（基础数学专业论文）关于二类迭代泛函微分方程解析解的研究.pdf

中文摘要 非线性科学是当今基础科学研究的一个热点，迭代动力系统是其中的重要组成 部分动力系统的许多问题都可以化为迭代泛函微分方程例如，描述经典电动力 学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波动模型以及血细胞生产模型都可以化 为迭代泛函微分方程因此对迭代动力系统的研究必然要涉及到迭代泛函微分方程 问题迭代泛函微分方程足一种具有复杂偏差变元的泛函方程j 其时滞不仅依赖于 时间而且依赖于状态或者状态的导数甚至高阶导数这类方程是与已经形成了系统 理论【l 】的传统的泛函微分方程( 滞后型、中立型与超前型) 不同的新型方程 本文的第一章引言中简要介绍了迭代与动力系统、迭代泛函微分方程的有关概 念在第二章和第三章，分别对两类迭代泛函微分方程的局部解析解的存在性和解 的构造进行了研究我们的基本方法是首先利用s c h r o d e r 变换把迭代泛函微分方 程化为不含未知函数迭代的非线性泛函微分方程，再利用优级数方法得到此辅助方 程的解析解的存在性，从而得到原方程的解析解研究这类相当广泛的非线性迭代 泛函微分方程解析解的存在性问题，在方法上要求讨论其解在不动点处的特征值不 在单位圆周上或在单位圆周上的情况当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂 的我们不仅在d i o p h a n t i n e 条件下( 特征值“远离”单位根) 证明了形式解的收敛 性，而且在非d i o p h a n t i n e 条件下，也就是在比d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条 件下，取得了较为完整的结果 关键词；迭代泛函微分方程；优级数法；d i o p h a n t i n e 条件；b r j u n o 条件； 解析解 外文摘要 n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt o d a y ss c i e n c e s t h e t h e o r yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si sa ni m p o r t a n tp a r ti nn o n l i n e a rs c i e n c e m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb er e d u c e dt oa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n f o re x a m p l e ，t h et w o - b o d yp r o b l e mi nac l a s s i ce l e c t r o d y n a m i c s ， s o m ep o p u l a t i o nm o d e l s ，s o m em o d e l so fc o m m o d i t yp r i c ef l u c t u a t i o n sa n dm o d e l s o fb l o o dc e l lp r o d u c t i o n sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h es t u d yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e si t e r a t i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e ya r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n to f t h eu n k n o w nf u n c t i o n ，a n dt h ed e l a yf u n c t i o nd e p e n d sn o to n l yo na r g u m e n to ft h e u n k n o w nf u n c t i o n ，b u ta l s os t a t eo rs t a t ed e r i v a t i v e ，e v e nh i g h e ro r d e rd e r i v a t i v e s s u c he q u a t i o n sa r ek i n d so fn e wf u n c t i o n sq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h eu s u a ld i f f e r c n - t i a le q u a t i o n s ( r e t a r d e df d e 、n e u t r a lf d e 、a d v a n c e df d e ) w h i c hf o r m e da s y s t e m i ct h e o r y 1 i nc h a p t e r1 ，c o n c e p t so fi t e r a t i o n ，d y n a m i c a ls y s t e ma n di t e r a t i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ei n t r o d u c e d w es t u d yt h ee x i s t e n c e so fa n a l y t i cs o l u t i o n s a n ds t r u c t u r eo fs o l u t i o n sa b o u tt w oi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n c h a p t e r2a n dc h a p t e r3 u s i n gt h es c h r o d e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g et h ei t e r a t i v e f l m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oa n o t h e rw i t h o u ti t e r a t e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n f u r t h e r ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e so fa n a l y t i cs o l u t i o n so fs u c ha ne q u a t i o nb ym e a n s o fm a j o r i n gs e r i e s ，t h e nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n so fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw e r eg o t t e n t os t u d yt h ee x i s t e n c e so fa n a l y t i cs o l u t i o n sf o ra ne x t e n s i v e c l a s so fn o n l i n e a ri t e r a t i v ee q u a t i o n s ，t h em e t h o di sr e l a t e dt ot h ee i g e n v a l u e so f t h es o l u t i o n sa tt h e i rf i x e dp o i n ti so f ft h eu n i tc i r c l eo rh e so nt h eu n i tc i r c l e t h e c o n v e r g e n c eo ff o r m a ls o l u t i o n si sv e r yc o m p h c a t e dw h e nt h ee i g e n v a l u e sl i eo nt h e u n i tc i r c l e w en o to n l yp r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o r m a ls o l u t i o nu n d e rt h e d i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ( i e e i g e n v a l u e si s “f a rf r o m ”u n i tr o o t s ) ，b u ta l s om a k e p r o g r e s s e sw i t h o u tt h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ( i e t h cc o n v e r g e n c ei se q u i v a l e n tt o t h ew e l l - k n o w n “s m a l ld i v i s o rp r o b l e m s ”) ，w h i c hi sw e a k e rt h e nt h cd i o p h a n t i n e c o n d i t i o n ，a n dt h er e s u l ti sp e r f e c t l y 2 山东大学硕士学位论文 3 k e yw o r d s ：i t e r a t i v cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；m a j o r a l l ts e r i e s ；d i o - p h a n t i n ec o n d i t i o n ；b r j u n oc o n d i t i o n ；a n a l y t i cs o l u t i o n s p ( z ) 屁| 口 n r c s 1 7 ( 2 ) g ( z 肛，叩，m ) 符号说明 ，( z ) 的n 次迭代 无理数集 自然数集 实数集 复数集 单位圆 时滞函数 与常数p ，7 和 f 有关的函数c ( z ) 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：! 丝益益日期：竺墨：! ! ：! ! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：上盟导师签名：牲日 期： 沙8 t o 第一章引言 1 1迭代与动力系统 迭代就是同一操作或运算的多次重复，例如乘法可以看作是加法的迭代迭代 不仅是数学，也是自然界和人类社会中普遍存在的现象，许多实际问题的数学模型 都是由连续的迭代或离散的迭代过程描述的，如流体的渗流、生物体的生长、人口 预测等等都包含了迭代现象 我们常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统如果其历史和未 来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要知道它在某一时刻的状态，就能准确 的预测它的未来的命运并能回溯它历史发展过程的系统，称之为决定性系统动力 系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时问变化的规律根据系统变化的规 律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统连续 动力系统以经典力学为背景，其历史可追溯到1 9 世纪末p o i n c a r 6 创立的微分方程几 何理论，而对以迭代为背景的离散动力系统的研究则始于一百多年以前由数学家e s c h r 6 d e r 、n h a b e l ，b b a b b a g e 等人创立的迭代论近代自然科学如物理学、化 学、天文学、力学等学科的研究的重大发现( 如关于周期性的s h a r k o v s k y 序、关于分 岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂隍的s m a l e 马蹄等) 极大的促进了动力系统的发 展大量的物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由迭代过程描述的 因此，研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散运动是现代动力系统 的重要课题许多惊人的发现都是通过对映射迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论，其主要方法就是影射的迭代迭代泛函微分方 程是映射迭代的等量形式之一 关于时滞变元依赖于状态的迭代泛函微分方程，已有不少研究本文主要研究 了时滞依赖于状态变量和状态导数的迭代泛函微分方程的解析解的情形 1 2 迭代泛函微分方程 泛函微分方程是含有未知函数导数的泛函方程，而迭代泛函微分方程是含有未 知函数迭代的泛函微分方程对于此类方程的研究虽然早就引起数学家的重视，但 由于研究工作有较大难度而进展不大8 0 年代以来，人们越来越多的发现了这种方 1 山东大学硕士学位论文 2 程的应用，显示出它们在应用上和理论上的重要性，从而激发了人们对它的强烈的 研究兴趣概言之，迭代泛函微分方程的研究工作只是刚刚开始，距建立系统完整 的基本理论还相差很远寻求这种类型方程的数学特征，对其解的特定性态进行深 入细致的分析和研究，在应用和理论上都有重要意义 迭代泛函微分方程有很强的实际背景例如，古典的e u l e r 几何问题可导出方程 z ( t ) z 7 ( ) = 茁( c + 茁( ) ) p o i s s o n 的几何问题可导出方程 x 2 ( ) + z 2 ( ) z 彪( ) 一x 2 ( f - - i - z ( t ) z 7 ( ) ) = 1 等等1 9 6 5 年，k l c o o k e 4 提出了生物学中与遗传现象有关的重要方程 z 7 ) + a x ( t h ( t ， ) ) ) = f 0 ) 此外，迭代泛函微分方程在经典的电动力学【5 】，【6 】- 【9 】，人1 3 模型【l0 】，日用品的 价格波动模型【1 1 1 ， 1 2 1 以及血细胞的生产模型【1 3 1 等中都有重要的应用。 1 9 8 4 年， e d e r 3 6 】讨论了方程 z ) = z ( z ( t ) )( 1 2 2 ) 解析解的存在性 1 9 8 8 年，王克【3 7 1 推广了e d e r 的结果到方程 。( t ) = ，( z ( z ( f ) ) ) 1 9 9 0 年，吴汉忠 3 8 】在此基础上进一步改进问题的讨论方法减弱了相应的条件后 来又有葛谓高【3 9 一【4 1 】和s t a n 芦k 【4 2 】- 【4 4 】的研究工作 1 9 6 5 年，p e t a h o v 4 5 讨论了二 阶方程 z ”( ) = a x ( x ( t ) ) 的解的存在唯性1 9 9 8 年，又有李文荣f 4 6 】的研究工作m i n s k e r 在【4 7 】和【4 8 】中 讨论了方程 口( o ( z ) ) = 口( z ) z 山东大学硕士学位论文 3 解的形态关于时滞依赖于状态的迭代微分方程的光滑解和解析解的研究方面，导 、师司建国教授等【4 9 】- 【6 5 】有一系列的研究工作 1 3预备知识 在这一部分里，我们给出一个重要引理和q 应满足的三个条件，为第二章和第 三章的证明提供必要的理论基础我们将对三种不同情形的a 加以研究 ( h 1 ) 0 0 使得i n n 一1 i ( - 1 札“对所有 的佗1 ，都成立 ，就说n 满足d i o p h a n t i n c 条件；如果n = e 2 棚，其中0 r q 是一个 b r j u n o 数【7 0 ，7 l 】，也就是b ( p ) = 嚣。警 0 1 1 1 删| j 丽1 ，e k2 僦z ( q k ，竿) ，吼= 番 令以为j 0 的整数集，使得j a k 或对j l , j 2 a k ，j 2 一j l e k ，有j l 0 山东大学硕士学位论文 5 ( 4 ) k ( n + q k ) h k ( n ) + 1 对所有的自然数佗 0 我们设9 t ( 礼) = m a x ( h a ( n ) 【嚣】) ，则它有下列性质： 0 ) g k ( o ) = 0 ( 2 ) 鲰( 佗) 学对任意的自然数n ( 3 ) 鲰( n 1 ) + g k ( n 2 ) g k ( n l - t - 耽) 对任意的自然数n l 和n 2 ( 4 ) 如果b a k 和n 0 ，则鲰( n ) 肌( n 一1 ) - t - 1 因而有下面的结论： 引理1 3 1 ( d a v i e 引理 7 2 1 ) 设k ( n ) = n l 0 9 2 - f 窆。g k ( n ) l o g ( 2 q k + 1 ) 则 ( a ) 存在一个不依赖于佗和0 的常数，y 0 ，使得 脚舯c 篆掣， ( b ) ( 礼1 ) - i - g ( n 2 ) k ( 佗1 - t - n 2 ) 对任意的自然数n l 和n 2 ， ( c ) 一l o g l , 1 n 一1 l k ( n ) 一g ( n 一1 ) 第二章 迭代泛函微分方程z 7 ( 么) = 瓦i 可的解析解 本节主要讨论一阶微分方程： z ( z ) 2 硝1 ，。乩 的解析解的存在性，其中a ，b 是复常数 形如 2 1 方程( 2 0 1 ) 的辅助方程的解析解 z ( 名) = ，( 。，z ( z 一7 - ( z ) ) ) 的泛甬微分方程在【1 】j 【6 6 】， 3 6 ，3 7 ，4 9 ，5 1 ，5 2 ，5 4 ，6 7 ，6 8 ，6 9 】中已经研究过但是，当 这类方程中的时滞函数r ( z ) 不仅依赖于未知函数的状态变量而且依赖于状态的导数 丁( z ) = 丁瓴z ( z ) ，z 也) ) 时，研究的文章就比较少了在 6 0 ，6 1 】中，分别研究了两类时 滞依赖于状态导数的方程 q 名+ 卢z 7 ( z ) = x ( a z + b x 7 ( z ) ) 和 ( 名) = x ( a z + b x ) ) ， 的解析解的存在性 现将，( z ，z ) = 1 肛和r ( z ) = ( 1 一n ) z 一南代入( 2 1 1 ) ，我们可得到形如茁心) = 而碉1 的时滞依赖于状态导数的迭代泛函微分方程，其中和6 是两个复数本 章将在复数范围内研究方程( 2 0 1 ) 的解析解的存在性和显式表达式 如果a 0 ，b = 0 ，方程( 2 0 1 ) 变形为泛函微分方程 z 7 ( z ) 2 丽1 ( 2 1 2 ) 容易知道上述方程有一个特解z ( 名) = 、一吾z 吾 如果b 0 ，方程( 2 0 1 ) 的未知函数依赖于自变量与未知函数的导数，这是我们要 研究的主要问题首先，令 心) - = c t z - p 南， 6 山东大学硕士学位论文 则 于是 对任意的常数弧我们有 那么 注意到( 2 0 1 ) ，我们有 = 两1 ：i 1 ( ( 2 ) 一n z ) ， 雨2i ( ( 2 ) 一n z ) ， z ( z ) = 而f b 瓦 比h ( 计( 赤d s ， 砌阳( 拼而b d s 7 ( 2 1 3 ) 学叫褂力志幽 皿“， 如果劲是( z ) 的一个不动点，即，y ( z 。) = 知，那么有 掣叫砒 对( 2 1 4 ) 两边分别求导，得 也就是 可( z ) 一n = 而两b 2 一n l z j , y , ( z ) ， ( 1 ，( 耖( 名) ) 一口耖( 名) ) ( 可( 名) 一口) = 铲暑7 ( z ) 为了找到方程( 2 1 6 ) 的解析解，我们利用下列变换 来考虑辅助方程 在满足初始条件 矽( 名) = g ( a g 一1 ( z ) ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( g ( n 2 ：) 一a g ( az ) ) ( n 夕( a z ) 一a 9 7 ( 名) ) = b 2 0 t g ( nz ) ，( 2 1 7 ) g ( o ) = - y ( 2 1 8 ) 山东大学硕士学位论文 8 下的解析解，其中，y 是一个复数我们假设方程( 2 1 7 ) 中的n 满足条件( m ) ( t t 2 ) ( h 3 ) 之一 定理2 1 1 假设条件( 日2 ) 成立，则对于n 0 ，1 ，a ；b 0 ，及初值条件叩c o ，方 程( 2 1 7 ) 在原点的邻域内存在如下形式的解析解 o o 夕( 。) = ，y + 7 2 + b 。扩， ( 2 1 9 ) n = 2 证明定义= ，y ，b l = t 7 j 将( 2 1 9 ) 代入( 2 1 7 ) ，我们有 也就是 6 2 n n + l ( n + 1 ) b n + 1 仃 = 一i + 1 ) ( 一o ) ( q ”一。) 6 i 6 “+ 1 in = 1 2 t = o ( b 2 a 一( 1 一o ) ( n a ) b o ) b l = 0 ， 和 。 竺蟹竺! ! 二竺：丛1 26 州 = m i + 1 ) ( 一n ) ( n ”件1 一o ) 饥k 讲1 ，n = l 2 ( 2 1 1 1 ) 由，y 的定义，我们得到b 2 a 一( 1 一n ) 一) 7 = 0 ，所以一旦b ，被确定，数列 6 。) 茅的其 它项也就由( 2 1 1 1 ) 唯一确定这意味着辅助方程( 2 1 7 ) 有形式解( 2 1 9 ) 下面我们 证明幂级数( 2 1 9 ) 在原点的邻域内收敛因为o t 满足( h 1 ) ，我们有 i蛙业型搀蒜等坐l坐业南(2112ab2cx(1 a b 2 1 1 ) 一o “) ( 舰+ 1 ) 。 i o n 一 7 令尬= 掣，定义数列 b 。 箍o ：岛= mb 1 = 1 , 7 1 和 风+ 2 = 九鼠玩- t + l ，f l , = 0 1 接下来我们证明级数o ob 。扩有正的收敛半径定义函数 0 0 g ( z ) = 巩扩， ( 2 1 1 3 ) n = o 山东大学硕士学位论文 9 则 也就是 g ( z ) = + 帅+ b 。扩 n = 2 = 1 7 i 十帅+ 鼠风+ ，扩+ 2 n = 0 i = 0 = 1 1 i + i t 7 i z + m t z ( g 2z ) 一1 1 i g ( z ) ) ， 尬z g 2z ) 一( 1 + m l l t i z ) g c z ) + 1 7 i + i 7 l z = 0 把( 2 1 z 4 ) 看成隐函数方程，令 r ( z ，e ) = 以名( 2 一( 1 + m i l 7 i z k + 1 7j + i | ，7 | z = 0 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 由于r ( o ，= o ，取( o ，) = 一1 0 ，由隐随数存在定理，我们知道在原点的邻域内 ( 2 1 1 5 ) 有唯一的解析解( ( 2 ) 鉴于( ( o ) = m ( ( o ) = r ( 。，( ( 2 ) ) = 0 以及( 2 1 1 3 ) 和 ( 2 1 1 4 ) ，得到g ( ；) = ( ( z ) 于是，级数( 2 1 1 3 ) 在原点的邻域内收敛，必存在一个正常 数t 0 使得巩t ”，n = l ，2 ，由数学归纳法可以证明1 6 。i b 。e k ( n 一1 ) 对于n 1 成立其中k ：n r 如引理1 3 1 中定义事实上，| 6 1 i = m = b 。为了归纳证明我 们假设i b j i 岛e k ( 卜1 1 ，歹佗由( 2 1 1 1 ) ，( 2 1 1 2 ) 和引理1 3 1 注意到 则 i 尚耋帅州刊面m 一1 壹渊b , b 酬“) + 酬州) k ( i 一1 ) + k ( n i ) g ( n 一1 ) sl o g l a “一1 i + k ( 礼) ， 6 n + 1 1 e k ( “) m 1 鼠玩讲1 = 巩+ l e ( t = 1 由引理1 3 1 知，存在某一恒量7 0 ，使得k ( 珏) sn ( 秽) + 7 ) 。于是 也就是 ki t n e ( n - 0 ( b p ) + 7 ) t n e n ( b p ) + 制， l i ms u p ( i b i ) 古l i r as u p ( t “e ”( b p ) + 1 ) 考= t e b ( 8 ) + r n + o on 山东大学硕士学位论文1 0 这表明( 2 1 9 ) 的收敛半径至少是( t e b ( 9 ) + 7 ) ，证毕 在( h 3 ) 情况下，常数a 不但在单位圆上而且是单位根，这是一种共振情况， d i o p h a n t i n e 条件和b r j u n o 条件都不满足 定义数列 g ) 黯。：c o = i ，y i ，a = g + 2 = f m l 劬g i + 1 ，n = 0 1 ， ( 2 1 1 6 ) 其中r = m a x 1 ，p i i - 1 ：i = 1 ，2 ，p 一1 ) ，m 1 的定义见定理2 1 1 定理2 1 2 假设( 2 ) 成立，n 0 ，1 ，乜；b 0 ，和p 已给出定义数列 k ) 是o ：b o = 7 ，b l = 叩， 竺! 垒丛三_ = = _ 竺二2 型6 。+ 1 ：三( n ，q ) ，礼：1 ，2 ，( 2 1 1 7 ) o t a 其中 三( n ，n ) = z ( - 一i + 1 ) ( e x i 一口) ( o “一纠。1 一o ) 乜6 。一t + l ，竹= 1 ，2 ， = 1 如果三( 印，q ) = 0 对于任意的v = 1 ，2 ，那么方程( 2 1 7 ) 在原点的邻域内具有如下形 式的解析解 9 ( z ) = 7 + 町z + o p + 1 z “+k 名”，n = 1 ，2 ，) t l = p + 1 ， n住v p + l ： 其中( 。p + - 是任意的常数，它满足不等式1 6 , p + 1 1 g 卅，数列 g ) 黑。由( 2 1 1 0 ) 定 义如果= - ( v v ，a ) 0 对某个u = 1 ，2 ，成立，则方程( 2 1 7 ) 在原点的任一邻域内没 有解析解 证明如定理2 1 1 中的证明，我们寻找方程( 2 1 7 ) 的形如( 2 1 9 ) 的解析解，其中 等式( 2 1 1 1 ) 仍然成立如果存在某个自然数t ，有e ，0 1 ) 0 ，因为a n 一1 = 0 ，所以对 于佗= v p 等式( 2 1 1 1 ) 不成立在这种情况下方程( 2 1 7 ) 没有形式解如果三( 叩，n ) = 0 对任意的自然数t ，成立，则( 2 1 i l ) 中的b 。p + ，在复数域c 内有无穷多种选择，也就 是形式幂级数( 2 1 9 ) 定义了具有无穷多个参数的解族任取k 外t = 厶p + ，使之满足 l b v p + t i g 叶1 ，t ，= 1 ，2 ，( 2 1 1 8 其中g p + ，由( 2 1 1 6 ) 定义接下来我们证明形式幂级数( 2 1 9 ) 在原点的个邻域内 山东大学硕士学位论文 收敛对于n v p ，注意到妒1 1 1 f 由( 2 1 1 2 ) 式得 1 1 i b n + l l r 磊i b , l t b 。卅+ 1 1 ， ( 2 1 1 9 ) = 1 对所有的n v p ， ：1 ，2 ，成立鉴于( 2 1 1 6 ) ，容易看出函数f ( z ) ：量g 2 n 满足方 竹= o 程 f m l z f 2 ( 名) 一( 1 + r m , z l ，y l z ) f ( z ) + 1 7 i + 1 7 z = 0 ，( 2 1 2 0 ) 类似于定理2 1 1 ，利用隐函数存在定理，我们能够证明 h ( z ，秽) = r n z 秽2 一( 1 + f n 孑1 7j ) 秽+ i ，y l + i l z = 0 ，( 2 1 2 1 ) 在原点的某个邻域内存在唯一的解析解一( 名) 因为h ( 0 ，m ) = 0 ，凰( o ，i y 1 ) = 一1 0 ，秽( o ) = m t g ( o ) = 和h ( z ，t ，( z ) ) = 0 ，鉴于 f ( z ) 的定义和( 2 1 2 0 ) ，我们得到f ( z ) = 秽( 名) 接下来需要证明级数萎岛z n 在原点的 邻域内收敛容易证明 i c k ， i f , = 1 ，2 ，( 2 1 2 2 ) 事实上，i b l l = = a 为了利用数学归纳法，我们假设i b j l o ，j 佗从( 2 1 1 6 ) 和 ( 2 1 1 9 ) ，我们得到 因此， ( 2 1 2 2 ) 得到证明利用曼g 名n 的收敛性和不等式( 2 1 2 2 ) ，得到级数( 2 1 9 ) n = o 在原点的一个邻域内收敛证毕 定理2 1 3 假设( h 1 ) 成立，则对于o 0 ，1 ，口；b 0 ，及初值条件叩c o ) ，方程 ( 2 1 7 ) 在原点的邻域内存在如下形式的解析解 夕o ) = 7 + ，7 z + 6 。z ”， ( 2 1 2 3 ) 其中，y = f 案南 证明如定理2 1 ，1 中的证明那样，我们寻找方程( 2 1 7 ) 的形如( 2 1 9 ) 的解析解 因为0 川 1 ，所以l i m 采= t = 一1 ，由( 2 1 1 2 ) ，对某个正数，我们有 n - + 0 0 一 i ( n 一口) ( n i + 1 ) ( n 一( ) ( o t i 一+ 1 一) n i a b 2 c r ( 1 一o ”) ( n + 1 ) 2l = 他 + i i +叶瓯g 。汹 mr 一 +一kk 。僦 mr 一 + n h 山东大学硕士学位论文 踹曼尬 定义数列 d 。 怎o ：d o = l y l ，d 1 = i , 1 1 ， 鉴于( 2 1 1 2 ) ，利用数学归纳法能够证明 b 。l d 。，n = 0 ，1 ， 1 2 ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) 事实上，i b l l = = d 我们假设吲d j ，歹他由( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 2 4 ) ，( 2 1 2 5 ) ，我们得 到 如此( 2 1 2 6 ) 得证类似于定理2 1 1 的证明，利用隐函数存在定理，我们知道级数 萎巩z n 在原点的某个邻域内收敛，由优级数判别法得到量b 。n 在原点的邻域内 n = 0 t i = 0 收敛证毕 2 2方程( 2 0 1 ) 的解析解 定理2 2 1 假设定理2 1 1 ，定理2 1 2 或定理2 1 3 之一成立，则方程( 2 1 6 ) 在原点 的邻域内存在解析解y ( z ) = g ( a g - 1 ( z ) ) ，其中9 ( 。) 是( 2 1 7 ) 的解析解 证明依据定理2 1 1 ，定理2 1 2 和定理2 1 3 ，形如( 2 1 9 ) 的函数9 ( 名) 是辅助方程( 2 1 7 ) 在原点的邻域内的解析解由于9 ( o ) = 7 和9 ( o ) = 叩0 显然逆变换9 1 ( z ) 存 在且在点9 ( o ) = 7 的邻域内的解析如果定义( z ) = g ( c , g 一1 ( 名) ) ，那么 z ，( z ) = q 9 7 ( q g 一1 ( 。) ) ( g 一1 ( 名) ) 一l = 竺辫， 从而 蹦( 名) = _ b 2 a 而g ( a 可g - r z ( z ) ) 吡( ag - i ) _ 嘶g - l ( 枷) ( 亟气措产) ：( j ! ，( j ! ，( z ) ) 一。曼，( z ) ) ( 曼，( z ) 一口) 1o = n +住 dd 。鲫 = 2+n d + n d = +一 n dd 。：l 一 +k 以 。! i 一 + n 6 山东大学硕士学位论文 1 3 所以可( 名) 是方程( 2 1 6 ) 的解证毕 我们已经证明了在定理2 1 - 1 ，定理2 1 2 和定理2 1 3 下，方程( 2 1 6 ) 在7 的邻域 内有解析解( 名) = g ( o r g 一1 ( z ) ) ，其中9 ( z ) 是( 2 1 7 ) 的解因为函数9 ( 。) 可由( 2 1 1 1 ) 确 定，所以我们可以通过计算得到 ( z ) 的精确表达式，至少在理论上是可以做到的 下面我们利用( z ) 来构造方程( 2 o 1 ) 在( o ，7 ) 的邻域内的显式解假设x ( z ) 具有如下 形式 比) ：嘶) “( 州。刊+ 掣( ：刊。h ( 2 2 - 1 ) 我们需要求出x n ( 7 ) ，7 , = 0 ，1 ，2 ，首先，我们根据( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) ，有 嘶，= 学= 学， 和 z ( 7 ) = 而f b 丽= 丁与 再分别对( 2 0 1 ) 两边求导，有 茁1 加半碧铲， 于是 z ，( 栌矿讯篙五丽 对( 2 0 1 ) 两边求k 阶导数，代入，y ，得到z ( ，y ) ，通过这种计算我们可以得到( 2 2 1 ) 的 显式表达式，也就是， 出) = 学+ 忐( 名刊+ f 而鲁习两( z 刊2 + 壹掣( r 第三章迭代泛函微分方程 c l x ( z ) + c 2 2 7 ( z ) + c 3 z ( z ) = x ( a z + b x 7 ( 么) ) 的解析解 本章我们主要研究一类二阶迭代泛函微分方程 c l z 0 ) + c 2 z ( 名) + ( 冶z “( 名) = x ( a z + b x 7 ( z ) )( 3 0 1 ) 解析解的存在性，其中c 。，c 2 ，c 3 ，a 和b 是复数 3 1方程( 3 0 1 ) 的辅助方程的解析解 根锯前面的工作，我们处理这个i 司题的基本方法还是利用s h c h r o d e r 变换，把万 程( 3 0 1 ) 化为对应的不含迭代的泛函微分方程，再讨论其在条件( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 下局 部解析解的存在性 首先，令 可( 名) = a z + b x ( z ) ， 那么 z ( z ) = 石1 ( ( z ) 一口z ) ， 于是 z ，( z ) = 抄( 沪。) 对任意的劲，我们有 心) = 柏) + 丢( ( 小) ) 幽， ( 3 1 1 ) 也就有 批) ) - 嘲) + 丢州s h s 冲 注意到( 3 0 1 ) ，我们有 ，： c l 【6 z ( 硒) + ( ( s ) 一a s ) d s + c 2 ( ( z ) 一n z ) + c 3 ( y ( z ) 一o ) jo o 叫小s h s ( 3 1 2 ) 如果如是”( z ) 的一个不动点，也就是( 如) = z o ，那么 詈；毛；等z ，( 劲) + i r r ；：万( ( 绚) 一口) = z ( 如) ( 3 1 3 ) 山东大学硕士学位论文1 5 对( 3 1 2 ) 两边求导，得到 c 1 ( y ( z ) 一a z ) + c 2 ( y ( z ) 一口) + c 3 y ”( 名) = ( 可( 可( 。) ) 一口可( 石) ) 耖( z ) ( 3 1 4 ) 为了得到( 3 1 4 ) 的解析解，我们首先讨论辅助方程 c l ( g m ) - 嘶) ) + c 2 ( 帮刊俐盟业巍笋 吡酽沪吲) 帮 ( 3 1 5 ) 的解析解，也就是 c ，( 9 ( p z ) 一n 9 ( 名) ) 9 ( z ) + c 。( p 9 ( 6 i 彳) - a g ( = ) ) + c s p 旦! 旦二2 旦j 言；i 掣 在满足初值条件 = ( 9 ( 一2 z ) 一a g ( oz ) ) 0 9 7 p z ) ， 9 ( o ) = 7 ，9 7 ( o ) = 町0 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 下的解析解，其中，y ，叩是复数我们假设方程( 3 1 6 ) 中的p 满足( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 的条 件之一 定理3 1 1 假设( m ) 成立，则对于初值条件g ( o ) = 7 ，及r c o ，方程( 3 1 6 ) 在 原点的邻域内存在如下形式的解析解 g c z ) = 7 + ，7 z + b 。名”， ( ：；1 18 ) n = 2 其中7 = 茬耥，。1 ，0 c 1 证明重写( 3 1 ，6 ) 为下列形式： 也就是 c l ( 柙圹毗) ) 9 t ) + c 2 ( 耐) - a g ( 枷+ 洲糌) 7 = ( 9 ( 口2 。) 一a g ( oz ) ) o g ( 一z ) ， ( 鬻) = 击酽小删圳珂) 一c l ( 9 ( p 名) 一a g ( z ) ) g ( z ) 一c 2 ( 日夕( 一名) a g ( z ) ) 】( 3 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 因为g ( o ) = ，0 ，方程( 3 1 9 ) 等价于下列积分微分方程 9 和名) = g t ) l + 刍z 。【( 卵