（基础数学专业论文）自反代数和自反模的若干问题.pdf

摘要 本文主要研究闭极大三角代数、弱闭套代数模和自反模中的若 干问题。、 在第一章我们给出本文的背景和主要结果。 在第二章我们研究闭极大三角代数的交换子和有限秩算子。f 主要 结果： 、 1 ) 设s 为闭极大三角代数，m 为a 弱闭的s 一模且朋三s ，则s 的模m 交换子为m 。 2 ) 设州2a l g l a t s ，则口n ( 5 ，a l g l a t s ) = h n ( 5 ，川) ( n 1 ) ；且如果 d i r n - l 曼l ，有日n ( s ，。) = 0 。 3 ) 5 中任一有限秩算子都可写称s 中有限个一秩算子之和。 4 ) ( s n 歹( “) ) ”= t 8 ( 咒) ：t j v ，v n 厂 ，其中 = n ，当 d i m ne 肌s1 ；且 = - ，当d i v a n e _ = o 。 5 ) 5 中有限秩算子在5 中弱稠的充要条件是s 强可约。 在第三章，我们研究了弱闭套代数模的一些几何性质首先给出套 代数的一个与端点结构有关的特征性质其次，利用预零化子技巧研 究弱闭套代数模“的端点最后讨论了弱闭套代数模的r u s s o - d y e 定理 和k r e i n m i l m a n 定理 6 ) 设c 为一子空间格，则性质e p 成立的充要条件是c 为套。 7 ) 设“为由序同态_ 所确定的弱闭套代数模且a ，则a 为矾的端点的充要条件是对任意n 厂，或者nr a n ( i a ) = ( o ) 或 者，o r g n ( ，一a a ) = ( o ) 8 ) 设 r 是可接受，则弱闭套代数模“的酉算子全体的凸包包含“。 的充要条件是f = j 且对任意n 0 ，费 0 在第四章，我们研究自反代数、j a c b s o a 根和弱闭套代数模的张量 积 9 ) 设幺和= l ，m 为子空间格且a l g ( t9 o c 。) 由其中一秩算子 按弱算子拓扑生成，则 a 培f j o t s 厶) = a l g i 乩a l g 8 l o ) 设 厂，m 为非平凡套，则诧 r 。冗m = 冗静。m 的充要条件是，m 为 连续套。 1 1 ) 设。( 待1 ，n ) 为由序同态咖所决定的弱闭套代数模，则 。西面。= 琊渺固y j 在最后一章，我们我们首先研究了自反4 模中一秩算子的w + 一稠 密性。进而研究c = l a t t z 和a l g 2 = a l g l a t 咒成立的充要条件。这回答了 w e l o n g s t a f f 在七十年代提出的问题。 1 2 ) 设c 为子空间格且冗是a l g l 的一秩算子的线性张成，则c = l a t t z 的充要条件是对任意e c ， e ，磷j c 。 关键词：闭极大三角代数，套代数，弱闭套代数模，自反模，有限秩算子 女怒点，张量积，不变子空间格 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no fs o l n eq u e s t i o n sc o n c e r n i n gm a x i r e a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s ，w e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e sa n dr e f l e x i v em o d u l e s i t c o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds u m m a r ym a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yc o m m u t a n t sa n df i n i t er a n ko p e r a t o r so fc l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s f i r s tw ei n v e s t i g a t ec o m m u t a n t sa n dc o h o m o l o g yo fc l o s e d m a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s ，a n do b t a i n 1 ) f o ra n y 口一w e a k l yc l o s e db i m o d u l emo fac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r as s a t i s f y i n g 朋2s ，t h ec o m m u t a n to f5m o d u l e 州i smi t s e l f 2 ) i fm a l g l a t s ，t h e n 印( s ，a l g l a t s ) = h “( s ，m ) ( n 1 ) ；a n dh “( s ，m ) = 0 i fd j m 爿圭s 1 n e x t ，w ed i s c u s sf i n i t er a n ko p e r a t o r si nac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r as a n do b t a i n 3 】e a c hf i n i t er a n ko p e r a t o ro f5c a nb ew r i t t e na saf i n i t es u mo fr a n ko n e o p e r a t o r se a c hb e l o n g i n gt os 4 ) ( sn ，( 丸) 严= t 8 ( 咒) ：t 、，v n - n ，w h e r e = n ，i f d i m n e 一兰1 ；a n d = 札，i f d i m n e _ = 0 0 5 ) f i n i t er a n ko p e r a t o r si n5a r ew e a k l yd e n s ei nsi fa n do n l yi fsi ss t r o n g l y r e d u c i b l e i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r a m o d u l e s f i r s tw ep r o v eac h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yo fn e s ta l g e b r a sr e l a t e dt ot h ee x - t r e m ep o i n ts t r u c t u r e s e c o n d l y , w ea p p l yt h et e c h n i q u eo fp r e - a n n i h i l a t o r st os t u d y t h ee x t r e m ep o i n ts t r u c t u r eo faw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e 甜b yv i r t u eo f t h i sc h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t s ，w ed i s c u s st h er u s s o - d y et h e o r e ma n dk r e i n - m i l m a nt h e o r e mi nw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e s m a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e r a r e ： 6 ) s u p p o s et h a tci sas u b s p a c el a t t i c e t h e np r o p e r t ye ph o l d s ”a l g ci fa n d o n l y i f c i san e s t 7 ) s u p p o s et h a t “i st h ew e a k l yc l o s e da l g ( 厂) 一m o d u l ed e t e r m i n e db yt h el e f t o r d e rc o n t i n u o u so r d e rh o m o m o r p h i s mn 叶i fa ，t h e nai se x t r e m ei n “i f a n d o n l yi f f o ra n yn 厂，e i t h e rn n r a n ( i a a + ) 。( 0 ) o rn 士n r a n ( i a + a ) = ( 0 ) 8 ) s u p p o s et h a t i sa d m i s s i b l e ，i ti ss h o w nt h a tt h ec o n v e xh u l lo fu n i t a r y e l e m e n t so faw e a k l yc l o s e da l g ( a f ) - m o d u l e “c o n t a i n st h ew h o l eu n i tb a l lo f “i fa n d o n l yi f i = ia n df o ra n yn 0 。n 0 ， i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt e n s o rp r o d u c tf o r m u l a eo fs o m eo p e r a t o rs y s t e m sa n d o b t a i n 9 ) i f 厶0 = l ，n ) a r es u b s p a c el a t t i c e sa n da l g ( e i0 oc n ) i sw e a k l y g e n e r a t e db yr a n k - o n eo p e r a t o r si ni t s e l f , t h e n a l g ( c l o o 厶) = a 1 9 ：l o 。o 。a 1 9 c 。 u l l o ) l e t 厂，mb en o n t r i v i a ln e s t s t h e n 冗o w 冗m = 冗胥国mi fa n do n l yi f n ma r ec o n t i n u o u s n 1 。西西。= 。oo “， w h e r ee a c h 阮，i st h eo - 一w e a k l yc l o s e da l g c i s u b m o d u l ed e t e r m i n e db ya no r d e rh o m o - m o r p h i s m 也f r o mc ti n t oi t s e l f i nt h ef i n a lc h a p t e r w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ed e n s i t yo fr a n k o n eo p e r a t o r so fa r e f l e x i v ea - s u b m o d u l ei nt h ew + t o p o l o g ya n di nc e r t a i np o i n ta p p r o x i m a t i o n ，a n d o b t a i ns e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n sb ym e a n so fo r d e rh o m o m o r p h i s m s f u r t h e r m o r e ， w es t u d yw h e nt h er a n k - o n es u b a l g e b r a 冗o fa l g ci sb i ge n o u g ht od e t e r m i n ea l g i n t h ef o l l o w i n gs e n s e s ：c = l a t t z ，a l g c = a l g l a t t z ，w h e n c ea n s w e r i n gt h el o n g s t a n d i n g q u e s t i o no fw e l o n g s t a f f - - w h i c hs u b s p a c el a t t i c e ss a t i s f y = l a t t 已? 1 2 1s u p p o s et h a tci sas u b s p a c el a t t i c ea n d 冗i st h er a n k - o n es u b a l g e b r ao fa l g t h e n c = l a t t 已i f a n do n l y i f 【e ，e 】c f o ra n y e c k e y w o r d s ：c l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a ，n e s ta l g e b r a ，w e a k l yc l o s e dn e s t a l g e b r am o d u l e ，r e f l e x i v em o d u l e ，f i n i t er a n ko p e r a t o r ，e x t r e m ep o i n t ，t e n s o rp r o d u c t ， i n v a r i a n ts u b s p a c el a t t i c e i v c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n n o n s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e df o ro v e rt h i r t yy e a r sn o w ， s i n c et h es e m i n a lp a p e ro fr v k a d i s o na n dim s i n g e rf 2 5 i t h r o u g h o u tt h i st i m e m o s to ft h ei n t e r e s th a sa t t r a c t e dt oc l a s s e so fo p e r a t o ra l g e b r a sw h i c he x t e n dt oi n f i n i t e d i m e n s i o n ss o m eo ft h eb e h a v i o u ro ft h en nu p p e rt r i a n g u l a rm a t t i xa l g e b r a t w o o ft h em o s ti m p o r t a n tc l a s s e sh a v eb e e nt h et r i a n g u l a ra l g e b r a sa n dt h en e s ta l g e b r a s a ne d g e b r a5o fo p e r a t o r so nh i l b e r ts p a c e 丸i ss a i dt ob et r i a n g u l a ri fsn5 + i sm a x i m a la b e l i n ns e i fa d j o i n ts u b e d g e b r a ( m a s a l i nf i n i t ed i m e n s i o n sam a s ai s u s tt h ed i a g o n a la l g e b r af o rs o m ec h o i c eo fb a s i sa n d5i st r i a n g u l a rj fa n do n l yj f t h ee l e m e n t so f5a r es i m u l t a n e o u s l yt r i a n g u l a r i z e db ya8 u i t a b l el i n e a ro r d e r i n go ft h e b a s i s t h ep u r p o s eb o t ho ft r i a n g u l a ra l g e b r a sa n dn e s ta l g e b r a si st od e v e l o pac o n t e x t f o rs t u d y i n ga l g e b r a so fs i m u l t a n e o u s l yt r i a n g u l a r i z e do p e r a t o r s h o w e v e r ，a l t h o u g ht h e yw e r ei n t r o d u c e di n1 9 6 0 ，t h es t u d yo ft r i a n g u l a re d g e - b r a sd i dn o td e v e l o pm u c hf o ral o n gt i m e i n s t e a d ，t h en e s ta l g e r b a s ，i n t r o d u c e d s h o r t l ya f t e r w a r d sb yj r r i n g r o s ef 4 5 i ，b e c a m et h ef o r c u so fi n t e r e s tf o rw o r ko nn o n s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a s h o w e v e r ，i nr e c e n ty e a r st r i a n g u l a ra l g e r b a sh a v ee n j w e d ar e n a i s s a n c ei nas e r i e so fp a p e r s a n o t h e rs t u d y i n go b j e c t si nt h ep a p e ra r ei d e a l s a n dm o d u l e so v e rn e s ta l g e b r a sa n dt r i a n g u l a ra l g e b r a s s i n c ep r o p e r t i e so fj d e a l sa n d m o d u l e sa r ec l o s e l yr e l a t e dt on e s ta l g e b r a sa n dt r i a n g u l a ra l g e b r a s i nt h i sp a p e r ，a m i b e r rs p a x ：e sw i l lh ec o m p l e xa n ds e p a r a b l e ，a uo p e r a t o r sw i l l b eb o u n d e d ，a l ls u b s p a c e sw i l lb ec l o s e d ，a n da l lp r o j e c t i o n sw i l lb es e l f - a d j o i n t w j w r i t eb f 爿) f o rt h ec o l l e c t i o no fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sf r o mah i l b e r rs p a c e 州 i n t oi t s e i f , a n dj c ( h ) f o rt h ei d e a lo fc o m p a c to p e r a t o r si nu ( 7 ) w w i l li n t r o d u c e m o s to ft h er e l e r a n tc o n c e p t sa n dd e f t n i t i o n 8i nt h ec o n t e x to ft h ep a p e r h o w e v e r ，t h e n o t a t i o n ，a n dt e r m i n o l o g y , o fr e f i e x i v i t yo fo p e r a t o ra l g e r b a sa n d o fs u b s p a c el a t t i c e si s s of r e q u e n t l yu s e dt h a tw ef i n di td e s i m b l et oi n t r o d u c et h er e l e v a n ti d e a sf i r s t ，w i t h o u t e l a b o r a t i o n l e t b eac o l l e c t i o no fs u b s p a c e sc o n t a i n i n g ( 0 ) a n d “w h i c hf o r mal a t t i c e u n d e rt h eo p e r a t i o nva n da ，w h e r em vni st h ec l o s e dl i n e a r8 p a no fma n dnw h i l e mani st h ei n t e r s e c t i o nmnn i sc o m m u t a t i r ei ft h ep r o j e c t i o n so nt h es u b s p a c e s c o m m u t ep e d r w i s e ci san e s t ( u s u a l l yd e n o t e db y 厂) i ft h el a t t i c ei sl i n e a r l yo r d e r e d b yi n c l u s i o n ；t h u san e s ti sc o m m u t a t i v e ，i np a r t i c u l a r a su s u a lw ew r i t el a t , 9f o rt h e l a t t i c eo fa l ls u b s p a c e sl e f ti n v a r i a n tu n d e re v e r yo p e r a t o ri nas u b s e tso f 日( 丸) ，a n d d u a l l ya l g cd e n o t e st h ea l g e b r ao fa 1 1o p l e r a t o r sl e a v i n ge a c he l e m e n ti nac o l l e c t i o nc o fs u b s p a c e sl nw a na l g e b r aai sr e f i e x i v ei fa = a l g l a t a ，a n dd u a l l yal a t t i c eci s r e f l e x i v ei fc 。l a t a l g c i f 厂i san e s t ，a l 副vi sc a l l e dan e s ta l g e b r a i n t h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d ys o m eq u e s t i o n sc o n c e r n i n gm a x i m a lt r i a n g u l a r a l g e b r a s ，w e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e sa n dr e f l e x i v em o d u l e s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yc o w m u t a n t sa n df i n i t er a n ko p e r a t o r so fc l c l s e dm a x i - m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s f i r s tw ei n v e s t i g a t ec o m m u t a n t sa n dc o h o m o l o g yo fc l o s e d 1 m a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s ，a n do b t a i n t h e o r e m2 1 2i f 5i sac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a ，t h e nc ( a ，m ) = 3 , t f o ra n y 口w e a k l yc l o s e ds m o d u l em c o n t a i n i n gs c o r o l l a r y2 1 1 1 i fd i m t _ l li nl a t s ，t h e n ( 1 ) 日1 ( 5 ，m ) = 0f o ra n y 口- w e a k l yc l o s e ds m o d u l e 川c o n t a i n i n gs ； ( 2 ) “( s ，m ) = 0 ( n 2 ) f o ra n y 口- w e a k l yc l o s e ds - m o d u l emc o n t a i n i n g a l g l a t s n e x t ，w ed i s c u s sf i n i t er a n ko p e r a t o r si nac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r as a n do b t a i n t h e o r e m2 2 7s u p p o s et h a tsi sac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a ，a n dfi s af i n i t er a n ko p e r a t o ri ns t h e nfc a nb ew r i t t e na saf i n i t es u mo fr a n ko n eo p e r a t o r s e a c hb e l o n g i n gt o5 t h e o r e m2 3 8( s n ，( “) ) = v = f t s ( n ) ：t ，。，v n 厂) ，w h e r e = n ，i f d i m n e 札l ； = _ ，i fd i m n e 儿= 。o t h e o r e m2 3 1 2 s u p p o s et h a tsi sac l o s e dm a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a ，t h e n 5n ，( 州) i sw e a k l yd e n s ei nsi fa n do n l yi fsi ss t r o n g l yr e d u c i b l e i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r a m o d u l e s f i r s tw ep r o v eac h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yo fn e s ta l g e b r a sr e l a t e dt ot h ee x - t r e m ep o i n ts t r u c t u r e s e c o n d l y , w ea p p l yt h et e c h n i q u eo fp r o - a n n i h i l a t o r st os t u d y t h ee x t r e m ep o i n ts t r u c t u r eo faw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e 4 b yv i r t u eo f t h i sc h a r a c t e r i z a t i o no fe x t r e m ep o i n t s ，w ed i s c u s st h er u s s o - d y et h e o r e ma n dk r e i n - m i l m a nt h e o r e mi nw e a k l yc l o s e dn e s ta l g e b r am o d u l e s m a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e r a r e ： t h e o r e m3 1 5s u p p o s et h a tci sas u b s p a c el a t t i c e p r o p e r t ye ph o l d sf o r a l g ci f a n do n l yi f ci san e s t t h e o r e m3 2 1 1 s u p p o s et h a t 4i st h ew e a k l yc l o s e da l g ( 卜m o d u l ed e t e r - m i n e db yt h el e f to r d e rc o n t i n u o u so r d e rh o m o m o r p h i s mn - - + n i fa 矾，t h e na i se x t r e m ei n 矾i fa n do n l yi f f o ra n yn 厂，e i t h e rn nr a n ( i 一以a + ) i = ( 0 ) o r 兰nr a n ( i a a ) i = ( 0 ) t h e o r e m3 3 1 s u p p o s et h a tni sa d m i s s i b l e t h e nt h ef o h o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： 。 1 ) e v e r ye l e m e n ta “s u c ht h a ti i a i i l i 1 i st h em e a no f1 6 n 2u n i t a r y e l e m e n t so f “： 2 、t h ec o n v e xh u l lo ft h e s eu n i t a r ye l e m e n t si n 4c o n t a i l l 8t h ew h o l eo p e nu n i t b a l lo f “t h u st h er u s s o - d y et h e o r e mh o i d si n 4 ； 3 1i = ia n d f o ra n y n 0 n 0 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt e n s o rp r o d u c tf o r m u l a eo fs o m eo p e r a t o rs y s t e m sa n d o b t a i n t h e o r e m4 1 6 s u p p o s et h a t 厶ce ( n d ( i = l ，n ) a r es u b s p a c el a t t i c e s a n da l g ( to o 厶) i sw e a k l yg e n e r a t e db yr a n k - o n eo p e r a t o r si ni t s e l f t h e n a l g ( c x o o i ) = a l g 1 p u 0 w a 螈 2 t h e o r e m4 2 1 1i f 、ma r en o n - t r i v i a l ，t h e nt h ef o i l o w i n gs t a t e m e n t sa r e e q u i v a l e n t ： 1 ) 冗 厂0 叫冗m = 冗努国m ； 2 ) 冗 厂 n 冗ma n d 咒o mh a v et h es a m er a n k o n eo p e r a t o r s ； 3 ) ，ma r ec o n t i n u o u s t h e o r e m4 3 1 2l e tc ( 1 = l ，n ) b en e s t sa n d 屯b eo r d e rh o m o m o r p h i s m s f r o m 厶i n t oi t s e l f t h e n l 西西。= 1 0 o 。 i nt h ef i n a lc h a p t e r ，w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ed e n s i t yo fr a n k o n eo p e r a t o r so fa r e f l e x i v e4 s u b m o d u l ei nt h e + t o p o l o g ya n di nc e r t a i np o i n ta p p r o x i m a t i o n ，a n d o b t a i ns e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n sb ym e a n so fo r d e rh o m o m o r p h i s m s p l t r t h e r m o r e ， w es t u d yw h e nt h er a n k - o n es u b a l g e b r a 冗o fa l g ci sb i ge n o u g ht od e t e r m i n ea l g ci n t h ef o l l o w i n gs e n s e s ：c = l a t t 4 ，a l g c = a l g l a t t z ，w h e n c ea n s w e r i n gt h el o n g s t a n d i n g q u e s t i o no fw e l o n g s t a f f - - w h i c hs u b s p a c el a t t i c e ss a t i s f yc = l a i t y ? t h e o r e m5 2 1 1 s u p p o s et h a tc i sas u b s p a c el a t t i c ea n d 冗i st h er a n k - o n e s u b a l g e b r ao f a l g c t h e nc = l a t t 2 i f a n do n l y i f 【e ，e 纠c f o ra n y e c 3 c h a p t e r2 c o m m u t a n t sa n df i n i t er a n ko p e r a t o r so fc l o s e d m a x i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r a s 2 1c o m m u t a n t sa n dc o h o m o l o g y i ti sg e n e r a l l yu n d e r s t o o dt h a tt h ef i r s tp a p e ri nt h el i t e r a t u r ew h i c hi sc o n c e r n e d e n t i r e l yt h es y s t e m a t i ci n v e s t i g a t i o no fp r o p e r t i e so fo p e r a t o ra l g e b r a st h a tw a sn o t a s s u m e dt ob es e l g a d j o i n tw a st h es e m i n a lw o r k t r i a n g u l a ro p e r a t o ra l g e b r a s b y r v k a d i s o na n di m s i n g e r 2 5 t r i a n g u l a ro p e r a t o ra l g e b r a sm a yb et h o u g h to fa s ak i n do fj n f i n i t e d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o n so ft h ea l g e b r ao fu p p e r t r i a n g u l a rnn m a t r i c e s ，j u s ta 8n e s ta l g e b r a s i nt h i ss e c t i o n ，w es h o wt h a ta n y1 9 w e a k l yc l o s e db i m o d u l emo fac l o s e dm a x - i m a lt r i a n g u l a ra l g e b r ass a r i s f y i n gm3s t h ec o m m u t a n to f5m o d u l emi sm i t s e l f t h es i m i l a rr e s u i tc o n c e r n i n gn e s ta l g e b r a sw a sf i r s ts t u d i e db yj a e r d o sa n d s c p o w e rf 1 3 1 ；a n dh a nd e g u a n gp u s h e dt h er e s u l ta b o u tc o m m u t a n t 8f u r t h e rt ot h e c a s e so fc o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v ec s la l g e b r a s 1 5 a n dc s la l g e b r a s 【1 7 am o d i f i c a - t i o no ft h e o r e m4 。li n 2 2 】i se s s e n t i a lt oo u rp r o o f i nn e s ta l g e b r a s ，t h ec o h o m o l o g y s p a c e sh “( a l g a l ，m ) ( n 1 ) a r et r i v i a lf o ra n y w e a k l yc l o s e da l g e b r amc o n t a i n i n g a l g n t h i sr e s u l tw a so b t a i n e db ye c l a n c e 3 2 】a n dj n i e l s e n 【4 1 】i n d e p e n