（基础数学专业论文）非自治发展方程与分数次微分方程的解.pdf

摘要 本文主要分两部分第一部分通过引进双概自守函数得到了非自治发 展方程的伪概自守的存在唯一性第二部分利用相空间来研究带无穷时 滞的抽象分数次微分方程的解，得到了一些新的存在唯一性定理。 关键词：伪概自守；非自治发展方程；分数次微分方程；无穷时滞 3 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eh a v et w oo b j e c t i v e s o n ei so b t a i n i n gn e we x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s st h e o r e m sf o rp s e u d o - a l m o s ta u t o m o r p h i cm i l ds o l u t i o n st os e v e r a ln o n a u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yi n t r o d u c i n gan e wc o n c e p to fb i a l m o s ta u t o m o r - p h i cf u n c t i o n s t h eo t h e ro n ei si n v e s t i g a t i n gt h em i l ds o l u t i o n so fac a u c h yp r o b l e m f o ra b s t r a c tf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y s e v e r a lt h e o r e m so f e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fm i l ds o l u t i o n sa r eo b t a i n e d k e y w o r d ：p s e u d o - a l m o s ta u t o m o r p h i c ；n o n a u t o n o m u se v o l u t i o ne q u a t i o n s ； f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；i n f i n i t ed e l a y 4 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 球星星 加( 7 年f 月l 1 日 第一章引言 本章介绍了与本文所研究问题有关的背景知识、发展概况以及我们的 主要工作 1 1 概自守函数和伪概自守函数及其应用 在本节中，我们主要介绍概自守函数和伪概自守函数的起源、发展和 应用以及关于这方面我们所做的一些工作 概自守函数的研究来源与概周期函数。两个不同周期的函数的和不再 是周期函数，如s i n x + s i n 屈1 9 2 4 年b o h r 研究了这类函数的性质，给 出了概周期函数的定义1 9 3 3 年s 。b o c h n e r 建立了向量值函数的概周期理 论。概周期函数继承了周期函数的一些好的性质在物理，生物等实际问 题中得不到周期解时，概周期解自然被人们关注起来从而不仅促进了概 周期函数理论自身的完善与发展，也极大推动了概周期理论在微分方程 中的应用( 参见 1 ，5 ，6 ，8 ，1 5 ，1 8 ，1 9 】及其中的参考文献) 1 9 6 2 年，s b o c h n e r 给出了概周期函数的一个等价定义；假设，是一个 连续函数，如果对于任意的序列( 砭) ，存在一个子序列( t 七) 和一个函数g ， 使得 ，( 亡+ t k ) ) 一致地收敛到9 ，就称，是概周期的。从这个定义出发，s ， b o c h n e r 将概周期函数推广为概自守函数：假设，是一个连续函数，如果 对于任意的序列( 砭) ，存在一个子序列( t 七) 和一个函数9 ，使得 f ( t + t k ) _ 夕( t ) 和9 ( t 一“) 一厂( t ) ， 就称，是概自守的 经过近4 0 年的发展，概自守函数理论已经完善许多( 参见【1 0 _ 1 2 ，1 7 ，4 0 】 及其中的参考文献) 本世纪初n g u 6 r f i k a t a 教授的两篇专著【3 3 ，3 4 】系统 的总结了概自守函数理论及其在微分方程中的应用 近年来，在肖体俊教授和梁进教授等人的工作【4 1 1 中，基于遍历性扰 动将概自守函数推广为伪概自守函数，使得研究微分方程的伪概自守解 成为了一个新的课题t d i a g a n a 教授在 1 6 】中充分肯定了这一推广 本文中，我们研究了 5 第一章引言 中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 带无穷时滞的抽象分数次微分方程 z 7 ( t ) = a ( t ) x ( t ) + ( t ，z ( t ) ) ，t r ， z 7 ( t ) = a ( t ) x ( t ) + ( t ，x ( t 一 ) ) ，t r ， ( ) = a ( t ) x ( t ) + f ( t ，。( 亡) ，z 【q ( ，。( f ) ) 】) ，t r ， 这三类非自治发展方程的伪概自守解。 1 2 带无穷时滞的抽象分数次微分方程 自从1 9 7 4 年第一届国际分数次微积分会议之后，其得到迅速发展特 别是最近几年分数次微分方程在物理，化学等学科上的成功运用( 如地 球震动的非线性模型) ，使其受到国r 勾j l - 学者越来越多的关注近年来v l a k s h m i k a n t h a m 和a sv a t s a l a 详细研究了r 上分数次微分方程解的一些 基本问题，得到了很好的结果( 参见 2 3 - 2 5 ) 近二十年来，借助于相空间理论，带无穷时滞的普通微分方程的解理 论已经得到很大发展( 参见【9 ，1 4 ，3 6 ，3 9 】及其参考文献) 本文中，我们将 对带无穷时滞的抽象分数次微分方程 jd q x ( t ) = f ( t ，z ( t ) ，x t ) ，t 【0 ，t 】 1 一 的解进行研究 6 第二章基本概念和基本性质 在本文中( x ， ) ，( v ， y ) 表示两个巴拿赫空间b c ( r ，x ) ( b c ( r y ， x ) ) 表示，：rhx ( ，：r yhx ) 的有界函数的全体，其中范数为上确界 范数。x t ( ) ：= z ( t + ) 为取值x 上的函数。 2 1 概自守函数和伪概自守函数 定义2 1 1 【4 1 】( 1 ) 连续函数f ：rhx 被称作概自守函数，如果对任意实 数列 0 ， 4 a o ( r ，x ) ：= z ( t ) b c ( r ，x ) ：l i r a 丁。行1 ，l i x ( t ) l l d t = o ) ， a a o ( 酞v ，x ) ：= ，( ，z ) b c ( r y ，x ) ：l i r a t 。o o 刍，：i i f ( t ，x ) l l d t = 0 对 y 中任意有界集一致) 定理2 1 2 【4 1 】( p a a ( r ，x ) ，l 。) 是巴拿赫空间，其中i 。表示上确界范 数 7 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本性质2 1 概自守函数和伪概自守函数 注记2 1 3 显然p a a l ( r ，x ) 也是巴拿赫空间，因为它是p a a ( r ，x ) 的一个 闭子集 引理2 1 4 【2 9 】设，p a a ( r x ，x ) 且分解为，= g + ，其中g ( t ，z ) a a ( rxx ，x ) ，( t ，z ) a a o ( r x ，x ) ，并且对所有t r ，i ( t ，z ) 在x 任意有 界集上一致连续。如果。( 亡) p a a ( r ，x ) ，则有儿，。( ) ) p a a ( r ，x ) 注记2 1 5 从定理2 f 2 证明中可以看出 g ( t ，z ) 一g ( t ，y ) l l 。i i f ( t ，z ) 一s ( t ，t j ) l l 对任意z ，y x 成立因此引理2 f 名中假设蕴涵仍玑定理2 纠条件成立 特别的当f ( t ，z ) l i p s c h i t z 连续一致的对所有t r ，引理2 j 彳的结论同样 成立 下面我们引进一类新的函数 定义2 1 6 连续函数f ( t ，8 ) ：r rhx 被称作双概自守函数，如果对任意 实数列 ) 器。，存在子列 ) 器。使得g ( t ，5 ) = l i m n o 。f ( t + r n ，s + ) 并且 l i m n 。9 ( 一 r n ，s 一 r n ) = i ( t ，8 ) 对任意t ，s r 成立b a a ( r r ，x ) 表示所有 这样的函数 注记2 1 7 哇口果，c ( r r ，x ) ，f ( t ，8 ) = g ( t 一8 ) 其中g c ( r ，x ) ，贝l j s b a a ( r r ，x ) 另一方面，双概自守函数是对两个变量有相同周期的 函数的自然推广，即，( t + 正s + d = ，( s ，t ) 对所有t ，s r 成立，其中 t r o ) 例2 1 8 f ( t ，s ) = s i nt c o ss 是rxr 到r 的双概自守函数，因为，( t + 2 7 r ，s + 2 7 r ) = f ( t ，s ) 对任意亡，s r 成立 8 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本性质2 2 岛半群和发展系统 2 2c o 半群和发展系统 强连续线性算子半群理论产生于上世纪三四十年代近半个多世纪以 来，算子半群理论不断完善和发展，已经成为泛函分析的一个重要分支 现在，算子半群理论不仅被应用到一些传统领域，例如偏微分方程和随机 过程，而且已经成为解决来自量子力学和无穷维控制论中的积微分方程 和泛函微分方程的重要工具。此外，半群理论还被成功地应用到来源于人 口动力系统和迁移理论的具体方程。发展系统是强连续线性算子半群的 推广，它在研究非自治的发展方程中起着非常关键的作用 关于算子半群理论和发展系统及它们的应用，请读者参考肖体俊教授 和梁进教授的专著( 4 2 】以及p a z y 的专著 3 5 】下面简要介绍一下强连续线 性算子半群和发展系统的概念 定义2 2 1 设x 是一个b a n a c h 空间，t ( ) ，t 0 ，是x 到x 的一个单参数 有界线性算子族如果 俐v ( o ) = j ，其中，为x 上的恒等算子， 阳，) t ( t + 8 ) = t ( t ) t ( s ) 对每个t ，s 0 ， 俐。唿t ( t ) x = z 对每个z x ， 则称t ( t ) 是x 上的一个强连续有界线性算子半群，简称岛半群 对于一个岛半群丁( t ) ，定义其无穷小生成元，即线性算子a 如下： d ( 胪 xe 弘。骧塑p 存在 且 a 一。骧塑= = t d + t ( t ) x ti t = o ，z 刃( a ) t _ 0 +d 。 如果a 是岛半群t ( t ) 的无穷小生成元，我们也称a 生成岛半群丁( t ) g 半群有下述指数性质： 定理2 2 2 设t ( t ) 是一个g 半群，则存在常数u r 和m 1 使得对任 意的t 0 有 i i t ( t ) l i m e 叭 若u 0 都成立，则称a 是一个耗散算子。 接下来介绍发展系统的概念 定义2 2 3 设x 是一个b a n a c h 空间，u = v ( z ，5 ) ：t s ，t ，s r ) 是x 上 一族有界线性算子如果 似u ( s ，5 ) = ，u ( t ，s ) = u ( t ，7 ) u ( 7 ，8 ) 对于t r s 且t ，7 ，s r ， 例映射 ( 7 ，盯) r 2 ：7 - 盯) ( t ，s ) 一u ( t ，s ) 强连续， 则称 ( t ，s ) ：t s ，t ，s r ) 是一个发展系统 定义2 2 4 设 ( t ，s ) ：t 8 ，t ，s r ) 是一个发展系统，如果存在投影 尸( t ) ，t r ，和常数，6 0 使得 u ( t ，s ) p ( s ) = p ( t ) u ( t ，s ) 对一切t s ， 俐u ( t ，s ) 的限制u q ( t ，s ) ：q ( s ) x q ( t ) x 对一切t s 可逆，并且记 u q ( s ，t ) = u q ( t ，s ) ，其中q ( t ) = j 一尸( ) 俐对一切t 8 ，i i u ( t ，s ) p ( s ) l i n e 一( 扣8 ) 且i l 8 ，t ) q ( t ) l l n e 。( 卜引 则称 u c t ，s ) ：t s ，t ，s r ) 关于常数，6 和投影p ( t ) 具有指数二分性 指数二分性是一个经典的概念，它在研究发展方程长期行为中有很重 要的作用，如果发展系统u ( t ，s ) 具有指数二分性，我们称算子族 ， r ( t ，s ) ： u ( 。，s ) 尸( s ) ， t 5 ，t , s r ， i u q ( t ，s ) q ( s ) ，t s ，抽竺， ( 2 2 1 ) t 1 使得 u o ) cp ( 删一址 p i i r 郇) - , x o ) i i _ 0 ，投影 算子为尸( 亡) ，t r ，格林函数为r ( h 3 ) r ( t ，s ) x b a a ( rxr ，x ) 且对x 中任意有界集是一致的 ( h 4 ) f ( t ，z ) p a a ( rxx ，x ) 使得 f ( t ，z ) 一f ( t ，y ) l i l o l l = 一y 对任意t r ，z ，y x 成立，其中0 l o 赫 下面我们将证明我们的第一个定理 定理3 2 1 假设条件( h 1 ) 一( h 4 ) 成立则e q p j j ，j 有唯一的伪概自守温和 解，并可表示为 。( ) = r ( t ，s ) y ( s ，x ( s ) ) d s ，t r ( 3 2 1 ) ，r 证明从( ( 1 3 】，定理4 2 8 ) 证明中可知e q ( 3 1 1 ) 存在唯一解z 由( 3 2 1 ) 表 示。取x ( t ) p a a ( rxx ，x ) ，则由引理2 1 5 可知存在函数9 a a ( r x x ， x ) ，a a o ( r x ，x ) 使得 f ( t ，z ( t ) ) = g ( t ) + 矽( z ) 对任意t r 成立 取x 中有界集k ，使得对所有t r 都有9 ( t ) ，砂( t ) k 。定义非线性算 子t ( t z ) ( t ) = r ( t ，s ) ，( s ，x ( s ) ) d s = t l ( t ) + t 2 ( ) ， j r 其中 t l ( t ) = r ( t ，s ) g ( s ) d s ， l ，r ， 、 t 2 ( t ) = r ( t ，s ) 矽( s ) d s j r 首先，我们证明t 1 ( ) a a ( r ，x ) 取实数列 ) 由( h 3 ) 知，存在 ) 子列f 使得 ( p 1 ) l i m n - + o or ( t + r n ，s + ) 。= r 1 ( t ，s ) x 对任意t ，s r ，z k ， 1 3 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章非自治发展方程的伪概自守解及应用 3 2 主要内容 ( p 2 ) l i m n o or 1 ( 亡，s 一) z = r ( t ，s ) z 对任意：t ，s r ，zek ， ( p 3 ) l i i n n 9 ( t + h ) = 9 1 ( t ) 对任意：ter ， ( p 4 ) l i m n - - 。o 0 9 1 ( t 一) = 9 ( t ) 对任意ter 州归上眦s ) “s ) d s ， 则有 t 1 ( t + ) 一西1 ( t ) = 【r ( t + ，s ) g ( s ) 一r 1 ( t ，s ) 9 l ( s ) d s j r = r r ( 舌+ 靠，s + ) 9 ( s + ) 一f ( ，s ) 9 - ( s ) d s = r m + + 训9 ( s + ) 9 1 】d s + 肛( t + ”+ ) - r 1 s ) 】9 l ( s ) d s 由( h ：) 和( p ，) 可知，对任意zek 有 i i r l ( t ，s ) z l l m e i t - s l i i 。i i 由勒贝格控制收敛定理以及( p 1 ) ，( p 。) ，可知 l i mt 1 ( + ) = 圣1 ( t ) ，ter 类似的也可证明 l i m 中l ( t t n ) = t 1 ( t ) ，ter 7 1 - 0 0 因此有t l ( 幻a a ( i r ，x ) 另一方面，由( 【1 9 】，定理2 4 ) 证明过程可知t z ( t ) a a o ( r ，x ) 因此 ( t z ) ( t ) p a a ( r ，x ) 下面，我们证明t 是p a a ( r ，x ) 到自身的压缩映射 1 4 兰三非自治发展方程的伪概自守解及应用3 2 主要内容 前面已经证明了t ：p a a ( r ，x ) hp a a ( r ，x ) 进一步，我们有 i i t z t l l s 婴i l r ( 亡，s ) l ll l l ( s ，z ( 5 ) ) 一f ( s ，秒( s ) ) l l d s t e r ，r l o l l 名一分i | 。s u p ( + ) i i r ( t ，s ) l l d s t e rj 一 j t 5 0 1 1 。一可| l s u p ( m e u o 一) d s + m e u o 一) d s r t ) ， t e rj 一 j t 2 l ，o _ _ _ _ y _ ul l x - y 因此t 是p a a ( r ，x ) 上的压缩映射又因为p a a ( r ，x ) ( 见定理2 1 2 ) 是 巴拿赫空间，由巴拿赫压缩映象原理可知，r 有唯一不动点z ( t ) p a a ( r ， x ) ，即结论成立 口 引理3 2 2 如果z ( ) p a a ( r ，x ) ，则有z ( 一九) p a a ( r ，x ) ，其中 0 是 常数。 证明过程和( 【1 9 】，定理2 6 ) 类似，这里省略了细节 定理3 2 3 假设( h ) 一( h 4 ) 成立。则e q p i 砂有唯一的伪概自守温和解 证明定义非线性算子 ( t z ) ( z ) = r ( t ，s ) ，( s ，z ( s h ) ) d s ，r 由定理3 2 1 证明过程中，可以发现t 映p a a ( r ，x ) 到自己，并且有 i i t z t 引i 。2 l ，o m z 一可l l 。 因此t 在p a a ( r ，x ) 上有唯一不动点，即是e q ( 3 1 2 ) 的伪概自守温和 解 口 为了研究e q ( 3 1 3 ) 的温和解，我们需要证明下面的复合定理 引理3 2 4 假设： ( h ：) ，( ，z ，梦) p a a ( r x x ，x ) ，并且对任意缸1 ，锄，移1 ，v 2 x ，三r i i ( t ，缸l ，t ，1 ) 一( t ，u 2 ，忱) 0 q ( i i u l 一地i i + i i v l 一v 2 1 1 ) ( 3 2 2 ) 1 5 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章非自治发展方程的伪概自守解及应用3 2 主要内容 ( h 5 ) q ( t ，z ) p a a ( r x ，r ) ，并且对任意u ，u x ，t r ， i q ( t ，缸) 一q ( t ，t ，) i q l i 让一u l i 士口果x ( t ) p a a l ( r ，x ) ，贝l j 有 ( ) ：= ，( ，z ( ) ，z 【q ( ，z ( ) ) ) p a a ( r ，x ) 证明因为o t p a a ( r x ，r ) 并且满足( h 5 ) ，有注记2 1 5 ，函数p ( ) ：= q ( ，z ( ) ) p a a ( r ，r ) 。记 g ( s ，t ) = z ( t ) ，s ，t r 则9 ( s ，t ) p a a ( r r ，x ) 因为它的值与s 无关并且，对任意s ，t 1 ，t 2 r ， 我们有 i i g ( s ，t 1 ) 一9 ( s ，t 2 ) l i l l t l 一t 2 1 同理有 y ( ) ：= 。【q ( ，z ( ) ) = 夕( ，p ( ) ) p a a ( r ，x ) 因此 ( ) ：= ，( ，z ( ) ，y ( ) ) 其中z ( t ) ，y ( t ) p a a ( r ，x ) 注意到，p a a ( rxx x ，x ) 并且满足( 3 2 2 ) 同引理2 1 4 证明类似， 我们得到a ( t ) p a a ( r ，x ) 口 如果在( h z ) 中p ( t ) = j ，则u 被称作指数稳定的，即 l i u ( t ，s ) j j m e u ( 伽) ，t s 定理3 2 5 假设( h 1 ) 一( h 3 ) ，( 峨) 以及( h s ) 成立u 是指数稳定的并且 m o = s u pi i ( t ，z ，t j ) l l 。指数稳定所以唯一眭得证 口 注记3 2 6 定理彳2 4 推广了g a l 俾咧的结论我们这里不需要月( t ) 有界 这个假设，即使a ( t ) 三a 3 3 应用 首先，我们考虑带d i r i c h l e t 条件的热传导方程 p ) - 跏 ) + 似屯小i n 蕊丽1 + ，1 一 ”， ( 3 3 1 ) l u ( t ，0 ) = 让( t ，1 ) = 0 ，ter 令x = l 2 ( o ，1 ) ， d ( b ) ：= z c 1 【o ，1 】；z 7 在【o ，1 】上绝对连续，x ，z ( o ) = x ( 1 ) = o ) ， b x ( r ) = z ( r ) ，r ( 0 ，1 ) ，z d ( b ) 则b 生成x 上的一个岛半群丁( t ) ，且可表示为 ( 刑z ) ( r ) = e 咄2 一( 叩nl 2 e n ( r ) 1 8 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章非自治发展方程的伪概自守解及应用 3 3 应用 其中 e n ( 7 _ ) = 、2s i n n r r ， 仃= 1 ，2 ， 且 i i t ( t ) l l e 一 r “，t 0 取线性算子族a 。( t ) 如下 = d ( b ) ，t r ( j e 7 + s i n 再磊万瓦1 丽) 。， z d ( a 1 ( z ) ) 则， a - ( 亡) ，t r ) 生成发展系统 u i ( t ，s ) k 。为 阢( t ，s ) z ：t ( t s ) e z s n 琢磊1 丽石打z ， 显然有 i u l ( t ，s ) l i e - ( ，r 2 - 1 ) ( 。一引，t 5 并且c ，1 ( 亡，s ) 满足( h 1 ) 一( h 3 ) 其中m = 1 ，“= 丌2 1 如果 胞u ) = u s i n 磊磊1 丽；+ 搿埘) c o s u ，t 6r 则， 满足( h 4 ) 由定理4 2 1 可知e q ( 3 3 1 ) 有唯一的伪概自守温和解。 下面研究一类更复杂的热传导方程 u ( t ，0 + u ( t , z ) c o s 再 + ，2 ( ，u ( t ，z ) ，u ( ( q ( t ，u ( t ，圳) ，z ) ) ， ( 3 3 2 ) = u ( t ，1 ) = 0 ，t r 定义线性算子族a z ( t ) 为 d ( a 2 ( t ) ) = d ( b ) ，t r a 2 ( t ) x = ( b + c o s 药磊) z ， z d ( a 2 ( t ) ) 1 9 ” = z a ， 【 引 a ，il_，、l_l 蠡 中国科学技术大学硕士学位论文 第三章非自治发展方程的伪概自守解及应用 3 3 应用 则， a 2 ( t ) ，t r ) 生成发展系统 巩( ，s ) k ，为 巩( t ，s ) z = t ( t s ) e z 嘲雨鬲1 干而打z ， 且有 i l u 2 ( t ，s ) l i e - ( _ - 2 - 1 ) ( 阳) ，t s 显然( t ，s ) 满足( h 。) 一( h 3 ) 其中m = 1 ，u = 7 r 2 1 如果 2 ( t , x , y ) = c o s xq - c o s y 】 c 0 8 2 + s i n t l + s i nv 信t + 搿删) 】 并且 q 加掣s i n 2 + c o l s t + c o sv t t 显然，2 ，( y 分别满足( 啦) 和( h s ) ，其中q = 2 ，伤= 注意至l ju = 7 r 2 1 ，m = 1 ，m o = 4 ，l = 4 贝0 g 1 m ( 岛l + 2 ) 2( i 1 4 + 2 ) 7 r 2 1 所以由定理4 2 4 知，e q ( 3 3 2 ) 有伪概自守温和解 2 0 第四章带无穷时滞的抽象分数次微分方程的解 4 1引言 本章中我们主要研究方程 训池【0 用 心， 的温和解 定义4 1 1 函数z ：( 一o o ，卅一+ x 是( 3 2 1 ) 的温和解，如果在【o ，卅上的连 续并且满足 邢) ：h 驯1 文t 卜s ) ( p ”八蚋。l m s 【0 t 】 i 妒( t ) ，t ( 一o o ，o 】 4 2 主要内容 我们首先作一些假设 ( h s ) 存在正常数l 使得 i i j ( t ， 1 ， 0 1 ) 一f ( t ，u 2 ，忱) i | l ( 1 l u l u 2 l l + i i t ，1 一也i i p ) 对所有t 【0 ，丁】，u 1 ，u 2 x ，u 1 ，v 2 p 成立 ( h 4 ) 存在正函数p ( t ) l 2 ( o ，t ) 使得 f ( t ，i t l ，y 1 ) 一f ( t ，乱2 ，u 2 ) 0 u ( t ) ( 1 l u a 一札2 i i + i l u l 一忱l l p ) 对所有t 【o ，t i ，u l ，u 2 x ，u 1 ，忱p 成立 ( h 5 ) 对任意r 0 ，存在l ( r ) 0 使得 f ( t ，u l ，v 1 ) 一f ( t ，u 2 ，也) l l l ( r ) ( 1 l u l u 2 i i + 0 t ，1 一忱l | p ) 对任意i l u 。让z u ，l i v z l b , r 成立 2 1 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章带无穷时滞的抽象分数次微分方程的解 4 2 主要内容 如果( h 。) 满足，则可得到温和解的存在唯一性 定理4 2 1 如果，c ( 【o ，t j xxp ) 并且满足( h 3 ) 则似j f ) 雨唯一的温 和解。 证明记p 【o ，t i ：= z ：( 一。，刁_ x ；z l 【0 ，刀c ( 【o ，刁，x ) 且x 0 p ) 则，p 1 0 ，邳 在如下范数下为巴拿赫空间 l i x l l p 【o ，卯：= s u pj | z ( t ) i l - i - i i z o l | p t e o 卅 对任意矽罗，令硝，卅： z p ( 。，卅；加= 妒) 显然，彬卅是p 【o ，7 1 的一个 闭凸子集定义非线性算子 ( 眺) ：墙肛s 弘p 八s 。l s 引0 t l 【荆， 。( 一。，o 】 则f 映硝卅到自身而且由( h ：) - - f 知，对任意t o ，卅，z ，y 彬，我 们有 i i ( f 洲一( 刚卅i l 南z ( t - s ) 。_ ) 【，( s ，蹴叫s ，小) ，纨) 】d s i i l l 志序_ s ) 1 ) l 1 1 小) 叫训i + i l z , - y , i i 水s 褊( 1 + 吲s u 。p 卅即) ) 卸s u p 护i i ( s ) 叫s ) 1 t 进一步，由归纳法得到，k = 1 ，2 ， r 量l k n i i ( f 奄z ) ( t ) 一( f 七u ) ( t ) l l f 褊( 1 + 挺s 【0 ，u p 刀( t ) ) 七。s u 【0 p 。l i i z ( s ) 一y ( s ) 1 1 因为 m 蛔 恕高南( 1 + t 【s u 咽p 聊) ) k o 所以我们可以取足够大的整数k 使得p 是磅卅上的压缩映射由巴拿 赫压缩映象原理的推论可知，f 有唯一的不动点z 磅翔，也就是( 4 1 1 ) 的解。 口 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章带无穷时滞的抽象分数次微分方程的解5 4 2 主要内容 注记4 2 2 即使在x = r 的情况下，该定理推广了【9 】中的相关结论 定王里4 2 3 假设f c ( 【o ，t 】x p ) 并且满足( h 4 ) 如果互1 0 我们记 搿：= z 妒；s u 。p 列i i z ( t ) l l 1 1 ( o ) 1 1 + * e l ot 口) 。i 令 b = s u p k ( ) ， f ( t ) ，i i 咖( o ) 1 1 ，恻i p ) ，r ；m a x a + b ，b ( a - t - 2 6 ) ) t e o ，引 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章带无穷时滞的抽象分数次微分方程的解 4 2 主要内容 显然，对z 哪有 蚋m a 。x ，j i i z ( 。) 1 1 ，i i z m 7 对任意t 【o ，卅以及z 榭，可以得到 i i f x ( 。) 妒( o ) o f 高 = _ 巧( 1 l f ( t , o , o ) l l + 2 r l ( 7 ) ) 进一步，对任意z ，y 碟于和舌f o ，7 】有 i i f x ( ) 一f ( t ) 0 f l 丽( r ) t q ( 1 + 6 ) 。s u 【o p ，站i i z ( s ) 一y ( s ) 1 1 所以任给0 e l ，存在r ( o ，丁) 使得对z ，y 榴1 挺m a x i i f z ( 。) 一( o ) 1 1 。 l f f z f 爹| l p o , t q f z 一爹 p o f 1 由巴拿赫压缩映象原理，f 在曙7 】上有唯一不动点，即为( 4 1 1 ) 在( 一o o ，r ) 上的温和解。 引王里4 2 5 假设f c ( o ，t 1 x p ) 并且满足( h 5 ) 如果“i ! ，在区间 ( - - ( 3 0 ，1 】c ( - - c x ) ，t 】上存在温和解，则解必定唯一 证明设镪，u 为( 4 1 - 1 ) 在( 一。，丁】上的解。令 t o = m a x t 【0 ，7 - 】；u l o ，t l 兰v l o ，】) 如果t o 7 - ，考虑方程 ：兰。二。i ，( 屯。( ) ，。t ) 亡【幻 7 - 】 c 4 2 - ， 与定理( 4 2 4 ) 证明类似，我们可以找到，y ( 0 ，7 _ 一t o 】使得e q ( 4 2 1 ) 在 【t o ，t o + 7 】上有唯一解。这样将与t o 的定义矛盾所以有t o = 7 - ，得证 中国科学技术大学硕士学位论文 第四章带无穷时滞的抽象分数次微分方程的解4 2 主要内容 定义4 2 6 函数z 称做( 4 1 1 ) 的最大解，如果z 是( 4 1 1 ) 在( 一0 0 ，t 】上的 解，而且对任意秒是( 4 1 1 ) 在( 一。，州上的解，则必有t t 且y ( s ) = z ( s ) ( s ( 一。，7 - 】) 定理4 2 7 假设，c ( 【o ，7 1 x p ) 并且满足( h 5 ) 如果z 是似j f ，在 ( 一o o ，t o ) 上的最大解则下面其中之一必成立 ( c 1 ) = t ( c 2 ) l i r as u p t 。耳慨t ) i l = o o 证明不妨假设t o t ，取0 c t t o 如果l i ms u p 扣r - i i z ( t ) l i 0 ，p ：= 砂( 6 ) ；砂( 6 i ) 是( 一o 。，0 1 到x 的有界函数) ，范数为 ( ) i | p = s u pi t 步( o ) 1 1 0 e ( - o o ，o t 则，p 是一个相空间( 见【2 6 】) 令 巾池扣羔( u 州劫， 其中( t ，u ，v ) 【0 ，t 】x p 贝0 有 i l l ( t , u 。, v , h 呲) | l 羔( i u l - , , 2 1 1m ( 一小却) 三( i l u l t 正2 | i + j j 1 一u 2 i i p