煌，郑学安，刘太顺，i g r a h a i n ，h h 砌a d a 和g k o h r 等，在龚异教授的直接带领或指导下，做了大量的后续研究工作，获得了一批可喜 的研究成果，从而极大地丰富了多复变几何函数论的内容。为了总结成果，继续向 前，并为后来者铺路，龚界教授几次将一些重要的成果撰写成下面的专著陆续出版， 如 2 】【3 4 】 5 】 6 等。 由于全纯函数是5 方程( c a u c h y r i e m a n n 方程) 的解，函数论的本质是分析的， 而多复变赖以定义的空问是多维的，要弄清结构不可能不与几何和拓扑发生联系。 我们已经知道许多星形映照及其子族或扩充的许多有意义的结果，其中星形映照及 螺形映照是多复变几何函数论中两个重要的映照类，他们共同的几何特征是其像域 中任一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，在本文的第二章我们将从同伦的 观点出发研究伊中单位球口n 上的零伦全纯映照并给出单位球b “上零伦全纯 映照的判别方法。 由于在多复变数中，目前人们仅知道为数不多的正规化双全纯凸映照，正规化 双全纯星形映照及其子族或扩充的例子，但在单复变中，这样的例子是很多的于 是人们提出了这样的问题：能不能通过一个算子把单复变中单位圆盘上的f 规化 双全纯函数分别映成多复变中特定区域上相应的映照? 19 95 年，k a r 0 p e r 与 t j s u f f r i d g e 最先引入这样的算子，它可以从复平面c 中单位圆盘上的一个正规化 局部双全纯函数f 构造出g n 中单位球b n 上的一个正规化局部双全纯函数，而且 2 河南人学硕十学位论文 它保持星形性，凸性和b l o 出性质。人们通常称此算子为r o p * s 棚t i d g e 算子。随 后，龚舁，刘太顺将此算子进行了推广，他们证明了推广后的r o p e r s u 蹦d g e 算子 保持星形性( 见文 7 【8 ) ，另外，i g r a h a m ，h h a m a d a ，g k 0 h r 等人【9 则证明了另 一形式的推广的r d p e r s u 蹦d g e 算子保持星形性，并且得出该算子保持凸性的充要 条件，后来冯淑霞，刘小松对r o p e r s u 册i d g e 算子进行了更为深入的研究 1 0 】【1 1 ，使 得对勋p e r s u 册i d g e 算子的研究r 趋完善。在本文的第三章，我们将在前述工作的 基础上，结合推广的不同形式的r o p e r - s u 珏n d g e 算子对零伦全纯映照进行了讨论， 通过它们可以由复平面g 中单位圆盘上的正规化的零伦全纯映照构造出不同空间 特定区域上的零伦全纯映照。 1 2定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念。 在全文中，我们用g 表示复平面u 表示g 中的单位圆盘，即u = 。g ： o 为半径的球是指 n b ( p ) = ，南) ：i 勺一q f 2 p 2 j = l 特别，当o = 0 ，p = l 时，b = ( z l ，) 伊：i 勺1 2 o ，其中m ( a ) = m i n r e ( a ( z ) ，z ) ：f = 1 ，如果对所有的o 有 。一c 4 ，( b ) ，( b ) ，其中。一t a ：墨上学矿a 七，则称，是相对于a 的螺形映照。 k = o “ 若对某个a ( 子， ) ，a = e 一。，则得到月矗m a d 口和 川纠研究的一类映照， 称为a 型螺形映照，这是螺形映照在多变量上定义的最直接的推广。 1 3本文所用主要定理 在本文主要结论的证明过程中，主要用到了些以下已知的定理： 定理1 3 1设，日( b “) 为正规化双全纯映照，若对耽t = 【o ，1 】，忱口” 有t ，( = ) ，( b “) ，则，是b ”上的星形映照。 定理1 3 2 13 令，：b - + c m 是局部双全纯映照，( o ) = o ，则，是b 上星形 映照的充要条件是：m ( d ，( z ) 】一，( z ) ，。) 0 ， z 日 o 。 定理1 3 3 【1 4 令，日( b ”) 是一个正规化双全纯映照，a m ( 其中见 上一节定义) ，若对于所有的0 及z b “，有e 一4 。，( z ) ，( b “) 成立，则，是口“ 上相对于a 的一个螺形映照。 特别地有：令，：日- + c n 是一个正规化双全纯映照，令a r ，l o l o ，其中m ( a ) = m 讥 船( a 毛。) ： 叫j = 1 ) ，令，：b g n 是正规化的局部双全纯映照，则，是相对于a 的螺形映照 的充要条件是：r e ( 【d ，( 。) 】- 1 a ，( z ) ，。) o ， z b “。 特别地对某个a ( 寻，：) ，若a = e ，则有： 若，：b _ + g n 是正规化局部双全纯映照，a ( 孚，；) ，则，是a 型螺形映照 的充要条件是：r e 【e 一。( d ，( 。) 1 - 1 ，( z ) ，z ) j o 。 定理1 3 5 【1 6 b n 上相对于，( ，为恒等映照) 的一个螺形映照( 即a = ，时) 是口n 上的一个星形映照。 6 第二章单位球上的零伦全纯映照 2 1引言 星形映照与螺形映照是多复变几何函数论中两个重要的映照类，他们共同的几 何特征是其像域中任一点到原点的直线或螺线完全落在该像域中，本文从同伦的观 点出发来讨论具有这种几何特征的映照。 在拓扑学中，同伦是映射问的连续变形，设x 和y 都是拓扑空间，记g ( x ，l ，) 是x 到y 的所有连续映射的集合，设，g c ( x ，y ) ，所谓f 与g 同伦，就是 指f 可以“连续地”变为g ，这意味着在每一时刻t t ，( t = 【o ，l 】) 有一连续映射 垃e ，y ) ，= ， i = 吼并且k 对t 有连续的依赖关系，即： 设，g e ( x ，y ) ，如果有连续映射日：x t y ，使得对于任意的z x ，有 日( z ，o ) = ，( $ ) ，日( z ，1 ) = 9 ( z ) ，则称f 与g 同伦，记作：，= g ：x - y ，或简记为：，= 9 ， 称h 是连接f 和g 的一个同伦，记作日：，= 9 ( 或，芝9 ) 。 由上述定义出发我们首先给出解析同伦的定义： 定义2 1 1设n l ，n 2 是g “中的两个域，称映照族 凰 c t ，t = 【0 ，1 ， 凰( 石) = 日( z ，) ：n l t - + q 2 为从q l 到q 2 的一个解析同伦，如果日( z ，) 关于。全纯，关于t 是c 。的 定义2 1 2设，( = ) ，g ( z ) 是从n l 到n 2 的两个映照，称，与g 解析同伦，如果 存在一个解析同伦 日( z ，z ) ：n l t _ + q 2 使得： 日( z ，o ) = ，( 。) ，日( z ，1 ) = g ( 。) 记为，苎g ，日称为连接，和9 的一个解析同伦 本文又引入了零伦全纯映照的概念： 7 河南人学硕十学何论文 定义2 1 3 设，( = ) 日( n ) ，称，是零伦的，如果，( n ) 上的恒等映照i 解析同 伦于，( n ) 上的零映照，即存在 日( ，t ) ：，( n ) t 一+ ，( n ) 使得日( ，o ) = o ，日( ，1 ) = 。 从几何上来讲，f 是零伦的即相当于对，( n ) 中任一点，( = ) ，连接，( z ) 与零点的 光滑曲线日( ，( z ) ，t ) 完全落在，( n ) 之中 本章将从上述定义出发，研究伊中单位球b n 上的零伦全纯映照的性质，并得 出了单位球b n 上零伦全纯映照的判别方法 2 2主要定理 在给出本章的主要定理之前，首先给出几个引理( 以下记t = 【o ，l 】) 引理2 2 1设 ( z ，) ：且“t - + b “ 关于z 全纯，关于t 可微，且有： ( 0 ，) = 0 ， ( = ，o ) = z 则 酬窑州 0 z b “ 其中象( z ，o ) 表示”( z ，t ) 在t = 。点的右导数 证明首先由已知条件及s c h w a r z 引理，知： ( z ，圳s l ，v = 口“， v t r 8 ( 2 2 1 ) 河南人学顽十= 学位论文 则 r e ( 象眩0 ) ，z ) = 酬。骧亟掣，z ) = 。绦( 盟号她，z ) 。骢r e 舯( z ，) ，= ) 一( 邵) 】 。味 r e 州z ，t ) ，z ) 一2 】 而圳”( z 删到z ( ”( z ，) ，。) 剑”( z ，钏制i 剑z 慨故r e ( 鲁( z ，o ) ，。) so ，即 ( 2 2 1 ) 式成立。 引理2 2 2设，日( b ”) 为双全纯映照，( 0 ) = 0 ，又设 f ( z ，) ：b “t ，( 日”) 为解析同伦，并且f ( z ，o ) = ，( 。) ，f ( o ，t ) = o ，则 舷( 沁) 等o ) 1 枢唧 ( 2 _ 2 2 ) 其中箬( 。，o ) 表示f ( z ，t ) 在t = o 点的右导数。 证明由于对任意的f t ，有f k ) ，( b n ) ，因此可以定义映照 ( z ，t ) ：口“t _ b “ 如下：口( = ，t ) = ，一1 ( f ( z ，# ) ) ，则 ( o ，f ) = ，一1 ( f ( o ，) ) = ，一1 ( o ) = o ”( z ，o ) = ，- 1 ( z ，o ) ) = ，一1 ( z ) = z 因为f ( 。，t ) 解析同伦由定义2 1 1 知f ( z ，t ) 关于z 全纯，关于t 是g o o 的。又 ，日( b ”) 为双全纯映照，则”( ：，) 也关于z 全纯，关于t 可微，则 ( z ，) 满足引 理2 2 1 的条件，由引理2 2 1 可知： 酬象0 ) 1 枢o ( 2 2 3 ) 9 河南人学颂十学俺沦文 又 ( 毛t ) = 厂1 ( f ( z ，) ) ，则，( ”( 。，t ) ) = f ( 。，) 所以 帕忆圳静归警 帅0 ) ) 缸驯。一箸圳瑚 即出( 办裳( 毛。) = 等( z ，0 ) ，则筹( z ，0 ) = 乍1 ( = ) 箬( 毛0 ) ，上式代入( 2 f 2 3 ) 式可得： ( 丐沁) 警k 0 ) 枢。 即( 2 2 2 ) 式成立。 由上面的引理可以可以证明下面的定理： 定理2 2 1设，日( b “) 为正规化双全纯映照 日( 埘，) ：，( 口“) t - g “ 为解析同伦，日( 0 ，t ) = 0 ，如果，关于日是零伦的，则： 船( 1 ( z ) 等( m ) 1 1 ) ，z ) 2 o ，= b ”( 2 2 4 ) 证明因为f 关于h 是零伦的，则由定义2 1 3 可知： 日( ，t ) ：，( b “) t + ，( b “) 且满足：日( ，o ) = 0 ，日( ，1 ) = ，定义f ( 。，) = 日( ，( 2 ) ，1 一t ) ( t ，z b “) 则 f ( 。，t ) ：b “t + ，( b “) f ( z ，0 ) = 日( ，( z ) ，1 ) = ，忙) ，f ( 0 ，) = 日( o ，l t ) = 0 则f ( 。，t ) 满足引理2 2 2 的条件，由此可知： 酬1 ( z ) 等( 枷) 翻o ，z b “ ( 2 2 5 ) 1 0 河南人学硕卜肇何论文 由f ( 。，) = 日( ，( = ) ，1 一) 知： 筹( 枷) 警( m ) 1 1 叫k 。= 一筹( m ) 1 1 ) 将上式代入( 2 2 5 ) 式得： r e ( 沁) 筹巩1 ) ，蛇旧 则定理得证。 推论2 2 2 若，日( b ”) 为正规化星形映照，则 且 r e ( 叮1 ( = ) ，( z ) ，z ) o ，z b “ 证明取日( ，) = t w ， ，( 口“) ，t t = 0 ，1 】，则 日( ，0 ) = 0 ，日( ，1 ) = 日( t i ，) ：，( b “) t ，( b “) 由零伦的几何意义可知f 关于映照日( ，t ) 是零伦的，由定理2 2 1 知 剐) 警( m ) ，1 如) o 而日( ，( z ) ，t ) = t ，( z ) ，所以有 则有 筹( 化m f m ) r e ( 1 ( z ) ，( z ) ，z ) o ，。b “ 推论2 2 3若，是伊上正规化螺形映照( 相对于a ) ，则 r e ( # 1 ( z ) a ，( 。) ，z ) o ，z b “ 河南失学硕士学位论文 则 证明取 z ，c ”，t ，= 。a i n t l ； 。( 。 l 】薹j 日“) 日，0 ) = 0 ，日( ，1 ) = ” 且由于f 是b “上正规化螺形映照( 相对于a ) ，则 日( ，) ：，( b “) t + ，( b “) ( k ) 箬( m ) l 如) o j f c，c：，t，=e：“。，(。) 。：竺：3 筹( m f 训z ) r e ( 1 ( z ) a ，( z ) ，= ) o ，。b “ 定理2 2 4设，( z ) ：b ”_ + 是正规化双全纯映照，日( w ，t ) ：，( b ”) t _ + 伊 为解析同伦，满足： ( 2 ) 若记 ( u ) = 箬( w ，1 ) ， ( 。) = a ，则a + a + 是正定的。 ( 3 ) 对v o 0 ，1 ) ，”，( b “) 若日( 叫，o o ) ，( b “) 则有日( ，o o t ) = 日( 日( ，o o ) ，t ) ( o 酬沁) 筹( m ) ，抛o ，z 趴 0 河南人学硕十学位论史 则，关于日是零伦的，即，( b “) 中连接，( z ) 与口点的光滑曲线日( ，( z ) ，) 完全落 在，( b n ) 之中。 证明设r ( o ，1 ) ，只须证在r b “上f 关于h 是零伦的，由定理中的已知条件 及定义2 1 3 ，则只须证日( ，( r z ) ，) ，( r b n ) 即可。 反设日( ，( r = ) ，t ) ，( r b ”) ，则由已知条件知存在z a ( r b n ) ，使得连接，( z ) 与。点的曲线( ，( # ) ，f ) ，t = 【o ，1 】有一部分位于g n 7 i 历可之中，于是存在 6 ( o ，1 ) ，使得开曲线段( 日( ，( z ) ，t ) d 。lc ，( b ”) 死百瓦令 z ( ) = ，一1 ( 日( ，( z ) ，l 一) ) ，0 o 因此懈圳在0 1 6 上不是减函数。 而另一方面，将z ( t ) 在= 0 附近展开得到： z ( t ) = 。( 0 ) + z ( o ) t + o ( ) 又：( 0 ) = z ，由，( z ( ) ) = 日( ，( z ) ，l t ) 知： 帕( o ) h 和) = 筹巩1 训：。 z ( o ) = 沁) 筹( m 枷：。 = 一k ) 等( m ”) 定义 比) = 哼沁) 等( m ) 则由已知条件知觑( p ( = ) ，= ) o ，z 日n o ，且有。( o ) = z p ( z ) + 。( ) ，于是 i i 。( ) 1 1 2 = l z f l 2 2 r e ( p ( z ) ，z ) t + o ( ) 1 3 河南人学硕十学位论文 则有 当t 充分小时， 下证 即证 对。0 ，取c 中圆盘 学_ _ 2 m n ) + o ( ( 2 2 6 ) 掣- - 2 脚，枢。 唑芈 0 ，z o ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) d ( o ，击) = g ： o 与( 2 2 1 0 ) 式矛盾，因此假设不成立，则( 2 2 8 ) 式成立，即( 2 2 7 ) 式成立。 又由( 2 2 6 ) 式知：当t 充分小时，有： 学刮驯l 掣 。 即牝( t ) | | 在t = 0 右侧附近是严格减函数，这与上面所证似t 州在0 o ，则a + a 正定又 筹( m m m 一州z ) 由已知r e ( 丐1 ( z ) j 4 ，( 巩z ) o z b “可知：r e ( 1 ( z ) 筹( ，( 珐1 ) ，。) o ，且对于 v t o 0 ，1 ) 有 日如，o ) = e 4 “( ) = 日( 日( ，o o ) ，t ) 满足定理( 2 2 4 ) 的条件，因此有f 关于h 是零伦的，即，( b n ) 中连接，( z ) 与。点 的光滑曲线日( ，( = ) ，t ) 完全落在，( 口n ) 之中，则 日( 坩，t ) = e a “加，( b “) 则f 是b n 上相对于a 的螺形映照。 1 7 第三章r ，o p e 卜s u 脏i d g e 算子下的零伦不变陛 3 1引言 在多复变几何函数论中，人们一般研究星形映照，凸映照以及它们的子族或扩 充，然而在多复变中，目前人们仅知道为数不多的正规化双全纯凸映照，j 下规化双 全纯星形映照及其子族或扩充的例子。但在单复变中这样的例子是很多的，于是 人们提出了这样的问题：能不能通过一个算子把单复变数中单位圆盘上的正规化双 全纯凸函数，正规化双全纯星形函数分别映成多复变数中特定区域上相应的映照? 答案是肯定的。 1 9 9 5 年，k a r d p e r 与t j s u 黝d g e 在文【l7 】中引入下面的算子： 圣。( ，) ( z ) = ( ，( z 1 ) ，、，( z 1 ) 如) ( 3 1 1 ) 其中z = ( = l ，如) 日“，。l 阢如= ( 现，- 一，) 伊，平方根取分支使 ，( z 1 ) l ：。：o = l 。 它的特点是可由复平面g 中单位圆盘c ，上的一个正规化局部双全纯函数f 构 造出c n 中单位球b n 上的一个正规化局部双全纯映照。他们推出：若f 是u 上 的正规化双全纯凸函数，则垂。( ，) 是b “上的正规化双全纯凸函数。通常，人们称 垂。( ，) 为r 0 p e r s u 胁d g e 算子。另外，i g r a h a m 与g k o h r 1 8 】则证明上述算子除了 保持凸性外还保持星形性质与b 1 0 c h 性质。由于人们对b “上具体的凸映照，星形 映照及b l o c h 映照知之甚少，而利用r 0 p e r s u 脏i d g e 算子却可构造出很多这样的映 照，于是人们对这类算子产生了极大的兴趣。 2 0 0 2 年，i g n h a m ，h h a m a d a ，g k o h r 与t j s u 脏i d g e 【9 】在单位球口“上则将算 子( 3 1 1 ) 推广为： 舯( 州z ) = 砟) = ( 化1 ) ，( 掣) 吣k 1 ) ) ，“ ( 3 1 2 ) 其中p 【o ，1 ，7 0 ，割- 使得卢+ ，y l ， 。= ( z i ，z 0 ) b “，2 i 以知= 1 8 河南人学硕十学位论文 亿，一，) g n ，f 是复平面e 中单位圆盘u 上的一个正规化局部双全纯函数， 且当z 1 叭 o ) 时，( z 1 ) 0 ，而幂函数取分支使得： ( 掣一。_ 1 1 ( 九0 ) ) ，- 1 他们得到如下结果：圣。，口，( ，) 保持星形性质，保持凸性当且仅当( n 们= ( o ， ) 。 当卢= o 或7 = o 时，上面的结论分别为i g r a h a m ，g k o h r 与m k 0 h r ( 19 和i g r a h a m 与g k o h r 【1 8 】所证。 对于更为一般的r e i n h ”d t 域，如： q ”协= z g “：i 勺p 1 j = l 其中p j21 ，j = l ，n ，上面的这些结果则未必成立，于是需要进一步推广r o p e r _ s u 觚d g e 算子。 龚异和刘太顺在文 8 】中