（基础数学专业论文）纽结和环链的honfly多项式的微分性质.pdf

学位论文独创性声明 l i i iiii iiiii ii i ii i iiil 18 9 0 0 8 3 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：辄指剥币躲戛逸 指导教师签名：丕曼数 签名日期： 知1 年乡月1 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 纽结理论研究的主要内容之一是寻求既有强的分辨不同纽结的能力，又易于计算的 同痕不变量，纽结多项式的提出为纽结的分类提供了可能性 目前，已经有学者给出了c o n w a y 多项式的一些微分性质，比方说c o n w a y 多项式的各 阶导数是线性无关的等，由于c o n w a y 多项式和a l e x a n d e r 多项式之间可互相转换，那么， 我们是否可以得到a l e x a n d e r 多项式也具有类似地性质? 本论文利用一般的求导法则和 矩阵的有关知识，讨论了a l e x a n d e r 多项式具有的微分性质 在2 0 世纪8 0 年代，f r e y d 等人发现了定向纽结和环链的一个含有两个变量的 l a u r e n t 多项式不变量，他们称它为h o m f l y 的多项式，经过适当的变量替换之后，多项式 可以表示为同一纽结或者是同一环链相对应的a l e x a n d e r 多项式和j o n e s 多项式到目 前为止，已经有许多学者对任意纽结的j o n e s 多项式的微分性质进行了研究，尤其是它们 在r = 1 时的整除性质，进一步我们想对任意纽结和环链的更一般的多项式- - - h o m f l y 多 项式的微分性质进行研究本论文先利用偏导数的有关知识得到了一些特殊纽结和环链 的h o m f l y 多项式在特殊值时的整除性质，然后利用归纳法，推导出任意纽结的h o m f l y 多 项式的高阶偏导数的微分性质 对于这些性质的研究将有利于讨论环链多项式系数的性质，同时，随着研究的深入， 也将有利于讨论三维流形的不变量性质 关键词：h o m f l y 多项式：高阶偏导数：平凡纽结：t w i s t 纽结：h o p f 链 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 t h ed e r i v a t i v eq u a l i t yo fh o m i l yp o l y n o m i a lo fk n o t sa n dl i n k s a b s t r a c t t h em a i nc o n t e n to ft h e m o tt h e o r yi ss e a r c h i n gf o rt h ea m b i e n ti s o t o p yi n v a r i a n t w h i c hi sa b l et od i s t i n g u i s ht h ek n o t sa n de a s yt oc o m p u t e t h ef i n d i n go fk n o tp o l y n o m i a l p r o v i d e st h ep o s s i b i l i t yo fc l a s s i f y i n gt h ek n o t s n o w ，s o m es c h o l a r sh a v eg i v e naf e wo ft h e d e r i v a t i v eq u a l i t i e so fc o n w a y p o l y n 删“f 0 r e x 锄p l e ，恤d e m a t i v e s 卜鲁，d 功 v 。l i a r eh n e a r 砌e p e n d e n t b e c a u s eb e t w e e nc o n w a yp o l y n o m i a la n da l e x a n d e rp o l y n o m i a lc a n m u t u a l l yt r a n s f o r m ，s o w h e t h e rt h ed e r i v a t i v eo fa l e x a n d e rp o l y n o m i a lh a v et h es i m i l a rq u a l i t i e s ? s h eu s e st h er u l e o fd e r i v a t i v ea n dm a r xt h e o r y ，d i s c u s s e st h eq u a l i t i e so ft h ea l e x a n d e r p o l y n o m i a l i nt h e19 8 0 s ，f r e y de ta 1 f o u n dai n v a r i a n t - l a u r e n tp o l y n o m i a lw h i c hh a st w o v a r i a n t , t h e yc a l l e di th o m i l yp o l y n o m i a l ，a f t e ra p p r o p r i a t er e p l a c e m e n t ，t h ep o l y n o m i a lc a t le x p r e s s t h es a m ek n o to rt h es a m el i n kw h i c hi sc o r r e s p o n dt oa l e x a n d e rp o l y n o m i a la n dj o n e s p o l y n o m i a l f o rn o w ，s c h o l a r sh a v eo b t a i nt h ed e r i v a t i v eq u a l i t i e so fj o n e sp o l y n o m i a l ， e s p e c i a l l y ，t h e yh a v et h eq u a l i t i e so fd i v i s i b i l i t yw h e nt = 1 f u r t h e r ，w et h i n kt or e s e a r c ht h e d e r i v a t i v eq u a l i t i e so ft h eg e n e r a lp o l y n o m i a l h o r n f l yp o l y n o m i a lf o ra r b i t r a r yk n o t sa n d l i n k s f i r s t , s h eg i v et h ed i v i s i b i l i t yo fs o m ek n o t sa n dl i n k sa ts p e c i a lv a l u eb yt h ek n o w l e d g e o ft h ep a r t i a ld e r i v a t i v e s ，n e x t , s h em a k e su s eo fi n d u c t i v em e t h o da n dg i v e st h eh i g h e ro r d e r p a r t i a ld e r i v a t i v eo fh o m i l yp o l y n o m i a li na r b i t r a r yk n o t s b yd i s c u s s i n gt h e s eq u a l i t i e s ，w ec a nf m dt h eq u a l i t i e so ft h ec o e f f i c i e n t so ft h e p o l y n o m i a lo ft h el i n k s ；w i mt h ed e e pd i s c u s s i o n , w ea l s oc a no b t a i nt h ei n v a r i a n tq u a l i t i e so f t h r e e m a n i f o l d k e yw o r d s ：h o m i l yp o l y n o m i a l ；h i g h e rp a r t i a ld e r i v a t i v e ；u n k n o t t e dk n o t ；t w i s tk n o t ；h o p f l i n k 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘 要i a b s t r a c t i i 弓i言1 1 预备知识3 2 任意纽结和环链的a l e x a n d e r 多项式的微分性质6 3 一些特殊纽结和环链的h o m i l y 多项式的高阶偏导数性质9 3 1 平凡纽结。9 3 2t 诵s t 纽结9 3 3 有力 1 ) 个分支的平凡环链1 2 3 4 丽个平凡纽结及n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链1 3 3 4 1 两个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链1 3 3 4 2n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链1 4 4 任意纽结的h o m i l y 多项式的高阶偏导数性质1 5 结论17 参考文献。18 攻读硕士学位期间发表学术论文情况19 致谢2 0 辽宁师范大学硕士学位论文 己l 言 jif 习 数学上的纽结理论，是2 0 世纪中后期以来作为拓扑学的一个重要部分发展起来的， 形象地说，纽结理论是研究绳圈( 或多个绳圈) 在连续变形下保持不变的特性因为多项 式在纽结理论占有重要的地位和作用，许多学者已经从许多方面对多项式进行了深入的 研究，尤其琼斯多项式的讨论在文献 1 中，作者向我们介绍了纽结理论的一些基本知 识在文献 2 ，3 ，4 ，5 中，作者已经从各个角度给出了纽结和环链的多项式性质为了讨 论环链的多项式系数的问题，在文献 6 ，7 中，作者利用环绕数的形式分别给出任意纽结 的j o n e s 多项式的第一二和三阶导数及其性质，并给出了一习( 1 ) 和三的c o n w a y 多项式系 数之间的关系而文献 8 中介绍了a l e x a n d e r 多项式和j o n e s 多项式的相关性质在文 献 9 中，作者有进一步给出了任意纽结的j o n e s 多项式更高阶的导数的性质，对这些性 质的研究将有利于讨论三维流形不变量的性质 c o n w a y 多项式也是一类重要的纽结不变量，所以在文献 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 中，作者介绍 了任意纽结的c o n w a y 多项式的性质，尤其是微分性质而c o n w a y 多项式和a l e x a n d e r 多 项式之间可互相转换，那么类似地对于任意的纽结来说，它们的a l e x a n d e r 多项式的高阶 导数是否还有这些性质呢? 利用文献 1 4 的一些结论，本论文给出了任意纽结a l e x a n d e r 多项式的几个导数性质 自2 0 世纪8 0 年代，f r e y d 等人定义了h o m f l y 多项式之后，人们又对这类纽结不变 量进行了大量的研究，在在文献 1 5 ，1 6 ，1 7 中，主要说明了h o m f l y 多项式是j o n e s 多项 式和a l e x a n d e r 多项式的一般形式，并介绍了h o m f l y 多项式其他的一些性质，那么鉴于 h o m f l y 多项式的重要作用和意义，我们可以对更一般纽结和环链的h o m f l y 多项式求高 阶偏导数，看它们是否可以像j o n e s 多项式那样，在对它们求高阶导后会有一个一般的规 律? 因此，本论文主要讨论了一些特殊纽结和环链的h o m f l y 多项式的高阶偏导数的性质 首先，在文献 1 8 ，1 9 中，作者分别给出了t w i s t 纽结在奇数个交叉点和偶数个交叉点时 的j o n e s 多项式和h o m f l y 多项式，经过推导本论文得到t w is t 纽结无论有奇数个交叉点 还是偶数个交叉点，它们的高阶偏导数都可以被( ，2 1 ) 2 - ( 枞整除的性质接下来，在文 献 2 0 中作者给出了有两个及两个以上平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链的j o n e s 多项式的高阶偏导数的整除性质所以，本论文中类似地推导出这类纽结的h o m f l y 多项 式的高阶偏导数的整除性质由此可知，对于一些特殊的纽结和环链，它们的h o m f l y 多项 式的高阶偏导数在取不同值时的性质各不相同最后，本文还讨论了对于一般的纽结，它 们的h o m f l y 多项式的高阶偏导数在取特殊值时的性质 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 本论文的结构安排如下：本硕士论文共分四部分第一部分给出了纽结、环链的概念 和h o m f l y 多项式的基本概念及性质：第二部分讨论了任意纽结和环链的a l e x a n d e r 多项 式的高阶导数的性质：第三部分重点讨论了t w i s t 纽结和两个及两个以上平凡纽结按 h o p f 链方式结合所成环链的h o m f l y 多项式的高阶偏导数的性质：第四部分给出了一般 的纽结的h o m f l y 多项式的高阶偏导数在取特殊值时的性质 2 辽宁师范大学硕士学位论文 1 预备知识 下面我们对纽结、环链的概念和其h o m f l y 多项式的性质作一简单的介绍 定义1 11 1 7 】：空间x 的一个子集k ，若k 和球s p 同胚，那么k 是纽结 形象地说，平凡纽结是指“未打结”的纽结 纽结平凡纽结 图1 1 定义1 2 【1 7 】：空间x 的一个三子集，若和一个或更多个球的不相交并 s 丑u s bu s 只同胚，那么三是环链 放在同一平面内的若干个互不相交的圆圈也组成一个环链，称为平凡环链：纽结其 实也是环链( 如图1 3 ，为具有两个分支的平凡环链) 环链 图1 2 平凡环链 图1 3 引理1 1 【1 5 】：有唯一的一个函数p ，它是从温良定向环链的同痕类集合到含有 z ，y ，z 变量的零阶齐次l a u r e n t 多项式集合，满足 ( 1 ) x 丘( x ，y ，z ) + y 乞( z ，y ，z ) + z 乞( x ，y ，z ) = o ； ( 2 ) 昱( x ，y ，z ) = 1 ，如果三为一个不扭分支 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 其中t 、t 、厶代表三个几乎完全一样的有向投影图，只在某一个交叉点附近有画出的 不同形状 x l t 图1 4 环链的拆接关系 ；1 n 厶 注【1 5 】：( 1 ) l 的a l e x a n d e r 多项式和的h o m f l y 多项式的关系是 ( 2 ) l 的j o n e s 多项式和l 的h o m f l y 多项式的关系是 圪( ，) = 置( ，- t - 1 ，2 一，2 ) ； ( 3 ) 因为p l ( x ，y ，z ) 是齐次的，所以可以通过( ，肌) = 置( ，- 1m ) 看成是两个变 量的非齐次方程这样引理1 1 中的( 1 ) 可表示为 吃( ，小) + 厂1 ( ，聊) + m e 4 ( ，m ) = o 引理1 2 【2 】：设k 是一纽结，则 胪( k ；1 ) 6 k z k 3 引理1 3 【6 】：( 1 ) 所有第一阶c o n w a y 多项式形成了一个以罡( 1 ，一1 ，一z ) i = 1 ，2 ，3 为 基的自由z 一模： ( 2 ) 鲨至是一个一阶c o n w a y 多项式： 导数 v ，誓，争争忙性无关的： ( 4 ) 卜誓 严格弱于第一阶c o n w a y 多项式集 引理1 4 t 1 9 】：t w i s t 纽结的h o m f l y 多项式如下 4 辽宁师范大学硕士学位论文 乞。c ，肌，= 1 ：。，+ 扰：荟n - 1 。一。，。，：。以：t 。= ，2 0 ( 1 1 ) ； 吃胂，( ，m ) = - 1 2 + ( 一1 ) 斛1 ( ，2 ”+ 2 + ，2 ”“) + 聊2 ( 一1 ) “1 ，强 n = o ，1 ，2 ( 1 2 ) 则 引理1 5 【18 】：t w i s t 纽结的j o n e s 多项式如下 。( ，) = 一t - 2 ”+ f - 2 肿2 + f - 2 月“+ + r - 6 + ，_ 4 + r - 2 ) n = l ，2 ，3 ： ( ，) = f - 2 ”- 4 + f 2 ”一2 + ，- 2 ”+ t _ 8 + f 6 + f _ 4刀：o ，1 ，2 ， 0 2 u d 、， 引理1 6 【1 8 】：t w i s t 纽结的a l e x a n d e r 多项式如下 a 2 。( f ) = n t 2 - ( 2 n + 1 ) t + n ： 2 肿。( f ) = ( 刀+ 1 ) f 2 一( 2 胛+ 1 ) ，+ ( 聆+ 1 ) 引理1 7 【18 】：t w i s t 纽结的c o n w a y 多项式如下 v 2 。( f ) = 1 一n t 2 ： v 2 槲( t ) = l - ( n + 1 ) t 2 引理1 8 【2 0 】：设三是由两个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链， y 。( ；1 ) 2 1 一z k 4 5 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 2 任意纽结和环链的a le x a n d e r 多项式的微分性质 若三是环链，则对应一个多项式l ( f ) 满足： ( 1 ) a l ( t ) - a l ( ，) = ( f2 - t 2 ) k ( f )其中0 、t 、4 表示除去一个交叉点外其余 部分均相同的环链： ( 2 ) ( o ) = 1 11 这样就有a ( t ) = p l ( 1 ，- 1 ，f 2 一f2 ) 高阶a l e x a n d e r 多项式的定义如下： 对任意环链不变量丘z t 1 ，定义气= 乞一t + ( f i f 1 ) 丘， 我们说只是一个咒阶a l e x a n d e r 多项式如果p = 0 ，其中三是一个有力+ 1 个奇异交叉点 的奇异环链，那么第一阶a l e x a n d e r 多项式满足 三- 三三j!三三 t 一亿一t + t + ( ，2 一t2 ) 吃+ ( f 2 一，2 ) 么一( r 2 一，2 ) 吃一( r 2 一r2 ) 么+ ( r 2 一r2 ) 么= o 等价于 ( 1 1c 正r 南 乞互乞 p l p 1p 1 - l l p lp l p t 札札钿 = 0 引理2 1 1 4 1 ：存在唯一的多项式之，露，e ，在霹中对于任意的三矽= u 仅7 满足： i = 0 ( 三) = e ( 且) + 乏( 砬) + 口( 马) 引理2 2 【1 4 】：存在唯一个函数尸：a 寸r 2 ( 其中r = z _ a i x + 1y l , z 1 ) 满足： 吃+ 圪+ 也= o 且乞= ( 1 ，o ) ，乞= ( o ，1 ) 1l 定理2 3 ：( 1 ) 所有第一阶a l e x a n d e r 多硬式形成了一个以p f ( 1 ，- 1 ，f 2 一f2 ) i = 1 ，2 ，3 为基的自由z 一模： ( 2 ) 堕是一个一阶a 1 e x a n d e r 多项式： 6 辽宁师范大学硕士学位论文 导数 ，警，争d a l 是线性无飙 ( 4 ) 卜堕a tj l 严格弱于第一阶a l e x a n d e r 多项式集 证明：( 1 ) 由引理2 1 知，( 簧) 是由以 之，露，覃) 为基的三阶自由r 一模所形成的 霹的双层空间，而置( f ) 可由b 。所决定，即 置( f ) = 名( f ) 之( 1 ，一1 ，t j t - i ) + p n 2 ( t ) p z ( 1 ，一1 ，j t 2 ) + ( ，) 乏( 1 ，一1 ，乒一t 一2 ) 其中蜀是平 凡纽结，垦是有两个分支的平凡环链，岛是h o p f 链，而毛( f ) ，吃( f ) ，( f ) 是局，岛，鸟的 a le x a n d e r 多项式 根据引理2 2 又知每个e 是一阶h o m f l y 多项式，因此我们能直接可得足是一阶 a l e x a n d e r 多项式因为p 矗i ，= 呀，乏( 1 ，一1 ，2 一f2 ) ，r z l f 士1 i 是线性无关，那么它们是组成 自由z 一模的一阶a l e x a n d e r 多项式的基 ( 2 ) 由于。( f ) = 置( 1 ，- i ，f 2 一f2 ) ；所以对& 一丘+ ( f 2 一f2 ) 气= o 的两边同时对f 求 导有 警一鲁+ 圭( ， + f - ；) 气川；一r ) 鲁= o ； f 则l1 1 ( 1 = i1 1 f 1l、 ( f j r 1 ) 1 ) 1 1 ( f j f 1 ) 1 ) 8 p t8 p t8 p ? - = ：三l _ = = ：- _ 二：竖 氆 a t a t 8 p la p t 8 p l _ ：l _ = 三= 二生 a t8 ta t 8 r8 p l8p l = 匕= 匕竺 a t8 ta t 一+ ， ) 吃 一+ r 专) 吃 一+ r ) 么 7 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 = 一圭。；+ r ；， 罡砷一只锄+ 。；一t 一；，知 = 。 li ( 3 ) 令色p ) = ，i t 一2 ( 其中l 是环绕数为+ 1 h 0 p f 链) ，e 是力个上所组成的连通 和，k 是平凡纽结， 让彳是一个方阵其中元乃为d 万a 孚 卜i r 即a = k 。 。争 00 d a r 。 功” 此时a 是一个上三角矩阵且h 0 ， 卟警，争等睁性无关的 ( 4 ) 令k 是右手三叶结，心是左手三叶结， 这样我们有托( f = a k 2 ( f ) = t + t - i - i , 则警- d _ a 班x , _ 1 - t - 2 , 也就是说警不能 区分左右手三叶结 但另一方面，通过我们直接计算有 誓( 1 ，彬1 一r ) x - 3 2 2 + 2 x - 2 y + 2 x - 3 y 2 ( 1 山“) 叫t + t - 1 - 2 ) ； 警( 1 ，埘1 一f ) ：_ 2 y - in 2 拶1 枷“，= o o x 飞l _ i 17 8 k警等一 k等净一 辽宁师范大学硕士学位论文 当然o p 、- 1 ，一l ，j 1 - t 一；) 是一个一a 1 e x a n d e r 多项式，即它能区分左右手三叶结， c 则结论成立 3 一些特殊纽结和环链的h o m fiy 多项式的高阶偏导数性质 3 1 平凡纽结 性质3 1 1 ：平凡纽结的h o m f l y 多项式的各阶偏导数都为零 证明：因为p ( o ) = 1 ，所以尝= ：a k 了p = o * 丁p o x o y o z = o ，七1 3 2t wis t 纽结 t w is t 纽结征呆柙葸义上口j 以看成是硐二叶结，八子结和s t e v e d o r e s 纽结所生成 的，带有，! 半扭数的一个t w i s t 纽结记为瓦 定理3 2 1 ：t w i s t 纽结的h 。m f l y 多项式的高阶偏导数在= m = l 时，笔窘、 a d 只 2 7 z a 1 2 l 证明：( 1 ) 由引理1 4 的( 1 1 ) 知 f 1n = o & 一u 川卜卜+ ( - 矿( 1 2 n - 2 + 1 2 n m ：n - i ( 却z t 删，2 删叱( 7 ，z ) - 1 ，则等= o ； 刀0 时， 鲁= ( 1 ) ( - 2 ) ( 州拶问删川静九2 叫2 n 等_ ( 1 ) 3 31 ( - 1 ) ”陋_ 2 ) ( 2 稍) 1 2 4 + 2 n ( 2 矿柚 9 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 + 聊2 ( 一1 ) ( 2 k ) ( 2 k - 1 ) 1 2 扣2 争= ( - 1 ) 4 4 1 i - 5 + ( - 1 ) ” ( 2 柚) ( 2 棚) ( 2 川) 1 2 - s + 2 n ( 2 川) ( 2 棚) f 2 棚 + 朋2 ( 一1 ) ( 2 k ) ( 2 k - 1 ) ( 2 k - 2 ) 1 2 h k = 2 等= ( _ 1 ) 5 5 t l 。+ ( - 1 ) ” ( 2 甩- 2 ) ( 2 聆3 ) ( 2 刀- 4 ) ( 2 刀_ 5 ) 1 2 n - 6 + 2 n ( 2 ) ( 2 刀- 2 ) ( 2 ，2 - 3 ) p 。4 + 朋2 ( 一1 ) ( 2 k ) ( 2 k - 1 ) ( 2 k - 2 ) ( 2 k - 3 ) 1 2 h 则 簪= ( - 1 ) 2 也训2 ) + ( - 1 水嗍2 唧( 2 n - 2 i ) 1 2 n - 2 - 1 + 2 n m - 1 ) ( 2 n - 2 i + 2 ) 7 2 柚川 + 聊：( 一1 ) 。( 2 砂( 2 k - 2 i + 2 ) 1 2 脚 = 2 ( _ 1 ) 2 。i ! ( 2 i 一1 ) ! ! 七1 广一1 x , 一2 ) 0 一i x 2 n 一3 x 2 n 一5 ) ( 2 门一2 i + 1 ) 2 ”2 卜1 + 疗( ，z - 1 ) ( 刀- i + 1 ) ( 2 玎- 1 ) ( 2 甩- 3 ) ( 2 玎- 2 i + 3 ) 1 2 月一2 + 1 ) + 聊2 e ( - 1 ) 。2 7 k ( k - 1 ) ( 七一f + 1 ) ( 2 七一1 ) ( 2 七一3 ) ( 2 k - 2 i + 3 ) 1 2 ”电。“ 等_ ( - 1 ) 2 州( 2 删2 川) + ( - 1 ) ”陋- 2 ) ( 2 一) ( 2 n - 2 i - 1 ) l t m + 2 n - ( 2 n - 2 i + 1 矿柚刁 + 扰2 ( 一1 ) ( 2 砂- ( 2 k - 2 i + 1 ) 1 2 ”2 = 2 。 ( - 1 ) 2 ”1 烈2 f + 1 ) ! ! “一l 广酝一1 x n 一2 ) 0 一i x 2 n 一3 x 2 n 一5 ) ( 2 ，z 一2 i 一1 ) 1 2 2 卜2 + 甩( 玎- 1 ) ( 刀- i + 1 ) ( 2 刀- 1 ) ( 2 甩- 3 ) ( 2 刀- 2 i + 1 ) 1 2 n 一2 。 ) + 聊2 ( 一1 ) 2k ( k - 1 ) ( 七一吼2 | j 一1 ) ( 2 七一3 ) ( 2 k - 2 i + 1 ) 1 2 帕 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 枞当l = m = l 时，簪、争d z 舯- 1 ，2 ，扩础 ( 2 ) 由引理1 4 的( 1 2 ) 知 门= 0 ，1 ，2 等= 饥( 妒陋川+ ( 2 川矿棚 耐善( 妒l ( 2 纠2 t _ 1 争_ - 2 + ( - 矿+ 1 ( 2 棚) ( 2 州矿h 2 川) ( 2 棚矿”+ 2 耐荟n + l ( - 1 ) 气2 坝2 ) f 2 m 争- ( _ 矿+ 1 陋+ 2 ) ( 2 州) 2 n 1 2 一= 1 + ( 2 州) ( 2 棚胁+ 2 ) 户+ 1 n - i + 肌2 ( 一1 ) 洲( 2 k ) ( 2 k 一1 ) ( 2 k 一2 ) t 2 脚 垒0 1 4 ：( 一1 ) ”+ t ( 2 刀+ 2 ) ( 2 ，2 + 1 ) 2 ，z ( 2 ，2 1 ) ，2 n 一2 + ( 2 刀+ 4 ) ( 2 刀+ 3 ) ( 2 刀+ 2 ) ( 2 ，z + 1 ) ，2 一 n - l + 聊2 ( 一1 ) ( 2 k x 2 k - 1 ) ( 2 k 一2 ) ( 2 k 一3 ) t 2 则 挚* 2 t + l - ( - 矿+ 1 m + 2 ) ( 2 川m ( 2 n - 2 i + 4 ) 1 2 n - 2 j + 3 + + 4 ) + 3 ) ( 2 n - 2 i + 6 矿柚 = 2 7 ( 一1 ) 肿1 ( 玎+ 1 ) 刀( n - i + 2 ) ( 2 刀+ 1 ) ( 2 刀一1 ) ( 2 玎一2 i + 5 ) 1 2 一2 f + 3 + ( 疗+ 2 ) ( 刀+ 1 ) ( 刀一f + 3 ) ( 2 门+ 3 ) ( 2 ，2 + 1 ) ( 2 行一2 i + 7 ) 1 2 月一2 + 5 ) n + l + 掰2 z ( - 1 ) 2k ( k - 1 ) ( k - i + 1 ) ( 2 k 一1 ) ( 2 k 一3 ) ( 2 k 一2 i + 3 ) 1 2 删+ 1 k = t o p 矿2 i t 2 , 一+ i ：( 一1 ) 一+ ( 2 刀+ 2 ) ( 2 ，? + 1 ) ( 2 n - 2 i + 3 ) 1 2 n - 2 i + 2 + ( 2 ，z + 4 ) ( 2 行+ 3 ) ( 2 n - 2 i + 5 ) ，2 一一2 一“ + 聊2 ( 一1 ) “1 ( 2 砂( 2 k 一2 i + 1 ) 1 2 帕 掳 h “ d 一 l 川描 2 m + 、， “疗 p+ 让抽 u d 一 ，- + 2 o = 、， 所 u 州乞 h2一2 t f 、， 2+ z 2一 后2 l、， 七1 、l ，l h七 、j l一 ，l 州抽 2 m+ 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 = 2 ( 一1 ) 肿1 ( 玎+ 1 ) ”( 刀- i + 2 ) ( 2 玎+ 1 ) ( 2 刀一1 ) ( 2 刀一2 i + 3 ) 1 2 p 2 件2 + ( 刀+ 2 ) ( 刀+ 1 ) ( 刀- i + 3 ) ( 2 刀+ 3 ) ( 2 玎+ 1 ) ( 2 甩- 2 i + 5 ) 1 2 月一2 “ ) n + l + 聊2 ( 一1 ) n 2 k ( k - 1 ) ( 七一f + 1 ) ( 2 七一1 ) ( 2 七一3 ) ( 2 k - 2 i + 1 ) 1 2 神 t = | 枞当l = m - 1 时，簪、 3 3 有，z 研 1 ) 个分支的平凡环链 2 z 其中f = 1 ，2 ，n + l 1 0 足理3 3 1 有n 1 ) 个分叉的半儿外链的h o m f l y 多坝式的尚彤r 偏导数在 x = y = 翻时，等，等，警利柑山z 证明：因为p ( o o o ) = ( 一1 ) ”- 1 ( x + y ) ”- 1 2 1 ” 所以，：0 p 一：( 一1 ) 一。1 ( 玎一1 ) ( x + y ) 一一2 z l 一 = c 3 _ 2 p 丁：( 一1 ) 一。1 ( 聆一1 ) ( 门一2 ) ( x + y ) ”一z 1 叫 o x j “t 7 = - 下= ( 一1 ) ”- 1 ( 咒一1 ) ( 刀一2 ) ( 甩一3 ) ( x + y ) “- 4 2 1 ” 则 害= ( - 矿_ l ( - 2 ) ( 肛坝州_ 呻 同理 等_ ( - 矿撕- 1 ) ( 棚) 和叫( 州严1 ) z 1 而 - = c 3 p 一：( 一1 ) 一( 胛一1 ) ( x + y ) n - i z 一 1 2 盟 矿 a 一 辽宁师范大学硕士学位论文 箕：( 一1 ) 一卅( 船一1 ) 甩( hy ) 一1z 巾+ 1 ) o z 8 = 3 p f ：( 一1 ) 一+ zi 胛一1 ) 玎( 刀+ 1 ) ( x + y ) 一一lz 一( 一+ 2 ) o z 。 则 参- ( 矿啡叫( 川m 川) ( n + k - 2 训川z 小制) 当x = y = 州时，万8 k p ，矿8 * p ，等2 ( 脯- 1 ) z 3 4 两个平凡纽结及n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链 3 4 1 两个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链 厶 偏导数在x = y = 2 , z = l 时，竺i g x 生k 2 m + 1 ) z 证明：因为吃+ 吐x + y l + z = o z 所以丘= 弦一+ x 。1 y 2 z 一一x - 1 z _ e z 一+ ：( 一1 ) x - 2 y 2 z - 1 _ ( 一1 ) z 2 z 婆- ( - 1 ) ( - 2 ) x - a y 2 z - i _ ( - 1 ) ( - 2 ) 0 a jp ；= = 争= ( 一1 ) ( 一2 ) ( 一3 ) x y 2 z 一( 一1 ) ( 一2 ) ( 一3 ) x z i i 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 等= ( - 1 ) ( - 2 ) x ( - 3 ) ( 书x m 州办- ( _ 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( x 删z 孙y - 2 ，硝时，等2 i 1 ) z ( ) 若x = y = z = 埘，可o k p l = 。( 七1 ) 3 4 2n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链 定理3 4 2 ：有n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链的h o m i l y 多项式 的高阶偏导数在x = y = 2 , z = l 时，等的- 1 ) 2 巾小1 ) z 证明：因为吃( x ，y ，z ) + y p l _ ，y ，z ) + 残( x ，y ，z ) = o ，此时t = 墨u 厶一l ， i o = k # 厶一其中t 为，2 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链，厶_ 是万一1 个平凡纽 结按h o p f 链方式结合所成环链，k 是平凡纽结，i = 1 ，2 ，2 对于h o m f l y 多项式来说，我们有 以厶h 尸( 厶2 ) 稃= 厶- ( ) x ：+ 尸y ( ) 厶z - ) ! 尸p ( ( 厶z 1 ；以厶 贝u 丘2 一x - i y u k x l z 乞# 铀 = x - 1 y ( x + y ) z - 1 尸( 墨) 尸( 厶一1 ) 一x - 1 z p ( k ) 尸( 乙一1 ) = ( 弦1 + x - 1 y 2 z 一一x - ! z ) 尸( k ) 尸( 厶一1 ) = o 盟一1 + 工一1 少2 z 一x - 1 z ) ”一1p ( k i ) p ( k 2 ) 尸( 疋) = ( y z 1 + x 一1 y 2 z 一x - i z ) “- 1 可d p l = c l ( 刀一1 ) ( 玎一2 ) ( ，z 一七) ( 弦一l + x 一1 弦1 一x l z ) 柑一1 纰一1 + x 一1 y 2 z 一一x 一1 z ) 1 ) + q l ( 刀一1 ) ( 胛一2 ) ( 门一k + i ) ( y z - 1 + x - 1 y 2 z 一x - 1 z ) ”一。( y z - 1 + x y 2 z 一x - i z ) 2 ) + + c 留( n - 1 ) ( y z - 1 + x 1 y 2 z 一x - 1 z ) ”- 2 ( y z - 1 + x - 1 y 2 z 一x - i z ) 似 当x = y = 2 ，z = 1 时，可o k p l + ( 刀一1 ) 2 州1 z 若工= y = z = 1 时，可o 。 p l = 。( 七1 ) 1 4 辽宁师范大学硕士学位论文 推论3 4 3 - n ( n 2 ) 个平凡纽结按h o p f 链方式结合所成环链的h o m f l y 多项式的 高阶偏导数在x = y = 2 , z - l 时，1 0 k 万p l 能被( 玎一1 ) 2 - ( n + k - i ) 整除 证明：由定理3 4 1 和定理3 4 2 可得 4 任意纽结的h o m fiy 多项式的高阶偏导数性质 足理4 1 1 ：任蒽纽结的h o m f l y 多项式的局阶偏导数性质，在x = 1 ，y = 一1 ，z = 0 时 竺掣能被f ! 整除 证明：因为观( x ，y ，z ) + 皿( x ，y ，z ) + 残( x ，y ，z ) = o ， 所以，当x = 1 ，少= 一1 ，z = o 时，& ( x ，y ，z ) 一忍一( 而y ，z ) = o 贝k = o 时& ( x ，y ，z ) = & ( 工，y ，z ) = p o ( x ，y ，z ) = 1 七= 埘幺( x ，川+ x o p x 面( x , y 一, z ) + j ，o p x _ i ( x , y 一, z ) + z o p k o i ( x , y 一, z ) = 。 o p k 五( x , 一y , z ) 一o p x _ 五( x , 一y , z ) = 吨( x ，少，z ) = 一lo 积 累加求和知o p xi ( x 一, y , z ) 一o p o ( _ x , 一y , z ) ：( 一1 ) 船 所以o p k ( - x , 一y , z ) ：( 一1 ) 刀：( 一1 ) 1 1 ，z 七：2 时20 p x ( x , y , z ) 哪堡肇塑+ y 。c 3 p 岩( x , y , z ) + z o p _ 笔o ( x , y 一, z ) ：o 叙dx2 。 缸2d x 2 掣一下c 3 p 乏( x , y , z ) ：- 2 型_ ( - 1 ) 2 2 1 n - 一一- 一= z 2 i 一z ： 叙2o x 2d x 、7 再由累加求和知型掣一型警皇塑：( 一1 ) ：2 1 刀： 所以堡警塑：( - 1 ) ( _ 2 ) 刀：( _ 1 ) z 2 1 ，z ： 纽结和环链的h o m i l y 多项式的微分性质 同理七= f 时竽i一了t3pc(x,y,z)=一丁tapr-l(x,y,z)=(一1)f!聆。1戗僦戗 类似地下t 3 p ：c ( x , y , z ) 一掣：( 一1 ) 铆 o x o 譬 所以 则 下op；c(x,y,z)：(一蛳其中堡粤型：o 扛1 ，2 ， o。o ，z l 掣 1 6 辽宁师范大学硕士学位论文 结论 为了研究任意纽结和环链的各种多项式的微分性质，在文献 1 1 中给出了任意纽结 和环链的c o n w a y 多项式的几个微分