（基础数学专业论文）四阶奇异边值问题正解的存在性.pdf

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( o 。1 ) ： j 善( 。) = 七。f 叩) z ( 1 ) = 秽 1n 2 “( o ) 一o 。“( o ) = 移+ 【 ，。”( 1 ) + ( 1 ) = p 正鳃戆存在性，其中o 是 l 。o 莺 o 非线性项，( t 。箩) 可能在f = o 1 z = 疗及箩= 8 处奇弄， 厂c f ( o 1 ) p 、 曰) f p ) 口) 一p 是实b a u a d - 空问e 中的一个锥最后分 鄹给磁有限维空闯及无穷维空阉中的倒子说明条侔是合理的。 荚键词：奇异；多点边值问题；不动点定理； 正解 分类号： l 筠，8 2 山东师激大学硕士喾位论文 t h ee x i s t e n e eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n sf b rf o u r t h o r d e r s i n g u l 站b o u 臻d a r y 、强l 醢ep r b i e m s z h a n gs h e n g w e n t h ei n s t i t u t po s c i e n c eo fa 王a t h e m a t i c s s h 8 舯d o n gn o r m a lu n i v e r s i 尊 j i n a n s h a n d o n g 2 5 0 0 1 - 玉p r c h i n a a bs t r a c t s i n g u l a rn o i l l i n e 盯b o u n d 螂7v a l u ep r o b l e m s ( s b 、，p f o rs h o r t ) h a v er e s u l t e d 圭r o m n u c l e a rp h y s i c s g a sd ) n a l n i c s 。n e w t o i l i a l lf i u i di u a ( ：l l a i l i c s t h ct l l c o r c ，+ o fl j o u n d a r yl a y e r n o 珏l i n e 甜o p 毫i e s 撼d 鞫o n 。o 嫩王9 8 9 s 。s 疆蠢p r 曲l e 毽s 弧揪r e e e i d8g r e 散鑫e 越o f a t t e n t i o nb 、m a n 、r e s e a r c h e r s t h e r e f o r et h e 、。b e c o m ean e ws t u d ) n e l d a n dt h e r ea r e m a n ) e x c e 珏e n t 淄滋t s 。f o re x 锄p l e 湫t h er e s u l t so fr e 差e 凇c e 阳秘? ：2 0 2 7 3 站 l nr ( 下e n ty p a r s t l 】pf o u r t b o r d e rb 0 1 h l d a r ，v a l l l ( tp r o b j ：n sr a nd p s c r i b ct h ( 、d p - f o r m a t i o no a ne l a s t i ( 1b e a n le q u i l i b r i u ms t a t pa n dh a v ec o m p r e h e n s i 、译a p p l i c a t i o ni n e l a 或i e i t ，+ i n e 出a n i e sa n de n 签n e e r i n gp h 、s i c s b p c a u s ee i t h 甜t 量l ef 强e t i o n 甜t h e 、麓r 主a b l e i t s c l f r h i c hi si l l a t h e u i a t i c a li l j u d c lr e s u l t o df o n j8 0 n l ci l 工l p u r t a i na c t u a 】p r u b l c i 从5 n l a 、 汝s i l l g 杖l 氇r 戤e 髓基p 。i 越s 。t 魏es 谁d j o 聚萄。砖髅s b 、甲b e m 薛、a e t i v e 。参簖e x 搬一 p l e s e e 2 3 1 9 2 ( j - 2 3 2 7 3 0 ： h 。i 、p v e r 佟wp a p e r sh a v eb e e nr e p o r t e do nt h es 砌e p r o b 王e m s 王o rm u l t i p o i n ts b 、，p s ot h ec o 斌e n tt h a tw is t u d i e dh 8 l si m p o r t a n tt h e o r e t i c 啦 a n da p p i i c a b i ( 、糟n l o t h i sp a p e rd i s c u s s e st h e 如u r t h o r d e rs b 、甲m o r ig e n e r a 】l 、ia n do b t a i n ss o m eu s e f u l r e s u 珏so n 专廷eb a s 熏so f8 b o v ed i s e 毽s s i o 毅s 。盔 t h e8 a f n et i 羔矬e ，w es 乞毽d y 毛蠢ee o r r e s p o 珏玉 i i l gn n l l t i p o i l 如p r o b l c l i i s 砒l d0 1 ) t a h 土t h pc 姐s t c l j c co fa t1 c a s t u n cp o s i t iv ( 1s o l u t i 0 1 j 砒l d m t l l t i p l ep o s i t v es o l u t i o n st o 专h ep r o b l e 凇。 t h e r pa l r ef o u rc h 印t e r si nt h ed i s s e r t a t i o n i nt h ef l r s tc h a p t e r b 、。u s i n gt h el e g g e t t w i l l i a m sf b ( e dp o i n tt h e o r e m 。辨d e a lw i t h t b p 随s t e n c eo fm t l l t i p 强p o s i i v ps 戎 l t i ( ) n s 鞠di 魏纛飘i t e l ) 7 趣牲n ) p o 惑t i v 簪s o i l 拧i 强sf o r 毛h p 3 基东掰范大学硕士学使论文 o u o w l n g 士o u r t h o r d e rs bv p f ) = 邢趣掳班哟。 t 王。 1 丁( o ) = 丁( 1 ) = 丁( 。) = 。，( 1 ) = o w l l e r e ，( 亡- o 箩) m 8 ，七es i n g u l a ra t o a n d = 1 a tp r e s e n tt i m e 越m o s ta l lp a p e r s h a 胖s t u d i e dt ke x i s t e n c eo fs i n g 王eo rd o u b l ps o l u t i o n so ft h ph i g ho r d e rs b 、p t oo t l r k 1 1 0 w l e d g e t h e r ei sn op a p e rt oc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm o r es o l u t i o n so ft h ea b a v e p r o b l e l 廷t h i se l f 巾t e rg e n e r a l i z 。st 魏pp r c i 、i o 毽sr e s l l l t sa n ( 圭a ne x a 芏￥l p l f 、i sw o r & 蠢( x l o i n d i c 扎eo u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e 弧也ps e n dc h a p t e r 。w 遗v e s t i g 酞e st i 羚e 聂s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o l 搿o ft h e f o i l o w i l l gs b v p f 稿a 姆净弛似嘲， f 基( 叭) ， t 徊j - o 泖) = 州a 锃弋。净o 飞) = 甜( 班 w h e r et h en o n l i n e 撕t y ，( ! u ) m a y b ps i n g m a ra tf = 0 。1 a n d 乱= o + 0 叼 1 o f l 。蛔 “ 箩( 善i ) t ；= l 批一2 可”( o ) = o 可”f 1 ： = f “7 z 篇1 1 ) 。0 1 m 一2 o i 1 管= = 0 b y 珏s i n g 羲x e dp o i ￥接 2 锄一2 王。 露l ，砼 ，；鞲一2 m 一2 啦 1 a n d ，( f 可) m a 、r b es i n g u l a ra tt = o 1a n d ? = l 专h r y 泌e o l 狯s 。a 矬e x p l i e i ti l 建e r 礴l l 孙r 天皇sd 殴i ds 珏商 t h a tf o ra n yai nt h i si n t e r 、试，t h ee ) c i s t e n c eo fa t1 e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o no rd o u b k p o s i t i v es o l u t i o n st ot h ea b 洲es b v p 主sg u 豁a 砒e e d 4 c l l a p t e r4i n v e s t 远a t e st h ee 贼s t c i l c eo fa tl e a s to n e 甜l di n u l t i p l cp o s i t i v e8 0 l u t i o n s 斟 o ft h pf d l o w i n gt h r e e - p o i n ts b 、pi l ja b s t r a c t 嚣p a c e 1z 4 = 。，t 。f 1 ) 。3 - ”0 ) ) 。! ( 转+ 1 ) j 篁( o ) = 妇( 椎z ( i 净秽 1 d 7 f o ) 一触( o j ：秽。 l 常”f l j 融”( 1 j = 乎 、h e r p o 南 1 0 町 o 。，( 亡z 箩) 毽颦泌s 魄g 遗嚣r 毡芏江o 。王- = 爵躐琏爹= 窘：歹c g 。王 yp 乎 一p ) 移 。舅。a t 1 a s t t w - ( je x a m p l e si nf ：i n i t 9 - d i m e n s i o l l a l8 p a c eo ri ni n n n i t e 岫d i m e n s i o n 削s p a c ea r ew o r k e d o 毪专专oi 鞋蠢i f ，撞po 畦rf 秘出t ( ) 蔽塞鑫r p l s o 鞋a b l o k e yw b r d s ：s i n g u l 默：a i u l t i - p o i mb o u n d a 羚v 出u ep r 。b l e m s ：f 波嗣p o i n tt h e o r e m ： p o s i t i 、肇s o l u t i o n + c l a s s i f i e a 毫；c n ：( ) 】礴s 5 出裘孵范大学硬士学位论文 第一章四阶奇异边值问题多个正解的存在性 l 。1 引言及预备知识 奇异边值问题是微分方程中一个十分重要的研究领域f 1 3 ，5 - 7 由于广泛的应 爱背景，近期对匿阶奇异边僮惩题的研究十分活跃：2 3 ，文麸【2 - 翅中采耀的方法 一般为锥压缩与锥拉伸不动点定理，得到的结论主要是至少二个正解的存在性，但 对于至少三个正解存在性的结论并不多见本章采用与文献f 2 一踟不同的方法，利 用l e g g e t t w 滩a m s 不动点定理，得到了四阶奇异边值闻题 r “4 ) ( o = ，( 叫o 。 ”0 k l ( 1 1 1 1 ) lz ( o ) = o ( 1 ) = z 嚣( o ) = z 群( 1 ) ：。 至少三个正解的存在性，其中，毫e ( o 1 ) f o 十。) ( 一。c o ：f o 斗x ) j ，在t = o ，= 圭处具有鸯性。为了方便列娥本章使零的赣设条件 ( 尉1 )，( 茹可) s 口( 1 ) 9 ( z 可) 其中q c 【( o 1 ) 【o + ) ：9 c 【o + x ) ( 一。c o j 【o 。j l 且磊s ( 1 一s ) 擘f s j 鑫s o t ( o 1 ) 满足方程 ( 1 1 1 ) 则称z 为b 、甲( 1 1 ，l j 的一个正解 定义王。王2 设p 是安b a n a e h 空闻中一个锥，称盎秀p 上的一个葺受连续鐾 泛函，如果o ：p i o 一。c ) 连续，并且满足a ( 亡z ( 1 一t ) 秽) t q ( z ) - ( 1 一j q ( n v z ? 矽 只s 王。 由锥p 和凹泛函q 的定义，我们引入下面的记号 定义l 。1 3 令o 双 6 “是锥p 上的一个鼍暑负连续凹泛函，定义凸集 r p ( 以6 ) 为 只= z p ：l | zl i 接) 。 p ( q ，a ，6 ) 一 z p ：n q ( z ) ，i i 芏i l 6 ， 引理1 1 1 | 4 l ( l e g g e t t w i l l i 锄s 不动点定理) 设p 是实b a n a c h 空间e 中一个 锥，n 为p 上的一个非负连续凹泛函，丁：夏一耳是全连续的，假设存在正数 o 鑫 6 ： ( 薹主)| l 丁| | d 有q ( 丁r j 6 则r 至少有三个不动点。1 z 2 和z 3 使得! z l i “。f ， c f 且 疆i 3 各。 1 2 正解的存在性 设f = 。芝0 2 甄l ：篁= 。 l j o 。其范数l ；2 融一蕊a x 。f 。| ；。| lz ”瞄 其中i 17 = 1 l l 强z f ” f l 弓l 理1 2 。1 若z 呱l ! 。s l ：? 7 ! s l lz 1 1 证鹾对。由。f o ) 一。懿z t ) = 名2 7 i r ) c f 7 - v 陋l j 所以| ；。隆lz 又由z ( o ) = z f l 忙o 则存在f ( o 1 ) 满足z 他) = o 故z 竹) = 詹丁f f ) d 7 - vt 盼l ：从掰有l ：o 鲥z ”l 三 由此引理可知f ! 丁| | 2 = i l 孵矿f 显然f 层；丁是b 砒l a c l l 空间，而且若 t ! u l j o 氛，z 墨1 lo 嚣一。| ：2 一( ) ( 羚一。c ) 。易知l l 孙一。l ! 一o ( 辨一x ) 设g ms ) 为边值问题 一一誓 = no 7 1 的g r e e n 函数，则设g ms ) 为边值问题 的g r e e n 函数，则 iz ( o j - ( 1 j = o g ( f s ) 取定窘 f j7 ( i - 一1s ( 1 一 、 乏陬缸 q ) o 7 s 1 一一一 并且g f t 8 ) 2 f 1 一) g i f s ) v 7 s 兰f 0 1 t j o 5 f l 剿存在o 0 + 对￥z d 使得i ；zl i 2 s 工凰 ( t ) 一一z 3g ( t 。s j ? 弦( s ) 西$ 三t ( 1 一) | ；。| 。吾 由( l 知 一( r ) ”( j 一7g f s j ，( s z ( 8 ) z 聍f s ) ) d s 7s ( 1 一s ) 譬( s ) 9 ( ( s ) 。z ( s ) ) d s 厂l m s ( 1 一s ) q ( s ) 如 。c 其中掰= m a x 9 ( 。可) 。 o ，；耳掣【一( 限邵f p ) 是有界的 下面说明 ( r z ) ：。d ) 是等度连续的类似于文献 2 ：中引理2 3 可以 说嚷f z 。职 ) 在。扩霸一l 一时一致收敛于。鞠f 兰之；f t ) 在( o ! 王) 的任一翅 子区悯上等度连续即可 最后说明r 是连续的设。”篁p 且! ；z 。一l1 2 一o ( 投一x ) 。则i ! 。一贯lr 一0 e l l ( 目1 ) 及勒炙格控制收敛定理知( r 。扎) ( f j f 殛暇班vt 兰f ( 。l ：， 又由于 丁z 礼) 相对紧，故1 丁z 。一z zi ：一o 至此可得z ：p p 全连续+ 二 秀方便叙述本章豹主要结果，令 n = z 1 8 ( 1 一s ) q ( s ) d s j = 。专男鬯。：( 1 8g ( t s ) d s 定理1 2 1 设( 噩) 戚立，并且假设存在常数o 窿 务 盯e 使得 ( 日2 )夕( 。，剪) 鲁，o 丁sn os 一n ( 憨) ， 。鬈爹) ；， 0 泌：l 一翻，os 髫e 玉一爹se ( 段) 9 ( z 毫) 去， o zsc o 一妙c 则b v p ( 1 1 。王) 至少有三个正勰z l ，z 2 和z 3 。满足 l | 搿li i 2 b ) 伽任取丁p l n i ) 軎) 则由引理1 2 1 知 o z f t ) l ! z 墨鲁玉曼一a ( ) 冬i ：z 言 f p 1 一纠 由( 玩 知，当防l 一秽：时，有歹( t t 。， ：。所以 q ( 丁z ) = ：，鬻j ! 。j ( 一f 丁z ) ( 。) ) # ，z 翌p ：z ，g 。s ) 厂f 8 z ( s ) z ( s ) ) d s ，j 一j 一一ir l p 1 一一r j 。；? 鞋学：石1 8g f 九s 九f ( s 彳( 冀，z ”r s ) ，蠢s 軎。嚣j 翟。：z 1 一手( ；e t 辩蠢 = 玉 。鞋乳名g 观f 江彳( 黪z ”批) j 出若蚝鬻翟口：z g 秘辩办= 玉 最焉证明引理1 。1 1 中l 成立。假设丁善p i q f ，c i 满足丁r ：2 軎有 q 胁户，；舟。：丁。j ”( f ) 七f 舟n ，g s ) 加- 舶 廊 ，；l n j 一】一n 。f 拶厂1 g 喜$ j ，f s 。( s ) 。，f s g s fl ，1 2 f 。鱼。玉 拶厶g 滢$ j m 。疗协f ，pf 詈一玉 o o 因此由引理1 1 1 知结论成立= 定理王。2 。2 设i 是l j 成立，并且假设存在常数o 睡i 务l 粤 拦2 k 鲁 a 3 口九使之满足 ( 1 )9 ( z ) 。渺。l 一研。玩z 冬等，酞s 彭譬警。 则b v p ( 1 ，1 1 ) 至少存在2 竹一1 个正解 证明当n l 时，由( 1 ) 知a ：8 ，一r ，c 只，由s c h a u d e r 不动点定理知a 9 山东耀范大学硕士学盟论文 至少有一个不动点z 1 瓦。当n = 2 时，( 定理1 2 1 假设满足) ( 其中c = a 2 ) 则有 茹il ；2 穗l 。务l & i a ( 善3 ) 玩 依此类推，则知结论成立口 例考虑四阶奇异遗值问题 1 3 应用 p 。、= 赤商一丽也” ”0 j 。c 时，条俘( 越j 玩j 成立。当取玉 厂( z 羔，) 2 2 万、1 一c 格 等时，有 ；t p 1 目j o 冬zs c 厶曼剪c 筇甄成立。故只要选取 8 玉 万。旦。凳。鑫定理l ，2 ，l 懂露结论成立。 王0 志 山东师范大学硕士学位论文 第二章四阶奇异四点边值问题的正解 2 1 引言及准备工作 近年来，关于多点边值问题的研究逐渐增多，并取得了一系列较好的结果如 文【1 0 一1 5 ：和1 1 9 2 3 ：但有关四阶四点奇异边值问题的研究并不多见如前所述，四 阶非线性方程的边值问题在弹性力学和工程物理中有非常广泛的应用，十分重要 所以本章考虑如下四阶四点奇异边值问题 p h ) _ ，仕叫) k ( 0 1 j ： ( o 1 1 ) iu ( o ) = o u ( 1 ) = n 钆f 手) “( o ) = o “f 1 1 = 6 u ( 叩) 正解的存在性，其中非线性项，( t u 1 在f = o = 1 及“= o 奇异，且，c ( o 1 ) ( o + 。c ) 月+ o 7 7 1 o 。j 一矗之i o ? f n 一唑 ! = ! ：鱼些i 坐! o 6 铲唑 生罢：霉些i ! 盟 o l n ：l 一，7 ， ( 2 jg ( t 。s t ( 王一t j g ( s s ；。v ( t 。s ) p 1 ：f o 。l 】 证明性质( 1 j 在文 1 6 ：中已给出证明，现在来证明性质( 2 ) 对铲掣( ：1 ) 。由文f 2 2 1 可絮 黑之( 1 - ) v ( o ，1 ) 一，一，i v 1 6 t u 1 j g s ) 一。 7。、+7 不难验涯当vt 。s 。移甄l 】对有g 辑s ) g s 颓王一) 。再取 ，= s 鄙得 g ( t ! s ) g ( s s ) ( 1 一) v ，s f 0 1 口 莩| 理2 王2 1 1 钥( 范数形式的锥压控不动点定理；设q l 。q 2 是毽毡鼗a c l l 空闻e 中 两个有界开集，扫q 1 面cq 2 若算子a ：pn ( 面q 1 ) 一p 全连续其中口表示 的零元，p 为e 的一个锥，假设下列两个条件之一成立： 趣东爆范大学硕学绽论文 ( i ；a 。f ；si l z 小v z p _ a q l ：i ；a z i f i z l l 可t pnp q 2 ： 戏 ( i i ) ；a 2 ，i ； z ：v 互p - a q l ： ；a z j 曼l z f ：v z 户n 8 q 2 那么，a 在p n f 砸、q 1 ) 中妊有不动点 2 2 主要结果 本章所利用的基本空间为c o 1 按最大值范数j _ 它成为一b a n a c h 空间 设p = 材o o ，硝：鞋l ；兰t f l 一珊鬈曩f ! o 。l m 显然p 为f o 1 ：中的锥。 为了方便，先给出如下条件： ( 日l j存在常数a ( 一x a o 芦 j 肼( o 曼lsm j + 使得 c p ，i f t 工) 基，( t ，c u ) c “，( t “j 0 c 曼n c a ，( t 。就) s ，( t 黝jse ，( 就j e 兰a 一 f 玩) o 露m 1 一s ) ! 卜3 ，1j 如 一。c 注：满足条件f 日ll 的典氆函数为，( f 。j = 譬i 啦f f ) 丁如其中a = a ：sa ： 5a 玉 o 有a ：芦尺只一p 是全连续的，其中b = 豇p ： r o a ：曰嚣一p 董3 选取c 1 满足r a z 贝4 对u 只只￥f 0 1 j 有 c j u ( ，j 人- 1 结合条件( 日1 ) 和( 日2 ) 可得出 ( a ，“) ( f ) = z 1g ( s ) z 1 日( s 丁) ，( 7 ( f ) ) d f d s 妯小，小训扣州删s 妯z 1 d sz 1 m 叫c ；一“删札n 打 s 厶，z 1 g ( s 5 ) d sz 1 f ( 1 一_ ) ：1 一a c 一p ，( f 1 ) i u i c f s r b ，c i 叫z 1 g ( s 5 ) ( 2 sz 1 h 一r ) 1 1 十1 ，( f 1j ( f _ o j j = 6 o 使得当i t l 一t 2 i 6 时有 g ( t 1 s ) 一g ( 2 s ) r 满足 1 ；a u ! si l u l l r “6 尸r ( 2 2 4 ) 事实上，选取r t r 满足暑m 并令击= 鲁则有c 1 = 翕s 击1 即 c 1 月l = 击 _ f 取 月= m a x 月“6 ，卜，。z 1 1 一叫1 + a ，( 丁1 ) 打z 1g f s s ) d s ) 南) 1 5 虫东孵蔻大学硕士学位论文 由( 2 2 1 ) 式司以得出 产l，1 | ；a 戡“2 嚣嚣! a 毪i 移1zg s 一) 出工 7 ( 1 一r 朝歹曩毯( ) ) 打 6 1 c p 。z ， 7 - ( 1 叫 1 + 加1 ) d 丁z 州8l ，f ) 0 硝一h 嘴，湫卜州h p 王) 鼢z 研s s 獬s r v 搿a p 圩 由此，邵得( 2 + 2 ，4 式成立 综上，由( 2 2 3j 和( 2 2 4 ) 式弗利用引理2 1 2 得出结论成立 口 下面的定理给出了s b 、? p ( 2 。1 王有多重正解的充分条俘。 定理2 2 2 设条件( 村1 ) 和( 烈2 ) 成立，另外再设下列两个条件成立， ( 玩) 存在常数a 7 1 使得 ，铡) 2c a t 瓤卜o es ，( t 。翻) ，( t “) c a ， f 飙j b 1 6 ；一p 詹g ( s $ j 出詹f f ( 1 一f ) ：1 厂hl j 毋 王其中沁= m i n 警击 则s b 、甲( 2 。1 1 ) 至少有两个正解? l 川2 p 满足o i 1 舢2 i j o 其中n 8 ( o 1 ) - 令 霞= 篙小锄瞰王刮叫舯z 1 膨加“嘲专。 设n ( 1 一一) = 六贝0 八= 志因此对v “扫p k s f n 翱有? ( sj n f l o ) l l t f 酆 妻札竽霄拟 结合 承1 可以得出 m a x 1 ( a t i ) ( t ) 26 2 c 毫f o 1 ：一 。 如 ( 1g ( 。s ) d s ( 8 i 下( 1 一r ) ，( 7 u l 下) ) d 丁 z 1 ( ；f ，s 蠢sz 抒f f ( i 一丁) j 一| 钍( f j | f ，f r + l 疰f 幻月7z 1g ( f 8 ) d sz f n ( 1 3 ) 】1 + a 一p ，( r 1 d f 嚣 即( 2 2 6 ) 式成立 综上，利罴2 2 。3 j ，f 2 。3 焉) 。( 2 2 翻郓辱| 理2 。i 。2 可靠结论成立 例2 3 1 考虑溺 2 3 应用 ，t 。锃j ：8 呔 缸一3 + 8 2 f 毂； 时的s b 、甲f 2 1 1j 其中o 。r f f o 1 ) 冗j ( i = 1 21 满足 ，1 o 譬f l 一) ：一2 瞳l f t 一垃2 ( ) j 摩 一x + ，o 由定理2 2 1 不难看出，s b 、甲( 2 1 1j 至少有一个正解 例2 。3 。2 考虑当 ，( t “) = 老1 ( “一2 。2 ( t ) “： 时的s b 、p ( 2 1 。1 ) 其中e f ( o 1 ) 矿礤= l 一 ，l o 7 水( 1 一t ) - 1 f 砖1 ( ) + 也( t ) j 改 一 且 斋石1g ( s 州5 序1 叫r 阳怕雕1 内定理2 2 。2 ，可以看出s b 、p ( 2 1 1 ) 至少有两个正鳃存在 山东师范大学硕士学位论文 第三章含参数的四阶奇异多点边值问题正解的存在性 3 1 引言和预备知识 奇异非线性边值问题一直是数学工作者和其他科技工作者所关心的重要问题 之一有关奇异微分方程边值问题解的存在陛，正解的存在性，唯一性，近二十年 来得到广泛研究( 降7 ：【2 0 2 7 3 0 ) 就我们所知，目前只有少数文献研究了高阶奇异 边值问题，而对于高阶奇异多点边值问题的研究并不多见所以本章考虑奇异四阶 微分方程多点边值问题 ， l 4 ( t ) = 入厂( t 可( t ) ) ， ( o 1 ) ： y ( o ) = o 可( 1 ) = 沓2 a t y ( 孙 ( 3 1 1 ) i 圹( o ) = o y ( 1 ) = 笛2 玩以训 解的存在性，其中矗叼? ( o 1 ) 且o 1 2 知一2 1 o 叩1 啦 叼m 一2 1 n t 6 ：【o 。c ) 篙2 0 。 1 篙2 6 ： o 。有怠矗片( s ) 如 o c f cc ( o 1j 曰一：满足 。f 。芗) 8 ( f j ￥f 9 。l j o 使得【) a o 使得o a o + 使得0 天 o 使得o a o 有丁：r 辟一p 是全连 续的 证明根据条侔( 蠢1 ) 及g r e e l l 邈数睦质，不难验诞：尹 黟 一p 最f 是有 界的 下面证臻对任给的有界集寥兰霆只? f 骞1 是等度连续的 事实上，对弛b f 【o 1 j 则有( 1 一) rs 捌sr 根据条件( 尉l j 知， o 上拧出 o 满足 ，( t ，秽) 兰p 暑， vt c d 】。箩 譬( 1 一d ) ， ( 3 2 3 ) ，盯 p a 沁( 1 一d ) 1 3 ( s ( 1 一s ) 矗s ) 2 1 ，va o 一c 如东l | 西范大学硕士学像论文 令o o 工 f c ( 1 一d ) 2 ( rs ( 1 一刚d s ) 2 ) 使得 歹( 。秽) ? v f c 。蛹o 爹 茇3 2 6 ) 尘奎堕整盔兰堡主堂堡丝窒 令 。 a m ；n a 五_ 蠡 丑t 一2 矗r z = a 。 一方面，对吻a h ，我们有 | | 功”= 蕊；a z l s ( 。s ) z 1 嚣江秽) 歹( 鼓爹p j ) a 移玉15 久2 2 1 勘笏f s ) 丞g 2 基 即 | ：z 爹| | | 爹i ，。 芗毋瓷i 。f 3 。2 。7 ) 另一方面，对v ! ，0 r e ：我们有 g 箩f j 天 o j 令 i 彳w _ ? 。露l 黧掰冗。= a l l 君 2 露a 。r 。“u 一”“一“”“ 勋l i 。v 耖毫a 如，( 3