（基础数学专业论文）量子代数uq（f（kk））的表示及其伴随作用.pdf

摘要 本文假定基础域南为复数域c ，n 为非负整数集，z + 为正整数集，0 q 后不 足单位根在【5 】中量子代数嵋( ，( k ) ) 的基础上我们构建了代数( j r ( ，露) ) ，它足由元 ，f ，k 生成的结合代数，且满足下面关系， kr = r k = j 、 j k = k ：k j = k ， k e = q 2 e k ，e e = q - 2 e r ， kf = ( 12fl o ) ，定义v 是由 v i l i o ) 张 成的无限维向量空间，则在y 中显然有： r v p = x q 2 p v p ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) e = 昔盟等竽 亿鹕， f 坳一1 = 纠坳( 2 1 4 ) 引理2 1 2 上面所定义的向量空间y 是一个( ，( ，露) ) 一模，由权为a 的最高权向 量生成 证明：要证向量空间y 是一个( 厂( k ，露) ) 一模需证对任意z ，y ( 厂( k ，霞) ) ， v v 有( x y ) ( v ) = z ( 秒u ) ，这只需对( 厂( k ，露) ) 的生成元及关系证明即可，这里只对 【e ，f 】吻= e ( f v p ) 一f ( e ) 进行证明，其余易证 1s e ，f 】= 三三竽坳= q 堑兰铲= ( q m ) - 2 , 矿x m ：_ 孑( 丁q m 一) 2 p x m 铷 e ( ，。吻) 一，( 占坳) = e ( 防+ 1 v p + 1 ) 一f - i e 驯- 旦( q m ) - ( p - d 口) t m g - 一( q m ) ( p - 1 ) 天mv p 一1 = 囟+ 1 卑l p 掣tb j一( q m ) - p g a m 口- - 一( ，q m ) p ) t ma v p , 一上i v k 鲨笠二等等卑业嘲铷 = 憋芝地堂此型鼍挲q m - - 掣q - 桀q - - 茕q - 1 坐，监竺竺剑坳 (“) () 。p = q - 2 m p ( q m _ ，q - m ) ，a m _ q 2 m ，p ( q m ，_ q - m ) x m u p 一 、111 ， = 倒专斋掣鲨坳 = e ，f v v ， 故y 为u q ( f ( k ，詹) ) - 模又由v o = u ，= 赤f p up o ) 可知，y 是由v o 生成的 ( ，( k ，露) ) 一模 引理2 1 3 设y 为u q ( ，( k ，霞) ) 模，记v a = v v i k v = a ) 则有 e v ac v q 2 、， f v a v q 一2 、 证明：这里只对第一个式子进行证明，第二个同理易证 对任意u v a ，有k ( e v ) = q 2 e ( k v ) = q 2 a ( e v ) ，故e v v q 2 、，因此e y a y 口2 、 引理2 1 4 任意非零有限维可积( ，( k ，露) ) 一模y 均包含一最高权向量，并且由 e ，f 所诱导的y 上的自同态是幂零的 证明：由y 是有限维的，k 是特征为0 的闭代数域知，存在非零向量u v 与标量 入k 使得k u = 入 若e u = 0 则u 是y 中最高权向量 若e w 0 则考虑向量序列( 刀n u l 几) ： a ) 若a 0 ，由e y a y 口2 a 知k ( e n u ) = q 2 n a ( 伊u ) ，因此 e n u ) 是具有不同特征 值的特征向量列由y 是有限维的知，存在佗使得e n u 0 而e 叶1 u = 0 ，因此e n u 为 最高权向量 b ) 若a = 0 ，由v 是可积( ，( k ，霞) ) 一模知存在礼使得伊u 0 而伊+ 1 u = 0 ，即 e n u 为最高权向量 下证e ，f 作用到y 上是幂零的 令 钉l ， 为y 在c 上的基，由v 是可积( ，( k ，霞) ) 一模知，存在r 1 ，r n 使得e n t v i 0 而e r i + t v i = 0 ，令r = m a x r l ，r n ，则对任意i 有e r + l 仇= 0 因此由 e 所诱导的y 上的自同态是幂零的f 是幂零的同理可证 16 定理2 1 5 ( a ) 令y 是由权为a 0 的最高权向量v 生成的有限维( - 厂( k ，k ) ) 一模则： ( 1 ) 标量a ：e q n ，g = 士1 ，佗= d i m ( v ) 一1 n ) ( 2 ) 令v p = 赤p u ，当p n 时v p = 0 ，且集v o ，) 是v 的基， ( 3 ) k 作用到y 上是可对角化的，具有n + 1 个不同的特征值 g n ，e q n 一2 ，e q n + 2 ，e q n ) ， ( 4 ) y 中任意其它最高权向量都是v 与标量乘积的形式，且权为a ， ( 5 ) v 是单模 ( b ) 当a 0 时，任意有限维单( 厂( k ，露) ) 一模均可由最高权向量生成，且由具有相 同权的最高权向量生成的两个有限维( 厂( k ，露) ) 一模同构 证明：( a ) 由k = a g 一2 p 知，当a 0 时 坳) p o 是k 的具有不同特征值的特征 向量序列由y 是有限维的知，存在几n 使得v n 0 而v n + l = 0 由f = 防+ 1 坳+ 1 知v n + 2 = 南f + 1 = 南f ( o ) = 0 因此v m = 0 ，vm 佗 由( 2 1 3 ) 式知： 。= ( 昔盟艺等学鲨) - 1 e v n 舢 所以0 ，vp 礼 由( 2 1 3 ) 式知； 。= e v n + l - - - 锴盟竽 所以( 口m ) 一n a m = ( q m ) n 入m 由引理2 1 1 知当a 0 时天= 入_ ，所以a 2 m = ( q m ) 2 n = q 2 僦，故a = 士矿= e q n ( e = 土1 ) 由v o ，是具有不同特征值的特征向量，因此线性无关，由v p = 赤p u 及关系 式( 2 1 1 2 1 4 ) 知y 中任意元均可由v o ，秽n ) 线性表示，因此v o ，) 是基， 且n = d i m ( v ) 一1 ( 3 ) 由 吻) 甚。是k 的具有不同特征值的特征向量列，因此k 作用到v 上是可对角化 的又由k 坳= 加一2 p = e q n 一2 p 唧 n + 1 个不同特征值为 e g n ，e q n ，e q n + 2 ，e q 一礼) ( 4 ) 令v 为另一最高权向量，因此它是k 的特征向量，故v 是标量与某个v i 的乘 积，即刍i 使得v 7 = l v t ，于是有0 = e v = e l y t = 1 e v t ，即e v i = 0 由上面的证明过程知 只有i = 0 时e 仇= 0 因此v 7 是标量与u 的乘积，又由k 钉7 = k l v = f k u = 1 ) w = a v 可得v 的权为a ( 5 ) 令v 0 为( 厂( k ，露) ) 模y 的子模，v 为y 的最高权向量，则v 同时也是 y 的最高权向量由( 4 ) 知v 是标量与v 的乘积的形式，因此v v 又由v 是y 的生成 元知y 冬y ，故v = v 即证y 是单模 ( b ) 令v 为y 的最高权向量，由于y 是单模，故由v 生成的子模必与y 相等，因此 矿由最高权向量生成若k 分别由具有相同权的两个最高权向量v ，u 生成，则线性 映射f ：v _ y 是( ，( k ，k ) ) - 模同构 仇hu ： 注：1 。由定理2 1 5 知公式( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 可写成( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 7 k v p2e q 1 - 2 p v p 露= e q n + 2 p 坳 e 坳= 昔( q m ) - ( v - 1 ) ( e q 了n ) m 孑- ( q _ m ) ( v 一- 1 ) ( e q - n ) m 别g g 一上 。 一 纠me q m m - p + 1 ) 一e q m ( 一m p + 1 ) 纠 q q - 1 = 昔 n - p + 1 h 吨 f v p 一1 = 捌咋 因此当a 0 时找到了所有有限维单( 厂( k ，霞) ) 一模 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 7 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 7 2 。由定理2 1 5 知在同构意义下存在唯一佗+ 1 维单( ，( k ，露) ) 模，由权为e q n 的 最高权向量生成，记为k n 3 。记y o = 口v i k v = o ) ，易证k 是( ，( k ，玄) ) 一模此时对v o 中非零元v 由引 理2 1 1 可知； k u = 露 = 。，( e p ) = ( p 刀+ 瞄】m p ( q m ) - ( j - 1 q ) k g - ( q m ) j - l k ) 铆= ( f j e ) 因此有： 1 8 ( e f j ) v = ( p e 。) 钉( 2 1 5 ) 令w ( n ) 为由 v i l0 冬i 礼 张成的向量空间，定义w ( n ) 上的( ，( k ，露) ) 一模结 构为： 瞄一剐 0 i 1 0 ( i 2 ，j 2 ) ，若i l + 歹1 i 2 + 歹2 或当i 1 + 歹1 = i s + j 2 时有i 1 i s 命题2 1 9 ( ，( k ，露) ) 模m ( m ，佗) 是不可分解模，若( m ，n ) ( 0 ，0 ) 则它不是不可 约的 证明：假设m ( m ，礼) 可分解，则存在子模m x ，m 2 使得m = m 1om 2 令o 1 = a o x i p m x ，假设( i o ，j o ) 是序数集中最小的，则有m i o + i + 佗一歹o + 歹= m - t - n + ( i + 歹) 一( i o + j o ) m + n ，故e m - i o f n 一如v l = a i o j 。x m y n 尬，即x m y n m 1 ， 同理可证x m y n m s ，因此m 是不可分解模 由m ( m ，n ) 的定义知它是有限维可积的( 厂( k ，露) ) 一模，当( m ，n ) ( 0 ，0 ) 时 m ( m ，佗) m ( o ，扎) 笺w ( n ) 由m ( m ，n ) 的定义知m ( m ，n ) 也不同构于k 因此由 推论2 1 7 知m ( m ，n ) 不是不可约模 2 2 ( ，( k ，k ) ) 的同构 令w = ( ，( k ，露) ) zy = ( ，( k ，露) ) ( 1 一j ) 其中w 的基为 f j k 。，e i p 露n ， e f j jii ，歹o ；f ，礼 o ) ，y 的基为 e f j ( 1 一t ，) li ，j o ) 引理2 2 1w 与y 作为( ，( k ，露) ) 的理想我们有理想分解式( ，( k ，詹) ) = w o k 并且w 竺( _ 厂( k ) ) 是h o p f 代数同构 证明：由j 是中心幂等元可证w 与y 是( ，( k ，霄) ) 的理想，且有理想分解式 ( 厂( k ，露) = ( ，( k ，露) ) t 7 ro ( ，( k ，露) ) ( 1 一j ) = wo y 事实上w 是以了为单位的 h o p f 代数： 余乘为： a ( k ) = k 圆k ，a ( k ) = kok ， ( ej ) = k 5o e j+et ，ok 2 ， ( fj ) = 詹2 圆fj +fj 露8 余单位为： ( k ) = c ( k ) = 1 ，e ( e 了) = e ( f j ) = 0 对极为： s ( k ) = k ，s ( k ) = k ， s ( e j ) = 一r 5 e r ，s ( f j ) = 一k 。f k 5 令p 是从( ，( k ) ) 到w 的代数同态定义为： p ( e 7 ) = e j , p ( f ) = f zp ( g ) = k ，p ( 9 7 1 ) = 露 其中e ，f 7 ，k ，k 一1 是( 厂( k ) ) 的生成元则可证p 是h o p y 代数同构 由于w s l 。( 2 ) 是( ，( k ，露) ) 的特殊情况即( ，( k ，露) ) 中t = 1 ，8 = 0 的情况当 8 = 0 时以下有关弱量子代数间的同构与 1 4 】中第二节相同，因此这里只考虑8 0 的情 况 令( ，( k ) ) 为由e tf 7 ，k ，霞7 及与( ，( k ) ) 中相同的关系生成，只是用p 代替q 他与( 厂( k ) ) 一样也是h o p y 代数下面给出( ，( k ) ) 竺( 厂( k ) ) 作为g o p i 代数同 构的条件 2 1 引理2 2 2 ( 厂( k ) ) 垡( ，( k ) ) 是h o p f 代数同构的充要条件为p = 士口士1 证明：若妒：u p ( ，( k ) ) 一( ，( k ) ) 为双代数同构，则有 ( 妒( e 7 ) ) = ( 妒圆妒) oz x ( e ) = 妒( k 8 ) 圆妒( e ) + 妒( e 7 ) o 妒( k 7 。) ， ( 妒( f ，) ) = ( 妒圆妒) oz x ( f ) = 妒( k 一) o 妒( f ) + 妒( f ) ( _ p ( k - a ) 由垆( k ) 为类群元，妒( e ，) 妒( f ) 为偏本原元，可令 妒( ) = k ， 妒( e ) = a e + b k 8 f k 2 + c ( k 8 一k 2 ) ， 妒( f ) =士a - 1 f 土b - 1 k 一2 e k 一8 + c ( k 5 一k ) 由妒为代数同态，作用到等式k e 7 = q 2 e k ，有 k ( a e + b k 5 f k + c ( k 5 一k ) ) = p 2 ( o e + 6 k 8 f k 2 + c ( k 8 一k ) ) k ， k ( a e + b k 8 f k 2 + c ( k 8 一k ) ) = ( 口2 a e + q - 2 b k 8 f k + c ( k 8 一k 。) ) k ， 所以 o ( 9 2 一p 2 ) = b ( q 一2 一p 2 ) = c ( 1 一p 2 ) = 0 由p 非单位根知c = 0 若a 0 ，则p 2 = q 2 且b = 0 此时我们有p = 士口且 妒( k 7 ) = k ，妒( k 7 1 ) = k 一1 ，妒( e ) = a e ，妒( f ) = 土。一1 只 若b 0 ，则p 2 = q 一2 且a = 0 此时我们有p = 士g 一1 且 妒( k ) = k ，妒( k 一1 ) = k ，妒( e 7 ) = b k s f k 2 ，妒( f ) = 士6 1 k 一e k 反之若p = 土g ，矽：( ，( k ) ) 掣( ，慨) ) 如下定义时是h o p y 代数同构 妒( k 7 ) = k ，矽( k 一1 ) = k ，矽( e ) = e ，矽( f 7 ) = 士p 若p = 4 - q - 1 , 矽：( ，( k ) ) 竺( ，( k ) ) 如下定义时是h o p y 代数同构 妒( k 7 ) = k ，矽( k 一1 ) = k ，妒( e ) = k 8 f k 。，矽( f ) = 士k 一。e k 令v a f ( g ，霞) ) 为由e ，f ，k ，霞及与( ，( k ，霞) ) 中相同的关系生成，只是用p 代替 q 他与( ，( k ，露) ) 一样也是弱g o p y 代数下面给出u p ( ，( k ，露) ) 竺( ，( k