（基础数学专业论文）跳扩散模型中期权定价及投资优化问题研究.pdf

摘要 本文研究当市场中资产的价格过程服从跳扩散模型时的期权定价以及具有成比例交易 费的最优投资消费问题。与传统的扩散模型不同，跳扩散模型假设资产的价格过程同时收到 布朗运动和泊松过程的控制，它可以较好的解释由于突发事件( 如未期财政数字的公布、重 大政治事变以及自然灾害等) 所导致的市场价格的剧烈变化，故比扩散模型更加合理的描述 了市场的运作规律。 我们首先讨论的是跳扩散模型中期权定价的二叉树方法。二叉树方法作为期权定价的 离散模型和数值算法，由于其简单明了但可以有效的说明问题和进行计算，是最能被金融界 接受的和理解的模型。本文对跳扩散模型中的二叉树方法进行了比较深入的分析：对欧式期 权二叉树方法得到了它的一个最优误差估计，并对其进行了一定的修改给出了一个高精度算 法；对于美式期权二叉树方法，我们用粘性解的技巧证明它的局部一致收敛性，并得到了其 最优实施边界的存在收敛性以及最优实施边界终值的显式表达式。 本文研究的第二个问题是具有成比例交易费的最优投资消费问题。假定市场是由无风 险债券和价格过程服从跳扩散模型的股票组成，投资者可在两种资产间连续交易但需支付成 比例的交易费。投资者的目的是使具有无限水平的消费的期望效用最大化。此问题值函数对 应的h j b 方程是一个非线性积分一微分变分不等方程。我们利用偏微分方程( 特别是粘性解) 的技巧对值函数正则性进行了详细的分析，对可解区域的划分以及自由边界的位置进行了一 定的讨论，并在一种极限情形下给出了h j b 方程的比较原理。 最后。我们给出了跳扩散模型中计价单位变换在期权定价中的一些应用。在风险中性 的鞅测度下市场中任何资产的贴现价格过程都是鞅，通常用来贴现的计价单位都是局部无风 险的银行帐户。本文通过选取不同的记价单位以及相应的概率测度，简化了期权定价中一些 复杂的理论，得到了跳扩散模型中具有随机利率的欧式期权的定价公式以及关于交换期权、 亚式期权等新型期权的定性、定解性质。 关键词：跳扩散模型，期权，等价鞅测度，二叉树方法，交易费，粘性解，h j b 方程，随 机测度，计价单位。 a b s tr a c t t h i sp a p e rs t u d i e so p t i o np r i c i n ga n do p t i m a li n v e s t m e n tw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s w h e nt h eu n d e r l y i n ga s s e ti nam a r k e tw h i c hf o l l o w saj u m pd i f f u s i o nm o d e l d i f f e r e n t w i t ht h et r a d i t i o n a ld i f f u s i o nm o d e l 。t h ej u m pd i f f u s i o nm o d e l sa s s u m et h a tt h ep r i c e o fu n d e r l y i n ga s s e ti si n f l u e n c e db yt h eb r o w n i a nm o t i o na n dp o i s s o np r o c e s sa tt h e s a m et i m e t h i sm o d e lc a ng i v eaf i n ee x p l a n a t i o nt os u d d e nc h a n g e si nt h em a r k e t ， s oi t i sm o r er e a s o n a b l et h a n t h ed i f f u s i o nm o d e l w ef i r s td i s c u s st h eb i n o m i a lt r e em e t h o di nj u m pd i f f u s i o nm o d e l t h eb i n o m i a l t r e em e t h o d ，a sad i s c r e t et i m em o d e lo fo p t i o np r i c i n g ，r e q u i r e so n l yr o u t i n e a l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，b u tt h em e t h o di ss t i1 1a b l et oe x p l a i nm a n yo fi d e a sb e h i n d t h ef u l lt h e o r y s oi t i so n eo ft h em o s tp o p u l a rn u m e r i c a la p p r o a c ht op r i c i n g o p t i o n s i nt h i sp a p e r ，w eg e tt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t i o no f t h eb i n o m i a lt r e e a p p r o x i m a t i o nf o re u r o p e a no p t i o n sa n da n o t h e re x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei s c o n s t r u c t e d ，w h i c hh a sh i g h e ra c c u r a c yt h a nt h eb i n o m i a lt r e em e t h o d n u m e r i c a l r e s u l t sc o i n c i d ew i t ht h et h e o r e t i c a lr e s u l t s 。f o ra m e r i c a no p t i o n s ，w ee m p l o yt h e t h e o r yo fv i s c o s i t ys o l u t i o nt os h o wu n i f o r mc o n v e r g e n c eo ft h eb i n o m i a lt r e em e t h o d a n dp r o v ee x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c eo ft h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yi nt h eb i n o m i a l t r e ea p p r o x i m a t i o n i na d d i t i o n ，t h et e r m i n a lv a l u eo ft h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y i sg i v e nf o ra m e r i c a no p t i o n si nj u m p d i f f u s i o nm o d e l s t h es e c o n dp r o b l e mw es t u d yi st h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nw i t h t r a n s a c t i o nc o s t si naj u m pd i f f u s i o nm o d e l c o n s i d e ra ne c o n o m yw i t ht w oa s s e t s ： o n er i s k f r e eb o n da n do n er i s k ys t o c kw h o s ep r i c ef o l l o w saj u m pd i f f u s i o nm o d e l a ni n v e s t o rc a nt r a d ec o n t i n u o u s l yi nt i m eb e t w e e nt w oa s s e t s ，b u th a st op a y p r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s t h eo b j e c t i v ei st om a x i m i z et h e t o t a le x p e c t e d d i s c o u n t e du t i l i t yo fc o n s u m p t i o no v e ra ni n f i n i t eh o r i z o n t h ev a l u ef u n c t i o no f t h i s p r o b l e mc o r r e s p o n d t oa h j be q u a t i o n ， w h i c hi san o n li n e a r ， i n t e g r o d i f f e r e n t i a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y w eu s et h et e c h n i q u eo f p d e ( e s p e c i a l l y 。t h ev i s c o s i t ys o l u t i o n ) t oe x a m i n et h er e g u l a r i t yo ft h ev a l u ef u n c t i o n ， d i s c u s st h ep r o p e r t i e so fs o l v e n c yr e g i o na n df r e eb o u n d a r y ，a n dg i v eac o m p a r i s o b i na1 i m i t i n gc a s e f i n a l l y ，w eg i v es o m ea p p l i c a t i o n so fc h a n g eo fn u m e r a i r ei nt h eo p t i o np r i c i n g i nam a r k e tw i t har i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ym e a s u r e ，t h ed i s c o u n t e d ( u s u a l l yb y l o c a l l yr i s k - f r e eb o n d ) p r i c eo fa n ya s s e ti sam a r t i n g a l e b yc h o o s i n gd i f f e r e n t n u m e r a i r ea n dc o r r e s p o n d i n gp r o b a b i li t ym e a s u r e ， w eg i v et h ef o r m u l ao fe u r o p e a n o p t i o n si nas t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ef r a m e w o r ka n dg e ts o m er e s u l t sa b o u te x c h a n g e o p t i o n sa n da s i a no p t i o n si nj u m p 一一d i f f u s i o nm o d e l s k e yv o r d s ：j u m pd i f f u s i o nm o d e l ：o p t i o n ：e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ：b i n o m i a l t r e em e t h o d ：t r a n s a c t i o nc o s t ：v i s c o s i t ys o l u t i o n ：r a n d o mm e a s u r e ： n u m e r a i r e 第一章引言昂一早 ji 吾 1 1跳扩散模型中期权定价的二叉树方法( b t m ) 二叉树方法( b i n o m i a lt r e em e t h o d ) 亦称c r r 方法，它于1 9 7 9 年首先被c o x r o s s r u b i n s t e i n 2 4 】在扩散模型中提出二叉树方法既是一个计算期权价格的离散的数值计算方 法，又是一个期权定价的离散模型由于它不需要人们具有随机分析以及偏微分方程的知识， 而只是一些简单的初等代数运算，因此这个方法最容易被金融界人士所接受因为大量的期 权定价问题都可以通过b t m 计算出价格，因此它具有极为广泛的应用 a m i n 8 】将c o x 等人【2 4 】的思想推广至跳扩散模型中：假定在一个离散时间( t = o ，l ，2 ，丁j 的资产市场中具有两个资产：一个为无风险债券，使得在i 时刻投资b 元可在i + 1 时刻产生 p b 元的受益( 其中p 为大于1 的常数) ，另一个资产为风险股票令z 表示全体整数集合，设 在i 时刻的股票价格为s ( i ) ，则i + 1 时刻股价取值于一个离散的集合 s j 0 + 1 ) ：歹z ) ， 其中& - ( i + 1 ) 对应着由扩散部分引起的股价“局部”变化，其它的点对应着由跳部分导致 的股价增量令尸表示此状态空间上股价的转移概率考虑一个到期日为t 的欧式期权， 设它在时刻i 、股价为s j ( i ) 时的期权价格为0 ( i ) 如c r r 模型一样，构筑一个含有一份 期权，份股票以及b 元债券的投资组合y ，使其满足 v ( i ) = l v s ( i ) + b + c ( i ) = 0 ( 1 1 ) 我们可以调整持有的股票份额，使得投资组合关于股价的“局部”变化是无风险的，即 u ( i + 1 ) = n 肆l a + 1 ) + p b + c + l ( i + 1 ) ( 1 2 ) = n s 1 0 + 1 ) + p b + 口1 ( i + 1 ) 由( 1 2 ) 可以解出用来对冲股价“局部”风险的股票份额为 一群黜渊 定义一个时间段内股票的资本回报率为k = 亟羲寺盟，庇z 由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 中消去与 b 可得 眦+ 1 ) = ( 毪) 州川) + ( 怒) ( ) _ p 哪) ( 1 3 j 第一章引言2 在c r r 模型中，股票价格的增量只有因为扩散项引起的“局部”变化故当这种风险被消 除后，由无套利原理以及( 1 1 ) 应有比( i + 1 ) = 0 ，则此时( 1 3 ) 即为经典的扩散模型叶t 的 二叉树方法【2 4 】 但是，在跳扩散模型中，由于“跳”事件的存在，股票价格除了s 土( i + 1 ) 外还有其它的 多种可能这时无套利原理就不能保证瞧g + 1 ) = 0 了令y 表示跳发生时股票的资本回 报率，! ，表示跳发生后下一时刻股票价格的状态，这意味着若在i 时刻有“跳”发生，则在 i + 1 时刻的股价为s ( i ) y 故有 投资组合值l 跳事件= k a + 1 ) = n s ( i ) y + c ”a + 1 ) + p b ( 1 4 ) 我们知道，这里定义的跳扩散模型中的市场是不完全的，其中未定权益的定价取决于等价鞅 测度的选取( 见h a r r i s o n k r e p s 3 9 ) a m i n 8 】采用了m e r t o n 6 0 】的假定：设设风险事可分 散的( d i v e r s i f i a b l e ) 这意味着下一时刻的投资组合值关于跳事件分布的数学期望值为零，这 样就可消除由于跳事件带来的风险；而由股价“局部”变化引起的风险，我们已在( 1 2 ) ，( 1 3 ) 中通过对冲消除了我们将看到，在此假定下可以决定个市场中的等价鞅测度令天表示 跳事件发生的概率，上v 表示对应于随机变量y 分布的期望算子则对i + 1 时刻的投资组 合值关于跳事件分布取数学期望并令之为零可得： 0 = 入e y 【k g + 1 ) 】+ ( 1 一入) 厂士 + 1 ) ，( 1 5 ) 则由( 1 1 ) ，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 以及( 1 5 ) 容易得到 p g a ) = 入e 【c o o + 1 ) 】+ ( 1 一入) i p q l 0 + 1 ) + ( 1 一p ) c 一1 ( i + 1 ) 】，( 1 6 ) 其中 p 。 旦蔓髦凹一一。 1 一a a + l 一一1 ( 1 7 ) 定义新的概率测度q ：令股票价格在无跳发生时由于“局部”波动到达外l ( i + 1 ) 与s l “+ 1 ) 的概率分布为p 与1 一p ，而跳发生的概率又以及由跳引起的股价分布与原先的测度p 中相 同容易验证这样定义的q 是一个风险中性的等价鞅测度( 即股票、期权等风险资产在此测 度下关于无风险债券的贴现价格过程均为鞅) ，且在此测度下( 1 6 ) 简化为 c 钾 掣 8 ， 对于美式期权，令f ( t ) 表示在当前状态实施的价值，则亦有 c = m a x ，掣 9 ， 第一章引言 3 由于a m i n 8 】中股价的离散过程弱收敛到连续过程，由弱收敛的定义a m i n 可以得到欧 式期权的收敛性k u s h i n e r d i m a s i 5 0 1 证明了若一个离散序列弱收敛到一个跳扩散过程， 则它对应的最优停时问题的值函数也是收敛的a m i n 8 1 由此来说明他的二叉树方法对于美 事期权的收敛性( a m i n k h a n n a 9 】在扩散模型中对此思想进行了详细的论述) 在本文中 我们尝试用偏微分方程和数值差分的方法来研究a m i n 的二叉树方法，证明了在一定条件下 它等价于一类显式差分格式对于欧式期权，我们在第一章中利用这种等价性和数值差分的 性质得到了此算法的最优误差估计( 当然这即蕴含了a m i n 二叉树方法的收敛性) ；再考虑 到影响a m i n 二叉树方法精度的主要原因为方程初值具有一定的奇性并且逼近方程中由跳产 生的积分项所用中点公式精度较低，考虑到这两个因素的影响后我们构筑了一个高精度的算 法 对于美式期权，我们利用粘性解的技巧讨论跳扩散模型中二叉树方法的收敛性对于 单调、稳定以及相容的数值算法通过构筑粘性上、下解并利用其比较原理讨论相应非线性 方程收敛性的方法最早见于b a r l e s & s o u g a n i d i s 1 3 】，并很快引用于金融数学之中，如见 【1 0 ， 1 1 1 ， 2 9 】j i a n g d a i 4 5 】用此思想得到了扩散模型中美式期权二叉树方法的收敛性， 并在【4 6 】将此结果推广证明了美式路径依赖期权二叉树方法的收敛性，d a i 2 6 】还得到了 l o o k b a c k 期权的一类修正二叉树方法的收敛性我们在第二章中把j i a n g d a i 4 5 】的结果推 广到跳扩散模型中注意到跳扩散模型对应的方程为积分一微分方程，关于此类方程粘性解 的概念最早由s a y a h 6 7 1 对于一阶方程引入，s o n e r 7 2 】。a l v a r e z t o u r i n 7 以及p h a m 6 5 】 讨论了二阶积分一微分方程粘性解的性质我们由此证明了跳扩散模型中美式期权二叉树方 法的收敛性l a m b e r t o n 5 2 】和j i a n g d a i 4 5 】都在扩散模型下讨论了数值算法中美式期权 自由边界的收敛性，我们亦得到了跳扩散模型下美式期权二叉树方法中最优实施边界的存在 和收敛性，并由此给出了最优实旌边界终值位置的显式表达式 当然，对于美式期权，和欧式期权一样我们更有兴趣的也是二叉树方法的误差估计但是 对于欧式期权我们可以得到误差估计是因为它对应的方程为线性方程，而美式期权对应着一 个是非线性方程，这样要得到其误差估计就困难得多我们暂时还没有得到这方面的结果， 但这是一个可以继续进行研究的方向 1 2跳扩散模型中具有成比例交易费的最优投资消费问题 最优投资消费问题，即给定初始投资，寻找投资策略使投资者目标效用函数最大化的问 题较旱的一个例子是m e r t o n 5 9 】于1 9 7 1 年给出的：假设市场由两个资产构成，一个是具 第一章 引言 有常数利率r 的债券，另一个是风险股票设股票的价格动态满足以下随机微分方程 a s ( t ) = s ( t ) ( a d t + a d w t )( 2 1 ) 其中( m ) t o 为给定的滤波空间( n ，厂，p ( 五) t o ) 上的布朗运动，正常数o t ，o r 为分别为股票 的期望收益率和波动率m e r t o n 5 9 】考虑的最优策略问题为 1 o o e - f i t 盟d t m a x e j o p， ( 2 2 )二_ 旦，( 2 2 ) r c 其中e 为期望算子，7 r 为投资于股票资金所占总财富的比例，c ( t ) 0 为消费率，卢 0 ，0 o 为标准布朗运动，( 帆) t o 为具 有常数密度a 的泊松过程，( ) j 芝l 为取值于( - i ，o 。) ( 否则会出现非正股价) 的平方可积、 独立同分布的随机变量序列假设由( w t ) t o ，( n t ) t o 和( 叻) j 1 产生的盯代数对于v t 0 相互独立，并以乃表示由【职，肌：ss ) 以及乃! t 产生的口代数关于方程( 1 1 ) 我 们可以给出一个直观的描述：股票价格& 在区间t o ，t 】具有有限个间断点，即它可在由泊松 过程( n t h o 控制的随机时间发生跳跃，面跳的幅度由随机变量描述。而在两个跳跃之 间，股价服从由布朗运动( 鼠) t o 刻划的连续对数正态分布 令耳表示期权的敲定价格，勖为在到期日t 时的股票价格，并令名+ = m a x z ，0 ) 则一张欧式期权的到期收益率可以表示为 ( 岛) ，其中 ( 曲) = ( 5 ，一k ) + ( 看涨期权) 或 九( s t ) = ( k s t ) + ( 看跌期权) 由于这里的市场是不完全的，我们无法如b l a c k - s h o l e s 模 型【1 9 】那样利用无套利的技巧构筑一个由股票和债券组成的无风险的投资组合来给出一个 公平的价格m e r t o n 6 0 在假设跳风险是非系统可分散( d i v e r s i f i a b l e ) 的条件下给出了欧 式期权的一个显式的公式我们也可以做一些技术的或是偏好的假定来进行期权的定价( 如 见f s l l m e r s o n d e r m a n n 3 1 】，b o u l e a l a m b e r t o n 【2 0 1 ，或c h a n l 2 2 j 等) ，实际上，由 h a r r i s o n k r e p s 3 9 】的理论我们知，在不完全市场中未定权益的定价取决于风险中性等价鞅 测度q 的选取为简化分析，以下讨论中我们均假设q = p ，即设市场中客观概率就是一 个风险中性的概率则此时由l a m b e r t o n1 5 3 】知必有p = r 一入后，其中后= e u i 而e 为数 学期望算子，且欧式期权的价格k 即为 y t = e 【e 一7 ( t - t ) h ( s 丁) 1 五】 ( 1 2 ) 由i t 6 公式【4 0 】以及( m ) o ，( n t ) t o 和( u j ) j l 的独立性，我们知k = v ( s ，) 且满足以下 8 第二章欧式期权二又树方法的数值分析9 = 意姒r 3 ， 其中为二阶抛物积分一微分算子 y = 瓦o v + 百o - 2s 2 礤0 2 v + ( r - a k ) s 丽o v - ( r + 缈+ a 仁y ( 跗+ 珐t ) d a f ( 秒) = 。， 且( 3 ，) 为随机变量巩的概率分布函数 2 2二叉树方法与显式差分格式的等价性 令z = z ：z = o ，4 - 1 ，- t - 2 ，) ，n 为离散点的个数， a t = 斋，p = e r tt = e ，瓜 当股票价格过程服从跳扩散模型时，a m i n 8 】提出了一个简单的离散模型来对其期权进行定 价不同于c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 2 4 的二叉树模型，a m i n 假设股票价格s 在一个小的 时间段t 后在一个离散集合 s u ：z z ) 中取值股票价格的连续模型( i i ) 中的布朗运动 ( b t ) t 0 使得股价产生“局部”变化：s u 和s u ，而当泊松跳发生时，股票价格则“跳” 至下一时刻股价网格点上的任何可能值 令吁表示在时刻n a t 、股价为e j 9 、出的期权价格如m e r t o n 【6 0 】一样假设跳风险是 可分散的，则可以通过取数学期望的方法消去由跳带来的风险令爻为时段内泊松跳发 生的概率，则由a m i n 【8 】8 有 l p 甲= ( 1 一爻) ( 口嘴1 + ( 1 一q ) v j n _ + 1 ) + 支嘴1 丸 j z ， lgz ( 2 1 ) l = ( 扩佤) ， 歹z ， 其中 且 g = 2 二坐三! ! _ u 一- 1 一入 西= p r o b ( 1 n ( 1 + 仉) ( f 一) 盯佤，( f + ；) 仃瓶) ) = ( e ( h ) ，4 - a 7 1 ) 一a f ( e ( 1 一) ，佤一1 ) 第二章欧式期权二叉树方法的数值分析 注意到 p = e 。= 1 + r a t + o ( a t 2 ) ， p a ( 缸+ 1 ) 一t 正一1 q = 专笔r u 一札 ，支= , k a t e 一 = a a t + o ( a t 2 ) ， = 虿1 + ( r a 惫一譬) - 以- 7 5 豆- + 万1 ( 譬+ ( 是+ 3 ) 入z + ，入一丢盯2 ( r a k 一譬) ) 瓦+ o ( a t 2 ) ， 、 则( 2 1 ) 化为 ( 1 + r a t ) 吁= ( 1 - a a t + o ( 蚴( ( ；+ ( r - a k - - 2 - j - 佤- 2 - 矿+ 0 ( 瞄1 + ( 一( r - a k - 譬) 殍删蛳瞄1 ) + ( a z x t + o ( a t 2 ) ) 嘴1 a i e z 1 0 ( 2 2 ) 令r 表示全体实数集， q t = ( ( z ，t ) ：0 t t ，z r 作变换s = e z ，u ( 2 ，t ) = v ( s ，t ) ，则( 2 1 ) 转化为以下常系数问题 其中c 为如下积分一微分算子 c ”( z ，t ) = 0 ， v ( x ，t ) = h ( e 霉) ， ( z ，t ) q t ， z r 踟= 踟- $ i + 2 塑0 x 2 + ( r - a k - 譬) 象一( r + a ) u + a 上t ，( x + y , t ) 神( 鲈) = 。， 且弦( 箩) = ( e 事一i ) ( 2 3 ) 我们对方程( 2 3 ) 作显式差分离散给定a x ，a t ，n a t = t ，令q _ i = m ，歹z ) ：0s 仡sn ，j z 表示差分网格集合，u 表示函数臼( 。，t ) 在网格点( n a t ，j a z ) q 1 i 的数值逼 近值则我们有 或 ”r 嗍2 意( ”面a 2 a t 妒l + 譬) 掣 歹z ，0sn n 一1 ， ( 2 4 ) 啪一譬) 箍) 猫) + 叠驴 ( 2 5 ) 丝壤 g埘： 二 + 灶 七 北 殳 渺 式 弘 第二章欧式期权二叉树方法的数值分析 p t ：三。a g v 一( y ) ：( ( f + ；) z ) 一n c q 一去) z ) = ) = ( ( f + ；) z ) 一一言) z ) j ( 1 一每) z 二 z 若碚a 2 a t = 1 ，则有p l = 西且 ( 1 + 心) 哆= ( 1 - 尬+ o ( z x o ) ( ( 互1 + ( r - 从一扩- 2 - 、j - 佤2 矿m j n + + 。l 代1 ，_ ( r - a k - 譬) 事) 蚪) 十( a z x t + o ( - l 州n + l p l 为 一 7 f z 比较( 2 2 ) ，( 2 6 ) ，我们容易得到下面的结论； 定理2 1 当五c 2 a r t = 1 时，在忽略高阶小量t 的意义下，二叉树方法( 2 1 ) 等价于显 式差分格式( 2 4 ) 以下讨论中，我们以记号c 表示一个独立于任何函数、a x 和a t 的正的常数，但c 可 注2 1 由( 2 。4 ) 易见对于碚0 r 2 a ts l ，有 0 哼一2 ( 1 + e a t o ( a z 2 ) ) ，l 一一1 i d 2 厄 ( 2 7 ) 下面，我们对于方程( 2 3 ) 给出一个比较原理： 定理2 2 设函数口( z ，t ) 满足 篇羔羔， 仁鳓 若口( z ，t ) e 一。是有界的，则 定理2 2 的证明将在本章的第六节中给出由此定理，我们可以立刻得到方程( 2 3 ) 解的 注2 2 令v a ( x ，) 表示哆在国t 中的延拓函数： v a ( x ，t ) = 吁， f o rz u 一 ) z ，u + ) z ) ，t 【( n 一) ，( 几十；) t ) j z ，l n n 一1 ，f o rz 【d 一；) z ，( 歹+ ；) z ) ，t 【( 一) ，t 】 j z 田，f o rz 【u 一) z ，u + ；) z ) ，t 【o ， t ) 歹z 第二章欧式期权二叉树方法的数值分析 1 2 则由标准的抽对角线子序列方法、( 2 7 ) 中的第一个不等式以及方程( 2 3 ) 解的唯一性，我们 容易得到：当z ，a t _ 0 时，u ( z ，) 在分布意义下收敛到方程( 2 3 ) 的解，且有 05v ( x ，) e 。 再由定理2 2 ，我们知道方程( 2 3 ) 有且仅有一个有意义的解 2 3 差分格式的收敛性 ( 2 9 ) 在本节中我们将研究差分格式( 2 4 ) 误差估计然后，由定理2 1 我们实际上也得到了 二又树方法( 2 1 ) 的误差估计令t 为关于变量t 的一阶差分算子， ：和厶分别表示关 于变量。的二阶差分以及中心差分算子对于任意t ，( z ，t ) ，以目；( 口) 表示函数移关于变量 t 的丕次h s l d e r 系数首先，我们给出关于方程( 2 3 ) 解的一些正则性结果它们的证明将 在本章第六节中给出 定理3 1 另口( z ，t ) 为方程( 2 3 ) 中取h ( x ) = ( e z k ) 时的前筚则羽。仕恩慨t j q t ， 我们有 i 是( 刈) l c e 霉，日旺 ( 3 1 ) l 象圳c 南，i 缸喇c 彘， ( 3 2 ) i 象( 叫) isc 而e x ，日；( 象) c 而e z ， ( 3 3 ) l 等t ) l c 南，1 缸，驯c 南 ( 3 4 ) 引理3 1 【i ) 看口睁，) 黼足( 3 4 ) 则珂v ，tj l 2 t ，伺 l 等旷器圳c 蒜吒 对v (