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关于有限群特征标的零点的型摘要 摘要 有限群表示论是研究有限群的有力工具之一，如著名的f r o b e n i u s 定理 和p q 。定理利用有限群特征标表中的零项的分布来刻画有限群的结构 是有限群表示论的经典课题国内外许多学者研究了该课题，并给出很多 重要结论本文研究了有限群特征标表中的零项的分布状态对群结构的影 响，共分三章，主要有如下内容： 第一章介绍文中常用符号和基本概念，并介绍了本文的研究背景和研 究成果 第二章讨论了特征标表中每个不可约特征标至多在3 个共轭类上取值 为零的有限群，即得到下面两个定理： 定理2 2 1 令g 是一个有限非交换的可解群如果g 的每个不可约特 征标至多在3 个共轭类上取值为零，那么g 恰是下列群之一： ( 1 ) g 是一个以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 ( 2 ) g 是一个以交换群g 为核和3 阶群为补的f r o b e n i u s 群 ( 3 ) g 笺d 8 或q 8 ( 4 ) g 是一个以g 7 为核和4 阶循环群为补的f r o b e n i u s 群 ( 5 ) g = g 7 p ，其中g 7 是g 的正规交换的2 一补，p s y l 2 ( g ) ，且i p i = 4 ； i z ( g ) i = 2 且g z ( g ) 是一个以( g z ( g ) ) 7 垡g 7 为核和2 阶群p z ( e ) 为补的 f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 竺s 4 ( 7 ) g = ( g 印) ) ( u ) ，其中( u ) 是一个3 阶循环群，t 是对合且g ) 是一 个以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 定理2 3 1 令g 是一个有限非可解群如果g 的每个不可约特征标至 多在3 个共轭类上取值为零，那么g 同构于a 。，l 。( 7 ) 或a 。 第三章主要研究有限群特征标的零点的两个对偶的问题 y b e r k o v i c h 和l k a z a r i n 在文献 2 中提出了如下问题：分类满足下述 条件的有限群g ： ( 木) ：在特征标表的行中除了一行外，其余各行至多有一个零点 关于有限群特征标的零点的型摘要 对偶地，我们提出了如下问题：分类满足下述条件的有限群g ( 木木) ：在特征标表的列中除了一列外，其余各列至多有一个零点 我们得到下面的定理： 定理3 3 1 设g 是一个有限非交换群则条件( ；c ) 和( 水木) 是等价的， 并且g 满足这些条件当且仅当g 为下述群之一： ( 1 ) g 是一个以g 7 为核的双传递的f r o b e n i u s 群或超特殊的2 一群 ( 2 ) g 是一个以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群，并且l g 7 i 3 ( 3 ) g 掣s l ( 2 ，3 ) ( 4 ) g 型s 4 ( 5 ) g 型a 5 在后两章的末尾，我们提出了一系列有待进一步解决的问题 关键词：有限群；特征标；零点 作者：张金山 指导教师：施武杰 关于有限群特征标的零点的型 a b s t r a c t a b s t r a c t t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t eg r o u p si so n eo ft h ep o w e r f u lt o o l st os t u d y f i n i t eg r o u p s s u c ha sf r o b e n i u s st h e o r e ma n dp a q b _ t h e o r e m i ti sac l a s s i ca n di m p o r t a n ts u b j e c tt oc h a r a c t e r i z ef i n i t eg r o u p sb yi n v e s t i g a t i n gt h ed i s t r i b u t i o no fz e r o si nt h e c h a r a c t e rt a b l e s m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dt h es u b j e c t ，a n dg i v e nm a n yi m p o r t a n t r e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb yt h ed i s t r i b u t i o no f 、z e r o si nt h ec h a r a c t e rt a b l e s i tc o n s i s t so ff o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l sa n db a s i cc o n c e p t st h a tw eu s u a l l yu s e i nt h ep a p e r m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d sa n dr e s u l t so fo u rr e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ef i n i t eg r o u p si nw h i c he v e r yi r r e d u c i b l ec h a r a c t e rv a n i s h e so na tm o s tt h r e ec o n ju g a c yc l a s s e si nt h ec h a r a c t e rt a b l e ，a n dg e tt h ef o l l o w i n g t w ot h e o r e m s ： t h e o r e m2 2 1 l e tgb eaf i n i t en o n a b e l i a ns o l v a b l eg r o u p i fe v e r yi r r e d u c i b l e c h a r a c t e ro fgv a n i s h e so na tm o s tt h r e ec o n j u g a c yc l a s s e s ，t h e ngi sj u s to n eo ft h e f o l l o w i n gg r o u p s ： ( 1 ) gi saf r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e lg 7a n dc o m p l e m e n to fo r d e r2 ( 2 ) gi sa f r o b e n i u sg r o u pw i t ha b e l i a nk e r n e lg 7a n dc o m p l e m e n to fo r d e r3 ( 3 ) g 竺d 8o rq 8 ( 4 ) gi saf r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e lg 7a n dc y c l i cc o m p l e m e n to fo r d e r4 ( 5 ) g = g 7 p ，w h e r eg 7i s an o r m a la n da b e l i a n2 一c o m p l e m e n to fg ，p s y l 2 ( a ) ，i p i = 4 ；z ( a ) i = 2a n da z ( a ) i sa f r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e l ( a z ( a ) ) 7 兰 g 7a n dc o m p l e m e n tp z ( a ) o fo r d e r2 ( 6 ) g 竺s 4 ( 7 ) g = ( g 他) ) ( u ) ，w h e r e ( u ) i sac y c l i cg r o u po fo r d e r3 ，ti sa ni n v o l u t i o na n d g ) i saf r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e lg 7a n dc o m p l e m e n to fo r d e r2 t h e o r e m2 3 1 l e tgb eaf i n i t en o n - s o l v a b l eg r o u p i fe v e r yi r r e d u c i b l ec h a r - a c t e ro fgv a n i s h e so na tm o s tt h r e ec o n j u g a c yc l a s s e s ，t h e ngi si s o m o r p h i ct oa 5 ， l 2 ( 7 ) o ra 6 i nc h a p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt w od u a lq u e s t i o n so nz e r o so fc h a r a c t e r so ff i n i t e g r o u p s y b e r k o v i c ha n dl k a z a r i ni n 2 p o s e dt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：c l a s s i f yt h eg r o u p s gw i t ht h ef o l l o w i n gp r o p e r t y ： ( 冰) ：u ( ) ( ) i sac o n j u g a c yc l a s sf o ra l lb u to n e o ft h en o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s i i i 关于有限群特征标的零点的型 a b s t r a c t ) ( o fg d u a l l y ，w ep o s et h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：c l a s s i f yt h eg r o u p sgw i t ht h ef o l l o w i n g p r o p e r t y ： ( 木，i c ) ：a l lb u to n eo ft h ec o l u m n so fc h a r a c t e rt a b l eo fgh a v ea tm o s to n ez e r o e n t r y t h em a i nr e s u l to ft h i ss e c t i o ni sa sf o l l o w s t h e o r e m3 3 1 l e tgb eaf i n i t en o n a b e l i a ng r o u p t h e np r o p e r t i e s ( 车) a n d ( 料) a r ee q u i v a l e n t ，a n dg h a st h e s ep r o p e r t i e si fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gh o l d s ： ( 1 ) gi sa2 - t r a n s i t i v ef r o b e n i u sg r o u p w i t hk e r n e lg 7o ra ne x t r a - s p e c i a l2 - g r o u p ( 2 ) gi sa f r o b e n i u sg r o u pw i t hk e r n e lg 7o fo r d e rg r e a t e rt h a n3a n dc o m p l e m e n t o fo r d e r2 ( 3 ) g 型s l ( 2 ，3 ) ( 4 ) g 兰s 4 ( 5 ) g 竺a 5 a tt h ee n do ft h el a s tt w oc h a p t e r s ，w el e a v eas e r i e so fq u e s t i o n s ，w h i c ha r e u n s o l v e d k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p s ；c h a r a c t e r s ；z e r o s i v w r i t t e nb yz h a n gj i n s h a n s u p e r v i s e db ys h iw u j i e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其 它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名： 必吼尹 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文 的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 篮啉乒 关于有限群特征标的零点的型第一章绪论 第一章绪论 5 1 1 常用符号和基本概念 在本文中，所考虑的群都是有限群，所讨论的单群都是有限非交换单 群，特征标总指复特征标我们使用的群论的术语和符号参照d j s r o b i n s o n 的著作【6 2 ，群表示论的术语和符号一般参照i m i s s a c s 著作【2 2 和o m a n z ， t r w o l f 的著作【3 7 】本章给出文中常用的符号和基本概念 h g 表示日为群g 的子群；h 塑g 表示子群日为群g 的正规子群； l g i 表示g 的阶，i g ：m i 表示子群m 在群g 中的指数；若p 表示某个素 数，则p ，表示除了p 以外的所有素数的集合；仃表示某个素数集合，丌7 表 示除了丌以外的所有素数的集合；丌( g ) 表示群g 的阶的素因子的集合； 丌e ( g ) 表示群g 的元素阶的集合显然集合丌。( g ) 是除法封闭的，令u ( a ) 表 示在该整除关系下的集合丌。( g ) 的极大元素的集合如果自然数n 的所有 素因子都在丌中，那么称n 为丌一数；如果一个群g 的阶为丌一数，那么我们 称群g 为丌一群；群g 的丌一子群m ，如果有g c d ( g ：m i ，i m ) = 1 ，那么称m 为群 g 的h a l l 丌一子群f ( a ) 表示g 的f i t t i n g 子群，即g 的极大幂零正规子群 令f o ( a ) = 1 ，f i ( a ) 定义为f i ( c ) f , 一1 ( g ) = f ( g f t 一1 ( g ) ) n l ( a ) 表示上面归纳定 义中使r ( g ) = g 的最小的数对任意正整数m ，n ，g c d ( m ，n ) 表示m 和n 的最 大公约数 设g 是有限群y 是域f 上的一个n 维向量空间群g 在向量空间y 上的一个作用，也就是g 到g l ( v ) 的一个同态x ：g g l ( n ，f ) ，称为g 的一 个f 一表示g 的相应于表示x 的f 一特征标定义为函数) ( ：x ( g ) = t r x ( g ) ，即 对应的线性变换的迹向量空间y 的维数称为该表示的次数，也可称为特 征标x 的次数当y 只有平凡的g 一不变子空间时这个表示就叫做不可约 表示对应的特征标x 叫做不可约特征标否则叫做可约的表示和可约的 特征标用i r r ( g ) 表示g 的所有复不可约特征标构成的集合，i m ( g ) 表示 g 的所有复非线性的不可约特征标构成的集合记c d ( g ) = x ( 1 ) 1 ) ( i r r ( a ) 若h g ，表示x 限制到日上记为x 日，是日的一个表示且特征标x 限 制到h 上得到的特征标x 日也是日的特征标 令n 塑g ，口i r r ( n ) ，若存在不可约特征标x 使得x = 0 ，则口叫做是可延 拓( 扩充) 的记i r r ( g 1 6 ) = x i r r ( g ) l 【x n ，口】o ，i r r ( g i n ) = i r r ( a ) 一i r r ( a y ) 关于有限群特征标的零点的型第一章绪论 对于) ( i r r l ( g ) ，v ( x ) ：= g gx ( g ) = o ，我们称使x ( g ) = 0 的元g 是特征 标x 的零点，而称v ( n ) 是特征标x 的零点集k g ( n ) 表示包含在n 中的g 的共轭类的数目，其中是g 的正规子集 设p 是一个素数群g 的不可约特征标x 被称为p 亏度零的，如果p 不整除l a l x ( 1 ) 根据 2 2 ，定理8 1 7 】：如果x i r r ( g ) 是p 亏度零的，那么，对 g g 使得p 整除d ( 9 ) ，我们有x ( 9 ) = 0 在本文中，我们将随便使用下列事实：令n 司g 并记百= g n ( 1 ) 如果g n 是g 的一个共轭类，那么= g ，并且g 是一个以g ，为 核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 ( 2 ) 如果g 是一个以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群，那么u ( x ) 是g 的一个共轭类，对所有的x i r r l ( g ) ( 3 ) 对任意z g ，- _ ( 视为g 的子集，也就是说，集合u 。gx g n ) 是g 的 一些共轭类的并；进一步，k c ( 护) = 1 当且仅当x ( 。) = 0 ，对所有) ( i r r ( g i n ) ( 4 ) 设g 是一个李型单群于是根据 7 1 ，推论 ，对l g ! 的任意素因子p ，存在 x i r r l ( g ) 使得) ( 是p 亏度零的对于这样的) ( ，我们有 z g i p l d ( z ) ) u ( ) ( ) ， 从而尼g ( z gi pd ( z ) ) ) k g ( u ( x ) ) 2 2 研究背景和研究成果 有限群的表示理论是研究有限群结构的重要工具，如著名的f r o b e n i u s 定理和p a q 6 一定理利用有限群特征标表中的零点的分布来刻画有限群的 结构是有限群表示论的经典课题国内外许多学者研究了该课题，并取得 很多重要结论 据b u r n s i d e 定理【2 2 ，定理3 1 5 ，如果) ( i r r l ( g ) ，则v ( x ) 仍近来，g m a l l e ， g n a v a r r o 和j b o l s s o n 在文献【3 4 】中证明了更强的结果：设g 是有限非交 换群，x i r r l ( g ) ，则存在素数幂阶的元素g g 使得x ( g ) = 0 一般地，已知有限群特征标表中的零项的分布，我们能获取有限群的 哪些结构信息? 设g 是有限群，令 n z ，n ，) = l a ：c g ( z ) lz g ) 我们总是规定 n 1 n 2 按照n i t o 2 7 ，我们称( 礼1 ，7 t 2 ，m ) 是g 的共轭类的型 2 关于有限群特征标的零点的型 第一章绪论 受此启发，我们提出有限群特征标的零点的型 定义1 2 1 群g 被叫做( n ”一，) 一型的，如果对任意x i r r l ( g ) ，始( u ( ) ( ) ) n 1 ，) ，并且对任意n h ，佻) ，存在x i r r l ( g ) 使得v ( x ) 由g 的几 个共轭类组成我们总是规定礼。 1 3 关于有限群特征标的零点的型第一章绪论 ( 2 ) m ( g ) 限制了l g ：f 1 0 ( c ) 1 ( 3 ) 如果i f l o ( g ) l 是奇数，那么m ( g ) 限制了i c ：f ( g ) i ( 4 ) 如果g 是( 1 ，m ( g ) ) 一型的，那么n l ( g ) 5 特别地，钱国华在文献【5 4 中对( 1 ，m ( g ) ) 一型的可解群进行了完全分 类 定理1 2 5 设g 是一个有限可解群，则g 是( 1 ，m ( g ) ) 一型的当且仅当 g 是下列群之一： ( 1 ) g 是一个以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 ( 2 ) g 有正规子群m ，使得：m 是一个以为核的f r o b e n i u s 群；g n 是一个阶为p 一1 ) 的以m n 为核和p 一1 阶循环群为补的f r o b e n i u s 群，其 中p 是一个奇素数 ( 3 ) g 有正规子群m ，l 使得：m l 竺q 8 ，g l 兰s l ( 2 ，3 ) ，m 是一个以l 为 核的f r o b e n i u s 群 ( 4 ) g = p 满足下列条件： ( 4 1 ) p 是g 的正规的s y l o wp - 子群；h p 是s l ( 2 ，p ) 的阶为p 2 1 子群； 缉无不动点地作用在p p 7 上且耳在p 7 上的作用是平凡的 ( 4 2 ) p = 2 ，3 ，5 ，7 ；p 要么是8 阶四元数群q 8 ，要么是阶为p 3 的超特殊p 群，其中p 是一个奇素数；h 2 = 忍，日3 = q 8 ，- 5 = s l ( 2 ，3 ) ，m g t nz ( s l ( 2 ，p ) ) 笺 s 4 上面研究的问题都是针对有限群特征标表中的行零项的分布对偶 地，我们思考有限群特征标表中的列零项的分布对有限群结构的影响 我们说g g 是g 的非零化元，如果对所有x i r r l ( g ) ，都有x ( g ) 0 有 限群特征标表中线性特征标对应的行没有零项，对偶地，从列来看z ( g ) 里 的元素都是非零化元但是中心之外可能还存在，i m i s a z c s ，g n a v a r r o 和 t r w o l f 在文献 2 6 中研究了这样的元素 按照文献 1 4 】，零点集v a n ( a ) 表示 9 gj ) ( i r r l ( g ) 使得x ( g ) = o ) 假设 v a n ( g ) = c 1 ，c k ，也就是，v a n ( g ) 由g 的后个共轭类组成令n ( g ) = j ) ( i r r l ( g ) 1 ) ( ( g ) = 0 ) 1 ，其中i = 1 ，后 4 关于有限群特征标的零点的型 第一章绪论 现在，我们定义 定义1 2 6 群g 被叫做( c 1 一，c ) 一列型的，如果对任意c v a n ( g ) ， 礼( c ) e l ，c ) ，并且对任意c c 1 ，q ) ，都存在c v a n ( g ) 使得n ( c ) = c 我们总是规定c 1 3 ( 3 ) g 竺s l ( 2 ，3 ) ( 4 ) g 垡s 4 ( 5 ) g 竺a 5 7 关于有限群特征标的零点的型第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 第二章每个不可约特征标至多零化 三个共轭类的右r - j 限群 一 i、哪b 兀u i - p ui 关于有限群特征标的零点问题是目前有限群表示论研究的重要课题 已知有限群特征标表中的零点的分布状态，反过来能得到关于g 的结构 方面的哪些信息呢? 有很多文献( 例如【2 【3 ， 5 】，【8 i 【1 6 】，【2 6 ，【4 2 ，【5 3 】，【5 4 】 5 6 】 和【8 0 等等) 都研究过这两方面的问题这一章我们主要研究每个不可约特 征标的零点集最多由3 个共轭类组成的有限群得到了定理2 2 1 和定理2 3 1 。 2 1 引言u 据b u r n s i d e 定理【2 2 ，定理3 1 5 ，如果x i r r l ( g ) ，则u ( ) ( ) 0 更一般地，g m a l l e ，g n a v a r r o 和j b o l s s o n 在文献 3 4 中证明了如果x i r r l ( g ) ，则x 在某 p 元素上取值为零，其中p 是素数 一般地，已知有限群特征标表中的零项的分布，我们能获取有限群的 哪些结构信息? s m g a g o l a 和雪m z h m u d 研究了r e ( g ) = k ( a ) 一2 的有限群( 见【1 6 】和【8 0 】) 当然m ( a ) 很小时，研究有限群的结构也是一个有意义的工作m b i a n c h i ， d c h i l l a g 和a g i l l i o 3 】以及a m o r e t 6 【4 2 】分类了m ( a ) 2 的有限群g 更一般地，已知几( g ) 或r e ( c ) ，我们能获取有限群的那些结构信息? 钱 国华在文献【5 3 】中证明了：设g 是g 可解，那么n l ( a ) s ( 2 m ( a ) + 5 ) 3 后来 a m o r e t 6 文献【4 2 中改进了这一结果，并证明了：设g 是有限可解群，如 果g 是( 1 ，m ( g ) ) 一型的，那么n l ( g ) 5 特别地，钱国华对( 1 ，m ( g ) ) 一型 的群进行了完全分类 在这一章中我们讨论了特征标表中每个不可约的特征标至多在3 个共 轭类上取值为零的有限群我们完全刻画出这种群的结构，并得到下面两 定理： 定理2 2 1 令g 是一个有限非交换的可解群如果g 是m ( g ) 3 型 的，那么g 恰是下列群之一： ( 1 ) g 是一个以g ，为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 8 关于有限群特征标的零点的型 第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 ( 2 ) g 是一个以交换群g 7 为核和3 阶群为补的f r o b e n i u s 群 ( 3 ) g 竺d 8 或q 8 ( 4 ) g 是一个以g ，为核和4 阶循环群为补的f r o b e n i u s 群 ( 5 ) g ：g ，p ，其中g 7 是g 的正规交换的2 一补，p s y l 2 ( g ) ，i p i = 4 ；i g ( c ) l = 2 并且c z ( c ) 是一个以( g 胆( g ) ) ，竺g 7 为核和2 阶群p z ( c ) 为补的f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 竺s 4 ( 7 ) g = ( g ) ) u ) ，其中( u ) 是一个3 阶循环群，t 是对合且g ，( t ) 是一个 以g 7 为核和2 阶群为补的f r o b e n i u s 群 定理2 3 1 令g 是一个有限非可解群如果g 是m ( c ) 3 一型的，那么 g 同构于a 5 ，l 2 ( 7 ) 或a 6 5 2 2m ( c ) 3 的有限可解群 本节我们讨论特征标表中每个不可约的特征标至多在3 个共轭类上取 值为零的有限可解群，将证明定理2 2 1 ，为此先给出一些相关的引理： 下面的结果表明对于p 群，对任意的非线性的不可约特征标，其零点 的数目都大于1 引理2 2 1 ( 【4 1 ，定理c ) 令) ( 是p 群p 的一个次数为矿的非线性不可 约特征标则k c ( u ( x ) ) 是p 一1 的倍数，并且大于或等于+ 礼) 一1 ) 更特别 地，k g ( - ( x ) ) p 2 1 下面的引理来自于【6 0 ，定理2 1 ，我们将在本节中反复使用该引理 引理2 2 2 设g 是一个非交换群，并设g 7 g 令) ( i r r l ( g ) ，并令n 司g 使得g ，n g 假设x 不是不可约的那么，下述两个命题成立： ( 1 ) 存在g 的一个正规真子群h 使得n h g 且g h 钉( ) ( ) ( 2 ) 如果( g g 7 ) nv ( x ) 由g 的n 个共轭类组成，则【h ：g ， ( 【g ：h - 1 ) 礼 现在，我们研究特征标表中每个不可约的特征标至多零化3 个共轭类 的幂零群，得到下面的结果 9 关于有限群特征标的零点的型第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 引理2 2 3 假设g 是一个非交换的幂零群如果g 的每个不可约的特 征标至多零化3 个共轭类，那么g 掣d 8 或q 8 ， 证明：取妒i r r ，( g ) 使得妒g ，不是不可约的于是，根据题设和引理2 2 2 ， g 有一个真子群日使得g 7 h g ，g h u ( 妒) 并且【h ：g ， ( 【g ：h 】- 1 ) 3 由于g 是幂零的，于是根据引理2 2 1 ，我们容易推导出g 是一个非交 换的2 群注意到【h ：g ，】( 【g ：h 卜1 ) 3 并且l a a 7 i 4 ；因此i a a 7 i = 4 ，从而 g 是极大类的( 见【1 8 ，p 3 7 5 ) 假设l g l 1 6 由于g 是极大类的，则g 的上中 心列中存在指数为1 6 的正规子群注意每个阶为1 6 的非交换群都有一个 非线性的不可约特征标至少在4 个共轭类上取值为零( 见【3 0 ，p 3 0 0 d 因此 i g l = 8 ，于是，g 笺d 8 或q 8 证毕 口 引理2 2 4 假设g = k p ，其中k 1 于是，根据引理2 2 3 ，我们有a k 型p 垡q 8 或d 8 因 此，a k 垡p 仅有一个非线性的不可约特征标，设为x ，p p ，- u ( ) ( ) 并且 u ( x ) 由p 的3 个共轭类组成现在把x 视为g 的一个不可约特征标于是， 由于k 托r ( x ) ，k ( p p 7 ) = v ( x ) 由g 的3 个共轭类组成并且在k ( p p 7 ) 中 每个元素都是2 一元素这就意味着p p 7 中的每个元素无不动点地作用在 k 上于是，由于p 是一个类为2 的2 群，根据【3 7 ，引理1 9 1 ，我们就推导 出p 笛q 8 并且g 是一个以k 为核和同构于q 8 为补的p r o b e n i u s 群容易证 明存在x i r r ，( g ) 使得u ( x ) 由g 的4 个共轭类，矛盾因此k = 1 于是，由 引理2 2 3 ，我们有g 竺d 8 或q 8 ，证毕 i 1 下面的命题来自于文献【5 7 定理2 2 】，该命题在处理g 有一个正规子群 使得七g ( g 一) = 2 并且对某个妒i r r ( a ) ，g n u ( 妒) 情形时是很有用的 命题2 2 5 设是非交换可解群g 的一个正规子群则k o ( g n ) = 2 当且仅当g 是下述群之一 ( 1 ) n = 1 且g 兰s 3 ( 2 ) l a n i = 3 且g 是一个以为核的n o b e n i u s 群 ( 3 ) f a y l = 2 且i c g ( x ) l = 4 ，对所有茁g n 此外，p s y l 2 ( a ) 有一个阶 1 0 关于有限群特征标的零点的型第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 为i p 2 的循环子群；进一步，下列之一成立： ( 3 a ) g 有一个正规交换的2 一补 ( 3 b ) g 有一个正规2 补且p 是一个四元数群 ( 3 c ) g 有一个交换的2 补且p 垡d 8 ，8 阶二面体群 引理2 2 6 设是非交换可解群g 的一个正规子群假设惫g ( g n ) = 2 并且g n u ( 妒) ，对某个妒i r r ( g ) 如果g 的每个不可约的特征标至多零 化3 个共轭类，那么g 是下述群之一 ( 1 ) g 是一个以为核和3 群为补的f r o b e n i u s 群 ( 2 ) g 兰d 8 或q 8 ( 3 ) g = g 7 p ，其中g 7 是g 的一个正规的2 - 补，并且p s y l 2 ( g ) ，t p t = 4 。 ( 4 ) g 7 = n ，【g ：g 7 】= 2 且g 0 2 ，( g ) 皇s 4 证明：此时，根据题设和引理2 2 2 ，下述情形之一发生： ( i ) 【g ：g 7 】= 3 ，g 7 = ；( i i ) 【n ：g 7 】= 2 ，【g ：n 】= 2 ；( i i i ) g 7 = 【g ：g 7 】= 2 假设【g ：g 3 ，g 7n 于是，由命题2 2 5 ，我们有g 是一个以为核 和3 群为补的f r o b e n i u s 群 假设 n ：g 7 】- 2 ，【g ：n 】_ 2 根据命题2 2 5 ，我们有g = k p ，其中k 是g 的正规的2 补且p s y l 2 ( g ) 如果p 是非交换的，那么由引理2 2 4 ，我 们得到g 掣d 8 或q 8 如果p 是交换的，那么我们有g ，k 于是g 7 = k ，从 而我们有g = g p ，其中g 7 是g 的一个正规的2 补并且俐= 4 假设g ，= n ，【g ：g = 2 注意到i c g ( g ) i = 4 ，对所有g g g 7 取y g 使 得t = c a ( y ) 是4 阶的很明显t c c ( t ) c c ( u ) = t 令0 2 ，( g ) 是g 的最大的 奇阶正规子群注意到g 是可解的，于是根据【7 0 ，定理1 ，2 】 我们g o 。，( g ) 型 s 4 证毕口 下面的命题来自于文献【5 7 ，定理3 6 和【6 4 ，定理 ，该命题在处理g 有一 个正规子群使得k c ( g 一) = 3 并且对某个妒i r r ( g ) ，g n u ( 妒) 情形时 是很有用的 命题2 2 7 设是非交换可解群g 的一个正规子群则g n = x g + y g + z g 是g 的3 个共轭类的并当且仅当下述之一成立： 关于有限群特征标的零点的型第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 ( 1 ) n = 1 且g 笺a 4 或d 1 0 ( 2 ) g n = ns a 且g 兰s 4 ( 3 ) g 是一个以为核和4 阶循环群为补的f r o b e n i u s 群 ( 4 ) g 竺d 8 或q 8 ( 5 ) i g n i = 4 且g 一个以q 8 为补的f r o b e n i u s 群 ( 6 ) i g n i = 2 ，i c o ( = ) 1 = i c g ( y ) i = i c c ( z ) l = 6 此时，是奇阶的且有一 个正规交换的3 - 补 ( 7 ) i g n = 2 ，i c g ( x ) l = 4 ，i c o ( y ) l = 6 ，i c e ( z ) i = 1 2 此时，要么g 有一个正规 的2 一补要么a 1 0 2 ，( g ) 兰s 4 ( 8 ) l g n i = 2 ，i ( z ) i = 4 ，i c a ( y ) l = i c e ( z ) j = 8 此时，要么g 0 2 ，( g ) 竺g l ( 2 ，3 ) ， 要么c o ：，( g ) 同构于一个1 6 阶的非交换群 引理2 2 8 ( 【7 8 引理1 ) 设g 是一个亚交换群如果【g ：g 7 】= p ，那么g 是一个以g 7 为核和p 阶群为j t f i 9f r o b e n i u s 群 引理2 2 9 ( 【5 3 ，引理2 ( 1 ) ) 设n m 是g 的两个正规子群使得k g ( m n ) = 1 并且( i m ：i ，川) = 1 则m 是一个以为核和素数阶群为补的f r o b e n i u s 群 我们将利用下面的结果，该结果是文献【2 6 】的定理4 3 引理2 2 1 0 设g 是可解的如果z g 使得x ( z ) 0 ，对每个x i r r ( g ) 那么z 模f ( g ) 是2 元素 现在我们叙述一个简单的引理，该引理来自于文献【6 0 的定理8 ( i ) 引理2 2 1 1 设【g ：m l = 2 且m 是可解的如果必中的每个元都是非零 化元，则m 是a b e l 群且g 有正规交换2 一补 引理2 2 1 2 ( 【6 0 推论7 】) 设g 是一个非交换的可解群，n 3 g ，x i r r l ( g ) 假设【g ：j = 2 且nv ( x ) = 毋下述两个命题成立： ( 1 ) 如果7 是a b e l 的，则x = 入+ 护，其中a 和p 是的线性特征标特 别地，7 k e r ( x ) 且x ( 1 ) = 2 ( 2 ) 设m r 1 于是存在g 的一个不可约特征标x 使得) ( 零化 g 一，其中a ：= zu z z uz r 写j z n ，i = q y 易证一v ，中任一元素的中心化 1 3 关于有限群特征标的零点的型第二章每个不可约特征标至多零化三个共轭类的有限群 子的阶至少是i q 现在k g ( g a ) 一2 = k e ( n 一) ( 9 2 m + ，+ 。一3 q f + e ) 3 q e = q f ( q 2 m 一3 ) 3 ( 譬2 m 一3 ) 2 1 ，矛盾 假设q = 2 并且m = 1 由于妒是极大次数的，于是c d ( n ) = 1 ，2 从而 我们有要么i n ：z ( n ) i = 8 ，要么有一个指数为2 的交换子群易知如果 n z ( n ) 的阶为8 ，那么n z ( n ) 就有一个d 不变的阶2 子群，这是不可能的 ( 因为g 是一个f r o b e n i u s 群) 现在假设有一个指数为2 的交换子群e ，并 设d = a g e g e g 于是任何妒i r r ( n ) 都零化n e 取) ( i r r ( g ) 使得x ( 1 ) = 6 我们有) ( 零化n e ，于是n d 被x 零化易知l n d i 4 ，并且存在元素 g ，n e 使得l 夕f js6 ，此外包含在n d 中的任何一个共轭类的长度至多 为1 2 ( 注意到n 7 是忍z 2 ) 因此我