（基础数学专业论文）拓扑空间上的kkm型定理及其应用.pdf

摘要 本文共分五章，首先本文回顾了k k m 理论的研究历史和发展现状并给出了一些 基本概念，其次在拓扑空间上通过引入r k k m 映射，以古典的k k m 原理为基础建 立若干个拓扑空间上的k k m 型定理及其相交定理，然后在此基础上讨论了非紧的一 般拓扑空间上的重叠定理、截u 定理及不动点定理最后作为重叠定理和不动点定理 的应用，得出若干个变分不等式择一性定理 本文丰富了k k m 理论的研究成果，并且使k k m 理论可以被更广泛地应用和研 究 关键词：拓扑空间，r k k m 映射，转移闭( 开) 值的 第i 页 a b s t r a c t t h i st b 明i sc o 璐i s t s0 ff o i l rc h 印c e r s a t6 r s t ，w ei n t r o d u c et h es t u d yh i s t o r ) r 够w e l l 蠲p r 葛e n ts i t u a t i o n 叩t h ek k mt h e o r y 卸dg i v 图s o m eb a s i cc o c e p t 8 s e c o n d l y ， w bo b t a i ns o m en e wk k mt y p et h e o r e m sa 工l di n t e r s e c t i o nt h e o r e 瑚o nt h eb 舾i s0 f c l a s s i c a lk k m p r i n c i p l eb yj n t r o d u c i n gt h er k k mm 印p i n g o nt h et o p o l o 百c a ls p a c e t h e n ，w bd i s c u 蟠i n d d 朗c et h e o r e m s ，s e c t i o nt h e o r e m sa n d6 x e dp o i n tt h e o r e m s o nt h en o n c o m p a c tt o p o l o 画c a js p a c e f i n a l ly w e 舀v es o m ev a t i 讲1 a li n e q u a l i t i 髑 a 】t e m a t j v et h e o r e i i l 8 丛印p i i c a t i o n0 fc o i n d d e n c et h e o r 锄sa n d6 x e dp o i n tt h e o r e m s 1 i l i st h e s i se n r i c h e st h es t u d yr e s l l l t so nk k mt h e o r ya n dk k mt h e o r yc a nb e b t u d i e da n da p p l j e dm o r ew i d e l y k e y w o r d s ：t o p o l o 百c a ls p a c e ，r k k mm a p p i n g ，t r a 吣f e rc l o s e d ( o p e n ) v a l l 】e ( 1 第i i 页 第一章引言与基本概念 k k m 理论是解决非线性问题的重要理论和有力工具，它已经成为非线性分析的 重要组成部分 1 9 1 2 年，b r o u w e r 得出下列定理( 简称b r o u m r 定理) ，见f l 】 b r o u w e rt h e o r e mac o n t j n u o i l 8m 印，：n 叶rb 蠲an x e dp o i n t 如= ，( z o ) n ，w h e r e ni 8 几一s i m p l e x 1 9 2 8 年。s p e m e r 得出下列定理( 简称s p e m e r 引理) ，见【4 9 1 _ t h es p e r n e rl e m m al e t b eas i m p u c i a i8 u b d i “s i o no fa i lm s i m p l e x = 丽两= 瓦t oe a c hv e r t e 】c 札0 fk ，l e t 觚i n t e g e rs ( u ) b ea 鼹i g i l e di n8 u c haw a yt h a t w h e n e v e rt 工l i e s0 naf a c eq d 仉| - ，t h en u m b e r 心g n e dt o 钍i so n eo ft h ei n t e g e r s i o ，i l ，瑶t h e nt h e r ei 8a i ln s i m p l e xo fk ，w h o s ev e r t i c 嘲r e c e i v ea l ln + 1i n t e g e 碍 0 ，1 ，- ，仃， 1 9 2 9 年，k n a s t e r ，k u r a t a w s l 【i 和m a z u r l 【i e w i c z 得出下列原理( 简称k k m 原理) ， 见【2 1 k k m 原理 闭值映射f ：d 一。满足c o acf ( ) ，对任何月cd ，则n 。d f ( ) 0 其中d 表示n 一单形。的顶点集合并称满足c o acf ( 一) 的映射f 为k k m 映 射， b r o u w e r 定理，s p e m e r 引理，k k m 定理这三个定理在某种意义上是等价的因 为k k m 定理是由s p e r n e r 引理证明得到的，其证明见 4 9 j 【5 0 i 【5 1j 【5 2 j ；而k k m 定理可 以直接证明b r o u w e r 定理；1 9 7 4 年y o s e l o f f 利用b r o u ，e r 定理证明了s p e r n e r 引理；后 来s e h i ep “ka i l dk w a i l gs i kj e o n g 也利用b r o u ，e r 定理证明了s p e 皿e r 引理，其证法 更简短；此外还利用b r o u w e r 定理证明了k k m 定理，见1 3 】f 4 】1 5 】由此可见这三个定理 在某种意义上是相互等价的这一发现后相继出现了很多不同形式的等价命题，并把 它们应用到了统计学、非线性分析、经济学平衡理论等众多领域 k k m 理论是对k k m 定理不同等价形式的应用与研究，见【6 】【7 】【8 】【9 1 | 10 1 起 初k k m 定理主要是在h a u s d o r f f 拓扑线性空问的凸子集上研究：接着应用到l a s s o n d e 意义下的凸空间上，见【l l 】；后来应用到由h 沁t h 引进的具有某种可缩子集族的空 间上( 简称c 一空间或h 一空间) ，见【1 2 1 【1 3 l ，而这些空间都包含在由s e h i ep a r k 引进的 一般化凸空间( 简称g 一凸空间) 内这样k k m 原理在g 凸空间上更广泛地被应用并 取得了一定的理论突破，见【9 】【1 4 】【1 5 】【1 6 l 【17 1 【1 8 】 1 9 】【2 0 】【2 1 】【2 2 】【2 3 1 此外，利用k k m 定理及其相关理论能够解决一些实际问题，例如重叠定理，见【2 4 】【2 5 】【2 6 j ；截口定 第l 页 第一章引言与基本概念 理，见【2 7 】【2 8 】【2 9 】；相交定理，见【3 0 1 1 3 l 】f 3 2 】；变分不等式，见【3 3 3 4 】【3 5 】【3 6 1 ；共存定理， 见【3 1 】【3 2 】【3 7 】；平衡点问题，见【3 8 j 【3 9 】 4 0 】等它对非线性理论的研究起着非常重要的 作用 起初，k k m 映射只是在某一单型。上定义的并且将其推广到拓扑线性空间的 某一凸集上随着非线性理论的发展人们逐渐认识到了k k m 映射的重要性，因此很 多学者对k k m 映射进行了更细致和更广泛的讨论和研究1 9 8 7 年，k i m ，s b i n 和，1 1 a n 几乎同时考虑到具有开值的k k m 映射1 9 9 2 年，t i 讨论了具有转移闭值的k k m 映射最近丁协平l “l 建立了无线性结构无凸性结构的有限连续拓扑空间( 简称f c 一空 间) 该空间几乎包含了非线性理论中所讨论的空间，比如：凸空间，h 一空间i ， z 一空间1 4 2 j ，超凸空间l 叫，g 凸空间1 18 l 及其它凸结构，而且不少作者在f c 一空间上 建立了一些k k m 理论，见( 4 1 1 【4 4 】【4 5 1 ， 本文主要目的是在没有任何凸性结构没有任何线性结构的一般拓扑空间上通过 引入r k k m 映射，以古典的k k m 原理为基础建立新的k i m 型定理，并利用所得 到的k k m 型定理得到相交定理进一步利用已知的k k m 型定理的变形结论得到重 叠定理和不动点定理最后作为它们的应用给出变分不等式择一性定理 本章主要引入一些基本的定义和相关的注记首先介绍集值映射和转移闭( 开) 值 映射的概念 定义1 1 设x 和y 是两个非空集合，若映射丁：x y 是从x 到y 的幂集2 y 的一个函数，则称映射丁为集值映射，并记t ( ) = u 。 t ( z ) ，对任何acx 当y 为拓扑空间时，我们根据集值映射t ：x y 定义如下几个新的集值映射： p ：x 川y ，t 。( z ) = y 丁( z ) ，对任何o x ， t 一：y - ox ，t 一( ”) = ( z x ：! ，丁( z ) ) ，对任何y r ：x y ，? 仕) = r 0 ) ，对任何z x r 。：y x ，t ( ) = x 丁一( ) ，对任何y i n t 丁：x 。y ，i n t t 陋) = i n t ( t ( z ) ) ，对任何z x 其中百表示b 的闭包，i n t 日表示b 的内部( 对任何bcy ) 定义1 2 设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑空间，f ：x y 是集值映射 若z x ，y y 且隹f ( z ) ，存在z x 使得g 簪f ( z ，) ，则称f 为转移闭值映射 定义1 3 设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑空间，f ：x y 是集值映射 若z x ，y 且9 f ( z ) ，存在z x 使得i n t f ( z ) ，则称p 为转移开值映射 注记1 文f 4 6 l 中已证 ( i ) f 是转移闭值映射当且仅当n 。xf ( z ) = n 。e xf 扛) ( i i ) f 是转移开值映射当且仅当u 。xf ( z ) = u 。xi n t f ( z ) 定义1 4 设x 和y 足两个拓扑空间，集值映射f ：x y 称为上半连续映射 第2 页 第一章引言与基本概念 若对y 中的任何闭集c ，f - ( c ) = z x ：。f ( z ) n g 0 ) 是x 的闭集 定义1 5 设x 和y 是两个拓扑空间，集值映射p ：x y 称为下半连续映射 若对y 中的任何开集，f - ( ) = z x ：f ( z ) n u 0 ) 是x 的开集 若集值映射f ：x l ，既是上半连续又是下半连续映射，则称f 是连续映射 下面介绍本文中所涉及的空间与相关的概念 定义1 6 m 设x 是一个拓扑空间，d 是x 的非空子集，f ：d x 叫 做r k k m 映射，如果对任意的= z o ，。圹一，z 。) ( d ) ，i l = n + l ，都存 在连续映射妒，v ：。一x 使得对任意的 z 。z 。，z 。 c z o ，。- ，z n 成 立妒( k ) c u 名of ( z 。，) 定义1 7 设x 为拓扑空间，d 和x 。是x 的非空子集若对任意的( d ) 及 任意的连续映射妒：。一x ，当，( n 蜀) 时妒( j ) cx l ，则称x 1 为x 的r 一 子空间 定义1 8 设j f ：x 。y 和g ：y 。z 是两个集值映射，这两个映射的合成定义 为g op ：x 。z ，g f ( z ) = g ( f 扛) ) = u ，p ( 。) g ( f ) ，对任意z x 定义1 9 设x 是拓扑空间，d 是x 的非空子集，称，：x r 是上r 一子空间， 若对每一个a r ，集合 z x ：，( z ) a ) 是x 的r 一子空间 第3 页 第二章 拓扑空间上的k k m 型定理 本章，我们将利用古典的k k m 原理，在拓扑空间上引入若干个不同形式的k k m 型定理首先给出k k m 原理 引理2 o 【k k m 原理一设e ( o i n ) 是n 一单形咖 1 的n + 1 个闭 集( 开集) 若对于此n 一单形的任意面( o 磨仃，o 如 n ，即s ( z ) f ( z ) 因为f 是 转移开值的，所以存在一z d 及s ( z ) 的开邻域u ，使得ucf ( z ) 因为s c ( x ，y ) ， 则存在z 的一个开邻域y ，使得s ( y ) c ，所以有s ( y ) cf ( z ) 因此对于任意 的t ，ks ( ) f ( z ) ，即，( 一，s ) ) n 这说明对任意的y 有w 隹g ( z ) 所 以y n g ( z ) = o ，但z y ，所以。隹西瓦巧，因此g 是转移闭值的口 定理4 2 设x 和y 分别是拓扑空间，d 是x 的非空子集，：d y r 和g ：x y r 是两个实值映射，是x 的非空紧子集，c ( x ，y ) ，且o ，p r 若 ( i 阳a ，在d y 上，g ，且对每个g t ( x ) ， z x ：9 ( z ，暑，) 卢) 是r 一子 空间： ( i i ) 映射g ：d y ，g ( z ) = y y ：，( z ，暑，) n ) ( 任意z d ) 是转移开值的； ( i i i ) 或 ( a ) 存在一m ( d ) 使得n ；吖 z x ：，( z ，t ( z ) ) q ) ck ； 或 ( b ) 对任意一( d ) ，存在包含的x 的紧r 一子空间l 使得 n ( l n 酉西f 币忑而) c k z d n l 则下列结论之一成立 ( i ) 存在一量k c x ，使得对任何z d ，r ( z ，( ) ) a ； 或 ( i i ) 存在一z o x ，有9 ( z o ，( z o ) ) p 特别当p = q = p ：x 9 ( z ，0 ) ) n ， 即jc ( z d ：，( z ，( z o ) ) n ) c z ，x ：夕( z ，( z o ) ) p ) 由条件( i ) 有z o l p ( k ) c $ x ：9 ( z ，( z o ) ) 卢) ，即9 ( 知，( z o ) ) 卢，这与假设相矛盾】 于是通过定理21 ( 或者定理2 7 ) 可知存在童nn 。df ( z ) 因此童且对任 意z d ，( z ，( 互) ) sq 这就得到( i ) 第二部分的证明可以从第一部分直接得到口 定理4 3 设x 和l ，为拓扑空间，d 是x 的非空子集，：d y r 和9 ： x x ，一r 是两个实值映射，是x 的非空紧子集，s c ( x ，y ) ，且q ，p r 若 ( i ) 卢n ，在d y 上，g ，且对每个s ( x ) ，( z x ：9 ( z ，f ) p ) 是r 一子 空间： ( j i ) 映射g ：d y ，g 0 ) = y ：，( z ，) n ) ( 任意z d ) 是转移开值的； ( i i i ) 或 ( a ) 存在一m d ) ，使得n 。 ，( z x ：，( z ，s ( z ) ) o c 圮 或 ( b ) 对每个、r ( d ) ，存在一包含的x 的紧r 一子空间l ，使得 f1( l v n z x ：，( z ，5 ( z ) ) o ) ) ck d n l ( i v ) 9 ( z ，s ( z ) ) p ，对所有的z x 则存在一窑kcx 使得，( z ，5 ( 童) ) n ，对所有的z d 引理4 0 【删设x 和y 为拓扑空间，s ：x y 是上半连续映射当且仅当对于任 意的z x ，s ( z ) 的任意邻域，存在z 的邻域y ，有s ( y ) c 玑 定理4 4 设x 和y 为拓扑空间，d 是x 的非空子集，：d y r 为实值函 数，s ：x 。y 是紧值上半连续映射，7 r 若集值映射p ：d r f ( z ) = y ： ，( z ，) ，y ) ( 任意的z d ) 是转移开值映射，且满足对于任意的( d ) ，存在z d 使得f ( ) cf ( z ) 则集值映射g ：d 。x ，g 扛) = 。x ：，( z ，s ( z ) ) n ( 一，7 】 口 ( 对任意的z d ) 是转移闭值映射 证明设。x ，。d 且z 车g 0 ) ，只需证明存在z d 使得z g ( z ，) 因为z 垡g ( z ) ，所以，( z ，s ( 。) ) n ( 一，y 】= 0 = 净对任意的s ( z ) ，使得，( z ，) 7 ! ，f ( z ) 争s ( z ) cj f ( z ) 对每个s ( z ) cf ( z ) ，因为f 是转移开值映射，所 以存在q d 使得y i n tf ( q ) ，也就是存在一个的开邻域使得cf ( ) ， 第1 5 页 第四章变分不等式择一性定理 这样 ) 构成了s ( z ) 的开覆盖因为s ( z ) 是紧的，所以存在 ，。，) 覆 盖s ( 。) ，可以推出s ( 。) cu ：。cu ：。f ( z 。) 设= u ：。，由已知可得存 在z d 使得u ：。f ( z “) cf ( z ) 成立，于是s ( 。) cuc 尸( z ) 又因为s 是上 半连续映射，根据引理4 0 存在z 的邻域y 使得s ( y ) c 故对任意k s ( ”) c cf ( z ) ，根据f 的定义，( z ，s ( ) ) c ( ，y ，+ ) ，可知隹g ( z ) ，于是v n g ( z ) = d 由z y 知z 隹g ( z ) ，所以g ( z ) = z x ：r ( z ，s ( z ) ) n ( 一，y 】o ) ( 对任意 的z d ) 是转移闭值映射口 定理4 5 设x 和y 是拓扑空间，d 是x 的非空子集，：d y r 和9 ： x y r 是两个实值函数，t ：x - oy 是紧值上半连续映射，是x 上的非空紧 子集，1 ，a r 是两个实值函数若 ( j ) a a 是r 一 子空间： ( j i ) f ：d y f ( z ) = y ：，( z ，) ，y ( 对于任意z d ) 是转移开值映射， 且满足对于任意( d ) ，存在z 。d 使得f ( | j v ) cf ( z 。) ； ( i i i ) 或者 ( a ) 存在m ( d ) ，有n 。m z x ：，( z ，t ( z ) ) n ( 一，7 】口) ck ； 或者 。 ( b ) 对任意( d ) ，存在一个包含v 的x 的紧r 一子空间l 使得 n ( l n 可石1 瓦可万可瓦丽) c z d n l 则下列之一成立 ( i ) 存在一虿cx 使得对任意的z d ，成立r ( z ，t ( 虿) ) n ( 一o o ，卅o ； 或者 ( i i ) 存在一z o x 使得g ( z o ，t ( z o ) ) c ( a ，+ ) 成立 证明 假设( i i ) 不成立，即对于任意的跏x ，存在珈t ( z o ) 有9 ( 。o ，珈) a 定义一个映射g ：d x 为g ( z ) = ：x ：，( z ，t ( z ) ) n ( 一，y 】0 ) ，对任 意z d 由( i i ) 和定理45 得g 是转移闭值映射 下证g 是一个r k k m 映射| 如果g 不是r k k m 映射，则存在一个月( d ) 及l ，= 。1 0 孔1 1 。“) 使得妒 ( k ) 譬u 名o g ( z 。，) 取一点z 妒a ( k ) 且正聋 g ( z 。) ，j = o ，1 ，于是对所有的z j ，z 隹g ( z ) ，故对任意的p 丁( z ) 有，( z ，) ，y 这样可得jc z d ：，( z ，p ) ，y ) ，所以由( i ) 知9 ( z ，) a ， 对任意的t ( z ) 这与假设矛盾，所以g 是r k k m 映射由条件( a ) 可得 存在m ( d ) 有n 。m 百( z ) ck ；由条件( b ) 得对于任意的( d ) ，存在l _ 使 得n 。d ( l ng ( z ) ) c 成立 第1 6 页 第四章变分不等式择一性定理 由定理2 1 和27 知n 。d 西( z ) nk o 因为g 是转移闭值映射，由定义1 3 ( 注记1 ) 得n d g 0 ) n 口，即存在z cy ，使得对于任意的z d 有虿g ( z ) 于 是，( z ，t ( i ) ) n ( 一o o ，1 1 0 ，这样结论( i ) 成立口 推论4 6 设x 是拓扑空间，d 是x 的非空子集，：x r ，：x x r ，妒： xxd r ，s c ( x ，x ) ，且k 是x 的非空紧子集，若 ( i ) 妒( z ，) ( z ，) ，任意的( z ，9 ) x d 且妒( s ( 2 ) ，z ) ，( 5 ( z ) ) 一，( z ) ( 任意 的z x ) ； ( i i ) 对任意的z s ( x ) ，妒( z ，) + ，( ) 关于f 是r 一子空间的； ( i i i ) 对任意的d ，( ) 一( z ，暑) 关于z 是下半连续的； ( i v ) 对任意的7 v ( d ) ，存在一l 使得t t ，且( s ) ，) + ，( 9 ) ，( s ( ) ) ( 任 意的上) n l ) ，则s 一( k ) 则存在一量可而nk 使得( ，) 2 ，( ) 一，( ) ，对所有的d 证明定义一映射f ：d x f ( ) = z x ：( z ，y ) 十，( ) 2 ，( z ) ) ，任意的d ， 则 ( 1 ) 通过( i i i ) 可知f 是闭值的； ( 2 ) s f 是r k k m 映射【否则，存在一( d ) 及j = z 。甄z “) c 使 得妒_ ( ) 譬u ：= 05 一f ( z 。，) ，则取一点z o 妒( 女) 使得跏隹u 名os f ( 。) 可以推 出s ( 知) 簪f ( q ，) ，j = o ，l ，七即s ( z o ) 簪f ( ) ，任意的，因此 = 亨，c d l ( 5 ( z o ) ，) + ，( 掣) ，( s ( z o ) ) n j i v = = l ，c 掣x l 妒( s ( z o ) ，掣) + ，( 可) ，( s ( z o ) ) n = 亭 z o 妒( k ) c 掣x i 砂( 5 ( z o ) ，y ) + ，( ) ，( 3 ( z o ) = = 妒( s ( z o ) ，z o ) + ，( z o ) ，( 5 ( 。o ) 这与条件( i ) 矛盾】 ( 3 ) 如果z n 。d n l 。( s ( l ) n f ( 9 ) ) ，则存在一点l 使得z = s ( ) 且咖( s ( t t j ) ，) + ，( ) 2 ，( s ( ) ) ( 对所有的3 ，dnl j v ) ，因此由( j v ) 可知5 - ( ) ，即2 = 5 ( ) ， 故n v d n l 。( s ( l ) nf ( ) ) c 利用x = y 由推论26 得到s ( x ) nk n n _ df ( y ) o 于是可取量s ( x ) n 使得庐( ，) ， ) 一，( ) ，对所有的d 口 第1 7 页 第五章结论 本文是在无任何凸性结构无线性结构的一般拓扑空间上，重审了一般化凸空间中 的k k m 定理，主要是在拓扑空间上通过引入r k k m 映射，以古典的k k m 原理为 基础建立若干个拓扑空间上的k k m 型定理及其相交定理，并在此基础上讨论了非紧 的一般拓扑空间上的重叠定理、截口定理及不动点定理最后作为重叠定理和不动点 定理的应用，得出若干个变分不等式择一性定理本文丰富了k k m 理论，使它更广泛 的应用到解决实际问题e 第1 8 页 致谢 本学位论文是在导师朴勇杰教授的精心指导下完成的 在笔者攻读硕士学位的三年时间里，朴教授给予了笔者学习上的悉心指导，生活 上的热心帮助本文无论是从选题到成文，从文章的构造到语言的组织无不凝结着朴 教授的大量心血。朴教授不仅教会了我许多非线性理论的知识，最重要的是朴教授在 学术上的孜孜进取、踏实的治学态度、正直善良的为人品质潜移默化地影响着我的人 生观、世界观，造就了我务实、求真的求学准则，令我受益终身在笔者进修期问，复旦 大学数学研究所所长吴泉水老师和浙江大学数学所武俊德老师给与了笔者无私的帮 助，两位老师殷实的知识底蕴与谦虚的学者风度给笔者留下了深刻的印象。在此向以 上两位思师表示衷心的感谢! 同时，向所有关心、帮助过我的延边大学数学系领导和在各方面帮助过我的所有 老师同学们表示诚挚的谢意! 正是有了你们细心的教导，无微不至的关怀，才能使我 拥有今天的一切! 最后，感谢我的父母和妹妹以及所有关心和帮助我的朋友们对我求 学路上的无限鼓励和全力支持，他们的理解和支持永远是我前行的动力，是我一生的 财富! 第1 9 页 参考文献 l 】l e j b r o u w e r u b e ra b b i l d u n g e nv o nm a j l n i g f a l t i g k e i c e n 【j 】m a t h a 皿1 9 1 2 7 1 ：9 7 - 1 1 5 【2 】b k n 晒t e r ，k k m t o w s k ja n ds m a z u r k i e 埘c z e i nb e w e i sd e sf i x p u j l l 【t s a t z 伍rn d i m e n s i o n a j es i m p l e x e ，n i n d 【j 】m a t h 1 9 2 9 ，1 4 ：1 3 2 1 3 7 ( 3 】t i c h i i s h j g 咖et h e o r yf o re c o n o m i ca n a l y s i s 【j i a c a ( 1 e m j cp r 躺，n 州y o r k l o n d o n 1 9 8 3 【4 】e z e i d l e r a p p 】i e dn m c t i o i l a la n a l y s i s - a p p l i c a t i o 璐t o m a t l l e m a t i c a lp l 岬i c 8 【j 】 s p r i n g e t 一、h l a g ，n e wy 西k ，1 9 9 5 ， 5 】j d u g u n d j i i a n da g r a n 船f i x e dp 0 i n tt l l e o r y 【j 】p w n - p o l i s hs c i p u b l w 缸s z a w a 1 9 8 2 f 6 】s e l l i ep a r kr e m a r l c so naf i x e dp o j n tp r o b l e mo fb c n - e l m e c h a l e k l l ，n ( 瑚l i n e a r a na l y s i ba i l dc o n v e xa n a l y s i s ( p r o c n a c a 9 8 ，n i i g a t 8 ，j 印a n j u l y2 8 3 1 ，1 9 9 8 ) ， w o r 】ds c i ，s i i l g a p o r e ，1 9 9 9 ，7 9 8 6 【7 】s e h i ep a r k n i n e t yy e a r so fb r o u w e r6 x e dp o i n tt h e o r e m 【j 】v i e t n 锄j m a t h 1 9 9 9 2 7 ：1 8 7 2 2 2 【8 s e h i ep 盯k n e ws l l s c l a s s e 8o fg e n e r a d i z e dc o n v e xs p a c 圈f i x e dp o i n t 8n r ya n d a p p l i c a t i o 珊( y j h o ，e d ) ，n o v as c i p u b l ，n e w - y o r k 2 0 0 0 ，9 l 一9 8 【9 】s e h i ep a r k e l e m e n t s0 f t h ek k mt h e o r yf o rg e n e r a l i z e dc o n v e ) 【s p a c e s ，k o r e a n 【j 】 c o m p a p p l m a t h 2 0 f ) 0 ，7 ：1 2 8 【1 0 1s e h i ep a r kr e m a r l 【8o t o p o l o 舀朗o fg e n e r a l i z e dc 。n v e xs p a c 髑【j 】n o i l l i n e a r f l l n c t s a n a l a p p l 2 0 0 0 ，5 ：6 7 - 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2 & 第2 l 页 参考文献 f 2 6 】s p 盯ka n dk ，s j e o n g 。ag e n e r a jc o j n c j d e n c et h e o r e mo nc o n t r a c t j b j e 印a c 即f j j p r o c a m e r m a t hs o c 1 9 9 6 、1 2 4 ：3 2 0 3 - 3 2 0 6 【2 7 1 朴勇杰一般化凸空间上k k m 原理在截口问题上的应用 j 1 延边大学学报，2 0 0 3 2 9 ( 1 ) ：7 9 - 8 2 【2 8 】p i a 01 n g j i e s e c t i o nt h e o r e m sa i l dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r 咖so ng e n e r “一 i z e dc o n v “s p a c e j 数学杂志，2 0 0 5 ，2 5 ( 5 ) ：5 0 7 - 5 1 2 f 2 9 】s s c h a n ga n dl y 妇g s e c t i o nt h e o r 咖s0 nh s p a c 荡w i t ha p p l i c a t i o 璐j m a t h a n a l a p p l1 9 9 3 ，1 7 9 ：2 1 4 - 2 3 1 【3 0 】朴勇杰一般化凸空间上等价于相交定理的不等式系【j 1 东北师范大学学报 2 0 0 4 ，3 6 ( 8 ) ：1 6 【3 l 】f c l i u o naf 0 兀no fk k mp r i n c i p l e 舡l ds u p i n 岛u pi n e q u a l i t i 髑o fv o m n e u m 皿n a n dk yf mt y p e 【j 】m a t ha n a l a p p l _ 1 9 9 1 ，1 5 5 ：4 2 0 一4 3 6 【3 2 】hm “a n dx p d i n g0 nv e r 8 j o no fk k mp r i n c i p l ei nh - s p a c e 8a i l di t s 印p l i c a t i o n f j j s j c h u a nn o 唧a lu n j v 1 9 9 3 ，1 6 ( 3 ) ：2 l 一2 7 1 3 3 】朴勇杰一般化凸空间上变分不等式解的存在性问题系统科学与数学2 0 0 4 ， 2 4 ( 4 ) ：4 6 3 - 4 6 8 【3 4 】p 【a oy o n 鲥i e v o nn e 啪m a nf a nt y p es u 山蜘pj n e q u 撕t i e 8o ng e n e r a i i z e dc o n v “s p a c l j 】数学研究2 0 0 4 ，3 7 ( 2 ) ：1 0 9 - 1 1 6 【35 】a ，g r a n a 8e ta 1 ，s l l rq u e i q u 船m t h o d e st o p