（应用数学专业论文）3维anti+de+sitter空间中子流形的局部微分几何.pdf

摘要 众所周知，a n t id es i a e r 空间( 或，a d s 空间) 是具有负的常截面曲率的 l o r e n t z i a n 空间型，是理论物理学中一个很重要的研究对象，在相对论中，a d s 一 空间是e i n s t e i n 方程的真空解之一，且具有正的能量表示在物理学中有一个 猜想：a d s 一空间上的经典重力理论与这个空间理想边界上的共形场理论是等价 的e w i t t e n 称这个猜想为a d s c f t 对应( a n t id es i t t e rs p a c e c o n f o r m a lf i e l dt h e o r yc o r r e s p o n d e n c e ) 或a d s 一全息术原理( a d s h o l o g r a p h yp r i n c i p l e ) 这个对应为 研究量子重力和量子色动力提供了很好的研究思路，是理论物理中一个很重要的 概念性突破之一如果用数学的语言来解释a d s c f t 对应则为：a d s 空间中子 流形的微分几何性质与a d s 一空间中理想边界上的规范场论的几何性质是相对应 的因此对a d s 一空间中子流形的微分几何性质进行研究是很有意义的然而，目 前对a d s 一空间中浸入子流形的几何性质的研究还不多，尤其是从奇点理论的角 度近年来，应用奇点理论对各类空间型中子流形几何性质的研究得到了飞速发 展，特别是s i z u m i y a 教授和裴东河教授等做出了很多理想的结果实践证明， 无论从局部还是从整体的角度来看，奇点理论都是研究不同空间中浸入子流形 几何性质的一个强有力工具奇点与几何之间的自然联系反应了子流形与某些模 型( 即合适变换群作用下的不变量) 之间的切触关系本文则以奇点理论为工具 对3 维a d s 一空间中的子流形与某些模型曲面之间的切触关系进行了深入细致的 研究 第一章是引言部分我们介绍了奇点理论的发展史以及奇点理论在应用方 面的最新成果，同时还介绍了本文的基本框架 第二章介绍了指标为2 的半欧氏空间和切触几何的相关知识特别地，我们 证明了指标为2 的半欧氏空间中伪球间的l e g e n d r i a n 对偶定理( 定理2 2 1 和定 理2 2 2 ) ，这些定理是i z u m i y a 1 ，纠结果的推广利用这些定理我们可以对3 维 a n t id es i t t e r 空间中非退化曲面上的高斯映射的性态进行刻画 第三章构建了3 维a d s 一空间中类空曲面的基本框架在类空曲面上定义类 时a n t id es i t t e r 高斯像( 简记为，t a d s 一高斯像) 和类时a n t id es i t t e r 高度函数( 简 记为，a d s - 高度函数) ，并且研究这些映射奇点的几何意义作为l e g e n d r i a n 奇点 理论的应用，考虑类空曲面与模型曲面( 即，平坦a d s 一双曲面) 的切触问题 i 第四章从切触的观点考虑3 维a d s 空间中的类时曲面定义两个与类时曲 面相关的映射，分别称为a n t id es i d e rn u l l c o n e 高斯像( 简记为，a d s n u l l c o n e 高 斯像) 和a n t id es i a e r 环面高斯映射( 简记为，a d s 一环面高斯映射) 在类时曲面 上定义一个函数族，称之为a n t id es i a e rn u l l 高度函数把这个函数族作为基本 工具来研究a d s n u l l c o n e 高斯像和a d s 一环面高斯映射的奇点的几何意义我们 也考虑类时曲面与模型曲面( 即，a d s - 极限球) 的切触关系尽管研究方法是类 似的，但是在类时曲面情形可以得到很多新的几何信息 第五章研究3 维a d s 空间中退化曲面a n t id es i t t e rn u l l 曲面( 简记为，a d s n u l l 曲面) 的几何性质这个曲面与3 维a d s 空间中的类空曲线相关联我们在 类空曲线上定义一个映射并称之为环面高斯像；又定义两个函数族，分别称为类 空曲线上的环面高度函数和a d s 一距离平方函数作为函数奇点理论的应用，利 用这两个函数族来研究a d s n u l l 曲面和环面高斯像的奇点 第六章主要研究3 维a d s - 空间中的类时曲线但是，正如我们所期待的，此 时的情形与类空曲线的情形相比较是很特别的我们可以构造一个与3 维a d s - 空间中的类时曲线相关联的3 维n u l l c o n e 空间中的类空曲面我们利用函数通用 开折理论研究这个类空曲面的奇点的几何意义 关键词：3 维a n t id es i t t e r 空间；类空曲面；类时曲面；a d s n u l l 曲面；类空 曲线；类时曲线；l e g e n d r i a n 对偶；l e g e n d d a n 奇点；l a g r a n g i a n 奇点；通用开折 a b s t r a c t a sb e e nw e l lk n o w n 也el o r e n t z i a ns p a c ef o r mw i t h 也ec o n s t a n tn e g a t i v ec u r - v a t u r ei sc a l l e da n t id es i r e rs p a c e ( o r ，a d s s p a c e ) t h i ss p a c ei sav e r yi m p o r t a n t s u b j e c ti np h y s i c s i ti sa l s oo n eo f t h ev a c u u ms o l u t i o n so f t h e e i n s t e i ne q u a t i o ni nt h e t h e o r yo fr e l a t i v i t y t h e r ei sac o n j e c t u r ei np h y s i c st h a tt h ec l a s s i c a lg r a v i t a t i o n t h e - o r yo na d s s p a c ei se q u i v a l e n tt ot h ec o n f o r m a lf i e l dt h e o r yo nt h ei d e a lb o u n d a r yo f a d s s p a c e i ti sc a l l e dt h ea d s c f t - c o r r e s p o n d e n c eo rt h eh o l o g r a p h i cp r i n c i p l eb y e w i t t e n i nm a t h e m a t i c st h i sc o n j e c t u r ei st h a tt h ee x t r i n s i cg e o m e t r i cp r o p e r t i e so n s u b m a n i f o l d si na d s - s p a c eh a v ec o r r e s p o n d i n gg a u g et h e o r e t i cg e o m e t r i cp r o p e r t i e s i ni t si d e a lb o u n d a r y t h e r e f o r e ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt oi n v e s t i g a t et h eg e o m e t r i cp r o p 。 e r t i e so fs u b m a n i f o l d si m m e r s e di na d s s p a c e h o w e v e r , t h e r ea r en o tm a n yr e s u l t s o ns u b m a n i f o l d si na d s s p a c e ，i np a r t i c u l a rf r o mt h ev i e wp o i n to fs i n g u l a r i t yt h e o r y s i n g u l a r i t yt h e o r yt o o l sh a v ep r o v e nt ob eu s e f u l i nt h ed e s c r i p t i o no fg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fs u b m a n i f o l d si m m e r s e di nd i f f e r e n ta m b i e n ts p a c e s ，f r o mb o t ht h el o c a la n d g l o b a lv i e w p o i n t r e c e n t l y , t h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so f s u b m a n i f o l d si m m e r s e di nd i f - f e r e n ts p a c ef o r m sh a db e e nw e l ld e v e l o p e d e s p e c i a l l y , p r o f e s s o r ss i z u m i y aa n dd p e ie ta 1 h a v eg o tm a n ye x c e l l e n tr e s u l t s t h en a t u r a lc o n n e c t i o nb e t w e e ng e o m e t r y a n ds i n g u l a r i t i e si st h ec o n t a c t so ft h es u b m a n i f o l d sw i t ht h em o d e l s ( i n v a r i a n tu n d e r t h ea c t i o no fas u i t a b l et r a n s f o r m a t i o ng r o u p ) o ft h ea m b i e n ts p a c e i nt h i sp a p e r , w e i n v e s t i g a t et h el o c a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d si na n t id es i t t e r3 - s p a c ea s a p p l i c a t i o n so fs i n g u l a r i t yt h e o r y t h ei n t r o d u c t i o ni sl o c a t e di nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fs i n g u l a r i t y t h e o r ya n dt h en e w r e s u l t so ft h ea p p l i c a t i o n so fi t a l s ow ei n t r o d u c et h eb a s i cf r a m e o ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w es h o wt h eb a s i cn o t i o n so ns e m i e u c l i d e a ns p a c ew i t hi n d e x 2a n dc o n t a c tg e o m e t r y e s p e c i a l l yw eh a v ep r o v e dt h el e g e n d r i a nd u a l i t yt h e o r e m ( t h e o r e m2 2 1a n dt h e o r e m2 2 2 ) b e t w e e np s e u d o s p h e r e si ns e m i e u c l i d e a ns p a c e w i t hi n d e x2 w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so ft h ep r e v i o u sr e s u l t so fi z u m i y a t 1 剧 i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s t r u c tab a s i cf r a m e w o r kf o rt h es t u d yo fs p a c e l i k es i l l - f a c e si na n t id es i t t e r3 - s p a c e w ed e f i n eat i m e l i k ea n t id es i t t e rg a u s si m a g e ( b r i e f l y , t a d s g a u s si m a g e ) a n dat i m e l i k ea n t id es i t t e rh e i g h tf u n c t i o n ( b r i e f l y , a d s - h e i g h t f u n c t i o n ) o nt h es p a c e l i k es u r f a c ea n di n v e s t i g a t et h eg e o m e t r i cm e a n i n g s o fs i n g u l a r - i i i i t i e so ft h e s em a p p i n g s w ec o n s i d e rt h ec o n t a c to ft h es p a c e l i k es u r f a c e sw i t hm o d e l s ( s o - - c a l l e da d s - f l a t - h y p e r b o l o i d s ) a sa na p p l i c a t i o n o fl e g e n d r i a ns i n g u l a r i t yt h e o r y i nc h a p t e rf o u r , w ei n v e s t i g a t et i m e l i k es u r f a c e si na n t id es i a e r3 - s p a c ef r o m t h ev i e w p o i n to fc o n t a c t w ed e f i n et w om a p p i n g sa s s o c i a t e dt oat i m e l i k es u r f a c e w h i c ha r ec a l l e da na n t id es i r e rn u l l c o n eg a u s si m a g e ( b r i e f l y , a d s n u l l c o n eg a u s s i m a g e ) a n da l la n t id es i t t e rt o m sg a u s sm a p ( b r i e f l y ，a d s - t o m sg a u s sm a p ) w e a l s od e f i n eaf a m i l yo ff u n c t i o n sn a m e da na n t id es i t t e rn u l lh e i g h tf u n c t i o no nt h e t i m e l i k es u r f a c e w eu s et h i sf a m i l yo ff u n c t i o n sa sab a s i ct o o lt oi n v e s t i g a t et h e g e o m e t r i cm e a n i n g so fs i n g u l a r i t i e so ft h ea d s n u l l c o n eg a u s si m a g ea n dt h ea d s - t o m sg a u s sm a p a l s ow ec o n s i d e rt h ec o n t a c to ft h et i m e l i k es u r f a c e sw i t hm o d e l s ( s o c a l l e da d s h o r o s p h e r e s ) i nc h a p t e rf i v e ，w es t u d yt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fd e g e n e r a t es u r f a c e s ，w h i c h a r ec a l l e dt h ea d s n u l ls u r f a c e si na n t id es i t t e r3 - s p a c e t h e s es u r f a c e sa r ea s s o c i a t e d t os p a c e l i k ec u r v e si na n t id es i t t e r3 - s p a c e w ed e f i n eam a pw h i c hi sc a l l e dat o m s g a u s si m a g e w ea l s od e f i n et w of a m i l i e so ff u n c t i o n s ，n a m e dat o m sh e i g h tf u n c t i o n a n da na d s d i s t a n c e - - s q u a r e df u n c t i o nr e s p e c t i v e l y , a n du s et h e mt oi n v e s t i g a t et h e s i n g u l a r i t i e so ft h ea d s n u l ls u r f a c e sa n dt h et o m sg a u s si m a g e sa sa p p l i c a t i o n so f s i n g u l a r i t yt h e o r yo ff u n c t i o n s i nc h a p t e rs i x ，w ec o n s i d e rt i m e l i k ec u r v e si na n t id es i t t e r3 - s p a c eb ye x a c t l y t h es a n q ea r g u m e n t sa st h o s eo fc h a p t e rf i v e h o w e v e r , a si tw a st ob ee x p e c t e d ，t h e s i t u a t i o np r e s e n t sc e r t a i np e c u l i a r i t i e sw h e nc o m p a r e dw i t ht h es p a c e l i k ec u r v ec a s e i nt h i sc a s e ，w ec a nc o n s t r u c tas p a c e l i k es u r f a c ei nn u l l c o n e3 - s p a c ea s s o c i a t e dt oa t i m e l i k ec u r v ei na n t id es i t t e r3 - s p a c e w es t u d yt h eg e o m e t r i cm e a n i n g so fs i n g u l a r - i t i e so ft h i ss p a c e l i k es u r f a c ea sa na p p l i c a t i o no fv e r s a lu n f o l d i n gt h e o r yo ff u n c t i o n s k e yw o r d s ：a n t id es i t t e r3 - s p a c e ；s p a c e l i k es u r f a c e ；t i m e l i k es u r f a c e ；a d s n u l l s u r f a c e ；s p a c e l i k ec u r v e ；t i m e l i k ec u r v e ；l e g e n d r i a nd u a l i t y ；l e g e n d r i a ns i n g u l a r i t y ； l a g r a n g i a ns i n g u l a r i t y ；v e r s a lu n f o l d i n g i v 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名篮扭 日期：抄卵4 - 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东：i l n 范人学有关保留、使用学位论文的规定，即：东i l ! j o 范 大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被杏阅和 借阅。本人授权东j 匕师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以 电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：幽 日 期：渔盟生 学位论文 工作单位 通讯地址 指导教师签名： 日期： 电话：星聊励夕 邮编：丝箜兰丝 东北师范大学博士学位论文 第一章引言 本文主要应用光滑映射的奇点理论( 简称奇点理论) 来研究3 维a n t id es i t t e r 空间中曲线和曲面的局部微分几何 奇点理论是函数极值理论的推广实际上，奇点对于科学家和数学家而言并 不陌生，并且他们早已注意到奇点所具有特殊的性质但是，始终没有人对奇点 的特性进行系统地研究直到2 0 世纪5 0 年代，美国数学家h w h i t n e y 关于平 面到平面的映射的奇点一文的发表i j j ，才标志着奇点理论作为一个新的数学分 支登上了数学的舞台；1 9 6 0 年，法国数学家r t h o m 更进一步发展了微积分的数 学思想和方法，从而把奇点理论纳入到一个更为概括的理论框架中，自此奇点理 论得到了蓬勃的发展自从奇点理论诞生以来，经过几代数学家几十年的不懈努 力，尤其是j m a t h e r ，v a m o l d 等人，进一步完善了奇点理论的基础，并将这一 理论应用于诸多的领域，如微分方程、振荡积分、动力系统、分歧理论、突变理 论、几何光学与波动光学等h 可喜的是，我国的数学工作者对于奇点理论的发 展也做出了重大的贡献例如，孙伟志，李兵等关于奇点理论在物理光学、液晶 显示以及偏微分方程等方面的应用研究【) 卜1 1 3 j ；裴东河等利用奇点理论的方法 对微分几何进行的一系列研究【h 卜【心j 李养成，邹建成等人关于奇点理论在分 歧理论中的应用l 拶卜1 2 3 j ；姜广峰，余建明等人对超平面构形的奇点的研究等等 1 2 4 2 7 1 经典奇点理论主要是研究光滑映射在各种等价关系下的分类问题在奇点理 论中一种基本的想法是“一般”映射芽的局部拓扑性质由它们的t a y l o r 级数中的 前有限个项所决定，也就是有限决定性而研究光滑映射在什么条件下是有限决 定的关系到奇点理论中最重要的局部特性，即稳定性因此，有限决定性一直都 是奇点理论中一个非常有意义而且也是非常活跃的研究课题许多数学家都在不 同的等价关系下对它进行了研究，其中最具研究意义的等价关系是通过下列五 类局部微分同胚群来定义它们是右等价群咒，左等价群，左右等价群a 以 及c 等价群和切触等价群k 其中m a t h e r 在他的系列文章瞄舀卜1 3 3 j 中分别就这 五类群给出了光滑映射芽有限决定的充分必要条件，刻画了有限决定性的特征； 东北师范大学博士学位论文 阐述了无穷小稳定性与稳定性之间的关系并利用横截性刻画了稳定映射芽的特 征a r n o l d 也在他的经典著作l 蚪j 中对无穷小稳定与稳定性的关系给予了详细 的论述后来，b o a r d s e n 等人又研究了映射芽的拓扑有限决定性【j 进入2 0 世 纪8 0 年代，又有许多数学家从代数几何的角度对映射芽的有限决定性进行了研 究，取得了一系列的成果，其中比较有代表性的成果有i j o j - i 鲻j 等h w h i t n e y 指出：曲面的稳定映射的局部奇点只有折点( f o l d ) 和尖点( c u s p ) 这两类奇点是 稳定的，即在微小的扰动下不会消失也不会改变类型除了折点和尖点这两种 简单的奇点外，人们还常常遇到更为复杂的奇点类型：燕尾( s w a l l o w t a i l ) 、蝴蝶 ( b u t t e r f l y ) 、椭圆型脐点( e l l i p t i cu m b i l i c ) 、抛物型脐点( p a r a b o l i cu m b i l i c ) 、双曲型 脐点( h y p e r b o l i cu m b i l i c ) 等这些奇点正是著名的t h o m 分类定理中的七种突变 模型t h o m 分类定理是奇点理论在2 0 世纪7 0 年代最重要的成果之一l 圳j 从牛顿时代起，欧氏空间中曲线，曲线族和曲面的微分几何就已经令许多数 学家和数学爱好者所着迷研究这些几何对象的一个强有力的工具就是微积分， 而当今的奇点理论正是微积分的一个直接的且内容丰富的继承者因此，利用奇 点理论对这些几何对象进行研究就是很自然的事情了事实证明，奇点理论是研 究不同空间中浸入子流形的几何性质的行之有效的工具之一，无论是从局部的角 度还是整体的角度，奇点理论都显示出非凡的威力【1 6 】i 【1 7 】，【4 0 1 一【5 4 1 在微分几何 的局部理论中，主要以3 维欧氏空间中的光滑曲线和曲面为研究对象，即曲线论 和曲面论而架起微分几何与奇点理论之间桥梁的便是高斯映射g a u s s 在1 8 2 7 年发表的关于曲面的一般研究p ) j 中介绍了空间中可定向曲面的球面像一高 斯映射的概念其定义为：在曲面的各点做单位法向量，其方向与曲面向外的方 向一致，然后将这个向量平移到坐标原点，则它的端点就决定了单位球面上的一 点把如此建立的曲面上的点和单位球面上的点的对应称为高斯映射高斯映射 在曲面上一点p 处的导数定义了曲面在该点处的切平面之间的线性变换，称这 个线性变换为w e i n g a r t e n 变换( 或形状算子) 称w e i n g a r t e n 变换的行列式为曲面 在点p 处的高斯曲率，记为k ( p ) 如果r ( p ) 0 ，则高斯映射把曲面上包围点 p 的一条小的简单闭曲线映为单位球面上包围p 的像点的一条小的简单闭曲线 当r ( p ) 0 时，这两条闭曲线的定向相同；当k ( p ) 0 ，则称向量x 是类空向量；类似 的，如果( x ，x ) l ， 外2 r ， 一 x 吃量期 中任 其对 东北师范大学博士学位论文 2 2l e g e n d r i a n 对偶定理 首先介绍切触流形和l e g e n d r i a n 子流形的一些基本概念和性质 设是2 忍+ 1 维的光滑流形，k 是作用在上的切超平面场局部上，这样 的一个超平面场是由一个1 一形式o c 的零场所定义的如果在的任一点处有 0 ca ( d 0 ) n 0 ，则称切超平面场k 是非退化的如果k 是一个非退化的切超平面 场，则称( ，k ) 是一个切触流形此时，称k 为切触结构，0 【为切触形式 设巾：n 一，是两个切触流形( ，k ) 和( ，) 之间的微分同胚，如果巾满 足却( k ) = k r ，则称巾是切触微分同胚此时我们也称切触流形( ，k ) 和( ，) 是切触微分同胚的 设l 是2 ，z + 1 维切触流形( ，k ) 的一个子流形，f ：l n 是嵌入映射，如果 d i m l = n 且对任意x l ，满足条件d i g ( 瓦l ) cn ，则称l 是l e g e n d r i a n 子流形 设7 c ：e m 是一个光滑的纤维丛，如果它的全空间e 具有切触结构并且 它的纤维是l e g e n d r i a n 子流形，则称这个光滑的纤维丛是l e g e n r i a n 纤维丛设 7 c ：e 叫m 是l e g e n d r i a n 纤维丛，l e 是l e g e n d r i a n 子流形，f ：l 叫e 是嵌入 映射，我们称7 c o f ：l 叫m 为l e g e n d r i a n 映射同时我们也称l e g e n d r i a n 映射 7 1 ；oi 的像为嵌入映射f 的波前集，记为w ( l ) 众所周知，对任意的p e ，在p 的 附近存在一个局部坐标系统( x i ，p 1 ，砌，z ) ，使得 r e ( x 1 ，渤，p l ，p m ，z ) = ( x l ，x m ，z ) 此日寸切触结构由1 一形式a = d z zp i d x f 给出 3 4 1 i - - - l 下面我们将给出本章的主要结果首先考虑如下的二重纤维丛： ( 1 ) ( a ) h r 跫) a 1 = ( v ，w ) 研罡l ( v ，w ) = 0 ) ， ( b ) 7 1 ；1 1 ：a 1 一日r ，i ；1 2 ：a l 叫跫， ( c ) 0 1 1 = ( d v ，w ) i a l ，0 1 2 = ( v ，d w ) i a l ( 2 ) ( a ) 研a n3a 2 = ( v ，w ) t - i , a ni ( v ，w ) = 一1 ) ， ( b ) 兀2 1 ：a 2 叫日：l ，7 1 ；2 2 ：a 2 叫， ( c ) 0 2 1 = ( d v ，w ) l a 2 ，0 2 2 = ( v ，d w ) i a 2 9 东北师范大学博士学位论文 ( 3 ) ( a ) a n 罡da 3 = ( v ，w ) a n 蹬i ( v ，w ) = 1 ) ， ( b ) 9 3 1 ：a 3 一a n ，i ；3 2 ：a 3 叫霹， ( c ) 0 3 1 = ( d v ，w ) i a 3 ，0 3 2 = ( v ，d w ) i a 3 ( 4 ) ( a ) a n a nda 4 = ( v ，w ) a n a 厅i ( v ，w ) = - 2 ) ， ( b ) 兀4 1 ：a 4 一a n ，i ；4 2 ：a 4 叫a 珂， ( c ) 0 4 1 = ( d v ，w ) i a 4 ，0 4 2 = ( v ，d w ) l 4 其中， 而l ( v ，w ) = v ，7 c f 2 ( v ，w ) = w ，i = 1 ，2 ，3 ，4 而 甩+ 1 ( d v ，w ) = - w l d v l 一耽d v 2 + w i d v i ， i = 3 n + l ( v ，d w ) = - - v ! d w l - v 2 d w 2 + v i d w i i - - 3 是定义在乘积空间r 尹1 r 尹1 上的l 一形式由于( v ，w ) i f = 常数，因此( d v ，w ) + ( v ，d w ) = 0 ，即( d v ，w ) = o 仁专( v ，d w ) = 0 这就说明。五1 ( o ) 和。云1 ( o ) 在a i 上定 义相同的切超平面场，记为k i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 本章的主要结果是 定理2 2 1 记号如上所示，则每个( f ，垃) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 都是一个切触流形所有 的n i j ( j = 1 ，2 ) 均是l e g e n d r i a n 纤维丛此外，这些切触流形彼此间是切触微分同 胚的 证明这个定理之前，我们首先介绍流形上射影余切丛的典型切触结构的相关 知识 设7 c ：p t 堆( m ) _ 朋是n 维流形肘上的射影余切丛我们可以将这个纤维丛 看成是空间p 丁+ ( m ) 上具有典型切触结构k 的l e g e n d r i a n 纤维丛现在考虑切丛 映射百：t p t + ( m ) _ p 丁+ ( m ) 对任意x t p t 木( m ) ，存在一个元素0 c t + ( m ) 使 得，c ( x ) = e 1 对某个元素v 瓦( m ) ，0 c ( y ) = 0 不依赖于 0 【1 的代表元的选取因 此我们可以在空间p 丁掌( m ) 上定义典型的切触结构如下： k = _ x t p t + ( m ) l 百( x ) ( d 7 c ( x ) ) = o ) ， 10 东北师范大学博士学位论文 其中，d 7 c ：t p t 车( m ) _ t ( m ) 是7 c 的微分映射对流形肘上任意点的一个坐标 邻域( u ，( x l ，) ) ，有平凡化p 丁事( u ) 竺uxp ( 瞅- 1 ) 木我们称( l ，一，勘) ，晖1 ： ：岛】) 是尸丁+ ( u ) 的齐次坐标，其中晖1 ：岛】是对偶射影空间p ( r n - 1 ) 掌的齐 次坐标显然x k ( x ，吲) 当且仅当x i n = 1i l i 号i = 0 ，其中d x 僻) = x i n l 胁击这表明在 仿射坐标域= 厶，罔) i 毛0 ) cp t 术( u ) 上的切触形式为仅= 冬l ( 芎f 毛_ ) 幽 定理2 2 1 的证明： 根据定义，显然每个f ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 都是乘积空间峭+ 1xr 矿1 的光滑子流 形，每个死f ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ；j = 1 ，2 ) 都是光滑纤维丛而而，的每个纤维是匠( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的一个可积子流形 首先，我们证明( 1 ，k i ) 是一个切触流形对任意的v = ( v l ，v n + 1 ) 日f ，有 圣l 停0 因此( v l ，v 2 ) ( o ，o ) 考虑坐标域时= v = ( v l ，v n + 1 ) 研i r l o ) ，则在这个坐标域上v l = 、一嵋+ 岩哼+ 1 因此，可以将( v 2 ，r n + 1 ) 看成 是时上的点的局部坐标 对任意的w = ( w i ，w n + 1 ) 跫，因为岩w ；0 ，因此( w 3 ，w n + 1 ) ( 0 ，o ) 考虑坐标域时= w 罡iw 3 0 ) 则时x 时是h 7x 跫上的一个 局部坐标域定义一个映射 a ln ( 时时) 一p t + 研i 时 垂( v ，w ) = ( v ， ( w l v 2 一w 2 v 1 ) ：( - - w l v 3 + w 3 v 1 ) ：( 一w 1 + 1 - + w n + l v l ) ) 设( v 2 ，v n + 1 ，晖2 ：+ l 】) 是空间p t 4 h f t v l + 三v 1 + xp ( r n 一1 ) + 的齐次坐标则 在p 丁+ 研i 时x 上有典型的切触形式i f , = 崔( 毛白) d v f ，其中哟= 罔l 白 o ) 进而有 扩0 ： 圭! ! w j v l w l 印 土v l v l w l 巧 其中士依赖于一1 ( 时) 中的歹 ( - 蚤2w 加r + n 争+ l 砒 ( d v ，w ) i a l = 由于 土v l w j v l w i v j n + l ln ( y ，w 矿) = u 一1 ( y ，) ， j = 2 11 东北师范大学博士学位论文 因此0 1 l 是ln ( 时w 尹) 上的一个切触形式且使得是切触态射我们可以进 行相似的计算，证明在其它的局部坐标域上均有该结论成立因此( a l ，e - 1 l ( o ) ) 是 切触流形 对于其它的a i ( i = 2 ，3 ，4 ) ，定义如下的光滑映射q t t l i ：l 一赴 显然上述映射的逆映射为： 甲1 2 ( v ，w ) = ( v ，v + w ) ， v p l 3 ( v ，w ) = ( v w ，一w ) ， 甲1 4 ( v ，w ) = ( v - - w ，v + w ) 甲2 1 ( v ，w ) ：( v ，w v ) ， t i t 3 1 ( v ，w ) = ( v - - w ，一w ) w ，= ( 半，w - v ) 因此，甲“是微分同胚此外还有 w 2 0 2 1 = ( d v ，v + w ) i a l = ( d v ，v ) l l + ( d v ，w ) l a l = ( d v ，w ) l a i = 0 1 1 这表明( 2 ，恐) 是切触流形且使得t i - q 2 是切触微分同胚对a i ( 江3 ，4 ) 有相似的 讨论，因此( a i ，k i ) ( i = 3 ，4 ) 是切触流形且分别使得甲l f 是切触微分同胚 口 我们还可以对其它对( f ，j ) 定义如下的切触微分同胚、王，j j ：a i 一： i 2 j 2 3 ( v ，w ) = ( 2 v - - w ，v w ) ， 甲3 2 ( v ，w ) = ( v w ，v 一2 w ) ， 甲2 4 ( v ，w ) = ( 2 v w ，w ) ， t i t 4 2 ( v ，w ) = ( 丁v + w ，w ) ， t 1 1 3 4 ( v ，w ) = ( v ，v 一2 w ) ， 凯3 ( v ，w ) = ( v ，芋) 12 东北师范大学博士学位论文 利用下面的交换图来表示l e g e n d f i a n 对偶定理： 研跫 u n 日：l a n t l j 3 2 3 n a n 遂 图2 2 1 噬中伪球间的l e g e n d r i a n 对偶 我们还可以考虑另外两个二重纤维丛： ( 5 ) ( a ) 罡遂) a 5 = ( v ，w ) 逆跫i ( v ，w ) = 0 ) ， ( b ) 9 5 1 ：5 叫遂，7 5 2 ：a 5 一跫， ( c ) 0 5 1 = ( d v ，w ) l a 5 ，0 5 2 = ( v ，d w ) i a 5 ( 6 ) ( a ) 日i l 日i i ) 6 = ( v ，w ) 日f 日 i ( v ，w ) = 0 ) ， c o ) 9 6 1 ：a 6 叫研，兀6 2 ：a 6 一研， ( c ) 0 6 1 = ( d v ，w ) l a 6 ，0 6 2 = ( v ，d w ) i a 6 1 3 东北师范大学博士学位论文 类似地，有下面的对偶定理 定理2 2 2 每个( a ，跹) ( f = 5 ，6 ) 都是切触流形，所有的死，( ，= 1 ，2 ) 都是l e g e n d n a n 纤维丛 定理2 2 2 的证明与定理2 2 1 的证明完全类似同时我们还可以证明( 5 ，坞) 和( 6 ，) 分别局部微分同胚于射影余切丛兀：p t 木翼一罡和7 c ：p t 4 研一研 但是这两个切触流形( 令，巧) ( j = 5 ，6 ) 与定理2 2 1 中的切触流形( 氆，跹) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 并不是切触微分同胚的因此我们不能把这两个切触流形添加到l e g e n - d n a n 对偶图2 2 1 中由于品是欧氏空间r 矿1 中的单位球，因此在这种情形下 ( 5 ，飓) 就是众所周知的典型球对偶而在瑶瑶上均有6 = 0 1 4 东北师范