（基础数学专业论文）第二类stirling数及其推广.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 计数组合学是组合数学的重要研究方向之一，主要研究有限集合上的组合结构在给 定条件下的计数问题第二类s t i r l i n g 数是组合数学中一类基本的计数，作为计数工具起 着重要而特殊的作用第二类s t i r r i n g 数的组合意义是计数佗元集合舡分拆的数目，组合 数学家对其研究已经相当系统，它具有单峰性、对数凹性、p f 性质等根据组合意义，本 文对块中元素进行限制，给出了第二类s t i r l i n g 数的推广，并研究了它们的基本性质 本文的主要工作可概括如下： 第一章主要介绍了第二类s t i r l i n g 数的基本性质首先，介绍了第二类s t i r l i n g 数的各 种递推关系、发生函数以及与e u l e r i a n 数的反演关系，接着介绍了第二类s t i r l i n g 矩阵；其 次，总结了b e l l 数和b e l l 多项式的相关性质 第二部分研究了推广的第二类s t i r r i n g 数首先，详细地研究了第二类r s t i r l i n g 数的 性质，我们给出了r - b e l l 数的对数凸性及r - b e l l 多项式的g - 对数凸性，并说明了第二类 r - s t i r l i n g 变换保持对数凸性、第二类r s t i r l i n g 序列是p f 的，同时给出了r b e l l 多项式的 二项式卷积公式最后，给出了b e s s e l 数、第二类相伴r s t i r l i n g 数和c a t a l a n 数的相关性 质 关键词：第二类s t i r l i n g 数；发生函数；对数凹性；对数凸性；单峰性；递归关系 s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n da n d t h e i rg e n e r a l i z a t i o n s a b s t r a c t e n u m e r a t i v ec o m b i n a t o r i c si sa ni m p o r t a n tp a r ti nc o m b i n a t o r i e sa n dc o u n t st h en u m b e r o fe l e m e n t so faf i n i t es e ts s t i f l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n da r et h ep r i m a r yc o m b i n a t o r i a l n u m b e r s t h e yp l a ya ni m p o r t a n ta n ds p e c i f i cr o l ei ne n u m e r a t i v ep r o b l e m s t i r l i n gn u m b e r s o ft h es e c o n dk i n da r et h en u m b e r so fk - p a r t i t i o n so n 叫t h es t u d yo fs t i r l i n gn u m b e r so ft h e s e c o n dk i n di sq u i t es y s t e m t h e ya r eu n i m o d a l ，l o g - c o n c a v e , l o g - c o n v e xa n dp 6 1 y a - f r e q u e n c y s e q u e n c e sa n ds oo n w eg e tn e wn u m b e r sf r o mr e s t r i c t i n ge l e m e n t si ne v e r ys u b s e t s ot h e g e n e r a l i z a t i o n so fs t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n da r i s ei nc o m b i n a t o r i c s t h i sa r t i c l e i s d e v o t e dt ot h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e s en e wn u m b e r s t h em a i nf r a m ei sa sf o l l o w s t h ef i r s tc h a p t e rc o n t r i b u t e st ot h eb a s i cp r o p e r t i e so fs t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d f i r s to fa 1 1 w ei n t r o d u c er e c u r r e n c er e l a t i o n sa n dg e n e r a t i n gf u n c t i o n so fs t i f l i n gn u m b e r so f t h es e c o n dk i n d t h e n ，w eg i v es t i r l i n gm a t r i xo ft h es e c o n dk i n da n dt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a f o rs t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d a f t e rt h a t ，w ec o n c l u d et h ep r o p e r t i e so fb e l ln u m b e r s a n db e l lp o l y n o m i a l s t h es e c o n dp a r ti n v e s t i g a t e st h eg e n e r a l i z a t i o n so fs t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n di n d e t a i l w 宅s t u d yt h ep r o p e r t i e so fr - s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d t h e nw es h o wl o g - c o n v e x i t yo f r - b e l ln u m b e r sa n dq - l o g - c o n v e x i t yo fr - b e up o l y n o m i a l s w ea l s os h o wo p e r a t o ro n t h er - s t i r r i n gs e q u e n c e so ft h es e c o n dk i n dt h a tp r e s e r v el o g - c o n v e x i t ya n dr - s t i r l i n gs e q u e n c e s o ft h es e c o n dk i n da r ep fs e q u e n c e s a tl a s t ，w eg i v et h ep r o p e r t i e so fb e s s e ln u m b e r s ，a s s o c i a l r - s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n da n dc ：a t a l a nn u m b e r s k e y w o r d s ：s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n s ；l o g - c o n c a v i t y ；l o g - c o n v e x i t y ；u n i m o d a l i t y ；r e c u r r e n c er e l a t i o n s i i i 大连理工大学学位论文独创性说明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是我个人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不 包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用 途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：笠三壅墨尘! ! 盟鳖垒圭丝亡 一一 作者签名：查锄 日期：迦q 芝年月_ 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保留论 文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 篁三耋墨之哮叠坚丝亡一一一 作者签名：至函日期：塑殳翌年月卫日 导师签名：乏丝曼 日期：丝鳗年互月卫日 3 7 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景 计数组合学是组合数学的重要研究方向之一，主要研究有限集合上的组合结构在给定 条件下的计数问题二项式系数、多项式系数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、两类s t i r i n g 数、b e l l 数、c a t a l a n 数以及f i b o n a c c i 数等等都是计数组合数学中的经典计数经典组合序列源于 组合数学中的计数问题，并被作为计数工具使用，起着重要而特殊的作用s t i r l i n g 数是基 本的组合数之一，它的概念最初是由s t i r r i n g 于1 7 3 0 年提出的，并在他的著作( ( m e t h o d u s d i f f e r e n t i a l i s ) ) 中首次使用t h i e l e 和n i e l s e n 于1 7 7 0 年正式运用这一名称，l a g r a n g e 推导 出了第一类s t i r r i n g 数的递推关系和一些数论性质l a p l a c e 和c a u c h y 则对第二类s t i r r i n g 数的逼近理论进行了研充d o r d a n 对s t i r r i n g 数进行了系统研究j 并得出了s t i r r i n g 数的 若干性质1 9 7 4 年，c o m t e t 在他的著作【1 】第五章中介绍了两类s t i f l i n g 数，并提供了大量 的参考文献 n 元集合 1 ，2 ，犯) 的分拆是组合数学中最为熟知的基本研究对象之一第二类 s t i r l i n g 数计数n 元集合的珏分拆的数目，它一直是研究者非常感兴趣的对象，因为它在 数论、概率论、组合论等方面有着重要的应用，并且经常出现在有禁分拆和格路的计数 中许多学者从不同角度对经典的s t i r r i n g 数进行了各种推广c a r l i t z 【2 ，3 】研究了两类加 权s t i r r i n g 数和退化s t i r r i n g 数，h o w a r d 【4 】研究了加权的退化的s t i r r i n g 数，c h a r a l a m b i d e s 和k o u t r a si s 、g o u l d 和h o p p e ri s 、t y s l o v a 【7 】等对s t i r r i n g 数的其他不同形式做了推广 1 9 9 8 年，徐利治和薛昭雄f 8 】对这些不同形式的推广作了一个统一的处理此外，e h r e n b o r g 【9 1 研究了q - s t i r l i n g 数组成的矩阵的性质，r e m m e l 1 0 】研究了推广的s t i r l i n g 数和它们的 ( p ，q ) 模拟在r o o k 理论中的应用，l a b e l l e 1 1 】等用有禁排列来给出了s t i r l i n g 数的q 模拟 的组合解释，w a c h s 和w h i t e 1 2 】通过集合分拆的某些统计量来研究s t i h i n g 数的，g ) 一模 拟因此，从组合意义上来研究经典的第二类s t i r r i n g 数及推广的第二类s t i r r i n g 数的其他 性质将是十分有意义的 本文的主要工作分为两部分：第一部分对第二类s t i r r i n g 数的相关性质进行归纳总结 c o m t e t 在其著作【1 】中证明了第二类s t i r r i n g 数的单峰性，关于其对数凹性的研究可参考 1 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 j h a r p e r l l 7 】证明了第二类s t i h i n g 数具有p f 性质最近，刘丽和王毅f 1 8 】给出 了第二类s t i r l i n g 变换是保持对数凸的b 6 n a 研究了第二类s t i r l i n g 数与e u l e r i a n 数的反 1 第二类s t i r l i n g 数及其推广 演关系以及第二类s t i r l i n g 数的近似值b r e n t i 1 9 】证明了第二类s t i r l i n g 矩阵是t p 矩阵， c h e o n 和k i m 则把第二类s t i r l i n g 矩阵进行了分解，将其与p a s c a l 三角矩阵联系起来接 下来我们详细地讨论了b e l l 数、b e l l 多项式的相关性质 第二部分从组合角度对第二类s t i r l i n g 数进行推广，产生了一系列具有组合意义的 广义的第二类s t i r l i n g 数比如，第二类r - s t i r l i n g 数、第二类相伴， s t i r l i n g 数、b e s s e l 数、c a t a l a n 数等等我们主要研究了第二类r - s t i f l i n g 数、第二类相伴r - s t i r r i n g 数、b e s s e l 数以及c a t a l a n 数的发生函数、递推关系以及其他性质，我们给出了第二类r s t i r l i n g 数的 对数凹性质、保持对数凸性质、p f 性质以及r b e l l 多项式的二项式卷积等 1 2 基本概念和术语 假设a o ，a 1 ，a 2 是非负实数序列如果存在m 0 ，使得a o a l o 仇a m 十1 a m + 2 ，则称序列 口t ) i 0 是单峰的，并且称下标m 为峰点，称a m 为峰值如果对于任 意i 0 ，都有2 a 0 4 1 + 0 4 + 1 ( 2 0 4 0 4 1 + 0 4 + 1 ) ，则称序列是凹的( 凸的) 如果对于任意 的i 0 ，都有霹a i 一1 毗+ 1 ( 2 毗一1 0 4 + 1 ) ，则称序列是对数凹的( 对数凸的) 例如，对于固定的n ，我们容易证明二项式系数序列 ( 扰扎，( ：) 是对数凹的、单峰的进一步的，当礼是偶数时，峰点为等是唯一的；当礼是奇数时，峰点 为下n = k 1 对于固定的钆，中& - z 项式系数序列 ( p ，( ：) 是对数凸的由算数几何平均不等式可知序列的对数凸性蕴涵凸性，凹性蕴涵对数凹性 假设 o ( n ，七) ) o 七n 是非负实三角序列，定义下面的线性变换： j z n = o ( 孔，k ) x k ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 1 2 1 ) 如果由序列 z n ) n o 的对数凸性能推出序列 ) 忆o 的对数凸性，则称( 1 2 1 ) 保持对数凸 性的线性变换所对应的三角序列 o ( 礼，七) ) 也被称为保持对数凸性的 假设q 是一个变量， r ( 口) ) n o 是实多项式序列，如果对于任意礼1 ，都有 焉( 口) 口r 一1 ( q ) r + 1 ( 口) ， ( 1 2 2 ) 则称 r ( 口) ) n o 是q 对数凸的显然，如果 r ( 口) ) 礼o 是q 一对数凸的则对于任一取定的 正数q ，序列( r ( g ) ) 礼o 是对数凸的，反之不成立如果对于所有的z k ，都有 p k ( q ) p z ( q ) s gr 一1 ( q ) 日+ 1 ( q ) ， 2 ( 1 2 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 则称 r ( 口) ) n o 是强q 一对数凸的当q 是取定的正数时，口- 对数凸性和强口- 对数凸性等 价但对于任意q ，两者却是不同的 例如，序列 1 0 + q + 3 q 2 ，3 + 4 q + 9 2 ，3 + 4 q + q 2 ，1 0 + q + 3 q 2 是g 对数凸的，但不是强g - 对数凸的如果( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 中的不等号方向相反，则称 r ( g ) n o 分别是q 一对数凹的和强q 对数凹的 假设a = ( ) ，j o 是无穷矩阵，若其所有子式都是非负的，则称a 是t o t a l l yp o s i t i v e 矩阵( 简称t p 矩阵) 假设( a i ) i _ o 是无穷非负实序列，若其对应的t o e p l i t z 矩阵 ，口a o 】0 0 0 o o ：、 a = ( a i j ) i j o = l l 譬1 巴2 ：? ： 是t p 的( 当i k ) 当n n 也成立，此时s ( n ，七) = 0 5 ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 一 严 hs、， 仃八_、少化u趴一 n k 惫：亘豇汹 1 一烈 1 一削 第二类s t i r l i n g 数及其推广 发生函数是组合论中求解计数问题的重要工具之一一个序列的发生函数有时也称 为它的名变换，这种变换是l a p l a c e 变换的离散模拟 例如，序列 ) n o 的发生函数为 ，( z ) ：= a n x n n o 当n 2 时，如果序列 口n ) n o 满足递推关系 a n = 口 t t - - 1 + o n 一2 ， 规定a o = 1 ，a l = 1 则它的发生函数为 ，( z ) = 口n 扩 n 0 = a o + a l x + 矿 几2 = 1 + z + e ( o n 一1 + 一2 ) z n n 2 = + z + z a n _ l x n 一1 + 2 芝二-2x1 a n1 2 7 2 7 a n2 2 7 n 一2 = + z + z 一1 + z2 一一 n z = 1 + + 2 7 2 ) f ( 2 7 ) 从而有 f ( 2 7 ) = 南 因此，研究 凸几) n o 就可以转变为研究其发生函数发生函数之所以重要，是因为它把离 散数学问题转变成连续数学问题，它使我们借助相对成熟的连续数学中的工具来处理离 散数学中的问题诸如求解有限制条件的组合个数、有限制条件的排列个数、求解递推关 系、求渐进公式等等在此文章中主要用发生函数来证明恒等式和解递推关系c o m t e t 在 他的著作【1 】中比较系统地介绍了第二类s t i r r i n g 数s ( n ，k ) 的发生函数及各种性质 定理1 3 1 1 】第二类s t i r r i n g 数s ( 佗，k ) 的垂直发生函数为 喇：2 薹跏币t n2 两1 ( e t _ 1 ) 七m 。 s ( n ，k ) 的双变量发生函数为 毗m 一。跏嘉矿 t l ，七0 一 = 1 + 薹箸 薹跏k ) u q , l = + 1 ，s ( 佗，8 ) - 一一- _ 、 i n = 1 1、七= l ， = e x p 让( e t 一1 ) ) 6 大连理工大学硕士学位论文 定理1 4 【1 】第二类s t i r r i n g 数s ( 礼，南) 的水平发生函数为 n 扩= s ( n ，南) ( z ) 七， k = 0 这里( x ) k ：= x ( x 一1 ) ( z k + 1 ) ，( z ) o ：= 1 定义1 3 礼xn 阶第二类s t i r r i n g 矩阵岛定义为 c ，巧= s ：，歹x ：兰；： 例如，4 4 阶第二类s t i r r i n g 矩阵为 1 0 00 踮l 亨1 兰| ) 由定理1 4 可知，第二类s t i r l i n g 矩阵岛可以看作基底 ( z ) t ) 仁o “柙到基底如t ：o ，1 ，n 的过渡矩阵1 9 8 9 年，b r e n t i 在他的博士论文【2 3 】中给出了线性空间的六组基底之间的 相互转换及其过渡矩阵 定理1 5 【1 】第二类s t i r r i n g 数s ( n ，纠的有理发生函数为 妒七：= s ( n ，k ) u n n k 七 2 矿1i 丽j 酉_ 两1 k u ，后l ( 一u ) ( 1 2 u ) ( 一) 。“ 将第二类s t i r l i n g 数s ( n ，七) 的显示表达式( 1 3 4 ) 式代入 慨= s ( 礼，k ) u t l ， n 愚 经简单计算，即得到s ( n ，k ) 的有理发生函数如果将 仳七 2 矿五丽j 酉两 两边同除以矿，则得到 讯几知= ( 1 c 】o c 22 七c 。) 乱c l q - c 2 q - 叶“ c l ，c 2 ，c k 0 考虑u n 一蠡的二项式系数，因此得到s ( n ，七) 具有下面的显示表达式 7 第二类s t i r l i n g 数及其推广 定理1 6 【1 1 第二类s t i r l i n g 数s ( n ，k ) 的显式表达式 s ( n ，七) = l c l 2 钮k “ c 1 + c 2 + c 8 + + c t , = n - k 例如，s ( 5 ，2 ) = 1 3 + 1 2 2 + 1 2 2 + 2 3 = 1 5 因此，s ( n ，k ) 可以看作前k 个数的次数为 几一k 的对称单项式函数 定理1 7 【1 】第二类s t i r r i n g 数s ( 几，k ) 满足垂直递归关系 s(n，七)=n-1，(亿了1)s(z，尼一1)1 s ( n ，七) = ( 亿了1 ) s ( 拙一1 ) = k 一1 、 。 7 s ( n ，南) = s ( 2 1 ，k 一1 ) 妒 定理1 8 f 1 】第二类s t i r r i n g 数5 | ( 礼，k ) 满足水平递归关系 n - - k s ( n ，七) = ( 一1 ) j ( 尼+ l j s ( n + 1 ，k + 歹+ 1 ) ， j = o 这里( 。) j ：= z ( z + 1 ) 0 + j 一1 ) ，规定( z ) o ：= 1 k - 1 k ! s ( n ，七) = k n 一( 后) j s ( 佗，歹) 1 3 1 第二类s t i r l i n g 数与e u l e r i a n 数 c o m t e t 1 】给出了两类s t i r l i n g 数的反演关系对于任意的两个实数序列【厶) 和 鲰) ， 则有 厶= s ( n ，愚) 船台净鲰= s ( 几，k ) a kk 其中s ( 礼，忌) ，s ( 礼，k ) 分别是第一类s t i r r i n g 数和第二类s t i r l i n g 数第二类s t i r r i n g 数与经典 的组合计数e u l e r i a n 数、t a n h 数、l a b 数有某些反演关系r i c c i a l 2 4 】研究了s t i r l i n g 数、t a n h 数、l a b 数和b e l l 数之间的相互转换e u l e r i a n 数a ( n ，k ) 计数n 元集合 1 ，2 ，n ) 有尼 个递升置换的个数它的显式为 砸瑚= 妻( - 1 ) 歹( n 珊h ) n j = 0 、。7 8 大连理工大学硕士学位论文 ( 参考i l j ) 并有如f 恒等式 儿，互。埘，(z1)k1n 、7 此恒等式被称为w o r p i t z k y s 恒等式b 6 n a 给出了第二类s t i r l i n g 数与e u l e r i a n 数的反演 关系 定理1 9 【2 5 】对于正整数n ，则有 刚，= 啬娄州，( 观察第二类s t i r l i n g 数的水平发生函数和w o r p i t z k y 8 恒等式， 矿= s ( 礼，七) ( z ) 七， 儿，萎n 埘，( 一礼k 。) - j、i， 1 七t l 、7 经过计算可以得到上述定理 如果转换此结果，用第二类s t i r l i n g 数表示e u l e r i a n 数，则有下面的定理 定理1 1 0 【2 5 】对于正整数凡，k ，则有 的= 三k 嘶川( ：二弦矿一 1 3 2 第二类s t i r l i n g 数的近似值 对于正整数礼，k ，第二类s t i r l i n g 数虽然有显示表达式，但是在计算时不易明显看出它 的值如果采用逼近方法，使其趋近于一个更简单的数，则其值会更明显b 6 n a 给出了第 二类s t i r l i n g 数的近似值，下面的定理就说明这个问题 定理1 1 1 【2 5 】第二类s t i r l i n g 数的近似值为 鼬竺等 第二类s t i r l i n g 数满足 k ! s ( n = 壹( 叫弘叫n i ，七) = ( 一1 ) ( ：) ( 一z 卜 = o 、7 第二类s t i r l i n g 数及其推广 固定，给定i 【纠，因为华 1 且( ：) 2 知，所以当他_ o 。时，则有 ( k 盟 nk _ o k n ” 故右边所有的和与第一项的比值趋于无穷小 1 3 3 第二类s t i r l i n g 矩阵 在1 3 1 节中我们给出了第二类s t i r l i n g 矩阵的定义，根据第二类s t i r l i n g 数的性质可 以推出第二类s t i r l i n g 矩阵具有很好的性质b r e n t i 1 9 】证明了s t i r r i n g 矩阵是t p 矩阵 定理1 1 2 【1 9 】设t n ，定义矩阵m = ( m n ，七) n ，七，其中 ，k = 锄m n t ，k 1 + 铷且磊一1 一t ，k 一1 + a 磊一1 ，k 若n + k p ( 当他 0 = a 0 ，a l ，a 2 ) ，简写为【o 七) ，这个序列的h a n k e l 矩阵 为 a o a l a 2 、 h = ( 毗句) 论0 _ l 。a ：口a ；0 4 a 3 ：j ， 其中nx 扎阶h a n k e l 矩阵记为h n = ( o t 卅) 0 5 t ，j n 一1 ，它的行列式记为h = d e t ( h n ) o 的h a n k e l 变换是 ) 七1 = h i ，h 2 ，h a ) 设岛是b e l l 数，l ( 扎o ) ，岛( 钆1 ) 是矩阵，且定义五( 1 ，j ) = 鼠卅( o i ，j n ) ，岛( i ，歹) = 鼠州+ 1 ( o i ，j 几) b e n 数的前几项分别为b o = 1 ，b 1 = 1 ，b 2 = 2 ，b s = 5 ，b 4 = 1 5 ，b 5 = 3 2 由序列玩，b 1 ，岛确定的n n 阶h a n k e l 矩阵厶，瓦分别为 岛 b 1 风、b 1玩玩+ 1 五n ：f b 1b 2 b n + ll ，岛：fb 2b 3 b n + 2 1 晶风+ 1玩n 晶+ 1晶+ 2 b 2 n + 1 显然，任意的实数序列都惟一的确定五，岛，五1 ，秀1 的行列式是实数例如，对于所有的 非负整数n ，c a t a l a n 数是惟一的使氲，岛的行列式等于1 的序列( 参考s t a n l e y 3 3 j ) 定理1 1 7 1 3 2 】b e l l 数是惟一的实数序列，使得 d e t t n = d e t 岛= n ! ! 这里佗! ! = 1 - i 琶o ( 惫! ) 1 4 2b e l l 多项式 b e l l 多项式是第二类s t i r l i n g 数的发生函数，即玩( 口) = 楚os ( 礼，k ) q 七，它可以看成是 b e l l 数的g - 模拟，并且有许多很优美的性质( 参考r o m a n 3 4 1 ) 第二类s t i r l i n g 数满足 s ( n + 1 ，k ) = k s ( n ，k ) + s ( 几，k 一1 ) ， 因此b e l l 多项式满足递归关系 b n + 1 ( q ) = q b 住( q ) + q b ( q ) 1 3 第二类s t i r l i n g 数及其推广 故b e l l 多项式b n ( q ) 是只具有实零点的( 参考m 1 ) 我们已经知道了线性变换z - n = k os ( 竹，k ) x k 保持对数凸性，因此对于任一正整数q ，序列 巩( g ) ) n 0 是对数凸的，刘 丽和王毅【1 8 】更进一步的证明了序列 玩( 口) ) 竹o 也是q _ 对数凸的 b e l l 多项式的指数发生函数为 薹剐g ) 两t n = 酬球_ 1 ) ) n 2 u 根据其指数发生函数得到了b e l l 多项式具有下面的二项式卷积 鼠+ 口) = 妻k = o ( z ) 风( p ) 玩一g ) 1 4 大连理工大学硕士学位论文 2 第二类s t i r l i n g 数的推广 本章我们主要介绍了四类推广的第二类s t i r r i n g 数首先，我们详细地研究了第二类 r s t i r r i n g 数的单峰性、对数凹性质及各种发生函数，接着我们给出了7 b e l l 数的对数凸 性及r b e l l 多项式的g 对数凸性，并说明了第二类， s t i r l i n g 变换保持对数凸性、第二 类r s t i r r i n g 序列的p f 性质，同时给出了r b e l l 多项式的二项式卷积公式其次，我们对 b e s s e l 数、第二类相关r s t i r r i n g 数以及c a t l a n 数的基本计数性质进行归纳总结 2 1 第二类r s t i r l i n g 数 2 1 1 第二类卜s t i r l i n g 数的基本概念和性质 第二类s t i r r i n g 数是集合m 的k 分拆的数目，如果对每个块中元素进行限制，比如， 限制集合m 中的前，个元素、限制每个块的长度等等，就得到一些新的计数关于这方 面的研究很多，1 9 8 4 年，b r o d e r 把集合m 中的前r 个元素在不同块中的分拆的数目， 定义为第二类7 s t i r r i n g 数，并对此进行了系统研究，得到了第二类r s t i r l i n g 数的基本计 数性质最近，m e z 5 对此序列作了更进一步的研究，得出了第二类r - s t i r r i n g 数的峰值、对 数凹性质等本节详细地阐述了第二类7 s t i r r i n g 数的基本性质，并给出了第二类r - s t i r r i n g 变换保持对数凸性 定义2 1 第二类r s t i r l i n g 数s ( 佗，七) 是集合 1 ，2 ，扎) 的所有虹划分中，元素1 ，2 ，7 - 在不同的块中的划分的个数 例如，集合 1 ，2 ，3 ，4 ) 分成两个不相交且元素1 ，2 在不同的子集合中的划分的数目所 有的划分如下： 1 ) 2 ，3 ，4 ) ， l ，3 】 2 ，4 ) ， 1 ，4 ) 2 ，3 ) ， 1 ，3 ，4 2 ) 因此& ( 4 ，2 ) = 4 第二类s t i r r i n g 数是集合 1 ，2 ，扎) 的所有虹划分的数目从上述定义我们看到，当 r = 1 时，第二类r s t i r l i n g 数就退化为第二类s t i r r i n g 数 第二类r s t i r r i n g 数与第二类s t i r r i n g 数满足同样的递推关系，只是它们的初始条件不 同b r o d e r 给出了第二类r - s t i r r i n g 数的递推关系及发生函数 1 5 第二类s t i r l i n g 数及其推广 定理2 1 【3 6 】第二类r s t i r l i n g 数满足下面的三角递推关系 爵( n ，k ) = 尼s - ( 死一1 ，k )