（应用数学专业论文）gahp中相容性问题与专家赋权方法的研究.pdf

g a h p 中相容性问题与专家赋权方法的研究 摘要 层次分析法( 简称a h p ) 是美国匹兹堡大学教授t l s a a t y 于2 0 世纪 7 0 年代中期提出的一种将定量与定性相结合，并将人的主观判断用数量形式 来表达和处理的决策方法。a h p 作为规划、预测和决策工具已在我国科学研 究和管理决策中得到了广泛应用。在复杂系统的评价和决策过程中，为了使 决策科学化、民主化，尽可能避免和减少决策上可能产生的失误，总是有多 个决策者( 即专家) 或决策部门参与决策的，这样在用d i p 模型进行专家咨 询时，对同一个准则将获得多个判断矩阵。因此有必要对多人决策，即所谓 群组决策( 简称g a h p ) 进行研究，以求获得一个合理的综合结果。 本文对相容性问题和专家赋权方法进行了研究，主要工作概括如下： 第一章，简述了层次分析法的基本方法与步骤，对目前关于相容性问题 与专家赋权方法的研究现状进行了综述，并概述了本文研究的主要内容。 第二章，对相容性检验和一致性检验进行了比较，分析了两个指标的异 同，说明了进行相容性检验的必要性，提出了相容性检验的夹角余弦法。并 提出了一种新的聚类分析赋权方法。 第三章，对模糊互补判断矩阵的相容性问题，介绍了一种新的k e n d ai i 协和系数检验法，又提出了三类专家赋权方法，并进行了比较分析。 第四章，定义了一种新的区间数相容度，并给出了区间层次分析法中的 相容性检验指标，提出了区间层次分析法的对数赋权方法。 在本文最后，总结了全文的工作，并对今后群组层次分析法中关于相容 性问题与专家赋权方法的研究提出了自己的建议。 关键词：层次分析法群组决策相容性专家赋权 中图分类号：c 9 3 4 ，0 2 2 3 t h er e s e a r c ho nc o m p a t i b i l i t ya n dm e t h o df o r e x p e r t s w e i g h t sl ng a h p a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( 6 旧p ) w a si n t r o d u c e di nm i d d l e 1 9 7 0 sb ya m e r i c a np r o f e s s o rt l s a a t y , w h om a d er e s e a r c h e so no p e r a t i o n s a n a l y s i si np i t t s b u r g hu n i v e r s i t y i ti sas c i e n t i f i cm e t h o do fd e c i s i o nm a k i n g ， w h i c hc o m b i n e st h eq u a l i t a t i v ej u d g m e n ta n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s w i t ht h e d e v e l o p m e n to fs o c i e t y , a h ph a sb e e nw i d e l ya p p l i e di ns c i e n t i f i cr e s e a r c h e s a n de c o n o m i ce n g i n e e r i n g ，e t c m u l t i - e x p e r t sj o i ni ne v a l u a t i n go fc o m p l e x s y s t e ma n dd e c i s i o nm a k i n g ，t h ep r o b a b l ee r r o ri sd e c r e a s ea n dt h ed e c i s i o n m a k i n gi sm o r es c i e n t i f i c i nr e s u l t , t h e r ea r em a n yj u d g m e n tm a t r i c e si nt h e c d t e r i o n s o ，i ti sn e c e s s a r yt or e s e a r c ho nt h eg r o u pd e c i s i o nm a k i n gw h i c h r e m a i nb e l i e v a b l er e s u l t i nt h i sp a p e r , c o m p a t i b i l i t ya n dm e t h o df o re x p e r t s w e i g h t si ng a h p i sa n a l y z e da n ds t u d i e d t h em a i nr e s e a r c hw o r k sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h eb a s i cm e t h o da n ds t e po ft h ea h pa r es t a t e d t h e n ， t h er e c e n tr e s e a r c h e so nc o m p a t i b i l i t ya n dm e t h o df o re x p e r t s w e i g h t si ng a i - i p a l ec o n c l u d e d ，a n dt h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa r ea l s oi n v o l v e d i nc h a p t e r2 ，t h et e s t i n go f c o m p a t i b i l i t ya n dc o n s i s t e n c ei sc o m p a r e d ， t h e n e c e s s a r y o fc o m p a t i b i l i t y t e s t i n g i sr e m a i n e d an e wm e t h o do f c o m p a t i b i l i t yt e s t i n gi sp r e s e n t e d b a s e d o nc l u s t e r i n gp r i n c i p l ean e wm e t h o d o fe x p e r t s w e i g h t si sp r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，k e n d a l ls y n e r g i s mc o e f f i c i e n tt e s to fc o m p a t i b i l i t yo n f u z z yc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xi sg i v e n t h r e ec l a s s e sm e t h o d so f e x p e r t s w e i g h t si sp r o p o s e d i nc h a p t e r4 ，ac r i t e r i o nt oj u d g et h ec o m p a t i b i l i t yo fi n t e r v a ln u m b e r s i sg i v e n , a n dt h ec o m p a t i b i l i t yo fi n t e r v a ln u m b e rr e c i p r o c a lj u d g m e n tm a t r i c e s i ss t u d i e d t h e n ，l o g a r i t h m i cm e t h o do fe x p e r t s w e i g h t si sp r e s e n t e d i nt h ee n d ，t h er e s e a r c hw o r k sa r es u m m a r i z e d ，a n ds o m es u g g e s t i o n s a b o u tt h er e s e a r c ho nc o m p a t i b i l i t ya n de x p e r t s w e i g h ti ng a h pa r em a d e k e y w o r d s ：a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；g r o u pd e c i s i o nm a k i n g ； c o m p a t i b i l i t y ；e x p e r t s w e i g h t 广西大掌硕士掌位论文g a h p 中相客性问题与专家赋权力法的研究 第一章绪论 层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ，简称a h p ) 是美国运筹学家t 【“s a a t y 教授于2 0 世纪7 0 年代中期提出的一种将决策者的定性判断与定量分析相结合，并将人 的主观判断用数量形式来表达和处理的决策方法1 1 1 。s a a t y 曾用a h p 解决了美国国防部 “应急计划”以及电力在工业部门的分配问题等等。由于a h p 分析和解决问题的简洁 性、实用性，随着社会的发展，a h p 已在城市规划、经济管理、科研成果评价等许多领 域得到了广泛的应用。随着a h p 应用范围的扩大，它的理论也得到发展并逐步完善， 越来越多的国内外学者参与了讨论和研究，在大多数领域取得了可喜进展。 1 。1 层次分析法的基本方法与步骤 决策的根本问题是产生或从一组己知方案中选择理想的方案。根据决策的目的，这 里的“理想”可以解释为满意、最佳、最好或最优等。而决策的困难之处往往在于社会 经济系统中的许多因素难于定量地测度。层次分析法作为一种决策过程，提供了一种将 定量与定性相结合，将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法。它把复杂问题分解 成各个组成元素，又将这些元素按支配关系分组，形成递阶层次结构。通过两两比较的 方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要 性的总的排序。整个过程体现了人的决策思维的基本特征，即分解、判断、综合。运用 a h p 进行决策时，大体可分为以下几个步骤； 分析决策系统中各因素之间的支配关系，按目标层、准则层、方案层，建立系统 的递阶层次结构； 在某一准则下，对同一层次的各元素的重要性进行两两比较，构造两两比较的判 断矩阵； 对判断矩阵进行一致性检验； 计算单一准则下，被比较元素的相对权重； 计算各备择方案对总目标的合成权重，并进行排序。 1 2g a i - i p 中相容性问题与专家赋权方法的研究现状 在复杂系统的评价和决策过程中，为了使决策科学化、民主化，尽可能避免和减少 决策上可能产生的失误，总是有多个决策者( 即专家) 或决策部门参与决策的，即群体 决策。群体决策是把不同成员的偏好按某种规则集结、并和、归纳成群体的一个唯一偏 好序。这样在用a h p 模型进行专家咨询时，对同一个准则将获得多个判断矩阵。因此 有必要对多人决策，即所谓群组决策( 简称g a l 口) 进行研究，以求获得一个合理的综 合结果。 决策群体成员的结构合理，才能使群体决策过程所制定的决策扩大正效应，缩小负 广西大学硕士掌位论二乞g h p 中相窖性问题与专家赋权方法的研究 效应。因此，决策群体的组成应当有一个合理的人员结构，这包括如下几个方面：合理 的知识结构、合理的能力结构、合理的年龄结构、合理的心理素质结构。 1 2 1t - , a i t p 中相容性问题的研究现状 应用群组a h p 决策模型的关键是从各个专家给出的判断矩阵中，折衷集合专家的意 见从而得到关于各个方案的综合排序向量，以便从中选择一个最优方案。但受主客观因 素的影响，专家们给出的判断矩阵往往存在一定的差异，当这种差异较大时，勉强折衷 集成专家的意见，其结果往往差强人意，也难以具有说服力。例如：假设有2 名专家在 某一准则下评价2 个方案，如果专家一认为方案一比方案二极端重要，那么可得到判断 矩阵_ = i ：l ，而专家二认为方案二比方案一极端重要，那么可得到判断矩阵 l j ，y1 ， ，、 b ：l ：1 ：i 。如果两名专家的意见同样重要( 即两名专家的权重相同) ，求其几何平均 p 1j t 、m 综合判断矩阵为c = l ：i ，那么两个方案的综合排序向量为w = ( o 5 ，0 5 y ，即两个方案 l l1 同等重要，显然这与任何一名专家的意见都有很大的分歧，专家也不想认同这个结果。 为此，在给出综合排序向量以前，我们必须讨论如何衡量两个判断矩阵的差距，多 大的差距可以容许? 这些问题均可用“相容性”予以表征。如何衡量群组决策的可接受 程度即判断矩阵的相容性，是科学合理的进行群组决策的前提和关键。当群组判断中存 在不相容判断时，可以对判断矩阵作适当修改，然后再综合，在某些情形下还可以剔除 某些相容性很差的矩阵，使专家的意见更集中，这样做出的决策将更可信更有说服力。 s a a t y 教授【2 j 首先提出了衡量两个矩阵距离的相容性概念和方法。王莲芬【3 】考虑到互 反判断矩阵中的元素由比例标度得到，因此考虑矩阵距离时不仅要考虑元素间的绝对差 异还需要考虑其相对差异定义正互反判断矩阵一2 ( 勺) ，。，占2 b ) 。的相容度c ( 一，口) 2 1 兰嘞，给出了衡量矩阵相容性的指标s ，( 彳，b ) = c ( x ，b ) ，并给出了检验矩阵是 l , j = l 。n 厂、 否相容的临界值s ，= o 1 i 二与i r ，+ 1 ，当曼 s 时，认为彳具有满意的一致性，简 k n i ) 称4 是相容的。当衡量判断矩阵4 与b 的相容性时，仍可采用上述临界值作为判断准则， 即当s ，( 彳，b ) s 时，认为4 与口具有满意相容性。证明了几何平均综合排序向量是 在对数意义下使完全一致的判断矩阵与综合特征矩阵最相容的向量。 董玉成、陈义华1 4 】分析了a h p 中现有检验指标存在的问题和应用的局限，设计了一 个通用的检验指标，通过一个指标解决了a h p 中的所有检验指标问题。把s a a t y 给出的 相容性检验指标扩展到了残缺判断的情形，定义s ( 4 功；三竺：；兰为彳与b 的相容。 n ( n l j 一疗啊 性指标，其中为彳中残缺判断的个数。并把e d e j o n g 的一致性检验法嘲推广到了相 容性检验。并在文献【6 】中基于矩阵扰动的观点给出了相容性指标，定义第_ i 个专家的相 2 广西大掌硕士学位论文6 a h p 中相容性问题与专家 权力峥 的研究 容度c y ( 彳，叫= 。毛( 谬) ，其中) _ 彬詈为j 4 忙对综合判断矩阵的扰动。基于群组 决策总相容度最小，提出了一种群组决策排序算法，并在此算法基础上，设计了相容性 修正算法，并证明了算法的收敛性。 徐泽水7 1 在综合考虑互反判断矩阵与模糊互补判断矩阵【8 1 0 】各自特点的基础上，给 出了衡量这两类矩阵相容性的一个通用指标，定义互反或互补判断矩阵= 彳= f 1 ， 口= n ) 的相容度s ( 以b - - 凳。m a x 堂( a l , b u ) ，并取相容性指标的临晃值为。8 。在文 兰i 嘞一f 献 1 1 中给出了模糊互补判断矩阵简便的相容性指标c ( 4 b ) = 生尘；了_ = 丢。文献 1 2 】 n 琊惭，锈j 中研究了衡量六类不确定型判断矩阵( 区间数互反判断矩阵、区间数互补判断矩阵、区 间数混合判断矩阵、三角模糊数互反判断矩阵、三角模糊数互补判断矩阵以及三角模糊 数混合判断矩阵) ，同类型之间相容性的两个通用指标，并给出了这六类不确定型判断 矩阵的相容性度量准则。 翟晓燕、张新政1 3 l 基于区间数互反判断矩阵h m ，研究了用判断区间数之间的距离 来描述决策者判断意见的差异，定义两个区间数口= 【a 7 ，a “】，b = 陟7 ，b “】之间的距离为 a ( a , o = l l 口- 6 l l - - i - b 7 i + 1 一b 。i ，并给出了协调决策者意见的方法：协商法、中心点 综合平衡法和除去最高分或最低分法。 吕跃进、王玉燕等嗍基于区间数互补判断矩阵【1 9 2 0 1 的特点，首先给出了衡量区间 数相容性的一个指标，定义区间数a = 【口j ，a ”】，b = b t , b “】的相容度为 c ( a ，b ) = ，证明此相容度具有平移一致性和互补一致性。在此基础上 给出了衡量区间数互补判断矩阵相容性的指标和度量准则。定义区间数互补判断矩阵 一= ( 勺) 。，8 ：b l 。，其中嘞= 【z ，】，= 【嘭，巧】的相容度为c ( 彳，曰) = 曼墨五c i 唧由j ，i = 1 i = 1 由模糊区间数的互补一致性并消除对角元素的影响，定义判断矩阵一与b 的相容性指标 导，c 【呀，j 为s ( 4 b ) = 三生赫，且其临界值为舻8 一言。 从已有的研究成果来看，关于区间数判断矩阵的相容性研究工作还比较少，对模糊 互补判断矩阵的相容性问题的研究几乎还没有引起重视。 1 2 2g a h p 中专家赋权方法的研究现状 在群组决策中有多个专家参与决策的目的是为了使决策科学化、民主化，尽可能避 广西大学硕士掣啦 穹d 匕g a h p 中相客性问题与专家赋权力- 嗣 的研究 免和减少决策上可能产生的失误。但是由于专家的知识结构、个人偏好以及对待择方案 认识程度的不同，各个专家运用a h p 给出的判断矩阵必然存在质量上的差异，那么每 个判断矩阵对综合排序向量起多大的作用，也即每位专家的权重是多少，将直接影响到 综合排序向量。专家权重的不同，可能会使方案的最终排序发生逆序。例如设有2 名专 家在某一准则下评价2 个方案而，x 2 ，专家一给出的判断矩阵_ = f i：l ，专家二给出的 ”1 判断矩阵b = l ：1 ：。l ，赋予两个专家的权重分别为 ，如，当 = 如= o 5 时，求其几何 平均综合判断矩阵为c = i 。：1 ：3 i ，那么两个方案的排序为x 2 而，同理当 = o 8 ， 如= 0 2 时，两个方案的排序为x l 石2 ，当 = 0 2 ，五= 0 8 时，两个方案的排序为 x 2 而。 由于赋予专家权重的不同，方案的最终排序也不同，甚至发生了逆序。因此，有必 要对专家的赋权方法问题进行研究。 目前，国内外学者一般都是基于由s a a t y 的1 9 比例标度给出的正互反判断矩阵进 行专家赋权方法的研究。 这些方法大致可以分为两类：一类是根据专家给出的判断矩阵一致性程度来赋权， 判断矩阵一致性程度越好，相应的专家权重越大【2 1 2 5 l 。另一类赋权方法基于多数原则的 思想f 2 7 3 0 l 。 第一类赋权方法主要包括：王应明卧2 2 直接根据专家所给出的判断矩阵的一致性比 例c r 为专家赋权，给出两种方法屯：上一，口2 1 ，但应用此方法对专家赋权时对判断 ”( c 墨) “ 质量较差的判断矩阵惩罚特别厉害，且当专家所给判断矩阵是一致矩阵，即一致性比例 c r 为0 时，则不能利用此方法进行定权。在文献 2 3 中，徐泽水进行了改进： 九：l 一，口 0 。在文献 2 2 王应明定义了另外一种赋权方法： l + a c r t 以= e x p ( 一a c r d ，口1 ，口取值越大，“劣质”判断矩阵在群组排序中的作用越小， 当盯大到一定程度之后，“劣质”判断矩阵在群组排序中几乎不起作用。并且认为一般 取口= 2 较为合适。 徐泽水田1 从偏差的角度，利用每个专家所给判断矩阵4 与其相应的一致性判断矩 阵爵偏差大小以：生耋竺! 兰丛同判断矩阵的可信度成反比的关系，以及判断矩。 以 阵中每列归一后，列向量之间的偏差同判断矩阵的可信度成反比的关系，提出了确定专 家权重的两种方法，并与王应明的方法进行了比较。 梁操、熊立等阱2 6 l 通过建立判断矩阵中包含的直接判断信息与间接判断信息之间 的相互关系，确定各位专家给出的判断意见的一致程度，以此为依据最终确定专家判断 的可信度。 这类方法的存在以下问题：一没有考虑到1 9 标度下判断矩阵的一致性与人们思维 4 3 - 西大掌硕士掌位馆文g a h p 中相容佳问题与卜专覃0 赋权力哆量的研究 判断一致性不符；二各个专家给出的判断矩阵均为完全一致时，各专家权重系数相 同，不能区分各个判断矩阵的质量。 第二类赋权方法主要包括：刘向阳 2 7 1 利用统计的方法，根掘矩阵中每个元素出现的 频率分别为判断矩阵中每个元素赋权，这些权重值构成了专家权威性矩阵。但当矩阵阶 数较大时，利用此方法进行赋权时，计算量较大。 郭文吲船1 、刘万里 2 9 1 、吴云燕等p 0 1 分别利用系统聚类分析的思想，先对专家进行 分类，再根据类容量的大小对专家赋权。对专家聚类的时候根据专家给出的判断矩阵与 其相应的一致矩阵的贴近度来构造相似关系矩阵，但是由l 9 标度构造的互反判断矩阵 与一致矩阵越贴近，并不能说明该矩阵质量越高。 b o d i l y 3 1 l 根据专家之间互相投票的方式对专家赋权。此方法的主观性很强，而且要 求专家在某一个特定的场所进行交流，评价。这明显与实际问题中大多采用问卷调查的 方式不符。 r a m a n t h a n 和g a n e s h 3 2 j 根据a h p 决策模型，让每个专家根据某一准则对专家之问的相 对重要程度做出判断，建立判断矩阵，利用此判断矩阵的右主特征向量对每个专家进行 赋权。但此方法要求专家们之间有较高的熟知程度，评估的主观性和不确定性很大，因 而缺乏合理性。 关于不确定型的群组a h p 中，有关专家赋权方法的研究还比较少。徐泽水【3 3 】利用每 个专家所给出的判断矩阵与它们综合判断矩阵的均方差大小同其判断矩阵的可信度成 反比的关系，提出一种赋权方法。而基于模糊互补判断矩阵的专家赋权方法的研究目前 尚未见报道。 从已有的研究成果来看，关于模糊互补判断矩阵和区间数判断矩阵的专家赋权方法 问题的研究几乎还没有引起重视。 1 3 本文研究的主要内容 通过前面的阐述和分析，可以看出，群组决策中判断矩阵的相容性问题和专家的赋 权方法是一个具有一定理论价值的研究课题，也是应用群组a h p 进行决策的关键。它具 有深刻的理论意义和广泛的实际应用背景，已引起了许多从事决策科学领域的研究人员 的重视，但其中有些理论研究还有待于进一步完善。本文针对群组a h p 中判断矩阵的相 容性问题和专家的赋权方法进行了分析和研究，完成了以下几方面的研究工作。 ( 1 ) 第二章，研究了传统群组a h p 中相容性问题和专家的赋权方法。对相容性检 验和一致性检验进行了比较，分析了两个指标的异同，并从判断矩阵的排序向量出发， 提出了相容性检验的夹角余弦法。指出了传统群组a h p 中现有的专家赋权方法的不足之 处。针对现有的赋权方法中存在的问题，考虑到正互反判断矩阵中元素的绝对差异与相 对差异，提出基于相容度的聚类分析赋权方法。这些研究结果，进一步完善了传统群组 a h p 的理论体系。 5 广西大掌日n b 掌位锚叩乞g 1 1 p 中相名l 性问题与专家赋权力r 法的研究 ( 2 ) 第三章，研究了模糊互补判断矩阵的相容性问题和专家的赋权方法。由m 个 专家给出的判断矩阵可以分别得到 个方案的一个排序。当m 个结果即m 个疗维排序权 重向量一致时，可以认为m 个判断矩阵是相容的。基于k e n d a l l 协同系数检验法 3 4 , 3 5 1 ， 提出了模糊互补判断矩阵的k e n d a l l 协同系数相容性检验方法。又根据模糊互补判断矩 阵的一致性给出了三类赋权方法。其基本思想是判断矩阵的一致性越好，矩阵反映的判 断思维一致性也越好，相应的赋予专家的权重也较大。前两种方法根据文献 3 6 中给出 的判断矩阵的一致性检验指标来赋权，后两种方法根掘判断矩阵与一致矩阵的偏差对专 家赋权，偏差越小时，判断矩阵的一致性越好，相应的专家的权重也较大。最后，通过 算例比较说明四种赋权方法的异同，发现基于一致性指标的专家赋权方法二的效果最 好，推荐使用此方法对专家进行赋权。关于模糊互补判断矩阵的相容性和专家赋权方法 的研究只是初步的，但对今后f a h p 的发展具有一定的参考价值。 ( 3 ) 第四章，研究了区间数互反判断矩阵的相容性问题和专家的赋权方法。从区 间数互反判断矩阵元素的特点出发，考虑到互反判断矩阵中元素的绝对差异和相对差 异，给出了衡量区间数相容性的指标，详细研究了它的性质。并在此基础上，给出了衡 量区间数互反判断矩阵相容性的指标，探讨性的给出了相容性的度量准则。又定义了两 个区间数的距离，及两个判断矩阵之间的距离，由判断矩阵与其它所有矩阵的距离大小 同该判断矩阵的可信度成反比的关系，提出了对数赋权法。这些研究结果，进一步丰富 了不确定型的群组a h p 的理论体系。 6 广西大掣h 曩士掌位鼬- 文g j i i p 中相客性问题与专尊：赋权力- 寰的研究 第二章正互反判断矩阵的相容性问题与专家赋权方法 2 1 相容性检验与一致性检验的比较 a h p 中有两种检验，即一致性检验和相容性检验。t l s a a t y 教授分别1 9 8 0 年在文 献【l 】中和1 9 9 4 年在文献【2 】中提出了这两个概念。一致性检验主要用来检验判断矩阵自 身的性态，衡量判断矩阵的可接受程度，剔除思维混乱的矩阵。影响矩阵一致性的因素 除了人的判断外，还受到两两比较比例标度系统的影响【3 3 s l 。关于一致性检验的方法已 有很多。”“。典型的三种检验方法是：一致性比例检验法，统计检验法和k 因子检验 法。文献 4 4 对这三种检验方法进行了比较，指出：对于3 、4 阶的判断矩阵，使用一 致性比例检验法或统计检验法，对于5 阶及5 阶以上的判断矩阵，使用k 因子检验法。 相容性检验主要用于群组决策。在群组决策中，有多个专家各自给出判断矩阵，然 后求其综合排序向量，但当专家意见分歧较大时，勉强进行折衷综合，其结果往往差强 人意，也难以具有说服力，这就需要相容性检验来衡量综合排序向量的可接受程度。 因此，相容性与一致性是两种不同的指标，一致性指标用来考察判断矩阵自身的性 态，而相容性指标是用来考察两个判断矩阵间的关系，只有当考察判断矩阵与其特征矩 阵的关系时，两者才是相同的。即判断矩阵与其特征矩阵的相容性与该判断矩阵的一致 性一致。而且当每个专家给出的判断矩阵均为完全一致矩阵时，用加权几何平均法得到 的综合判断矩阵也是完全一致矩阵，但由每个矩阵得到的排序向量与综合排序向量并不 一定相容，这正是相容性检验与一致性检验的区别。只有当每个专家给出的判断矩阵完 全相同时，群组判断才是完全相容的。 2 2 相容性检验的夹角余弦法 2 _ 2 1 方法与原理 相容性检验是为了衡量在某一准则下方案的综合排序向量的可接受程度，文献 2 ，5 ，7 1 3 从两个判断矩阵的距离出发，提出了不同的检验指标。但如何度量两个判 断矩阵的距离，才能最有效的反映专家意见的分歧呢? 而且当方案较多时，矩阵阶数也 增大，计算也比较复杂。 本节直接从判断矩阵的排序向量出发，考虑两个向量的夹角余弦。夹角余弦值越大， 两个向量越接近，两个专家的意见分歧越小，判断矩阵的相容性越好。又由于特征根法 ( e m ) 最能揭示方案相对重要性的客观排序。“1 ，故本文选取特征根法计算方案的排 序向量。 在决策过程中，不妨假设有埘个专家在某一准则下对甩个方案或准则进行评判。为 以后叙述方便，记i = l ，2 ，刀 ，f = 1 , 2 ，坍 。 定义2 2 1 “矩阵a = ( 口) 。称为正互反判断矩阵，若其元素满足 1 ) a v 0 2 ) a f t = 1 a 3 ) a u = 1 v i , j e ， 7 广西大学硕士掌位论文g a h p 中相容性问题与专孽：赋权方法的研究 记拧阶正互反判断矩阵的集合为m 。+ 。 定义2 2 2 “胛阶正互反判断矩阵a = ( ) 。称为是完全一致性判断矩阵，若其元素满 足 a i j2 a i k a k j v i ，j ，k i 定义2 2 3 叫设一= ( 叼) 。 ，口= 嘞) 肼瞄，口称为完全相容的，若对v ，e ， 均有勺= 。 定义2 2 4 设) 为第t 个专家的判断矩阵，w = ( ，w 2 ，) 7 为方案的群组综合排序 向量，称w ：l ! ll 为判断矩阵的综合特征矩阵。 l 。 定义2 2 5 设= ( 勺) 。，口= 呜) 。e ，= ( ，) ， = ( m 碡，w 硅，m k ) 1 分别为由特征根法得到的4 ，b 的归一化排序向量，称 叩) - c o s ( 懈) = 船 ( 2 2 1 ) 为互反判断矩阵彳，b 的相容度。 不难证明相容度具有下述性质： 1 ) 自反性；彳与4 完全相容，即c 彳) = 1 ； 2 ) 对称性：c ( 爿，曰) = c ( 占，a ) ； 3 ) 传递性：彳与b 完全相容，口与c 完全相容，则彳与c 完全相容。 定义2 2 6 设彳= ( a j ) h ”，口= ( ) 。6 ，若c ( 4 ，口) s j ，则称4 ，b 为相容性可接 受的，其中s j 为相容性指标的临界值。 随机生成判断矩阵，用m a t l a b 编程，经过实验发现，若临界值太大，则对矩阵要 求苛刻，若临界值太小，又起不到检验的作用。本文建议s ，取0 9 5 为宜。 定义2 2 7 判断矩阵4 ) 称为是与群组相容的，如果它与综合特征矩阵w 是相容的，即 有 c f 彳( ，w 1 s i 如果群组判断中每个判断矩阵4 ( v k e ) 都与w 是相容的，那么称此群组判断是相容 的，而相应的综合排序向量w 是可接受的。 由定义2 2 7 知，检验群组判断的相容性，只需要计算 c ( 爿( ，矿) = c o s ( 吸，形) ( v k e f ) ，即每个判断矩阵归一化的排序向量与综合排序向量 的夹角余弦。 与目前已有的相容性检验方法相比，本方法直接从判断矩阵的排序向量出发，避开 了如何从判断矩阵的元素出发衡量矩阵实际差异的问题，与判断矩阵的元素相比，决策 者更关心方案的排序。而且当矩阵的元素有差异时，方案的排序向量也可能相同。 2 2 2 算例分析 8 广西大学硕士掌位论文g a h p 中相客佳问题与专家赋权力法的研究 设某个决策问题有三个方案x 1 ，恐，而可供选择，两个专家在某一准则下对它们进行 4 = ：；：。乏； ，占= 。，1 ；。；3 ，； w a = ( o 5 7 1 ，0 2 8 6 ，0 1 4 3 ) 。，w b = ( o 6 9 2 ，0 2 3 1 ，0 0 7 7 ) 。 w = ( o 6 3 5 ，0 2 5 9 ，0 1 0 6 ) 7 f 12 4 5 5 9 9 1 = 10 4 0 8 1 2 “j 10 1 6 7 0 4 0 91 j c ( a ，矿) = c o s ( ，形) = 0 9 9 ，c ( 8 ，形) = c o s ( ，矿) = 0 9 9 2 3 一种聚类分析的专家赋权方法 已有的专家赋权方法，大都是根据判断矩阵的一致性进行赋权。但是这些方法存在 以下问题：一没有考虑到1 - - 9 标度下判断矩阵的一致性与人们思维判断的一致性的不 符“矧；二各个专家给出的判断矩阵均为完全一致时，各专家权重系数相同，不能区分 各个判断矩阵的质量。针对上述问题，本节从正互反判断矩阵元素的特点出发，考虑到 正互反判断矩阵元素的绝对差异和相对差异，根据矩阵的相容性指标建立相似关系矩 阵，然后利用模糊聚类分析的原理，对群组决策中的专家进行分类，再根据多数原则对 专家赋权。 2 3 1 群组决策中专家的聚类分析 对事物按一定要求进行分类的方法，叫做聚类分析汹1 。对专家进行分类之前，首先 必须根据专家给出的正互反判断矩阵的元素特点定义一种合理的相似性的测度，又因为 各个专家给出的判断矩阵的相似关系不是有无关系，而是关系深浅程度，从而是一种模 糊关系，故根据相似关系矩阵对专家进行模糊聚类分析。 在考虑两个正互反判断矩阵的相似性时应考虑以下事实：判断矩阵的元素是由比例 标度得到的，而且是正互反的，因此考虑判断矩阵的相似性时，不仅要考虑元素的绝对 差异而且要考虑元素的相对差异，例如尽管1 3 与1 9 的绝对差异比3 与5 的绝对差异 9 广西大掣顷士掌位论文g a 伊中相窖性问题与专家赋权方法的研究 要小，但针对同一个元素来说，后者的判断更相似。针对此问题，文献 3 、 7 给出了 衡量正互反判断矩阵的相容性指标。本节根据文献 7 给出的相容性指标建立相似关系 矩阵。 定义2 3 1 “1 设a = ( 叼) 。，口= 吻) 。为正互反判断矩阵，称c ( a ，b ) 为a ，b 的相容度， 舯c ( 4 研韪t = l j 圭= ，j 定义2 3 2 ”1 设一= ( ) 。，b = ( 包，) 。为正互反判断矩阵， s i ( x ，b ) = c ( 一，b ) n 2 为 彳，b 的相容性指标。 易证下列结论成立： 定理2 3 1 ms i ( x ，b ) = c ( 爿，b ) n 2 为正互反判断矩阵的相容性指标，则 1 ) 0 s 口( 4 ，b ) 1 ，田( 爿，功= 1 当且仅当a ，b 完全相容； 2 ) s i ( a ，爿) = 1 ，即彳与4 完全相容； 3 ) s t ( a ，b ) = s l ( 8 ，4 ) 。 设有脚位专家对行个决策方案进行评判，记e = 娲，岛，) 为专家决策群体。设第 i 位专家最给出的正互反判断矩阵为( 膏) = ( 搿k 。，v k 1 ，2 ，研 。 定义2 3 3 嘲称矩阵r = ( ) 。为相似关系矩阵，其中r n = s i ( a ( 七1 ，4 7 ) 。 由定理2 3 1 ，易证孟具有下述性质： 1 ) 0 s ，盯l ，v k ， 1 ，2 ，所 ； 2 ) 自反性：r 船= l ，v k l ，2 ，m ； 3 ) 对称性：= ，v _ j ， 1 ，2 ，m 。 由定理2 3 1 知r 为一相似关系矩阵，但足不具有传递性：即当2a ，z ( 0 s 名1 ) 时并不能保证2a ，这一点我们在后面的算例中可以看出，需将它改造成 f 等价矩阵。 定理2 3 2 “町m 阶f 相似矩阵r 的传递闭包面是等价矩阵，且i ：。 定理2 3 3 “”m 阶，相似矩阵足是自反矩阵，则对任意自然数p 研，都有页：胪。 由定理2 3 2 ，2 3 3 知，我们可以根据平方方法h 8 1 求出相似矩阵r 的传递闭包i 。 根据定义2 3 3 ，当判断矩阵n ，一( 7 的相容性指标饧越大时，说明专家最，岛在各 方面相似性越大。当相似性程度达到一定程度时，就可将这两个专家归为一类。根据这 一原理，可以通过以下步骤对m 个专家进行聚类分析： s t e p l ：根据判断矩阵( n ，一( o 的相容性指标s ( 爿( n ，彳( 7 ) ，求出相似关系矩阵 置= ( 嘞) 。，其中，盯= 脚( 4 n ，彳o ) ； s t e p 2 ：用平方方法求相似矩阵r 的传递闭包i ：胄专r 2 j ( r 2 ) 2 一_ 置妒：i ， 且2 2 研，故k l o g 肼； 1 0 广西大掌硕士掌位能”屯g a h p 中相容性问题与专寥权力r 法的研究 s t e p 3 ：由决策者选定阈值五( o 旯1 ) ，通过胄便可对专家群体e 进行聚类分析； s t e p 4 ：画出聚类图，专家可以根据聚类图决定类的个数和类。 由s t e p 2 可知，用平方方法至多需求【l o g ? 】+ 1 步，便可得到传递闭包，这罩【l o g 罗】 表示l o g 署的整数部分。例如册= 3 0 ，至多需平方5 次便可达到目的。当然，当m 较大 时，我们也可以不求r 的传递闭包r ，而直接根据r 利用编网法m 1 、最大树法对专家 群体e 进行聚类分析，由于篇幅有限，这里不再赘述。 2 3 2 专家权重系数的确定 通过上述的模糊聚类分析，可以很方便的将m 个专家分成，类“。) ，由于前面所用 的分类标准是专家给出的判断矩阵的相容性指标，即两个判断矩阵的贴近度，故处于同 一类的专家给出的判断矩阵是比较贴近的，因此，可认为属于同一类的专家具有相同的 权重；反之，属于不同类的专家就具有不同的权重。 对于不同的类别，包含专家较多的类中，其专家表达的评判信息代表了大多数专家 的意见。根据多数原则，类容量较大的类中的专家应赋予较大的权重；反之，类容量较 小的类中的专家应赋予较小的权重。 假设第k 位专家巨所在的类中包含( m ) 个专家，同时假设第k 位专家的权重 为吼( 芝嘎= 1 ) 。根据多数原则，第k 位专家的权重与该专家所在类中包含的专家个 数甲。成正比，即a k = 以l ，k = l ，2 ，m ，其中4 为比例系数。又因为呈q = l ，故 诉：盟：旦，t = l 扣，m ( 2 3 1 ) 毛。k 等h 由( 2 3 1 ) 式可以确定专家缸( k = l ，2 ，m ) 的权重系数。 根据2 2 节的夹角余弦法得到的相容性指标，也可以得到相似关系矩阵，类似可 以得到专家的权重系数，这里不再赘述。 2 3 3 算例分析 本文引用文 3 0 的算例，假设有4 位专家同时对4 个方案进行评判，给出的正互反判 断矩阵如下： 彳1 ) ： 17 541 “7 1 1 叫： ! 51l 1 3 l 1 423l j l 1 6 1 7 1 5卜 1486 、 l 4l22 l l 8i 211l 1 ，6 1 2 1l j l321 l ，3l1 2i 3 1 2212 l 3i 2l 广西大掣闫毗 掌位论文g a l l p 中相容性问题与r 专胃0 权力，法的研究 s t e p l ：根据相容性指标得到相似关系矩阵尺= 嘞) 4 x 4 = s t e p 2 ：由平方方法求的r 传递闭包页= r 4 ，由取小取大运算对r 进行合成： 萨：r 。r = l 0 7 7 6 o 6 1 8 0 5 5 1 0 7 7 6 l 0 7 9 7 0 5 5 1 凳：碚。露： 1 0 7 7 6 0 6 1 8 0 5 5 1 0 7 7 6 l 0 7 9 7 0 5 5 1 0 6 1 8 0 7 9 7 l 0 5 5 l o 5 5 l 0 5 5 1 0 5 5 l l 由定理2 3 2 知，胄= r 4 又r 4 = 丑2 ，故r 2 是等f 价矩阵，用它对专家聚类。 s t e p 3 ：由决策者选定阈值a ( o a 茎1 ) ，通过r 2 对专家聚类。 若选取0 a o 5 5 1 时，专家群体e 分为一类编，易，易，臣 。 若选取0 5 5 1 a 0 7 7 6 时，专家群体e 分为两类 互，易，乓 ， 且 。 若选取0 7 7 6 a 0 7 9 7 时，专家群体e 分为三类 互 ， 易，局) ， 五 。 若选取0 7 9 7 asl 时，专家群体e 分为四类 巨) ， 易) ， 易) ， e ) 。 s t e p 4 ：根据以上聚类结果，绘制聚类图如下： e 专京l 专絮2 专韵 专熟 o 葛l of f 6 0 7 9 7 鞠值 图1 专家聚类分析图 在文献 7 中，矩阵相容性指标的临界值为0 8 ，故根据聚类图对专家分类时，建议 丑取0 8 左右比较合适。本例中取a = 0 7 9 7 ，专家群体可分为三类： 互 ， 易，局 ， 臣 。 s t e p 5 ：由( 2 4 1 ) 式计算各位专家的权重，这里- - 1 ，= = 2 ，= l 。 故口l = ；! l = 1 6 ，同理，啦= 码= l 3 啦= 1 6 。 差。t 与文献 3 0 的结果比较发现，根据本节方法得到的聚类图与文献 3 0 的一致。 若采取2 2 节的相容性指标，类似可以对专家进行聚类。 根据( 2 2 1 ) 式可得到相似关系矩阵r = l 0 9 9 0 4 0 9 7 9 5 o 8 7 0 4 0 9 9 0 4 l 0 9 9 4 6 0 8 3 7 8 0 9 7 9 5 o 9 9 啤6 l o 8 1 9 5 0 8 7 0 4 0 8 3 7 8 o 8 1 9 5 l 熨m 5 5 l n n n 锄研。m n n nl 呈。研铷 n n n两体h l 7 6 5 n o o 鲐弱鲐 o o o 8 7 l矾为弱 o o o 广西大掣顷士学位论文g h q p 中相容佳问题与专家赋权力法的研究 由平方方法求r 传递闭包i = r 2 = l